222
22222
24
22
22
22
22422222222484
4[0,(cos(
)2cos(
)cos(
)cos(
)2cos(
)2cos(
)--90
90
90
90
90
90
----)/cos()90
p b p p b p p p p p p arm p p arm p arm p arm p p
p p p p p p b p p b p p p b arm p p p p m L l m L J m l m l J J m l J J J J J m l m l J m l m L l m L J m l L g J J m l m π
π
π
π
π
π
π
+++++++848
2242444426224
3624236426236
236
22422444
43-2cos(
)290
22-4cos(
)-2cos(
)-4cos(
)cos(
)cos(
)90
90
90
90
90
2co p p p p b p p b p p b p arm p p
arm p p p p p p p p p b p arm p p p p p p p p p b p p l m l m L J m L l m L l J m l J m l m l J m l J m L l J m l m l J m l J m L l m π
π
π
π
π
π
++++++++++
46444
2242
24462342222222324
324222224222
s(
)-2cos(
)-2cos(
)2cos(
)222490
90
90
90
2224-2p p p b p p p p p p b p b p p p b p arm p b p p p b p p
p b p arm arm p p p arm p p p arm p p p arm p p b p l J m L l m l J m l L m L J l m L J J m L J l m L J l m L l J J J m l J J m l J J m l J J m L l π
π
π
π
+++++++++23442222
22
34222
22342
232
24
22422
22
cos()2cos(
)-2cos(
)90
90
90
-2cos(
)-2cos(
)-2cos(
)-6cos(
)-4cos(
)4,
90
90
90
90
90
()
p p p b p b p p
p b p p arm p p p arm p p b p b p p arm p p p p b g g m t m p p p m l J L m L J l m L J l J J m l J m l L m L J l J J m l m L J K K K J m l R π
π
π
π
π
π
π
π
ηη+++2
22222
224222242222
,0](--------cos()cos()cos(
))
90
90
90
m p b p p b p arm p arm p arm p p
arm p p
p p
p p p
p p p p
p p b p
m L J m L l J J J m J m l J m l m l J m l m l J m l m L l π
π
π
+++
34636
222242434236242
4424
23442342
2224342
[0,(cos()-2cos(
)2-cos(
)-2cos(
)90
90
90
90
cos(
)-cos(
)-2cos(
)90
90
90
p p p p arm p p arm p p p b p p b p p p p p p p p p p p p
p p b p p b arm p p p b p m l m l J m l J m l m L J m L l m l J m l m l J m l J m l L m l L J m l m L l π
π
π
π
π
π
π
++++++++2222
22222
22222222
22484
48
48
236
cos(
)cos(
)-2cos(
)90
90
90
-2cos(
)222)cos(
)/(cos(
)90
90
90
-2cos(
)-4cos 90
arm p b p p p b p
arm p p p arm p b p arm p p p arm p p b p p p p arm p p p p p
p p p p p J m L l m l L J J m l J J m L J J m l J J J m L J l gl m J J m l m l m l m l J π
π
π
π
π
π
π
+++++++22442
2442442222222
324324222224222
2344
(
)cos(
)cos(
)2290
90
90
42224-2cos()2cos(
)90
90
p p p p p p p b p p p b p arm p b p p
p b p p p b p arm arm p p p arm p p p arm p p p arm p p b b p p p m l J m l J m L J l m L J J m L J l m L J l m L l J J J m l J J m l J J m l J J m L l m l J L π
π
π
π
π
+++++++++++222222342
22
22342
232
24
224222
2
22-2cos(
)-2cos(
)-2cos(
)-2cos(
)-6cos(
)90
90
90
90
90
-4cos(
)4),
90
cos(
)
90
(--b
p b p p p b p p arm p p p arm p p b p b p p
arm p p p p b p arm p b g g m t m p p m p b p p b m L J l m L J l J J m l J m l L m L J l J J m l m L J J l L K K K l m R m L J m L π
π
π
π
π
π
π
ηη+2222224
22
224222
2,0]------cos(
)cos(
)cos(
))
90
90
90
p arm p arm p arm p p arm p p p p p p p p p p p p p b p l J J J m J m l J m l m l J m l m l J m l m L l π
π
π
+++
2222222224222242222222200()
(--------cos()cos()cos())909090
cos()
90(----g g m t p p p m p b p p b p arm p arm p arm p p arm p p p p p p p p p p p p p b p b g g m t p p m p b p p b p arm p arm K K J m l R m L J m L l J J J m J m l J m l m l J m l m l J m l m L l B L K K l m R m L J m L l J J J ηηππππηη++++=2222422224222
2----cos()cos()cos())909090p arm p p arm p p p p p p p p p p p p p b p m J m l J m l m l J m l m l J m l m L l πππ??
????????
??????????
??+++???
?
x Ax Bu t ?=+? (t )(t )(t )(t )T d d
X dt dt
θαθα?
?=???
?
222
22
22222
2
222
001000
1(J m l )0
0(J J J m l L J )
(J m L )
00(J J J m l L J )
p p b m t m g g p p p p arm arm p p p b
p
m p arm arm p p p b p p p arm p b p p b g g m t m
p arm arm p p p b p
m p arm arm p p p b p m l L g
K K K A J J J m l m L J R m m l g m l L K K K J J J m l m L J R m ηηηη??
??????+-??=++++??+?-
?++++?
?
????
010*******.79687.76080052.8806 4.55790A ?????
?=??-?
?-??
222
22
00(J m l )
R ()R ()g g m t p p p m p arm arm p p p b p p p b g g m t m p arm arm p p p b p K K B J J J m l m L J m l L K K J J J m l m L J ηηηη??
????
??+??=++??????
??++??
0014.44048.4808B ????
?
?=??????
1000010000100
00
1C ?????
?=??????
[]_lqr 2.545841.4693 2.1931 6.04020.44721K =---
222
222
21/21/2cos(2X )cos(X )l cos(X )l p p p b arm p p p p b p p b p p p m l m L J m l m L F m L J m l ??++--=??-+????
2
2l _l arm p b
p p b p p b p p p J m L m L F lin m L J m l ??
+-=?
?-+????
2
2224
422
3222sin(X )l cos(X )X sin(X )l cos(X )l sin(X )0p p p p b p p m m X L G m X ??
=??????
20sin(X )l p
p Hq m g ??=????
(q)q (q,q)q (q)(q,q,)F G H q L u ?+?+?= []q (t)(t)T
θα= [][]q (t)(t)(1)
(2)T T
X X θα==
222
2
211cos()cos(
)l 2245
90
11_sin()sin()l 90459090
1cos()l sin()l 909090p p
p b arm p p p p b
p p p p b p p b p p b p p p
m l m L J m l m L F lin m l m L m L m L J m l ππ
ππ
π
ππππ??
++--???
?
??=--???
???---+???
?
只是对X 【2】=2*pi/180处进行线性化
> > Xd[i+Nq]
22
32222222422224222
2cos(
)sin(
)
90
90
cos()cos()cos()909090p p b p b p p b p arm p p p p p p p p p p p p p b p
m l L Xd m L J m L l J m l m l J m l m l J m l m L l π
π
πππ-=
??-----+++ ???
222242222222422224222
2(R gsin(
)J R gsin(
)m l R gsin(
)m L R gsin(
)m cos(
)l )l 90
90
90
90
90
cos()cos()cos(
)909090m arm m p p m p b m p p p p m p b p p b p arm p p p p p p p p p p p p p b p m Xd R m L J m L l J m l m l J m l m l J m l m L l ππππππππ-++-=
??----+++ ??
?
> Xd[i+Nq] :=
convert(series(Xd[i+Nq],X[2]=2*pi/180),polynom);H:=diff(X d[i+Nq],X[2]);H:=subs(subs_XUzero,H);
> subs_avsq_list := { X[Nq+2]^2 = 0, X[Nq+3]^2 = 0 }:
> for i from 1 to Nq do
Xd[i+Nq] := subs( subs_avsq_list, Xd[i+Nq] );Xd[i+Nq] := convert(series(Xd[i+Nq],X[2]=2*pi/180),polynom);diff(Xd[i +Nq],X[2]);subs(subs_XUzero,Xd[2]);
end;Xd[3]:=diff(Xd[3],X[2]);Xd[3]:=simplify(subs(subs_XUz ero,Xd[3]));
> subs_XUzero := { X[1]=0, X[2]=2*pi/180, X[3]=0,
X[4]=0,seq( U[i] = 0, i=1..Nu ) }:
> Xd[i+Nq] := simplify(subs( subs_avsq_list,subs_XUzero,
Xd[i+Nq] ));
22
32222222422224222
2cos(
)sin(
)
90
90
cos()cos()cos()909090p p b p b p p b p arm p p p p p p p p p p p p p b p m l L Xd m L J m L l J m l m l J m l m l J m l m L l π
π
πππ-=
??-----+++ ?
