目录
第三章常见曲面 (51)
本章内容简介 (51)
§1 球面和旋转曲面 (52)
1.1球面的一般方程 (52)
1.2 球面的参数方程. 空间中点的球面坐标 (52)
1.3曲面、曲线的一般方程和参数方程 (53)
1.4 旋转面 (54)
§2 柱面和锥面 (57)
2.1柱面的定义和方程 (57)
2.2圆柱面. 空间中点的柱面坐标 (58)
2.3 母线平行于坐标轴的柱面 (60)
2.4锥面的定义和方程 (61)
2.5圆锥面 (62)
2.6锥面与齐次方程 (63)
§3 二次曲面 (63)
3.1椭球面 (63)
3.2-1 单叶双曲面 (64)
3.2-2双叶双曲面 (66)
3.3-1 椭圆抛物面 (68)
3.3-2双曲抛物面 (69)
3.4二次曲面的种类 (70)
§4 直纹面 (70)
§5 曲面的交线，曲面所围成的区域 (74)
5.1 画空间图形常用的三种方法 (74)
5.2空间曲线的射影柱面 (75)
5.3 曲面围成的区域 (77)
第三章 常 见 曲 面
本章内容简介
内容：介绍一些在多元微积分中常常遇到的曲面：柱面；锥面；旋转面；二次曲面；直纹面 难点：单叶双曲面和双曲抛物面上的直母线 计划学时：16学时，其中习题课4学时
这一章介绍一些在多元微积分中常常遇到的曲面，了解这些曲面的名称，方程和形状. 在图形与方程中提到，空间曲面S 一般都可以被描述为一个3元函数(,,)F x y z 的零点集，即
{(,,)|(,,)0}S x y z F x y z ==. 这个方程称为曲面S 的一般方程. 也就是说，0000(,,)M x y z S ?∈，有000(,,)0F x y z =；反之，若三元有序数组000(,,)x y z 满足方程000(,,)0F x y z =，则0000(,,)M x y z S ∈. 简而言之，曲面上的点都满足方
程，满足方程的点都在曲面上. 自然，先要取定一个坐标系[;,,]O i j k
.
如果函数(,,)F x y z 是多项式，那么由方程(,,)0F x y z =定义的曲面称为代数曲面(algebraic surface)，否则称为超越曲面(transcendental surface). 多项式(,,)F x y z 的次数称为代数曲面的次数(degree). 解析几何研究的是一次与二次代数曲面. 高次代数曲面是代数几何的研究对象，而超越曲面则是微分几何的研究对象.
本章第1，2节是从曲面的形状特点出发，导出这些曲面的方程. 第3节是从已知的二次方程出发，去研究曲面的形状. 第4节研究二次曲面中由直线组成的曲面，即二次直纹面. 所谓直纹面就是一个单参数直线族{|}t L t I ∈构成的曲面t t I S L ∈= ，其中I 是一个区间(有限或无限区间，开或闭区间).
为了保证图形不失真，本章所用到的坐标系都是右手直角坐标系.
§1 球面和旋转曲面
1.1 球面的一般方程
根据两点距离公式可知球心在0000(,,)M x y z ，半径为R 的球面(sphere)方程为
2222000()()()x x y y z z R -+-+-=. (3.1)
展开后得到一个三元二次代数方程
2221232220x y z b x b y b z c ++++++=. (3.2)
其中222
21020300002,2,2,b x b y b z c x y z R =-=-=-=++-. 上面两个方程都是球面的一般方程. 它的特点是没有交叉项(即,,xy xz yz 项)，平方项的系数相等(非零).
反之，三元二次方程(3.2)的左边通过配方化为同解的方程
22222
2123123()()()x b y b z b b b b c +++++=++-.
当22
21230b b b c ++->时，它是一个球心在123(,,)b b b ---
当22
21230b b b c ++-=时，它是一个点(,,)a b c ---，可看作半径为0的球面，叫做点球面；
当22
21230b b b c ++-<时，
原方程没有实数解，不表示实图形.
的虚球面(imaginary sphere).
1.2 球面的参数方程. 空间中点的球面坐标
现在求球心在原点，半径为R 的球面2S 的参数方程. 除了南极S 和北极N 之外，球面2S 上每一点M 可以
用经纬度(,)?θ作为参数．
设(,,)M x y z 是球面2S 上任意一点，则M 的坐标满足22222()z R x y R =-+≤．当z R ≠±即(0,0,)M R ≠±时，
2
2
2
2
0x y R z +=->． 令(,,0)P x y 为M 在xOy 平面上的正投影．则{,,0}0OP x y =≠ ．设(,)i OP ?= 是xOy 平面上由x 轴正
向到OP
的有向角(相对于xOy 平面上的右手系)．再设(/2)(,)OM k θπ=-∠
．则/2/2πθπ-<<. 于是
cos (cos sin )OP R i j θ??=+ ，sin PM R k θ= ． 由此得
:cos cos cos sin sin r OM OP PM R i R j R k θ?θ?θ==+=++
，
即
{cos cos ,cos sin ,sin }r R R R θ?θ?θ=
，(,)[,)(/2,/2)?θππππ∈-?-． (3.3)
这就是球面的向量式参数方程．坐标式参数方程为
cos cos ,(,)[,)(/2,/2)cos sin ,sin ,x r y r z r θ??θππππθ?θ=??
∈-?-=??=?
. (3.3) 当(,)[,)(/2,/2)?θππππ∈-?-时，球面2S 上的点集2\{,}S S N 一一对应于参数定义域中的点(,)?θ. 所以(,)?θ也称为2\{,}S S N 上的曲纹坐标.
除了原点之外，空间的每一点(,,)M x y z
都在某个以原点为球心，半径ρ=的球面上．于是除了z 轴上的点之外，点M 通过下面的关系式一一对应于有序三元实数组3{(,,)}ρ?θ= 的一个子集3[0,)[,)(/2,/2)ππππ∞?-?-? ：
cos cos ,cos sin ,sin ,x y z ρθ?ρθ?ρθ=??
=??=?
3
(,,)[0,)[,)(/2,/2)ρ?θππππ∈
∞?-?-? . (3.4)
这种一一对应关系称为空间中点的球面坐标(或空间极坐标)．
注 当0ρ=时不是一一对应. 所以球面坐标的定义域应该是
3(0,)(,)(/2,/2)D ππππ=∞?-?-? .
1.3 曲面、曲线的一般方程和参数方程
这一小节的内容在《附录：图形与方程》中已经接触过. 曲面S 的一般方程(或称普通方程)是
(,,)0F x y z =，
意指作为集合
{}(,,)|(,,)0S x y z F x y z ==.
曲面S 的参数方程是
(,),
(,)(,),(,),x x u v u v D y y u v z z u v =??
∈=??=?
， (3.5) 意指作为集合
(){}(,),(,),(,)(,)S x u v y u v z u v u v D =∈.
其中的(,)u v 称为曲面S 的参数. 通常要求曲面S 上的点M 与它的参数(,)u v 之间一一对应，从而(,)u v 也称为曲面S 上的点M 的曲纹坐标.
曲线C 的一般方程(或称普通方程)是
(,,)0,
(,,)0,F x y z G x y z =??
=?
意指作为集合
{}(,,)|(,,)0,(,,)0S x y z F x y z G x y z ===.
即曲线C 被看成两个曲面1:(,,)0S F x y z =与2:(,,)0S G x y z =的交线.
曲线C 的参数方程是
(),(),(),x x t t I y y t z z t =??
∈=??=?
， (3.6) 意指作为集合
(){}(),(),()C x t y t z t t I =∈.
其中t 称为曲线C 的参数，I 是一个区间，可以是开区间或闭区间，也可以是半开闭的；可以是有限区间，也可以是无限区间.
例如，在空间，xO y 平面上的一个圆C (圆心在原点、半径是R )，可以用一般方程
2222,
0x y z R z ?++=?
=?
来表示，也可以用
222,
x y R z ?+=?
=? 来表示. 它的参数方程可以写成
cos ,[0,2)sin ,0,x R t t y R t z π=??
∈=??=?
. 1.4 旋转面
球面可以看成是半个圆周绕它的直径旋转一周得到的曲面.
定义4.3.1 空间一条曲线C 绕一条直线L 旋转所得曲面称为旋转面(surface of revolution)，C 称为旋转面的母线(generating curve)，L 称为旋转面的轴(axis of rotation). 母线C 上任意一点绕L 旋转的轨迹是一个圆，称为纬圆(纬线). 纬圆在垂直于轴L 的平面上.过L 的半平面与旋转曲面的交线称为经线. 任何一条经线都可作为母线，但母线不一定是经线.
现在来求旋转面∑的方程. 如图，设母线C 的方程为
(,,)0,
(,,)0.F x y z G x y z =??
=? (1)旋转轴L 的方程为
000
,x x y y z z X Y Z
---== (2)其中0000(,,)M x y z L ∈，L 的方向向量{,,}v X Y Z =
设(,,)P x y z 是旋转面∑上的任意点. 过P 的纬圆与母线C 交于(,,)M x y z '''点. 这个纬圆可以看成是过M 且垂直于L 的平面
:()()()0X x x Y y y Z z z π'''-+-+-=
与以0M 为球心，半径为0||M M
的球面
222222000000:()()()()()()S x x y y z z x x y y z z '''-+-+-=-+-+-
的交线. 再加上条件(,,)M x y z C '''∈，就能导出以下的方程组：
222222000000()()()0,()()()()()(),
(,,)0,(,,)0.X x x Y y y Z z z x x y y z z x x y y z z F x y z G x y z '''-+-+-=??'''-+-+-=-+-+-??
'''=?
?'''=?
(1) 从这个方程组中消去参数,,x y z '''，得到,,x y z 的一个方程，它就是所求旋转面∑的一般方程.
注 方程组(1)中有6个变量,,,,,x y z x y z '''，其中(,,)x y z 是旋转面∑上的动点P ，(,,)x y z '''是母线C 上的动点M . 对每个固定的(,,)M x y z C '''∈，也就是方程组(1)的后2个方程的公共解,,x y z '''，(1)中前2个方程表示旋转面上的一个纬圆. 让M 在C 上变动，就得到旋转面∑上所有的纬圆. 旋转面∑也可以看成圆心在一条直线上变动，同时半径也在变动的圆的轨迹.
