当前位置：文档之家› 【决胜高考】2014年高考数学文科(高考真题+模拟新题)分类汇编：H单元解析几何

【决胜高考】2014年高考数学文科(高考真题+模拟新题)分类汇编：H单元解析几何

数学

H 单元解析几何

H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 6．，，[2014·福建卷] 已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )

A ．x ＋y －2＝0

B ．x －y ＝2＝0

C ．x ＋y －3＝0

D ．x －y ＋3＝0

6．D [解析] 由直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，可设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0. 又直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心(0，3)，则m ＝3，所以直线l 的方程为x －y ＋3＝0，故选D.

20．、、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．

(1)求M 的轨迹方程；

(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积． 20．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0，4)，半径为4.

设M (x ，y )，则CM ＝(x ，y －4)，MP ＝(2－x ，2－y )．由题设知CM ·MP ＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.

(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆．

由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM . 因为ON 的斜率为3，所以直线l 的斜率为－1

3，

故l 的方程为y ＝－13x ＋8

又|OM |＝|OP |＝2 2，O 到直线l 的距离为410

，

故|PM |＝4105，所以△POM 的面积为16

21．、、、[2014·重庆卷] 如图1-5，设椭圆x 2a 2＋y 2

2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，

F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为2

(1)求该椭圆的标准方程．

(2)是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．

21．解：(1)设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c 2

＝a 2－b 2.

由

|F 1F 2|

|DF 1|

＝2 2得|DF 1|＝|F 1F 2|2 2＝2

c .

从而S △DF 1F 2＝12|DF 1||F 1F 2|＝22c 2＝2

2，故c ＝1.

从而|DF 1|＝22.由DF 1⊥F 1F 2得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝3 2

，

所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝2 2，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.

因此，所求椭圆的标准方程为x 22

＋y 2

＝1.

(2)如图所示，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22

＋y 2

＝1相交，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是两

个交点，y 1＞0，y 2＞0，F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2.由圆和椭圆的对称性，易知，x 2＝－x 1，y 1＝y 2.

由(1)知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1P 1＝(x 1＋1，y 1)，F 2P 2→

＝(－x 1－1，y 1)．再由F 1P 1

⊥F 2P 2得－(x 1＋1)2＋y 2

1＝0.

由椭圆方程得1－x 21

2＝(x 1＋1)2，即3x 21＋4x 1＝0，解得x 1＝－43或x 1＝0. 当x 1＝0时，P 1，P 2重合，题设要求的圆不存在．

当x 1＝－4

时，过P 1，P 2分别与F 1P 1，F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C .设C (0，y 0)，

由CP 1⊥F 1P 1，得y 1－y 0x 1·y 1

x 1＋1＝－1.

而y 1＝|x 1＋1|＝13，故y 0＝5

圆C 的半径|CP 1|＝????－432＋????13－532＝4 23

综上，存在满足题设条件的圆，其方程为

x 2＋????y －532＝329

H2 两直线的位置关系与点到直线的距离 6．，，[2014·福建卷] 已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )

A ．x ＋y －2＝0

B ．x －y ＝2＝0

C ．x ＋y －3＝0

D ．x －y ＋3＝0

18．、、、[2014·江苏卷] 如图1-6所示，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段

OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)，tan ∠BCO ＝4

(1)求新桥BC 的长．

(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？

图1-6

18．解：方法一：

(1)如图所示，以O 为坐标原点， OC 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系xOy .

由条件知A (0, 60), C (170，0)，

直线 BC 的斜率k BC ＝－tan ∠BCO ＝－4

又因为 AB ⊥BC, 所以直线AB 的斜率k AB ＝3

设点 B 的坐标为(a ，b )，

则k BC ＝b －0a －170＝－4

3， k AB ＝b －60a －0＝34，

解得a ＝80, b ＝120，

所以BC ＝（170－80）2＋（0－120）2＝150.

因此新桥BC 的长是150 m.

(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m, OM ＝d m (0≤d ≤60)．由条件知，直线BC 的方程为y ＝－4

(x －170)，

即4x ＋3y －680＝0.

由于圆M 与直线BC 相切，故点 M (0, d )到直线BC 的距离是r ，

即r ＝|3d － 680|42＋32

＝680－3d 5.

因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以?

????r －d ≥80，

r －（60－d ）≥80，

即???680－3d

－d ≥80，680 － 3d

5－（60－d ）≥80，

解得10≤d ≤35.

故当d ＝10时， r ＝680 － 3d

5最大，即圆面积最大，

所以当OM ＝10 m 时，圆形保护区的面积最大．方法二：

(1)如图所示，延长 OA, CB 交于点F .

因为 tan ∠FCO ＝4

，

所以sin ∠FCO ＝45， cos ∠FCO ＝3

因为OA ＝60，OC ＝170，

所以OF ＝OC tan ∠FCO ＝6803， CF ＝OC cos ∠FCO ＝8503，从而AF ＝OF －OA ＝500

因为OA ⊥OC, 所以cos ∠AFB ＝sin ∠FCO ＝4

又因为 AB ⊥BC ，所以BF ＝AF cos ∠AFB ＝400

，从而BC ＝CF －BF ＝150.

因此新桥BC 的长是150 m.

(2)设保护区的边界圆 M 与BC 的切点为D ，连接 MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD ＝r m ，OM ＝d m (0≤d ≤60)．

因为OA ⊥OC, 所以sin ∠CFO ＝cos ∠FCO .

故由(1)知sin ∠CFO ＝MD MF ＝MD OF －OM ＝r 6803－d ＝3

5，所以r ＝680－3d 5

因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，

所以?

