相似三角形
知识点（一）：相似三角形的证明技巧
1.相似三角形的基本图形
2.相似三角形判定定理（3条）
3.相似三角形的具体解题方法
1.“三点定形法”：即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
例1、已知:如图△ABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:AE?AB=AC?AF.（判断“横定”还是“竖定”？）
例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，
AC·AE=AF·AB吗？说明理由。
分析方法：
1）先将积式______________
2）______________（“横定”还是“竖定”？）
练习1.已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于
F。求证：CD2=DE·DF。
F B
C
2.过渡法（或叫代换法）
有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有
三种，下面分情况说明．
(1)等量过渡法（等线段代换法）
遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。
例1：如图3，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E．求证：DE2＝BE·CE．
(2)等比过渡法（等比代换法）
当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。
例2：如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F．
求证：AB DF
．
AC AF
（3）等积过渡法（等积代换法）
思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。
例3：如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，G是DC延长线上一点，过B作BE⊥AG，垂足为E，交CD于点F．求证：CD2＝DF·DG．
小结：证明等积式思路口诀：“遇等积，化比例：横找竖找定相似；
不相似，不用急：等线等比来代替。”
4.确定证明的切入点。几何证明题的证明方法主要有三个方面。第一，从“已知”入手，通过推理论证，得出“求证”；第二，从“求证”入手，通过分析，不断寻求“证据”的支撑，一直追溯回到“已知”；第三，从“已知”及“求证”两方面入手，通过分析找到中间“桥梁”，使之成为清晰的思维过程。
5.相似三角形中的辅助线
在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线
段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种： 一、作平行线
例1. 如图，?A B C 的AB 边和AC 边上各取一点D 和E ，且使AD ＝AE ，DE 延长线与BC 延长线相交于F ，求证：
BF CF BD
CE
= B
D
A C
F
E
例2. 如图，△ABC 中，AB 例3、如图，B 为AC 的中点，E 为BD 的中点，则AF ：AE=___________. 二、作延长线 例1.如图，已知平行四边ABCD 中，E 是AB 的中点，AF=31 AD ，连E 、F 交AC 于G ．求 AG ：AC 的值． C A E B 综合练习 1.已知：如图，在ABC ?中，BD A AC AB ,36,?=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明 AC DC AD ?=2． 2.如图，矩形ABCD 中，3AD =厘米，AB a =厘米（3a >）．动点M N ，同时从B 点出发，分别沿B A →，B C →运动，速度是1厘米／秒．过M 作直线垂直于AB ，分别交AN ，CD 于 P Q ，．当点N 到达终点C 时，点M 也随之停止运动．设运动时间为t 秒． （1）若4a =厘米，1t =秒，则PM =______厘米； （2）若5a =厘米，求时间t ，使PNB PAD △∽△，并求出它们的相似比； （3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，求t (用表示) 2019年中考几何相似三角形怎么证明 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢 初中几何相似三角形怎么证明?很多同学一接触证明题就不会，教育网针对这个问题，给大家具体解答一下。 数学：相似三角形怎么证明 相似三角形定理 ：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 相似三角形判定定理1：两角对应相等，两三角形相似 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似 相似直角三角形定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比 性质定理3：相似三角形面积的比等于相似比的平方 证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点可能没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DE F”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。 方法一 平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角 形相似。 方法二 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。 方法三 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似 方法四 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似 方法五 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形 三个基本型 Z型A型反A型 方法六 两个直角三角形中，斜边与直角边对应成比例，那么两三角形相似。