如果旋转轴是z 轴
001x y z
==，母线C 在yOz 坐标平面上，其方程为(,)0,0,f y z x =??
=?
则由(1)式，点(,,)P x y z 在旋转面上的充分必要条件是
2222220,,
(,)0,0.
z z x y z x y z f y z x '-=??'''++=++??
''=??'=?
由第1，2，4三个方程得
0x '=，z z '=，y
'=代入第3个方程得旋转曲面方程为
()0.f z
=
由此可见，为了得到yOz 平面上的曲线绕z 轴旋转所得的旋转曲面方程，只要把母线方程中的y 改成，让z 保持不变即可. 类似的结果可以推广到绕其它轴旋转的情形.
例3.1 将yOz 平面上的抛物线 22,
:0
y pz C x ?=?
=? 绕z 轴旋转所得的旋转面方程为
222x y pz +=.
这个曲面称为旋转抛曲面.
例3.2 将yOz 平面上的双曲线 (返回)
:C 22
22
1,0y z b c x ?-
=???=?
绕虚轴(z 轴)旋转得到的旋转曲面方程为
222
222
1x y z b b c +-=. 这个曲面称为旋转单叶双曲面(hyperboloid of one sheet of revolution).
将双曲线C 绕实轴(y 轴)旋转得到的旋转曲面方程为
222
222
1x y z c b c -+=-. 这个曲面称为旋转双叶双曲面(hyperboloid of two sheets of revolution).
例3.3 将yOz 平面上的圆
222(),
y a z r x ?-+=?
=? (0)r a << 绕z 轴旋转所得的曲面为
222(),a z r +=
展开后得
222222222()4(),x y z a r a x y +++-=+
这个曲面称为环面(torus)，它是一个4次代数曲面.
例3.4 设12,L L 是两条不垂直的异面直线，求2L 绕1L 旋转所得曲面的方程.
解 在预先给定的坐标系中，方程比较复杂. 为了简化方程，取旋转轴1L 为z 轴，再取这2条直线的公垂线为x 轴，建立右手直角坐标系，使得2L 与公垂线x 轴的交点为(,0,0)A a ，其中0a ≠. 设2
L 方向向量为{,,}v X Y Z =
. 由{1,0,0}v i ⊥= 得0X =. 由于12,L L 异面，//v k ，可知0Y ≠. 故可取{0,1,}v b = . 因为12,L L 不垂直，0v k b ?=≠
. 于是2L 的方程为
,001x a y z
ab b
-==≠. 根据(1)，写出方程组
2222220,,,.z z x y z x y z x a z by '-=??'''++=++??'''==? 将,x a z by z '''===代入第2个方程得到
2
2
2
2
2z x y a b
+=+，
即
222
2
221x y z a a b
+-=. 这是一个旋转单叶双曲面.
例1 (旋转椭球面) 将yOz 平面上的椭圆
22
22
1,:0y z C a b x ?+
=???=?
()a b > 分别绕长轴(y 轴)和短轴(z 轴)旋转，求所得旋转曲面的方程.
解 由上面的分析，这2个旋转曲面的方程分别为222221y x z a b ++=和222
2
21x y z a b
++=， 即长形旋转椭球面
222
2221x y z b a b
++= 和扁形旋转椭球面
222
2221x y z a a b
++=. 注. 这个例子说明例1中的曲面也是旋转单叶双曲面. 课外作业：2，4，9(1,5,10) 思考题：10，11
§2 柱面和锥面
2.1 柱面的定义和方程
柱面是常见的由直线“生成”的曲面. 定义3.2 一条直线L 沿着一条空间曲线C 平行移动所得到的曲面∑叫做柱面(cylinder). 线L 称为柱面∑的母线(generating line). 曲线C 称为柱面∑的准线(directrix). 柱面∑的方向.
直线L (生成线).
根据定义，平面也是柱面. 的母线方向是唯一的，但柱面的准线不是唯一的，线. 线.
设柱面∑的方向为{,,}v X Y Z =
，准线为
(,,)0,
:(,,)0.F x y z C G x y z =??
=?
我们来求柱面的方程. 点(,,)P x y z ∈∑的充要条件是存在111(,,)M x y z C ∈使得//MP v ，即MP u v =
，
亦即有1x x uX =-，1y y uY =-，1z z uZ =-. 代入准线C 的方程可得
(,,)0,
(,,)0.F x uX y uY z uZ G x uX y uY z uZ ---=??
---=?
(回到例4.3) (1) 从上述方程组消去参数u 就得到柱面的方程.
如果柱面的方向是{,,}X Y Z ，准线C 的方程是参数方程 1111(){(),(),()}r t x t y t z t =
，[,]t a b ∈， (3.8) 则可得柱面的参数方程为(由1x x uX =-，1y y uY =-，1z z uZ =-得到)
111(,){(),(),()},(,)[,]r t u x t uX y t uY z t uZ t u a b =+++∈?
R . (3.9)
例2 设柱面的准线方程为
222222
1,
222,x y z x y z ?++=??++=??
母线的方向数为1,0,1-，求柱面的方程.
解. 设(,,)P x y z 是柱面上的点，(,,)M x y z '''是准线上的点. 则x x u '=+，y y '=，z z u '=-. 准
线方程可改写为
221,
0.x y z ''?+=?
'=? 所以u z =，从而,x x z '=+y y '=. 于是所求柱面方程为22()1x z y ++=(椭圆柱面)，即
222210x y z xz +++-=. (返回)
2.2 圆柱面. 空间中点的柱面坐标
圆柱面(circular cylinder)是到一条定直线L 距离为常数r 的点的轨迹. 定直线L 称为圆柱面的轴，
常数r 称为圆柱面的半径. 设0000(,,)M x y z 是轴L 上一个定点，轴L 的方向向量为{,,}v X Y Z =
. 根据点到直线的距离公式可以得到圆柱面∑的方程
22
020M M v r r M M v v v
?=?=?
， 其中(,,)M x y z ∈∑. 用坐标写出来就是
220000[()()][()()]Y z z Z y y Z x x X z z ---+---
2222200[()()]()X y y Y x x r X Y Z +---=++.
上式展开后整理可得一个关于,,x y z 的二次代数方程(,,)0F x y z =. 特别，如果圆柱面∑的轴是z 轴，
则圆柱面的方程为(注意{0,0,1}v =
，0(0,0,0)M .) 222x y r +=. (3.10)
圆柱面也可以看作旋转曲面. 如果知道了圆柱面∑上一个纬圆C 的方程，就可以用上一小节的方法，以C 为准线圆，以垂直于C 所在平面的方向为柱面的母线方向，得到圆柱面∑的方程.
下面求以z 轴为对称轴，半径为R 的圆柱面的参数方程．设(,,)M x y z 是球面上任意一点，(,,0)P x y 为M 在xOy 平
面上的正投影．令(,)i OP ?=
是xOy 平面上由x 轴正向到OP
的有向角．则
(cos sin ){cos ,sin ,0}OP R i j R R ????=+=
．
因为//PM k
，所以
{0,0,}PM u k u ==
．
于是圆柱面的向量式参数方程为
{cos ,sin ,}r OM OP PM R R u ??==+=
，(,)(,]u ?ππ∈-? ． (3.11)
坐标式参数方程为
cos ,(,)(,]sin ,,x R u y R z u ??ππ?=??
∈-?=??=?
. (3.11) 从上式中消去参数(,)u ?，可得圆柱面的普通方程
222x y R +=． (3.10)
空间中除了z 轴上的点之外，点(,,)M
x y z 一定在一个半径为r =. 下面的关系式给出了点(,,)M x y z 与有序三元实数组(,,)r u ?的一个子集3(0,)(,]ππ∞?-?? 间的一一对应： cos ,sin ,,x r y r z u ??=??
=??=?
(,,)(0,)(,]r u ?ππ∈∞?-? . (3.9) 这种一一对应关系称为空间中点的柱面坐标．
例2 已知圆柱面的轴是11
:122
x y z L -+==
--，点(1,2,1)-在圆柱面上，求它的方程.
解法一 已知柱面的方向数是1:2:2--，只要找出它的一
条准线C 就可写出它的方程. 取一个过(1,2,1)A -点、垂直于轴L 的平面π，和一个球心在轴上、过A 点的球面S ，以它们的交线作为准线C .
显然，π的方程是(1)2(2)2(1)0x y z --+--=，即
:2230x y z π---=.
取球心为(0,1,1)B -，则过A 点的球面为
2222:(1)(1)14S x y z +-++=.
于是准线为
222111111
(1)(1)14,:2230.x y z C x y z ?+-++=?---=? (2)
将1x x u =-，12y y u =+，12z z u =+代入(4)的第二式得9223u x y z =---. 于是
198223x x y z =+++，192546y x y z =+--，192456z x y z =-+-.
将上式代入(2)的第一式得圆柱面的一般方程
2222(8223)(25415)(2453)149x y z x y z x y z +++++--+-++=?.
化简得
2228554481818990x y z xy xz yz y z ++++--+-=.
解法二 将圆柱面看作到一条定直线L 距离为常数的点的轨迹.
柱面的方向向量{1,2,2}v =--
，(1,2,1)A -是柱面上一个定点，(0,1,1)B -是轴L 上一个定点. 则点(,,)P x y z 是柱面上的点当且仅当(,)(,)d P L d A L =. 根据点到直线的距离公式，这等价于
22
BP v BA v ?=? ，
即
222222
()()BP v BP v BA v BA v ?-?=?-? . (Lagrange 恒等式)
由于{,1,1}BP x y z =-+ ，{1,3,2}BA =-- ，29v =
，2()9BA v ?= ，214BA = ，上式化为
22229[(1)(1)](22)139x y z x y z +-++---=?.
化简得
2228554481818990x y z xy xz yz y z ++++--+-=.