????r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，

即???680－3d

－d ≥80，680－3d

5－（60－d ）≥80，

解得10≤d ≤35.

故当d ＝10时， r ＝680 － 3d

最大，即圆面积最大，

所以当OM ＝10 m 时，圆形保护区的面积最大． 22．、、[2014·全国卷] 已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，直线y ＝4与 y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝5

|PQ |.

(1)求C 的方程；

(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．

22．解：(1)设Q (x 0，4)，代入y 2＝2px ，得x 0＝8

p ，

所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8

由题设得p 2＋8p ＝54×8

，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2，

所以C 的方程为y 2＝4x .

(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)．代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0.

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 故线段AB 的中点为D (2m 2＋1，2m )， |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)．

又直线l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1

m y ＋2m 2＋3.

将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4

m y －4(2m 2＋3)＝0.

设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4

m ，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．

故线段MN 的中点为E ????2m 2＋2m 2

＋3，－2m ， |MN |＝

1＋1

m 2|y 3－y 4|＝4（m 2＋1）2m 2＋1m 2

. 由于线段MN 垂直平分线段AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝1

2|MN |，

从而

14|AB |2＋|DE |2＝1

4|MN |2，即 4(m 2

＋1)2

＋????2m ＋2m 2

＋???

m 2＋22

＝

4（m 2＋1）2（2m 2＋1）

m 4

，

化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1.

所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.

21．、、、[2014·重庆卷] 如图1-5，设椭圆x 2a 2＋y 2

2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，

F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为2

(1)求该椭圆的标准方程．

21．解：(1)设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c 2

＝a 2－b 2. 由|F 1F 2||DF 1|＝2 2得|DF 1|＝|F 1F 2|2 2＝22

c . 从而S △DF 1F 2＝12|DF 1||F 1F 2|＝22c 2＝2

2，故c ＝1.

从而|DF 1|＝22.由DF 1⊥F 1F 2得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝3 2

，

所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝2 2，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.

因此，所求椭圆的标准方程为x 22

＋y 2

＝1.

(2)如图所示，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22

＋y 2

＝1相交，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是两

个交点，y 1＞0，y 2＞0，F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2.由圆和椭圆的对称性，易知，x 2＝－x 1，y 1＝y 2.

由(1)知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1P 1＝(x 1＋1，y 1)，F 2P 2→

＝(－x 1－1，y 1)．再由F 1P 1

⊥F 2P 2得－(x 1＋1)2＋y 2

1＝0.

由椭圆方程得1－x 21

2＝(x 1＋1)2，即3x 21＋4x 1＝0，解得x 1＝－43或x 1＝0. 当x 1＝0时，P 1，P 2重合，题设要求的圆不存在．

当x 1＝－4

时，过P 1，P 2分别与F 1P 1，F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C .设C (0，y 0)，

由CP 1⊥F 1P 1，得y 1－y 0x 1·y 1

x 1＋1

＝－1.

而y 1＝|x 1＋1|＝13，故y 0＝5

圆C 的半径|CP 1|＝????－432＋????13－532＝4 23

综上，存在满足题设条件的圆，其方程为

x 2＋????y －532＝329

H3 圆的方程 6．，，[2014·福建卷] 已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )

A ．x ＋y －2＝0

B ．x －y ＝2＝0

C ．x ＋y －3＝0

D ．x －y ＋3＝0

17．[2014·湖北卷] 已知圆O ：x 2＋y 2＝1和点A (－2，0)，若定点B (b ，0)(b ≠－2)和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有|MB |＝λ|MA |，则

(1)b ＝________； (2)λ＝________．

17．(1)－12 (2)1

[解析] 设点M (cos θ，sin θ)，则由|MB |＝λ|MA |得(cos θ－b )2＋

sin 2θ＝λ2[]（cos θ＋2）2＋sin 2

θ，即－2b cos θ＋b 2＋1＝4λ2cos θ＋5λ2对任意的θ都

成立，所以?????－2b ＝4λ2

，

b 2＋1＝5λ2.

又由|MB |＝λ|MA |，得λ>0，且b ≠－2，解得?

??b ＝－12，λ＝12

. 18．、、、[2014·江苏卷] 如图1-6所示，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)，tan

∠BCO ＝4

(1)求新桥BC 的长．

(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？

图1-6

18．解：方法一：

(1)如图所示，以O 为坐标原点， OC 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系xOy .

由条件知A (0, 60), C (170，0)，

直线 BC 的斜率k BC ＝－tan ∠BCO ＝－4

又因为 AB ⊥BC, 所以直线AB 的斜率k AB ＝3

设点 B 的坐标为(a ，b )，

则k BC ＝b －0a －170＝－4

3， k AB ＝b －60a －0＝34，

解得a ＝80, b ＝120，

所以BC ＝（170－80）2＋（0－120）2＝150.

因此新桥BC 的长是150 m.

(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m, OM ＝d m (0≤d ≤60)．由条件知，直线BC 的方程为y ＝－4

(x －170)，

即4x ＋3y －680＝0.

由于圆M 与直线BC 相切，故点 M (0, d )到直线BC 的距离是r ，

即r ＝|3d － 680|42＋32

＝680－3d 5.

因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以?

????r －d ≥80，

r －（60－d ）≥80，

即???680－3d

－d ≥80，680 － 3d

5－（60－d ）≥80，

解得10≤d ≤35.

故当d ＝10时， r ＝680 － 3d

5最大，即圆面积最大，

所以当OM ＝10 m 时，圆形保护区的面积最大．方法二：

(1)如图所示，延长 OA, CB 交于点F .

