第六章 方差分析与正交试验设计
在生产实践和科学研究中，经常要分析各种因素对试验指标是否有显著的影响。例如，工业生产中，需要研究各种不同的配料方案对生产出的产品的质量有无显著差异，从中筛选出较好的原料配方；农业生产中，为了提高农作物的产量，需要考察不同的种子、不同数量的肥料对农作物产量的影响，并从中确定最适宜该地区种植的农作物品种和施肥数量。 要解决诸如上述问题，一方面需要设计一个试验，使其充分反映各因素的作用，并力求试验次数尽可能少，以便节省各种资源和成本；另一方面就是要对试验结果数据进行合理的分析，以便确定各因素对试验指标的影响程度。
§6.1 单因素方差分析
仅考虑一个因素A 对试验指标有无显著影响，可以让A 取r 个水平：r A A A ,,,21 ，在水平i A 下进行i n 次试验，称为单因素试验，试验结果观测数据ij x 列于下表：
并设在水平i A 下的数据i in i i x x x ,,21来自总体),(~2σμi i N X ，),,2,1(r i =。
检验如下假设：
r H μμμ=== 210:， r H μμμ,,,:211 不全相等 检验统计量为
),1(~)
/()
1/(r n r F r n S r S F e A ----=
其中2
1
2
11)()(x x n x x S i
r
i i r
i n j i A i
-=-=
∑∑∑===，称为组间差平方和。 211
)(i r
i n j ij
e x x
S i
-=
∑∑==，称为组内差平方和。
这里 ∑==r
i i n n 1
，∑==
i
n j ij i i x n x 1
1
，∑∑===r i n j ij i
x n x 111。 对于给定的显著性水平)05.001.0(或=αα，如果),1(r n r F F -->α，则拒绝0H ，即认为因素A 对试验指标有显著影响。
实际计算时，可事先对原始数据作如下处理：
b
a x x ij ij -=
'
再进行计算，不会影响F 值的大小。
例1
试分析三种不同的菌型对小白鼠的平均存活日数影响是否显著？ 解：30,11,9,10,3321=====n n n n r 16.6,27.7,22.7,4321====x x x x 43.70)()(21
2
11=-=-=
∑∑∑===x x n x x
S i r
i i r i n j i
A i
，
74.137)(211
=-=
∑∑==i r
i n j ij
e x x
S i
49.5)27,2(90.601.0=>=F F ，说明三种不同菌型的伤寒病菌对小白鼠的平均存活日数的影响高度显著。
§6.2 双因素方差分析
同时考察两个因素A 和B 对试验指标有无显著影响，可以让A 取r 个水平：
r A A A ,,,21 ，让B 取s 个水平：s B B B ,,,21 ，在各种水平配合),(j i B A 下进行试验，
称为双因素试验。
一、无交互作用的双因素方差分析
在每一种水平配合),(j i B A 下作一次试验，称为无交互作用的双因素试验，试验结果观测数据ij x 列于下表：
并设在水平配合),(j i B A 下的数据ij x 来自总体),
(~2σμij ij N X ，
),,2,1;,,2,1(s j r i ==。
检验如下假设：
???===r A H μμμ 210:， ???r A H μμμ,,,:211 不全相等 r B H ???===μμμ 210:， r B H ???μμμ,,,:211 不全相等 分别用如下检验统计量
))1)(1(,1(~)
1)(1/()
1/(------=
s r r F s r S r S F e A A
))1)(1(,1(~)
1)(1/()
1/(------=
s r s F s r S s S F e B B
其中21
2
11
)()(x x s x x
S i r
i r i s
j i A -=-=
?===?
∑∑∑，称为A 的组间差平方和。
2
1
2
11)()(x x r x x S j s
j r
i s j j B -=-=
?===?∑∑∑，称为B 的组间差平方和。 211
)(x x x x
S j i r
i s
j ij
e +--=
??==∑∑，称为组内差平方和。
这里 ∑=?=s j ij i x s x 11，∑=?=r
i ij j x r x 11，∑∑===r i s j ij x rs x 11
1。
对于给定的显著性水平)05.001.0(或=αα，如果))1)(1(,1(--->s r r F F A α，则拒绝A H 0，即认为因素A 对试验指标有显著影响；如果))1)(1(,1(--->s r s F F B α，则拒绝B H 0，即认为因素B 对试验指标有显著影响。
实际计算时，可事先对原始数据作如下处理：
b
a x x ij ij -=
'
再进行计算，不会影响B A F F ,值的大小。
例1 为了解三种不同配比的饲料对仔猪生长影响的差异，对3种不同品种的仔猪各选3头进行试验，分别测得其一段时间体重增加量，如下表所示（A 代表饲料，B 代表品种）：
解：所有数据减去50后计算结果如下：
3,3==s r
33.2,3,66.0321===???x x x 2,3,7,2321=-===???x x x x 33.3,150,66.8===e B A S S S
94.6)4,2(20.505.0=<=F F A ，说明不同饲料对仔猪的生长无显著影响。
0.18)4,2(0.9001.0=>=F F B ，说明品种的差异对仔猪生长的影响高度显著。
二、有交互作用的双因素方差分析
在每一种水平配合),(j i B A 下重复作)2(≥m m 次试验，称为有交互作用的双因素试验，试验结果观测数据ijk x 列于下表：
并设在水平配合),(j i B A 下的数据ijm ij ij x x x ,,,21 来自总体),
(~2σμij ij N X ，
),,2,1;,,2,1(s j r i ==。
检验如下假设：
???===r A H μμμ 210:， ???r A H μμμ,,,:211 不全相等 r B H ???===μμμ 210:， r B H ???μμμ,,,:211 不全相等 ij AB H μ:0全相等， ij AB H μ:1不全相等 分别用如下检验统计量
))1(,1(~)
1(/)
1/(----=
m rs r F m rs S r S F e A A
))1(,1(~)
1(/)
1/(----=
m rs s F m rs S s S F e B B
))1(),1)(1((~)
1(/)
1)(1/(------=
m rs s r F m rs S s r S F e AB AB
其中212
111)()(x x m s x x S i r
i r i s j i m
k A -=-=
?===?=∑∑∑∑
，称为A 的组间差平方和。
21
2
111)()(x x rm x x S j s
j r
i s
j j m
k B -=-=
?===?=∑∑∑∑
，称为B 的组间差平方和。
2
111)(x x x x S j i r
i s
j ij m
k AB +--=
??===∑∑∑
211
)(x x x x m j i r i s
j ij +--=??==∑∑，称为B A ?的
组间差平方和。
2111
)(ij r
i s
j ijk m
k e x x S -=∑∑∑===，称为组内差平方和。
这里 ∑∑==?=s j i j k m k i x sm x 11
1，∑∑==?=r i ijk m k j x rm x 111，∑==m
k ijk ij x m x 11， ∑∑∑====r i s j ijk m
k x rsm x 111
1。
对于给定的显著性水平)05.001.0(或=αα，如果))1(,1(-->m rs r F F A α，则拒绝A H 0，即认为因素A 对试验指标有显著影响；如果))1(,1(-->m rs s F F B α，则拒绝B H 0，即认
为因素B 对试验指标有显著影响；如果))1(),1)(1((--->m rs s r F F AB α，则拒绝AB H 0，即认为因素A 与因素B 之间的交互效应对试验指标有显著影响。