2.3 母线平行于坐标轴的柱面
如果把柱面的母线方向取成坐标轴的方向，例如{0,0,1}v =
. 则柱面的每条母线都与z 轴平行，从而必与xOy 平面相交. 因此这个柱面与xOy 平面的交线C 可以作为柱面的准线. 设准线方程为 111
(,)0,
:0.F x y C z =??
=? 根据前面的讨论，将1x x =，1y y =，1z z u =-代入准线C 的方程可得 (,)0,
.F x y z u =??
=?
消去u (就是将u z =代入(,)0F x y =)，得到这个柱面的方程
(,)0.F x y =
反之，如果一个曲面的方程(,,)0F x y z =中不含变量z ，即
(,,)(,)0.F x y z G x y ≡=
则以
(,)0,
:0,G x y C z =??
=?
为准线，以z 轴方向为母线方向的柱面方程就是(,)0.G x y = 因此方程(,)0G x y =表示一个母线平行与
z 轴的柱面.
对于母线平行于x 轴或y 轴的柱面也有类似的结果. 这样我们就证明了下面的定理.
定理3.1 一个曲面:(,,)0F x y z ∑=是母线与z 轴(或x 轴，或y 轴)平行的柱面，当且仅当方程左端(,,)F x y z 中不含变量z (或x ,或y ).
注. 因此当问到方程0x y +=表示什么图形时，答案与人们考虑问题的范围有关. 在2维空间中生活的蚂蚁会说它是一条直线，但是在3维空间，它是一个平面.
例3 方程
22
22
10x y a b +-= (在平面解析几何中是什么？) 表示一个母线平行于z 轴的柱面，其准线可取为
22
221,
0.x y a
b z ?+=???=?
这是xO y 平面上的椭圆，因此这个曲面称为椭圆柱面(elliptic cylinder).
类似地，方程
22
2210,x y a b
--= 220,y px -= 分别表示母线平行于z 轴的双曲柱面(hyperbolic cylinder)及抛物柱面(parabolic cylinder). 椭圆柱面、双曲柱面和抛物柱面统称二次柱面(quadratic cylinder).
2.4 锥面的定义和方程
锥面也是一种常见的由直线生成的曲面.
定义锥面(cone). (4) 1,)z C ∈使得
,,A M P 010010010(),(),()x x t x x y y t y y z z t z z -=--=--=-.
当0t =时P 就是顶点A . 设0t ≠，并且令1/u t =. 则由上式得
100100100(),(),()x x u x x y y u y y z z u z z =+-=+-=+-. (5)
由于111(,,)M x y z C ∈，满足准线C 的方程(4)，有
000000000000((),(),())0,
((),(),())0.F x u x x y u y y z u z z G x u x x y u y y z u z z +-+-+-=??
+-+-+-=?
(6) 消去u 后可得锥面的方程，可能不包括锥面的顶点.
如果锥面顶点是0000(,,)M x y z ，准线C 的方程是参数方程 1111(){(),(),()}r u x u y u z u =
，[,]u a b ∈，
则锥面的参数方程为(由010()x x t x x -=-，010()y y t y y -=-，010()z z t z z -=-得到)
010010010(,){(()),(()),(())},(,)[,]r u v x t x u x y t y u y z t z u z u t a b =+-+-+-∈?
R .
例4 锥面的顶点在原点，准线为22
221,:.x y C a b z c ?+
=???=?
求锥面的方程.
解 根据(6)，将准线方程中的,,x y z 分别换成,,ux uy uz ，得
222221,
.x y u a
b uz
c ???+=? ?????=?
当常数0c ≠时，由第二式得/u c z =. 代入第一式可消去参数u ，得锥面方程
2222221c x y z a b ??+= ???，即 222
2220x y z a b c
+-=. 这个锥面称为二次锥面. 它的方程左端是一个二次齐次多项式，这种方程称为2次齐次方程. 当常数0c =时，准线C 是xOy 平面上的椭圆，此时锥面方程实际上是平面方程0z =.
2.5 圆锥面
圆锥面(circular cone)是与一条定直线L 交于定点0M 且与L 成定角(0,/2)απ∈的直线族轨迹.
定直线L 称为圆锥面∑的轴，定点0M 称为圆锥面∑的顶点，定角α称为圆锥面∑的半顶角，构成圆锥面的直线族中的每一条直线都称为圆锥面的母线. 圆锥面也可以看作旋转面：它是用一条母线绕轴旋转而成的曲面. 因此可以有三种不同的方法来导出圆锥面的方程.
1. 作为锥面，如果知道它的顶点0000(,,)M x y z ，再找一条准线C ，就可以用前面的公式(6)得到圆锥面的方程. 一般是用一个垂直于轴L 但是不经过顶点的平面与圆锥面的交线圆C 作为准线.
2. 作为旋转面，如果知道它的轴000
:x x y y z z L X Y Z
---==
和圆锥面上的另一点1111(,,)M x y z ，那么可以写出它的一条母线的方程，然后用第一节1.4中的方法得到圆锥面的方程.
3. 如果知道它的轴L 的方程000
x x y y z z X Y Z
---==
和圆锥面的半顶角α，则可用下面的方法得出它的方程. 点(,,)M x y z 在圆锥面∑上的充要条件是
()0,M M v α∠= 或 ()0,M M v πα∠=-
()0cos cos ,M M v α?∠=
(常数)22200a M M v
M M ?=? ， (3.12) 其中常数2
22cos a v α= . 将坐标代入上式得圆锥面的方程
22222000000[()()()][()()()]X x x Y y y Z z z a x x y y z z -+-+-=-+-+-. (7)
例3.5 求以三根坐标轴为母线的圆锥面方程.
解 显然圆锥面的顶点是原点O . 设圆锥面的轴方向向量是{,,}v X Y Z =
. 则v 与三根坐标轴夹角
相等或互补. 因此有v j v i
v k ==??? ，即X Y Z ==. 故可设12{1,,}v εε= ，其中11ε=或1-，21ε=或1-. 于是半顶角α满足
cos
v i v i
α?==
因为v
= ，由(7)得所求圆锥面的方程为 222212()x y z x y z εε++=++，
即
121212200xy xz yz xy xz yz εεεεεεε++=?++=. (3.13)
因此共有4个满足条件的圆锥面：0xy xz yz +±=或0xy xz yz -±=.
例5 已知圆锥面的顶点为(1,2,3)A ，轴垂直于平面2220100x y z +-+=，母线与轴成30 角. 求此圆锥面的方程.
解 由于圆锥面的轴方向向量是{2,2,1}ν=- ，所以3v = . 又cos α=由(7)得所求圆锥面的方程为
22224[2(1)2(2)(3)]27[(1)(2)(3)]x y z x y z -+---=-+-+-.
整理得
22211(1)11(2)23(3)32(1)(2)16(1)(3)16(2)(3)0x y z x y x z y z -+-+----+--+--=.
这是一个关于1,2,3x y z ---的2次齐次方程.
2.6 锥面与齐次方程
定义3.4 如果一个函数(,,)F x y z 满足
(,,)(,,),\{0}n F t x t y t z t F x y z t =?∈ ，
则称(,,)F x y z 是一个n 次齐次函数. 方程(,,)0F x y z =称为n 次齐次方程. (注意n 不必是正整数)
定理3.2 一个关于,,x y z 的齐次方程总是表示顶点在原点的一个锥面(可能不包括顶点). 证 设n 次齐次方程为(,,)0F x y z =. 则根据齐次方程的定义有
(,,)(,,).n F tx ty tz t F x y z =
设000(,,)M x y z O ≠是曲面上的任一点. 则有000(,,)0.F x y z = 设(,,)P x y z 是直线OM 上的点，则
000,
,x x t y y t z z t ===.
代入方程得
000000(,,)(,,)(,,)0.n F x y z F x t y t z t t F x y z ===
于是P 点在曲面上. 这说明整条直线OM (除原点外)都在曲面上. 因此这个曲面是由过原点的直线族构成，即它是以原点为顶点的锥面. □
这个定理的逆命题也正确，即以原点为顶点的锥面方程一定是齐次方程，见定理3.3. 推论 关于000,,x x y y z z ---的齐次方程表示一个顶点在000(,,)A x y z 的锥面. □ 课外作业：3，4(2,4)，7，9(3)，10 思考题：5，11，12
§3 二 次 曲 面
二次曲面就是,,x y z 的2次方程定义的曲面. 如球面，圆柱面，旋转椭球面、旋转双曲面、旋转抛物面，二次柱面和二次锥面等. 在这一节再介绍3种二次曲面.
3.1 椭
球面
定义 由方程
222
222
1x y z a b c ++= (,,0a b c >) (3.17) 所定义的曲面称为椭球面(ellipsoid). 方程(3.17)称为椭球面的标准方程，通常假定0a b c ≥≥>.
椭球面有以下性质.
(1) 对称性. 有对称中心O ，称为(二次曲面的)中心；有对称轴：3条坐标轴，称为主轴；有对称
(2) 顶点与半轴. 椭球面与对称轴的交点称为顶点，6个顶点为(,0,0),a ±(0,,0),b ±(0,0,)c ±；每条
对称轴上2个顶点间的线段(或其长度)称为椭球面的轴；轴的一半称为半轴. 当a b c >>时，,,a b c 分别称为长半轴，中半轴和短半轴. (三轴椭球面. 特殊情形：球面，旋转椭球面)
(3) 范围. 由方程(3.17)可以看出||x a ≤，||y b ≤，||z c ≤. 椭球面夹在以O 为中心，边长分别为2,2,2a b c 的长方体内.
(4) 截口形状. 用一些平面去截曲面，得到的每一条平面曲线就称为曲面的截口. 所有截口的形状都清楚了，曲面的形状也就清楚了.
椭球面(3.17)在三个坐标平面上的截口都是椭圆：
22221,0,x y a
b z ?+=???=? 22221,0,x z a
c y ?+=???=? 22
221,0.y z b c x ?+
=???=? 它们称为椭球面的主截线(主平面与二次曲面的交线)，或主椭圆.
用平行于xOy 坐标平面的平面z h =去截椭球面(3.17)，得到的截口是
222
2221,
.x y h a b c z h ?+=-???=?