因为 tan ∠FCO ＝4

，

所以sin ∠FCO ＝45， cos ∠FCO ＝3

因为OA ＝60，OC ＝170，

所以OF ＝OC tan ∠FCO ＝6803， CF ＝OC cos ∠FCO ＝8503，从而AF ＝OF －OA ＝500

因为OA ⊥OC, 所以cos ∠AFB ＝sin ∠FCO ＝4

又因为 AB ⊥BC ，所以BF ＝AF cos ∠AFB ＝400

，从而BC ＝CF －BF ＝150.

因此新桥BC 的长是150 m.

(2)设保护区的边界圆 M 与BC 的切点为D ，连接 MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD ＝r m ，OM ＝d m (0≤d ≤60)．

因为OA ⊥OC, 所以sin ∠CFO ＝cos ∠FCO .

故由(1)知sin ∠CFO ＝MD MF ＝MD OF －OM ＝r 6803－d ＝3

5，所以r ＝680－3d 5

因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，

所以?

????r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，

即???680－3d

－d ≥80，680－3d

5－（60－d ）≥80，

解得10≤d ≤35.

故当d ＝10时， r ＝680 － 3d

最大，即圆面积最大，

所以当OM ＝10 m 时，圆形保护区的面积最大． 20．、、[2014·辽宁卷] 圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴、y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图1-5所示)．

(1)求点P 的坐标；

(2)焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线l ：y ＝x ＋3交于A ，B 两点，若△P AB 的面积为2，求C 的标准方程．

20．解：(1)设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)，则切线斜率为－x 0

y 0

，切线方程为y －y 0

＝－x 0y 0

(x －x 0)，即x 0x ＋y 0y ＝4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为????4x 0，0，????0，4y 0，其围成的三角形的面积S ＝12·4x 0·4y 0＝8x 0y 0

.由x 20＋y 20

＝4≥2x 0y 0知当且仅当x 0＝y 0＝2时x 0y 0有最大值，即S 有最小值，因此点P 的坐标为(2，2)．

(2)设C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由点P 在C 上知2

＋2

2＝1，并由?????x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝x ＋3，

得b 2x 2＋43x ＋6－2b 2＝0. 又x 1，x 2是方程的根，所以?

??x 1＋x 2＝－43

2，

x 1x 2＝6－2b 2

由y 1＝x 1＋3，y 2＝x 2＋3，得

|AB |＝4 6

3|x 1－x 2|＝2·48－24b 2＋8b 4b 2

由点P 到直线l 的距离为32及S △P AB ＝12×32

|AB |＝2，得|AB |＝4 6

3，即b 4－9b 2＋18

＝0，

解得b 2＝6或3，因此b 2＝6，a 2＝3(舍)或b 2＝3，a 2

＝6，从而所求C 的方程为x 26＋y 23

＝

20．、、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．

(1)求M 的轨迹方程；

(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积． 20．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0，4)，半径为4.

(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆．

由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM . 因为ON 的斜率为3，所以直线l 的斜率为－1

，

故l 的方程为y ＝－13x ＋8

又|OM |＝|OP |＝2 2，O 到直线l 的距离为410

5，

故|PM |＝4105，所以△POM 的面积为16

H4 直线与圆、圆与圆的位置关系 5．[2014·浙江卷] 已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )

A ．－2

B ．－4

C ．－6

D ．－8

5．B [解析] 圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，r 2＝2－a ，则圆心(－1，1)到直

线x ＋y ＋2＝0的距离为|－1＋1＋2|

＝ 2.由22＋(2)2＝2－a ，得a ＝－4, 故选B.

6．[2014·安徽卷] 过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )

A.????0，π6

B.????0，π3

C.????0，π6

D.?

???0，π

6．D [解析] 易知直线l 的斜率存在，所以可设l ：y ＋1＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －1＝0.因为直线l 圆x 2＋y 2＝1有公共点，所以圆心(0，0)到直线l 的距离|3k －1|1＋k 2≤1，即k 2

－3k ≤0，解得0≤k ≤3，故直线l 的倾斜角的取值范围是?

???0，π3.

7．[2014·北京卷] 已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m ＞0)．若

圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )

A ．7

B ．6

C ．5

D ．4

7．B [解析] 由图可知，圆C 上存在点P 使∠APB ＝90°，即圆C 与以AB 为直径的圆有公共点，所以32＋42－1≤m ≤32＋42＋1，即4≤m ≤6.

11．，[2014·福建卷] 已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：????

?x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆

心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )

A ．5

B ．29

C ．37

D ．49

11．C [解析] 作出不等式组????

?x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0表示的平面区域Ω(如下图阴影部分所示，

含边界)，圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1的圆心坐标为(a ，b )，半径为1.由圆C 与x 轴相切，得

b ＝1.解方程组?????x ＋y －7＝0，y ＝1，得?

????x ＝6，

y ＝1，即直线x ＋y －7＝0与直线y ＝1的交点坐标为(6，1)，

设此点为P .

又点C ∈Ω，则当点C 与P 重合时，a 取得最大值，所以，a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37，故选C.

21．[2014·福建卷] 已知曲线Γ上的点到点F (0，1)的距离比它到直线y ＝－3的距离小2.

(1)求曲线Γ的方程．

(2)曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ，直线y ＝3分别与直线l 及y 轴交于点M ，N .以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B .试探究：当点P 在曲线Γ上运动(点P 与原点不重合)时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论．

21．解：方法一：(1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点．

依题意，点S 到点F (0，1)的距离与它到直线y ＝－1的距离相等，所以曲线Γ是以点F (0，1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为x 2＝4y .

(2)当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．证明如下：

由(1)知抛物线Γ的方程为y ＝1

4x 2.