实际计算时，可事先对原始数据作如下处理：
b
a x x ijk ijk -='
再进行计算，不会影响AB B A F F F ,,值的大小。
例2 考察合成纤维弹性影响因素为拉伸倍数A 与收缩率B 。A 与B 各取4个水平，每个水平配合下做2次试验，结果数据见下表：
试分析因素、因素对合成纤维弹性的影响是否显著？以及因素与因素之间的交互效应对合成纤维弹性的影响是否显著？ 解： 2,4,4===m s r
50.21,20.80,66.69,86.8====e AB B A S S S S
24.3)16,3(95.205.0=<=F F A ，说明拉伸倍数A 对合成纤维弹性无显著影响。
29.5)16,3(22.2301.0=>=F F B ，说明收缩率B 对合成纤维弹性的影响高度显著。
78.3)16,9(91.801.0=>=F F AB ，说明因素A 与因素B 之间的交互效应对合成纤维弹性的影响高度显著。
§6.3 正交试验设计
前面介绍了单因素与双因素试验的方差分析，但是在实际问题中遇到的因素往往超过两个，需要考察各个因素对试验结果是否有显著影响。从理论上讲可以导出多因素的方差分析法，但是一来公式会变得很复杂，二来总试验次数也要明显增多。例如，考虑7个因素的试验，每个因素有6个水平，若在每一种组合水平上都做一次试验，需要做27993667
=次
试验，这是根本不可能的！ 为了减少试验次数，希望在所有组合水平中挑选一部分出来，在这些组合水平上做试验，即局部地进行试验。正交试验设计是利用一套现成的规格化的表—正交表，科学地安排试验和分析试验结果的一种数理统计方法，该方法的主要优点是能在很多试验条件中选出代表性强的少数试验方案，同时通过对这少数试验方案的结果进行分析，从中找出最优方案。 正交表1944年起源于美国。第二次世界大战后在日本开发了使用正交表进行试验设计的技术体系，并在日本全国进行大力普及推广、应用，取得了显著的经济效益。 实践证明，正交设计是促进生产率提高的一种有效手段，目前已经广泛应用于科学研究、产品设计、工艺改革等技术领域以及经营、计划等管理领域。
一、正交表
正交表记为)(m n r L ，表示至多安排m 个因素，每个因素有r 种水平，共作n 次试验的正交表。下面就是两个常用的正交表)3(49L ，)2(78L 。
)3(49L )2(78L
L —正交表符号；
n —试验次数（正交表的行数）
； r —水平数；
m —因素个数（正交表的列数）
。 从上面两个正交表容易看出它们具有如下性质：
（1）表中任何一列所含不同的数字出现的次数相同。如表)3(4
9L 每一列有三个不同的数字“1”、“2”、“3”，它们各出现3次。
（2）将表中任意两列同一行的两个数字看成有序数对，每种数对出现的次数相同。如表)3(49L 的有序数对为（1，1）
，（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）共9个，它们各出现一次。
以上性质说明正交表中各因素的水平搭配均衡，并可大大减少试验次数。
二、无交互作用的正交设计及其结果的直观分析 1、如何用正交表安排试验 下面用一个实例来说明。
例1 某化工厂进行合成氨试验，需要设计寻找最优生产条件的试验方案。 我们分如下几个步骤设计试验方案，以便寻找最优工艺条件。 第一步：明确试验的目的，确定试验指标。
本试验的目的是寻找合成氨的最优生产条件，试验指标是氨的产量，高者为优。 第二步：挑因素，选水平。
第三步：选择合适的正交表，进行表头设计。
选择正交表时，首先要求正交表中的水平数r 与每个因素水平数一致，其次要求正交表中因素个数m 大于或等于实际因素个数，然后适当选用试验次数n 较小的正交表。 本例是一个三水平试验，因此要从)3(m n L 型中选择正交表。若不考虑交互作用，本例共有三个因素，所以应选一张3 m 的最小的表，因此选用)3(49L 是合适的。 将A ，B ，C 随机地放到)3(49L 的表头各列中，叫做表头设计。
确定表中各列水平号码的具体内容。如对因素A 列的数字“1”、“2”、“3”分别填上460，490，520；类似地确定因素B ，C 列中水平号码的具体内容，就得到如下表所示的试验方案。 正交表的每一行就代表一个试验方案。
严格按照表中所规定的9个试验条件做试验，并把试验结果921,,,y y y 的数据填写在
2、单指标试验的直观分析
试验指标只有一个的试验叫做单指标试验。直观分析法也叫做极差分析法。 下面以例1说明它的步骤如下：
（1）计算第j 列上第i 个水平的试验结果总和ij K 。 34.580.182.172.132111=++=++=y y y K 73.598.183.192.165421=++=++=y y y K 00.581.160.159.198731=++=++=y y y K 类似地可以计算出
36.5,30.5,23.5141312===K K K 39.5,55.5,25.5242322===K K K 32.5,22.5,59.5343332===K K K （2）计算ij K 的平均值ij ij K t
K 1
=，其中t 为第j 列上第i 个水平出现的次数。 780.1334.5311111===K K 910.1337.5312121===K K 667.13
00.5313131
===K K 类似地可以计算出
787.1,767.1,743.1141312===K K K 797.1,850.1,750.1242322===K K K 773.1,740.1,863.1343332===K K K （3）计算第j 列的极差}{min }{max ij i
ij i
j K K R -=。
243.0667.1910.1}{m i n }{m a x 111=-=-=i i
i i
K K R
类似地可以计算出
024.0,110.0,120.0432===R R R 。
（4）选择最优生产条件。
极差的意义是：j R 越大，说明该因素的水平变化对试验指标的影响越大，即该因素越
重要；反之，j R 越小，该因素越不重要。由此可以根据j R 的大小顺序排出因素的主次。例如在例1中，由于321R R R >>，因此A ，B ，C 的主次顺序为C B A →→。
因为312111,,K K K 之间的差别仅仅是由321,,A A A 引起的，而与B ，C 取什么水平无关，因此一般地可以通过比较12111,,,r K K K 的大小来确定A 的最佳水平。在例1中，由于
910.121=K 最大，说明A 取2A 水平最好。类似地，可以确定B 的最佳水平为3B ，C 的最
佳水平为2C ，由此得最优配方为232C B A 。
但是在上述9个试验方案中，并没有232C B A 。这说明，用正交表安排试验不仅可以从表上看到9次试验中的最好配方132C B A ，而且还可以推断出全面试验中的最优配方条件是
232C B A 。
关于空白列，也需要分析它的极差，若它的极差很小，则可以认为因素之间的交互作用很小，可以忽略不计。否则若它的极差比所有因素的极差都大，则说明因素之间可能存在有不可忽略的交互作用，或是忽略了对试验结果有重要影响的其它因素。 3、多指标试验的直观分析
试验指标多于一个的试验称为多指标试验。在多指标试验设计中，各指标的最优方案之间可能存在一定的矛盾，如何兼顾各个指标，找出使每个指标都尽可能好的生产方案呢？也就是说，应如何分析多指标试验的结果呢？下面介绍两种常用方法。 （1）综合评分法
综合评分法是由专业人员根据实际生产的要求，对每号试验评出其各项指标的综合得分，作为这号试验的总指标，从而把多项试验指标转化为单项试验指标，再应用单项指标试验的直观分析法进行分析。 下面以例2说明它的步骤。
例2 某工厂5吨冷风炼铁炉在现有的设备条件和原料供应的情况下，探索好的生产条件，以达到在铁水温度平均为1400℃以上且熔化速度为每小时5吨左右的前提下，尽量减少焦炭的消耗，提高总焦铁比的目的。为此确定铁水温度、熔化速度、总焦铁比为试验指标，并选出4个因素，每个因素取3个水平，列于下表。