当||h c >时没有截口，此时平面z h =不与椭球面相交；当||h c =时截口是一个点；当||h c <时截口是一个椭圆，它的两个半轴分别是
可见这两个半轴随着h 的增大而减少.
因此椭球面是由一族与xOy 平面平行的椭圆{|[,]}h C h c c ∈-构成的，这些椭圆的中心在z 轴上的
一个线段内变动，同时它的长、短半轴按以上规律变动.
类似地可以研究与其它2个坐标平面平行的截口. (5) 参数方程：
sin cos ,sin sin ,cos .x a y b z c ?θ?θ?=??
=??=?
(,)[0,2)[0,]θφππ∈?. 例6
已知椭球面的轴与坐标轴重合，并且点A 和椭圆
22
1,:0
y x C z ??
+=??=?
在椭球面上，求椭球面的方程. (习题3.3第1题)
解 依题意，可设椭球面的方程为
222
222
1x y z a b c ++=. 由于椭圆C 在椭球面上，所以C 上的点(3,0,0),(0,4,0)B C 也在椭球面上. 将,,A B C 三点的坐标代入上面的方程，得
22211194
9,16,23(1)36a b c -===--=. 故所求的方程为
222
191636
x y z ++=. 3.2-1 单叶双曲面
定义 由方程
222
222
1x y z a b c +-= (,,0a b c >) (3.18) 所定义的曲面称为单叶双曲面(hyperboloid of one sheet). 方程(3.18)称为单叶双曲面的标准方程.
单叶双曲面有以下性质. (见图3.5)
(1) 对称性. 对称中心O ；对称轴：3条坐标轴；对称平面：3个坐标平面. (2) 顶点. 与z 轴不相交，4个顶点为(,0,0)a ±，(0,,0)b ±. (3) 范围. 由方程(3.18)可以看出
222
22211,x y z a b c
+=+≥ 所以单叶双曲面的点全在椭圆柱面22
221x y
+=的外部或柱面上. 图形是无界的.
(4) 截口形状. 单叶双曲面在xOy 平面上的截口是椭圆22
221,0,x y a b z ?+
=???=?
称为单叶双曲面的腰椭圆.
单叶双曲面与xOz 平面以及yOz 平面的交线(主截线)分别是
22221,0,x z a
c y ?-=???=? 22221,
0.y z b c x ?-=???=?
它们都是双曲线.
单叶双曲面(3.18)的平行于xOy 平面的截口是椭圆
222
2221,
.x y h a b c z h ?+=+???=?
其长、短半轴分别为h 的增大而增大. 这些椭圆的顶点在主截线上.
单叶双曲面(3.18)的平行于yOz 平面的截口是
2222221,
.y z u b c a x u ?-=-???=?
(5)
||u a <时，截线(5)是双曲线，它的实轴平行于y ，虚轴平行于z 轴，，且顶点在腰椭圆上. 当||u a >时，截线(5)仍为双曲线，但它的实轴平行于z 轴，，虚轴平行于y xOz 平面的截口双曲线上. 当||u a =时，(5)式变成
22220,,y z b
c x a ?-=???=? 或 22220,
.y z b c x a ?-=???=-?
这是两条相交直线
0,,y z b c
x a ?±=???=? 或 0,
.
y z b c x a ?±=???=-? 如果u a =，那么两直线交于点(,0,0)a (图3.16)；如果u a =-，那么两条直线交于点(,0,0)a -.
用平行于xOz 的平面来截割单叶双曲面(3.18)，所得结果是相似的.
特别，当a b =时，单叶双曲面(3.18)就是旋转单叶双曲面. 另外，下面的2个方程也表示单叶双曲面.
2222221x y z a b c -+=，222
2221x y z a b c
--=-. (5) 参数方程
sec cos ,sec sin ,tan .x a y b z c ?θ?θ?=??
=??=?
(,)[0,2)(/2,/2)θφπππ∈?-. 3.2-2 双叶双曲面
定义 由方程
222
2221x y z a b c
+-=- (,,0a b c >) (3.20)所定义的曲面称为双叶双曲面(hyperboloid of two sheets)方程(3.20)称为双叶双曲面的标准方程.
单叶双曲面和双叶双曲面统称双曲面(hyperboloid). 双叶双曲面有以下性质.
(1) 对称性. 对称中心O ；对称轴：3条坐标轴；对称平面：3个坐标平面.
(2) 顶点. 与x 轴和y 轴无交点，2个顶点(0,0,)c ±. (3) 范围. 由方程(3.20)可以看出||z c ≥，因此曲面按z c ≥与z c ≤-分为两叶.
(4) 截口形状. 双叶双曲面与xOy 平面没有交点，而与其它两个坐标平面xOz 与yOz 的交线(主截线)都是双曲线：
22221,0,z x c
a y ?-=???=? 22
221,0.z y c b x ?-
=???=?
如果用平行于坐标平面xOy 的平面z h =(||h c ≥)截割曲面，截线方程是
222
2221,
.x y h a
b c z h ?+=-???=?
这是一个点(当||h c =时)或一个椭圆(当||h c >时).
这些椭圆的顶点在主截线上，长、短半轴分别为
h 的增大而增大.
如果用平行于坐标平面xOz 的平面来截割曲面，截线方程是
222
2221,
.z x u c
a b y u ?-=+???=? 这是一条实轴与z 轴平行的双曲线.
特别，当a b =时，双叶双曲面(3.20)就是旋转双叶双曲面. 另外，下面的2个方程也表示双叶双曲面.
2222221x y z a b c -+=-，222
2221x y z a b c
--=. (5) 参数方程
tan cos ,
tan sin ,sec .x a y b z c ?θ?θ?=??
=??=?
(,)[0,2){(/2,/2)(/2,3/3)}θ?πππππ∈?-?. (6) 渐近锥面. 考虑以下的二次锥面
222
222
0x y z a b c +-=. (3.19) 这个二次锥面与(3.18)式定义的单叶双曲面以及(3.20)式定义的双叶双曲面有相同的,,a b c . 如果用平面z h = (||h c >)截割这三个曲面，得到的截线是3个椭圆：
222222,,x y h a
b c z h ?+=???=? 222
2221,,x y h a b c z h ?+=+???=? 2222221,.x y h a b c z h ?+
=-???=?
它们的半轴依次为
渐近锥面： 1||,a a h c
=
1||,b b h c =
单叶双曲面：2a =
2b =
双叶双曲面：3a =
3b =
这些椭圆的长短轴之比相等，因此是相似椭圆. 它们的半轴之间满足
312,a a a << 312b b b <<.
因此双叶双曲面的截口椭圆最小，单叶双曲面的截口椭圆最大，锥面的截口椭圆则介于两者之间，并且这三个曲面没有公共点，但是当||h →∞时，又有
2323||||lim ()lim ()0.h h a a b b →∞
→∞
-=-=
可见当||h 增大时3个曲面相互无限地逼近. 所以称锥面(3.19)为双曲面(3.18)与(3.20)的渐近锥面(asymptotic cone). 双曲面(3.18)与(3.20)称为一对相互共轭的双曲面(conjugate hyperboloids).
3.3-1 椭圆抛物面
定义 由方程
22
22
2x y z a b += (,0)a b > (3.21) 所定义的曲面称为椭圆抛物面(elliptic paraboloid). 方程(3.21)称为椭圆抛物面的标准方程.
椭圆抛物面有以下性质.
(1) 对称性. 无对称中心；1条对称轴：z 轴；2个对称平面：xOz 和yOz 坐标平面. (2) 范围. 由方程可以看出0z ≥，所以曲面全在xOy 平面的一侧. (3) 顶点. 1个顶点O .
(4) 截口形状. 椭圆抛物面与xOz 坐标平面和yOz 坐标平面的交线都是抛物线： 222,0,x a z y ?=?
=? 222,
0.y b z x ?=?=?
这两条抛物线称为椭圆抛物面的主抛物线. 它们分别位于两个相互垂直的平面上，有公共的顶点和对称轴，并且开口方向相同.
如果用平行于xOy 平面的平面z h =(0)h ≥截割曲面，截线方程是
22
222,
.x y h a
b z h ?+=???=? 这些截线是椭圆(当0h >时)
或一个点(当0h =时)
这些椭圆的顶点()h ±，
(0,)h ±在主抛
物线上，长、短半轴分别为着h 的增大而增大.
如果用平行于坐标平面xOz 的平面y u =截割曲面，截线方程是
222
22(),
2.u x a z b y u ?=-??
?=?
这是抛物线. 所有这些抛物线都是全等的.
因此椭圆抛物面可以看成是将一条抛物线222,0x a z y ?=?=?沿着另一条抛物线222,
0y b z x ?=?=?
平行移动得到
的曲面，这两条抛物线分别位于两个相互垂直的平面上，有公共的顶点和对称轴，开口方向相同，并
且移动时保持一条抛物线的顶点2
22(0,,u b u 在另一条抛物线上.
特别，当a b =时，椭圆抛物面(3.21)就是旋转抛物面2222x
y a z +=
. (5) 参数方程
2cos ,sin ,,
x y z u θθ?=?
?=?=? 02,(,)[0,2)[0,)u θπθπ≤<∈?∞.
3.3-2 双曲抛物面
定义 由方程
22
22
2x y z a b -= (,0)a b > (3.22) 所定义的曲面称为双曲抛物面(hyperbolic paraboloid). 方程(3.22)称为双曲抛物面的标准方程.
双曲抛物面有以下性质.
(1) 对称性. 无对称中心；1条对称轴：z 轴；2个对称平面：xOz 和yOz 坐标平面. (2) 范围.曲面是无界的. (3) 顶点. 1个顶点O .
(4) 截口形状. 双曲抛物面与xOz 坐标平面和yOz 坐标平面的交线都是抛物线：
222,0,x a z y ?=?
=?
222,
0.y b z x ?=-?=? 这两条抛物线称为双曲抛物面的主抛物线. 它们分别位于两个相互垂直的平面上，有公共的顶点和对称轴，但是开口方向相反.
双曲抛物面与xOy 坐标平面的交线是一对相交于原点的直线：
22
220,
0.x y a
b z ?-=???=?
