双基达标 (限时20分钟)
1．已知cos θ＝35，且3π2＜θ＜2π，那么tan θ的值是( )．
A.43 B ．－43 C.35 D ．－34
解析 由3π2＜θ＜2π知，sin θ＜0，
sin θ＝－1－cos 2θ＝－45，tan θ＝－43.
答案 B
2．若tan α＝2，则2sin α－cos α
sin α＋2cos α的值为( )．
A ．0 B.34 C ．1
D.54 解析 2sin α－cos α
sin α＋2cos α＝2tan α－1
tan α＋2＝2×2－12＋2＝34.
答案 B
3．化简sin 2β＋cos 4β＋sin 2βcos 2β的结果是( )．
A ．1 B.32 C.12
D.14 解析 原式＝sin 2β＋cos 2β(cos 2β＋sin 2β)＝sin 2 β＋cos 2β＝1.
答案 A
4．若sin θ＝－45，tan θ＞0，则cos θ＝________.
解析 ∵sin θ＜0，tan θ＞0，∴θ是第三象限角．
∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.
答案 －35
5．化简1－2sin 10°·cos 10°
sin 10°－1－sin 210°的值为________．
解析 原式＝|sin 10°－cos 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°
－sin 10°
sin 10°－cos 10°＝－1.
6．求证：1sin 2α＋1cos 2α－1tan 2α＝2＋tan 2α.
证明 左边＝1sin 2α＋1cos 2α－cos 2αsin 2α
＝? ??
??1sin 2α－cos 2αsin 2α＋1cos 2α ＝1－cos 2αsin 2α＋1cos 2α
＝sin 2αsin 2α＋sin 2α＋cos 2αcos 2α
＝1＋sin 2αcos 2α＋1
＝2＋tan 2α＝右边，所以等式成立．
综合提高 (限时25分钟)
7．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝( )．
A ．－43
B.54 C ．－34
D.45
解析 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ
＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ
＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝22＋2－222＋1
＝45. 答案 D
8．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为( )．
A ．－4
B ．4
C ．－8
D ．8
解析 tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin α cos α.
∵sin α cos α＝1－(sin α－cos α)22＝－18，
∴tan α＋1tan α＝－8.
9．已知tan α＝－12，则1＋2sin α cos αsin 2α－cos 2α
的值是________． 解析 1＋2sin α cos αsin 2α－cos 2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin α cos αsin 2α－cos 2α
＝tan 2
＋1＋2tan αtan 2α－1＝? ????－122＋1＋2×? ????－12? ????－122－1＝－13. 答案 －13
10．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝________.
解析 原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋
sin 245°＝44＋12＝4412.
答案 4412
11．已知tan α＝－2，求sin α，cos α的值．
解 ∵tan α＝－2，∴α是第二、四象限角，
又tan α＝－2得sin α＝－2cos α.
(1)当α为第二象限角时，
???sin α＝－2cos αsin 2α＋cos 2α＝1?5cos 2α＝1， ∴cos α＝－55，sin α＝－2×? ????－55＝255. (2)当α为第四象限角时，
?
??sin α＝－2cos α，sin 2α＋cos 2α＝1?5cos 2α＝1， ∵cos α＞0， ∴cos α＝55，sin α＝－2×55＝－255.