?
?
22
2242222222422224222
2l gsin(
)(J m l m L m cos(
)l )
90
90
cos()cos()cos()909090p p arm p p p b p p p b p p b p arm p p p p p p p p p p p p p b p m Xd m L J m L l J m l m l J m l m l J m l m L l ππ---+=
??-----+++ ?
?
?
> Xd[3] :=
-m[p]^2*l[p]^2*L[b]*g*cos(1/18*pi)*sin(1/18*pi)/(-m[p]*L[b]^2*J[p]-m[p]^2*L[b]^2*l[p]^2-J[arm]*J[p]-J[arm]*m[p]*l[p]^2-m[p]*l[p]^2*J[p]-m[p]^2*l[p]^4+m[p]*cos(1/18*pi)^2*l [p]^2*J[p]+m[p]^2*cos(1/18*pi)^2*l[p]^4+m[p]^2*L[b]^2*l[p ]^2*cos(1/18*pi)^2); > Xd[4] :=
l[p]*m[l]*g*sin(1/18*pi)*(-J[arm]-m[p]*l[p]^2-m[p]*L[b]^2+m[p]*cos(1/18*pi)^2*l[p]^2)/(-m[p]*L[b]^2*J[p]-m[p]^2*L[b]^2*l[p]^2-J[arm]*J[p]-J[arm]*m[p]*l[p]^2-m[p]*l[p]^2*J[p]-m[p]^2*l[p]^4+m[p]*cos(1/18*pi)^2*l[p]^2*J[p]+m[p]^2*c os(1/18*pi)^2*l[p]^4+m[p]^2*L[b]^2*l[p]^2*cos(1/18*pi)^2);
Xd[4] := l[p]*m[p]*g*sin(1/18*pi)*(-J[arm]-m[p]*l[p]^2-m[p]*L[b]^2+m[p]*cos(1/18*pi)^2*l[p]^2)/(-m[p]*L[b]^2*J[p]-m[p]^2*L[b]^2*l[p]^2-J[arm]*J[p]-J[arm]*m[p]*l[p]^2-m[p]*l[p]^2*J[p]-m[p]^2*l[p]^4+m[p]*cos(1/18*pi)^2*l[p]^2*J[p]+m[p]^2*cos(1/18*pi)^2*l[p]^4+m[p]^2*L[b]^2*l[p]^2*cos(1/18*pi)^2)
非线性解：
22
22224322234
22223222332324244
3L sin(X )cos(X )
(2m R sin(X )l cos(X )2m l R sin(X )cos(X ))(K K K J K K K m l m l L R sin(X )cos(X )X )X (m l L R J sin(X )X m l L R sin(X )X )(K p p b m p m p p p p m g g m t m p g g m t m p p p p b m p p b m p p p b m g g m m l R g J X X X Xd ηηηηηη-++++++++=
222222
22242222422222K J K K m l )U
((m l )J (m cos(X )l m L m l )J m cos(X )l m cos(X )L m l m L l )
t p g g m t p p m p p p arm p p p b p p p p p p b p p p b p R J ηη+--+--++--
2222
2222222
2234233
223223232234(sin(X )R gm cos(X )l sin(X )R gm l sin()R gm L sin(X )R gJ )(2cos(X )L m sin(X )l R )(R l m L sin(X )cos(X )X R l m sin(X )cos(X )X sin(X )R X cos(X )l J sin(X )R X co m p p m p p m p b m arm b p p m m p p b m p p m p arm m X X X Xd ---++-+--=32
22322244222222
22242222422s(X )l m cos(X )L K K K )(cos(X )L m sin(X )l R X )X (L K K cos(X ))((m l )J (m cos(X )l m L m l )J m cos(X )l m cos(X )L m l m p p p p b g g m t m b p p m b g g m t m p p p arm p p p b p p p
p p p b p p p l m X U R J ηηηη?? ? ? ? ? ?+ ? ?
+ ?
?+-??--+--++--222L l )
b p
精确线性化：
()(),()
X f X g X u y h X =+=
342222224
322234222232
2233
23
24244L sin(X )cos(X )
(2m R sin(X )l cos(X )2m l R sin(X )cos(X ))(K K K J K K K m l m l L R sin(X )cos(X )X )X (m l L R J sin(X )X m l L R sin(X )X )(f(x)p p b m p m p p p p m g g m t m p g g m t m p p p p b m p p b m p p p b m m X X m l R g J X X X R ηηηη-+++++++=22222222422224222222222
22222222234
(m l )J (m cos(X )l m L m l )J m cos(X )l m cos(X )L m l m L l )(sin(X )R gm cos(X )l sin(X )R gm l sin()R gm L sin(X )R gJ )(2cos(X )L m sin(X )l R )(p p p arm p p p b p p p
p p p b p p p b p m p p m p p m p b m arm b p p m J X X X --+--++-----++-233
22322323232
23223222442R l m L sin(X )cos(X )X R l m sin(X )cos(X )X sin(X )R X cos(X )l J sin(X )R X cos(X )l m cos(X )L K K K )(cos(X )L m sin(X )l R X )X ((m l )J (m cos m p p b m p p m p arm p p m p p b g g m t m b p p m m p p p arm p l m X R J ηη?? ?
? ?+- ? ?-+ ? ?
+??--+2222222422224222
22(X )l m L m l )J m cos(X )l m cos(X )L m l m L l )p p b p p p
p p p b p p p b p ??
????
????
??????????
????
????
??????????????????
??--??
??++--??
222222
222422224222
22222222
200K K J K K m l ((m l )J (m cos(X )l m L m l )J (x)m cos(X )l m cos(X )L m l m L l )L K K cos(X )((m l )J (m cos(X )l m L m l )J m g g m t p g g m t p p
m p p p arm p p p b p p p p p p b p p p b p b g g m t p p m p p p arm p p p b p p p p R J g l m R J ηηηηηη+--+--=++-----+--+2242222422222cos(X )l m cos(X )L m l m L l )p p b p p p b p ??
????
??????????????????+--????
1()y h x x ==
1
3322
22224322234
2222322233
2()()()0
L sin(X )cos(X )
(2m R sin(X )l cos(X )2m l R sin(X )cos(X ))(K K K J K K K m l m l L R sin(X )cos(X )X )X (m l L R J sin(X h(x)f g p p b m p m p p p p m g g m t m p g g m t m p p p p b m p p b m p f y h x x y
x x L h x L h x m l R g J X X L ηηηη=====-++++++=
2324244
22222
222422224222222022222)X m l L R sin(X )X )((m l )J (m cos(X )l m L m l )J m cos(X )l m cos(X )L m l m L l )
K K J K K m l (x )((m l )J (m cos(X )l m L m l p p b m m p p p arm p p p b p p p p p p b p p p b p g g m t p g g m t p p
g f m p p p arm p p p b p X R J L L h R J ηηηη+--+--++--+=
--+--2
22422224222220
)J m cos(X )l m cos(X )L m l m L l )
p p p p p b p p p b p ≠++-- 可知其相对阶2r =，其状态反馈控制律为：
()222
22224322234
2222322233
23241
h(x)(x)
L sin(X )cos(X )
(2m R sin(X )l cos(X )2m l R sin(X )cos(X ))(K K K J K K K m l m l L R sin(X )cos(X )X )X (m l L R J sin(X )X m l L R sin f g f p p b m p m p p p p m g g m t m p g g m t m p p p p b m p p b m p p p b m u L L L h m l R g J X X νηηηη=
-+-+-++-+=
244
222222222422224222222
(X )X )K K J K K m l ((m l )J (m cos(X )l m L m l )J m cos(X )l m cos(X )L m l m L l )
K K J K K m l g g m t p g g m t p p
m p p p arm p p p b p p p p p p b p p p b p g g m t p g g m t p p
X R J ηηηην
ηηηη+--+--++-- +
+
为实现系统的精确线性化，现选择坐标变换，令
11
23
()()f h x x L h x x ξξ====
12
2
ξξξν
== 系统的内部动态为：
()22
21211121sin()cos()sin()cos()p
p p p p p b p p p
m g l m l m l L J m l η
ηξηηην=+++ 线性化之后为：
z ξη??= ???
