微积分基本定理的应用
1.6.2微积分基本定理的应用 主编：徐其海 审核：张安永 一.学习目标 1.能理解导数于定积分的内在联系，掌握微积分基本定理，根据定积分的值解释其几何意义. 2. 会利用牛顿-莱布尼兹公式和求导公式求最基本初等函数的定积分. 3. 会利用牛顿-莱布尼兹公式和求导公式和定积分的性质求一些简单初等函数的定积分 二.重难点 1重点：对于牛顿-莱布尼兹公式的应用和理解. 2难点：对于牛顿-莱布尼兹公式的应用和理解. 三.知识链接. 1. 牛顿-莱布尼兹公式的理解. 一般的，如果f(x)是区间[]b a ,上的连续函数，并且),()(|x f x F =那么)()()(a F b F x f a b -=?.这个结论叫微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼兹公式 （1） 计算定积分dx x f a b )(?的关键是找到满足函数)()(|x f x F =的函数)(x F . （2） 通常利用基本初等函数的求导公式和定积分的性质求出)(x F . 如cdx m n bxdx m n dx ax m n dx c bx ax m n ????++=++22)(， 分成各个简单的函数进行积分较简单，求导运算和求)(x F 的运算是互逆的运算. （3） ,|)(F )()(b a x a F b F 记成-即)()(|)()(a F b F x F dx x f a b b a -==? （4） 只有f(x)在区间[]b a ,上连续，定积分dx x f a b )(?才存在 （5） 实际上F(x)+c(c 为常数)的导数和F(x)的导数相同，故 dx x f a b )(?可以写成[][]c a F c b F +-+)()(，但结果与)()(a F b F -相同，故省略了c 2. 复合函数的定积分 求复合函数的定积分主要依据定积分的性质 （1） 有限个函数代数和的积分，等于各个函数积分的代数和.即
2.微积分基本定理
§2. 微积分基本定理 ※ 学习目标 1．理解掌握微积分基本定理； 2．能根据微积分基本定理解较为简单的积分题目. 积分的概念 复习2： 求函数积分的基本方法、步骤 二、研读课本 微积分基本定理： 如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)=F / (x)，则有 ? b a dx x f )(=F(b )－F(a) 定理中的式子成为牛顿-莱布尼兹公式，通常称F(x)是f(x)的一个原函数. 在计算定积分时，常常用记号F(x) b a 来表示F(b ) －F(a)，于是牛顿—莱布尼兹公式也可以写作： ? b a dx x f )(= F(x) b a =F(b )－F(a) 常用关于积分的结论： 1、速度的积分等于路程； 2、加速度的积分等于速度； 3、力的积分等于功； 4、曲线的积分等于面积（这里要注意面积并非完全意义上的面积------x 轴上的面积为正，x 轴下的面积为负）； 5、面积的积分等于体积 课本例一、计算下列定积分： （1）? 1 02xdx （2）?1 2dx x （3） ? π20 cos xdx (4) ? 2 1 dx e x 新知总结 微积分基本定理建立了积分与导数间的密切联系.它使求定积分的问题变得简捷，在求定积分时只需找到导函数的一个原函数，就可以利用牛顿-莱布 尼兹公式求出这个函数的积分，这是求定积分的一种非常重要的方法. 积分问题的关键就是找到导函数的一个原函数. 课本例二 求定积分 ? 1 dx x 课本例三 求定积分 ? π cos xdx ，并解释其意义 三 典型例题 例3、 求下列函数的导函数，并利用所求结果求 ?1 2xdx （1）x 2 （2）x 2+5 （3）x 2－π （4）x 2 －a （其中a 是一个常数） 解：∵（x 2）/=2x ； （x 2+5）/=2x ； （x 2 －π）/ =2x ； （x 2 －a ）/ =2x ． ∴ ?1 2xdx = x 2 10 =（12 ）－（02 ）=1 ?1 2xdx =（x 2 +5） 10 =(12 +5)－(02 +5)=1 ?1 2xdx = （x 2 －π）10 =(12 －π)－(02 －π)=1 ?1 2xdx =（x 2 －a ） 10 =(12－a )－(02 －a )=1 小结：由上可知，题中4个不同函数得到函数都是2x ，而计算定积分 ?1 2xdx 时，选择不同的原函数， 结果却都一样．观察不难发现，这些原函数之间只是差了一个常数，而常数的导数为零，故导函数相同；积分时“－”的前后算式中都有这个常数，故常数并不影响定积分的结果． 故，为了计算简便一般在选择原函数计算定积分时，选择常数是0的原函数． 例4 、将一根弹性系数为0.5N/m 的弹簧自80cm 压缩至60cm ．求这一过程中弹簧弹力所做的功． 解：由胡克定理知F=kx=0.5x ，而功W=Fx ，由积分的意义可知克服弹力所做的功就是变力对弹簧改变长度x 的积分，80cm=0.8m ，60cm=0.6m ．
微积分基本定理 教案
1.6微积分基本定理 一：教学目标 知识与技能目标 通过实例，直观了解微积分基本定理的内容，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法 通过实例探求微分与定积分间的关系，体会微积分基本定理的重要意义 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。 二：教学重难点 重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基 本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点：了解微积分基本定理的含义 三：教学过程： 1、知识链接： 定积分的概念： 用定义计算的步骤： 2、合作探究： ⑴导数与积分的关系; 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。有没有计算定积分的更直接方法，也是比较一般的方法呢？ 下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例： 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为2 1()T T v t dt ?。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 2 1()T T v t dt ?=12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 说出你的发现 ⑵ 微积分基本定理 对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-?？ 若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差
