总习题七
1．设元件寿命X 服从正态分布),(2σμN ，其中参数μ、2
σ都是未知的，现随机抽取6个元件，测得其使用寿命（单位：小时）分别为：1498 1502 1578 1366 1454 1650 试求总体均值μ和方差2
σ 的矩估计值．
解：,?X =μ
故1508?=μ，()
()222E X E X σ=-, 故，2
2
218046.67.A A σ∧
=-=
2．电阻的使用寿命X 服从参数为β的指数分布，参数β未知。今抽查了6只电阻测得到以下数据（单位：年）：4.24.31.38.47.29.1，求参数β的矩估计值．
解：()1
,E X β
=
1?,X β=1?0.32793.05β== 3.设一射手向某目标射击,直到击种目标为止,假定其命中率为p ,用X 表示射手射击的次数,写出X 的分布律.如果n X X X ,,,21 是取自X 的样本,求p 的矩估计和极大似然估计．
解：(1)X 的分布率为{}()
1
1,1,2,,k P X k p p k -==-=
()()
()
1
1
1
1
11k k k k E X k p p p k p ∞
∞
--===-=-∑∑,
令1,
q p =-()1
1
,k k kq
f q ∞
-==∑则()1
1
1
,1q
q
k k k k q
f t dt kt dt q q
∞
∞
-=====
-∑∑?? 故,()()
21,11q f q q q '??== ?--??()()2
1
,1p E X p q ==-1?.p X = (2){}()
1
1,k x k P X x p p -==-()()
()1
1
1
11,n
k k k n
x x n
n k L p p p p p =--=∑=-=-∏ ()()1ln ln ln 1,n k k L p n p x n p =??
=?+-?-?? ???
??
∑ 令
()1ln 01n
k k x n
d L p n dp
p p
=-????????
=-=-∑,故1?.p X = 4．设总体X 的概率密度为
??
???>=--其他,0,1),;()(μ
θθμθμx e x f x
其中)0>θθμ（，为待估参数。设n X X X ,,,21 是来自X 的样本，求θμ，的矩估计量． 解： ()1
x x x E X x e
dx xe
e
dx μ
μμ
θ
θ
θ
μ
μ
μ
θ
+∞
----
-
-
+∞
+∞=
??=-+??.μθ=+
()2
2
2
1
2x x x E X
x e
dx x e
xe
dx
μ
μμ
θ
θ
θ
μ
μ
μ
θ
+∞
----
-
-+∞
+∞
=??=-+?
?
()222222.μθμθμμθθ=++=++
1
2
22
1???????22?A A A S X θμθμμθθμ?
==??+=?????++=???=-=??
5.设n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本,求下列总体的密度函数中未知参数的矩估计量:
(1) ?
??>=+-其他,0,)()1(c
x x c x f θθθ
其中0>c 为已知,θθ,1>为未知参数
(2)?????≤≤=-其他,
01
0,)(1x x x f θθ
解：(1) ()()111c
c
x E X x c x dx c θ
θθθθθθ
+∞
-+∞
-+=
=-?
1
c θ
θ=
-1,A = 故11,A A c
θ=
-从而 .X X c θ
=-
(2) (
)1
1
1
1
10
,E X x dx A =
=
==?
2
111A A θ??= ?-??
2
.1X X θ??= ?
-??
6．设总体X 的概率密度为
??
???>=--其他,00
,);(1x e x x f x α
λαλαλ
其中0>λ是未知参数，0>α是已知常数。试根据来自总体X 的样本n X X X ,,,21 ，求λ的极大似然估计量λ
?． 解：()1
1
1
1
1n
k k
k n
n
x x n
n
k
k k k L x
e
x e
αααλλαλλαλα=--?
-?-==∑??=
???=??? ?
??
∏∏
()()1
1
ln ln ln 1ln n
n
k k k k L n n x x α
λλααλ===?+?+-?-?????∑∑
令()1
ln 0n k k n L x αλλ='=-=????∑,得 1
11n k k x n αλ==?∑ 7．设总体X 的概率密度为
??
???<<-=其他,00),(6)(3θθθx x x
x f
n X X X ,,,21 是取自总体X 的简单随机样本
（1）求θ的矩估计量θ?；
（2）求θ?方差)?(θ
D 解：（1）()()3413230
062322x x x E X x x dx A θ
θ
θθθθ
θ??=
?-=-==?????
, 2X θ= (2） ()
()
()()
()22442D D X D X E X E X n
n θ
??==?=?-?
?
()()452223230
063632510x
x x E X x x dx θ
θ
θθθθθ??=?-=-=?????
, 故 ()
2.5D n θθ= 8.设总体X 的数学期望为μ,方差为2
σ,n X X X ,,,21 和m Y Y Y ,,,21 分别来自X 的样本,
证明:])()([211
212
2
∑∑==-+--+=m
i i n i i Y Y X X m n S 是2σ的无偏估计量．
证明：()()()222
1
112n
m
i i i i E S E X X Y Y n m ==????=-+-????
+-????∑∑
()()22
221112n m
i i i i E X X Y Y n m ==??=-+-??+-??
∑∑ ()()()()()()222222
1
12n i i i i E X E X E X E X E X E X n m =???=-+-+-???+-?∑ ()()()()()()222222
1m
i i i i E Y E Y E Y E Y E Y E Y =???+-+-+-????
∑ ()()()()22221112n m
i i i i D X D X D Y D Y n m μμμμ==??????=+--++--??????+-??
∑∑ ()()()()1112n m i i D X D X D X D X n m n m ==????????=-+-??????+-????????
∑∑()2
D X σ== 9. 设总体X 服从参数为θ的指数分布,概率密度为?????>=-其他,
00
,1);(x e x f x
θ
θθ,其中参数
0>θ为未知,由设n X X X ,,,21 是来自X 的样本,试证X 和)],,,[min(21n X X X n nZ =都是θ的无偏估计量．
证明：(1) ()
(),E X E X θ==故X 是θ的无偏估计量．
(2) i X 的分布函数为()0,
01,0
i i i x
X i i x F x e x θ-≤??
=??->?,故Z 的分布函数为 ()0,01,0nz
z G z e z θ-≤??
=??->?,故Z 的密度函数为()0,0,0nz z g z n e z θθ
-≤??=?>??, 故n Z E θ??
???
,故()E nz n n θθ=?=,故nZ 是θ的无偏估计量． 10.设总体X 服从正态分布),0(2
σN ,2
σ为未知参数, n X X X ,,,21 是来自X 的一个样
本.试证明∑=n i i X n 121是2
σ的有效估计量．
证明： (
)22
2,,x f x σσ-=
()()2
21ln ,ln 2ln 22x f x σπσσ=---????,
()2
31ln ,,x f x σσσσ?=-+???
?? ()22231ln ,X E f x E σσσσ???????????=-?????? ?????????????????? 4464221X X E σσσ??=-+ ??? ()()42642121E X E X σσσ
=-+, 其中, (
)22
44
423,x E X x dx σσ-
+∞
-∞
=
=?
()()()222,E X D X E X σ=+=
故()2
22ln ,,E f x σσσ???????=???????????????
故2*
.2D n σ= 而()()422
21111i i i i i i i D X E X E X n n ==????=- ??
