内容提要
位矢：k t z j t y i t x t r r
)()()()(++== 位移：k z j y i x t r t t r r ?+?+?=-?+=?)()(
一般情况，r r ?≠?
速度：k z j y i x k dt dz j dt
dy i dt dx dt r d t r t
???→?++=++==??=0lim υ 加速度：k z j y i x k dt
z d j dt y d i dt x d dt r d dt d t a t ??????→?++=++===??=222222220lim υυ
圆周运动 角速度：?==θθωdt
d 角加速度：??===θθωα22dt
d dt d （或用β表示角加速度） 线加速度：t n a a a += 法向加速度：22ωυR R a n ==
指向圆心 切向加速度：αυR dt
d a t ==
沿切线方向 线速率：ωυR =
弧长：θR s = 解题参考
大学物理是对中学物理的加深和拓展。本章对质点运动的描述相对于中学时更强调其瞬时性、相对性和矢量性，特别是处理问题时微积分的引入，使问题的讨论在空间和时间上更具普遍性。
对于本章习题的解答应注意对基本概念和数学方法的掌握。
矢量的引入使得对物理量的表述更科学和简洁。注意位矢、位移、速度和加速度定义式的矢量性，清楚圆周运动角位移、角速度和角加速度方向的规定。
微积分的应用是难点，应掌握运用微积分解题。这种题型分为两大类，一种是从运动方程出发，通过微分求出质点在任意时刻的位矢、速度或加速度；另一种是已知加速度或速度与时间的关系及初始条件，通过积分求出任意时刻质点的速度、位矢或相互间的关系，注意式子变换过程中合理的运用已知公式进行变量的转换，掌握先分离变量后积分的数学方法。
内容提要
动量：υ
m p = 冲量：?=21
t t dt F I 动量定理：?=21t t dt F p d ?=-210t t dt F p p 动量守恒定律：若0==∑i i F F ，则常矢量==∑i
i p p
力矩：F r M ?=
质点的角动量（动量矩）：υ ?=?=r m p r L 角动量定理：dt
L d M =外力 角动量守恒定律：若0==∑外力外力M M ，则常矢量==∑i
i L L
功：r d F dW ?= ??=
B A AB r d F W 一般地 ???++=B A B A B A z z z y y y x x x AB dz F dy F dx F W 动能：22
1υm E k = 动能定理：质点， 222121A B AB m m W υυ-=
质点系，0k k E E W W -=+内力外力
保守力：做功与路程无关的力。
保守内力的功：p p p E E E W ?-=--=)(12保守内力
功能原理：p k E E W W ?+?=+非保守内力外力
机械能守恒：若0=+非保守内力外力W W ，则00p k p k E E E E +=+
解题参考
动量是描述物体运动状态的状态量。质点的动量定理给出质点所受冲量和质点动量变化的关系。冲量是力对时间的累积效果，是过程量，计算冲量大小往往涉及积分运算，具体应用时往往写成分量式形式。动量定理仅适用于惯性系。
能量是物体运动状态的函数，功则是物体运动状态变化过程中能量变化的量度，功是力对空间的累积效果，是过程量。
动量守恒、机械能守恒和角动量守恒是普遍成立的三个守恒定律，合理运用守恒定律来解决力学问题往往比直接采用牛顿定律解题来的简单，可以回避牛顿定律解题过程中的积
运算。注意守恒定律适用的条件。
内容提要
转动惯量：离散系统，∑=2i i r
m J 连续系统，?=dm r J 2
平行轴定理：2md J J C +=
刚体定轴转动的角动量：ωJ L = 刚体定轴转动的转动定律：dt dL J M =
=α 刚体定轴转动的角动量定理：
021L L Mdt t t -=? 力矩的功：?
=θMd W 力矩的功率：ωM dt
dW P ==
转动动能：221ωJ E k = 刚体定轴转动的动能定理：2022
1210ωωθθθJ J Md -=? 解题参考
刚体转动的学习应该注意与牛顿运动定律的比较。
刚体定轴转动的转动定律类似于质点运动中的牛顿第二定律。对定轴转动的刚体仍旧适用隔离体分析法，正确分析受力和力矩，分别对转动和平动建立运动方程。应注意方程中所有的力矩、转动惯量、角动量都是相对于同一转轴，这类似于牛顿定律中对同一坐标系建立平动方程。列方程时应注意角量和线量之间的关系，方程组的求解往往需要这个关系。
内容提要
库仑定律：r e r q q F 221041
πε= 电场强度：0
q F E = 带电体的场强：?∑==r i i e r
dq E E 204πε
静电场的高斯定理：∑??
=?i S q S d E 01ε 静电场的环路定理：?=?L l d E 0
电势：?∞
?=p p l d E V 带电体的电势：∑?==r dq
V V i 04πε
导体静电平衡：电场，○
1导体内场强处处为零；○2导体表面处场强垂直表面 电势，○
1导体是等势体；○2导体表面是等势面 电介质中的高斯定理：∑??=?i S
q S d D 各向同性电介质：E E D r εεε==0 电容：U
Q C = 电容器的能量：222
12121CU QU C Q W === 解题参考
电场强度和电势是描述静电场的两个主要物理量。
需要掌握的有库仑定律、场强叠加原理、高斯定理和环路定理。
掌握由场强的叠加原理通过积分求电场强度，注意场强的矢量性。
利用高斯定理求场强时，应清楚各个物理量所指代的范围并合理选取高斯面。
电势是标量，对带电体总电势的计算往往比电场强度简单，在具体的问题中也可考虑先求电势，然后利用场强与电势梯度的关系求场强。
掌握导体静电平衡的条件和静电平衡时的性质。
内容提要
毕奥-萨伐尔定律：204r
e l Id B d r ?=πμ 磁场高斯定理：??=?S
S d B 0 安培环路定理：?∑=?i I l d B 0μ 载流长直导线的磁场：)cos (cos 4210θθπμ-=
r I B
无限长直导线的磁场：r
I B πμ20= 载流长直螺线管的磁场：)cos (cos 2210θθμ-=nI
B
无限长直螺线管的磁场：nI B 0μ=
洛仑兹力：B q F ?=υ
安培力：B l Id F d ?= 磁介质中的高斯定理：??=?S
S d B 0 磁介质中的环路定理：∑?=?i L
I l d H 各向同性磁介质：H H B r
μμμ==0 解题参考
恒定磁场涉及毕奥-萨伐尔定律、磁场的高斯定理、安培环路定理。应对照静电场部分进行学习，注意两者的区别和雷同。
利用毕奥-萨伐尔定律计算场强时注意对矢量的处理。利用安培环路定理求场强注意适用条件。
内容提要
法拉第电磁感应定律：dt d φε-
= 动生电动势：???=l d B )(υε 感生电动势：?????-=?=S k S d dt
B l d E ε 自感：LI =φ，dt dI L
L -=ε 自感磁能：22
1LI W m = 互感：12MI =φ，dt
dI M 12-=ε 磁能密度：BH H B w m 2
1212122===μμ
解题参考
电磁感应的主要内容是法拉第电磁感应定律。根据磁通量变化原因的不同，又分为动生和感生。
能够方便计算磁通量时都可直接应用法拉第电磁感应定律计算感应电动势，对于恒定磁场中导体切割磁力线的问题，运用动生电动势公式直接计算比较方便，计算时应注意矢量的处理，积分结果的正负号表示电动势的实际方向与假定方向的一致与否，也可根据楞次定律判断方向。
题7.4：若电荷Q 均匀地分布在长为L 的细棒上。求证：（1）在棒的延长线，且离棒中心为r 处的电场强度为
2
2041L r Q E -=πε （2）在棒的垂直平分线上，离棒为r 处的电场强度为
220421L r r Q
E +=πε
若棒为无限长（即∞→L ），试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较。
题7.4分析：这是计算连续分布电荷的电场强度。此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电荷处理。但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上。如图所示，在长直线上任意取一线元，其电荷为d q = Q d x /L ，它在点P 的电场强度为
r r q e E 2
0d 41d '=πε 整个带电体在点P 的电场强度
?=E E d
接着针对具体问题来处理这个矢量积分。
（1） 若点P 在棒的延长线上，带电棒上各电
荷元在点P 的电场强度方向相同，
?=L
i E E d （2） 若点P 在棒的垂直平分线上，则电场强度E 沿x 轴方向的分量因对称性叠加为
零，因此，点P 的电场强度就是
??==L
L j j E E E d sin d y α 证：（1）延长线上一点P 的电场强度?