从而得到原系统的线性模型为： z
Az B ν=+ 2
10000000
00100
0p p
p p p
A m gl J m l ????????=??????+?
? 2010
p p b p p p
B m l L J m l ??
????
??=??
????+??
拉格朗日方程为：
2
22
2
2
222222
2(t)sin((t))l cos((t))(t)m (t)sin((t))l (t)(J m L m l m l cos((t)))(t)(t)cos((t))l p p p p b g g m t m g g m t m arm p b p p p p p p b m d d d m L dt dt dt d K K K K K V d d dt m L dt dt R θαααααηηθηηαθαα??????+ ?
? ?????????
???????+++--=-+ ? ?????
m
R
2
22
2222
(t)cos((t))l sin((t))m (t)cos((t))l (J m l )(t)sin((t))l 0p p p p b p p p p p d d d m L m g dt dt dt θααθααα??????--++-= ? ? ???????
222
3223242-cos()sin()-cos()()-sin()0p p p p b p p p p p m x x l x m x x l L J m l x
m g x l ++= ()22
4232222
1sin()cos()sin()cos()p p p p p p b p p p
x
m g x l m x x l x m x l L J m l ν=+++
对于许多实际的被控系统来说,如发电机励磁和汽门系统!感应电机!带有
TCSC单机无穷大总线系统等都是典型的多变量!非线性!强藕合!不确定复杂系
统[24一30],而目前对于这些复杂的非线性大系统还没有形成有效的解决方法"传统
的处理方法都是以近似线性化模型为基础或者对其进行精确线性化处理"精确线
性化虽然是对非线性模型进行设计,但是也同样对原系统进行了线性化而且它同
时取消了那些有用的非线性特性,同时该方法要求系统模型必须精确已知,因此
对于存在不确定性参数和模型变化的不确定性,精确线性化方法表现出较大的缺
点,而BackstePping降71方法的产生,在一定程度上克服了精确线性化处理非线性
系统控制问题现存的难题"BackstePping方法一经提出就受到有关学者的高度重
视,近10年来,关于BackstePping方法在不确定系统及各种控制系统的理论与应
用研究成果很多卜6#."一0,./,20一23]"它是用于设计一大类严格参数非线性系统的自适应
基于BackStepping 的倒立摆控制器的设计： 摆子系统为：
422222222222
223423322322323224(sin(X )R gm cos(X )l sin(X )R gm l sin()R gm L sin(X )R gJ )(2cos(X )L m sin(X )l R )(R l m L sin(X )cos(X )X R l m sin(X )cos(X )X sin(X )R X cos(X )l J si m p p m p p m p b m arm b p p m m p p b m p p m p arm x X X X x x ---++-+-??=??-?? 32232232
224422222
222422224222
22n(X )R X cos(X )l m cos(X )L K K K )(cos(X )L m sin(X )l R X )X ((m l )J (m cos(X )l m L m l )J m cos(X )l m cos(X )L m l m L l )p p m p p b g g m t m b p p m m p p p arm p p p b p p p
p p p b p p p b p l m X R J ηη????? ?? ?? ?? ? ?+ ? ?+??--+--++--?222222
222422224222220L K K cos(X )((m l )J (m cos(X )l m L m l )J m cos(X )l m cos(X )L m l m L l )b g g m t m p p p arm p p p b p p p p p p b p p p b p u R J ηη?
??
????????????????????
??
??-??+??--+--??++--????
12z x = 1214,
z x z
x == 21112
V z =
2222
2222222
22342332232232322411(sin()R gm cos()l sin()R gm l sin()R gm L sin()R gJ )(2cos()L m sin()l R )(R l m L sin()cos()R l m sin()cos()sin()R cos()l J sin m p p m p p m p b m arm b p p m m p p b m p p m p arm x x x x x x x x x x x x x x x x x x z
x k z ---++-+--=+= 32
232232224422222
22242222422222()R cos()l m cos()L K K K )(cos()L m sin()l R )((m l )J (m cos()l m L m l )J m cos()l m cos()L m l m L l )
L K p p m p p b g g m t m b p p m m p p p arm p p p b p p p p p p b p p p b p b g g l m x x x x x x x x x R J x x x ηηηη?? ? ? ? ? ?+ ?
?
+??
--+--++---
214
22222
22242222422222K cos()
((m l )J (m cos()l m L m l )J m cos()l m cos()L m l m L l )
m t m p p p arm p p p b p p p p p p b p p p b p x u k x R J x x x +--+--++-- 411122x
k z z k z ++=-
2222
2222222
2234233223223232232(sin()R gm cos()l sin()R gm l sin()R gm L sin()R gJ )(2cos()L m sin()l R )(R l m L sin()cos()R l m sin()cos()sin()R cos()l J sin()R cos(m p p m p p m p b m arm b p p m m p p b m p p m p arm m x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---++-+--32
232224422222
222422224222222)l m cos()L K K K )(cos()L m sin()l R )((m l )J (m cos()l m L m l )J m cos()l m cos()L m l m L l )
L K K cos()
((p p p p b g g m t m b p p m m p p p arm p p p b p p p p p p b p p p b p b g g m t m l m x x x x x x R J x x x x R ηηηη?? ? ? ? ? ?+ ? ?+??
--+--++---
14122
22222
22242222422222m l )J (m cos()l m L m l )J m cos()l m cos()L m l m L l )
p p p arm p p p b p p p p p p b p p p b p u k x z k z J x x x ++=---+--++--
141221422412124122(x k x )()x (1)k x z k z k x x k k k k k x ++=+++=+++
22
2
2222222222222
222422224222
222(sin()R gm cos()l sin()R gm l sin()R gm L sin()R gJ )(2cos()L ((m l )J (m cos()l m L m l )J m cos()l m cos()L m l m L l )L K K cos()m p p
m p p
m p b
m arm b m p p p arm p p p b p p p p p p b p p p b p b g g m t x x x x x x R J x x x u x ηη---+--+--++--=2
234233
223223232322322322244m sin()l R )(R l m L sin()cos()R l m sin()cos()sin()R cos()l J sin()R cos()l m cos()L K K K )(cos()L m sin()l R )(p p m m p p b m p p m p arm p p m p p b g g m t m b p p m m x x x x x x x x x x x x l m x x x x x x x x x R ηη??
? ? ?+-+- ? ?-+ ? ?+??12412222222222422224222
22()x (1)(m l )J (m cos()l m L m l )J m cos()l m cos()L m l m L l )p p p arm p p p b p p p p p p b p p p b p k k k k x J x x x ?? ? ? ? ? ? ? ? ?++++ ?--+-- ?
?++-- ? ? ? ? ? ???
360度Backstepping 针对线性化方程做
112z x =
11211111
124111*********
22
124112411423222
22
(J m L )(J J J m l L J )R (p p arm p b p p b g g m t m
p p b g g m t
p arm arm p p
p b
p m p arm arm p p p b p
m p arm arm p p z
x c z z x z
z z c z m l g m l L K K K m l L K K z
x c x x c x x x J J J m l m L J R m J J J m l αααηηηη==-=-=+=-+=+=+=-
+
+++++ 114
222
231141112121241122
222
2
2)
(J m L )(x c x )
(J J J m l L J )R ()
R (p b p p p arm p b p p b g g m t m p p b g g m t
p arm arm p p
p b
p m p arm arm p p
p b p
m p arm arm p p p b p m p arm arm u c x m L J m l g m l L K K K m l L K K x x u c x z c z c J J J m l m L J R m J J J m l m L J J J J u ηηηη+++-
+
++=-=-++++++++=
()2222
11122311124)
(J m L )1c (J J J m l L J )p p p b p p p arm p b p p b g g m t m p p b g g m t p arm arm p p p b p m p arm arm p p p b p m l m L J m l g m l L K K K c x x c c x m l L K K J J J m l m L J R m ηηηη????++-+++-+ ? ? ? ?++++????
22
1111211111121222
1112111112231142222221122(J m L )(z c z )z (J J J m l L J )R ()p p arm p b p p b g g m t m p p b g g m t
p arm arm p p p b p m p arm arm p p p b p m p arm arm p p p b p V z z V z z z z m l g m l L K K K m l L K K z x x u c x J J J m l m L J R m J J J m l m L J ηηηη=
+=+?+=-+-++ ++++++? 22
2
111112112311422222
222
11111212
(J m L )()(J J J m l L J )R ()p p arm p b p p b g g m t m p p b g g m t
p arm arm p p p b p m p arm arm p p p b p m p arm arm p p p b p m l g m l L K K K m l L K K c z z z x x u c x J J J m l m L J R m J J J m l m L J c z c z ηηηη????