微积分基本定理说课稿
《微积分基本定理》（说课稿） 一、教材分析 1、教材的地位及作用 我所选用的教材是科学出版社出版的高等教育“十一五”规划教材《经济数学基础》，由宋劲松老师主编。微积分基本定理是第四章第二节内容，本节内容共设计两个课时，这节课的主要内容是微积分基本公式的导出以及用它求定积分。 本节课是学生学习了不定积分和定积分这两个概念后的继续，它不仅揭示了不定积分和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。 二、教学目标及重点、难点 1、教学目标 根据学生的认知结构特征以及教材内容的特点，依据新课程标准要求，确定本节课的教学目标如下： （1）知识与技能目标：通过本节的学习，使学生了解变上限的定积分的定义及相关定理，掌握牛顿—莱布尼兹公式，通过例题及练习，使学生在增加对牛顿—莱布尼兹公式感性认识的基础上，熟练掌握求定积分的方法，从而能够熟练计算定积分. （2）能力目标：本节所讲数学知识主要是为学生学习专业课做准备。要逐步培养学生具有比较熟练的基本运算能力、提高综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力。 （3）德育目标：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。 2、教学重点、难点 根据教材内容特点及教学目标的要求确定本节重点为通过探究变上限定积分与原函数的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分. 根据学生的年龄结构特征和心理认知特点确定本节难点：了解微积分基本定理的含义. ——以学生现有的知识水平对于微积分基本定理的严密证明是存在着一定难度的，而突破难点的关键在于让学生主动去探索，体会微积分基本公式的导出以及利用它来计算简单的定积分，这样才能从真正意义上把握该定理的含义，提高学生的能力，体现学生的主体地位. 三、教法和学法 1、教法： 素质教育理论明确要求：教师是主导，学生是主体，只有教师在教学过程中注重引导，才能充分发挥学生的主观能动性，有利于学生创造性思维的培养和能力的提高，根据本节的教学内容及教学目标和学生的认识规律，我采用类比、启发、引导、探索式相结合的方法，启发、引导学生积极思考本节课所遇到的问题，引导学生联想旧知识来解决和探索新知识，从而使学生产生浓厚的学习兴趣和求知欲，体现了学生的主体地位。 2、学法：
定积分与微积分基本定理1
第23练 定积分与微积分基本定理 一、选择题 1．(2016·安徽示范高中联考)??1 e ? ????2x ＋1x d x 等于( ) A ．e 2 －2 B ．e －1 C ．e 2 D ．e ＋1 2．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( ) A.1 2g B ．g C.32 g D ．2g 3．(2016·江西师大附中期末)若? ?1 2(x －a )d x ＝∫π 40cos 2x d x ，则a 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．4 4.(2016·淄博一模)如图所示，曲线y ＝x 2 －1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( ) A .??02|x 2 －1|d x B.???? ??02(x 2 －1)d x C.??0 2(x 2 －1)d x D.??01(x 2 －1)d x ＋??1 2(1－x 2 )d x
5．(2016·天津蓟县期中)由直线y ＝x 和曲线y ＝x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.14 B.12 C ．1 D ．2 6．(2016·辽宁师大附中期中)定积分??0 1x (2－x )d x 的值为( ) A.π4 B. π2 C ．π D ．2π 7．(2016·山西四校联考)定积分??-2 2|x 2 －2x |d x 等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 8．若函数f (x )，g (x )满足? ?1－1f (x )g (x )d x ＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－1,1]上的一组 正交函数．给出三组函数： ①f (x )＝sin 12x ，g (x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1；③f (x )＝x ，g (x )＝x 2 . 其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 二、填空题 9．(2016·江西高安二中段考)已知? ?a －a(sin x ＋3x 2 )d x ＝16，则正实数a 的值为________． 10．(2017·德州月考)如图，已知点A ? ?? ??0，14，点P (x 0，y 0)(x 0>0)在曲线y ＝x 2 上，若阴影 部分面积与△OAP 面积相等，则x 0＝________. 11．设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2 ＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________ J(x 的单位：m ；力的单位：N)． 12．(2016·洛阳统考)用min{a ，b }表示a ，b 两个数中的较小的数，设f (x )＝min{x 2 ，x }，那么由函数y ＝f (x )的图象、x 轴、直线x ＝1 2和直线x ＝4所围成的封闭图形的面积为 ________.