'=L r q E 204d πε，利用几何关系x r r -='统一积分变量，则
2
200222-041212141)(d 41L r Q L r L r L x r L x Q E L L P -=??????+--=-=?πεπεπε 电场强度的方向沿x 轴。
（3） 根据以上分析，中垂线上一点P 的电场强度E 的方向沿y 轴，大小为
?'=L r q E 2
04d sin πεα
利用几何关系22,sin x r r r r +=''=α统一积分变量，则
220232222-0412)(d 41r L r Q r x L x rQ E L L +=+=?πεπε
当棒长∞→L 时，若棒单位长度所带电荷为λ常量，则
P 点电场强度
r
L r L Q r E L 022024121lim πελπε=+=∞→ 此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同。这说明只要满足122< 题7.5：一半径为R 的半圆细环上均匀分布电荷Q ，求环心处的电场强度 题7.5分析：在求环心处的电场强度时，不能将带电半圆环视作点电荷。现将其抽象为带电半圆弧线。在弧线上取线元d l ，其电荷此电荷元可视为点电荷l R Q q d d π= ，它在点O 的电场强度r 2 0d 41d e E r q πε=。因圆环上电荷对y 轴呈对称性分布，电场分布也是轴对称的，则有?=L E 0d x ，点O 的合电场强度j E ?=L E y d ，统一积分变量可求得E 。 解：由上述分析，点O 的电场强度 l R Q R E L d sin 4120 O πθπε??-=? 由几何关系θd d R l =，统一积分变量后，有 20200O 2d sin 41R Q E επθθπεπ -=-=? 方向沿y 轴负方向。 题7.6：用电场强度叠加原理求证：无限大均匀带电板外一点的电场强度大小为02εσ=E （提示：把无限大带电平板分解成一个个圆环或一条条细长线，然后进行积分叠加） 题7.6分析：求点P 的电场强度可采用两种方法处理，将无限大平板分别视为由无数同心的细圆环或无数平行细长线元组成，它们的电荷分别为 y r r q d d d 2d σλπσ==或 求出它们在轴线上一点P 的电场强度d E 后，再叠加积分，即可求得点P 的电场强度了。 证1：如图所示，在带电板上取同心细圆环为微元，由 于带电平面上同心圆环在点P 激发的电场强度d E 的方 向均相同，因而P 处的电场强度 i i i E E 0 232202 32202)(4d 2)(d 41d εσπεπσπε=+?=+==???x r r xr x r q x 电场强度E 的方向为带电平板外法线方向。 证2：如图所示，取无限长带电细线为微元，各微元在 点P 激发的电场强度d E 在Oxy 平面内且对x 轴对称，因此，电场在y 轴和z 轴方向上的分量之和，即E y 、E z 均为零，则点P 的电场强度应为 i i i E 220x d 2cos d x y y x E E +===??∞∞-πεσα 积分得i E 02εσ= 电场强度E 的方向为带电平板外法线方向。 上述讨论表明，虽然微元割取的方法不同，但结果是相同的。 题7.10：设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量。 解：作半径为R 的平面S '与半球面S 一起可构成闭合曲面，由于闭合面内无电荷，由高斯定理 01 d 0==?∑?q S εS E 这表明穿过闭合曲面的净通量为零，穿入平面S '的电场强度通量在数值上等于穿出半球面S 的电场强度通量。因而 ??'?-=?=S S ΦS E S E d d 依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元d S 的方向， E R R E Φ22cos πππ=??-= 题7.13：设在半径为R 的球体内，其电荷为对称分布，电荷体密度为 R r R r kr >=≤≤=00ρρ k 为一常量。试用高斯定理求电场强度E 与r 的函数关系。 解：因电荷分布和电场分布均为球对称，球面上各点电场强度的大小为常量，由高斯定律??=?V S d 1d 0ρεS E 得球体内)0(R r ≤≤ 40 0202d 414)(r k r r kr r r E r εππεπ== ? r kr r e E 02 4)(ε= 球体外（r ＞R ） 40 0202d 414)(R k r r kr r r E R εππεπ== ?? r r kR r e E 204 4)(ε= 题7.14：一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为σ，在平板中部有一半径为r 的小圆孔。求圆孔中心轴线上与平板相距为x 的一点P 的电场强度。 题7.14分析：用补偿法求解 利用高斯定理求解电场强度只适用于几种非常特殊的对称性电场。本题的电场分布虽然不具有这样的对称性，但可以利用具有对称性的无限大带电平面和带电圆盘的电场叠加，求 出电场的分布。 若把小圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成、挖去圆孔的带电平板等效于一个完整的带电平板和一个带相反电荷（电荷面密度σσ-='）的圆盘。这样中心轴线上的电场强度等效于平板和圆盘各自独立在该处激发的电场的矢量和。 解：在带电平面附近 n 0 12e E εσ= n e 为沿平面外法线的单位矢量；圆盘激发的电场 n 220212e E ??? ? ??+--=r x x εσ 它们的合电场强度为 n 2 20212e E E E r x x +=+=εσ。 在圆孔中心处x = 0，则 E = 0 在距离圆孔较远时x >>r ，则 n 0 n 2202112e e E εσεσ≈+=x r 上述结果表明，在x >>r 时。带电平板上小圆孔对电场分布的影响可以忽略不计。 题7.15：一无限长、半径为R 的圆柱体上电荷均匀分布。圆柱体单位长度的电荷为λ，用高斯定理求圆柱体内距轴线距离为r 处的电场强度。 题7.15分析：无限长圆柱体的电荷具有轴对称分布，电场强度也为轴对称分布，且沿径矢方向。取同轴往面为高斯面，电场强度在圆柱侧面上大小相等，且与柱面正交。在圆柱的两个底面上，电场强度与底面平行，0d =?S E 对电场强度通量贡献为零。整个高斯面的电场强度通量为 rL E π2d ?=??S E 由于，圆柱体电荷均匀分布，电荷体密度2R πλρ=，处于高斯 面内的总电荷 L r q ∑?=2πρ 由高斯定理0d ε∑?=?q S E 可解得电场强度的分布， 解：取同轴柱面为高斯面，由上述分析得 L r R L r rL E 22 02012ελπρεπ=?=? 2 02R r E πελ= 题7.16：一个内外半径分别R 1为R 2和的均匀带电球壳，总电荷为Q 1，球壳外同心罩一个半径为 R 3的均匀带电球面，球面带电荷为Q 2。求电场分布。电场强度是否是场点与球心的距 离r 的连续函数？试分析。 题7.16分析：以球心O 为原点，球心至场点的距离r 为半径，作同心球面为高斯面。由于电荷呈球对称分布，电场强度也为球对称分布，高斯面上电场强度沿径矢方向，且大小相等。因而24d r E π?=??S E ，在确定高斯面内的电荷∑q 后， 利用高斯定理 0d ε∑?=?q S E 即可求的电场强度的分布 解：取半径为r 的同心球面为高斯面，由上述分析 024επ∑=?q r E r < R 1，该高斯面内无电荷，0=∑q ，故 E 1 = 0 R 1 < r < R 2，高斯面内电荷3 1323131)(R R R r Q q --=∑，故 2 3132031312)(4)(r R R R r Q E --=πε R 2 < r < R 3，高斯面内电荷为Q 1，故 201 34r Q E πε= r > R 3，高斯面内电荷为Q 1+ Q 2，故 2 02144r Q Q E πε+= 电场强度的方向均沿径矢方向，各区域的电场强度分布曲线如图所示。 在带电球面的两侧，电场强度的左右极限不同，电场强度不连续，而在紧贴r = R 3的带电球面两侧，电场强度的跃变量 302344εσπε==-=?R Q E E E 这一跃变是将带电球面的厚度抽象为零的必然结果，且具有普遍性。实际带电球面应是有一定厚度的球壳，壳层内外的电场强度也是连续变化的，如本题中带电球壳内外的电场，如球壳的厚度变小，E 的变化就变陡，最后当厚度趋于零时，E 的变化成为一跃变。 题7.17：两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为R 1和R 2 (R 2 > R 1)，单位长度上的电荷为λ。求离轴线为r 处的电场强度：（1）r < R 1，（2）R 1 < r < R 2，（3）r > R 2 题7.17分析：电荷分布在无限长同轴圆拄面上，电场强度也必定 呈轴对称分布，沿径矢方向。取同轴圆柱面为高斯面，只有侧面的电场强度通量不为零，且??=?rL E π2d S E ，求出不同半径高斯 面内的电荷∑q 。利用高斯定理可解得各区域电场的分布。 解：作同轴圆柱面为高斯面。