???∑∑ ()()422
211i i E X E X n =??=-??∑
44
4
21
123i
i n
n σσσ=??=-=??∑. 故11i i i X n =∑不是2
σ的有效估计量. 11.对铁的熔点作5次试验，其结果为：1550 1540 1560 1530 1540 （单位：C
），假设熔点服从正态分布，在05.0=α下，求总体均值μ的置信区间．
解：2
σ未知时,
μ
的置信度为1α-的置信区间
为2(1)X n α??- ???
,其中, ()0.0255,4 2.7764,1544,10.198,n t x s ====故μ的置信度为95%的置信区间为
()154412.6623±,即()1531.3377,1556.6623.
12．某中疾病的存活时间)9,(~μN X ，现随机抽查16个患此疾病的患者，得到88.13=x ，求μ的置信度为95.0的置信区间．
解：2
σ已知时, μ的置信度为1α-
的置信区间为2X z α??±
??
?
, 其中, 0.02516, 1.96,3,13.88,n Z x σ====故
μ
的置信度为95%的置信区间为
()13.88 1.47±,即()12.41,15.35.
13．随机抽取500克包装的食盐16袋，称得重量（单位：克）如下： 506 508 499
503 510 504 512 497 514 493 505 502 496 506 509 496 ，设重量近似地服从正态分布，试求总体均值μ的置信度为95.0的置信区间．
解：2
σ未知时,
μ
的置信度为1α-的置信区间
为2(1)X n α??- ???
,其中, ()0.02516,15 2.1315,503.75, 6.0052,n t x s ====故μ的置信度为95%的置信区间为
()503.75 3.2±,即()500.55,506.95.
14．设5岁儿童的身高X 服从),(2σμN ，随机抽查12名儿童，得到09.02
=s ，求2
σ的置信区间（)1.0=α
解：μ
未知时, 2
σ的置信度为1α-的置信区间为????
?
??
-----)
1()1(,)1()1(22122
2
2n s n n s n ααχχ, 其中, ()()2
220.050.9512,0.09,
1119.675,11 4.575,n s χχ====
故2
σ的置信度为90%的置信区间为()0.05,0.216.
15．测试一批液晶显示屏的响应时间（单位：毫秒）如下：9.2 8.6 10.3 6.5 8.8 9.4 11.4 10.5 8.2 7.8 6.9 ，假设响应时间服从),(2σμN ，2
,σμ未知， 试求： （1）μ的置信度为0.95的置信区间． （2）2
σ的置信度为0.95的置信区间． 解：(1)2
σ未知时,
μ
的置信度为1α-的置信区间
为2(1)X n α??±
- ???
,其中, ()0.0250.05,11,10 2.2281,8.8727, 1.5054,n t x s α=====故μ的置信度为
95%的置信区间为()7.8615,9.884.
(2) μ未知时, 2
σ的置信度为1α-的置信区间为????
?
??-----)1()1(,)1()1(22122
2
2n s n n s n αα
χχ, 其中, ()()22
220.0250.97512, 1.5054,
1020.483,10 3.247,n s χχ====
故2
σ的置信度为95%的置信区间为()1.1064,6.9795.
16．一只新的过滤器用来替换旧的过滤器安装在医院的空调上，以减少空气中的细菌数。分
设两样本分别来自总体Y X ,，且),(~
2σμX N X ，),(~2σμY N Y ，2,,σμμY X 均未知，两样本相互独立。求Y X μμ-的置信度为0.9的置信区间． 解：2212σσ=未知时, Y X μμ-的置信度为1α-的置信区间为
122(1)X Y t n n s α?-±+-? ?
,
其中, ()120.050.1,7,12 1.7823,12.3,11.6249, 2.5093,w n n t x y s α======= 故Y X μ
μ-的置信度为90%的置信区间为()1.7335,3.0477-.
17．为了比较甲乙两类试验田的收获量，随机抽取甲类试验田8块，乙类试验田10块，测得收获量如下（单位：kg ）
甲类：12.6 10.2 11.7 12.3 11.1 10.5 10.6 12.2
乙类：8.6 7.9 9.3 10.7 11.2 11.4 9.8 9.5 10.1 8.5 假定这两类试验田的收获量都服从正态分布且方差相同，求均值差21μμ-的置信度为0.95的置信区间．
解：2212σσ=未知时, 12μμ-的置信度为1α-的置信区间为
122(1)X Y t n n s α?-±+-? ?
,其中, ()120.050.05,8,10,12 1.7823,11.4,9.7, 1.0712,w n n t x y s α=======
故Y X μμ-的置信度为95%的置信区间为()0.6228,2.7772.
18．为比较两个煤矿所产煤的质量，测得以下的发热量（单位：百万卡/吨） 煤矿A ： 8330 8500 8480 8030 7960 煤矿B ： 7710 7920 7890 8270 7860
设样本来自总体),(2
X X N σμ，),(2
Y Y N σμ，2
2
,,,Y X Y X σσμμ均未知，且两样本独立，试
求方差比2
2
Y
X σσ的置信区间（)10.0=α． 解：12,μμ未知时, 2
2X Y
σσ的置信度为1α-的置信区间为
()()22
112212122212211,1,11,1S S F n n F n n S S αα-
?? ?
?? ?---- ???
,
其中, 22120.1,63450,42650,s s α===
()()()
120.050.950.051
5,4,4 6.39,4,40.1565,4,4n n F F F ====
=
故2
2X Y
σσ的置信度为90%的置信区间为()0.2328,9.5064.
19．研究由机器A 和机器B 生产的钢管的内径，随机抽取机器A 生产的管子18只，测得样
本方差)(34.0221mm s =；抽取机器B 生产的管子13只，测得样本方差)(29.022
2mm s =.
设两样本相互独立，且设由机器A 、机器B 生产的管子的内径分别服从正态分布),(2
11σμN ，
),(222σμN ，这里2
2
2121,,,σσμμ均未知，试求方差比2221σσ的置信度为0.90的置信区间．
解：12,μμ未知时, 2
122
σσ的置信度为1α-的置信区间为
()()22
112212122
212211,1,11,1S S F n n F n n S S αα-?? ?
?? ?---- ???
,
其中, 22120.1,0.34,0.29,s s α===
()()()
120.050.950.051
18,13,17,12 2.57,17,120.4202,17,12n n F F F ====
=
故2
122
σσ的置信度为90%的置信区间为()0.4562,1.0857.
20设从一大批产品中随机取出200个，测得一级品为120个，试以0.95为置信度求这批产品中一级品的概率p 的置信区间．
解：10.95,0.05,αα-==p 的置信度为1α-的置信区间为
n n
μ
? ± ?
, 其中
, 0.025120,200,
0.6,
0.0346,
1.96,n
n n Z n
μμ=====
故μ的置信度为95%的置信区间为()0.5322,0.6678.
21．经市场调查，800名被调查者中有420人喜欢无糖饮料，求喜欢无糖饮料的人的概率作
置信度为0.95的置信区间．
解：10.95,0.05,αα-==p 的置信度为1α-的置信区间为
n n
μ
? ± ?
, 其中,
0.025420,800,
0.525,
0.0177,
1.96,n
n n Z n
μμ=====
故μ的置信度为95%的置信区间为()0.5073,0.5402.