一定相似的三角形 1.两个全等的三角形 相似三角形的判定和应用 一、判定相似三角形的基本思路: 1.找准对应关系：两个三角形的三个对应顶点、三个对应角、三条对应边不能随便写，一般说来，相等的角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角。 2.记住五个判定定理：判定相似三角形依据是五个定理，即预备定理、判定定理一、判定定理二、判定定理三、直角三角形相似的判定定理。 二、相似形的应用： 1.证比例式； 2.证等积式； 3.证直线平行； 4.证直线垂直； 5.证面积相等； 三、经典例题： 例1.如图，在ΔABC 中，D 是BC 的中点，E 是AC 延长线上任意一点，连接DE 与AB 交于F ，与过A 平行于BC 的直线交于G 。 求证： CE AE BF AF = . 变式1：如图，在ΔABC 中，A ∠与B ∠互余，CD ⊥AB ，DE//BC ，交AC 于点E ，求证： AD:AC=CE:BD. 例2：如图：已知梯形ABCD 中，AD//BC ，?=∠90ABC ，且BD ⊥CD 于D 。 求证：①DCB ABD ??~ ；②BC AD BD ?=2 例3.如图，在ΔABC 中，?=∠90BAC ，M 是BC 的中点，DM ⊥BC 交BA 的延长线于D ，交AC 于E 。 求证：ME MD MA ?=2 例4.已知：在ΔABC 中，AD 是BAC ∠的平分线，点E 在AD 上，点F 在AD 的延长线 上，且 AC AB DF ED = 求证：BE//FC 。 例5.如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AB 、AC 上一点，切BE=BF ，BP ⊥CE ，垂足为P 。 求证：PD ⊥PF. 相似三角形判定定理的证明 预习导学： 1．相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似． 2．证明相似三角形判定定理时，先作辅助线，再根据条件选择适当的判定定理。 教学目标： 1．了解相似三角形判定定理,会证明相似三角形判定定理 2．掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力 教学重点：会证明相似三角形判定定理 教学难点：掌握推理证明的方法，并提供应用能力 教学过程： 判定定理的证明： 定理1：两角分别相等的两个三角形相似 如果∠A =∠A ′，∠B =∠B ′， 那么，△ABC ∽△A′B′C′. 证明：在△ABC 的边AB （或延长线）上截取AD=A’B’,过点D 作BC 的平行线， 交AC 于点E,则∠ADE=∠B, ∠AED=∠C, AD AE AB AC =(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例). 过点D 作AC 的平行线，交BC 于点F,则 AD CF AB CB =(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例). ∴ AE CF AC CB = ∵DE ∥BC ，DF ∥AC ∴四边形DFCE 是平行四边形. ∴DE=CF ∴AE DE AC CB = ∴AD AE DE AB AC BC == 而∠ADE=∠B, ∠DAE=∠BAC, ∠AED=∠C, ∴△ADE ∽△ABC. ∵∠A=∠A’, ∠ADE=∠B’, AD=A’B’, ∴△ADE ≌△A’B’C’ ∴△ABC ∽△A’B’C’. 定理2：两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 探究2 如果∠B =∠B1， 那么，△ABC ∽△A1B1C1. 自己思考，与同学交流 定理3：三边对应成比例,两三角形相似. 如果 1111 ,AB BC k A B B C ==, AB BC AC A B B C A C =='''''' 相似三角形的比例关系及相似三角形证明的变式 【知识疏理】 一， 相似三角形边长比，和周长比以及面积比的关系！ 若两个相似三角形的对应角的平分线之比是1∶2，则这两个三角形的对应高线之比是---------，对应中线之比是------------，周长之比是---------，面积之比是-------------，若两个相似三角形的面积之比是1∶2，则这两个三角形的对应的角平分线之比是----------，对应边上的高线之比是-------- 对应边上的中线之比是----------，周长之比是--------------。 二， 相似三角形证明的变式 1，相似三角形当中常以乘积的形式出现，如： 例1、 已知：如图1，BE 、DC 交于点A ，∠E=∠C 。求证：DA ·AC=BA ·AE 图2 题目比较简单，学生独立完成，启发学生总结：①本题找对应角的特殊方法是对顶角相等；②要想证明乘积式或比例式，应先证明三角形相似。 2，对特殊图形的认识 例2、已知：如图3，Rt △ABC 中，∠ABC=90o，BD ⊥AC 于点D 。 图3 （1） 图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么？ （2） 用语言叙述第（1）题的结论。 （3） 写出相似三角形对应边成比例的表达式。 总结： （1） 有一对锐角相等的两个直角三角形相似； （2） 本题找对应角的方法是公共角及同角的余角相等； A B C A'B'C'图（4）图1 B A C 双垂直图形中的BD 2=AD ·CD ，AB 2=AD ·AC ，BC 2=CD ·CA ，BC ·AB=AC ·BD 等结论很重要，它们在计算、证明中应用很普遍，但需先证明两个三角形相似得到结论，再加以应用。在此基础上，将双垂直图形转化 为“公边共角”，讨论、探究， A B C 得到结论：由公边共角的两个相似三角形中，公边是两个三角形中落在一条直线上的两边的比例中项，即若△ABD ∽△ACB ，则AB 2=AD ·AC 。 