根据高斯定理 04επ∑=?q rL E 20032022111==>==<<==<∑∑∑E q R r r E L q R r R E q R r ，，， πελλ 在带电面附近，电场强度大小不连续，电场强度有一 跃变 题7.21：两个同心球面的半径分别为R 1和R 2，各自带有电荷Q 1和Q 2。求：（1）各区域电势分布，并画出分布曲线；（2）两球面间的电势差为多少？ 解1：（l ）由高斯定理可求得电场分布 22021321201 21 1440R r r Q Q R r R r Q R r r r >+= <<=<=e E e E E πεπε 由电势?∞?=r V l E d 可求得各区域的电势分布。当1R r ≤时，有 202101202121 01 32114441140d d d 2211 R Q R Q R Q Q R R Q V R R R R r πεπεπεπε+=++???? ??-+=?+?+?=?? ?∞l E l E l E 当21R r R ≤≤时，有 20201202120 1322444114d d 22R Q r Q R Q Q R r Q V R R r πεπεπεπε+=++??? ? ??-=?+?=?? ∞l E l E 当2R r ≥时，有 r R Q Q V r 2 021334d πε+=?=?∞ l E （2）两个球面间的电势差 ???? ??-=?=? 2101212114d 21R R Q U R R πεl E 题7.22：一半径为R 的无限长带电细棒，其内部的电荷均匀分布，电荷的体密度为ρ。现取棒表面为零电势，求空间电势分布并画出分布曲线 解：取高度为l 、半径为r 且与带电律同轴的回柱面为高斯面，由高斯定理 当R r ≤时 022ερππl r rl E =? 得0 2)(ερr r E = 当R r ≥时022ερππl R rl E =? 得r R r E 02 2)(ερ= 取棒表面为零电势，空间电势的分布有 当R r ≤时，)(4d 2)(2200 r R r r r V R r -==?ερερ 当R r ≥时，r R R r r R r V R r ln 2d 2)(0202ερερ==? 图是电势V 随空间位置r 的分布曲线。 例题3.4 一根质量为m,长为l 的匀质棒AB,如图3.8所示,棒可绕一水平的光滑转轴O 在竖直平面内转动,O 轴离A 端的距离为l /3,今使棒从静止开始由水平位置绕O 轴转动,求: (1) 棒在水平位置(启动时)的角速度和角加速度. (2) 棒转到竖直位置时的角速度和角加速度. (3) 棒在竖直位置时, 棒的两端和中点的速度和加速 度. 解： 先确定细棒AB 对O 轴的转动惯量J 0,由于O 轴与质心轴C 的距离为632///l l l d =-=,由平行轴定理得 222209 16121ml l m ml md J J c =+=+=)( 再对细棒进行受力分析:重力,作用在棒中心(重心),方向竖直向下,重力的力矩是变力矩,大小等于mgl cos θ/6;轴与棒之间没有摩擦力,轴对棒作用的支撑力垂直于棒与轴的接触面而且通过O 点,在棒的转动过程中,这力的方向和大小将是随时间改变的,但对轴的力矩等于零. (1) 当棒在水平位置(刚启动)时,角速度00=ω.此时0=θ,由转动定律求得此时的角加速度为 l g ml mgl J M 2396200===β// (2) 当棒从θ转到θ+d θ时,重力矩所作的元功为 θθ=θ=d mgl Md A cos 6 1d 棒从水平位置转到任意位置的过程中,合外力矩所作总功为 θ=θθ=θ=??θ θsin cos mgl d mgl Md A 616100 由定轴转动刚体的动能定理有 202 161ω=θJ m g l s i n 由此可得 l g J m g l θ=θ=ωs i n s i n 330 在竖直位置时l g 302=ω=βπ=θ,,/ (3) 在竖直位置（2/π=θ）下时,棒的A 、B 点和中点C 的速度,加速度分别为 2 23323363322/,,)(/),(/) (/)//(g a g a g r a gl gl gl l l r c B A A B A c c ===ω==υ=υ=-ω=ω=υ方向向左方向向右方向向左 4-9 图示为一阿特伍德机，一细而轻的绳索跨过一定滑轮，绳的两端分别系 有质量为1m 和2m 的物体，且1m >2m 。设定滑轮是质量为M ，半径为r 的圆盘，绳的质量及轴处摩擦不计，绳子与轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。 [解] 物体21,m m 及滑轮M 受力如图所示 对a m T g m m 1111: =- (1) 对a m g m T m 2222: =- (2) 对βJ r T r T M ='-'21: (3) 又 2/2Mr J = (4) βr a = (5) '=11T T (6) ' =22T T (7) 联立（1）-（7）式，解得 2 /)(2121M m m g m m a ++-= g m M m m M m T 121212 /2/2+++= g m M m m M m T 221122/2/2+++= 4-l0 绞车上装有两个连在一起的大小不同的鼓轮(如图)，其质量和半径分别为m =2kg 、r =0.05m ，M =8kg 、R =0.10m 。两鼓轮可看成是质量均匀分布的圆盘，绳索质量及轴承摩擦不计。当绳端各受拉力1T =1 kg ，2T =2kg 时，求鼓轮的角加速度。 [解] 根据转动定律，取顺时针方向为正 βJ R T r T =+-21 (1) 2/2/22MR mr J += (2) 2 m 122 m 2 2T 1 1m 1 g m 1 联立(1)，(2)式可得 22221rad/s 6.3422=++-=MR mr R T r T β 5、质量为1m 和2m 的两物体A 、B 分别悬挂在如图5所示的组合轮两端。设两轮的半径分别为R 和r ，两轮的转动惯量分别为1J 和2J ，轮与轴承间、绳索与轮间的摩擦力均略去不计，绳的质量也略去不计。试求两物体的加速度和绳的张力。 6、如图6所示，一根长为l ，质量为m 的匀质细杆，可绕水平光滑轴在竖直平面内转动，最初棒静止在水平位置， 求它下摆到θ角时的角速度和角加速度。 7、质量为5kg 的一桶水悬于绕在辘轳上的绳子下端，辘 轳可视为一质量为10kg 的圆柱体。桶从井口由静止释放， 求桶下落过程中的绳子张力，辘轳绕轴转动时的转动惯量为 22 1MR ,其中M 和R 分别为辘轳的质量和半径，摩擦忽略不计。 5、解：分别对两物体及组合轮作受力分析如图2-43所示，根据质点的牛顿第二定律和刚体的转动定律，有 11T 11m g F m a -= （1） 2T 222F m g m a -= （2） ()()12T T 12F R -F r =J +J β （3） 11`T T F F = 22`T T F F = （4） 由角加速度和线加速度之间的关系，有 R a β=1 （5） r a β=2 （6） 联解（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）式可得 gR r m R m J J r m R m a 2 22121211+++-= gr r m R m J J r m R m a 2 22121212+++-= g m r m R m J J Rr m r m J J F T 12 22121222211++++++= g m r m R m J J Rr m R m J J F T 22 22121121212++++++= 6、解：由于匀质细杆受到重力矩的作用，使杆绕定轴O 加速转动，当杆与水平位置成θ角时，受力情况如图所示，此时对转轴的重力矩为 θcos 2 l mg M = （1） 根据转动定律得 βθJ l mg =cos 2 （2） 而 2 31ml J = （3） 由（2）、（3）式得杆下摆θ角时的角加速度为 θβcos 23l g = 因 θ ωωθωθωθβd d d d dt d dt d l g =?=== cos 23 ?? =ωθ ωωθθ00 cos 23d d l g θωsin 3l g = 7、解：设绳子的拉力为T ，对辘轳而言，根据转动定律， 有 / T R J =β （1） 而对一桶水而言，由牛顿第二定律，有 mg T ma -= （2） 由于绳子在运动过程中不伸长，因此有 R a β= / T T = （3） 联解（1）、（2）、（3）可得桶下落过程中的绳子张力为： 59.810 24.5()22510 mgM T N m M ??= ==+?+ (1) 计算题1. 1) 长直导线载有电流I ， 矩形线圈与其共面，长 L 1，宽L 2，长边与长导线平行，线圈共N 匝， 线圈以 速度v 垂直长导线向右运动， 当AB 边与导线相距x 时，求线圈中感应电动势大小和方向；2) 如果上题中线圈保持不变，而长直导线中通有交变电流 t sin I I 0ωπ=，则线圈中感应电动势如何？ 1）载有电流为I 的长直导线在空间产生的磁场： r 2I B 0πμ= ，方向垂直纸面向里。 选顺时针为积分正方向 根据：???=b a l d )B v ( i E 线段CA 中产生的动生电动势：x 2IvL N 1 01πμ=E 方向由C 到A 。 线段DB 中产生的动生电动势：) L x (2IvL N 21 02+-=πμE ，方向由C 到A 。 