习题八
1.某手表厂生产的女表表壳，正常情况下，其直径（单位：mm ）服从正态分布)1,20(N ，在某天的生产过程中抽查５只表壳，测得直径分别为19 19.5 19 20 20.5，问生产是否正常？（05.0=α）
解：设00:μμ=H ，01:μμ≠H
检验统计量n X n
X U 10
μσμ-=-=， 拒绝域????
??≥=2αz U W
05.0=α，9612
.=αz ，
6192050.,,===X n μ 检验值894405
120
619..-=-=
u
961.
2.正常人的脉搏平均为72次/分，现某医生测得10例慢乙基上铅中毒患者的脉搏（次/分）如下：
54 67 78 68 70 67 66 70 69 65
已知乙基四铅中毒者的脉搏服从正态分布，试问：乙基四铅中毒者和正常人的脉搏有无显著的差异？（05.0=α）
解：由题意设72720100≠=μμ::H H
2σ未知，取检验统计量n
S X T 0
μ-=
，当0H 为真时 ()1-n t T ~，
拒绝域()?
??
???-≥=12n t T W α 05.0=α，10
=n ()2622292
.=αt
467.=x ，720=μ 935.=s 检测值453210
93
572
467...-=-=
t ，26222.>t
W t ∈，拒绝0H ，接受1H ，即乙基四铅中毒者和正常人的脉搏有显著的差异。
3.检查一批保险丝，抽取10根，在通过强电流后熔化后需时间（秒）为：65 42 78 75 71 69 68 57 55 54,在05.0=α下，问（已知熔化时间服从),(2σμN ）。 （1）能否认为这批保险丝的平均熔化时间少于65秒？ （2）能否认为熔化时间的方差不超过80？ 解：（1）656510<≥μμ::H H
取检验统计量n
S X T 0
μ-=
，当0H 为真时 ()1-n t T ~，
拒绝域(){}1--≤=n t T W α 05.0=α，10
=n ()833119050..=t
463..=x ，14711.=s 650=μ 检测值454010
147
1165
463...-=-=
t ，
83311.->t ，W t ?，接受0H
即在显著性水平050.=α下，不能认为这批保险丝的平均熔化时间少于65秒。
（2）由14711.=s ，设80802
120>≤σσ::H H
检验统计量()2
2
2
1σχS n -=
拒绝域(){}
12
2
-≥=
n W α
λχ
10050==n ,.α ()919161102
.=-α
χ 802
0=σ 检验值 979132.=χ，919162.<χ
W ?2χ，接受0H ，即在显著性水平050.=α下，能认为熔化时间的方差不超过80。 4.某种导线，要求其电阻的标准差不得超过Ω005.0，今在生产的一批导线中抽取样品9根，测得Ω=007.0S ，设总体为正态分布，问在水平05.0=α下能认为这批导线电阻的标准差显著地偏大吗？
解：由0070.=s ，设0050005010.:.:>≤σσH H
检验统计量()2
2
2
1σχS n -=
拒绝域(){}
12
2
-≥=
n W α
λχ
9050==n ,.α ()50715192
.=-α
χ 00500.=σ ， 检验值 68152.=χ，507152.>χ
W ∈2χ，拒绝0H ，接受1H ，即在显著性水平050.=α下，能认为这批导线电阻的
标准差显著地偏大。
5.使用Ａ（电学法）和Ｂ（混合法）两种方法来研究冰的潜热，样本都是C
72.0-的冰，下列数据是每克冰从C
72.0- 变为C
0水的过程中热量变化（卡/克）
A:79.78 80.04 80.02 80.04 80.03 80.04 79.97 80.05 80.03 80.02 80.00 8.02 B:80.02 79.94 79.97 79.98 80.03 79.95 79.97
假定用每种方法测得的数据都服从正态分布，并且它们的方差相等，试在05.0=α下检验
0H :两种方法的总体均值相等．
解：210μμ=
:H ，211μμ≠:H
取检验统计量2
111n n S Y X T +-=
?
，当0H 为真时 ()221-+n n t T ~，
拒绝域()?
??
???-+≥=2212n n t T W α
05.0=α，12
1=n 72=n ()1098227120250..=-+t
003
80.=x ，
0735
01.=s
98
79.=y ，
033702.=s ()()062402
11212
22211.=-+-+-=
n n s n s n s ω 检测值77507
1
1210624
0987900380....=+-=
t ，
10982. 即在显著性水平050.=α下，两种方法的总体均值相等。 6.为比较成年男女红细胞数的差别，检查正常男子36名，女子25名，测得男性的均值和方差分别为465.13和54.802 ，测得女性的均值和方差分别为 422.16和49.302 ，假设血液中红细胞数服从正态分布，问（05.0=α） （1）男女的红细胞数目的不均匀性是否一致？即问两正态总体的方差是否相同？ （2）性别对红细胞数目有无影响？ 解：（1）设2 2 2112 2 210σσσσ≠=::H H 检验统计量22 2 1S S F =，当0H 为真时 ()1121--n n F F ,~ 拒绝域()()1212 1221,11,1W F F F n n F F n n αα- ????=≤--≥--?????? ，或者 360501==n , .α25 2=n ()18 224350250.,.=F ， ()() 483035241 2435025002501.,,..== -F F 2218054.=s 22 23049.=s 检测值 23561.=f ， W f ?，接受0H ，在显著性水平050.=α下，2 2 21σσ=即男女的红细胞数目 的不均匀性是一致。 （2）若2 2 21σσ=，210μμ=:H ，211μμ≠:H 取检验统计量2 111n n S Y X T +-= ? ，当0H 为真时 ()221-+n n t T ~， 拒绝域()? ?? ???-+≥=2212n n t T W α 05.0=α，36 1=n ，252=n ，()9612253602500250...=≈-+z t 13 465.=x ， 2 218054.=s 16 422.=y ， 22 23049.=s ()()632522 11212 22211.=-+-+-= n n s n s n s ω 检验值136325 1361632 521642213465....=+-= t ， 961.>t ，W t ∈，拒绝0H ，接受1H ， 即在显著性水平050.=α下，性别对红细胞数目有影响。 7.有一大批产品，从中随机抽查50件，查出其中有31件是一级品，问是否可以认为这批产品的一级品率为65%（10.0=α）？ 解：设 0100650p p H p p H ≠==:.: 检验统计量 ()n p p p X U 000 1--= ， 当n 充分大时，()10， N U 近似 ~，50=n 故拒绝域? ??? ??≥=2αz U W 10.0=α， 6412 .=αz 62050 31 .== x U 的观察值44470.-=u ， 641. 8.为了考察某公路上通过汽车辆数的规律，记录每15秒内通过汽车的辆数，统计工作持续 了50分钟，得频数分布如下表： 问15秒钟内通过汽车的辆数是否服从泊松分布？（05.0=α） 解：设{}λλ-= =e k k X P H k ! : 由极大似然估计 810.==Λ x λ 0H 为真时，则()()∑ =---=4 1 22 2 114i i i i nP nP f χχ~ ()991 522 050..=χ，拒绝域{} 991522.≥=χχW ， 9915900..<，故接受0H ，即15秒钟内通过汽车的辆数服从泊松分布。 总习题八 1．某产品按规定每包重为10kg ，现从中抽取6包进行测量，得9.7 10.1 9.8 10.0 10.2 9.6 kg ，若包重服从正态分布),(2σμN ，且05.02 =σ，问在05.0=α下，包的平均重量 是否为10kg ？ 解： 令01:10, :10.H H μμ=≠ 取检验统计量：X U = 对应的拒绝域为2|W U U Z α?? =≥???? ， 其中，009.9, 10,6,x n μσ====故U 的观测值为 1.0954u =-， 0.025 1.96,Z =故{}| 1.96W U U =≥， 1.0954,u W =-?∴ 接受0H ，即在显著性水平0.05α=下，不能认为平均重量为10kg 。 2．正常人的脉搏平均为72次/min ，现某医生从铅中毒的患者中抽取10个人，测得其脉搏为：54 68 67 78 70 67 66 70 69 65次/min 。设脉搏服从正态分布 ),(2σμN ，问在水平05.0=α下，铅中毒患者与正常人的脉搏是否有显著性差异？ 解： 令01:72, :72.H H μμ=≠ 取检验统计量：X T =对应的拒绝域为()2|1W T T t n α??