这是一个4因素3水平试验，选正交表)3(49L ，并将因素A ，B ，C ，D 分别放到1，2，3，4列上即可得试验方案，把方案和试验结果列于下表。
上表中综合评分的方法如下：由于试验的目的是在保证铁水温度平均在1400℃以上，且熔化速度为每小时5吨左右的前提下，尽量减少焦炭的消耗，提高总焦铁比，因此可以规定一个评分办法：铁水温度i T 以1400℃为标准，每高1℃就加1分，每低1℃就扣1分；熔化速度i V 以每小时5吨为标准，每多0.1吨或少0.1吨都扣1分，总焦铁比i F 以1：12为标准，每高0.1就加1分，每低0.1就扣1分；最后对各号试验结果把三者合并起来就是该号试验综合评分的分数i M 。第i 号试验的综合评分可以写成
)9,,2,1(),12(10510)1400( =-?+-?--=i F V T M i i i i 按上式计算出的综合评分见上表中最后一列。
再用类似于例1的单指标试验的直观分析法进行分析，分别计算出 44,37,32,1514131211====K K K K 52,46,29,3624232221====K K K K 26,39,60,7134333231====K K K K
67.14,33.12,67.10,514131211====K K K K
33.17,33.15,67.9,1224232221====K K K K 67.8,13,20,67.2334333231====K K K K
26,9,31,564321====R R R R
由此可以看出四个因素的主次顺序是C D B A →→→。
直接从表上看出9个试验方案中的好条件是1233D C B A ，即第9号试验。而由表中数据经计算的好条件是2233D C B A ，该结果不在这9个试验中。
（2）综合平衡法
综合平衡法就是先分别对各个指标进行与单指标一样的计算分析，然后把各个指标的分析结果进行综合平衡，得出结论。下面仍以例2说明它的步骤。
①4个因素的主次顺序为 平均铁水温度：ABCD 平均熔化速度：ADBC 总焦铁比：DBAC
②各指标的最优试验条件为
对铁水温度：1133D C B A （数值大者为优） 对熔化速度：1222D C B A （数值小者为优） 对焦铁比：2233D C B A （数值大者为优）
三个指标分析出的条件互不一致，因此需要视因素的主次关系进行综合平衡。因素A 对铁水温度和熔化速度是首要因素，对总焦铁比是次要因素。因此，在确定A 的最佳水平时，应重点考虑对铁水温度和熔化速度为最优的水平。故因素A 取最佳水平为3A ；同理，因素B 取最佳水平为3B ；因素C 在三个指标中都不占主要地位，综合考虑C 取2C 较好些；因素D 在主次因素中排在末位，从上表可以看出，因素D 对焦铁比影响最大，取2D 最好，但对另两个指标取1D 为好，综合以上分析可以得出两个最优生产条件2233D C B A 与
1233D C B A ，其中2233D C B A 与综合评分得出的结论一致，而1233D C B A 是正交设计表中的
第9号试验条件，该试验条件不仅是综合平衡法得到的最好方案，也是综合评分法得到的最好方案。
三、有交互作用的正交设计及其结果的直观分析
为了能够用正交表安排具有交互作用的正交试验，在许多正交表的后面都附有相应的交互作用表专供表头设计时使用。下表就是正交表)2(78L 所对应的交互作用表。
到。只要在交互作用表中找到这两列的列号，这两个列号所在行、列的交叉点上的数字就是交互作用列的列号。例如，要查第3列与第5列的交互作用列，只要找（3）行与（5）列的交叉点6，即表中第6列为第3列与第5列的交互作用列。这就是说，在正交设计时，若要考虑A 与B 的交互作用，且A ，B 分别安排在第3列与第5列上，则交互作用A ×B 就要安排在第6列上。这时，第6列就不能再安排其他因素，以免发生效应之间的“混杂”。在做试验时，交互作用列对安排试验不起作用，试验条件的安排方法与不考虑交互作用时完全一样，只是安排了因素的列内的水平去做试验就行了。但在分析试验结果时，A ×B 仍然作为一个单独因素计算它的极差，极差的大小反映了A ×B 交互作用的大小。
例3 花莱留种培育问题，对花莱留种的生产条件进行考察，通过试验确定A 、B 、C 、D 四个因素2个水平及交互作用A ×B ，A ×C 对指标影响的重要性，并找出最优生产方案。考察的因素与水平列于下表中。 表至少要有6列，满足该条件的2水平正交表)2(7
8L 最小，故选用)2(7
8L 的交互作用列表做试验方案。
首先，作表头设计。把因素A ，B 分别安排在)2(7
8L 的第1列和第2列，查)2(7
8L 的交互作用列表知，A ×B 占用第3列；为避免混杂，又把因素C 安排在第4列，查)2(7
8L 的
交互作用列表知，A ×C 应占第5列；而因素D 可以排在第6、7列中的任何一列，现在把因素D 排在第7列，于是第6列为空白列。这样便得到因素与交互作用不会混杂的表头设计。 按以上表头设计，把试验方案和试验结果列于下表：
由上表可以看到的好条件为第3、4号试验，即2121D C B A 和1221D C B A 。由极差j R 一行可知，因素的主次顺序为A ，B ，A ×C ，C ，D ，A ×B 。从主次顺序看A 为首要因素，因A A K K 21>，取A 的最优水平1A ；类似地，取B 的最优水平2B ；而因素C 比交互作用A ×C 还次要，因 由上表知，11C A 为最优搭配，故取C 的最优水平1C ，对最次要因素D ，可以从方便、经济的角度出发在2水平中任取一个，记为0D 。故由上个表中的数据经计算的最优条件为
0121D C B A 。
四、正交试验设计的方差分析
前面介绍了对正交试验的结果进行直观分析的方法，其优点是简单、直观、计算量较小，便于普及和推广，对于生产实际中的一般问题用直观分析法能够得到很好地解决。但直观分析法不能估计试验过程中以及试验结果测定中必然存在的误差大小，因而不能真正区分某因素各水平所对应的试验结果的差异究竟是由于水平的改变所引起的，还是由于试验误差所引起的。因此，直观分析法得到的结论不够精确。而且，对影响试验结果的各因素的重要程度，不能给出精确的数量估计，也不能提供一个标准来考察、判断因素对试验结果的影响是否显著。特别，对于水平数大于等于3且要考虑交互作用的试验，直观分析法不便于使用。 下面介绍的方差分析法能够弥补直观分析法的这些不足。
若用正交表)(m n r L 安排试验，且每列同水平的试验次数为t ，总试验次数为n ，试验结果为n y y y ,,,21 ，试验结果的总偏差平方和记为
∑∑∑===-=-=-=n
i n
i n
i i
i
i T n T y y n y y y S 111
2
22
2
2
)(
其中 ∑∑====n
i i n
i i y T y n y 1
1,1
记 ∑∑∑∑====-
=??? ??-=-=r
i r
i r i ij n i i ij
ij
j n
T K t y n K t y K
t
S 1
1
122
2
12
211)( 称为第j 列因素的偏差平方和，若因素A 安排在第j 列上，也记j A S S =。可以证明 ∑==
m
j j
T S
S 1
且T S 与j S 的自由度分别为1,1-=-=r f n f j T ， A ×B 交互作用列偏差平方和AB S 的自由度B A B A f f f ?=?。
正交表上空白列的偏差平方和不是由任何因素引起的，因此应是误差引起的。故误差平方和e S 为所有空白列的偏差平方和之和。e S 的自由度为
-=T e f f 各因素（包括交互作用）的自由度之和 检验第j 列因素对试验结果是否有显著影响的统计量是 ),(~e j e
j j f f F S S F =
其中 e e e j j j f S S f S S /,/==。
对于给定的显著性水平α，若由样本观察值计算出的),(e j j f f F F α≥，则认为该列安
排的因素对试验结果影响显著。否则，认为影响不显著。
在实际应用中，一般先计算出各列的j S ，若e j S S ≤，就认为第j 列影响不显著，并把j S 当做误差平方和与e S 合并；若有几列都是如此，则把这些列的j S 加起来当做误差平方和与e S 合并在一起作为新的误差平方和?e S ，相应的自由度j f 与e f 合并作为?