高中数学16微积分基本定理(教案)
三、教学过程 1、复习： 定积分的概念及用定义计算 2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为 2 1 ()T T v t dt ? 。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 2 1 ()T T v t dt ? =12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算 ()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 注：1：定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则 ()()()b a f x dx F b F a =-? 证明：因为()x Φ= ()x a f t dt ? 与()F x 都是()f x 的原函数，故 ()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤） 其中C 为某一常数。 令x a =得()F a -()a Φ=C ，且()a Φ= ()a a f t dt ? =0 即有C=()F a ，故()F x =()x Φ+()F a ∴ ()x Φ=()F x -()F a =()x a f t dt ? 令x b =，有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a -，即 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求 定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。
解读定积分与微积分基本定理
解读定积分与微积分基本定理 一、知识点精析 知识点1 曲边梯形的面积 曲边梯形是曲线()y f x =与平行于y 轴的直线x a =，x b =和x 轴所围成的图形，通常称为曲边梯形，求曲边梯形面积可分为四个步骤： （1）分割：将曲边梯形分割成有限个很细的小曲边梯形．从区间[]a b ，上看，用1n +个分点将区间[]a b ，分成n 个小区间（不一定相等）． （2）近似代替：在每个小区间1[](12)i i x x i n -=L ，， ，，内任取一点11()i i i ξξξξ-+≤≤，以()i f ξ为高，1i i i x x x -?=-为底的小矩形面积为()i i f x ξ?，用它作为相应的小曲边梯形面积的近似值． （3）求和：将分割成的n 个矩形面积加起来，其和为1 ()n i i i f x ξ=?∑，它是所求曲边梯 形的面积的近似值． （4）取极限：将曲边梯形无限的细分（即分点越多），上面的近似值 1 ()i n i x i f ξ=? ∑就越 接近于曲边梯形的面积，当i x ?中的最大值{}max 0i x λ=?→时， 1 ()n i i i f x ξ=?∑的极限 1 lim ()n i i i i f x ξ→=?∑存在，则这个极限值就是曲边梯形的面积． 知识点2 定积分 设函数()y f x =定义在区间[]a b ，上，用分点0121n n a x x x x x b -=<<<<=L ，把 区间[]a b ，分成n 个小区间，其长度依次为1(0121)i i i x x x i n +?=-=-L ， ，，，记λ为这些小区间长度的最大值，当λ趋近于0时，所有的小区间的长度都趋近于0，在每个小区间内任取一点i ξ，作和式1 ()n n i i i I f x ξ-== ?∑．当0λ→时，如果和式的极限存在，我们把和式n I 的极限叫做函数()f x 在区间[]a b ，上的定积分，记作 ()b a f x dx ? ，即 1 ()lim ()n b i i a i f x dx f x λξ-→==?∑? ．其中，()f x 叫做被积函数，a 叫积分下限，b 叫积分上限， ()f x dx 叫做被积式，此时称函数()f x 在区间[]a b ，上可积．
微积分基本定理2
第二节 微积分基本定理（2） 姓名： 日期： . 教学目标： 1．认识微积分基本定理中积分与导数的关系，了解微积分基本定理的作用； 2．会用牛顿—莱布尼茨公式求定积分。 重难点：对正向求导公式熟悉掌握，并会逆向运用它们求一些简单函数的原函数。 【预习案】 1.定积分性质： 性质1: 1b a d x =? ； 性质2:()b a kf x dx =? ()k 为常数； 性质3:[()()]b a f x g x dx ±=? ； 性质4:()b a f x dx =? ()a c b <<其中. 2．微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式) . 3．定积分公式： （1）=?b a cdx （2）=? b a n dx x （3）=?b a xdx cos . （4） =? b a xdx sin （5）)0(_ __________ 1>=?x dx x b a （6） = ? b a x dx e （7） =?n m x dx a . 【探究案】 例1．求下列定积分： （1） ? --+2 2 2 12dx x x )(； （2）?-+3 1 2 21dx x x x ) )((； （3） ()2 0sin cos x x dx π -?； （4）()0 cos 2x x e x dx π-+-?