如果用平行于xO y 的平面z h =(0)h ≠截此曲面，就可以得到双曲线
22
221,
22.x y a h b h
z h ?-=???=?
当0h >时实轴与x 轴平行，当0h <时实轴与y 轴平行.
如果用平行于yO z 平面的平面x u =截此曲面，就得到抛物线
§4.5 常见曲面的参数方程 本节重点：掌握空间中的三种坐标系：直角坐标系、球坐标系、柱坐标系。 掌握旋转曲面的参数方程的建立。 掌握直纹面的参数方程。 本节难点：旋转曲面的参数方程。直纹面的参数方程。 在第二章中，我们已经引进一般曲面与曲线的参数方程的概念、并给出简单曲面与曲线的参数表示，例如球面与圆柱螺旋线，直线的参数方程。现在再介绍旋转曲面、直纹面的参数方程，同时给出空间中另外两种坐标系：球坐标系与柱坐标系。 （一）旋转曲面的参数方程，球坐标与柱坐标 设旋转曲面的轴为Z 轴，母线Γ的参数方程是 )()()()(b t a t h Z t g Y t f X ≤≤=== 则此旋转曲面可由Γ上每一点生成的纬圆所构成的。由于这纬圆上动点),,(Z Y X P 与它在坐标面XOY 上的投影' P 具有相同的Y X ,坐标，所以Γ上任一点),,(1111Z Y X P 生成的纬圆的参数方程是 ??? ????=+=+=121212121sin cos Z Z Y X Y Y X X θθ )20(πθ<≤ 其中2121Y X +是纬圆半径，即1P 到Z 轴的距离，而参数θ是X 轴到1OP 的转角。设1P 对应的参数是1t ，则 )())(())((112 1212121t h Z t g t f Y X =+=+ 再让1t 在其取值范围内变动，即得这旋转曲面的参数方程 ??? ????=+=+=)(sin ))(())((cos ))(())((2222t h Z t g t f Y t g t f X θθ ???? ??<≤≤≤πθ20b t a （4.5.1） 特别地，当母线P 为坐标面XOZ 上的径线 )(0) (t h Z Y t f X === 时,（4.5.1）成为
实验七空间曲线与曲面 实验目的 1．掌握空间直线、平面的画法。 2．了解常见的空间曲线与曲面的画法。 与本实验相关的理论 最基本的空间作图函数是Plot3 ，用于作所有二元函数的三维立方体图形，其格式是： Plot3D[f，{x，xmin，xmax}，{y，ymin，ymax}，可选项] 由于很多曲面和绝大多数曲线都不能用显函数的形式表示。Mathematica 还提供了Parametric Plot3D参数作图函数，其格式是：Parametric Plot3D[{x[u，v]，y[u，v] ，z[u，v]} ，{u，umin，umax}，{v，vmin，vmax}，可选项] Mathematica作三维图形的机理是先在XOY坐标面给定区域内计算出一系列格点的值，再用矩形“小瓦片”拟合张在上面的曲面上。因而如果曲面的表面变化复杂，可通过设置更细的“瓦片”分割来改善。这时候可增加选项PlotPoint―>n 来说明分割数n。 实验步骤 一、画空间曲线 注意空间曲线的参数方程只有一个参变量，如果要画出螺旋线 x=10cost , y=10sint , z=2t 的图形，只要输入： Parametric Plot3D[{10cos[t]，10sin[t]，2t} ，{t，0，20}] 空间直线也类似地处理。 例1：求过A（3，5，-2），B（3，5，-2）的直线方程，并画图。 分析：空间直线方程可由点向式写出，再改成参数式
) 2(4)2(535313----=--=--z y x 化为参数式是：t x 23-=，t y 25-=，t z 62+-= 输入：Parametric Plot3D[{3-2t ，5-2t ，-2+6t} ，{t ，0，1}] 二、画空间曲面 例2：求过A （1，0，0），B （0，2，0），C （0，0，3），的平面方程，并画图。 分析：平面方程可由截距式写出，y x z 2 333--=。 输入：Parametric Plot3D[{3-3x-3y/2} ，{x ，-1，1}，{y ，-1，1}] 例3：画出二元函数22),(y x y x f +=的图形。 输入：Parametric Plot3D[{x^2+y^2} ，{x ，-4，4}，{y ，-4，4}] 例4：画出椭球心在原点，3=a ，4=b ，5=c 的椭球面。 输入：Parametric Plot3D[{3*Cos[u] Cos[v], 4*Sin[u] Cos[v],5*Sin[v]} ，{u ，0，2Pi}，{v ，-Pi/2，Pi/2}] 例5：画出以x y cos =为准线，母线平行于Z 轴的柱面。 输入：Parametric Plot3D[{x,Cos[x],z} ，{x ，-4，4}，{z ，-4，4}] 例6：画出由平面曲线z x cos 1+=绕Z 轴放转而成的旋转面。 输入：Parametric Plot3D[{（1+Cos[u]）Cos[v] ，（1+Cos[u]）Sin[v] ，u} ，{u ，-Pi ，Pi}，{v ，0，2Pi}] 例7：画单叶双曲面。 输入：Parametric Plot3D[{Sec[u]Cos[v] ，Sec[u]Sin[v] ，Tan[u]} ，{u ，-Pi/2+0.5，Pi/2-0.5}，{v ，0，2Pi}]
第三章 常 见 曲 面 §3.1 球面和旋转面 1.1球面的普通方程 球面方程的建立 首先建立球心在点()0000,,z y x M ，半径为0R ≥的球面方程。根据以下充分必要条件 (,,)M x y z 在球面上0M M R ?=， 得 ()()()2 2 2 2 000x x y y z z R -+-+-=， （3.1） 展开得 2221232220,x y z b x b y b z c ++++++= （3.2） 其中， 2222102030,000,,b x b y b z c x y z R =-=-=-=++-。 (3.1)或(3.2)就是所求球面方程，它是一个三元二次方程，没有交叉项(yz xz xy ,,项),平方项的系数相同。反之，任一形如（3.2）的方程经过配方后可写成： ()()(),0232221232221=---++++++b b b c b z b y b x 当c b b b >++2 32 22 1时，它表示一个球心在()321,,b b b ---，半径为c b b b -++2 32 22 1的 球面；当c b b b =++2 32221时，它表示一个点() 32,1,b b b ---；当c b b b <++2 32221时，它没有轨迹(或者说它表示一个虚球面）。 1.2球面的参数方程，点的球面坐标 如果球心在原点，半径为R ，在球面上任取一点()z y x M ,,,从M 作xOy 面的垂线，垂
足为N N ，连,O M O N 。设x 轴到ON 的角度为?，ON 到OM 的角度为θ(M 在xOy 面上方时，θ为正，反之为负)，则有 cos cos ,cos sin ,02,.2 2 sin ,x R y R z R θ?π π θ??πθθ=?? =≤<- ≤≤ ??=? （3.3） (3.3)称为球心在原点，半径为R 的球面的参数方程，有两个参数θ?,，其中?称为经度，θ称为纬度。 球面上的每一个点(除去它与z 轴的交点)对应唯一的对实数()?θ,，因此()?θ,称为球面上点的曲纹坐标。 因为空间中任一点()z y x M ,,必在以原点为球心，以R OM =为半径的球面上，而球面上点（除去它与z 轴的交点外）又由它的曲纹坐标()?θ,唯一确定，因此，除去z 轴外，空间中的点M 由有序三元实数组()?θ,,R 唯一确定。我们把()?θ,,R 称为空间中点M 的球面坐标（或空间极坐标），其中0R ≥，,022 2 π π θ?π-≤≤ ≤≤。 点M 的球面坐标()?θ,,R 与M 的直角坐标()z y x ,,的关系为 cos cos , 0,cos sin , - ,22 sin , 02x R R y R z R θ?π π θ?θθ?π =≥??? =≤≤ ??=≤≤?? （3.4） 1.3曲面和曲线的普通方程、参数方程 从球面的方程（3.2）和球面的参数方程（3.3）看到，一般来说，曲面的普通方程是一个三元方程()z y x F ,,=0，曲面的参数方程是含有两个参数的方程： (,),(,), ,,(,),x x u v y y u v a u b c v d z z u v =?? =≤≤≤≤??=? （3.5） 其中，对于()v u ,的每一对值，由（3.5）确定的点()z y x ,,在此曲面上；而此曲面上任一点的坐标都可由()v u ,的某一对值（3.5）表示。于是通过曲面的参数方程（3.5），曲面上的
第六节 空间曲线的切线与空间曲面的切平面 一、空间曲线的切线与法平面 设空间的曲线C 由参数方程的形式给出：?? ? ??===)()()(t z z t y y t x x ，),(βα∈t ． 设),(,10βα∈t t ，)(),(),((000t z t y t x A 、))(),(),((111t z t y t x B 为曲线上两点，B A ，的连线AB 称为曲线C 的割线，当A B →时，若AB 趋于一条直线，则此直线称为曲线C 在点A 的切线． 如果)()()(t z z t y y t x x ===，，对于t 的导数都连续且不全为零（即空间的曲线C 为光滑曲线），则曲线在点A 切线是存在的．因为割线的方程为 ) ()() ()()()()()()(010010010t z t z t z z t y t y t y y t x t x t x x --=--=-- 也可以写为 010********)()() ()()()()()()(t t t z t z t z z t t t y t y t y y t t t x t x t x x ---=---=--- 当A B →时，0t t →，割线的方向向量的极限为{})(),(),(000t z t y t x '''，此即为切线的方向向量，所以切线方程为 ) () ()()()()(000000t z t z z t y t y y t x t x x '-='-='-． 过点)(),(),((000t z t y t x A 且与切线垂直的平面称为空间的曲线C 在点 )(),(),((000t z t y t x A 的法平面，法平面方程为 ))(())(())((00'00'00'=-+-+-z z t z y y t y x x t x 如果空间的曲线C 由方程为 )(),(x z z x y y == 且)(),(0' 0'x z x y 存在，则曲线在点)(),(,(000x z x y x A 的切线是 ) () ()()(100000x z x z z x y x y y x x '-= '-=- 法平面方程为