+=-++-++++++++=--
内部动态为：
132
222
22
333
222
222
(J m l )(J m l )
R ()(J J J m l L J )R ()(J J J m l L J )
m t m g g p p p g g m t p p p m p arm arm p p p b p p p b g g m t m
m p arm arm p p p b p m p arm arm p p p b p p p b g g m t
m p arm arm p p p b p x x K K K K K J J J m l m L J m l L K K K x x x R m J J J m l m L J m l L K K R m ηηηηηηηη=++++=-+++++++=- 2
22
233
(J m l )(J m l )(J J J m l L J )
R ()
m t m g g p p p g g m t m p p p m p arm arm p p p b p m p arm arm p p p b p K K K K K K x x R m J J J m l m L J ηηηη+++
++++=
上述方程表明电机转角速度收敛到一个常值，但是不会回到原来的初始位置。所以，我们必须改变变量11z 来改变这种情况。
21221342(J m l )p p b g g m t
g g m t p p p m l L K K z x k x x x K K ηηηη??=-+- ? ?+??
21221342222
23232222242(J m l )(J m l )((J m l )(J J J m l L J )p p b g g m t
g g m t p p p p p b g g m t p p b m t m g g p p p g g m t g g m t p p p p arm arm p p p b p m p arm arm p p p b p m l L K K z x k x x
x K K m l L K K m l L g K K K K K x x x K K J J J m l m L J R m x k ηηηηηηηηηηηη??=-+- ? ?
+??
++-++++++=- 222
22
232222224J m l )
R ()(J m L )(J J J m l L J )R ()p p p m p arm arm p p p b p p p arm p b p p b g g m t m p p b g g m t p arm arm p p p b p m p arm arm p p p b p m p arm arm p p p b p u J J J m l m L J m l g m l L K K K m l L K K x x u J J J m l m L J R m J J J m l m L J x ηηηη????+ ? ? ?++ ??? ?+ ?-+- ?++++++??
=-()222222222
222(J m L )(J m l )(J m l )1(J m l )(J J J m l L p p b g g m t p p b p p arm p b g g m t p p p p arm arm p p p b p p arm arm p p p b p p p b g g m t m t m g g p p p g g m t p p p m p arm arm p p p b m l L K K m l L g m l g x K K J J J m l m L J J J J m l m L J k m l L K K K K K K K R m ηηηηηηηηηη??+ ?- ?+++++??++-+++2
3J )(J J J m l L J )p p b g g m t m
p m p arm arm p p p b p m l L K K K x R m ηη?? ? ? ?
???+ ? ? ? ?++????
人力资源管理师三级（三版）计算题汇总 历年考点：定员，劳动成本，人工成本核算，招聘与配置，新知识：劳动定额的计算 一、劳动定额完成程度指标的计算方法 1.按产量定额计算产量定额完成程度指标=（单位时间内实际完成的合格产品产量/产量定额）×100% 2.按工时定额计算工时定额完成程度指标=（单位产品的工时定额/单位产品的 【能力要求】： 一、核定用人数量的基本方法（原） （一）按劳动效率定员根据生产任务和工人的劳动效率，以及出勤率来计算。 实际上是根据工作量和劳动定额来计算。适用于：有劳动定额的人员，特别是以手工操作为主的工种。公式中：工人劳动效率=劳动定额×定额完成率。劳动定额可以分为工时定额和产量定额两种基本形式，两者转化关系为： 所以无论采用产量定额还是工时定额，两者计算的结果都是相同的。一般来说，某工种生产产品的品种单一，变化较小而产量较大时，宜采用产量定额来计算。可采用下面的公式： 如果把废品率考虑进来，则计算公式为： 二、劳动定员 【计算题】： 某企业主要生产 A、B、C 三种产品，三种产品的单位产品工时定额和 2011年的订单如表所示。预计该企业在 2011 年的定额完成率为 110%，废品率为 2.5%，员工出勤率为95%。 请计算该企业 2011 年生产人员的定员人数 【解答】： A 产品生产任务总量=150×100=15000（工时） B 产品生产任务总量=200×200=40000（工时） C 产品生产任务总量=350×300=105000（工时） D 产品生产任务总量=400×400=160000（工时） 总生产任务量=15000+40000+105000+160000=320000（工时） 2011 年员工年度工日数=365-11-104=250（天/人年） 【解答】：
数学信号处理基本公式 1、傅里叶变换定义 连续正变换：X j ω = x t e ?j ωt dt ∞ ?∞ 连续反变换：x t =1 2π X j ω e j ωt d ω∞ ?∞ 离散正变换：21 ()(),0,1,,1N j nk N N N n X k x n W W e k N π--== ==-∑ 离散反变换：210 1()(),0,1,,1N j nk N N N n x n X k W W e n N N π---====-∑ 2、傅里叶变换性质 线性：[] )]([)]([))()((t g F t f F t g t f F βαβα+=+ 位移：)]([)]([0 0t f F e t t f F t j ω-=-； )]([)]([1010ωωωωF F e F F t j --=-. 尺度：设)]([)(t f f F =ω， )(||1)]([a F a at f F ω= . 微分：)]([)]('[t f F j t f F ω=，要求0)(lim =∞ →t f t )]([)()]([)(t f F j t f F n n ω=，要求()lim ()0(1,2,1)k t f t k n →+∞ ==- 积分：)]([1 ])([ t f F j dt t f F t ω= ? ∞ -，要求lim ()0t t f t dt -∞→+∞=? 帕塞瓦尔等式： () 2 2 1 ()()2f t dt F d ωωπ +∞ +∞ -∞-∞ = ?? ，)]([)(t f f F =ω 频率位移：若()ωj e X n x ?)(,则()() 00)(ωωω-?j n j e X n x e 时间共轭：若() ωj e X n x ?)(,则() ,)(**ωj e X n x -? 频率共轭：若()ω j e X n x ?)(,则()ω j e X n x * * )(?- 序列卷积：若)()()(n y n x n w *=,则)()()(z Y z X z W = 序列乘积：若)()()(n y n x n w =,则++---<
解析几何中的基本公 式 1、两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-= 2、平行线间距离：若0C By Ax :l , 0C By Ax :l 2211=++=++ 则：2 2 21B A C C d +-= 注意点：x ，y 对应项系数应相等。 3、点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++οο 则P 到l 的距离为：2 2 B A C By Ax d +++= οο 4、直线与圆锥曲线相交的弦长公式：???=+=0 )y ,x (F b kx y 消y ：02=++c bx ax ，务必注意.0>? 若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x 则：2122))(1(x x k AB -+= 5、若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比为λ， 则??? ????λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，特别地：λ=1时，P 为AB 中点且??????? +=+=2221 21y y y x x x