e S 的自由度?
e f ，然后再构造检验统计量 ),(~//?
?
?
?
=
e j e
e j j j
f f F f S f S F
若),(??
≥e j j f f F F α，则认为该列安排的因素对试验结果影响显著。否则，认为影响不显著。
例4 苯酚合成工艺条件试验。某化工厂为提高苯酚的产率选了合成工艺条件中的5个因素2
这是一个5因素2水平试验，应选用正交表)2(78L 。表头设计、试验结果见下表。现用方
由于第3列、第7列为空白列，其方差73,S S 是由随机误差引起的，因此 94.003.091.073=+=+=S S S e 21173=+=+=f f f e 47.02/94.0/===e e e f S S 又由于 e D S f S S <===06.01/06.0/55 故将D S 并入误差平方和e S 中，得
00.106.094.0=+=+=?
D e e S S S 相应的自由度也并入e f 中，得
312=+=+=?
D e e f f f 由于
12.34)3,1(1.1283
/00.11
/78.42//01.011=>==
=
?
?
?
F f S f S F e e A
12.34)3,1(9.543
/00.11
/30.18//01.022=>==
=
?
?
?
F f S f S F e e B
13.10)3,1(60.33
/00.11
/20.1//05.044=<==
=?
?
?
F f S f S F e e C
13.10)3,1(18.123
/00.11
/06.4//05.066=>==
=?
?
?
F f S f S F e
e E
故因素A 、B 对试验结果的影响是高度显著的，而因素E 对试验结果的影响是显著的。因素C 、D 对试验结果无显著影响。
例5 对例3 花莱留种培育问题的正交试验结果作方差分析。
由于第6列为空白列，其方差6S 是由随机误差引起的，因此
1,13.7036===e e f S S
13.703/==e e e f S S
又由于 e B A S f S S <===?13.781/13.78/33 e D S f S S <===13.781/13.78/77 故将D B A S S ,?并入误差平方和e S 中，得
39.85913.7813.7813.703=++=++=??
D B A e e S S S S 相应的自由度也并入e f 中，得
3111=++=++=??
D B A e e f f f f 按例4中类似地算出各列的F 值，分别是 12.34)3,1(82.783
/39.8591
/13.22578//01.011=>==
=
?
?
?
F f S f S F e e A
12.34)3,1(36.613
/39.8591
/13.17578//01.022=>==
=
?
?
?
F f S f S F e e B
13.10)3,1(82.63/39.8591
/13.1953//05.044=<==
=
?
?
?
F f S f S F e e C
13.10)3,1(36.133
/39.8591
/13.3828//05.055=>==
=
?
??
?F f S f S F e
e C
A
故因素A 、B 对试验结果的影响是高度显著的，而交互作用A ×C 对试验结果的影响是显著的。因素C 、D 和交互作用A ×B 对试验结果无显著影响。
通过前面的分析可以看出，设计试验时若正交表上没有空白列，一般不能做方差分析。为了做方差分析通常是把因素的偏差平方和明显偏小的列作为误差列来处理，或是取较大的正交表做试验，但这要增加试验次数，因此在实际问题中应视具体情况采用相应的数据分析方法。
第三节正交试验设计及其方差分析 在工农业生产和科学实验中，为改革旧工艺，寻求最优生产条件等，经常要做许多试验，而影响这些试验结果的因素很多，我们把含有两个以上因素的试验称为多因素试验.前两节讨论的单因素试验和双因素试验均属于全面试验（即每一个因素的各种水平的相互搭配都要进行试验），多因素试验由于要考虑的因素较多，当每个因素的水平数较大时，若进行全面试验，则试验次数将会更大.因此，对于多因素试验，存在一个如何安排好试验的问题.正交试验设计是研究和处理多因素试验的一种科学方法，它利用一套现存规格化的表——正交表，来安排试验，通过少量的试验，获得满意的试验结果. 1.正交试验设计的基本方法 正交试验设计包含两个内容：（1）怎样安排试验方案；（2）如何分析试验结果.先介绍正交表. 正交表是预先编制好的一种表格.比如表9-17即为正交表L4(23),其中字母L表示正交，它的3个数字有3种不同的含义： (1) L4（23）表的结构：有4行、3列，表中出现2个反映水平的数码1，2. 列数 ↓ L4 （23） ↑↑ 行数水平数 （2）L4（23）表的用法：做4次试验，最多可安排2水平的因素3个. 最多能安排的因素数 ↓ L4(23) ↑↑ 试验次数水平数 (3) L4（23）表的效率：3个2水平的因素.它的全面试验数为23=8次，使用正交表只需从8次试验中选出4次来做试验，效率是高的. L4(23) ↑↑ 实际试验数理论上的试验数 正交表的特点： （1）表中任一列，不同数字出现的次数相同.如正交表L4(23)中，数字1，2在每列中均出现2次. （2）表中任两列，其横向形成的有序数对出现的次数相同.如表L4（23）中任意两列，
第三章：统计推断 第3章第7题 分别使用金球和铂球测定引力常数 （1）用金球测定观察值：6.683，6.681，6.676，6.678，6.679，6.672； （2）用铂球测定观察值：6.661，6.661，6.667，6.667，6.664。 σ），u，2σ均为未知。试就1，2两种情况分别求u的置信度为设测定值总体为N（u，2 σ的置信度为0.9的置信区间。 0.9的置信区间，并求2 （1）金球均值置信度为0.9的置信区间，SAS程序如下： ①打开SAS软件②打开solution-analysis- analyst输入数据并保存 ③打开analyst，选择jingqiu文件，打开： ④Statistics ——Hypothesis Tests ——One-Sample t-test for a Mean，将待分析变量jq送入Variable中，在单击Tests，选中Interval，设置confidence level设置为90.0%：
⑤结果输出：金球u的置信度为0.9的置信区间为(6.67,6.68)。 （2）铂球均值置信度为0.9的置信区间，SAS程序如下： ①打开solution-analysis- analyst输入数据并保存②打开analyst，选择Bq文件，打开： ③Statistics ——Hypothesis Tests ——One-Sample t-test for a Mean，将待分析变量bq送入Variable中，在单击Tests，选中Interval，设置confidence level设置为90.0%： ④结果输出：铂球u的置信度为0.9的置信区间为(6.66,6.67)。