线圈中感应电动势大小：21i E E E += ) L x (2IvL N x 2IvL N 21 010i +-=πμπμE ) L x (x v 2IS N 20i += πμE ，其中：21L L S =，动生电动势方向为顺时针。 2）如果线圈保持不变， 长直导线中通有交变电流t sin I I 0ωπ=。 仍然选取顺时针为回路绕行的正方向，线圈的法线方向垂直纸面向里，通过距离直导线r ，面积为dr L dS 1=的磁通量：dr L r 2I d 10πμΦ= ， 任意时刻穿过一匝矩形线圈的磁通量： dr L r 2I d 10L x x 2 πμΦΦ? ?+==，x L x ln L 2I 2 10+= πμΦ (3) 计算题(2) 计算题根据法拉第电磁感应定律：dt d N Φ -=i E ,dt dI x L x ln 2L N 210+-=πμi E x L x ln 2 t cos I L N 2010+-=ωπωμi E 2. 长直导线载有电流I ，导线框与其共面，导线ab 在线框上滑动，使ab 以匀速度v 向右运动，求线框中感应电动势的大小。 ? 选取如图所示的坐标，顺时针为积分正方向，ab 上 线元dx 产生的电动势为：l d )B v (d ??=i E dx x 2Iv d 0πμ-=i E , dx x 2Iv 0L L L 00 πμ- = ? +i E 线框中感应电动势的大小: 0 00L L L ln 2Iv +-=πμi E ，方向为逆时针。 3. 无限长直导线通有稳定电流I ， 长L 的金属棒绕其一端O 在平面内顺时针匀速转动，角速度ω， O 点至导线的垂直距离为r 0，设直导线在金属棒旋转平面内，求在下面两种位置时棒内感应电动势大小和方向。 (1) 金属棒转至如图OM 位置时。 (2) 金属棒转至如图ON 位置时。 ? 金属棒转至如图OM 位置时， ? ?=L 0dl )l (r 2I ωπμi E , 200L r 4I ωπμ=i E 方向沿OM 。 金属棒转至如图ON 位置时 ? +-?= L r r 0000dr )r r (r 2I ωπμi E ? +-?= L r r 0000 dr )r r 1(2I πωμi E ，)r L r ln r L (2I 0 000+-?=πωμi E ，方向沿ON 。 (1) 计算题计算题 1. 一无限长直导线通以电流I 1， 其旁有一直角三角形线圈通以电流I 2， 线圈与长直导线在同一平面内，尺寸如图所示求bc ca ,两段导线所受的安培力。 ? bc 边上各点的磁感应强度相等，bc 边受到的安 培力大小：L BI F 2bc =， ) L d (2I B 1 0+= πμ，) L d (2L I I F 210bc += πμ，方向向左； 选取如图所示的坐标，ca 边的电流元I 2dl 受到的安培力：B l Id F d ?= 将k x 2I B 10 πμ-=和)sin j cos i (dl l d θθ --=，θcos dx dl -=代入 )cos j sin i (cos dx x 2I I F d 210θθθ πμ --= )cos j sin i (cos dx x 2I I F d F 210d l d ca θθθ πμ --= =? ?+， )j tg i (d l d ln 2I I F 210ca -+=θπμ，1tg =θ，)j i (d l d ln 2I I F 210ca -+=πμ，安培力 大小：d l d ln 2I I F 210ca +=π μ *3. 如图所示，有一半径为R 的圆形电流I 2， 在沿其直径AB 方向上有一无限长直线电流I 1，方向见图，求： (1) 半圆弧AaB 所受作用力的大小和方向； (2) 整个圆形电流所受作用力的大小和方向。 ? 选取如图所示的坐标，电流I 1在半圆弧AaB 上 产生的磁感应强度大小为： α πμcos R 2I B 1 0= ，方向如图所示。 在AaB 上选取如图所示的电流元I 2dl ，受到的安培力为： )j sin dl i cos dl (cos R 2I I F d 210 αααπμ--=, )j d tg i d (2I I F d 210 αααπ μ--= 半圆弧AaB 所受作用力：)j d tg i d (2I I F 2 2 2 10AaB αααπ μπ π --=?- ，i 2 I I F 210AaB μ-= I 1在右半圆弧上产生的磁感应强度大小为：θ πμsin R 2I B 1 0= ，方向如图所示。 在右半圆弧上选取电流元 I 2dl ，受到的安培力为： )j cos dl i sin dl (sin R 2I I F d 210 θθθ πμ+-= 将dl=Rd θ代入上式得到：)j d ctg i d (2I I F d 210 θθθπ μ+-= 右半圆弧所受作用力：)j d ctg i d (2I I 'F 0 2 10 θθθπ μπ +-= ? ，i 2 I I 'F 210 μ-= 整个圆形电流所受作用力：'F F F AaB +=，i I I F 210 μ-= 大学物理第一学期公式集 概念（定义和相关公式） 1．位置矢量：r ，其在直角坐标系中：k z j y i x r ；222z y x r 角位置：θ 2．速度：dt r d V 平均速度：t r V 速率：dt ds V （ V V ）角速度：dt d 角速度与速度的关系：V=ｒω 3．加速度：dt V d a 或 2 2dt r d a 平均加速度：t V a 角加速度：dt d 在自然坐标系中n a a a n 其中dt dV a （=ｒβ），r V n a 2 （=r 2 ω） 4．力：F =ｍa （或F =dt p d ） 力矩：F r M （大小：M=rFcos θ方向：右手螺旋法则） 5．动量：V m p ，角动量：V m r L （大小：L=rmvcos θ方向：右手螺旋法则） 6．冲量： dt F I （=F Δｔ）；功： r d F A （气体对外做功：A=∫PdV ） 7．动能：mV 2/2 8．势能：A 保= – ΔE p 不同相互作用力势能形式不同 且零点选择不同其形式不同，在默认势能零点的 情况下： 机械能：E=E K +E P 9．热量：CRT M Q 其中：摩尔热容量C 与过程 有关，等容热容量C v 与等压热容量C p 之间的关系为：C p = C v +R 10． 压强： n tS I S F P 3 2 11． 分子平均平动能：kT 23 ；理想气体内能：RT s r t M E )2(2 12． 麦克斯韦速率分布函数：NdV dN V f )(（意义：在V 附近单位速度间隔内的分子数所占比率） 13． 平均速率： RT N dN dV V Vf V V 80 )( 方均根速率： RT V 22 ；最可几速率： RT p V 3 14． 熵：S=Kln Ω（Ω为热力学几率，即：一种宏观态包含的微观态数） 15． 电场强度：E =F /q 0 （对点电荷：r r q E ?42 ） 16． 电势： a a r d E U （对点电荷r q U 04 ）；电势能：W a =qU a (A= –ΔW) 17． 电容：C=Q/U ；电容器储能：W=CU 2/2；电场能量密度ωe =ε0E 2/2 18． 磁感应强度：大小，B=F max /qv(T)；方向，小磁针指向（S →N ）。 mg(重力) → mgh -kx （弹性力） → kx 2/2 F= r r Mm G ?2 (万有引力) →r Mm G =E p r r Qq ?420 (静电力) →r Qq 04 一． 狭 义相对论 1． 爱因斯坦的两个基本原理 2． 时空坐标变换 3． 45（1（2）0 m m γ= v = （3）0 E E γ= v =（4） 2222 C C C C v Pv Pv Pv P E E E E ==== 二． 量子光学基础 1． 热辐射 ① 绝对黑体:在任何温度下对任何波长的辐射都能完全吸收的物体。 吸收比：(T)1B αλ、＝ 反射比：(T)0B γλ、＝ ② 基尔霍夫定律(记牢) ③ 斯特藩-玻尔兹曼定律 -vt x C v = β B B e e ：单色辐射出射度 B E ：辐出度，单位时间单位面积辐射的能量 ④ 唯恩位移定律 m T b λ?= ⑤ 普朗克假设 h εν= 2． 光电效应 （1） 光电效应的实验定律： a 、n I ∝光 b 、 0 00a a a a e U ek eU e U ek eU e U ek eU e U ek eU νννν----＝＝＝＝ （23、 4 三． 1 ② 三条基本假设 定态，，n m n m h E E h E E νν=-=- ③ 两条基本公式 2210.529o n r n r n A == 12213.6n E E eV n n -== 2． 德布罗意波 20,0.51E mc h E MeV ν=== 22 mc mc h h νν== 电子波波长： h mv λ= 微观粒子的波长： h h mv mv λλ= === 3． 测不准关系 x x P ???≥h 为什么有？会应用解题。 4．波函数 ① 波函数的统计意义： 例1① ② 例2．① ② 例3．π 例4 例5，，设 S 系中粒子例6 例7． 例8． 例9． 例10． 从钠中移去一个电子所需的能量是2.3eV ，①用680nm λ=的橙光照射，能否产生光电效应？