变形后：y y y y x x x x --=λ--= λ21 21或 6、若直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为),0(,π∈αα 适用范围：k 1，k 2都存在且k 1k 2≠－1 ， 2 11 21tan k k k k +-= α 若l 1与l 2的夹角为θ，则= θtan 2 1211k k k k +-，]2,0(π ∈θ 注意：（1）l 1到l 2的角，指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角，范围),0(π l 1到l 2的夹角：指 l 1、l 2相交所成的锐角或直角。 （2）l 1⊥l 2时，夹角、到角= 2 π 。 （3）当l 1与l 2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。 7、（1）倾斜角α，),0(π∈α； （2）]0[,π∈θθ→ →，，夹角b a ； （3）直线l 与平面]2 0[π ∈ββα，，的夹角； （4）l 1与l 2的夹角为θ，∈θ]2 0[π ，，其中l 1//l 2时夹角θ=0； （5）二面角,θ],0(π∈α； （6）l 1到l 2的角)0(π∈θθ，， 8、直线的倾斜角α与斜率k 的关系
百分数应用题中各种百分率的意义与计算方法（公式） 所求的百分率名称意义公式（计算方法）出勤率出勤人数占应出勤人数（总人数）的百分之几出勤率＝出勤人数/应出勤人数×100％ 缺勤率缺勤人数占应出勤人数（总人数）的百分之几缺勤率＝缺勤人数/应出勤人数×100％ 达标率达标人数占总人数的百分之几达标率＝达标人数/总人数×100％ 未达标率未达标人数占总人数的百分之几未达标率＝未达标人数/总人数×100％ 发芽率发芽种子数占种子的总量（实验种子数）的百分之几发芽率＝发芽的种子数/种子的总数×100％ 出粉率面粉的质量占小麦的质量的百分之几出粉率＝面粉的质量/小麦的质量×100％ 出米率出米的质量占稻谷的质量的百分之几出米率＝出米的质量/稻谷的质量×100％ 出油率油的质量占油料作物（黄豆、芝麻、花生仁等）质量的百分之几出油率＝油的质量/油料作物的质量×100％ 入学率实际入学人数占应入学人数的百分之几入学率＝实际入学人数/应入学人数×100％ 优秀率优秀的人数占参加考试的人数的百分之几优秀率＝优秀的人数/参加考试的人数×100％及格率考试及格的人数占参加考试的人数的百分之几及格率＝考试及格的人数/参加考试的总人数×100％不及格率考试不及格的人数占参加考试的人数的百分之几不及格率＝不及格的人数/参加考试的总人数×100％正确率正确的题目数量占题目总量的百分之几正确率＝正确的题目数量/题目总量×100％ 错误率错误的题目数量占题目总量的百分之几错误率＝错误的题目数量/题目总量×100％ 成活率成活的树木的数量（动植物）占树木总量（动植物）的百分之几成活率＝成活树木的量/树木总量×100％ 命中率投中的球数点占投球的总数的百分之几命中率＝投中的球数点/投球的总数×100％ 射中率射中的次数占射击的总次数的百分之几射中率＝射中的次数/射击的总次数×100％ 含盐（糖）率盐（糖）的质量占盐水（糖水）的百分之几含盐（糖）率＝盐（糖）的质量/盐水（糖水）×100％合格率合格的产品数量占全部产品量的百分之几合格率＝合格的产品数量/全部产品的数量×100％不合格率不合格的产品数量占全部产品量的百分之几不合格率＝不合格的产品数量/全部产品的数量×100％鸡蛋孵化率孵化成小鸡的数量占鸡蛋总数的百分之几鸡蛋孵化率＝孵化成小鸡的数量/鸡蛋总数×100％ 参与率参加的人数占全部人数的百分之几参与率＝参加的人数/总人数×100％ ××率＝要求量（就是××所代表的信息）/单位“1”的量（总量）×100％ 【注意：关于××必须理解其所代表的内容是人数、质量、物品的数量、次数等。】
水处理常用计算公式汇总 水处理公式是我们在工作中经常要使用到的东西，在这里我总结了几个常常用到的计算公式，按顺序分别为格栅、污泥池、风机、MBR、AAO进出水系统以及芬顿的计算，大家可有目的性的观看。 格栅的设计计算 一、格栅设计一般规定 1、栅隙 (1)水泵前格栅栅条间隙应根据水泵要求确定。 (2)废水处理系统前格栅栅条间隙，应符合下列要求：最大间隙40mm，其中人工清除 25~40mm，机械清除16~25mm。废水处理厂亦可设置粗、细两道格栅，粗格栅栅条间隙 50~100mm。 (3)大型废水处理厂可设置粗、中、细三道格栅。 (4)如泵前格栅间隙不大于25mm，废水处理系统前可不再设置格栅。 2、栅渣 (1)栅渣量与多种因素有关，在无当地运行资料时，可以采用以下资料。 格栅间隙16~25mm；0.10~0.05m3/103m3(栅渣/废水）。 格栅间隙30~50mm；0.03~0.01m3/103m3(栅渣/废水）。 (2)栅渣的含水率一般为80%，容重约为960kg/m3。 (3)在大型废水处理厂或泵站前的大型格栅（每日栅渣量大于0.2m3)，一般应采用机械清渣。3、其他参数 (1)过栅流速一般采用0.6~1.0m/s。 (2)格栅前渠道内水流速度一般采用0.4~0.9m/s。 (3)格栅倾角一般采用45°~75°，小角度较省力，但占地面积大。 (4)机械格栅的动力装置一般宜设在室内，或采取其他保护设备的措施。 (5)设置格栅装置的构筑物，必须考虑设有良好的通风设施。 (6)大中型格栅间内应安装吊运设备，以进行设备的检修和栅渣的日常清除。 二、格栅的设计计算 1、平面格栅设计计算 (1)栅槽宽度B 式中，S 为栅条宽度，m；n 为栅条间隙数，个； b 为栅条间隙，m；为最大设计流量， m3/s；a 为格栅倾角，（°);h为栅前水深，m，不能高于来水管（渠）水深；v 为过栅流速， m/s。 (2)过栅水头损失如
解应用题必备的公式 【求分率、百分率问题的公式】 比较数÷标准数=比较数的对应分（百分）率； 增长数÷标准数=增长率； 减少数÷标准数=减少率。 或者是 两数差÷较小数=多几（百）分之几（增）； 两数差÷较大数=少几（百）分之几（减）。 【增减分（百分）率互求公式】 增长率÷（1+增长率）=减少率； 减少率÷（1-减少率）=增长率。 比甲丘面积少几分之几？” 解这是根据增长率求减少率的应用题。按公式，可解答为百分之几？” 解这是由减少率求增长率的应用题，依据公式，可解答为【求比较数应用题公式】 标准数×分（百分）率=与分率对应的比较数； 标准数×增长率=增长数； 标准数×减少率=减少数； 标准数×（两分率之和）=两个数之和； 标准数×（两分率之差）=两个数之差。 【求标准数应用题公式】 比较数÷与比较数对应的分（百分）率=标准数； 增长数÷增长率=标准数； 减少数÷减少率=标准数； 两数和÷两率和=标准数； 两数差÷两率差=标准数； 【方阵问题公式】
（1）实心方阵：（外层每边人数）2=总人数。 （2）空心方阵： （最外层每边人数）2-（最外层每边人数-2×层数）2=中空方阵的人数。 或者是 （最外层每边人数-层数）×层数×4=中空方阵的人数。 总人数÷4÷层数+层数=外层每边人数。 例如，有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？ 解一先看作实心方阵，则总人数有 10×10=100（人） 再算空心部分的方阵人数。从外往里，每进一层，每边人数少2，则进到第四层，每边人数是 10-2×3=4（人） 所以，空心部分方阵人数有 4×4=16（人） 故这个空心方阵的人数是 100-16=84（人） 解二直接运用公式。根据空心方阵总人数公式得 （10-3）×3×4=84（人） 【利率问题公式】利率问题的类型较多，现就常见的单利、复利问题，介绍其计算公式如下。 （1）单利问题： 本金×利率×时期=利息； 本金×（1+利率×时期）=本利和； 本利和÷（1+利率×时期）=本金。 年利率÷12=月利率； 月利率×12=年利率。 （2）复利问题： 本金×（1+利率）存期期数=本利和。 例如，“某人存款2400元，存期3年，月利率为10．2‰（即月利1分零2
内插法计算公式 1、X1、Y1为《建设工程监理与相关服务收费标准》附表二中计费额的区段值；Y1、Y2为对应于X1、X2的收费基价；X为某区段间的插入值道；Y为对应于X由插入法计算而得的收费基价。 2、计费额小于500万元的，以计费额乘以3.3%的收费专率计算收费基价； 3、计费额大于1,000,000万元的，以计费额乘以1.039%的收费率计算收费基价。 【例】若计算得计费额为600万元，计算其收费基价属。 根据《建设工程监理与相关服务收费标准》附表二：施工监理服务收费基价表，计费额处于区段值500万元（收费基价为16.5万元）与1000万元（收费基价为30.1万元）之间，则对应于600万元计费额的收费基价： 内插法（Interpolation Method） 什么是内插法 在通过找到满足租赁交易各个期间所支付的最低租金支付额及租赁期满时租赁资产估计残值的折现值等于租赁资产的公平价值的折现率，即租赁利率的方法中，内插法是在逐步法的基础上，找到两个接近准确答案的利率值，利用函数的连续性原理，通过假设关于租赁利率的租赁交易各个期间所支付的最低租金支付额及租赁期满时租赁资产估计残值的折现值与租赁资产的公平价值之差的函数为线性函数，求得在函数值为零时的折现率，就是租赁利率。 内插法原理 数学内插法即“直线插入法”。其原理是，若A(i1,b1),B(i2,b2)为两点，则点P（i,b)在上述两点确定的直线上。而工程上常用的为i在i1,i2之间，从而P在点A、B之间，故称“直线内插法”。 数学内插法说明点P反映的变量遵循直线AB反映的线性关系。 上述公式易得。A、B、P三点共线，则 (b-b1)/(i-i1)＝（b2-b1)/(i2-i1)=直线斜率，变换即得所求。 内插法的具体方法 求得满足以下函数的两个点，假设函数为线性函数，通过简单的比例式求出租赁利率。 以每期租金先付为例，函数如下：