设P (x 0，y 0)(x 0≠0)，则y 0＝1

4x 20

，

由y ′＝12x ，得切线l 的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝1

x 0，

所以切线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.

由?????y ＝12x 0x －14x 20，y ＝0，得A ???

2x 0，0. 由?????y ＝12x 0x －14x 20，y ＝3，得M ????12

x 0＋6

x 0，3. 又N (0，3)，所以圆心C ???

?14x 0＋3

x 0

，3，半径r ＝1

2|MN |＝????14x 0＋3x 0， |AB |＝|AC |2－r 2 ＝

????12

x 0－????14x 0＋3x 02＋32－????14x 0＋3x 02

＝ 6.

所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．方法二：(1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点，

则|y －(－3)|－（x －0）2＋（y －1）2＝2.

依题意，点S (x ，y )只能在直线y ＝－3的上方，所以y ＞－3，

所以（x －0）2＋（y －1）2＝y ＋1，化简得，曲线Γ的方程为x 2＝4y . (2)同方法一． 6．[2014·湖南卷] 若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( ) A ．21 B ．19 C ．9 D ．－11 6．C [解析] 依题意可得C 1(0，0)，C 2(3，4)，则|C 1C 2|＝33＋42＝5.又r 1＝1，r 2＝25－m ，由r 1＋r 2＝25－m ＋1＝5，解得m ＝9.

9．[2014·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2

＝4截得的弦长为________．

9.2

5 55 [解析] 由题意可得，圆心为(2，－1)，r ＝2，圆心到直线的距离d ＝|2－2－3|12＋22＝3

5，所以弦长为2r 2－d 2＝2 4－95＝2

55 .

18．、、、[2014·江苏卷] 如图1-6所示，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)，tan ∠BCO ＝4

(1)求新桥BC 的长．

(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？

图1-6

18．解：方法一：

(1)如图所示，以O 为坐标原点， OC 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系xOy .

由条件知A (0, 60), C (170，0)，

直线 BC 的斜率k BC ＝－tan ∠BCO ＝－4

又因为 AB ⊥BC, 所以直线AB 的斜率k AB ＝3

设点 B 的坐标为(a ，b )，

则k BC ＝b －0a －170＝－4

3， k AB ＝b －60a －0＝34，

解得a ＝80, b ＝120，

所以BC ＝（170－80）2＋（0－120）2＝150.

因此新桥BC 的长是150 m.

(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m, OM ＝d m (0≤d ≤60)．由条件知，直线BC 的方程为y ＝－4

(x －170)，

即4x ＋3y －680＝0.

由于圆M 与直线BC 相切，故点 M (0, d )到直线BC 的距离是r ，

即r ＝|3d － 680|42＋32

＝680－3d 5.

因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以?

????r －d ≥80，

r －（60－d ）≥80，

即??5

680 － 3d

5－（60－d ）≥80，

解得10≤d ≤35.

故当d ＝10时， r ＝680 － 3d

5最大，即圆面积最大，

所以当OM ＝10 m 时，圆形保护区的面积最大．方法二：

(1)如图所示，延长 OA, CB 交于点F .

因为 tan ∠FCO ＝4

，

所以sin ∠FCO ＝45， cos ∠FCO ＝3

因为OA ＝60，OC ＝170，

所以OF ＝OC tan ∠FCO ＝6803， CF ＝OC cos ∠FCO ＝8503，从而AF ＝OF －OA ＝500

因为OA ⊥OC, 所以cos ∠AFB ＝sin ∠FCO ＝4

又因为 AB ⊥BC ，所以BF ＝AF cos ∠AFB ＝400

，从而BC ＝CF －BF ＝150.

因此新桥BC 的长是150 m.

(2)设保护区的边界圆 M 与BC 的切点为D ，连接 MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD ＝r m ，OM ＝d m (0≤d ≤60)．

因为OA ⊥OC, 所以sin ∠CFO ＝cos ∠FCO .

故由(1)知sin ∠CFO ＝MD MF ＝MD OF －OM ＝r 6803－d ＝3

5，所以r ＝680－3d 5

因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，

所以?

????r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，

即??5

680－3d

5－（60－d ）≥80，

解得10≤d ≤35.

故当d ＝10时， r ＝680 － 3d

最大，即圆面积最大，

所以当OM ＝10 m 时，圆形保护区的面积最大． 16．、[2014·全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．

16.4

3 [解析] 如图所示，根据题意知，OA ⊥P A ，OA ＝2，OP ＝10，所以P A ＝OP 2－OA 2＝2 2，所以tan ∠OP A ＝OA P A ＝22 2＝1

2，故tan ∠APB ＝2tan ∠OP A 1－tan 2∠OP A ＝43，

即l 1与l 2的夹角的正切值等于4

12．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设点M (x 0，1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是( )

A. [－1，1]

B. ????－12，12

C. [－2，2]

D. ?

－

22，

22 12．A [解析] 点M (x 0，1)在直线y ＝1上，而直线y ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切．据题意可设点N (0，1)，如图，则只需∠OMN ≥45°即可，此时有tan ∠OMN ＝|ON |

|MN |≥tan 45°，

得0<|MN |≤|ON |＝1，即0<|x 0|≤1，当M 位于点(0，1)时，显然在圆上存在点N 满足要求，综上可知－1≤x 0≤1.

20．、、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线

l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．

(1)求M 的轨迹方程；

(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积． 20．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0，4)，半径为4.