②用400nm λ=的紫光照射，情况如何？若能产生光电效应，光电子的动能为多大？③对于紫光遏止电压为多大？④Na 的截止波长为多大？ 例11． 戴维森革末实验中，已知电子束的动能310k E MeV =，求①电子波的波长；②若电子束通过0.5a mm =的小孔，电子的束状特性是否会被衍射破坏？为什么？ 例12． 试计算处于第三激发态的氢原子的电离能及运动电子的德布罗意波长。 例13． 处于基态的氢原子，吸收12.5eV 的能量后，①所能达到的最高能态；②在该能态上氢原子的电离能？电子的轨道半径？③与该能态对应的极限波长以及从该能态向低能态跃迁时，可能辐射的光波波长？ 第一章 质点运动学和牛顿运动定律 1.1平均速度 v =t △△r 1.2 瞬时速度 v=lim 0△t →△t △r =dt dr 1. 3速度v=dt ds = =→→lim lim 0△t 0△t △t △r 1.6 平均加速度a =△t △v 1.7瞬时加速度（加速度）a= lim 0△t →△t △v =dt dv 1.8瞬时加速度a=dt dv =2 2dt r d 1.11匀速直线运动质点坐标x=x 0+vt 1.12变速运动速度 v=v 0+at 1.13变速运动质点坐标x=x 0+v 0t+ 21at 2 1.14速度随坐标变化公式:v 2-v 02=2a(x-x 0) 1.15自由落体运动 1.16竖直上抛运动 ?????===gy v at y gt v 22122 ???????-=-=-=gy v v gt t v y gt v v 221202200 1.17 抛体运动速度分量???-==gt a v v a v v y x sin cos 00 1.18 抛体运动距离分量?? ???-?=?=20021sin cos gt t a v y t a v x 1.19射程 X=g a v 2sin 20 1.20射高Y=g a v 22sin 20 1.21飞行时间y=xtga —g gx 2 1.22轨迹方程y=xtga —a v gx 2202 cos 2 1.23向心加速度 a=R v 2 1.24圆周运动加速度等于切向加速度与法向加速度矢量和a=a t +a n 1.25 加速度数值 a=2 2n t a a + 1.26 法向加速度和匀速圆周运动的向心加速度相同a n =R v 2 1.27切向加速度只改变速度的大小a t =dt dv 1.28 ωΦR dt d R dt ds v === 1.29角速度 dt φωd = 1.30角加速度 22dt dt d d φωα== 1.31角加速度a 与线加速度a n 、a t 间的关系 a n =222)(ωωR R R R v == a t =αωR dt d R dt dv == 牛顿第一定律：任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，除非它受到作用力而被迫改变这种状态。 牛顿第二定律：物体受到外力作用时，所获得的加速度a 的大小与外力F 的大小成正比，与物体的质量m 成反比；加速度的方向与外力的方向相同。 1.37 F=ma 牛顿第三定律：若物体A 以力F 1作用与物体B ，则同时物体B 必以力F 2作用与物体A ；这两个力的大小相等、方向相反，而且沿同一直线。 万有引力定律：自然界任何两质点间存在着相互吸引力，其大小与两质点质量的乘积成正比，与两质点间的距离的二次方成反比；引力的方向沿两质点的连线 1.39 F=G 221r m m G 为万有引力称量=6.67×10-11N ?m 2/kg 2 1.40 重力 P=mg (g 重力加速度) 1.41 重力 P=G 2r Mm 1.42有上两式重力加速度g=G 2r M (物体的重力加速度与物体本身的质量无关，而紧随它到地心的距离而变) 1.43胡克定律 F=—kx (k 是比例常数，称为弹簧的劲度系数) 1.44 最大静摩擦力 f 最大=μ0N （μ0静摩擦系数） 第一章 质点运动学和牛顿运动定律 平均速度 v = t △△r 瞬时速度 v= lim 0△t →△t △r =dt dr 1. 3速度v= dt ds = =→→lim lim △t 0 △t △t △r 平均加速度a = △t △v 瞬时加速度（加速度）a= lim 0△t →△t △v =dt dv 瞬时加速度a=dt dv =22dt r d 匀速直线运动质点坐标x=x 0+vt 变速运动速度 v=v 0+at 变速运动质点坐标x=x 0+v 0t+ 2 1at 2 ； 速度随坐标变化公式:v 2-v 02=2a(x-x 0) 自由落体运动 竖直上抛运动 ?????===gy v at y gt v 22122 ???????-=-=-=gy v v gt t v y gt v v 2212 0220 0 抛体运动速度分量???-==gt a v v a v v y x sin cos 00 抛体运动距离分量?? ? ??-?=?=20021sin cos gt t a v y t a v x 射程 X=g a v 2sin 2 射高Y=g a v 22sin 20 飞行时间y=xtga —g gx 2 轨迹方程y=xtga —a v gx 2 202 cos 2 向心加速度 a=R v 2 # 圆周运动加速度等于切向加速度与法向加速度矢量和a=a t +a n 加速度数值 a=2 2n t a a + 法向加速度和匀速圆周运动的向心加速度相同a n =R v 2 切向加速度只改变速度的大小a t = dt dv ωΦR dt d R dt ds v === 角速度 dt φ ωd = 角加速度 22dt dt d d φ ωα== 角加速度a 与线加速度a n 、a t 间的关系 a n =22 2)(ωωR R R R v == a t =αωR dt d R dt dv == ； 牛顿第一定律：任何物体都保持静止或匀速直线运动 状态，除非它受到作用力而被迫改变这种状态。 牛顿第二定律：物体受到外力作用时，所获得的加速度a 的大小与外力F 的大小成正比，与物体的质量m 成反比；加速度的方向与外力的方向相同。 1.37 F=ma 牛顿第三定律：若物体A 以力F 1作用与物体B ，则同时物体B 必以力F 2作用与物体A ；这两个力的大小相等、方向相反，而且沿同一直线。 万有引力定律：自然界任何两质点间存在着相互吸引力，其大小与两质点质量的乘积成正比，与两质点间的距离的二次方成反比；引力的方向沿两质点的连线 1.39 F=G 2 2 1r m m G 为万有引力称量=×10-11N ?m 2/kg 2 重力 P=mg (g 重力加速度) 大学物理公式大全 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】 第一章 质点运动学和牛顿运动定律 1.1平均速度 v = t △△r 1.2 瞬时速度 v=lim △t →△t △r =dt dr 1. 3速度v=dt ds = =→→lim lim △t 0 △t △t △r 1.6 平均加速度a =△t △v 1.7瞬时加速度（加速度）a=lim △t →△t △v =dt dv 1.8瞬时加速度a=dt dv =22dt r d 1.11匀速直线运动质点坐标x=x 0+vt 1.12变速运动速度 v=v 0+at 1.13变速运动质点坐标x=x 0+v 0t+ 2 1at 2 1.14速度随坐标变化公式:v 2-v 02=2a(x-x 0) 1.15自由落体运动 1.16竖直上抛运动 ?????===gy v at y gt v 22122 ???? ???-=-=-=gy v v gt t v y gt v v 2212 0220 0 1.17 抛体运动速度分量???-==gt a v v a v v y x sin cos 00 1.18 抛体运动距离分量?? ? ??-?=?=20021sin cos gt t a v y t a v x 1.19射程 X=g a v 2sin 2 1.20射高Y= g a v 22sin 20 1.21飞行时间y=xtga —g gx 2 1.22轨迹方程y=xtga —a v gx 2 202 cos 2 1.23向心加速度 a=R v 2 1.24圆周运动加速度等于切向加速度与法向加速度矢量和a=a t +a n 1.25 加速度数值 a=2 2n t a a + 1.26 法向加速度和匀速圆周运动的向心加速度相 同a n =R v 2 1.27切向加速度只改变速度的大小a t = dt dv 1.28 ωΦ R dt d R dt ds v === 1.29角速度 dt φ ωd = 1.30角加速度 22dt dt d d φ ωα== 1.31角加速度a 与线加速度a n 、a t 间的关系 a n =22 2)(ωωR R R R v == a t =αωR dt d R dt dv == 牛顿第一定律：任何物体都保持静止或匀速 直线运动状态，除非它受到作用力而被迫改变这种状态。 牛顿第二定律：物体受到外力作用时，所获得的加速度a 的大小与外力F 的大小成正比，与 -` 第一章 质点运动学和牛顿运动定律 1.1平均速度 v = t △△r 1.2 瞬时速度 v=lim 0 △t →△t △r =dt dr 1. 