综合(1)(2)知：当α为第二象限角时，
cos α＝－55，sin α＝255，
高中数学必修1知识点 第一章集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集， R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等
A B = 真子集 A ≠ ?B （或 B ≠ ?A ） B A ?，且B 中至少有一元素不属于A （1）A ≠ ??（A 为非空子 集） (2)若A B ≠ ?且B C ≠ ?，则 A C ≠ ? B A 集合 相等 A B = A 中的任一元 素都属于B ，B 中的任一元素都属于A (1)A ?B (2)B ?A A(B) （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有 21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 名 称 记 号 意义 性质 示意图 交集 A B I {|,x x A ∈且}x B ∈ （1）A A A =I （2）A ?=?I （3）A B A ?I A B B ?I B A 并集 A B U {|,x x A ∈或}x B ∈ （1）A A A =U （2）A A ?=U （3）A B A ?U A B B ?U B A
高中数学公式：三角函数公式大全三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全： 锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A）） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a
=sin(2a+a) 页 1 第 =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 cos(2α))/2=versin(2α)/2sin^2(α)=(1- cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 -cos(2α))/(1+cos(2α))tan^2(α)=(1 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α 2cot2α-cotα=-tanα s2α=2cos^2α1+co 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα /2)^2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina 页 2 第 =(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa =4cos3a-3cosa
高中数学必修三角函数常考题型同角三角函数 的基本关系 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-
同角三角函数的基本关系 【知识梳理】 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.即sin 2 α＋cos 2 α＝1. (2)商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即 sin α cos α＝tan_α ? ?? ??其中α≠k π＋π2?k ∈Z ?. 【常考题型】 题型一、已知一个三角函数值求另两个三角函数值 【例1】 (1)已知sin α＝12 13 ，并且α是第二象限角，求cos α和tan α. (2)已知cos α＝－4 5 ，求sin α和tan α. [解] (1)cos 2 α＝1－sin 2 α＝1－? ????12132＝? ?? ??5132 ，又α是第二象限角， 所以cos α<0，cos α＝－ 513，tan α＝sin αcos α＝－125 . (2)sin 2 α＝1－cos 2 α＝1－? ????－452＝? ?? ??352 ， 因为cos α＝－4 5 <0，所以α是第二或第三象限角， 当α是第二象限角时，sin α＝35，tan α＝sin αcos α＝－3 4；当α是第 三象限角时，sin α＝－35，tan α＝sin αcos α＝3 4 .
【类题通法】 已知三角函数值求其他三角函数值的方法 (1)若已知sin α＝m，可以先应用公式cos α＝±1－sin2α，求得 cos α的值，再由公式tan α＝sin α cos α 求得tan α的值． (2)若已知cos α＝m，可以先应用公式sin α＝±1－cos2α，求得 sin α的值，再由公式tan α＝sin α cos α 求得tan α的值． (3)若已知tan α＝m，可以应用公式tan α＝sin α cos α ＝m?sin α＝ m cos α及sin2α＋cos2α＝1，求得cos α＝± 1 1＋m2 ，sin α＝ ± m 1＋m2 的值． 【对点训练】 已知tan α＝ 4 3 ，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．解：由tan α＝ sin α cos α ＝ 4 3 ，得sin α＝ 4 3 cos α，① 又sin2α＋cos2α＝1，② 由①②得 16 9 cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝ 9 25 . 又α是第三象限角，故cos α＝－ 3 5 ，sin α＝ 4 3 cos α＝－ 4 5 . 题型二、化切求值 【例2】已知tan α＝3，求下列各式的值．