(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆．

由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM . 因为ON 的斜率为3，所以直线l 的斜率为－1

3，

故l 的方程为y ＝－13x ＋8

又|OM |＝|OP |＝2 2，O 到直线l 的距离为410

5，

故|PM |＝4105，所以△POM 的面积为16

14．[2014·山东卷] 圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________．

14．(x －2)2＋(y －1)2＝4 [解析] 因为圆心在直线x －2y ＝0上，所以可设圆心坐标为(2b ，b )．又圆C 与y 轴的正半轴相切，所以b >0，圆的半径是2b .由勾股定理可得b 2＋(3)2＝4b 2，解得b ＝±1.又因为b >0，所以b ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(2，1)，半径是2，所以圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝4.

14．[2014·重庆卷] 已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________．

14．0或6 [解析] ∵圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，∴圆心为C (－1，2)，半

径为 3.∵AC ⊥BC ，∴|AB |＝3 2.∵圆心到直线的距离d ＝|－1－2＋a |2＝|a －3|

，∴|AB |＝

2r 2－d 2

＝29－? ??

?|a －3|22＝3 2，即(a －3)2＝9，∴a ＝0或a ＝6. 9．、[2014·四川卷] 设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |＋|PB |的取值范围是( )

A ．[5，2 5 ]

B ．[10，2 5 ]

C ．[10，4 5 ]

D ．[25，4 5 ]

9．B [解析] 由题意可知，定点A (0，0)，B (1，3)，且两条直线互相垂直，则其交点P (x ，y )落在以AB 为直径的圆周上，

所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，即|P A |＋|PB |≥|AB |＝10. 又|P A |＋|PB |＝（|P A |＋|PB |）2＝ |P A |2＋2|P A ||PB |＋|PB |2≤ 2（|P A |2＋|PB |2）＝2 5，

所以|P A |＋|PB |∈[10，2 5]，故选B.

21．、、、[2014·重庆卷] 如图1-5，设椭圆x 2a 2＋y 2

2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，

F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为2

(1)求该椭圆的标准方程．

21．解：(1)设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c 2

＝a 2－b 2. 由|F 1F 2||DF 1|＝2 2得|DF 1|＝|F 1F 2|2 2＝22

c . 从而S △DF 1F 2＝12|DF 1||F 1F 2|＝22c 2＝2

2，故c ＝1.

从而|DF 1|＝22.由DF 1⊥F 1F 2得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝3 2

，

所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝2 2，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.

因此，所求椭圆的标准方程为x 22

＋y 2

＝1.

(2)如图所示，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22

＋y 2

＝1相交，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是两

个交点，y 1＞0，y 2＞0，F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2.由圆和椭圆的对称性，易知，x 2＝－x 1，y 1＝y 2.

由(1)知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1P 1＝(x 1＋1，y 1)，F 2P 2→

＝(－x 1－1，y 1)．再由F 1P 1

⊥F 2P 2得－(x 1＋1)2＋y 2

1＝0.

由椭圆方程得1－x 21

2＝(x 1＋1)2，即3x 21＋4x 1＝0，解得x 1＝－43或x 1＝0. 当x 1＝0时，P 1，P 2重合，题设要求的圆不存在．

当x 1＝－4

时，过P 1，P 2分别与F 1P 1，F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C .设C (0，y 0)，

由CP 1⊥F 1P 1，得y 1－y 0x 1·y 1

x 1＋1＝－1.

而y 1＝|x 1＋1|＝13，故y 0＝5

圆C 的半径|CP 1|＝????－432＋????13－532＝4 23

综上，存在满足题设条件的圆，其方程为

x 2

＋????y －532

＝329

H5 椭圆及其几何性质

21．、、、[2014·重庆卷] 如图1-5，设椭圆x 2a 2＋y 2

2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，

F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为2

(1)求该椭圆的标准方程．

21．解：(1)设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c 2

＝a 2－b 2. 由|F 1F 2||DF 1|＝2 2得|DF 1|＝|F 1F 2|2 2＝22

c . 从而S △DF 1F 2＝12|DF 1||F 1F 2|＝22c 2＝2

2，故c ＝1.

从而|DF 1|＝22.由DF 1⊥F 1F 2得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝3 2

，

所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝2 2，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.

因此，所求椭圆的标准方程为x 22

＋y 2

＝1.

(2)如图所示，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22

＋y 2

＝1相交，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是两

个交点，y 1＞0，y 2＞0，F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2.由圆和椭圆的对称性，易知，x 2＝－x 1，y 1＝y 2.

由(1)知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1P 1＝(x 1＋1，y 1)，F 2P 2→

＝(－x 1－1，y 1)．再由F 1P 1

⊥F 2P 2得－(x 1＋1)2＋y 2

1＝0.

由椭圆方程得1－x 21

2＝(x 1＋1)2，即3x 21＋4x 1＝0，解得x 1＝－43或x 1＝0. 当x 1＝0时，P 1，P 2重合，题设要求的圆不存在．

当x 1＝－4

时，过P 1，P 2分别与F 1P 1，F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C .设C (0，y 0)，

由CP 1⊥F 1P 1，得y 1－y 0x 1·y 1

x 1＋1

＝－1.

而y 1＝|x 1＋1|＝13，故y 0＝5

圆C 的半径|CP 1|＝????－432＋????13－532＝4 23

综上，存在满足题设条件的圆，其方程为

x 2＋????y －532＝329

20．、[2014·安徽卷] 设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；

(2)当x ∈[0，1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． 20．解： (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.

令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a

3，

x 2＝－1＋4＋3a 3，且x 1

所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)．当x x 2时，f ′(x )<0；当x 10.

故f (x )在? ????－∞，－1－4＋3a 3和 ? ????

－1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减，

在?