=≥-????， 其中，067.4, 72, 5.9292,10,x s n μ====故T 的观测值为 2.4534t =-， ()0.0259 2.2622,t =故{}| 2.2622W T T =≥， 2.4534,t W =-?∴ 接受0H ，即在显著性水平0.05α=下，中毒者脉搏与正常人无显著 差异。 3．某灯泡的使用寿命不低于1000 h 为合格，现从一大批灯泡中随机抽出25只，测得 950=x h ，已知灯泡寿命)100,(~2μN X ，问在05.0=α下，能否认为这批灯泡合格？ 解：由于9501000,x =< 故令01:1000,:1000.H H μμ≥< 取检验统计量：X U = 对应的拒绝域为{}|W U U Z α=≤-， 其中，00950, 1000,100,25,x n μσ====故U 的观测值为 2.5u =-， 0.05 1.65,Z =故{}| 1.65W U U =≥， 2.5,u W =-∈∴ 拒绝0H ，即在显著性水平0.1α=下，不能认为这批灯泡合格。 4．设某次考试的考生成绩服从正态分步，从中随机抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为5.66分，标准差为15分。问在显著性水平05.0下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程。 解： 设成绩() 2 ,,X N μσ 则2215,σ= 令01:70,:70.H H μμ=≠ 取检验统计量：X U = 对应的拒绝域为2|W U U Z α?? =≥???? ， 其中，0066.5, 70,15,36,x n μσ====故U 的观测值为 1.4u =-， 0.025 1.96,Z =故{}| 1.96W U U =≥， 1.4,u W =-?∴ 接受0H ，即在显著性水平0.05α=下，可以认为平均成绩为70。 5．某元件的寿命服从方差22 40=σ )(2h 的正态分布，今从中随机抽取25只进行测量，得 222500h s =，问在05.0=α下，这批元件的波动性较以往有无显著变化？ 解：设寿命() 2 ,,X N μσ 令222201:40, :40.H H σσ=≠ 取检验统计量：()22 2 1,n S χσ-=对应的拒绝域为 ()()22222 122|11W n n ααχχχχχ- ??=≤-≥-???? ， 其中，2 22025,2500, 40,n s σ===故2χ的观测值为237.5χ=， ()()220.0250.9752439.3646,2412.401,χχ==故{}222|12040139.364W χχχ=≤≥ ， 237.5,W χ=?∴ 接受0H ，即在显著性水平0.05α=下，波动性无明显改善。 6．任取10根保险丝作熔化试验，得60=x ，8.1202 =s ，设熔化时间服从正态分布 ),(2σμN ，在01.0=α下，试问熔化时间的方差是否大于100？ 解：2120.8100,S => 令2201:100, :100.H H σσ≤> 取检验统计量：()22 2 1,n S χσ-=对应的拒绝域为 (){}222|1W n αχχχ=≥-， 其中，22010,120.8, 100,n s σ===故2χ的观测值为210.872χ=， ()20.01921.666,χ=故{}22|21.666W χχ=≥， 210.872W χ=?，接受0H ，即在显著性水平0.10α=下，波动性无明显改善。 7．A 、B 两台机床，生产相同型号的滚珠。从A 机床生产的滚珠中任取8个，从B 机床生产 的滚珠中任取9个，测量直径得数据如下（单位：mm ）： A 机床：15.0 14.5 15.5 15.2 14.8 15.2 15.1 14.8 B 机床：15.2 14.8 15.0 15.2 15.0 14.8 15.0 15.1 14.8 假设滚珠直径服从正态分布。问在05.0=α下，两台机床生产的滚珠的直径是否可以认为具有同一分布？ 解：设A 机床生产的滚珠直径() 211,,X N μσ B 机床生产的滚珠直径() 2 22,,Y N μσ (1) 令012112:,:.H H μμμμ=≠ 取检验统计量：X Y T = , 对应的拒绝域为()122 |2W T T t n n α????=≥+-????? ? ，其中， 22121215.0125,14.9889,0.0955,0.0261,0.2418,8,9, w x y s s s n n =======故T 的观测值为0.2009t =， ()0.02515 2.1315,t =故{}|201315W T T =≥， 0.2009t W =?,接受0H ，即在即两者均值相等。 (2) 令2 2 22012112:, :.H H σσσσ=≠ 取检验统计量：2 122 S F S =， 对应的拒绝域为()()1221221|1,1,1,1W F F F n n F F n n αα?? ?? =≥--≤??--? ??? ，其中， 22120.0955,0.0261,s s ==故F 的观测值为 3.659f =， ()()() 0.0250.9750.02511 7,8 4.53,7,80.2041,8,7 4.9 F F F == = = 故{}| 4.53,0.2041,W T F F =≥≤ 3.659f W =?,接受0H ， 即在即两者方差相等，所以，在显著性水平0.10α=下，可以认为两者服从同一分布。 8．设有两个来自不同正态总体的样本，5,421==n n ，25.2,60.021==x x ，07.1521=s ， 81.1022=s ，在05.0=α下，试检验两个样本是否来自于相同方差的正态总体？ 解：设两个方差分别为2212,,σσ 令2222012112:, :.H H σσσσ=≠ 取检验统计量：2 122 S F S =，对应的拒绝域为 ()()1221221|1,1,1,1W F F F n n F F n n αα?? ?? =≥--≤??--? ??? ，其中， 221215.07,10.81,s s ==故F 的观测值为 1.3941f =， ()()() 0.0250.9750.02511 3,49.98,3,40.0662,4,315.1 F F F == = = 故{}|9.98,0.0662,W T F F =≥≤ 1.3941f W =?,接受0H ，即两个样本是来自于相同方差的正态总体。 习题九 1.调查十家百货商店，每人月平均销售额和利润率的资料如下 计算相关系数，并说明人均销售额和利润率之间相关的方向和相关的密切程度。 解：设i x 表示第i 个商店每人月平均销售额,相应的利润率为i y ()1021,,, =i 5010 1 =∑=i i x ，,294101 2 =∑=i i x 9654101 .=∑=i i i y x ，8110101 .=∑=i i y ，10146510 1 2==∑=n y i i , 2 10110 121???? ??-=∑∑==i i i i xx x n x L 2 10110 12 1??? ? ??-=∑∑==i i i i yy y n y L ???? ?????? ??-=∑∑∑===10110110 1 1i i i i i i i xy y x n y x L 9870.==yy xx xy L L L r 所以人均销售额和利润率之间正相关且高度线性相关。 2．某工业公司为了调查某种产品的月产量和生产费用之间的相关关系，随机调查公司下属八家企业，调查资料如下 试计算月产量和生产费用之间的相关系数，并说明它们相关的方向和密切程度。 解：设i x 和i y 分别表示月产量和生产费用， ·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件： －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 说明：本试卷总计100分，全试卷共 5 页，完成答卷时间2小时。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 一、填空题（本大题共8小题，每题4分，共32分） 1、随机事件A 、B 互不相容，且A ＝B ；则()P A = 2、已知,10/1)/(,5/1)(,5/2)(===B A P B P A P 则=+)(B A P 3、同时掷三枚均匀硬币，则恰有两枚正面向上的概率为 。 4、若随机变量)2.0,20(~B X ，则X 的最可能值是 。 5、若n X X X ,...,,21为来自泊松分布)(λP 的一个样本，2,S X 分别为样本均值和样本方差，则 =)(X E ，=)(2S E 。 6、样本0,5,10,-3样本均数为 ，样本方差为 。 7、2σ已知时检验假设0100:;:μμμμ≠=H H ，应构造统计量为 ，拒绝域为 。 8、考查4个3水平的因子A,B,C,D 及其交互作用A ×B 与A ×C ，则做正交实验设计时，可选用的行数最少的正交表为 。 