《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角： {}090αα< ,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号 (北师大版)高一数学必修1全套教案 第一章集合 课题:§0 高中入学第一课（学法指导） 教学目标：了解高中阶段数学学习目标和基本能力要求，了解新课程标准的基本思路，了解高考意向，掌握高中数学学习基本方法，激发学生学习数学兴趣，强调布置有关数学学习要求和安排。 教学过程： 一、欢迎词： 1、祝贺同学们通过自己的努力，进入高一 级学校深造。希望同学们能够以新的行动， 圆满完成高中三年的学习任务，并祝愿同 学们取得优异成绩，实现宏伟目标。 2、同学们军训辛苦了，收获应是：吃苦耐 劳、严肃认真、严格要求 3、我将和同学们共同学习高中数学，暂定 一年，… 4、本节课和同学们谈谈几个问题：为什么 要学数学？如何学数学？高中数学知识结 构？新课程标准的基本思路？本期数学教 学、活动安排？作业要求？ 二、几个问题： 1.为什么要学数学：数学是各科之研究工具，渗透到各个领域；活脑，训练思维；计算机等高科技应用的需要；生活实践应用的需要。 2.如何学数学： 请几个同学发表自己的看法→共同完善归纳为四点：抓好自学和预习；带着问题认真听课；独立完成作业；及时复习。注重自学能力的培养，在学习中有的放矢，形成学习能力。 高中数学由于高考要求，学习时与初中有所不同，精通书本知识外，还要适当加大难度，即能够思考完成一些课后练习册，教材上每章复习参考题一定要题题会做。适当阅读一些课外资料，如订阅一份数学报刊，购买一本同步辅导资料. 3.高中数学知识结构： 书本：高一上期（必修①、②），高一下期（必 修③、④），高二上期（必修⑤、选修系列）， 高二下期（选修系列），高三年级：复习资 料。 知识：密切联系，必修（五个模块）＋选修系列（4个系列，分别有2、3、6、10个模块）能力：运算能力、逻辑思维能力、空间想像能力、分析和解决实际问题的能力、应用能力。 4.新课程标准的基本理念： ①构建共同基础，提供发展平台；②提供多样课程，适应个性选择；③倡导积极主动、勇于探索的学习方式；④注重提高学生的数学思维能力；⑤发展学生的数学应用意识；⑥与时俱进地认识“双基”；⑦强调本质，注意适度形式化；⑧体现数学的文化价值；⑨注重信息技术与数学课程的整合；⑩建立合理、科学的评价体系。 5.本期数学教学、活动安排： 本期学习内容：高一必修①、②，共72课时， 三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的 异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即： 函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式： 高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多，很复杂，而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全：操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 1.2.2同角三角函数的基本关系（3） 教学目的： 知识目标：根据三角函数关系式进行三角式的化简和证明； 能力目标：（1）了解已知一个三角函数关系式求三角函数（式）值的方法。 （2）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力； 德育目标：训练三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法； 教学重点：同角三角函数的基本关系式 教学难点：如何运用公式对三角式进行化简和证明。 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．同角三角函数的基本关系式。 （1）倒数关系：sin csc 1αα?=，cos sec 1αα?=，tan cot 1αα?=． （2）商数关系： sin tan cos ααα=，cos cot sin ααα =． （3）平方关系：22sin cos 1αα+=，221tan sec αα+=，221cot csc αα+=． （练习）已知tan α43=，求cos α 2．tan αcos α= ，cot αsec α= ，（sec α+tan α）·（ ）=1 二、讲解新课： 例82tan α=-，试确定使等式成立的角α的集合。 =|1sin ||1sin |cos ||cos |αααα+-- =1sin 1sin |cos |ααα+-+=2sin |cos | αα． 2tan α-=-， ∴2sin |cos |αα2sin 0cos αα +=， 即得sin 0α=或|cos |cos 0αα=-≠． 所以，角α的集合为：{|k ααπ=或322,}22 k k k Z πππαπ+<<+∈． 例9．化简(1cot csc )(1tan sec )αααα-+-+． 解：原式=cos 1sin 1(1)(1)sin sin cos cos αααααα -+-+ 2sin cos 1cos sin 11(sin cos )sin cos sin cos αααααααααα-+-+--=?=?112sin cos 2sin cos αααα-+?==?． 说明：化简后的简单三角函数式应尽量满足以下几点： （1）所含三角函数的种类最少； （2）能求值（指准确值）尽量求值； （3）不含特殊角的三角函数值。 例10．求证： cos 1sin 1sin cos x x x x +=-． 证法一：由题义知cos 0x ≠，所以1sin 0,1sin 0x x +≠-≠． 高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数（初等函数二） ?? ?? ?正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<， 则sin y r α= ，cos x r α= ，()tan 0y x x α= ≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α=M P ，cos α=O M ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()2 2 1sin cos 1αα+= 高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化： ,23600π= ,1800 π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3.弧长及扇形面积公式 (1)弧长公式：r l .