§ 常见曲面的参数方程 本节重点：掌握空间中的三种坐标系：直角坐标系、球坐标系、柱坐标系。 掌握旋转曲面的参数方程的建立。 掌握直纹面的参数方程。 本节难点：旋转曲面的参数方程。直纹面的参数方程。 在第二章中，我们已经引进一般曲面与曲线的参数方程的概念、并给出简单曲面与曲线的参数表示，例如球面与圆柱螺旋线，直线的参数方程。现在再介绍旋转曲面、直纹面的参数方程，同时给出空间中另外两种坐标系：球坐标系与柱坐标系。 （一）旋转曲面的参数方程，球坐标与柱坐标 设旋转曲面的轴为Z 轴，母线Γ的参数方程是 )()()()(b t a t h Z t g Y t f X ≤≤=== 则此旋转曲面可由Γ上每一点生成的纬圆所构成的。由于这纬圆上动点),,(Z Y X P 与它在坐标面XOY 上的投影' P 具有相同的Y X ,坐标，所以Γ上任一点),,(1111Z Y X P 生成的纬圆的参数方程是 ??? ????=+=+=121212121sin cos Z Z Y X Y Y X X θθ )20(πθ<≤ 其中2121Y X +是纬圆半径，即1P 到Z 轴的距离，而参数θ是X 轴到1OP 的转角。设1P 对应的参数是1t ，则 )())(())((112 1212121t h Z t g t f Y X =+=+ 再让1t 在其取值范围内变动，即得这旋转曲面的参数方程 ??? ????=+=+=)(sin ))(())((cos ))(())((2222t h Z t g t f Y t g t f X θθ ???? ??<≤≤≤πθ20b t a （4.5.1） 特别地，当母线P 为坐标面XOZ 上的径线
实验6 空间曲线与曲面 实验目的 1．学会利用软件命令绘制空间曲线和曲面 2．通过绘制一些常见曲线、曲面去观察空间曲线和曲面的特点 3．绘制多个曲面所围成的区域以及投影区域。 实验准备 1．复习常见空间曲线的方程 2．复习常见空间曲面的方程 实验内容 1．绘制空间曲线 2．绘制空间曲面：直角坐标方程、参数方程 3．旋转曲面的生成 4．空间多个曲面的所围成的公共区域以及投影区域 软件命令 表6-1 Matlab 空间曲线及曲面绘图命令 实验示例 【例6.1】绘制空间曲线 绘制空间曲线sin ,cos ,x at t y at t z ct ===，在区间09t π≤≤上的图形，这是一条锥面螺旋线，取a=10,c=3。
【程序】： t=0:pi/30:9*pi; a=10; c=3; x=a*t.*sin(t); y=a*t.*cos(t); z=c*t; plot3(x,y,z,’mo ’) 【输出】：见图6-1。 图6-1 空间曲线的绘制 【例6.2】利用多种命令绘制空间曲面 绘制二元函数 22 2 2 sin x y z x y += +在区域:99,99D x y -≤≤-≤≤上的图形。 【程序】：参见Exm06Demo02.m 。 【输出】：见图6-2。 图 6-2 绘制空间曲面 【例6.3】绘制Mobius 带 Mobius 带的参数方程为 122122 cos sin cos ,[0,2],[,] sin u u x r u y r u r c v u v a b z v π=??==+∈∈??=?，， 其中,,a b c 为常数，绘制其图形。
§4.5 常见曲面的参数方程 本节重点：掌握空间中的三种坐标系：直角坐标系、球坐标系、柱坐标系。 掌握旋转曲面的参数方程的建立。 掌握直纹面的参数方程。 本节难点：旋转曲面的参数方程。直纹面的参数方程。 在第二章中，我们已经引进一般曲面与曲线的参数方程的概念、并给出简单曲面与曲线的参数表示，例如球面与圆柱螺旋线，直线的参数方程。现在再介绍旋转曲面、直纹面的参数方程，同时给出空间中另外两种坐标系：球坐标系与柱坐标系。 （一）旋转曲面的参数方程，球坐标与柱坐标 设旋转曲面的轴为Z 轴，母线Γ的参数方程是 )()()()(b t a t h Z t g Y t f X ≤≤=== 则此旋转曲面可由Γ上每一点生成的纬圆所构成的。由于这纬圆上动点),,(Z Y X P 与它在坐标面XOY 上的投影' P 具有相同的Y X ,坐标，所以Γ上任一点),,(1111Z Y X P 生成的纬圆的参数方程是 ??? ????=+=+=121212121sin cos Z Z Y X Y Y X X θθ )20(πθ<≤ 其中2121Y X +是纬圆半径，即1P 到Z 轴的距离，而参数θ是X 轴到1OP 的转角。设1P 对应的参数是1t ，则 )())(())((1121212121t h Z t g t f Y X =+=+ 再让1t 在其取值范围内变动，即得这旋转曲面的参数方程 ???????=+=+=)(sin ))(())((cos ))(())((2222t h Z t g t f Y t g t f X θθ ??? ? ??<≤≤≤πθ20b t a （4.5.1） 特别地，当母线P 为坐标面XOZ 上的径线 )(0) (t h Z Y t f X === 时,（4.5.1）成为
§４、5 常见曲面得参数方程 本节重点:掌握空间中得三种坐标系:直角坐标系、球坐标系、柱坐标系。 掌握旋转曲面得参数方程得建立。 掌握直纹面得参数方程、 本节难点:旋转曲面得参数方程。直纹面得参数方程。 在第二章中,我们已经引进一般曲面与曲线得参数方程得概念、并给出简单曲面与曲线得参数表示,例如球面与圆柱螺旋线,直线得参数方程。现在再介绍旋转曲面、直纹面得参数方程,同时给出空间中另外两种坐标系:球坐标系与柱坐标系。 (一)旋转曲面得参数方程,球坐标与柱坐标 设旋转曲面得轴为轴,母线得参数方程就是 则此旋转曲面可由上每一点生成得纬圆所构成得、由于这纬圆上动点与它在坐标面上得投影具有相同得坐标,所以上任一点生成得纬圆得参数方程就是 其中就是纬圆半径,即到轴得距离,而参数就是轴到得转角、设对应得参数就是,则 再让在其取值范围内变动,即得这旋转曲面得参数方程 (4、5.1) 特别地,当母线为坐标面上得径线 时,(4。５、１)成为 (4.5.２) 例１、如图,以原点为中心,为半径得球面可瞧作就是由坐标面上得半圆, ()绕轴旋转所生成得,由(4.5。２)得其参数方程为 (4、5。3) 它与§2。１中得球面参数方程得形式就是相同得。 (４、５、3)中得参数分别叫做经度与纬度,序对叫做地理坐标、显然,除两极外,球面上得点与序对一一对应。这种利用曲面参数方程中得两个参数来表示曲面上得点得坐标叫做曲纹坐标,它对于曲面理论得进一步研究有着重要得作用。 利用球面得这种曲纹坐标还可以引入空间得另一种坐标系。设为空间任意一点,它到原点得距离为,过作以原点为中心,以为半径得球面,则在这球面上具有地理坐标,可令点Ｐ对应有序数组;反之,由非负实数可确定所在得球面,再由在这球面上确定点。空间中点得这种坐标叫做球坐标。显然,轴上点得球坐标可取任意值、 把(４.5。3)中得常数换为变数,就成为球坐标与直角坐标得变换式,即 (4、5。４) 反之,有 (4。5.５) 当时,＝0,于就是,对坐标面上得点,只需序对即可确定、这里不就是别得,正就是大家熟知得极坐标。这时原点就是极点,轴就是极轴,因此,球坐标可以瞧作就是平面极坐标在空间中得一种推广。 例2、如图4-17,以轴为对称轴,半径为得圆柱面可瞧作就是由坐标面上得直线: ,
第 2 章曲面与空间曲线的方程 本章教学目的：通过本章学习，使学生理解空间坐标系下曲面与空间曲线方程之定义及 表示，熟悉空间中一些特殊曲面、曲线的方程。 本章教学重点：空间坐标系下曲面与空间曲线方程的定义。 本章教学难点：(1)空间坐标系下母线平行于坐标轴的柱面方程与平面坐标系下有关平面 曲线方程的区别； ( 2)空间坐标系下，空间曲线一般方程的规范表示。 本章教学内容： § 1 曲面的方程 普通方程： 1 定义：设工为一曲面，F(x, y, z) =0为一三元方程，空间中建立了坐标系以后， 若工上任一点P(x,y,z)的坐标都满足F(x，y, z)=0，而且凡坐标满足方程的点都在曲 面工上，则称F (x, y, z) =0为工的普通方程，记作 2：F (x, y, z) =0. 不难看出，一点在曲面2上〈一〉该点的坐标满足工的方程，即曲面上的点与其 方程的解之间是一一对应的???》的方程的代数性质必能反映出2的几何性质。 2 三元方程的表示的几种特殊图形：空间中任一曲面的方程都是一三元方程,反之,是否任一三 元方程也表示空间中的一个曲面呢？一般而言这是成立的,但也有如下特殊情况 1 ° 若F( x, y, z) =0 的左端可分解成两个(或多个)因式F1( x, y, z) 与F2 (x, y, z)的乘积，即 F (x, y, z)= F i (x, y, z) F2 (x, y, z),贝U F (x , y , z) =0〈一〉F i (x , y , z) =0 或F2 (x , y , z) =0 ,此时 F( x y z) =0 表示两叶曲面1与 2 它们分别以F1( x y z) =0 F2( x y z) =0 为其方程此时称F(x y z)=0 表示的图形为变态曲面。如 F(x,y,z) xyz 0 即为三坐标面。 2 0方程F(x,y,z) (x2 y2 z2) x i2 y 2 2 (z 3)2 0 仅表示坐标原点和点( i 2 3) 3 °方程F(x, y,z) 0可能表示若干条曲线如 F(x, y,z) (x2 y2)(y2 z2) 0 即表示z 轴和x 轴 °方程F(x, y,z) 0不表示任何实图形如 4
第二章 曲面论 第二节 曲面的参数方程 一、 曲面的参数方程 设曲面∑是由显式 D y x y x f z ∈=),(),,( 所表示。 设),,(z y x 是曲面∑上的点，记向量),,(z y x r = ，则它们可构成一一对应。 于是曲面∑上的点可以用向量值函数 D y x y x f y x r ∈=),()),,(,,( 来表示， 也可以写为参数形式 ?????===),(, ,y x f z y y x x D y x ∈),(。
