2016-2017学年高中数学第2讲直线与圆的位置关系高效整合新
人教A 版选修4-1
一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图所示，已知AB 是半⊙O 的直径，弦AD ，BC 相交于点P ，那么
CD AB
＝()
A．sin∠BPD B．cos∠BPD C．tan∠BPD D．
1tan∠BPD
解析：
如右图所示，连接BD．
∴AB 是直径，∴∠ADB ＝90°.
又∵∠ADC ＝∠ABC ，∠APB ＝∠CPD ，
∴△APB ∽△CPD ，∴CD AB ＝PD
PB
.
在Rt△PDB 中，cos∠BPD ＝
PD PB
，∴CD
AB
＝cos∠BPD ，故选B．答案：
B
2．如右图所示，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 为切点，C 是AB 上的一点，已知⊙O 半径为r ，PO ＝2r ，设∠PAC ＋∠PBC ＝α，∠APB ＝β.则α、β的大小关系是(
)
A．α＞βB．α＝βC．α＜β
D．不能确定
解析：连结OA ，则OA ⊥PA ，又PO ＝2r ＝2OA ，∴∠APO ＝30°，∴β＝∠APB ＝60°.连结OB ，则∠POA ＝∠POB ＝60°，又α＝∠PAC ＋∠PBC ＝1
2
∠AOB ＝60°，∴α＝β.
3．如图，已知EF 是⊙O 的直径，把∠A 为60°的直角三角板ABC 的一条直角边BC 放在直线EF 上，斜边AB 与⊙O 交于点P ，点B 与点O 重合．将三角板ABC 沿OE 方向平移，使得点B 与点E 重合为止．设∠POF ＝x °，则x 的取值范围是(
)
A．30≤x ≤60B．30≤x ≤90C．30≤x ≤120D．60≤x ≤120
答案：
A
4．如图所示，在⊙O 中，AB ＝2CD ，那么()
A．AB >2CD B．AB <2CD C．AB ＝2CD
D．AB 与2CD 的大小关系不能确定解析：
如右图所示，作DE ＝CD ，则CE ＝2CD .
∵在△CDE 中，CD ＋DE >CE ，∴2CD >CE ，∵AB ＝2CD ，∴AB >CE ，∴AB >CE ，即AB >2CD .答案：
A
5．已知AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB 于P ，EF 是过点P 的弦，已知AB ＝10，PA ＝2，PE ＝5，则CD 和EF 分别为(
)
A．8和7B．7和415C．7和8D．8和
415
解析：
∵PA ·PB ＝PC 2，
∴PC 2＝16，PC ＝4，∴CD ＝8.∵PE ·PF ＝PC 2，∴PF ＝16
5
，∴EF ＝165＋5＝41
5
.
6．如图，PC 与⊙O 相切于C 点，割线PAB 过圆心O ，∠P ＝40°，则∠ACP 等于(
)
A．20°B．25°C．30°D．40°
解析：
连接OC ，
∵PC 切⊙O 于C 点，∴OC ⊥PC ，∵∠P ＝40°，∴∠POC ＝50°，连接BC ，∵OC ＝OB ，∴∠B ＝1
2∠POC ＝25°，
∴∠ACP ＝∠B ＝25°.答案：
B
7．给出下列命题：
(1)任一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；(2)任一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；(3)任一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；(4)任一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中真命题共有()
A．1个B．3个C．2个D．4个
解析：(1)(3)正确，(2)(4)错误，故选C．答案：
C
8．如右图所示，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，BC 与以AD 为直径的⊙O 相切于点E ，
AB ＝9，CD ＝4，则四边形ABCD 的面积为(
)A．78B．65C．45D．37
解析：
如右图所示，不妨设⊙O 与AB 交于F ，分别连接OE 、DF .
根据切线的性质，可得OE ⊥BC．
∵OE 、AB 、CD 都是平行的，又∵O 是中点，
∴r ＝OE ＝1
2(AB ＋CD )
＝12×(4＋9)＝132
.