α= α----是圆心角且为弧度制 (2)扇形面积公式:S=r l .2 1 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： 记忆口诀：一全正，二正弦，三两切，四余弦 sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1 （2）商数关系：ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2 ππ α） 6.诱导公式： 记忆口诀：把2 k π α±的三角函数化为α的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． x y O — + + — + y O — + + — 高中数学北师大版必修1 全册 知识点总结 第一章集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集；N *或N +表示正整数集；Z 表示整数集；Q 表示有理数集；R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈；或者a M ?；两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来；写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}；其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素；则它有2n 个子集；它有21n -个真子集；它有21n -个非空子集；它有22n -非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 A B B ?U 补集 {|,}x x U x A ∈?且%1 （ %1 %1 %1 %1 ⑼ 集合的运算律： 交换律：.;A B B A A B B A Y Y I I == 结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A Y Y Y Y I I I I == 分配律:)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A Y I Y I Y I Y I Y I == 0-1律：,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===I U I U 等幂律：.,A A A A A A ==Y I 求补律：A ∩ A ∪=U 反演律：(A ∩B)=(A)∪(B) (A ∪B)=(A)∩(B) 第二章函数 §1函数的概念及其表示一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合；如果按照某种对应关系f ；对于集合A 中的 元素；在集合B 中都有 元素和它对应；这样的对应叫做 到 的映射；记作 .2．象与原象：如果f :A →B 是一个A 到B 的映射；那么和A 中的元素a 对应的 叫做象； 叫做原象.二、函数1．定义：设A 、B 是 ；f :A →B 是从A 到B 的一个映射；则映射f :A →B 叫做A 到B 的 ；记作 .2．函数的三要素为 、 、 ；两个函数当且仅当 分别相 定义式 ） ct 函数关系 倒数关系：；； 商数关系：；． 平方关系：；；．诱导公式 公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及与的三角函数值之间的关系： 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作 锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限： 记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角． 以诱导公式二为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得到了诱导公式二． 以诱导公式四为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四． 诱导公式的应用： 运用诱导公式转化三角函数的一般步骤： 特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。 《三角函数》【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈ x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈ y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈ 3、第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈ 第二象限角：{}()90360180360k k k Z αα??+<<+∈ 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈ 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈ 4、区分第一象限角、锐角以及小于90的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈ 锐角： {}090αα<< 小于90的角：{}90αα< 5、若α为第二象限角，那么 2 α 为第几象限角？ ππαππ k k 222 +≤≤+ ππ α ππ k k +≤ ≤ +2 2 4 ,24,0παπ≤≤=k ,2345,1παπ≤≤=k 所以2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 8、角度与弧度对应表： 9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α 终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号 口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.