第六章 方差分析与正交试验设计 在生产实践和科学研究中，经常要分析各种因素对试验指标是否有显著的影响。例如，工业生产中，需要研究各种不同的配料方案对生产出的产品的质量有无显著差异，从中筛选出较好的原料配方；农业生产中，为了提高农作物的产量，需要考察不同的种子、不同数量的肥料对农作物产量的影响，并从中确定最适宜该地区种植的农作物品种和施肥数量。 要解决诸如上述问题，一方面需要设计一个试验，使其充分反映各因素的作用，并力求试验次数尽可能少，以便节省各种资源和成本；另一方面就是要对试验结果数据进行合理的分析，以便确定各因素对试验指标的影响程度。 §6.1 单因素方差分析 仅考虑一个因素A 对试验指标有无显著影响，可以让A 取r 个水平：r A A A ,,,21 ，在水平i A 下进行i n 次试验，称为单因素试验，试验结果观测数据ij x 列于下表： 并设在水平i A 下的数据i in i i x x x ,,21来自总体),(~2 i i N X ，),,2,1(r i 。 检验如下假设： r H 210:， r H ,,,:211 不全相等 检验统计量为 ),1(~) /() 1/(r n r F r n S r S F e A 其中2 1 2 11)()(x x n x x S i r i i r i n j i A i ，称为组间差平方和。 211 )(i r i n j ij e x x S i ，称为组内差平方和。
这里 r i i n n 1 ， i n j ij i i x n x 1 1 ， r i n j ij i x n x 111。 对于给定的显著性水平)05.001.0(或 ，如果),1(r n r F F ，则拒绝0H ，即认为因素A 对试验指标有显著影响。 实际计算时，可事先对原始数据作如下处理： b a x x ij ij 再进行计算，不会影响F 值的大小。 例1 试分析三种不同的菌型对小白鼠的平均存活日数影响是否显著？ 解：30,11,9,10,3321 n n n n r 16.6,27.7,22.7,4321 x x x x 43.70)()(21 2 11 x x n x x S i r i i r i n j i A i ， 74.137)(211 i r i n j ij e x x S i 49.5)27,2(90.601.0 F F ，说明三种不同菌型的伤寒病菌对小白鼠的平均存活日数的影响高度显著。 §6.2 双因素方差分析 同时考察两个因素A 和B 对试验指标有无显著影响，可以让A 取r 个水平： r A A A ,,,21 ，让B 取s 个水平：s B B B ,,,21 ，在各种水平配合),(j i B A 下进行试验， 称为双因素试验。 一、无交互作用的双因素方差分析 在每一种水平配合),(j i B A 下作一次试验，称为无交互作用的双因素试验，试验结果观测数据ij x 列于下表：
第十一章正交设计试验资料的方差分析 在实际工作中，常常需要同时考察3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。 正交设计是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。 第一节、正交设计原理和方法 (一) 正交设计的基本概念 正交设计是利用正交表来安排多因素试验、分析试验结果的一种设计方法。它从多因素试验的全部水平组合中挑选部分有代表性的水平组合进行试验，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优水平组合。 例如，研究氮、磷、钾肥施用量对某小麦品种产量的影响： A因素是氮肥施用量，设A1、A2、A3 3个水平； B因素是磷肥施用量，设B1、B2、B3 3个水平； C因素是钾肥施用量，设C1、C2、C3 3个水平。 这是一个3因素每个因素3水平的试验，各因素的水平之间全部可能的组合有27种。 如果进行全面试验，可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。 但全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，由于受试验场地、经费等限制而难于实施。 如果试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交设计来安排试验。 正交设计的基本特点是：用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。 正交试验是用部分试验来代替全面试验，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。 如对于上述3因素每个因素3水平试验，若不考虑交互作用，可利用正交表L9(34)安排，试验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案包含27个水平组合的全面试验的情况，找出最佳的生产条件。 一、正交设计的基本原理 表11-1 33试验的全面试验方案
第六章正交试验设计 （I）教学内容与要求 （1）了解正交试验设计的优点，掌握正交表的表示符号、基本结构和特点，掌握正交试验设计的基本步骤。 （2）掌握单指标正交试验、多指标正交试验、有交互作用正交试验、混合水平的正交试验的直观分析法； （3）理解单指标正交试验、多指标正交试验、有交互作用正交试验、混合水平的正交试验的方差分析法。 （4）了解Ecxel在正交试验设计中应用。 （II）教学重点 正交试验的直观分析法。 （III）教学难点 正交试验的方差分析。 6.1 概述 6.1.1 正交试验设计方法的优点和特点 用正交表安排多因素试验的方法，称为正交试验设计法。我国60年代开始使用，70年代得到推广。这一方法具有这样的特点：①完成试验要求所需的实验次数少。②数据点的分布很均匀。③可用相应的极差分析方法、方差分析方法、回归分析方法等对试验结果进行分析，引出许多有价值的结论。因此日益受到科学工作者的重视，在实践中获得了广泛的应用。 例6-1:某化工厂想提高某化工产品的质量和产量，对工艺中三个主要因素各按三个水平进行试验（见表6-1）。试验的目的是为提高合格产品的产量，寻找最适宜的操作条件。 表6-1 因素水平表 对此实例该如何进行试验方案的设计呢？ 很容易想到的是第一方案：（全面搭配法方案） A2——… A3——…
此方案数据点分布的均匀性极好，因素和水平的搭配十分全面，唯一的缺点是实验次数多达33=27次。（指数3代表3个因素，底数3代表每因素有3个水平）想节省费用而又快出成果的人提出了第二方案：（简单比较法方案）。 先固定A和B，只改变C，观察因素C不同水平的影响。作了如下的三次实验： 发现C=C2的那次实验的效果最好，合格产品的产量最高，因此认为在后面的实验中因素C应取C2水平。 固定A和C，改变B的三次实验为： 发现B=B3的那次实验效果最好，因此认为因素B宜取B3水平。固定B和C，改变A 的三次实验为： 发现因素A宜取A2水平。因此可以引出结论：为提高合格产品的产量，最适宜的操作条件为A2B3C2。与第一方案相比，第二方案的优点是实验的次数少，只需做9次实验。但必须指出，第二方案的试验结果是不可靠的。因为，①在改变C值（或B值，或A值）的三次实验中，说C2（或B3或A2）水平最好是有条件的。在A≠A1，B≠B1时，C2水平不是最好的可能性是有的。②在改变C的三次实验中，固定A=A2，B=B3应该说也是可以的，是随意的，故在第二方案中，数据点分布的均匀性是毫无保障的。③用这种方法比较条件好坏时，只是对单个的试验数据，进行数值上的简单比较，不能排除必然存在的试验数据误差的干扰。 第三方案是用正交试验设计方法，用正交表来安排试验。 对于例6-1适用的正交表L9（34）及其试验安排见表6-2。所有的正交表与L9（34）正交表一样，都具有下面两个特点： 9 4 试验号 列号 1 2 3 4 因素温度／℃压力／（N/m2）加碱量／kg 符号 A B C 1 1(A1) 1(B1) 1(C1) 1 2 1(A1) 2(B2) 2(C2) 2 3 1(A1) 3(B3) 3(C3) 3 4 2(A2) 1(B1) 2(C2) 3 5 2(A1) 2(B2) 3(C3) 1 6 2(A2) 3(B3) 1(C1) 2 7 3(A3) 1(B1) 3(C3) 2 8 3(A3) 2(B2) 1(C1) 3 9 3(A3) 3(B3) 2(C2) 1