3速度v= dt ds = =→→lim lim △t 0 △t △t △r 1.6 平均加速度a = △t △v 1.7瞬时加速度（加速度）a=lim 0△t →△t △v =dt dv 1.8瞬时加速度a=dt dv =22dt r d 1.11匀速直线运动质点坐标x=x 0+vt 1.12变速运动速度 v=v 0+at 1.13变速运动质点坐标x=x 0+v 0t+ 2 1at 2 1.14速度随坐标变化公式:v 2 -v 02 =2a(x-x 0) 1.15自由落体运动 1.16竖直上抛运动 ?????===gy v at y gt v 22122 ??? ? ???-=-=-=gy v v gt t v y gt v v 2212 0220 0 1.17 抛体运动速度分量?? ?-==gt a v v a v v y x sin cos 00 1.18 抛体运动距离分量?? ? ??-?=?=20021sin cos gt t a v y t a v x 1.19射程 X=g a v 2sin 2 1.20射高Y=g a v 22sin 20 1.21飞行时间y=xtga —g gx 2 1.22轨迹方程y=xtga —a v gx 2 202 cos 2 1.23向心加速度 a=R v 2 1.24圆周运动加速度等于切向加速度与法向加速度矢量和a=a t +a n 1.25 加速度数值 a=2 2 n t a a + 1.26 法向加速度和匀速圆周运动的向心加速度相同 a n =R v 2 1.27切向加速度只改变速度的大小a t = dt dv 1.28 ωΦR dt d R dt ds v === 1.29角速度 dt φ ωd = 1.30角加速度 22dt dt d d φ ωα== 1.31角加速度a 与线加速度a n 、a t 间的关系 a n =222)(ωωR R R R v == a t =αωR dt d R dt dv == 牛顿第一定律：任何物体都保持静止或匀速直线运动 状态，除非它受到作用力而被迫改变这种状态。 牛顿第二定律：物体受到外力作用时，所获得的加速度a 的大小与外力F 的大小成正比，与物体的质量m 成反比；加速度的方向与外力的方向相同。 1.37 F=ma 牛顿第三定律：若物体A 以力F 1作用与物体B ，则同时物体B 必以力F 2作用与物体A ；这两个力的大小相等、方向相反，而且沿同一直线。 万有引力定律：自然界任何两质点间存在着相互吸引力，其大小与两质点质量的乘积成正比，与两质点间的距离的二次方成反比；引力的方向沿两质点的连线 1.39 F=G 2 2 1r m m G 为万有引力称量=6.67×10-11 N ?m 2 /kg 2 1.40 重力 P=mg (g 重力加速度) 1.41 重力 P=G 2r Mm 1.42有上两式重力加速度g=G 2r M (物体的重力加速度与物体本身的质量无关，而紧随它到地心的距离而变) 电磁学 1．定义： ①E 和B ： F =q(E +V ×B )洛仑兹公式 ②电势：? ∞ ?= r r d E U 电势差：?-+ ?=l d E U 电动势：? + - ?= l d K ε（q F K 非静电 =） ③电通量：???=S d E e φ磁通量：???=S d B B φ磁通链： ΦB =N φB 单位：韦伯（Wb ） 磁矩：m =I S =IS n ? ④电偶极矩：p =q l ⑤电容：C=q/U 单位：法拉（F ） *自感：L=Ψ/I 单位：亨利（H ） *互感：M=Ψ21/I 1=Ψ12/I 2 单位：亨利（H ） ⑥电流：I = dt dq ； *位移电流：I D =ε 0dt d e φ 单位：安培（A ） ⑦*能流密度： B E S ?= μ 1 2．实验定律 ①库仑定律：0 204r r Qq F πε= ②毕奥—沙伐尔定律：204?r r l Id B d πμ?= ③安培定律：d F =I l d ×B ④电磁感应定律：ε感= –dt d B φ 动生电动势：?+ -??= l d B V )(ε 感生电动势：? - + ?=l d E i ε（E i 为感生电场） *⑤欧姆定律：U=IR （E =ρj ）其中ρ为电导率 3．*定理（麦克斯韦方程组） 电场的高斯定理：?? =?0 εq S d E ??=?0 εq S d E 静 （E 静是有源场） ??=?0S d E 感 （E 感是无源场） 磁场的高斯定理：??=?0S d B ??=?0S d B （B 稳是无源场） E =F /q 0 单位：N/C =V/ｍ B=F max /qv ；方向，小磁针指向（S →N ）；单位：特斯拉（T ）=104高斯（G ） Θ ⊕ -q l 1.a n = 22 2)(ωωR R R R v == a t =αωR dt d R dt dv == 2.F=dt dP dt mv d =)(=ma 3.冲量I=F ?t =?21t t Fdt 4.动量定理的微分形式Fdt=mdv dp= ? 2 1 t t Fdt ＝?2 1 )(v v mv d ＝mv 2－mv 1 5.动量定理 I=P 2－P 1=mv-mv 0 6,质点系的动量守恒定律（系统不受外力或外力矢量和为零） ∑=n i i i v m 1 =∑=n i i i v m 1 =常矢量 7.L =R ×P =R ×m V 力矩M=R ×F 8.dt dL M ==R ×F 9 000 ωωJ J L L dL Mdt L L t t -=-==? ? 10质点的角动量守恒L=L 0=常矢量,（拉小球有心力，枪打杆） 11J= ∑i mir 2 定轴转动定理M=J β（滑轮）类F=ma 角 动量L=Jw 12环中J=2/3mr 2 边J=5/3mr 2 ,盘中J=1/2mr 2 边J=3/2mr 2 杆中J=1/12ml 2 边J=/3ml 2 13刚体的机械能守恒mgz c +1/2J ω2 =常数（杆摆下θ时角速度l g θ ωsin 3= ，θsin 21l z c =） 14热力学温度 T=273.15+t 15.==22 2111T V P T V P 常量 即 T V P =常量 16PV= RT M M mol 17理想气体压强公式 P=23 1 v mn =2/3n εt 平均动能ε t =1/2mv 2 =2/3KT （只与温度有关） P= V N n nkT T N R V N mV N NmRT V M MRT A A mol ====( 18kT i t 2 = ε i 为自由度数=3,5,7 29E=RT i M M E M M E mol mol 2 00== υ 20 Q=?E+A dQ=dE+dA 准静态Q=?E+ ? 2 1 dv V V P dQ=dE+Pdv 21.等容过程 2 211 T P T P V R M M T P mol ===或常量 )(12T T C M M Q v mol v -= =?E=)(2 12T T R i M M mol - 22.等压过程)(12T T C M M Q p mol p -= C P =R+C V =A+?E 2211 T V T V P R M M T V mol ===或常量 R C C v p =- R i C R i C p v 2 2 2+== 23内能增E 2-E 1= RdT i M M dE mol 2 = 24.等温：1 2ln V V RT M M A Q mol T = =（全部转化为功） 25绝热 )(12T T C M M E A v mol -- == 261 212 111Q Q Q Q Q Q A -=-== η 27.2 12 2Q Q Q A Q -= =ω Q2为从低温热库中吸收的热量 28卡诺η=211211- 1T T T T T -=- 2 121T T Q Q = 29电偶极子（大小相等电荷相反）E 3 041 r P πε-= 电偶极距P =q l 热 学 公 式 1．理想气体温标定义：0 273.16lim TP p TP p T K p →=?（定体） 2．摄氏温度t 与热力学温度T 之间的关系：0 //273.15t C T K =- 华氏温度F t 与摄氏温度t 之间的关系：9325 F t t =+ 3．理想气体状态方程：pV RT ν= 1mol 范德瓦耳斯气体状态方程：2 ()()m m a p V b RT V + -= 其中摩尔气体常量8.31/R J mol K =?或2 8.2110/R atm L mol K -=??? 4．微观量与宏观量的关系：p nkT =，23kt p n ε= ，32 kt kT ε= 5．标准状况下气体分子的数密度（洛施密特数）253 0 2.6910/n m =? 6．分子力的伦纳德-琼斯势：12 6 ()4[()()]p E r r r σ σ ε=-，其中ε为势阱深度， σ= ，特别适用于惰性气体，该分子力大致对应于昂内斯气体； 分子力的弱引力刚性球模型（苏则朗模型）：06 000, ()(), p r r E r r r r r φ+∞ 第七章 电磁感应与电磁场 电磁感应现象：当穿过闭合导体回路的磁通量发生变化 时，回路中就产生感应电动势。 