（简记为“全s t c ”） 三角函数常见题 1、A，B，C为三角形内角，已知1+cos2A-cos2B-cos2C=2sinBsinC，求角A 解：1+cos2A-cos2B-cos2C=2sinBsinC 2cos2A-1-2cos2B+1+2sin2C=2sinBsinC cos2A-cos2B+sin2(A+B)=sinBsinC cos2A-cos2B+sin2Acos2B+2sinAcosAsinBcosB+cos2Asin2B=sinBsinC cos2A-cos2Acos2B+2sinAcosAsinBcosB+cos2Asin2B=sinBsinC 2cos2AsinB+2sinAcosAcosB=sin(180-A-B) 2cosA(cosAsinB+sinAcosB)-sin(A+B)=0 Sin(A+B)(2cosA-1)=0 cosA=1/2 A=60 2、证明：(1+sinα+cosα+2sinαcosα)/(1+sinα+cosα)=sinα+cosα <===>1+sina+cosa+2sinacosa=sina+cosa+(sina+cosa)2 <===>1+sina+cosa+2sinacosa=sina+cosa+1+2sinacosa <===>0=0恒成立 以上各步可逆，原命题成立 证毕 3、在△ABC中,sinB*sinC=cos2(A/2),则△ABC的形状是? sinBsin(180-A-B)=(1+cosA)/2 2sinBsin(A+B)=1+cosA 2sinB(sinAcosB+cosAsinB)=1+cosA sin2BsinA+2cosAsin2B-cosA-1=0 sin2BsinA+cosA(2sin2B-1)=1 sin2BsinA-cosAcos2B=1 cos2BcosA-sin2BsinA=-1 cos(2B+A)=-1 因为A，B是三角形内角 2B+A=180 因为A+B+C=180 所以B=C 三角形ABC是等腰三角形 4、求函数y=2-cos(x/3)的最大值和最小值并分别写出使这个函数取得最大值和最小值的x的集合 -1≤cos(x/3)≤1 -1≤-cos(x/3)≤1 1≤2-cos(x/3)≤3 值域[1,3] 当cos(x/3)=1时即x/3=2kπ即x=6kπ时，y有最小值1此时{x｜x=6kπ,k∈Z} 当cos(x/3)=-1时即x/3=2kπ+π即x=6kπ+3π时，y有最小值1此时{x｜x=6k π+3π,k∈Z} 5、已知△ABC，若(2c-b)tanB=btanA，求角A [(2c-b)/b]sinB/cosB=sinA/cosA 正弦定理c/sinC=b/sinB=2R代入 北师大版(新课标)高中数学课本目录大全（含必修和选修） 北师大必修 《数学1(必修)》 全书目录： 第一章集合 §1 集合的含义与表示 §2 集合的基本关系 §3 集合的基本运算 阅读材料康托与集合论 第二章函数 §1 生活中的变量关系 §2 对函数的进一步认识 §3 函数的单调性 §4 二次函数性质的再研究 §5 简单的幂函数 阅读材料函数概念的发展 课题学习个人所得税的计算 第三章指数函数和对数函数 §1 正整数指数函数 §2 指数概念的扩充 §3 指数函数 §4 对数 §5 对数函数 §6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 阅读材料历史上数学计算方面的三大发明 第四章函数应用 §1 函数与方程 §2 实际问题的函数建模 阅读材料函数与中学数学 探究活动同种商品不同型号的价格问题 必修2 全书目录： 第一章立体几何初步 §1 简单几何体 §2 三视图 §3 直观图 §4 空间图形的基本关系与公理 §5 平行关系 §6 垂直关系 §7 简单几何体的面积和体积 §8 面积公式和体积公式的简单应用阅读材料蜜蜂是对的 课题学习正方体截面的形状 第二章解析几何初步 §1 直线与直线的方程 §2 圆与圆的方程 §3 空间直角坐标系 阅读材料笛卡儿与解析几何 探究活动1 打包问题 探究活动2 追及问题 必修3 全书目录 第一章统计 §1 统计活动：随机选取数字 §2 从普查到抽样 §3 抽样方法 §4 统计图表 §5 数据的数字特征 §6 用样本估计总体 §7 统计活动：结婚年龄的变化 §8 相关性 §9 最小二乘法 阅读材料统计小史 课题学习调查通俗歌曲的流行趋势 第二章算法初步 §1 算法的基本思想 §2 算法的基本结构及设计 高中数学第四章-三角函数知识点汇总 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{}Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：2 11||2 2 s lr r α= = ?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 r y =α sin ； r x = αcos ； x y = α tan ； y x = α cot ； x r = α sec ；. y r = α csc . 5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） 正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 7. 三角函数的定义域： SIN \C O S 三角函数值大小关系图 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 (3) 若 o 第一章 算法初步 1．1算法与程序框图 练习（P5） 1、算法步骤：第一步，给定一个正实数r . 第二步，计算以r 为半径的圆的面积2 S r π=. 第三步，得到圆的面积S . 2、算法步骤：第一步，给定一个大于1的正整数n . 第二步，令1i =. 第三步，用i 除n ，等到余数r . 第四步，判断“0r =”是否成立. 若是，则i 是n 的因数；否则，i 不是n 的因数. 第五步，使i 的值增加1，仍用i 表示. 第六步，判断“i n >”是否成立. 若是，则结束算法；否则，返回第三步. 练习（P19） 算法步骤：第一步，给定精确度d ，令1i =. 第二步，取出 的到小数点后第i 位的不足近似值，赋给a 的到小数点后 第i 位的过剩近似值，赋给b . 第三步，计算55b a m =-. 第四步，若m d <，则得到5a ；否则，将i 的值增加1，仍用i 表示.返 回第二步. 第五步，输出5a . 程序框图： 习题1.1 A 组（P20） 1、下面是关于城市居民生活用水收费的问题. 