第十一章正交设计试验资料得方差分析 在实际工作中，常常需要同时考察3个或3个以上得试验因素,若进行全面试验，则试验得规模将很大,往往因试验条件得限制而难于实施。 正交设计就是安排多因素试验、寻求最优水平组合得一种高效率试验设计方法. 第一节、正交设计原理与方法 (一）正交设计得基本概念 正交设计就是利用正交表来安排多因素试验、分析试验结果得一种设计方法。它从多因素试验得全部水平组合中挑选部分有代表性得水平组合进行试验，通过对这部分试验结果得分析了解全面试验得情况，找出最优水平组合. 例如，研究氮、磷、钾肥施用量对某小麦品种产量得影响: Ａ因素就是氮肥施用量,设A１、Ａ2、A3 3个水平; B因素就是磷肥施用量，设B1、B2、B3 3个水平; C因素就是钾肥施用量，设C1、C2、C3 3个水平。 这就是一个3因素每个因素3水平得试验,各因素得水平之间全部可能得组合有2７种。 如果进行全面试验，可以分析各因素得效应，交互作用,也可选出最优水平组合。 但全面试验包含得水平组合数较多，工作量大，由于受试验场地、经费等限制而难于实施。 如果试验得主要目得就是寻求最优水平组合，则可利用正交设计来安排试验. 正交设计得基本特点就是:用部分试验来代替全面试验,通过对部分试验结果得分析，了解全面试验得情况。 正交试验就是用部分试验来代替全面试验,它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；当交互作用存在时,有可能出现交互作用得混杂。 如对于上述３因素每个因素3水平试验，若不考虑交互作用,可利用正交表Ｌ９(34）安排,试验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案包含2７个水平组合得全面试验得情况，找出最佳得生产条件。 一、正交设计得基本原理 表１1－1 ３３试验得全面试验方案
实验设计与分析课程论文 题目利用SPSS 软件进行方差分析和正交试验设计 学院 专业 年级 学号 姓名 2012年6月29日
一、SPSS 简介 SPSS 是世界上最早的统计分析软件，1984年SPSS 总部首先推出了世界上第一个统计分析软件微机版本SPSS/PC+，开创了SPSS 微机系列产品的开发方向，极大地扩充了它的应用范围，并使其能很快地应用于自然科学、技术科学、社会科学的各个领域，世界上许多有影响的报刊杂志纷纷就SPSS 的自动统计绘图、数据的深入分析、使用方便、功能齐全等方面给予了高度的评价与称赞。 SPSS 的基本功能包括数据管理、统计分析、图表分析、输出管理等等。SPSS 统计分析过程包括描述性统计、均值比较、一般线性模型、相关分析、回归分析、对数线性模型、聚类分析、数据简化、生存分析、时间序列分析、多重响应等几大类，每类中又分好几个统计过程，比如回归分析中又分线性回归分析、曲线估计、Logistic 回归、Probit 回归、加权估计、两阶段最小二乘法、非线性回归等多个统计过程，而且每个过程中又允许用户选择不同的方法及参数。SPSS 也有专门的绘图系统，可以根据数据绘制各种图形。SPSS 的分析结果清晰、直观、易学易用，而且可以直接读取EXCEL 及DBF 数据文件，现已推广到多种各种操作系统的计算机上，它和SAS 、BMDP 并称为国际上最有影响的三大统计软件。 SPSS 输出结果虽然漂亮，但不能为WORD 等常用文字处理软件直接打开，只能采用拷贝、粘贴的方式加以交互。这可以说是SPSS 软件的缺陷。 二、方差分析 例如 某高原研究组将籍贯相同、年龄相同、身高体重接近的30名新战士随机分为三组，甲组为对照组，按常规训练，乙组为锻炼组，每天除常规训练外，接受中速长跑与健身操锻炼，丙组为药物组，除常规训练外，服用抗疲劳药物，一月后测定第一秒用力肺活量(L)，结果见表。试比较三组第一秒用力肺活量有无差别。对照组为组一，锻炼组为组二，药物组为组三。 第一步：打开 SPSS 软件 表1 三组战士的第一秒用力肺活量(L) 对照组 锻炼组 药物组 合计 3.25 3.66 3.44 3.32 3.64 3.62 3.29 3.48 3.48 3.34 3.64 3.36 3.16 3.48 3.52 3.64 3.20 3.60 3.60 3.62 3.32 3.28 3.56 3.44 3.52 3.44 3.16 3.26 3.82 3.28
\ 第7章 正交试验设计的极差分析 正交试验设计和分析方法大致分为二种：一种是极差分析法(又称直观分析法),另一种是方差分析法(又称统计分析法)。本章介绍极差分析法，它简单易懂，实用性强，在工农业生产中广泛应用。 单指标正交试验设计及其极差分析 极差分析法简称R 法。它包括计算和判断两个步骤，其内容如图7-1所示。 & 图7-1 R 法示意图 — 图中，K jm 为第j 列因素m 水平所对应的试验指标和，K jm 为K jm 的平均值。由K jm 的大小可以判断j 因素的优水平和各因素的水平组合，即最优组合。R j 为第j 列因素的极差，即第j 列因素各水平下平均指标值的最大值与最小值之差： R j =max(jm j j K K K ,,,21 )-min(jm j j K K K ,,,21 )
R j反映了第j列因素的水平变动时，试验指标的变动幅度。R j越大，说明该因素对试验指标的影响越大，因此也就越重要。于是依据R j的大小，就可以判断因素的主次。 极差分析法的计算与判断，可直接在试验结果分析表上进行，现以例６-２来说明单指标正交试验结果的极差分析方法。 一、确定因素的优水平和最优水平组合 例6-2 为提高山楂原料的利用率，某研究组研究了酶法液化工艺制造山楂精汁。拟通过正交试验寻找酶法液化工艺的最佳工艺条件。 在例６-２中，不考虑因素间的交互作用（因例６-２是四因素三水平试验，故选用L9(34)正交表），表头设计如表６-５所示，试验方案则示于表６-６中。试验结果的极差分析过程，如表７-１所示. ( 表6-4 因素水平表 酶解温度 (C) ( C 表6-6 试验方案及结果
第六章 正交试验设计 课后作业参考答案 6.1某实验考察因素A 、B 、C 、D ，选用表4 9(3)L ，将因素A 、B 、C 、D 依次排在第1，2， 3，4列上，所得9个实验结果依次为： 45.5，33.0，32.5，36.5，32.0，14.5，40.5，33.0，28.0 试用极差分析方法指出较优工艺条件及因素影响的主次，并作因素-指标图。 解：下表中Ⅰj 、Ⅱj 、Ⅲj 表示对第j 列而言，把9个试验结果分为三组对应各列的“1”、“2”、“3”水平，然后将每组的3个实验结果分别相加所得之和；Rj 表示Ⅰj 、Ⅱj 、Ⅲj 三个数据的极差。