二、单项选择题（本大题共8小题，每题4分，共32分） 1、设随机事件A 、B 互不相容，且()0,()0,P A P B >>则下列结论只有（ ） 成立。 A 、A 、 B 是对立事件； B 、A 、B 互不相容； C 、A 、B 不独立； D 、 A 、 B 相互独立。 2、射击三次，事件i A 表示第i 次命中目标（i =1，2，3），下列说法正确的是（ ）。 A 、321A A A 表示三次都没击中目标； B 、313221A A A A A A ++表示恰有两次击中目标； C 、313221A A A A A A ++表示至多一次没击中目标；D 、321A A A 表示至少有一次没击中目标。 3、随机变量),(~2σμN X ，则随着σ的减小，)|(|σμ<-X P 应（ ）。 A 、单调增大； B 、单调减少； C 、保持不变； D 、增减不能确定 2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件： （1）A发生，B，C都不发生； （2）A与B发生，C不发生； （3）A，B，C都发生； （4）A，B，C至少有一个发生； （5）A，B，C都不发生； （6）A，B，C不都发生； （7）A，B，C至多有2个发生； （8）A，B，C至少有2个发生. 【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC （4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC (5) ABC=A B C (6) ABC (7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C (8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC 3. 略.见教材习题参考答案 4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）. 【解】P（AB）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)] =1-[0.7-0.3]=0.6 5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求： （1）在什么条件下P（AB）取到最大值？ （2）在什么条件下P（AB）取到最小值？ 【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6. （2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3. 6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC） =0， P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率. 【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC) =1 4 + 1 4 + 1 3 - 1 12 = 3 4 7. 从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2 张梅花的概率是多少？ 【解】p=533213 1313131352 C C C C/C 数理统计 一、填空题 1、设n X X X ,,21为母体X 的一个子样，如果),,(21n X X X g ， 则称),,(21n X X X g 为统计量。不含任何未知参数 2、设母体 ),,(~2 N X 已知，则在求均值 的区间估计时，使用的随机变量为 n X 3、设母体X 服从修正方差为1的正态分布，根据来自母体的容量为100的子样，测得子样均值为5，则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为 。 025.010 1 5u 4、假设检验的统计思想是 。 小概率事件在一次试验中不会发生 5、某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%， 此问题的原假设为 。 0H ：05.0 p 6、某地区的年降雨量),(~2 N X ，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为： (单位：mm) 587 672 701 640 650 ，则2 的矩估计值为 。 1430.8 7、设两个相互独立的子样2121,,,X X X 与51,,Y Y 分别取自正态母体)2,1(2 N 与 )1,2(N ， 2 *2 2*1,S S 分别是两个子样的方差，令2*2222*121)(,S b a aS ，已知)4(~),20(~22 2221 ，则__________, b a 。 用 )1(~)1(22 2 * n S n ，1,5 b a 8、假设随机变量)(~n t X ，则 2 1 X 服从分布 。)1,(n F 9、假设随机变量),10(~t X 已知05.0)(2 X P ，则____ 。 用),1(~2 n F X 得),1(95.0n F 数理统计考试试卷 一、填空题(本题15分,每题3分) 1、总体得容量分别为10,15得两独立样本均值差________; 2、设为取自总体得一个样本,若已知,则=________; 3、设总体,若与均未知,为样本容量,总体均值得置信水平为得置信区间为,则得值为________; 4、设为取自总体得一个样本,对于给定得显著性水平,已知关于检验得拒绝域为2≤,则相应得 备择假设为________; 5、设总体,已知,在显著性水平0、05下,检验假设,,拒绝域就是________。 1、; 2、0、01; 3、; 4、; 5、。 二、选择题(本题15分,每题3分) 1、设就是取自总体得一个样本,就是未知参数,以下函数就是统计量得为( )。 (A) (B) (C) (D) 2、设为取自总体得样本,为样本均值,,则服从自由度为得分布得统计量为( )。 (A) (B) (C) (D) 3、设就是来自总体得样本,存在, , 则( )。 (A)就是得矩估计(B)就是得极大似然估计 (C)就是得无偏估计与相合估计(D)作为得估计其优良性与分布有关 4、设总体相互独立,样本容量分别为,样本方差分别为,在显著性水平下,检验得拒绝域为( )。 (A) (B) (C) (D) 5、设总体,已知,未知,就是来自总体得样本观察值,已知得置信水平为0、95得置信区间为(4、71,5、69),则取显著性水平时,检验假设得结果就是( )。 (A)不能确定(B)接受(C)拒绝(D)条件不足无法检验 1、B; 2、D; 3、C; 4、A; 5、B、 三、(本题14分) 设随机变量X得概率密度为:,其中未知 参数,就是来自得样本,求(1)得矩估计;(2)得极大似然估计。 解:(1) , 令,得为参数得矩估计量。 (2)似然函数为:, 而就是得单调减少函数,所以得极大似然估计量为。 四、(本题14分)设总体,且就是样本观察值,样本方差, 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ?? 8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本， 1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =， 求参数a 的置信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<?? 第一章:统计量及其分布 19.设母体ξ服从正态分布N (),,2 σμξ 和2 n S 分别为子样均值和子样方差,又设 ()21,~σμξN n +且与n ξξξ,,,21 独立, 试求统计量 1 1 1+--+n n S n n ξ ξ的抽样分布. 解: 因为ξξ-+1n 服从??? ??+21, 0σn n N 分布. 所以 ()1,0~12 1N n n n σξ ξ+-+ 而 ()1~22 2 -n nS n χσ 且2 n S 与ξξ-+1n 独立,, 所以 ()1~1111--÷+--+n t S n n n n S n n n σ ξ ξ分布. 即 1 1 1+--+n n S n n ε ε服从()1-n t 分布. 20. (),,,1,,n i i i =ηξ是取自二元正态分布 N () ρσσ μμ2 2212 1 ,,,的子样,设 ()∑∑∑===-===n i i i n i n i i n S n n 12 111, 1,1ξξηηξξξ 2 ,()2 1 21∑=-=n i i n S ηηη和 ()() () ()∑∑∑===----= n i i n i i i n i i r 1 2 21 1 ηηξξ ηηξξ 试求统计量 () 122 2 21--+---n S rS S S η ξηξμμηξ的分布. 