【课堂检测】 一选择题 1、一个三角形的三边长为5，5，6，与它相似的三角形最长边为10，则后一个三角形的面积为（ ） A 、3100 B 、20 C 、54 D 、25 108 2、如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，如果S △ODC ：S △BDC =1：3，那么S △ODC ：S △ABC 的值是（ ） A 、 51 B 、61 C 、71 D 、9 1 D C Ａ Ｄ O Ｐ A B Ｂ Ｃ （第2题图） （第4题图） 3、已知一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形，如果两腰的比是1：4，则两底的比是（ ） A 、1：2 B 、1：4 C 、1：8 D 、1：16 4、已知，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=900，对角线AC ⊥BD ，垂足为P ，已知AD ：BC=3：4，则BD ：AC 的值是 （ ） Ａ、3：２ Ｂ、２：３ Ｃ、3：３ Ｄ、３：４ 5、如图，已知：∠BAO=∠CAE=∠DCB ，则下列关系式中正确的是（ ） A 、AE BC AD A B = B 、AD B C AE AC = C 、AE BC DE AB = D 、AD AB AE AC = 初中几何证明技巧（分类） 证明两线段相等 1. 两全等三角形中对应边相等。 2. 同一三角形中等角对等边。 3. 等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4. 平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5. 直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6. 线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7. 角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8. 过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 *9. 同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。*10. 圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。11. 两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。 *12. 两圆的内（外）公切线的长相等。 13. 等于同一线段的两条线段相等。 证明两个角相等 1. 两全等三角形的对应角相等。 2. 同一三角形中等边对等角。 3. 等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。 4. 两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。 5. 同角（或等角）的余角（或补角）相等。 *6. 同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。 *7. 圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 8. 相似三角形的对应角相等。 *9. 圆的内接四边形的外角等于内对角。 10. 等于同一角的两个角相等。 证明两条直线互相垂直 1. 等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。 2. 三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。 3. 在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。 4. 邻补角的平分线互相垂直。 5. 一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。 6. 两条直线相交成直角则两直线垂直。 7. 利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。 8. 利用勾股定理的逆定理。 9. 利用菱形的对角线互相垂直。 *10. 在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。 *11. 利用半圆上的圆周角是直角。 - 1 - / 4 相似三角形（三） 知识点（一）：相似三角形的证明技巧 1.相似三角形的基本图形 2.相似三角形判定定理（3条） 3.相似三角形的具体解题方法 1.“三点定形法”：即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。 例1、已知:如图△ABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:AE?AB=AC?AF.（判断“横定”还是“竖定”？） 例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。 分析方法： 1）先将积式______________ 2）______________（“横定”还是“竖定”？） 练习1.已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。 求证：CD2=DE·DF。 A D E F B C 2.过渡法（或叫代换法） 有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明． (1)等量过渡法（等线段代换法） 遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。 例1：如图3，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线FE交BC的 延长线于E．