从表中和图中可以看出，Rb>Ra>Rd>Rc,最优工艺条件为:B1,A1,D1,C3 6.2 某四种因素二水平试验，除考察因素A,B,C,D 外，还需要考察C B B A ??,,今选用表 ()7 82L ,将A,B,C,D 依次排在第1、2、4、5列上，所得8个实验结果依次为： 12.8 28.2 26.1 35.3 30.5 4.3 33.3 4.0 试用极差分析法指出因素(包括交互作用)的主次顺序及较优工艺条件。 解：下表中Ij 、IIj 表示将第j 列，把8个试验结果分为两组对应各列的“1”、“2”水平，然后将每组的4个实验结果分别相加所得之和；Rj 表示Ij 、IIj 三个数据的极差。
A?,由上表知，因素从主到次的顺序为：D, C, A, B,B 分别将A与B、B与C的各种搭配结果列出如下： A与B最好的搭配是A2B1,其次是A1B1,A2B2,最后是A1B2 B与C最好的搭配B2C1,其次是B1C1,B2C2,最后是B1C2
JMP试验设计 1.试验设计方法及其在国内的应用 (2) 2.试验设计(DOE)就在你身边试验设计(DOE)就在你身边 (7) 3.初识试验设计(DOE) (13) 4.多因子试验设计(DOE)的魅力 (18) 5.用DOE方法最优化质量因子配置 (26) 6.顾此不失彼的DOE (32) 7.试验设计(DOE)五部曲 (39) 8.稳健参数设计的新方法 (45) 9.JMP的试验设计优势——为什么用JMP做试验设计 (50)
试验设计方法及其在国内的应用 随着改革开放的深入，以市场经济为代表的西方先进文明及其方法论越来越多被国内企业界所接纳。在质量管理、产品（医药，化工产品，食品，高科技产品，国防等）研发、流程改进等领域，统计方法越来越多成为企业运营的标准配置。 试验设计作为质量管理领域相对复杂、高级的统计方法应用，也开始在国内被逐渐接受，推广。其实试验设计对于我国学术界来说并不陌生。比如均匀设计，均匀设计是中国统计学家方开泰教授(下图左)和中科院院士王元首创，是处理多因素多水平试验设计的卓有成效的试验技术，可用较少的试验次数，完成复杂的科研课题开发和研究。国内一些大学的数学系和统计系近年来已经逐渐开始开设专门的试验设计课程，比如清华大学，电子科技大学、复旦大学等高校。国内一些行业领先的企业，比如中石化，华为科技，中石油，宝钢等企业，也开始在质量管理和产品研发、工艺改进等领域采用DOE方法。尽管DOE越来越多的被国内产、学、研领域所接受，但是我们还是看到，国内对于DOE的研究和推广仍旧停留在比较浅的层次。以上述企业为例，中石化下属的石化科学研究院和上海石化研究院应该是我国石油化工研究领域的王牌单位了，不过不管是北京的石科院，还是上海石化研究院，在油品研发、工艺改进、质量管理等领域，对于DOE的使用还仅仅停留在部分因子和正交设计层面。笔者在网络
第7章 正交试验设计的极差分析 正交试验设计和分析方法大致分为二种：一种是极差分析法(又称直观分析法),另一种是方差分析法(又称统计分析法)。本章介绍极差分析法，它简单易懂，实用性强，在工农业生产中广泛应用。 7.1 单指标正交试验设计及其极差分析 极差分析法简称R 法。它包括计算和判断两个步骤，其内容如图7-1所示。 图7-1 R 法示意图 图中，K jm 为第j 列因素m 水平所对应的试验指标和， jm 为K jm 的平均 值。由K jm 的大小可以判断j 因素的优水平和各因素的水平组合，即最优组合。R j 为第j 列因素的极差，即第j 列因素各水平下平均指标值的最大值与最小值之差： R j =max( )-min( ) R j 反映了第j 列因素的水平变动时，试验指标的变动幅度。R j 越大，说明该因素对试验指标的影响越大，因此也就越重要。于是依据 R 法 1.计算 2.判断 ○1K jm , ○2R j ○1因素主次 ○2优水平 ○3最优组合
R j的大小，就可以判断因素的主次。 极差分析法的计算与判断，可直接在试验结果分析表上进行，现以例６-２来说明单指标正交试验结果的极差分析方法。 一、确定因素的优水平和最优水平组合 例6-2 为提高山楂原料的利用率，某研究组研究了酶法液化工艺制造山楂精汁。拟通过正交试验寻找酶法液化工艺的最佳工艺条件。 在例６-２中，不考虑因素间的交互作用（因例６-２是四因素三水平试验，故选用L9(34)正交表），表头设计如表６-５所示，试验方案则示于表６-６中。试验结果的极差分析过程，如表７-１所示. 表6-4 因素水平表 表6-6 试验方案及结果
第8章正交试验设计的方差分析 前面我们讨论了如何安排正交试验以及用极差分析法(即直观分析法)对试验结果进行计算分析.极差分析法简单明了，通俗易懂，计算工作量少，便于普及推广.但这种方法不能把试验中由于试验条件的改变引起的数据波动，同试验误差引起的数据波动区分开来.也就是说，不能区分因素各水平对应的试验结果间的差异，究竟是由于因素水平不同引起的，还是由于试验误差引起的，即不知道试验的精度.同时，对影响试验结果的各个因素的重要程度，既不能给出精确的定量估计，也不能提供一个标准，用来判断所考察的因素的作用是否显著. 为了弥补极差分析法的不足，对试验结果的分析可采用方差分析法. 8.1 正交试验方差分析的基本步骤 在第2章中我们已经介绍过，方差分析的基本思想是将数据的总偏差平方和(S T)分解为因素的偏差平方和(S A、S B)和误差的偏差平方和(S e)，然后将偏差平方和除以相对应的自由度(f)得到方差(V A、V B)，最后利用因素方差与误差方差之比(V A/V e，V B/V e)，作F检验，即可判断因素的作用是否显著.正交试验设计的方差分析也是按这样的步骤进行的，所不同的是这是考虑的是多因素试验的方差分析，而第2章中只考虑单因素和双因素试验的方差分析. 一、计算 1.偏差平方和与自由度的计算
方差分析的关键是偏差平方和的分解，现在以最简单的L 4(23)正交表上安排的试验为例来说明(见表8-1，板书).不考虑哪些因素安排在哪些列上(即表头设计时)，设试验结果为x 1、x ２、x 3和x 4. 总的偏差平方和: 4 )(2 4 1 221 212 _T x n T x x x S i i n i i n i i T - =- =-=∑∑∑=== T=∑=n i i x 1 =(x 21+x 22+x 23+x 24)-4 1 (x 4321x x x +++)2 整理后可得 43 = (24232221x x x x +++) 2 1 - (434232413121x x x x x x x x x x x x +++++) 第1列各水平偏差平方和为 S 1=22 _ 21_ 2 _11_ )(2)(x K x K -+- =2[221211)4 2()42( T K T K -+-] =2[T K T K T K T K 2111222122114 1 41164164--+++] =22 2121141)(21T K K -+ )(211141 K K x T i i +==∑= =24321243221)(41])()[(21x x x x x x x x +++-+++ =)(2 1)(414321423241312 42322 21x x x x x x x x x x x x x x x x --+++-+++ 表8-1 L 4(23)正交表及计算表