解: 由于() .21μμηξ-=-E ()() = -+=-ηξηξηξ,c o v 2D D D n n n n 2 12 22 12σσρ σσ-+ . 所以 ()() n 2 12 22 121 2σρσσσμμ ηξ-+---服从()1,0N 分布 . () ()()()() ()()[] 2 1 1 2 1 2 1 212 22 122ηξηξ ηηξξηηξξ---=----+-=-+∑ ∑∑∑====i i n i i i n i i n i i n i S rS S S n 100 11 ==∑ =n i i x n x 34 11222 =-=∑ =n i i x x n s 第一章 1.在五块条件基本相同的田地上种植某种作物，亩产量分别为92，94，103，105，106（单位：斤），求子样平均数和子样方差。 解： 2.从母体中抽取容量为60的子样，它的频数分布 求子样平均数与子样方差，并求子样标准差。 解： 411 *==∑=l i i i x m n x 67.181122*2 =-=∑=l i i i x x m n s 32.467.18==s 3.子样平均数和子样方差的简化计算如下：设子样值n x x x ,,,21?的平均数为x 和方差 为2x ε。作变换c a x y i i -= ，得到n y y y ,,,21?，它的平均数为y 和方差为2 y s 。试证：222 ,y x s c s y c a x =+=。 解：由变换c a x y i i -= ，即i i cy a x += ()y cn na x n cy a x n i i n i i +=+=∑∑==,1 1 y c a x +=∴ 而()() () ∑∑∑====-= --+=-=n i y i n i i n i i x s c y y n c y c a cy a n x x n s 1 222 2 1212211 4.对某种混凝土的抗压强度进行研究，得到它的子样的下列观测数据（单位：磅/英寸2）： 1939, 1697， 3030, 2424, 2020, 2909， 1815, 2020, 2310 采用下面简化计算法计算子样平均数和方差。先作变换2000-=i i x y ，再计算y 与2y s ，然 后利用第3题中的公式获得x 和2x s 的数值。 解：作变换2000-=i i x y ，2000=a 44.24021649 1 11=?==∑=n i i y n y 444.2240=+=y a x 247.1970321122 22=-==∑=n i i y x y y n s s 5.在冰的溶解热研究中，测量从℃72.0-的冰变成0℃的水所需热量，取13块冰分别作试验得到热量数据如下： 79.98， 80.04， 80.02, 80.04, 80.03, 80.03, 80.04， 79.97， 80.05， 80.03， 80.02， 80.00， 80.02 试用变换()80100-=i i x y 简化计算法计算子样平均数和子样方差。 解：作变换()80100-=i i x y ，1001,80==c a 229131 11=?==∑=n i i y n y 02.80100280=+=+=y c a x 41 2 2 2222103.5-=?=-= =∑n i i y x y y n c s c s 6.容量为10的子样频数分布为 试用变换()2710-=i i x y 作简化计算，求x 与2 x s 的数值。 解：作变换()2710-=i i x y ，10/1,27==c a ()5.11510 1 11*-=-?==∑=l i i i y m n y 学习好资料 第一套试卷及参考答案 一、选择题 ( 40 分) 1、根据某医院对急性白血病患者构成调查所获得的资料应绘制 ( B ) A 条图B 百分 条图或圆图C 线图D 直方图 2、均数和标准差可全面描述D 资料的特征 A 所有分布形式E负偏态分布C正偏态分布D正态分布和近似正态分布 3、要评价某市一名5岁男孩的身高是否偏高或偏矮，其统计方法是( A ) A 用该市五岁男孩的身高的95%或99%正常值范围来评价 B 用身高差别的假设检 验来评价 C 用身高均数的95%或99%的可信区间来评价 D 不能作评价 4、比较身高与体重两组数据变异大小宜采用( A ) A 变异系数 B 方差 C 标准差 D 四分位间距 5、产生均数有抽样误差的根本原因是( A ) A. 个体差异 B. 群体差异 C. 样本均数不同 D. 总体均数不同 6、男性吸烟率是女性的10 倍，该指标为( A ) (A)相对比(B)构成比(C)定基比(D )率 7、统计推断的内容为( D ) A.用样本指标估计相应的总体指标 B.检验统计上的“检验假设” C. A和B均不是 D. A和B均是 8、两样本均数比较用t 检验，其目的是检验( C ) A两样本均数是否不同B两总体均数是否不同 C 两个总体均数是否相同 D 两个样本均数是否相同 9、有两个独立随机的样本，样本含量分别为n i和住，在进行成组设计资料的t 检 验时，自由度是( D ) (A) n i+ n2 (B) n i+ n2 - C) n1+ n2 +1 D) n1+ n2 -2 10、标准误反映( A ) A 抽样误差的大小 B 总体参数的波动大小 C 重复实验准确度的高低 D 数据的离散程度 11、最小二乘法是指各实测点到回归直线的(C) A垂直距离的平方和最小E垂直距离最小 C纵向距离的平方和最小D纵向距离最小 12、对含有两个随机变量的同一批资料, 既作直线回归分析, 又作直线相关分析。 令对相关系数检验的t值为t r，对回归系数检验的t值为t b, 二者之间具有什么关系？( C) A t r >t b B t r 习题五 1 试检验不同日期生产的钢锭的平均重量有无显著差异？（=0.05） 解 根据问题，因素A 表示日期，试验指标为钢锭重量，水平为5. 假设样本观测值(1,2,3,4)ij y j =来源于正态总体2 ~(,),1,2,...,5i i Y N i μσ= . 检验的问题：01251:,:i H H μμμμ===不全相等 . 计算结果： 表5.1 单因素方差分析表 ‘*’ . 查表0.95(4,15) 3.06F =，因为0.953.9496(4,15)F F =>，或p = 0.02199<0.05， 所以拒绝0H ，认为不同日期生产的钢锭的平均重量有显著差异. 2 考察四种不同催化剂对某一化工产品的得率的影响，在四种不同催化剂下分别做试验 试检验在四种不同催化剂下平均得率有无显著差异？（=0.05） 解 根据问题，设因素A 表示催化剂，试验指标为化工产品的得率，水平为4 . 假设样本观测值(1,2,...,)ij i y j n =来源于正态总体2 ~(,),1,2,...,5i i Y N i μσ= .其中 样本容量不等，i n 分别取值为6，5，3，4 . 检验的问题：012341:,:i H H μμμμμ===不全相等 . 计算结果： 表5.2 单因素方差分析表 查表0.95(3,14) 3.34F =，因为0.952.4264(3,14)F F =<，或p = 0.1089 > 0.05， 所以接受0H ，认为在四种不同催化剂下平均得率无显著差异 . 3 试验某种钢的冲击值（kg ×m/cm2），影响该指标的因素有两个，一是含铜量A ， 试检验含铜量和试验温度是否会对钢的冲击值产生显著差异？（=0.05） 解 根据问题，这是一个双因素无重复试验的问题，不考虑交互作用. 设因素,A B 分别表示为含铜量和温度，试验指标为钢的冲击力，水平为12. 假设样本观测值(1,2,3,1,2,3,4)ij y i j ==来源于正态总体2 ~(,),1,2,3,ij ij Y N i μσ= 1,2,3,4j = .记i α?为对应于i A 的主效应；记j β?为对应于j B 的主效应； 检验的问题：（1）10:i H α?全部等于零，11 :i H α?不全等于零； （2）20:j H β?全部等于零，21:j H β?不全等于零； 计算结果： 表5.3 双因素无重复试验的方差分析表 查表0.95(2,6) 5.143F =，0.95(3,6) 4.757F =，显然计算值,A B F F 分别大于查表值， 或p = 0.0005，0.0009 均显著小于0.05，所以拒绝1020,H H ，认为含铜量和试验温度都会对钢的冲击值产生显著影响作用. 4 下面记录了三位操作工分别在四台不同的机器上操作三天的日产量： 概率论与数理统计 答案 一．1．（D ）、2.（D ）、3.（A ）、4.（C ）、5.（C ） 二．1．0.85、2. n =5、3. 2 ()E ξ=29、4. 0.94、5. 3/4 三．