又∵AF ＝AB －CD ＝5，在Rt△ADF 中，
DF ＝AD 2－AF 2＝132－25＝12，
∴S ＝1
2(AB ＋CD )·DE
＝1
2×13×12＝78.答案：
A
9．在Rt△ABC 中，∠BCA ＝90°，以A 为圆心、AC 为半径的圆交AB 于F ，交BA 的延长线于E ，CD ⊥AB 于D ，给出四个等式：
①BC 2
＝BF ·BA ；②CD 2
＝AD ·AB ；③CD 2
＝DF ·DE ；④BF ·BE ＝BD ·BA．其中能够成立的有()
A．1个B．2个C．3个D．4个
解析：
①②不正确，由割线定理的推论知③正确，又由BC 2
＝BE ·BF ，BC 2
＝BD ·BA ，
∴BE ·BF ＝BD ·BA ，故④正确．
答案：
B
10．如图，AB 、AC 、CE 都是⊙O 的切线，B 、D 、E 为切点，P 为BDE 上一点，若∠A ＋∠C ＝110°，则∠BPE ＝(
)
A．70°B．60°C．55°D．50°
解析：
连结BD 、DE ，则∠ABD ＝∠ADB ＝90°－12∠A ，∠CDE ＝∠CED ＝90°－1
2
∠C ，
∴∠BPE ＝180°－∠ADB －∠CDE ＝1
2
(∠A ＋∠C )＝55°，∠BPE ＝55°.
答案：
C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)11．如右图所示，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，PA ＝2.AC 是⊙O 的直径，PC 与圆⊙O 交于点B ，PB ＝1，则⊙O 的半径r ＝________.
解析：依题意，△PBA ∽△ABC ，
所以
PA 2r ＝PB AB
，即r ＝PA ·AB 2PB ＝2×22－12
2×1
＝ 3.
答案：
3
12．在Rt△ABC 中，∠A ＝90°，点O 在BC 上，以O 为圆心的⊙O 分别与AB 、AC 相切于E 、F ，若AB ＝a ，AC ＝b ，则⊙O 的半径为________.
解析：
如右图所示，分别连接OE 、OF ，则四边形OEAF 是正方形，不妨设⊙O 的半径
为r ，则由切线长定理，可得AE ＝AF ＝r ，
∵BE ＝AB －AE ，CF ＝AC －AF ，
∴BE ＝a －r ，CF ＝b －r ，
∵△BEO 与△CFO 相似，∴BE OE ＝OF
CF ，
∴a －r r ＝r b －r ，解得r ＝ab a ＋b
.
答案：
ab
a ＋b
13．PA 是圆的切线，A 是切点，PBC 是圆的割线且PB ＝12BC ，那么PA
PB ＝________.
解析：
如图所示，
∵PA 2＝PB ·PC ＝PB ·(PB ＋BC )＝PB ·(PB ＋2PB )＝3PB 2
，∴PA PB
＝ 3.
答案：
3
14．如图所示，A 、B 、C 是⊙O 上的三个点，当BC 平分∠ABO 时，能得出结论________.(任写一个)
解析：由OC ＝OB ，
得∠OBC ＝∠OCB ，∴∠OCB ＝∠ABC ，∴OC 与AB 是平行的．答案：
OC ∥AB
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(12分)在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3cm，BC ＝4cm.(1)求△ABC 内切圆的半径；
(2)若移动圆心O 的位置，使⊙O 保持与△ABC 的边AC 和边BC 都相切，求r 的取值范围．解析：(1)如图所示，⊙O 是Rt△ABC 的内切圆，切点分别为D 、E 、
F .
连接OD 、OE 、OF 、OB ，则OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB．在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3cm，
BC ＝4cm，∴AB ＝5cm.
∵OE ＝OD ，∠C ＝90°，
∴四边形CEOD 是正方形．∴CD ＝DO .∵OB ＝OB ，OD ＝OF ，∠ODB ＝∠OFB ＝90°，∴△ODB ≌△OFB．∴BD ＝BF .同理，可得AE ＝AF .