求证：DE2＝BE·CE． - 2 - / 4 (2)等比过渡法（等比代换法） 当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代 相似三角形6大证明技巧 相似三角形证明方法 相似三角形的判定方法总结： 1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS） 3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS) 4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA) 5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 相似三角形的模型方法总结： “反A”型与“反X”型. “旋转相似”与“一线三等角” 反A 型与反X 型 已知△ABC 中，∠AEF=∠ACB ，求证：（1）AE AB AF AC ?=?（2）∠BEO=∠CFO ， ∠EBO=∠FCO （3）∠OEF=∠OBC ，∠OFE=∠OCB O F E C B A 类射影 如图，已知2AB AC AD =?，求证： BD AB BC AC = A B C D 射影定理 已知△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：2AC AH AB =?，2BC BH BA =?，2HC HA HB =? 通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A 型，X 型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”. 但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。 在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧. 技巧一：三点定型法 技巧二：等线段代换 技巧三：等比代换 技巧四：等积代换 技巧五：证等量先证等比 技巧六：几何计算 【例1】 如图，平行四边形ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F ，求证： DC CF AE AD =． A B C F D E 【例2】 如图，ABC △中，90BAC ∠=?，M 为BC 的中点，DM BC ⊥交CA 的延长线于 D ，交AB 于 E ．求证：2AM MD ME =? C B A E D M 【例3】 如图，在Rt ABC △中，AD 是斜边BC 上的高，ABC ∠的平分线BE 交AC 于E ， 交AD 于F ．求证： BF AB BE BC =． D B A C F E 技巧一：三点定型 比例式的证明方法 相似三角形证明技巧 姓名: _____________ 一、 相似、全等的关系 全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形, 相似形则是全等形的推广.因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们Z 间的联系与区别； 相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础. 二、 相似三角形 （1）三角形相似的条件： ① _____________________ ;② ________________________ ;③ ______________________________ ? 三、 两个三角形相似的六种图形： 只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形, 从而使问题得以解决. 四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路： 1） 先找两对内角对应相等（对平行线型找平行线），因为这个条件最简单; 2） 再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3） 若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例； J 找另一角——?两角对应相等，两三角形相似 ［找夹边对应成比例——两边对应成比 例且夹角相等, 「找夹角相等一?两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 X 找第三边也对 应成比例 一?三边对应成比例，两三角形相似 I 找一个直角一?斜边、直角边对 应成比例，两个直角三角形相似 r 找另一角 ?两角对应相等，两三角形相似 L 找两边对应成比例 判定定理1或判定定理4 r 找顶角对应相等一?判定定理1 ⑴有等腰关系 彳找底角对应相等一 判定定理1 I 找底和腰对应成比例 ------ ?判定定理3 五、 确定证明的切入点。几何证明题的证明方法主要有三个方面。第一，从“已知”入手，通过推 理论证，得出“求证”；第二，从“求证”入手，通过分析，不断寻求“证据”的支撑，一直追溯回 到“己知”；第三，从“己知”及“求证”两方面入手，通过分析找到中间“桥梁”，使之成为清晰 的思维过程。 六、 证明题常用方法归纳： （一） 、总体思路：“等积”变“比例”，“比例”找“相似” （二） 、证比例式和等积式的方法： 对线段比例式或等积式的证明：常用“三点定形法”、等线段替换法、中间比过渡法、面积法等.若 比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比“转移"（必要时需添辅助线），使其分别构 成两个相似三角形来证明. a ）已知一对等角 c ）己知一个直角 c ）相似形的传递性 若厶\sd A2^A3,则△lsA3 两三角形相似 b ）己知两边对应成比例 斜边上的高 相似三角形判定定理的证明(基础) 【学习目标】 1.熟记三个判定定理的内容. 2.三个判定定理的证明过程. 3.学选会用适当的方法证明结论的成立性. 【要点梳理】 要点一、两角分别相等的两个三角形相似 已知：如图,在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.求证：△ABC∽△A′B′C′. 证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D作BC的平行线，交AC于点E,则 ∠ADE=∠B，∠AED=∠C, ADAE?