一般地，设3),(R v u r r ∈= ，其中参 数?∈),(v u ，这里?是2R 中的一 个区域。 我们称由3),(R v u r r ∈= ， ?∈),(v u ，所构成的3R 中点集∑为一张参数曲面，（即曲面∑，可以表示为参数方程表示的点集。） 记为?∈=∑),(),,(:v u v u r r ，（1） 把（1）用分量表示出来，就是 ?? ???===),(),(),,(v u z z v u y y v u x x ，?∈),(v u （2） 通常，我们称（1）是曲面∑的向量方程，而（2）是曲面∑的参数方程。 显然方程（1）和（2）之间的转换是直截了当的，所以我们可以认为（1）与（2）是一回事。
二、 几个用参数方程表示的常见 曲面 例1 平面的参数方程， 设30000),,(R z y x p ∈= 是一个固定的点， ),,(321a a a a = 与),,(321b b b b = 是自0p 出发的两个不平行的向量。这时，由a 与b 张成的平面可以用向量方程， 20),(,R v u b v a u p r ∈++= 来表示； 写成分量表示为 v b u a x x 110++=， v b u a y y 220++=， v b u a z z 330++=，
§7.4空间曲面和空间曲线 本节以两种方式来讨论空间曲面： （1）已知曲面的形状，建立这曲面的方程； （2）已知一个三元方程，研究这方程的图形。 7.4.1球面与柱面 (一)球面 空间中与一定点等距离的点的轨迹叫球面。 求球心在点),,( z y x M ，半径为R 的球面方程。 设),,(z y x M 为球面上的任一点，则有R M M = ，即 R z z y y x x =-+-+-222)()()( ，化简得： 2222)()()(R z z y y x x =-+-+- 。 ① 满足方程①，因此，方程①是球面的方程。 当0=== z y x 时，即球心在原点的球面方程为 2 222R z y x =++。 ② 例1.指出方程05642222=+--+++z y x z y x 表示何种曲面。 解：9415964412222+++-=+-++-+++z z y y x x ， 22223)3()2()1(=-+-++z y x ，方程表示以)3 ,2 ,1(-为球心，3为半径的球面。 （二）柱面 动直线L 沿给定曲线C 平行移动所形成的曲面，称为柱面。动直线L 称为柱面的母线，定曲线C 称为柱面的准线。 y
现在来建立以xoy 面上的曲线C ：? ??== . 0, 0),(z y x F 为准线，平行于L z 轴的直线 设) ,,( z y x M 为柱面上任一点，过 M 作平行于轴的直线 z ，交xoy 面于点 ) 0 , ,( y x M ，由柱面定义可知点上必在准线C M 。故有0),(= y x F 。由于 M M 与点点有相同的横坐标和纵坐标，故的坐标点 M 也必满足方程 0),(=y x F 。反之，如果空间一点) ,,( z y x M 满足方程0),(=y x F ，即0 ),(= y x F ，故 ) ,,( z y x M 且与轴平行的直线 z 必通过 上的点准线C ) 0 , ,( y x M ，即) 0 , ,( y x M 在过) 0 , ,( y x M 的母线上，于是) ,,( z y x M 必在柱面上，因此方程0),(=y x F 表示平行于轴的柱面 z 。 一般地 方程0) ,(=y x F 表示母线轴的柱面平行于 z ； 方程0) ,(=z y H 表示母线轴的柱面平行于 x ； 方程0) ,(=z x G 表示母线轴的柱面平行于 y 。 以二次曲线为准线的柱面称为二次柱面。 例如：方程2 2 2 a y x =+表示圆柱面；方程 12 22 2=+ b y a x 表示椭圆柱面； 方程12 2 22 =- b x a y 表示双曲柱面；方程Py x 22=表示抛物柱面。 y 22 a y = x x y 1 2 2=b y
旋转曲面的参数方程 ---------利用正交变换作旋转 众所周知，yOz 坐标面上的曲线(,)0F y z =绕z 轴旋转而成的旋转曲面的方程为 ()0F z = （1） （见同济大学《高等数学》（5版上册），313页）。 如果以上曲线的方程能写成显函数()y f z =（a z b ≤≤），则该旋转曲面的方程为 ()f z =或 222[()]x y f z += （2） 这个方程的几何意义是：对曲线上的每一点(0,,)P y z ，这个方程给出圆心在(0,0,)z ，半径为()f z 的一个垂直于z 轴的圆。当z 取遍[,]a b 中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。 如果曲线的方程是显函数()y f z =（a z b ≤≤），我们也可以用参数方程来表示这个旋转面： ()c o s ()s i n x f z y f z z z θθ?=?=??=? （02θπ≤≤，a z b ≤≤） （3） 这个方程的几何意义是：对每一个[,]z a b ∈，参数方程给出一个半径为()f z 的垂直于z 轴的圆。当z 取遍[,]a b 中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。 如果曲线的方程能写成参数方程() ()y f t z g t =??=?（a t b ≤≤），则旋转曲面的参数方程为： ()cos ()sin ()x f t y f t z g t θ θ?=? =??=? （02θπ≤≤，a t b ≤≤） （4） 这个方程的几何意义是：对每一个[,]t a b ∈，参数方程给出一个半径为()f t 的垂直于z 轴的圆。当t 取遍[,]a b 中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。 推而广之，如果该曲线是空间曲线，其参数方程为() ()()x h t y f t z g t =??=??=? （a t b ≤≤），则此曲线绕z 轴旋转而成的旋转曲面的参数方程为：
面及其方程 一曲面方程的概念 空间曲面可看做点的轨迹，而点的轨迹可由点的坐标所满足的方程来表达。因此，空间曲面可由方程来表示，反过来也成立。 为此，我们给出如下定义： 若曲面 S与三元方程 F x y z (,,) 0 (1) 有下述关系： 1、曲面 S上任一点的坐标均满足方程(1)； 2、不在曲面 S上的点的坐标都不满足方程(1)。 那么，方程(1)称作曲面 S的方程，而曲面S称作方程(1)的图形。 下面，我们来建立几个常见的曲面方程。 【例1】球心在点 ) , , ( z y x M ，半径为R的球面方程。
解：设M x y z (,,)是球面上的任一点，那么M M R 0=， 即： ()()()x x y y z z R -+-+-=020202 ()()()x x y y z z R -+-+-=0202022 (2) (2)式就是球面上任一点的坐标所满足的方程。 反过来，不在球面上的点 ''''M x y z (,,)，'M 到M 0的距离M M R 0'≠， 从而点 'M 的坐标不适合于方程(2)。 故方程(2)就是以 M x y z 0000(,,)为球心，R 为半径的球面方程。 若球心在原点，即 M x y z O 0000000(,,)(,,)=，其球面方程为 x y z R 2222++= 【例2】设有点A (,,)123和B (,,)214-，求线段AB 垂直平分面π 的方程。 解：所求平面π是与A 和B 等距离的点的几何轨迹，设M x y z (,,)是所求平面上任意 的一点，则 AM BM = 即： ()()()()()()x y z x y z -+-+-=-+++-123214222222
第2章 曲面与空间曲线的方程 本章教学目的：通过本章学习，使学生理解空间坐标系下曲面与空间曲线方程之定 义及表示，熟悉空间中一些特殊曲面、曲线的方程。 本章教学重点：空间坐标系下曲面与空间曲线方程的定义。 本章教学难点：（1）空间坐标系下母线平行于坐标轴的柱面方程与平面坐标系下有 关平面曲线方程的区别； （2）空间坐标系下，空间曲线一般方程的规范表示。 本章教学内容： §1 曲面的方程 一 普通方程： 1 定义：设Σ为一曲面，F （x ，y ，z ）=0为一三元方程，空间中建立了坐标系以后， 若Σ上任一点P （x ,y ,z ）的坐标都满足F （x ，y ，z ）=0，而且凡坐标满足方程的点都在曲面Σ上，则称F （x ，y ，z ）=0为Σ的普通方程，记作 Σ：F （x ，y ，z ）=0. 不难看出，一点在曲面Σ上〈═〉该点的坐标满足Σ的方程，即曲面上的点与其方程的解之间是一一对应的 ∴Σ的方程的代数性质必能反映出Σ的几何性质。 2 三元方程的表示的几种特殊图形： 空间中任一曲面的方程都是一三元方程，反之，是否任一三元方程也表示空间中的 一个曲面呢？一般而言这是成立的，但也有如下特殊情况 1° 若F （x ，y ，z ）=0的左端可分解成两个（或多个）因式F 1（x ，y ，z ） 与F 2（x ，y ，z ）的乘积，即F （x ，y ，z ）≡F 1（x ，y ，z ）F 2（x ，y ，z ），则 F （x ，y ，z ）=0〈═〉F 1（x ，y ，z ）=0或F 2（x ，y ，z ）=0，此时 F （x ，y ，z ）=0表示两叶曲面1∑与2∑，它们分别以F 1（x ，y ，z ）=0，F 2（x ，y ，z ）=0为其方程，此时称F （x ，y ，z ）=0表示的图形为变态曲面。如 0),,(=≡xyz z y x F 即为三坐标面。 20方程()()[] 0)3(21)(),,(222222=-+-+-++≡z y x z y x z y x F 仅表示坐标原点和点（1，2，3） 3°方程0),,(=z y x F 可能表示若干条曲线，如 0))((),,(2 222=++≡z y y x z y x F 即表示z 轴和x 轴 4°方程0),,(=z y x F 不表示任何实图形，如
.常见曲面的参数方程