∴AC ＋BC －AB ＝AE ＋EC ＋BD ＋DC －AF －BF ＝EC ＋DC ＝2OD．
∴内切圆的半径r ＝OD ＝AC ＋BC －AB 2＝3＋4－52
＝1cm.
(2)如图所示，动⊙O 与AC ，BC 相切的最大的圆与AC ，BC 的切点分别是A 、D ，连接
OA 、OD ，则四边形AODC 是正方形，此时应有OA ＝AC ＝3cm，
∴动圆的半径r 的范围为(0,3]．
16．(12分)如图，AB 是半圆O 的直径，过点O 作弦AD 的垂线交切线AC 于点C ，OC 与
半圆O 交于点E .连接BE 、DE .
(1)求证：∠BED ＝∠C ；
(2)若OA ＝5，AD ＝8，求AC 的长．解析：
(1)证明：∵AC 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 直径，∴AB ⊥AC．
即∠1＋∠2＝90°.
又∵OC ⊥AD ，∴∠1＋∠C ＝90°.∴∠C ＝∠2.
而∠BED ＝∠2，∴∠BED ＝∠C．
(2)连接BD．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.
∴BD ＝AB 2－AD 2＝102－82
＝6.
∴△OAC ∽△BDA．
∴OA ∶BD ＝AC ∶DA．即5∶6＝AC ∶8.∴AC ＝20
3
.
17．(12分)如图所示，⊙O 1与⊙O 2相交于A ，B 两点，过点A 作⊙O 2的切线CF 交⊙O 1
于C ，直线CB 交⊙O 2于D ，直线DA 交⊙O 1于E ，连接CE .求证：
(1)△CAE 是等腰三角形；(2)DA ·DE ＝CD 2
－CE 2
.证明：
(1)连接AB ，
∵CA 是⊙O 2的切线，∴∠FAD ＝∠ABD．
又∠ABD＝∠E，
∴∠E＝∠FAD＝∠EAC，
∴△CAE是等腰三角形．
(2)∵CA2＝CB·CD，DA·DE＝BD·DC，
∴CA2＋DA·DE＝CB·CD＋BD·DC＝CD2.
又∵CA＝CE，
∴DA·DE＝CD2－CE2.
18．(14分)如右图所示，AB是⊙O的直径，点C在⊙O的半径AO
上运动，PC⊥AB交⊙O于E，PT切⊙O于T，PC＝2.5.
(1)当CE正好是⊙O的半径时，PT＝2，求⊙O的半径；
(2)设PT2＝y，AC＝x，求出y与x之间的函数关系式；
(3)△PTC能不能变为以PC为斜边的等腰直角三角形？若能，请求
出△PTC的面积；若不能，请说明理由．
解析：(1)如右图所示，当点C与点O重合后，即CE恰好为⊙O
的半径，此时PO＝PC＝2.5，延长PO交⊙O于F，不妨设该圆的半径为
r，则PE＝PO－r＝2.5－r，PE＝PO＋r＝2.5＋r，
根据切割线定理，可得
PT2＝PE·PF，
即22＝(2.5＋r)(2.5－r)，
解得r＝1.5.
所以⊙O的半径为1.5.