楞次定律：闭合回路中感应电流的方向，总是使得由它所 激发的磁场来阻碍感应电流的磁通量的变化 任一给定回路的感应电动势ε的大小与穿过回路所围面 积的磁通量的变化率dt d m Φ成正比 7.1 dt d Φ = ξ 7.2 dt d Φ -=ξ 7.3 dt d N dt d Φ -=ψ-=ξ ψ叫做全磁通，又称磁通匝链数，简称磁链表示穿过过各匝线圈磁通 量的总和 7.4 Blv dt dx Bl dt d -=-=Φ- =ξ动生电动势 7.5 B v e f E m k ?=-= 作用于导体内部自由电子上的磁场力就是提供动生电动势的非静电力，可用洛伦兹除以电子电荷 7.6 ??+ +??=?=_ _ )(dl B v dl E k ξ 7.7 Blv dl B v b a =??=?)(ξ 导体棒产生的动生电动势 7.8 θξsin Blv = 导体棒v 与B 成一任一角度时的情况 7.9 ? ??=dl B v )(ξ磁场中运动的导体产生动生电动势 的普遍公式 7.10 IBlv I P =?=ξ 感应电动势的功率 7.11 t NBS ωωξsin =交流发电机线圈的动生电动势 7.12 ωξNBS m = 当t ωsin =1时，电动势有最大值m ξ 所以7.11可为t m ωωξξsin = 7.14 ??-=s dS dt dB ξ 感生电动势 7.15 ? ?= L E dl 感ξ 感生电动势与静电场的区别在于一是感生电场不是 由电荷激发的，而是由变化的磁场所激发；二是描述感生电场的电场线是闭合的，因而它不是保守场，场强的环流不等于零，而静电场的电场线是不闭合的，他 是保守场，场强的环流恒等于零。 7.18 1212I M =ψ M 21称为回路C 1对C2额互感系数。由 I1产生的通过C2所围面积的全磁通 7.19 2121I M =ψ 7.20 M M M ==21回路周围的磁介质是非铁磁性的， 则互感系数与电流无关则相等 7.21 1 2 21I I M ψ=ψ= 两个回路间的互感系数（互感系数在数值上等于一个回路中的电流为1安时在另一个回路中的全磁通） 7.22 dt dI M 12-=ξ dt dI M 21-=ξ 互感电动势 7.23 dt dI dt dI M 21 12 ξξ- =- = 互感系数 7.24 LI =ψ 比例系数L 为自感系数，简称自感又称电 感 7.25 I L ψ = 自感系数在数值上等于线圈中的电流为1A 时通过自身的全磁通 7.26 dt dI L -=ξ 线圈中电流变化时线圈产生的自感电动势 7.27 dt dI L ξ - = 7.28 V n L 2 0μ=螺线管的自感系数与他的体积V 和单位 长度匝数的二次方成正比 7.29 2 2 1LI W m = 具有自感系数为L 的线圈有电流I 时所储存的磁能 7.30 V n L 2 μ= 螺线管内充满相对磁导率为r μ的磁介 质的情况下螺线管的自感系数 7.31 nI B μ=螺线管内充满相对磁导率为r μ的磁介质 的情况下螺线管内的磁感应强度 7.32 22 1 H w m μ= 螺线管内单位体积磁场的能量即磁能密度 7.33 ?= V m BHdV W 2 1 磁场内任一体积V 中的总磁场能量 第一章 质点运动学与牛顿运动定律 1、1平均速度 v = t △△r 1、2 瞬时速度 v=lim 0△t →△t △r =dt dr 1. 3速度v= dt ds = =→→lim lim △t 0 △t △t △r 1、6 平均加速度a = △t △v 1、7瞬时加速度(加速度)a=lim 0△t →△t △v =dt dv 1、8瞬时加速度a=dt dv =2 2dt r d 1、11匀速直线运动质点坐标x=x 0+vt 1、12变速运动速度 v=v 0+at 1、13变速运动质点坐标x=x 0+v 0t+ 2 1at 2 1、14速度随坐标变化公式:v 2 -v 02 =2a(x-x 0) 1、15自由落体运动 1、16竖直上抛运动 ?????===gy v at y gt v 22122 ???? ???-=-=-=gy v v gt t v y gt v v 2212 02200 1、17 抛体运动速度分量???-==gt a v v a v v y x sin cos 00 1、18 抛体运动距离分量?? ? ??-?=?=20021sin cos gt t a v y t a v x 1、19射程 X=g a v 2sin 2 1、20射高Y= g a v 22sin 20 1、21飞行时间y=xtga —g gx 2 1、22轨迹方程y=xtga —a v gx 2 202 cos 2 1、23向心加速度 a=R v 2 1、24圆周运动加速度等于切向加速度与法向加速度矢量与a=a t +a n 1、25 加速度数值 a=2 2 n t a a + 1、26 法向加速度与匀速圆周运动的向心加速度相同 a n =R v 2 1、27切向加速度只改变速度的大小a t = dt dv 1、28 ωΦR dt d R dt ds v === 1、29角速度 dt φ ωd = 1、30角加速度 22dt dt d d φ ωα== 1、31角加速度a 与线加速度a n 、a t 间的关系 a n =222)(ωωR R R R v == a t =αωR dt d R dt dv == 牛顿第一定律:任何物体都保持静止或匀速直线运动 状态,除非它受到作用力而被迫改变这种状态。 牛顿第二定律:物体受到外力作用时,所获得的加速度a 的大小与外力F 的大小成正比,与物体的质量m 成反比;加速度的方向与外力的方向相同。 1.37 F=ma 牛顿第三定律:若物体A 以力F 1作用与物体B,则同时物体B 必以力F 2作用与物体A;这两个力的大小相等、方向相反,而且沿同一直线。 万有引力定律:自然界任何两质点间存在着相互吸引力,其大小与两质点质量的乘积成正比,与两质点间的距离的二次方成反比;引力的方向沿两质点的连线 1、39 F=G 2 2 1r m m G 为万有引力称量=6、67×10-11 N ?m 2 /kg 2 1、40 重力 P=mg (g 重力加速度) 1、41 重力 P=G 2 r Mm 1、42有上两式重力加速度g=G 2 r M (物体的重力加速度与物体本身的质量无关,而紧随它到地心的距离而变) 大学物理公式集 基本概念（定义和相关公式） 位置矢量：r ，其在直角坐标系中：k z j y i x r ++=；2 22z y x r ++= 角位置：θ 速度：dt r d V = 平均速度：t r V ??= 速率：dt ds V = （τ V V =）角速度： dt d θω= 角速度与速度的关系：V=ｒω 加速度：dt V d a =或22dt r d a = 平均加速度：t V a ??= 角加速度：dt d ωβ= 在自然坐标系中n a a a n +=ττ其中dt dV a =τ（=ｒβ），r V n a 2 = （=r2 ω） 1．力：F =ｍa （或F = dt p d ） 力矩：F r M ?=（大小：M=rFcos θ方向：右手螺旋 法则） 2．动量：V m p =，角动量：V m r L ?=（大小：L=rmvcos θ方向：右手螺旋法则） 3．冲量：? = dt F I （=F Δｔ）；功：? ?= r d F A （气体对外做功：A=∫ PdV ） 4．动能：mV 2/2 5．势能：A 保= – ΔE p 不同相互作用力势能形式不同且零点选择不同其形式 不同，在默认势能零点的情况下： 机械能：E=E K +E P 6．热量：CRT M Q μ =其中：摩尔热容 量C 与过程有关，等容热容量C v 与等压热容量C p 之间的关系为：C p = C v +R 7．压强：ω n tS I S F P 3 2 = ?= = 8．分子平均平动能：kT 2 3= ω ；理想气体内能：RT s r t M E )2(2 ++= μ 9．麦克斯韦速率分布函数：NdV dN V f = )(（意义：在V 附近单位速度间隔内的分子数所 占比率） 10． 平均速率：πμ RT N dN dV V Vf V V 80 )(= = ? ?∞ 方均根速率：μ RT V 22 = ；最可几速率：μ RT p V 3= 11． 熵：S=Kln Ω（Ω为热力学几率，即：一种宏观态包含的微观态数） mg(重力) → mgh -kx （弹性力） → kx 2 /2 F= r r Mm G ?2 - (万有引力) →r Mm G - =E p r r Qq ?42 πε (静电力) → r Qq 0 4πε 大学物理第二学期公式集 电磁学 1．定义： ①E 和B ： F =q(E +V ×B )洛仑兹公式 ②电势：? ∞ ?= r r d E U 电势差：?-+?=l d E U 电动势：?+-?=l d K ε（q F K 非静电 =） ③电通量：???=S d E e φ磁通量：?? ?=S d B B φ磁通链：ΦB =N φB 单位：韦伯 （Wb ） 磁矩：m =I S =IS n ? ④电偶极矩：p =q l ⑤电容：C=q/U 单位：法拉（F ） *自感：L=Ψ/I 单位：亨利（H ） *互感：M=Ψ21/I 1=Ψ12/I 2 单位：亨利（H ） ⑥电流：I =dt dq ； *位移电流：I D =ε0dt d e φ 单位：安培（A ） ⑦ * 能 流 密 度 ： B E S ?= μ 1 2．实验定律 ①库仑定律：0 2 04r r Qq F πε= ②毕奥—沙伐尔定律：204?r r l Id B d πμ?