??－1－4＋3a 3，

－1＋4＋3a 3内单调递增．

(2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0，

①当a ≥4时，x 2≥1，由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．

②当0

因此f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a

处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，

所以当0

当a ＝1时，f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值；当1

(2)设O 为原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值．

19．解：(1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2

2＝1.

所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2.

故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝2

(2)设点A ，B 的坐标分别为(t ，2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0.

2018年高考文科数学分类汇编：专题九解析几何

《2018年高考文科数学分类汇编》 2 x —2?y 2 =2上，贝U △ ABP 面积的取值范围是和d 2，且d 1 d 2 =6，则双曲线的方程为 2 2 x ■丄=1 4 12 2 x D — 9 、选择题 1.【2018全国一卷 4】已知椭圆C : 第九篇：解析几何 X 2 V 2 評廿1的一个焦点为(2 ,0)，则C 的离心率为 1 A.- 3 2.【2018全国二卷 6】 1 B.- 2 2 x 2 双曲线 2-爲=1(a 0,b 0)的离心率为,3，则其渐近线方程为 a b A . y 二 2x B . y = 3x D . y 3 x 2 3.【2018全国 11】已知F , F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PR_ PF 2 , 且.乙PF 2F 1 =60，则C 的离心率为 A . J 2 B . 2-3 C. D . .3-1 4.【2018全国三卷 8】直线x y *2=0分别与x 轴，y 轴交于A , B 两点，点P 在圆 A . 2,61 B . 4,8〕 D . 5.【2018全国三卷10】已知双曲线 C : 三卷 =1(a 0 , b 0)的离心率为 .2 ，则点(4,0) 到C 的渐近线的距离为 B . 2 C. 2 D . 2,2 2 x 6.【2018天津卷7】已知双曲线 — a =1(a 0, b 0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于 A , B 两点. 设A ,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d 1 12 4 =1

8. 4 2 7. 【 2018 浙江卷2 】双曲线「宀的焦点坐标是之和为（） D.4魂二、填空题【2018全国一卷15】直线y =x ? 1与圆x 2 y 2 2^^0交于A ，B 两点，则 A ? (- 2 , 0), ( .2 , 0) B ? (-2, 0), (2, 0) C . (0, - . 2 ), (0 , ,2) D . (0, -2), (0, 2) 8.【2018上海卷13】设P 是椭圆呂+以=1 5 3 上的动点，贝U P 到该椭圆的两个焦点的距离 1. 2. 【2018北京卷10】已知直线I 过点（1,0）且垂直于轴，若 I 被抛物线 y 2 = 4ax 截得的线 3. 段长为4,则抛物线的焦点坐标为 2 2 【2018北京卷12】若双曲线笃-丿 1（a 0）的离心率为 a 4 -1，则 2 4.【2018天津卷12】在平面直角坐标系中，经过三点（ 0，0） 1），（ 2，0）的圆的方程为 5. 2 x 【2018江苏卷8】在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 2 与=1(a 0,b 0)的右焦点 b 6. F （c,0）到一条渐近线的距离为乜 2 12】在平面直角坐标系则其离心率的值是【2018江苏卷 xOy 中，A 为直线I: y = 2x 上在第一象限内的点, B(5,0)，以 AB 为直径的圆C 与直线 l 交于另一点D .若AB CD =0，则点A 的横坐标 7. 【2018浙江卷 17】已知点P （0，1），椭圆^+y 2=m （m>1）上两点A ，B 满足AP =2"P B ，则 4 当m= 时，点B 横坐标的绝对值最大.

历年高考数学试题分类汇编

2008年高考数学试题分类汇编圆锥曲线一．选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)

高考数学试题分类大全

2014年高考文科数学真题解析分类汇编：N单元选修4系列(纯word可编辑)

数学 N 单元选修4系列 N1 选修4-1 几何证明选讲 15．[2014·广东卷] (几何证明选讲选做题)如图1-1所示，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则△CDF 的周长△AEF 的周长＝________．图1-1 15．3 [解析] 本题考查相似三角形的性质定理，周长比等于相似比．∵EB ＝2AE ，∴AE ＝13AB ＝13CD .又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴△AEF ～△CDF ，∴△CDF 的周长△AEF 的周长＝CD AE ＝3. 21．[2014·江苏卷] A ．[选修4-1：几何证明选讲] 如图1-7所示，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点．证明：∠OCB ＝∠D . 图1-7 证明：因为B ，C 是圆O 上的两点，所以OB ＝OC ，所以∠OCB ＝∠B . 又因为C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点，所以∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角，所以∠B ＝∠D ，因此∠OCB ＝∠D . [2014·江苏卷] B ．[选修4-2：矩阵与变换] 已知矩阵A ＝??????－1 21 x ，B ＝???? ??1 12 －1，向量α＝??????2y ，x ，y 为实数．若＝，求x ＋y 的值．解：由已知得，＝???? ??－1 2 1 x 错误!＝错误!)， B α＝错误! ))错误!)＝错误!)．因为＝，所以??????－2＋2y 2＋xy )＝???? ??2＋y 4－y )．故?????－2＋2y ＝2＋y ，2＋xy ＝4－y ，解得?????x ＝－12，y ＝4，

2019年全国高考文科数学分类汇编---概率统计

2019年全国高考文科数学分类汇编---概率统计 1（2019北京文科）.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额支付方式不大于（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．【答案】（Ⅰ）400人；（Ⅱ）1 25 ；（Ⅲ）见解析. 【解析】【分析】 (Ⅰ)由题意利用频率近似概率可得满足题意的人数； (Ⅱ)利用古典概型计算公式可得上个月支付金额大于2000元的概率； (Ⅲ)结合概率统计相关定义给出结论即可. 【详解】（Ⅰ）由图表可知仅使用A的人数有30人，仅使用B的人数有25人，由题意知A,B两种支付方式都不使用的有5人，所以样本中两种支付方式都使用的有1003025540 ---=，