(2)如右图所示，分别连接OP、OT，
在直角△PCO中，PO2＝OC2＋PC2，
∵AC＝x，OC＝r－AC＝1.5－x，
PC＝2.5，
∴PO2＝(1.5－x)2＋2.52，
同理在Rt△POT中，PT2＝PO2－r2，
即y2＝(1.5－x)2＋2.52－1.52，
化简得y＝x2－3x＋6.25(0≤x≤1.5)．
(3)△PTC不可能变为以PC为斜边的等腰三角形．
理由如下所示，
当PT⊥CT时，由于PT切⊙O于T，
∴CT过圆心，即CT就是⊙O的半径，
由(1)知，CT＝1.5，PT＝2，即PT≠CT，由△PTC不可能变成以PC为斜边的等腰直角三
角形．
与圆有关的位置关系 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
第2讲与圆有关的位置关系 一、【教学目标】 1. 熟悉点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系，能够将半径与到圆心的距离与之对应． 2. 了解三角形的内心和外心及内切圆、外接圆、内接三角形、外切三角形的概念． 3. 了解切线相关的概念，掌握切线长及切线长定理． 二、【教学重难点】 1.教学重点：直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、切线及切线长定理 2.教学难点：灵活应用切线及切线长定理，易错题中对位置关系的全面分析 三、【考点聚焦】 考点一. 点和直线与圆的位置关系 1．点与圆的位置关系 (1).点到圆心的距离(d)、圆的半径(r) 不在同一直线上的三个点确定一个圆．（圆心怎么找） 注意：经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个． (3).经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形（三角形三条边的垂直平分线的交点）.
2．直线与圆的位置关系 (1) r为圆的半径，d为圆心到直线的距离： 考点二. 切线及切线长定理 3．圆的切线 (1)定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线，这个公共点叫切点． (2)切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． (3)切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点，②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 4．切线长定理 (1)切线长定义：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长． (2)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角． 注意：切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． 5．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆． 三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．这个三角形叫做圆的外切三角形． 注意：三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点． 6．三角形外心、内心有关知识比较
圆与圆的位置关系教案 【教学目标】 1．能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系． 2．通过圆与圆的位置关系的学习，体会用代数方法解决几何问题的思想． 3．通过本节内容的学习，进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性，逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯． 【教学重难点】 教学重点：能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系． 教学难点：用坐标法判断两圆的位置关系． 【教学过程】 ㈠复习导入、展示目标 问题：如何利用代数与几何方法判别直线与圆的位置关系？ 前面我们运用直线与圆的方程，研究了直线与圆的位置关系，这节课我们用圆的方程，讨论圆与圆的位置关系． ㈡检查预习、交流展示 1.圆与圆的位置关系有哪几种呢？ 2．如何判断圆与圆之间的位置关系呢？ ㈢合作探究、精讲精练 探究一：用圆的方程怎样判断圆与圆之间的位置关系？ 例1.已知圆 C 1：01322 2 =++++y x y x ，圆C 2 ： 02342 2 =++++y x y x ，是 判断圆C 1 与圆C 2 的位置关系. 解析：方法一，判断圆与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据连心线的长与两半径长的和或两半径长的差的绝对值的大小关系，判断圆与圆的位置关系. 解:(法一) 圆C 1 的方程配方,得4 923)1(2 2 = +?? ? ??++y x . 圆心的坐标是??? ??- -23,1,半径长2 3 1 =r . 圆C 2 的方程配方,得4 1723)2(2 2 = +? ? ? ??++y x .
圆心的坐标是?? ? ??--23,2,半径长 2 172= r . 连心线的距离为1, 217321+= +r r ,2 3 1721-=-r r . 因为 2 17 312317+<<-, 所以两圆相交. (法二) 方程 01322 2 =++++y x y x 与02342 2 =++++ y x y x 相减,得 2 1 = x 把2 1= x 代入01322 2=++++y x y x ,得 011242 =++y y 因为根的判别式016144>-=?,所以方程011242 =++y y 有两个实数根,因此两 圆相交. 点评:巩固用方程判断圆与圆位置关系的两种方法. 变式2 2 2 2 (1)(2)(2)1(2)(5)16x y x y ++-=-+-=与的位置关系 解：根据题意得，两圆的半径分别为1214r r ==和，两圆的圆心距 5.d == 因为 12d r r =+，所以两圆外切． ㈣反馈测试 导学案当堂检测 ㈤总结反思、共同提高 判断两圆的位置关系的方法: (1)由两圆的方程组成的方程组有几组实数解确定； (2)依据连心线的长与两半径长的和12r r +或两半径的差的绝对值的大小关系． 【板书设计】 一．圆与圆的位置关系 （1）相离，无交点 （2）外切，一个交点 （3）相交，两个交点；