第三章:统计推断 第３章第7题 分别使用金球和铂球测定引力常数 （1）用金球测定观察值:6。683,６.681，６.676，６。678，6.679,6．６72; （2）用铂球测定观察值:6．661,６。661,6.667，6。667，６。664． σ），ｕ，2σ均为未知。试就1,２两种情况分别求u的置信度为０。设测定值总体为N(u，2 σ的置信度为0.9的置信区间。 9的置信区间,并求2 (1)金球均值置信度为0．9的置信区间,SAS程序如下: ①打开ＳAＳ软件②打开solutioｎ—aｎaｌｙsｉs- analyst输入数据并保存 ③打开anａｌyｓt，选择jiｎgqiu文件,打开: ④Ｓtatｉstics -—Ｈypoｔhｅｓis Teｓｔs——One-Samplｅt-tｅst foｒa Meａn,将待分析变量jq送入Variaｂle中，在单击Ｔests，选中Inteｒval,设置confｉdｅnｃeｌeｖｅl 设置为90.0％:
⑤结果输出：金球u的置信度为０。9的置信区间为(6。67,6.68）。 （2）铂球均值置信度为0.9的置信区间，SＡS程序如下： ①打开ｓｏlution—analysis－analyst输入数据并保存②打开anａlyｓt，选择Bq文件,打开： ③Ｓtatｉstiｃs——HypothｅｓiｓTests ——One-Sample t-test for ａMeａn，将待分析变量ｂq送入Vａｒiabｌe中,在单击Tｅsts,选中Inteｒｖal，设置confidｅnce leｖel设置为9０.0%：
④结果输出:铂球u的置信度为0。9的置信区间为(6。６6,6。6７）. (3）金球方差置信度为０。9的置信区间，SAS程序如下： ①打开analyst,选择Bq文件,打开数据： ②Staｔiｓｔｉcs ——Ｈypothesｉs Tesｔs ——One－Ｓaｍple Teｓt for a Ｖariance，将待分析变量jq送入Variable中,并在Nulｌ:Vａr中设置一个大于０的数，再单击Interｖaｌｓ,选中Iｎterval，设置ｃonfidｅｎｃｅlevel设置为９０.0％： ③结果输出:金球σ2的置信度为０。9的置信区间为(676E—8,０。0００1）
8.3.2 考虑交互作用的三水平正交试验的方差分析（因学时有限和正交表太大L27(313)，不讲解！只讲解二水平情况，因为二水平会，三水平自然也会！） 例8-4 运动发酵单细胞菌是一种酒精生产菌。为了确定其发酵培养基的最佳配方，进行了四因素三水平正交试验，试验指标为酒精浓度（g/ml）。表8-12给出了因素水平表，要求考察交互作用A×B、A×C和A×D。查附表7可得，本试验应选用L27(313)正交表，表头设计应按照“L27(313)二列间的交互作用表”进行。本例只考虑一级交互作用（p=1），所以每个三水平交互作用应占(m-1)P=(3-1)1=2列，即A ×B、A×C，和A×D在L27(313)正交表中各占二列。 表8-12 因素水平表 表头设计时应避免混杂，试验方案及试验结果见表8-13。 由交互作用表可知，将因素A、B安排在第1、2列之后，第3、4列为A×B交互作用列；再将C安排在第5列后，A×C交互作用在第6、7列；最后将D安排在第9列，则A×D交互作用类落在第8、10列（当然也可将D安排在第8列，则第9、10列为A×D交互作用列）。 表8-13 试验方案及结果分析 L27(313)
一、计算（计算过程省略） 1.计算各列各水平的K ij 值(K 1j ,K 2j ,K 3j )和K 2 ij (K 21j ,K 22j ,K 23j ) 各列各水平对应的试验数据之和K 1j ,K 2j ,K 3j ,及其平方和K 21j , K 22j , K 23j ,列于表8-13中,例如 K 1A = ∑=9 1 i i X =0.20+0.50*2+1.50+1.10+1.20*2+1.60*2=9.40=K 11 ， K 2 11= 88.36 K 2A =∑=9 1i i X =0.40+0.50+……+6.15=33.05= K 21 ， K 221=1092.30 K 3A =∑=9 1 i i X =0.40+0.30+……+2.80=25.80= K 31 ， K 231 =665.64 表示A ×B 的有两列,即第3,4列,计算后可知 K 13 =32.75, K 23 =17.90; K 33 =17.60 K 14 =26.40; K 24 =24.55, K 34 =17.30 2.计算各列的偏差平方和(S j )及其自由度(f j ) 由式(8-4),可知: S j =CT Q n T K r j m i ij -=-∑=2 2 11 r=n/m=27/3=9; CT=T 2/n=1/27×68.252=172.52
正交试验方差分析(通 俗易懂)
第十一章正交设计试验资料的方差分析 在实际工作中，常常需要同时考察 3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。 正交设计是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。 第一节、正交设计原理和方法 (一) 正交设计的基本概念 正交设计是利用正交表来安排多因素试验、分析试验结果的一种设计方法。它从多因素试验的全部水平组合中挑选部分有代表性的水平组合进行试验，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优水平组合。例如，研究氮、磷、钾肥施用量对某小麦品种产量的影响： A因素是氮肥施用量，设A1、A2、A3 3个水平； B因素是磷肥施用量，设B1、B2、B3 3个水平； C因素是钾肥施用量，设C1、C2、C3 3个水平。 这是一个3因素每个因素3水平的试验，各因素的水平之间全部可能的组合有27种。 如果进行全面试验，可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。 但全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，由于受试验场地、经费等限制而难于实施。 如果试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交设计来安排试验。
正交设计的基本特点是：用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。 正交试验是用部分试验来代替全面试验，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。如对于上述3因素每个因素3水平试验，若不考虑交互作用，可利用正交表 L9(34)安排，试验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案包含27个水平组合的全面试验的情况，找出最佳的生产条件。 一、正交设计的基本原理 表11-1 33试验的全面试验方案