所以全校学生中两种支付方式都使用的有 40 1000400100 ?=（人）. （Ⅱ）因为样本中仅使用B 的学生共有25人，只有1人支付金额大于2000元，所以该学生上个月支付金额大于2000元的概率为 125. （Ⅲ）由（Ⅱ）知支付金额大于2000元的概率为1 25 ，因为从仅使用B 的学生中随机调查1人，发现他本月的支付金额大于2000元，依据小概率事件它在一次试验中是几乎不可能发生的，所以可以认为仅使用B 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，且比上个月多. 【点睛】本题主要考查古典概型概率公式及其应用，概率的定义与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2.（2019全国1卷文科）某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A. 8号学生 B. 200号学生 C. 616号学生 D. 815号学生【答案】C 【解析】【分析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案．【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n =+()n *∈N ，若8610n =+，则1 5 n = ，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意；若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ．【点睛】本题主要考查系统抽样. 3.（2019全国1卷文科）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

2018-2020三年高考数学分类汇编

专题一集合与常用逻辑用语第一讲集合 2018------2020年 1.（2020?北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（）． A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.（2020?全国1卷）设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.（2020?全国2卷）已知集合U ={?2，?1，0，1，2，3}，A ={?1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ?=（） A. {?2，3} B. {?2，2，3} C. {?2，?1，0，3} D. {?2，?1，0，2，3} 4.（2020?全国3卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.（2020?江苏卷）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____. 6.（2020?新全国1山东）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案

专题七不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥，在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取

高考文科数学试题分类汇编1：集合

高考文科数学试题分类汇编1：集合一、选择题 1 ．（2013年高考安徽（文））已知{}{}|10,2,1,0,1A x x B =+>=--,则()R C A B ?= （） A ．{}2,1-- B ．{}2- C ．{}1,0,1- D ．{}0,1 【答案】A 2 ．（2013年高考北京卷（文））已知集合{}1,0,1A =-,{}|11B x x =-≤<,则A B = （） A ．{}0 B ．{}1,0- C ．{}0,1 D ．{}1,0,1- 【答案】B 3 ．（2013年上海高考数学试题（文科））设常数a ∈R ,集合()(){} |10A x x x a =--≥,{}|1B x x a =≥-. 若A B =R ,则a 的取值范围为（） A ．(),2-∞ B ．(],2-∞ C ．()2,+∞ D ．[)2,+∞ 【答案】B 4 ．（2013年高考天津卷（文））已知集合A = {x ∈R| |x|≤2}, B= {x∈R | x≤1}, 则A B ?= （） A ．(,2]-∞ B ．[1,2] C ．[-2,2] D ．[-2,1] 【答案】D 5 ．（2013年高考四川卷（文））设集合{1,2,3}A =,集合{2,2}B =-,则A B = （） A ．? B ．{2} C ．{2,2}- D ．{2,1,2,3}- 【答案】B 6 ．（2013年高考山东卷（文））已知集合 B A 、均为全集}4,3,2,1{=U 的子集,且 (){4}U A B = e,{1,2}B =,则U A B = e （） A ．{3} B ．{4} C ．{3,4} D ．? 【答案】A 7 ．（2013年高考辽宁卷（文））已知集合{}{}1,2,3,4,|2,A B x x A B ==<= 则（） A ．{}0 B ．{}0,1 C ．{}0,2 D ．{}0,1,2 【答案】B 8 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知集合M={x|-3

三年高考(2017-2019)各地文科数学高考真题分类汇总：概率

概率 1.（2019全国II文4）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为 A．2 3 B． 3 5 C． 2 5 D． 1 5 2.(2019全国III文3）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 A．1 6 B． 1 4 C． 1 3 D． 1 2 3．(2018全国卷Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3 4．(2018全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7 5．（2017新课标Ⅰ）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A．1 4 B． 8 π C． 1 2 D． 4 π 6．（2017新课标Ⅱ）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 A． 1 10 B． 1 5 C． 3 10 D． 2 5 7．（2017天津）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为

A ．45 B ．35 C ．25 D ．15 8．(2018江苏)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为． 9．（2017浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4 人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法．（用数字作答） 10．（2017江苏）记函数()f x =的定义域为D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈ 的概率是． 11．（2018北京）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． (1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； (2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率； (3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论） 12．（2018天津）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动． (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ (2)设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作． (i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； (ii)设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率． 13．（2017新课标Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求

2019-2020高考数学试题分类汇编

2019---2020年真题分类汇编一、集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–11}，则A ∪B = （A ）（–1，1）（B ）（1，2）（C ）（–1，+∞）（D ）（1，+∞） 7，（天津文、理，1）设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈≤∈R ，则A B = . 10，（上海1）已知集合{1A =，2，3，4，5}，{3B =，5，6}，则A B = ．一、集合(2020) 1.（2020?北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（）． A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.（2020?全国1卷）设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则 a =（） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.（2020?全国2卷）已知集合U ={?2，?1，0，1，2，3}，A ={?1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ?=（） A. {?2，3} B. {?2，2，3} C. {?2，?1，0，3} D. {?2，?1，0，2，3} 4.（2020?全国3卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.（2020?江苏卷）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____.