解方程的公式： 1. 加法方程，求加数加数＝和－另一个加数 如：x＋3.7＝9.2 1.8＋x＝11.6 解：x＝9.2－3.7 解：x＝11.6－1.8 x＝x＝ 2. 减法方程，求减数减数＝被减数－差求被减数被减数＝差＋减数 如：15.6－x＝10 如：x－3.6＝1.8 解：x＝15.6－10 解：x＝1.8＋3.6 x＝x＝ 3. 乘法方程求因数因数＝积÷另一个因数 如： 3.5x＝7 解：x＝7÷3.5 x＝ 4. 除法方程，求被除数被除数＝商×除数求除数除数＝被除数÷商 如：x÷6.3＝5 如：21.7÷x＝7 解：x＝5×6.3 解：x＝21.7÷7 x＝x＝ 用方程解决应用题 1、审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系． 2.、设：设未知数(可分直接设法，间接设法) 3、列：根据题意列方程． 4、解：解出所列方程．5、检：检验所求的解是否符合题意． 6、答：写出答案(有单位要注明答案) 解方程的公式： 1. 加法方程，求加数加数＝和－另一个加数 如：x＋3.7＝9.2 1.8＋x＝11.6 解：x＝9.2－3.7 解：x＝11.6－1.8 x＝x＝ 2. 减法方程，求减数减数＝被减数－差求被减数被减数＝差＋减数 如：15.6－x＝10 如：x－3.6＝1.8 解：x＝15.6－10 解：x＝1.8＋3.6 x＝x＝ 3. 乘法方程求因数因数＝积÷另一个因数 如： 3.5x＝7 解：x＝7÷3.5 x＝ 4. 除法方程，求被除数被除数＝商×除数求除数除数＝被除数÷商 如：x÷6.3＝5 如：21.7÷x＝7 解：x＝5×6.3 解：x＝21.7÷7 x＝x＝ 用方程解决应用题 1、审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系． 2.、设：设未知数(可分直接设法，间接设法) 3、列：根据题意列方程． 4、解：解出所列方程．5、检：检验所求的解是否符合题意． 6、答：写出答案(有单位要注明答案)
计算方法公式总结 绪论 绝对误差 e x x *=-，x *为准确值，x 为近似值。 绝对误差限 ||||e x x ε*=-≤，ε为正数，称为绝对误差限 相对误差* r x x e e x x * *-== 通常用r x x e e x x *-==表示相对误差 相对误差限||r r e ε≤或||r r e ε≤ 有效数字 一元函数y=f （x ） 绝对误差 '()()()e y f x e x = 相对误差 ''()()()()()()() r r e y f x e x xf x e y e x y y f x =≈= 二元函数y=f （x 1,x 2）
绝对误差 1212 12 12 (,)(,) () f x x f x x e y dx dx x x ?? =+ ?? 相对误差 121122 12 12 (,)(,) ()()() r r r f x x x f x x x e y e x e x x y x y ?? =+ ?? 机器数系 注：1. β≥2，且通常取2、4、6、8 2. n为计算机字长 3. 指数p称为阶码（指数），有固定上下限L、U
4. 尾数部 120.n s a a a =±，定位部p β 5. 机器数个数 1 12(1)(1)n U L ββ-+--+ 机器数误差限 舍入绝对 1|()|2 n p x fl x ββ--≤ 截断绝对|()|n p x fl x ββ--≤ 舍入相对1|()|1||2 n x fl x x β--≤ 截断相对1|()|||n x fl x x β--≤ 九韶算法 方程求根 ()()()m f x x x g x *=-，()0g x ≠，*x 为f （x ）=0的m 重根。 二分法
污水处理基本计算公式 水处理公式是我们在工作中经常要使用到的东西，在这里我总结了几个常常用到的计算公式，按顺序分别为格栅、污泥池、风机、MBR、AAO进出水系统以及芬顿、碳源、除磷、反渗透、水泵和隔油池计算公式，由于篇幅较长，大家可选择有目的性的观看。 格栅的设计计算 一、格栅设计一般规定 1、栅隙 (1)水泵前格栅栅条间隙应根据水泵要求确定。 (2) 废水处理系统前格栅栅条间隙，应符合下列要求：最大间隙40mm，其中人工清除25~40mm，机械清除16~25mm。废水处理厂亦可设置粗、细两道格栅，粗格栅栅条间隙50~100mm。 (3) 大型废水处理厂可设置粗、中、细三道格栅。 (4) 如泵前格栅间隙不大于25mm，废水处理系统前可不再设置格栅。 2、栅渣 (1) 栅渣量与多种因素有关，在无当地运行资料时，可以采用以下资料。 格栅间隙16~25mm；0.10~0.05m3/103m3 (栅渣/废水）。 格栅间隙30~50mm；0.03~0.01m3/103m3 (栅渣/废水）。
(2) 栅渣的含水率一般为80%，容重约为960kg/m3。 (3) 在大型废水处理厂或泵站前的大型格栅（每日栅渣量大于0.2m3)，一般应采用机械清渣。 3、其他参数 (1) 过栅流速一般采用0.6~1.0m/s。 (2) 格栅前渠道水流速度一般采用0.4~0.9m/s。 (3) 格栅倾角一般采用45°~75°，小角度较省力，但占地面积大。 (4) 机械格栅的动力装置一般宜设在室，或采取其他保护设备的措施。 (5) 设置格栅装置的构筑物，必须考虑设有良好的通风设施。 (6) 大中型格栅间应安装吊运设备，以进行设备的检修和栅渣的日常清除。 二、格栅的设计计算 1、平面格栅设计计算 (1) 栅槽宽度B
关于一元一次方程所涉及的各种问题的公式 一元一次方程应用题 1．列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题：弄清题意．（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，?然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，?是否符合实际，检验后写出答案． 2.和差倍分问题 增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量 3.等积变形问题 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变． ①圆柱体的体积公式V=底面积×高＝S?h＝r2h ②长方体的体积V＝长×宽×高＝abc 4．数字问题 一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c． 十位数可表示为10b+a，百位数可表示为100c+10b+a． 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程． 5．市场经济问题 （1）商品利润＝商品售价－商品成本价（2）商品利润率＝×100% （3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量 （4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量 （5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售． 6．行程问题：路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间 （1）相遇问题：快行距＋慢行距＝原距 （2）追及问题：快行距－慢行距＝原距 （3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系． 7．工程问题：工作量＝工作效率×工作时间 完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1 8．储蓄问题 利润＝本金×利润率利息＝本金×利率×期数
前面我们在《菜鸟进阶：Excel公式应用初步》中介绍了Excel公式应用的基础知识，以及几个简单实用的实例剖析：《销售情况统计》、《家庭收支管理》和《业绩奖金计算》等，并介绍了Excel日期与时间计算的常见实例，今天我们介绍Excel公式处理文本的实例剖析。文章末尾提供原文件供大家下载参考。 阅读导航： 一、判断单元格数据类型是否为文本 有时，我们需要判断单元格中是否包含文本，这时可以借助ISTEXT函数。 二、确定文本字符串的长度 当需要确定文本字符串的长度时，利用LEN函数可以很容易得出答案。 三、从文本字符串中提取字符 有时我们可能需要从文本字符串中提取字符，比如从姓名字符串中提取出姓，从包含国家和城市的字符串中提取出城市名等等。在这种情况下，可以供我们使用的常用函数有三个：LEFT、RIGHT和MID。 下面我们用三个实例进一步的体会它们的使用方法： 1. 使用LEFT函数提取姓名字符串中的姓字符 2. 使用RIGHT函数提取城市名称 3. 使用MID函数提取区域字符参阅专题： Excel常用函数 及实例剖析 四、将数值转换为文本并以指定格式显示 在某些任务中，我们需要将数值转换为文本，并以指定的格式显示，比如在将金额小写转换为大写格式的过程中，就有这种需求。这时在公式中利用TEXT函数可以很好地解决问题。 五、在文本中进行替换 某些情况下，我们需要将文本字符串中的一部分替换为其他文本，可以在公式中使用这两个函数：SUBSTITUTE和REPLACE。 一、判断单元格数据类型是否为文本 有时，我们需要判断单元格中是否包含文本，这时可以借助ISTEXT函数（具体函数功能以及用法请参阅《Excel常用函数及实例剖析》），如图1所示，在B2单元格中输入公式“=ISTEXT(A2)”。如果单元格中包含文本，则返回值为TRUE，反之，返回值为FALSE。