例2.计算: 2 2 sin 2 x dx π ? 例3. 2 2 1 x x dx - - ?= .（提示：结合图形） 【训练案】 1．计算 2 2 sin cos 22 x x dx π ?? + ? ?? ?等于（） A. 2 π B.1 2 π +C. 2 π -D.0 2．若 () 1 22 x k dx k +=- ?，则定值k为（） A. 1 B. 1 2 C. 1 2 -D.0 3 .设 2(01) () 2(12) x x f x x x ?≤< =? -<≤ ? 则 2 () f x dx ?=（） A.3 4 B. 4 5 C. 5 6 D.不存在 4．设 ()() 20 f x ax bx c a =++≠，若已知()()() 1 1 14,11,3 6 f f f x d x ' === ?，求 () f x的表达式。
微积分基本定理教案
微积分基本定理教案 Revised by BLUE on the afternoon of December 12,2020.
微积分基本定理 一：教学目标 知识与技能目标 通过实例，直观了解微积分基本定理的内容，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法 通过实例探求微分与定积分间的关系，体会微积分基本定理的重要意义 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。 二：教学重难点 重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含 义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点：了解微积分基本定理的含义 三：教学过程： 1、知识链接： 定积分的概念： 用定义计算的步骤： 2、合作探究： ⑴导数与积分的关系; 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。有没有计算定积分的更直接方法，也是比较一般的方法呢 下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例： 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为2 1()T T v t dt ?。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 2 1()T T v t dt ?=12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 说出你的发现 ⑵ 微积分基本定理 对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 设()()F x f x '=则在[,]a b 上，⊿y=()()F b F a - 将[,]a b 分成n 等份，在第i 个区间[x i-1,x i ]上，记⊿yi=F(x i )-F(x i-1),则 ⊿y=∑⊿y i 如下图，因为⊿h i =f(x i-1) ⊿x 而⊿y i ≈⊿h i 所以 ⊿y ≈∑⊿h i =∑f(x i-1) ⊿x 故 ⊿y=lim ∑⊿h i =∑f(x i-1) ⊿x= ?b a dx x f )( 即?b a dx x f )(=()()F b F a -
数学：1.6 微积分基本定理(教案)
1.6 微积分基本定理 一、教学目标 知识与技能目标 通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分过程与方法通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。 二、教学重难点 重点 通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点 了解微积分基本定理的含义 三、教学过程 1、复习： 定积分的概念及用定义计算 2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥），则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为 21()T T v t dt ?。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 2 1()T T v t dt ?=12()() S T S T - 而()()S t v t '=。 对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有 ()()() b a f x dx F b F a =-?若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 注：1：定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则 ()()() b a f x dx F b F a =-?
2014年人教A版选修2-2教案 1.6微积分基本定理
1.6微积分基本定理(一) 学习目标：通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的面积 教学重难点： 重点 通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点 了解微积分基本定理的含义 教学过程 1、复习： 定积分的概念及用定义计算 2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为2 1 ()T T v t dt ? 。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表 达，即 2 1 ()T T v t dt ? =12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有 ()()() b a f x d x F b F a =-? 若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差 ()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 注：1：定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则 ()()()b a f x dx F b F a =-? 证明：因为()x Φ= ()x a f t dt ? 与()F x 都是()f x 的原函数，故 ()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤） 其中C 为某一常数。