文科数学高考试题分类汇编(解三角形,三角函数)

2012——2014（全国卷，新课标1卷，新课标2卷）数学高考真题分类训练（二）班级姓名一、三角函数 1、若函数()sin ([0,2])3 x f x ??π+=∈是偶函数，则=?（）（A ）2π （B ）3 2π （C ）23π （D ）35π 2、已知α为第二象限角，3sin 5 α=，则sin 2α=（）（A ）2524- （B ）2512- （C ）2512 （D ）2524 3、当函数sin 3cos (02)y x x x π=-≤<取得最大值时，x =___________. 4、已知ω>0，0<φ<π，直线x =π4和x =5π4 是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（）（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4 5、设函数f (x )=(x +1)2+sin x x 2+1 的最大值为M ，最小值为m ，则M+m =____ 6、已知a 是第二象限角，5sin ,cos 13 a a ==则（）（A ）1213- （B ）513- （C ）513 （D ）1213 7、若函数()()sin 0=y x ω?ωω=+>的部分图像如图，则（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 （B ） 8、函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（） 9、设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ= 10、已知sin2a 3 2=，则cos2(a+4π)=( ) （A ）（B ）（C ）（D ）

11、函数)()2cos(y π?π?<≤-+=，x 的图像向右平移 2π个单位后，与函数y=sin （2x+3 π）的图像重合，则?=___________. 12、若0tan >α，则（） A. 0sin >α B. 0cos >α C. 02sin >α D. 02cos >α 13、在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+ =x y ,④)42tan(π -=x y 中，最小正周期为π的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 14、函数x x x f cos sin 2)sin()(??-+=的最大值为_________. 二、解三角形 1、已知锐角ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（）（A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）5 2、已知锐角ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =， 6c =，则b =（）（A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）5 2、△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=2，B=，C=，则△ABC 的面积为（A ）2+2 （B ）（C ）2 （D ）-1 3、如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=?，C 点的仰角45CAB ∠=?以及75MAC ∠=?；从C 点测得60MCA ∠=?.已知山高100BC m =，则山高MN =________m .

2019年全国各地高考文科数学试题分类汇编2：函数

2019年全国各地高考文科数学试题分类汇编2：函数一、选择题 1 ．（2019年高考重庆卷（文））函数21 log (2) y x = -的定义域为（） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(2,3) (3,)+∞ D ．(2,4)(4,)+∞ 【答案】C 2 ．（2019年高考重庆卷（文））已知函数3 ()sin 4(,)f x ax b x a b R =++∈,2(lg(log 10))5f =,则 (lg(lg 2))f = （） A ．5- B ．1- C ．3 D ．4 【答案】C 3 ．（2019年高考大纲卷（文））函数()()()-1 21log 10=f x x f x x ? ?=+ > ??? 的反函数（） A ． ()1021x x >- B ．()1 021 x x ≠- C ．()21x x R -∈ D ．()210x x -> 【答案】A 4 ．（2019年高考辽宁卷（文））已知函数()) ()21ln 1931,.lg 2lg 2f x x x f f ?? =+++= ??? 则（） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】D 5 ．（2019年高考天津卷（文））设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则（） A ．()0()g a f b << B ．()0()f b g a << C ．0()()g a f b << D ．()()0f b g a << 【答案】A 6 ．（2019年高考陕西卷（文））设全集为R , 函数()1f x x =-M , 则C M R 为（） A ．(-∞,1) B ．(1, + ∞) C ．(,1]-∞ D ．[1,)+∞ 【答案】B 7 ．（2019年上海高考数学试题（文科））函数 ()()211f x x x =-≥的反函数为()1f x -,则()12f -的值是

高考文科数学试题解析分类汇编

2013年高考解析分类汇编16：选修部分一、选择题 1 ．（2013年高考大纲卷（文4））不等式 222x -<的解集是（） A ．()-1,1 B ．()-2,2 C ．()()-1,00,1U D ．()()-2,00,2U 【答案】D 2|2|2 <-x ，所以?????->-<-222222 x x ，所以402 <2, 则关于实数x 的不等式||||2x a x b -+->的解集是______. 【答案】R 考察绝对值不等式的基本知识。函数||||)(b x a x x f -+-=的值域为：

2020年高考文科数学分类汇编：专题九解析几何

《2018年高考文科数学分类汇编》第九篇：解析几何一、选择题 1.【2018全国一卷4】已知椭圆C ：22 214 x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为 A ．1 3 B ．12 C D 2.【2018全国二卷6】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>> A ．y = B ．y = C ．y = D ．y = 3.【2018全国二11】已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=?，则C 的离心率为 A ．1 B ．2 C D 1 4.【2018全国三卷8】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆 () 2 222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是 A ．[]26， B ．[]48， C ． D ．?? 5.【2018全国三卷10】已知双曲线22 221(00)x y C a b a b -=>>：，，则点(4,0) 到C 的渐近线的距离为 A B ．2 C ． 2 D ． 6.【2018天津卷7】已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1 d

和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为 A 22 1412 x y -= B 22 1124 x y -= C 22 139 x y -= D 22 193 x y -= 7.【2018浙江卷2】双曲线2 21 3=x y -的焦点坐标是 A ．(?2，0)，(2，0) B ．(?2，0)，(2，0) C ．(0，?2)，(0，2) D ．(0，?2)，(0，2) 8.【2018上海卷13】设P 是椭圆 25x + 23 y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（） A.2 B.2 C.2 D.4 二、填空题 1.【2018全国一卷15】直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则 AB =________． 2.【2018北京卷10】已知直线l 过点（1,0）且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________. 3.【2018北京卷12】若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为 5 2 ，则a =_________. 4.【2018天津卷12】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________． 5.【2018江苏卷8】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点

文档之家

【决胜高考】2014年高考数学文科(高考真题+模拟新题)分类汇编：H单元 解析几何

【决胜高考】2014年高考数学文科(高考真题+模拟新题)分类汇编：H单元解析几何