公式法解一元二次方程 一、教学目标 （1）知识目标 1.理解求根公式的推导过程和判别公式； 2.使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程. （2）能力目标 1.通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思 想． 2．结合的使用求根公式解一元二次方程的练习，培养学生运用公式解决问题的能力，全面培养学生解方程的能力，使学生解方程的能力得到切实的提高。 (3)德育目标 让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感． 二、教学的重、难点及教学设计 （1）教学的重点 1.掌握公式法解一元二次方程的一般步骤. 2.熟练地用求根公式解一元二次方程。 （2）教学的难点： 理解求根公式的推导过程及判别公式的应用。 （3）教学设计要点 1.情境设计 上课开始，通过提问让学生回忆一元二次方程的概念及配方法解一元二次方程的一般步骤。利用昨天所学“配方法”解一元二次方程，达到“温故而知新”的目的和总结配方法的一般步骤，为下一步解一般形式的一元二次方程做准备。 然后让学生思考对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 能否用配方法求出它的解？引出本节课的内容。 2.教学内容的处理 （1）回顾配方法的解题步骤，用配方法来解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)。 （2）总结用公式法解一元二次方程的解题步骤，并补充理解判别公式的分类与应用。 （3）在小黑板上补充课后思考题：李强和萧晨刚学了用公式法解一元二次方程,看到一个关于x 的一元二次方程x2+(2m-1)x+(m-1)=0, 李强说:“此方程有两个不相等的实数根”,而萧晨反驳说:“不一定，根的情况跟m的值有关”.那你们认为呢?并说明理由. 3.教学方法 在教学中由特殊的解法（配方法）引导探究一般形式一元二次方程的解的形
E7.2 E7.3 E7.4
-------------------------------------------- (1) (2) ahe ahe -------------------------------------------- age 0.605*** 0.585*** (15.02) (16.02) female -3.664*** (-17.65) bachelor 8.083*** (38.00) _cons 1.082 -0.636 (0.93) (-0.59) （表2）Robust ci in parentheses *** p<0.01, ** p<0.05, * p<0.1 -------------------------------------------- N 7711 7711 -------------------------------------------- t statistics in parentheses * p<0.10, ** p<0.05, *** p<0.01 (表1) （1） 建立ahe 对age 的回归。截距估计值是1.082，斜率估计值是0.605。 （2） ①建立ahe 对age ，female 和bachelor 的回归。Age 对收入的效应的估计值是0.585。 ② age 回归系数的95%置信区间： (0.514，0.657) （3） 设H 0:βa,（2）-βa,（1）=0 H1:βa,（2）-βa （1）≠0 由表3，得SE ，SE(βa,（2）-βa,（1）)=√（0.0403）2+(0.0365)2=0.054 t=（0.605-0.585）/0.054=0.37<1.96 所以不拒绝原假设，即在5%显著水平下age 对ahe 的效应估计没有显著差异，所以（1）中的回归没有遭遇遗漏变量偏差。 （4） B ob’s predicted ahe=0.585×26-3.664×0+8.083×0-0.636=＄14.574 Alexis ’s predicted ahe=0.585×30-3.664×1+8.083×1-0.636=＄21.333 VARIABLES ahe age 0.585*** (0.514 - 0.657) female -3.664*** (-4.071 - -3.257) bachelor 8.083*** (7.666 - 8.500) Constant -0.636 (-2.759 - 1.487) Observations 7,711 R-squared 0.200
“用求根公式法解一元二次方程”教学设计 【摘要】 数学是一种逻辑性较强的科目，有较强的规律可探索，而探索与猜想不仅要体现数学知识的应用，而且要注重在观察实践中抽象出规律。在计算量较大时，规律的探索显得尤为重要，本节课是一元二次方程求根公式的推导和应用，教师通过引导学生自主探究推导出公式，按照：质疑—猜想—类比—探索—归纳—应用的教学流程，让学生进一步体会公式法由配方法产生，且优于配方法，从而达到知识正迁移的目的。【关键词】 猜想探索配方交流矫正归纳拓展应用 【正文】 一、使用教材 新人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》九年级上册 二、素质教育目标 （一）知识教学点 1、一元二次方程求根公式的推导 2、利用公式法解一元二次方程 （二）能力训练点 通过配方法解一元二次方程的过程，进一步加强推理技能训练，同时发展学生的逻辑思维能力。 （三）德育渗透点 向学生渗透由特殊到一般的唯物辩证法思想。 三、教学重点、难点、关键点 1、教学重点：一元二次方程的求根公式的推导过程
2、教学难点：灵活地运用公式法解一元二次方程 3、教学关键点： （1）掌握配方法的基本步骤 （2）确定求根公式中 a 、 b 、 c 的值 四、 学法引导 1、教学方法：指导探究发现法 2、学生学法：质疑探究发现法 五、教法设计 质疑—猜想—类比—探索—归纳—应用 六、 教学流程 （一） 创设情境，导入新课： 前面我们己学习了用配方法解一元二次方程，想不想再探索一种比配方法更简单，更直接的方法？ 大家一定想，那么这节课我们一同来研究。 < 设计意图 > 数学是一种逻辑性较强的科目，并且有时计算量较大，如果能简化计算，那是我们所期望的，逐步激发学生的学习欲望。 教师；下面我们先用配方法解下列一元二次方程 学生；（每组一题，每组派一名同学板演） 1．2x 2-4x-1=0 2. x 2+1.5=-3x 3．02 122=+-x x 4. 4x 2-3x+2=0 完成后小组内进行交流，并进行反馈矫正。 学生:总结用配方法解一元二次方程的步骤 教师板书：（1）移项； （2）化二次项系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；
工程量计算方法 一、基础挖土 1、挖沟槽：V＝（垫层边长＋工作面）×挖土深度×沟槽长度＋放坡增量 （1）挖土深度： ①室外设计地坪标高与自然地坪标高在±0.3m以内，挖土深度从基础垫层下表面算至室外设计地坪标高； ②室外设计地坪标高与自然地坪标高在±0.3m以外，挖土深度从基础垫层下表面算至自然设计地坪标高。（2）沟槽长度：外墙按中心线长度、内墙按净长线计算 （3）放坡增量：沟槽长度×挖土深度×系数（附表二 P7） 2、挖土方、基坑：V＝（垫层边长＋工作面）×（垫层边长＋工作面）×挖土深度＋放坡增量 （1）放坡增量：（垫层尺寸＋工作面）×边数×挖土深度×系数（附表二 P7） 二、基础 1、各类混凝土基础的区分 （1）满堂基础：分为板式满堂基础和带式满堂基础，（图10-25 a、c、d）。
（2）带形基础 （3）独立基础
1、独立基础和条形基础 （1）独立基础：V＝a’× b’×厚度＋棱台体积 （2）条形基础：V＝断面面积×沟槽长度 （1）砖基础断面计算 砖基础多为大放脚形式，大放脚有等高与不等高两种。等高大放脚是以墙厚为基础，每挑宽1/4砖，挑出砖厚为2皮砖。不等高大放脚，每挑宽1/4砖，挑出砖厚为1皮与2皮相间（见图10-18）。
基础断面计算如下：（见图10-19） 砖基断面面积＝标准厚墙基面积＋大放脚增加面积或 砖基断面面积＝标准墙厚×（砖基础深＋大放脚折加高度） 混凝土工程量计算规则 一、现浇混凝土工程量计算规则 混凝土工程量除另有规定者外，均按图示尺寸实体体积以m3计算。不扣除构件内钢筋、预埋铁件及墙、板中㎡内的孔洞所占体积。