= ③安培定律：d F =I l d ×B ④电磁感应定律：ε感= –dt d B φ 动生电动势：? + - ??= l d B V )(ε 感生电动势：? - + ?=l d E i ε（E i 为感生电场） *⑤欧姆定律：U=IR （E =ρj ）其中ρ为电导率 3．*定理（麦克斯韦方程组） E =F /q 0 单位：N/C =V/ｍ B=F max /qv ；方向，小磁针指向（S →N ）；单位：特斯拉（T ）=104高斯（G ） Θ ⊕ -q l 电场的高斯定理：?? =?0εq S d E ??=?0 εq S d E 静 （E 静是有源场） ??=?0S d E 感 （E 感是无源场） 磁场的高斯定理：??=?0S d B ??=?0S d B （B 稳是无源场） ??=?0 S d B （B 感是无源场） 电场的环路定理：? -=?dt d l d E B φ ?=?0l d E 静 （静电场无旋） ?-=?dt d l d E B φ 感（感生电场有旋；变化的磁场产生感生电场） 安培环路定理：d I I l d B 00μμ+=?? ?=?I l d B 0μ 稳 （稳恒磁场有旋） dt d l d B e φεμ00?=? 感 （变化的电场产生感生磁场） 4．常用公式 ①无限长载流导线：r I B πμ20= 螺线管：B=ｎμ0I ②带电粒子在匀强磁场中：半径qB mV R =周期qB m T π2= 磁矩在匀强磁场中：受力F=0；受力矩B m M ?= ③电容器储能：W c =21CU 2 *电场能量密度：ωe =2 1ε0E 2 电磁场能量密度：ω= 2 1ε 0E 2 +0 21 μB 2 *电感储能：W L =21LI 2 *磁场能量密度：ωB =0 21 μB 2 电磁场能流密度：S=ωV ④ *电磁波：C= 001 εμ=3.0×108m/s 在介质中V=C/ｎ，频率ｆ=ν= 021 εμπ 波动学 1．定义和概念 简谐波方程： x 处t 时刻相位 振幅 简谐振动方程：ξ=Acos(ωt+φ) 波形方程：ξ=Acos(2πx/λ+φ′) 第一章 质点运动学和牛顿运动定律 1.1平均速度 v = t △△r 1.2 瞬时速度 v=lim △t →△t △r = dt dr 1. 3速度v=dt ds = = →→lim lim △t 0 △t △t △r 1.6 平均加速度a =△t △v 1.7瞬时加速度（加速度）a=lim △t →△t △v =dt dv 1.8瞬时加速度a=dt dv =22 dt r d 1.11匀速直线运动质点坐标x=x 0+vt 1.12变速运动速度 v=v 0+at 1.13变速运动质点坐标x=x 0+v 0t+ 2 1at 2 1.14速度随坐标变化公式:v 2 -v 02 =2a(x-x 0) 1.15自由落体运动 1.16竖直上抛运动 ?????== =gy v at y gt v 22122 ???????-=-=-=gy v v gt t v y gt v v 2212 022 00 1.17 抛体运动速度分量? ? ? -==gt a v v a v v y x sin cos 00 1.18 抛体运动距离分量?? ? ??-?=?=2 0021 sin cos gt t a v y t a v x 1.19射程 X=g a v 2sin 2 1.20射高Y= g a v 22sin 20 1.21飞行时间y=xtga — g gx 2 1.22轨迹方程y=xtga — a v gx 2 2 02cos 2 1.23向心加速度 a= R v 2 1.24圆周运动加速度等于切向加速度与法向加速度矢量和a=a t +a n 1.25 加速度数值 a=2 2 n t a a + 1.26 法向加速度和匀速圆周运动的向心加速度相同 a n = R v 2 1.27切向加速度只改变速度的大小a t = dt dv 1.28 ωΦR dt d R dt ds v === 1.29角速度 dt φωd = 1.30角加速度 22 dt dt d d φωα= = 1.31角加速度a 与线加速度a n 、a t 间的关系 a n =2 2 2 )(ω ωR R R R v == a t = αωR dt d R dt dv == 牛顿第一定律：任何物体都保持静止或匀速直线运动 状态，除非它受到作用力而被迫改变这种状态。 牛顿第二定律：物体受到外力作用时，所获得的加速度a 的大小与外力F 的大小成正比，与物体的质量m 成反比；加速度的方向与外力的方向相同。 F=ma 牛顿第三定律：若物体A 以力F 1作用与物体B ，则同时物体B 必以力F 2作用与物体A ；这两个力的大小相等、方向相反，而且沿同一直线。 万有引力定律：自然界任何两质点间存在着相互吸引力，其大小与两质点质量的乘积成正比，与两质点间的距离的二次方成反比；引力的方向沿两质点的连线 1.39 F=G 2 21r m m G 为万有引力称量=6.67× 10-11 N ?m 2 /kg 2 1.40 重力 P=mg (g 重力加速度) 1.41 重力 P=G 2 r Mm 1.42有上两式重力加速度g=G 2 r M (物体的重力加速度与 物体本身的质量无关，而紧随它到地心的距离而变) 1.43胡克定律 F=—kx (k 是比例常数，称为弹簧的劲度 大学物理上下册常用公式 Prepared on 22 November 2020 大学物理第一学期公式集 概念（定义和相关公式） 1． 位置矢量：r ，其在直角坐标系中：k z j y i x r ++=；222z y x r ++=角位置： θ 2． 速度：dt r d V = 平均速度：t r V ??= 速率：dt ds V = （τ V V =）角速度： dt d θω= 角速度与速度的关系：V=ｒω 3． 加速度：dt V d a = 或2 2dt r d a = 平均加速度：t V a ??= 角加速度：dt d ωβ= 在自然坐标系中n a a a n +=ττ其中dt dV a =τ（=ｒβ），r V n a 2= （=r 2 ω） 4． 力：F =ｍa （或F = dt p d ） 力矩：F r M ?=（大小：M=rFcos θ方向：右手螺旋 法则） 5． 动量：V m p =，角动量：V m r L ?=（大小：L=rmvcos θ方向：右手螺旋法则） 6． 冲量：? = dt F I （=F Δｔ）；功：? ?= r d F A （气体对外做功：A= ∫PdV ） 7． 动能：mV 2/2 8． 势能：A 保= – ΔE p 不同相互作用 力势能形式不同且零点选择不同其形式不同，在默认势能零点的情况下： 机械能：E=E K +E P 9． 热量：CRT M Q μ = 其中：摩尔热容量C 与过程有关，等容热容量C v 与等压热容 量C p 之间的关系为：C p = C v +R mg(重力) → mgh -kx （弹性力） → kx 2/2 F= r r Mm G ?2- (万有引力) →r Mm G - =E p r r Qq ?42 0πε(静电力) →r Qq 04πε 热力学第一定律 功：δW ＝δW e ＋δW f （1）膨胀功 δW e ＝p 外dV 膨胀功为正，压缩功为负。 （2）非膨胀功δW f ＝xdy 非膨胀功为广义力乘以广义位移。如δW （机械功）＝fdL ，δW （电功）＝EdQ ，δW （表面功）＝rdA 。 热 Q ：体系吸热为正，放热为负。 热力学第一定律： △U ＝Q —W 焓 H ＝U ＋pV 理想气体的内能和焓只是温度的单值函数。 热容 C ＝δQ/dT （1）等压热容：C p ＝δQ p /dT ＝ （?H/?T ）p （2）等容热容：C v ＝δQ v /dT ＝ （?U/?T ）v 常温下单原子分子：C v ，m ＝C v ，m t ＝3R/2 常温下双原子分子：C v ，m ＝C v ，m t ＋C v ，m r ＝5R/2 等压热容与等容热容之差： （1）任意体系 C p —C v ＝[p ＋（?U/?V ）T ]（?V/?T ）p （2）理想气体 C p —C v ＝nR 理想气体绝热可逆过程方程： pV γ＝常数 TV γ-1＝常数 p 1-γT γ＝常数 γ＝C p / C v 理想气体绝热功：W ＝C v （T 1—T 2）＝1 1 －γ（p 1V 1—p 2V 2） 理想气体多方可逆过程：W ＝1 nR －δ（T 1—T 2） 热机效率：η＝ 2 1 2T T T － 冷冻系数：β＝－Q 1/W 可逆制冷机冷冻系数：β＝ 1 21 T T T － 焦汤系数： μJ －T ＝H p T ???? ????＝－()p T C p H ?? 实际气体的ΔH 和ΔU ： ΔU ＝dT T U V ??? ????＋dV V U T ??? ???? ΔH ＝dT T H P ??? ????＋dp p H T ???? ???? 化学反应的等压热效应与等容热效应的关系：Q p ＝Q V ＋ΔnRT 当反应进度 ξ＝1mol 时， Δr H m ＝Δr U m ＋∑B B γRT 化学反应热效应与温度的关系：()()()dT B C T H T H 2 1 T T m p B 1m r 2m r ? ∑??，＋＝γ 热力学第二定律大学物理上下册常用公式
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