把4个球随机放入5个盒子中共有54=625种等可能结果--------------3分 （1）A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故 P (A )=5/625=1/125------------------------------------------------------5 分 (2) 5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有 302415=C C 种方法----------------------------------------------------7 分 4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法 因此，B={恰有一个盒子有2个球}共有4×3=360种等可能结果.故 125 72625360)(== B P --------------------------------------------------10分 四．解：（1） ?? ∞∞-==+=3 04ln 1,4ln 1)(A A dx x A dx x f ---------------------3分 （2）? ==+=<10 212ln 1)1(A dx x A P ξ-------------------------------6分 （3）3 300()()[ln(1)]1Ax E xf x dx dx A x x x ξ∞-∞= ==-++?? 13(3ln 4)1ln 4ln 4 =-=-------------------------------------10分 五．解：（1）ξ的边缘分布为 ??? ? ??29.032.039.02 1 0--------------------------------2分 η的边缘分布为 ??? ? ??28.034.023.015.05 4 2 1---------------------------4分 因)1()0(05.0)1,0(==≠===ηξηξP P P ,故ξ与η不相互独立-------5分 （2）ξη?的分布列为 概率论与数理统计复习题（1） 一． 填空. 1.3.0)(,4.0)(==B P A P 。若A 与B 独立，则=-)(B A P ；若已知B A ,中至少有一个事件发生的概率为6.0，则=-)(B A P 。 2．)()(B A p AB p =且2.0)(=A P ，则=)(B P 。 3．设),(~2σμN X ，且3.0}42{ },2{}2{=<<≥= 长度愈 愈好。但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 。 二．假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；乙河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，试求： （1）该时期内这个地区遭受水灾的概率； （2）当乙河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。 三．高射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独立），每发炮弹击中敌机的概率均为0.3，又知若敌机中一弹，其坠毁的概率是0.2，若敌机中两弹，其坠毁的概率是0.6，若敌机中三弹则必坠毁。（1）求敌机被击落的概率；（2）若敌机被击落，求它中两弹的概率。 四． X 的概率密度为? ??<<=其它 ,0,0 ,)(c x kx x f 且E(X)=32。（1）求常数k 和c ；(2) 求X 的分布函数F(x)； 五． （X,Y ）的概率密度 ???<<<<+=otherwise ,02 0,42 ),2(),(y x y kx y x f 。求 （1）常数k ；（2） X 与Y 是否独立；（3）XY ρ； 六．.设X ，Y 独立，下表列出了二维随机向量（X ，Y ）的分布，边缘分布的部分概率，试 将其余概率值填入表中空白处. 概率论与数理统计B 一．单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设事件A 和B 的概率为12 () ,()23 P A P B == 则()P AB 可能为（） (A) 0; (B) 1; (C) 0.6; (D) 1/6 2. 从1、2、3、4、5 这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字,则这两个数字不相同的概率为（） (A) 12 ; (B) 225; (C) 425 ; (D)以上都不对 3．投掷两个均匀的骰子，已知点数之和是偶数，则点数之和为6的概率为（ ） (A) 518; (B) 13; (C) 1 2 ; (D)以上都不对 4．某一随机变量的分布函数为()3x x a be F x e += +，(a=0,b=1)则F (0)的值为（ ） (A) 0.1; (B) 0.5; (C) 0.25; (D)以上都不对 5．一口袋中有3个红球和2个白球，某人从该口袋中随机摸出一球，摸得红球得5分，摸得白球得2分，则他所得分数的数学期望为（ ） (A) 2.5; (B) 3.5; (C) 3.8; (D)以上都不对 二．填空题（每小题3分，共15分） 1．设A 、B 是相互独立的随机事件，P (A )=0.5, P (B )=0.7, 则()P A B = . 2．设随机变量~(,), ()3, () 1.2B n p E D ξ ξξ==，则n =______. 3．随机变量ξ的期望为() 5E ξ=，标准差为()2σξ=，则2()E ξ=_______. 4．甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是0.7和0.8.先由甲射击，若甲未射中再由乙射击。设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为_________. 5．设连续型随机变量ξ的概率分布密度为 2 ()22 a f x x x = ++，a 为常数，则P (ξ≥0)=_______. 三．(本题10分)将4个球随机地放在5个盒子里，求下列事件的概率 (1) 4个球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有2个球. 四．(本题10分) 设随机变量ξ的分布密度为 , 03()10, x<0x>3 A x f x x ?? =+???当≤≤当或 (1) 求常数A ; (2) 求P (ξ<1)； (3) 求ξ的数学期望. 五．(本题10分) 设二维随机变量(ξ,η)的联合分布是 习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图： ） 数理统计 一、填空题 1、设n X X X ,,21为母体X 的一个子样，如果),,(21n X X X g ， 则称),,(21n X X X g 为统计量。不含任何未知参数 2、设母体σσμ),,(~2 N X 已知，则在求均值μ的区间估计时，使用的随机变量为 n X σ μ - 3、设母体X 服从修正方差为1的正态分布，根据来自母体的容量为100的子样，测得子样均值为5，则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为 。 025.010 1 5u ?± ; 4、假设检验的统计思想是 。 小概率事件在一次试验中不会发生 5、某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%， 此问题的原假设为 。 0H ：05.0≤p 6、某地区的年降雨量),(~2 σμN X ，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为： (单位：mm) 587 672 701 640 650 ，则2 σ的矩估计值为 。 ~ 7、设两个相互独立的子样2121,,,X X X 与51,,Y Y 分别取自正态母体)2,1(2 N 与 )1,2(N ， 2 *2 2*1,S S 分别是两个子样的方差，令2*2222*121)(,S b a aS +==χχ，已知)4(~),20(~22 2221χχχχ，则__________,==b a 。 用 )1(~)1(22 2 *--n S n χσ，1,5-==b a 8、假设随机变量)(~n t X ，则 21 X 服从分布 。)1,(n F 9、假设随机变量),10(~t X 已知05.0)(2 =≤λX P ，则____=λ 。 用),1(~2 n F X 得),1(95.0n F =λ 10、设子样1621,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N ， X 为子样均值，而 01.0)(=>λX P ， 则____=λ 01.04)1,0(~1z N n X =?