1. AB →，A 为AB →的起点，B 为AB →的终点。线段AB 的长度称作AB →的长度，记作|AB → |.数轴上同向且相等的向量叫做相等的向量．．．．．。零向量的方向任意。．．．．．．．．．．在数轴上任意三点A 、B 、C ，向量AB →、 BC →、AC →的坐标都具有关系：AC ＝AB ＋BC . .． AC →＝AB →＋ 2.设 AB → 是数轴上的任一个向量，则AB ＝OB －OA ＝x 2－x 1，d (A ，B )＝|AB |＝|x 2－x 1|. 4.． A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则两点A 、B 的距离公式d (A ，B )＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 若B 点为原点，则d (A ，B )＝d (O ，A )＝x 21＋y 2 1； 5. A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点M(x 1＋x 22，y 1＋y 22). A (x ，y )关于M (a ，b )的对称点B (2x 0－x ，2y 0－y )． 6. 直线倾斜角：:x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定，与x 轴 平行或重合的直线的倾斜角为0°. 7.直线的位置与斜率、倾斜角的关系 ①k ＝0时，倾斜角为0°，直线平行于x 轴或与x 轴重合． ②k >0时，直线的倾斜角为锐角，k 值增大，直线的倾斜角也增大，此时直线过第一、三象限． ③k <0时，直线的倾斜角为钝角，k 值增大，直线的倾斜角也增大，此时直线过第二、四象限． ④垂直于x 轴的直线的斜率不存在，它的倾斜角为90°. 8. 若直线l 上任意两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)且x 1≠x 2，则直线l 的斜率k ＝y 2－y 1 x 2－x 1 . 9.直线方程的五种形式 （1）点斜式:经过点P 0(x 0，y 0)的直线有无数条，可分为两类：斜率存在时，直线方程为 y －y 0＝k (x －x 0)；斜率不存在时，直线方程为x ＝x 0. (2)斜截式：已知点（0，b ）,斜率为k 的直线y ＝kx ＋b 中，截距b 可为正数、零、负数． （3）两点式： y －y 1y 2－y 1＝x －x 1 x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2 ) (4) 截距式:当直线过(a,0)和(0，b )(a ≠0，b ≠0)时，直线方程可以写为x a ＋y b ＝1，当直线斜率 不 存在(a ＝0)或斜率为0(b ＝0)时或直线过原点时，不能用截距式方程表示直线. (5)一般式:Ax ＋By ＋C ＝0的形式．(220A B +≠) 10. (1)已知两条直线的方程为l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.那么
常用计算公式 1、投资率，又称资本形成率，通常指一定时期内资本形成总额（总投资）占国内生产总值的比重，一般按现行价格计算。目前，国际上通行的计算方法为： 2、消费率，又称最终消费率，通常指一定时期内最终消费（总消费）占国内生产总值的比率，一般按现行价格计算。用公式可表示为： 其中，最终消费包括居民消费和政府消费。 社会上也有人用社会消费品零售总额代替最终消费，用生产法GDP 代替支出法GDP计算消费率，但这种方法大大低估了消费率。原因是，社会消费品零售总额与最终消费存在较大差异，它仅与最终消费中的商品性货物消费相对应，服务性消费以及实物性消费、自产自用消费和其他虚拟消费都不包括在内，不能全面反映生产活动最终成果中用于最终消费的总量。 反映三大需求对经济增长拉动的指标 3、投资拉动率，又称投资对GDP增长的拉动率，通常指在经济增长率中投资需求拉动所占的份额，也称投资对GDP增长的贡献率。计算方法为： 同时，还可以计算投资拉动GDP增长的百分点。计算方法为： 投资拉动GDP增长（百分点）＝投资拉动率×GDP增长率 其中的GDP增长率一般为不变价生产法GDP增长率（下同）。 4、消费拉动率，又称消费对GDP增长的拉动率，通常指在经济增长率中消费需求拉动所占的份额，也称消费对GDP增长的贡献率。计算方法为：
同时，还可以计算消费拉动GDP增长的百分点。计算方法为： 消费拉动GDP增长（百分点）＝消费拉动率×GDP增长率 5、“贡献率”它是怎样计算的 在统计分析中经常使用“贡献率”，那么“贡献率”是什么含义它是怎样计算的 （产业贡献率：指各产业增加值增量与GDP增量之比 产业拉动率：指GDP增长速度与各产业贡献率之乘积。） 贡献率是分析经济效益的一个指标。它是指有效或有用成果数量与资源消耗及占用量之比，即产出量与投入量之比，或所得量与所费量之比。计算公式： 贡献率（%）=贡献量（产出量，所得量）/投入量（消耗量，占用量）×100% 贡献率也用于分析经济增长中各因素作用大小的程度。 计算方法是： 贡献率（%）=某因素贡献量（增量或增长程度）/总贡献量（总增量或增长程度）×100% 上式实际上是指某因素的增长量（程度）占总增长量（程度）的比重。 举例说明如下： 总资产贡献率（%）=（利润总额+税金总额+利息支出）/平均资产总额×100% （1）总资产贡献率：反映企业资金占用的经济效益，说明企业运用全部资产的收益能力。 （2）社会贡献率：是衡量企业运用全部资产为社会创造或支付价值的能力。 社会贡献率（%）= 社会贡献总额/平均资产总额×100% 社会贡献总额包括工资、劳保退休统筹及其他社会福利支出、利息支出净额、应交增值税、产品销售税金及附加、应交所得税及其他税、净利润等。为了反映企业对国家所作贡献的程度，可按上述原则计算贡献率。
工作中最常用的excel函数公式大全 一、数字处理 1、取绝对值 =ABS(数字) 2、取整 =INT(数字) 3、四舍五入 =ROUND(数字,小数位数) 二、判断公式 1、把公式产生的错误值显示为空 公式：C2 =IFERROR(A2/B2,"") 说明：如果是错误值则显示为空，否则正常显示。
2、IF多条件判断返回值 公式：C2 =IF(AND(A2<500,B2="未到期"),"补款","") 说明：两个条件同时成立用AND,任一个成立用OR函数。 三、统计公式 1、统计两个表格重复的内容 公式:B2 =COUNTIF(Sheet15!A:A,A2) 说明：如果返回值大于0说明在另一个表中存在，0则不存在。
2、统计不重复的总人数 公式：C2 =SUMPRODUCT(1/COUNTIF(A2:A8,A2:A8)) 说明:用COUNTIF统计出每人的出现次数，用1除的方式把出现次数变成分母，然后相加。 四、求和公式
1、隔列求和 公式：H3 =SUMIF($A$2:$G$2,H$2,A3:G3) 或 =SUMPRODUCT((MOD(COLUMN(B3:G3),2)=0)*B3:G3)说明：如果标题行没有规则用第2个公式 2、单条件求和 公式：F2 =SUMIF(A:A,E2,C:C) 说明：SUMIF函数的基本用法
3、单条件模糊求和 公式：详见下图 说明：如果需要进行模糊求和，就需要掌握通配符的使用，其中星号是表示任意多个字符，如"*A*"就表示a前和后有任意多个字符，即包含A。
4、多条件模糊求和 公式：C11 =SUMIFS(C2:C7,A2:A7,A11&"*",B2:B7,B11) 说明：在sumifs中可以使用通配符* 5、多表相同位置求和 公式：b2 =SUM(Sheet1:Sheet19!B2) 说明：在表中间删除或添加表后，公式结果会自动更新。 6、按日期和产品求和
解析几何公式大全 This model paper was revised by LINDA on December 15, 2012.
解析几何中的基本公 式 1、两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-= 2、平行线间距离：若0C By Ax :l , 0C By Ax :l 2211=++=++ 则：2 2 21B A C C d +-= 注意点：x ，y 对应项系数应相等。 3、点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++ 则P 到l 的距离为：2 2 B A C By Ax d +++= 4、直线与圆锥曲线相交的弦长公式：???=+=0 )y ,x (F b kx y 消y ：02=++c bx ax ，务必注意.0>? 若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x 则：2122))(1(x x k AB -+= 5、若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比为 λ， 则??? ????λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，特别地：λ=1时，P 为AB 中点且???????+=+=222 121y y y x x x
变形后：y y y y x x x x --=λ--= λ21 21或 6、若直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为),0(,π∈αα 适用范围：k 1，k 2都存在且k 1k 2≠－1 ， 2 11 21tan k k k k +-= α 若l 1与l 2的夹角为θ，则= θtan 2 1211k k k k +-，]2,0(π ∈θ 注意：（1）l 1到l 2的角，指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角，范围),0(π l 1到l 2的夹角：指 l 1、l 2相交所成的锐角或直角。 （2）l 1⊥l 2时，夹角、到角= 2 π 。 （3）当l 1与l 2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。 7、（1）倾斜角α，),0(π∈α； （2）]0[,π∈θθ→ →，，夹角b a ； （3）直线l 与平面]2 0[π ∈ββα，，的夹角； （4）l 1与l 2的夹角为θ，∈θ]2 0[π ，，其中l 1//l 2时夹角θ=0； （5）二面角,θ],0(π∈α； （6）l 1到l 2的角)0(π∈θθ，， 8、直线的倾斜角α与斜率k 的关系