为了加强居民的节水意识，某市制订了以下生活用水收费标准：每户每月用水未超过7 m 3时，每立方米收费1.0元，并加收0.2元的城市污水处理费；超过7m 3的部分，每立方收费1.5元，并加收0.4元的城市污水处理费. 设某户每月用水量为x m 3，应交纳水费y 元， 那么 y 与x 之间的函数关系为 1.2,07 1.9 4.9,7x x y x x ≤≤?=? ->? 我们设计一个算法来求上述分段函数的值. 算法步骤：第一步：输入用户每月用水量x . 第二步：判断输入的x 是否不超过7. 若是，则计算 1.2y x =； 若不是，则计算 1.9 4.9y x =-. 第三步：输出用户应交纳的水费 y . 程序框图： 2、算法步骤：第一步，令i =1，S=0. 第二步：若i ≤100成立，则执行第三步；否则输出S. 第三步：计算S=S+i 2. 第四步：i = i +1，返回第二步. 《同角三角函数的基本关系》教学设计 与三角函数的定义域、符号的确定一样，同角三角函数的基本关系式的推导，紧扣了定义，是按照一切从定义出发的原则进行的，通过对基本关系的推导，应注意学生重视对基本概念学习的良好习惯的形成，学会通过对基本概念的学习，善于钻研，从中不断发掘更深层次的内涵． 同角三角函数的基本关系式将“同角”的四种不同的三角函数直接或间接地联系起来，在使用时一要注意“同角”，至于角的表达形式是至关重要的，如sin 24π+cos 24π=1等，二要注意这些关系式都是对于使它们有意义的那些角而言的，如tanα中的α是使得tanα有意义的值，即α≠kπ+2 ，k ∈Z ． 已知任意角的正弦、余弦、正切中的一个值便可以运用基本关系式求出另外的两个，这是同角三角函数关系式的一个最基本功能，在求值时，根据已知的三角函数值，确定角的终边的位置是关键和必要的，有时由于角的终边的位置不确定，因此解的情况不止一种，解题时产生遗漏的主要原因一是没有确定好或不去确定终边的位置；二是利用平方关系开方时，漏掉了负的平方根． 1．通过三角函数的定义导出同角三角函数基本关系式，并能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明． 2．同角三角函数的基本关系式主要有三个方面的应用：（1）求值（知一求二）；（2）化简三角函数式；（3）证明三角恒等式．通过本节的学习，学生应明了如何进行三角函数式的化简与三角恒等式的证明． 3．通过同角三角函数关系的应用使学生养成探究、分析的习惯，提高三角恒等变形的能力，树立转化与化归的思想方法． 教学重点：课本的三个公式的推导及应用． 教学难点：课本的三个公式的推导及应用． 高考三角函数 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化：,23600π= ,1800π= 3.弧长及扇形面积公式 弧长公式：r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： sin α cos α tan α x y + O — — + x y O — + + — + y O — + + — 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1。（2）商数关系：α α cos sin =tan α （z k k ∈+≠ ,2 ππ α） 6.诱导公式：记忆口诀：2 k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号 看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2παα??+= ???，cos sin 2παα??+=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 7正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质 高中数学北师大版必修1-全册-知识点总结 高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集. （3）集合与元素间的关系对象与集合的关系是，或者，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(). 【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集（或 A中的任一元素都属于B (1)AA (2) (3)若且，则 (4)若且，则或真子集 AB （或BA）， （A为非空子集） (2)若且，则集且B中至少有一元素不属于A （1） 合相等 A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A (1)AB (2)BA （7）已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算（8）交 集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集且（1）（2）（3）⑷Α?B?A∩B=A 并集或（1）（2）（3）⑷A?B?A∪B=B 补集?uA ⑴（?uA）∩A=?, ⑵?uA∪A=U, ⑶?u?uA=A, ⑷?uA∩B=?uA∪?uB, ⑸?u(A∪B)=(?uA)∩(?uB) ⑼集合的运算律：交换律：结合律: 分配律: 0-1律：等幂律：求补律：A∩?uA=? A∪CuA=U ?uU=??u?=U 反演律：?u(A∩B)=(?uA)∪(?uB) ?u(A∪B)=(?uA)∩(?uB) 第二章函数§1函数的概念及其表示一、映射 1．映射：设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的元素，在集合B 中都有元素和它对应，这样的对应叫做到的映射，记作 . 2．象与原象：如果f:A→B是一个A到B的映射，那么和A中的元素a对应的叫做象，叫做原象。 二、函数 1．定义：设A、B是，f:A→B是从A到B的一个映射，则映射f:A→B叫做A到B的，记作 . 2．函数的三要素为、、，两个函数当且仅当分别相同时，二者才能称为同一函数。 3．函数的表示法有、、。 §2函数的定义域和值域一、定义域： 1．函数的定义域就是使函数式的集合. 2．常见的三种题型确定定义域：①已(北师大版)高一数学必修1全套教案
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