λ 11、假设子样1621,,,X X X 来自正态母体),(2 σμN ，令∑∑==-=16 11 10 1 43i i i i X X Y ，则Y 的 分布 )170,10(2 σμN % 12、设子样1021,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N ，X 与2 S 分别是子样均值和子 样方差，令2*2 10S X Y =，若已知01.0)(=≥λY P ，则____=λ 。)9,1(01.0F =λ 13、如果,?1θ2?θ都是母体未知参数θ的估计量，称1?θ比2?θ有效，则满足 。 )?()?(2 1θθD D < 14、假设子样n X X X ,,,21 来自正态母体),(2σμN ，∑-=+-=1 1 2 12 )(?n i i i X X C σ 是2σ的一个无偏估计量，则_______=C 。 ) 1(21 -n 15、假设子样921,,,X X X 来自正态母体)81.0,(μN ，测得子样均值5=x ，则μ的置信度是95.0的置信区间为 。025.03 9 .05u ?± 16、假设子样10021,,,X X X 来自正态母体),(2 σμN ，μ与2 σ未知，测得子样均值 5=x ，子样方差12=s ，则μ的置信度是95.0的置信区间为 。 025.0025.0025.0)99(),99(10 1 5z t t ≈?± 17、假设子样n X X X ,,,21 来自正态母体),(2 σμN ， μ与2σ未知，计算得 一.选择题（18分，每题3分） 1. 如果 1)()(>+B P A P ，则 事件A 与B 必定 （ ） )(A 独立； )(B 不独立； )(C 相容； )(D 不相容. 2. 已知人的血型为 O 、A 、B 、AB 的概率分别是； ；；。现任选4人，则4人血 型全不相同的概率为： （ ） )(A ； )(B 40024.0； )(C 0. 24； )(D 224.0. 3. 设~),(Y X ???<+=., 0, 1,/1),(22他其y x y x f π 则X 与Y 为 （ ） )(A 独立同分布的随机变量； )(B 独立不同分布的随机变量； )(C 不独立同分布的随机变量； )(D 不独立也不同分布的随机变量. 4. 某人射击直到中靶为止,已知每次射击中靶的概率为. 则射击次数的数 学期望与方差分别为 （ ） 、 )(A 4934与； )(B 16934与； )(C 4941与； (D) 9434与． 5. 设321,,X X X 是取自N (,)μ1的样本，以下μ的四个估计量中最有效的是（ ） )(A 32112110351?X X X ++=μ ； )(B 32129 4 9231?X X X ++=μ ； )(C 321321 6131?X X X ++=μ ； )(D 32141254131?X X X ++=μ． 6. 检验假设222201:10,:10H H σσ≤>时，取统计量)(~10 )(22 2 12n X i n i χμχ-= ∑=，其 拒域为（1.0=α） （ ） )(A )(21.02n χχ≤；)(B )(21.02n χχ≥；)(C )(205.02n χχ≤；)(D )(2 05.02n χχ≥. 二. 填空题（15分，每题3分） 1. 已知事件A ，B 有概率4.0)(=A P ，5.0)(=B P ，条件概率3.0)|(=A B P ，则 =?)(B A P ． 2. 设随机变量X 的分布律为??? ? ??-+c b a 4.01.02.043 21 ，则常数c b a ,,应满足的条件 ) 为 . 3. 已知二维随机变量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，试用),(y x F 表示概率 数理统计汪荣鑫版习题答案 数理统计习题答案 第一章 1.解： () () ()()()()()122 5 2 1122222 19294103105106100 5 11100519210094100103100105100106100534 n i i n i i i i X x n S x x x n ===++++====-=-?? =-+-+-+-+-? ?=∑∑∑ 2. 解：子样平均数 * 1 1l i i i X m x n ==∑ ()1 18340610262604= ?+?+?+?= 子样方差 ( )2 2 *1 1l i i i S m x x n ==-∑ ()()()()2222 18144034106422646018.67?? = ?-+?-+?-+?-? ?= 子样标准差 4.32 S = 3. 解：因为 i i x a y c -= 所以 i i x a cy =+ 1 1n i i x x n ==∑ ()1 111n i i n i i a cy n na cy n ===+??=+ ??? ∑∑ 1 n i i c a y n a c y ==+ =+∑ 所以 x a c y =+ 成 立 ( )2 2 1 1n x i i s x x n ==-∑ () ( ) () 2 2 12 21 11n i i i n i i n i i a cy a c y n cy c y n c y y n ====+--=-=-∑∑∑ 因为 ()2 2 1 1n y i i s y y n ==-∑ 所以 222x y s c s = 成 立 ()()()()()17218120 3.2147.211.2 e n n e n M X X R X X M X X +?? ??? ??+ ??? ====-=--====4. 解：变换 2000 i i y x =- 1 1n i i y y n ==∑()61303103042420909185203109240.444 =--++++-++= ( )2 2 1 1n y i i s y y n ==-∑ ()()()()()()()()()222 2 2 2 222 161240.444303240.4441030240.4449 424240.44420240.444909240.444185240.44420240.444310240.444197032.247 =--+--+-+??-+-+-+ ?--+-+-? = 利用3题的结果可知 2220002240.444 197032.247 x y x y s s =+=== 5. 解：变换 () 10080i i y x =- 13 11 1113n i i i i y y y n ====∑∑ []1 2424334353202132.00= -++++++-+++++= 考试时间 120 分钟 班级 姓名 学号 一. 填空题（每题3分，共24分） 1．设 A 、B 为随机事件，P (A)=0.5，P(B)=0.6， P(B A)=0.8.则P(B )A U . 2. 三人独立的破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为1/5、1/4、1/3，此密码能被译出的概率是= . 3. 设随机变量2 (,)X μσN :，X Y e =，则Y 的分布密度函数为 . 4. 设随机变量2(,)X μσN :，且二次方程2 40y y X ++=无实根的概率等于， 则μ= . 5. 设()16,()25D X D Y ==， 0.3 X Y ρ=，则 ()D X Y += . 6. 掷硬币n 次，正面出现次数的数学期望为 . 7. 某型号螺丝钉的重量是相互独立同分布的随机变量，其期望是1两，标准差是两. 则100个该型号螺丝钉重量不超过斤的概率近似为 （答案用标准正态分布函数表示）. 8. 设125,,X X X L 是来自总体(0,1)X N :的简单随机样本，统计量 12()/~()C X X t n +，则常数C = ,自由度n = . 二 计算题 1.（10分）设袋中有m 只正品硬币，n 只次品硬币(次品硬币的两面均有国徽)，从袋中任取一只硬币，将它投掷r 次，已知每次都得到国徽.问这只硬币是正品的概率是多少？ 2.（10分）设顾客在某银行窗口等待服务的时间（以分计）X 服从指数分布，其概率密度函数为 /5 (1/5)0 ()0 x e x f x -?>=? ?其它 某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开. 他一个月到银行5次.以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y 的分布律，并求{1}P Y ≥. 3.（10分）设二维随机变量(,)X Y 在边长为a 的正方形内服从均匀分布，该正方形的对角线为坐标轴，求： (1) 求随机变量X ,Y 的边缘概率密度； (2) 求条件概率密度|(|)X Y f x y . . 4.（10分）某型号电子管寿命（以小时计）近似地服从 2(160,20)N 分布，随机的选取四只，求其中没有一只寿 命小于180小时的概率（答案用标准正态分布函数表示）.(完整版)概率论与数理统计课后习题答案
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