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§4.5 常见曲面的参数方程 本节重点：掌握空间中的三种坐标系：直角坐标系、球坐标系、柱坐标系。 掌握旋转曲面的参数方程的建立。 掌握直纹面的参数方程。 本节难点：旋转曲面的参数方程。直纹面的参数方程。 在第二章中，我们已经引进一般曲面与曲线的参数方程的概念、并给出简单曲面与曲线的参数表示，例如球面与圆柱螺旋线，直线的参数方程。现在再介绍旋转曲面、直纹面的参数方程，同时给出空间中另外两种坐标系：球坐标系与柱坐标系。 （一）旋转曲面的参数方程，球坐标与柱坐标 设旋转曲面的轴为Z 轴，母线Γ的参数方程是 )()()()(b t a t h Z t g Y t f X ≤≤=== 则此旋转曲面可由Γ上每一点生成的纬圆所构成的。由于这纬圆上动点),,(Z Y X P 与它在坐标面XOY 上的投影' P 具有相同的Y X ,坐标，所以Γ上任一点),,(1111Z Y X P 生成的纬圆的参数方程是 ??? ????=+=+=12 12121 21sin cos Z Z Y X Y Y X X θθ )20(πθ<≤ 其中 2121Y X +是纬圆半径，即1P 到Z 轴的距离，而参数θ是X 轴到1OP 的转角。设1P 对 应的参数是1t ，则 )())(())((112 1212121t h Z t g t f Y X =+=+ 再让1t 在其取值范围内变动，即得这旋转曲面的参数方程 ??? ????=+=+=)(sin ))(())((cos ))(())((2 222t h Z t g t f Y t g t f X θθ ??? ? ??<≤≤≤πθ20b t a （4.5.1） 特别地，当母线P 为坐标面XOZ 上的径线 )(0) (t h Z Y t f X === 时,（4.5.1）成为
曲面与空间曲线的总结
椭圆柱面； 12222 =+b y a x 122 22=-b y a x 曲面与空间曲线一.曲面及其方程： 1.曲面方程的一般概念： 定义：若曲面上的点的坐标(x,y,z) 都满足方程F(x,y,z)=0， 而满足此方程的点都在曲面上，则称此方程为 该曲面的方程，而曲面称为此方程的‘图形’。 例1：求与A(2,3,1)和B(4,5,6)等距离的点的运动规迹。 解： 设M(x,y,z)为动点的坐标，动点应满足的条件是 |AM|=|BM|由距离公式得 此即所求点的规迹方程，为一平面方程。 2.坐标面及与坐标面平行的平面方程： ①坐标平面xOy 的方程：z=0 ②过点（a,b,c)且与xOy 面平行的平面方程：z=c ③坐标面yOz 、坐标面zOx 以及过（a,b,c)点且分别与之平行的平面方程：x=0; y=0; x=a; y=b 3. 球面方程： ①球面的标准方程：以M0(x0,y0,z0)为球心，R 为半径 的球面方程为 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2 ②球面的一般方程： x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0 球面方程的特点：平方项系数相同；没有交叉项。 例2：求x2+y2+z2+2x-2y-2=0表示的曲面 解：整理得： (x+1)2+(y-1)2+z2=22 故此为一个球心在（-1,1,0)，半径为2的球。 4.母线平行于坐标轴的柱面方程： 一般我们将动直线l 沿定曲线c 平行移动所形成的轨迹 称为柱面。其中直线l 称为柱面的母线，定曲线c 称为柱面 的准线。本章中我们只研究母线平行于坐标轴的柱面方程。 此时有以下结论： 若柱面的母线平行于z 轴，准线c 是xOy 面上的一条曲线，其方程为F(x,y)=0，则该柱面的方程为F(x,y)=0; 同理，G(x,z)=0,H(y,z)=0在空间中分别表示母线平行于y 轴和x 轴的柱面。 分析：母线平行于坐标轴的柱面的特点为：平行于某轴，则在其方程中无此坐标项。其几何意义为：无论z 取何值，只要满足F(x,y)=0，则总在柱面上。 几种常见柱面：x+y=a 平面； 2 22222)6()5()4()1()3()2(-+-+-=-+-+-z y x z y x 整理得 0 631044=-++z y x 222a y x =+
4.5常见曲面的参数方程
§4.5 常见曲面的参数方程 本节重点：掌握空间中的三种坐标系：直角坐标系、球坐标系、柱坐标系。 掌握旋转曲面的参数方程的建立。 掌握直纹面的参数方程。 本节难点：旋转曲面的参数方程。直纹面的参数方程。 在第二章中，我们已经引进一般曲面与曲线的参数方程的概念、并给出简单曲面与曲线的参数表示，例如球面与圆柱螺旋线，直线的参数方程。现在再介绍旋转曲面、直纹面的参数方程，同时给出空间中另外两种坐标系：球坐标系与柱坐标系。 （一）旋转曲面的参数方程，球坐标与柱坐标 设旋转曲面的轴为Z 轴，母线Γ的参数方程是 )()()()(b t a t h Z t g Y t f X ≤≤=== 则此旋转曲面可由Γ上每一点生成的纬圆所构成的。由于这纬圆上动点),,(Z Y X P 与它在坐标面XOY 上的投影' P 具有相同的Y X ,坐标，所以Γ上任一点),,(1111Z Y X P 生成的纬圆的参数方程是 ???????=+=+=121212121sin cos Z Z Y X Y Y X X θ θ )20(πθ<≤
),(?θ叫做地理坐标。显然，除两极外，球面上的点),,(Z Y X P 与序对),(?θ一一对应。这种利用曲面参数方程中的两个参数来表示曲面上的点的坐标叫做曲纹坐标，它对于曲面理论的进一步研究有着重要的作用。 利用球面的这种曲纹坐标还可以引入空间的另一种坐标系。设P 为空间任意一点，它到原点的距离为r ，过P 作以原点为中心，以r 为半径的球面，则P 在这球面上具有地理坐标?θ,，可令点P 对应有序数组),,(?θr ；反之，由非负实数r 可确定P 所在的球面，再由),(?θ在这球面上确定P 点。空间中点的这种坐标叫做球坐标。显然，Z 轴上点的球坐标θ可取任意值。 把(4.5.3)中的常数a 换为变数r ，就成为球坐标与直角坐标的变换式，即 ?????===?θ ?θ?sin sin cos cos cos r Z r Y r X ?????? ??<<-<≤≥22200πππθt r （4.5.4） 反之，有 ?????????++=+=+=++=2222222222arcsin sin cos Z Y X Z Y X X Y X X Z Y X r ?θθ (4.5.5)
§4.5 常见曲面的参数方程 本节重点:掌握空间中的三种坐标系：直角坐标系、球坐标系、柱坐标系。 掌握旋转曲面的参数方程的建立。 掌握直纹面的参数方程。 本节难点：旋转曲面的参数方程。直纹面的参数方程。 在第二章中,我们已经引进一般曲面与曲线的参数方程的概念、并给出简单曲面与曲线的参数表示，例如球面与圆柱螺旋线,直线的参数方程。现在再介绍旋转曲面、直纹面的参数方程,同时给出空间中另外两种坐标系：球坐标系与柱坐标系。 （一）旋转曲面的参数方程，球坐标与柱坐标 设旋转曲面的轴为Z 轴,母线Γ的参数方程是 )()()()(b t a t h Z t g Y t f X ≤≤=== 则此旋转曲面可由Γ上每一点生成的纬圆所构成的。由于这纬圆上动点),,(Z Y X P 与它在坐标面XOY 上的投影' P 具有相同的Y X ,坐标,所以Γ上任一点),,(1111Z Y X P 生成的纬圆的参数方程是 ??? ????=+=+=121212121sin cos Z Z Y X Y Y X X θθ )20(πθ<≤ 其中2121Y X +是纬圆半径,即1P 到Z 轴的距离，而参数θ是X 轴到1OP 的转角。设1P 对应的参数是1t ，则 )())(())((112 1212121t h Z t g t f Y X =+=+ 再让1t 在其取值范围内变动，即得这旋转曲面的参数方程 ??? ????=+=+=)(sin ))(())((cos ))(())((2222t h Z t g t f Y t g t f X θθ ??? ? ??<≤≤≤πθ20b t a (４．5.１) 特别地,当母线P 为坐标面XOZ 上的径线 )(0) (t h Z Y t f X === 时,（４.５.1)成为
第二章曲面的表示与曲面论 第一节曲面的显式方程和 隐式方程 一、由显式方程表示的曲面 设2R D?是有界闭区域，函数 :连续。我们称函数f的图 f→ D R 像 z y R z f x f ∈ = G∈= x : ,( } y ),, ),(), y x (3D {( ) 为一张曲面，它展布在D上，称这 个曲面是由显式方程 , =) z∈ (), , ( y f D y x x 所确定的。 ∑表示一个曲面。 通常用 二、几种常见的曲面 例1 在空间直角坐标系中，中心 a、在xy平面 在坐标原点、半径为 上方的那个半球面（称为上半球面），它的显式方程为
222y x a z --=，D y x ∈),(， 其中 }:),{(222a y x y x D ≤+=，即D 是xy 平面上以原点为中心、半径为a 的圆盘。 显然，下半球面的方程为 222y x a z ---=，D y x ∈),(； 同样可给出左半球面、右半球面的方程式。 例2 点集 }1,0,,:),,{(=++≥z y x z y x z y x 是3R 中的一块等边三角形。这块曲面有显式表达 y x z --=1，D y x ∈),(， 其中}1,0,:),{(≤+≥=y x y x y x D 。 例 3 由方程axy z =，2),(R y x ∈， （常数0>a ），所确定的曲面称为双曲抛物面。 由于这曲面在在xy 平面的上的，第一、第三象限中，在xy 平面的上
方，而在第二、第四象限中是在xy 平面的下方，因此在原点)0,0,0(的近旁，曲面呈鞍的形状，俗称马鞍面。 例4 旋转曲面的方程 1设想在xz 平面上有一条显式曲线)0(),(b x a x f z ≤≤≤=。 如果固定z 轴不动，让xz 平面绕着z 轴旋转 360，那么这一条曲线就扫出一张曲面，称之为旋转曲面∑。 设∑∈),,(z y x ，它在过点),0,0(z 平行于xy 平面的平面上，以),0,0(z 为中心，半径为r 的圆周上（)(r f z =）， 222r y x =+， 于是得这个旋转曲面∑的方程为):(),(222222b y x a D y x f z ≤+≤+=。