(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）. ABAC过点D作AC的平行线，交BC与点F,则 ADCF?(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）. ABCBAECF?∴ACCB∵DE∥BC,DF∥AC, ∴四边形DFCE是平行四边形. ∴DE=CF. ∴AE:AC=DE:CB ADAEDE??. ∴ABACBC而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C, ∴△ADE∽△ABC. ∵∠A=∠A′,∠ADE=∠B=∠B′,AD=A′B′, ∴△ADE∽△A′B′C′. ∴△ABC∽△A′B′C′. 要点诠释：证明这个定理的正确性，是把它转化为平行线分线段成比例来证明的，注意转化时辅助线的做法. 【典型例题】类型一、两角分别相等的两个三角形相似，求证：△ADE∽△ABC．D， CE⊥AB，垂足为E1、在△ABC中，∠A=60°，BD⊥AC，垂足为 断可判∠AEC=∠ADB=90°，利用∠EAC=∠DAB路点拨】由BD⊥AC，CE⊥AB得到【思 ，加上∠EAD=∠CAB，根据三角形相似的==，利用比例性质得△AEC∽△ADB，则判定方法即可得到结论．【答案与解析】证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠AEC=∠ADB=90°，而∠EAC= ∠DAB，∴△AEC∽△ADB，∴，=∴，= ∵∠EAD=∠CAB，∴△ADE∽△ABC．有两组有两组角对应相等的两三角形相似；【总结升华】考查了相似三角形的判定与性质：对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．举一反三°，ADE=60，且∠在BC、AC上，点是等边三角形D，E分别ABC【变式】如图，△CE. CD=AC?证求：BD? 【答案】证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°，AB=AC， ∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，∠B=∠ADE=60°， ∴∠BAD=∠CDE， ，DCE△∽ABD△∴．ABBDCC BCD=AC BCD=AC 2、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点H在AC上，且线段HD⊥AB于D，BC的延长线与DH的延 相似三角形的判定方法总结： 1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS ） 3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS) 4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA) 5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 相似三角形的模型方法总结： “反A ”型与“反X ”型. 示意图 结论 E D C B A 反A 型： 如图，已知△ABC ，∠ADE =∠C ，则△ADE ∽△ACB （AA ），∴AE · AC =AD ·AB. 若连CD 、BE ，进而能证明△ACD ∽△ABE (SAS) O D C B A 反X 型： 如图，已知角∠BAO =∠CDO ，则△AOB ∽△DOC （AA ），∴OA ·OC =OD ·OB . 若连AD ，BC ，进而能证明△AOD ∽△BOC . 示意图 结论 A B C D 类射影： 如图，已知△ABC ，∠ABD =∠C ，则△ABD ∽△ACB （AA ），∴2AB =AD · AC. C A B H 射影定理 如图，已知∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，则222,,AC AH AB BC BH BA HC HA HB =?=?=? 示意图 结论 相似三角形6大证明技巧 相似三角形证明方法 A B C D E 旋转相似： 如图，已知△ABC ∽△ADE ，则 AB AD AC AE =，∠BAC =∠DAE ，∴∠BAD =∠CAE ， ∴△BAD ∽△CAE （SAS ） C B A E D 一线三等角： 如图，已知∠A =∠C =∠DBE ，则△DAB ∽△BCE （AA ） 反A 型与反X 型 已知△ABC 中，∠AEF=∠ACB ，求证：（1）AE AB AF AC ?=?（2）∠BEO=∠CFO ，∠EBO=∠FCO （3）∠OEF=∠OBC ，∠OFE=∠OCB O F E C B A 类射影 如图，已知2AB AC AD =?，求证： BD AB BC AC = A B C D 射影定理 已知△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：2AC AH AB =?，2BC BH BA =?，2HC HA HB =? 通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A 型，X 型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”. 但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。 在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧. 技巧一：三点定型法 比例式的证明方法 回顾相似三角形的判定方法总结: 相似三角形6大证明技巧 相似三角形证明方法之反A型与反X型 1 . 2 . 3 . 4 . 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似三边成比例的两个三角形相似.(SSS 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.(SAS) 两角分别相等的两个三角形相似.(AA) 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 5. 模型一：反A型： 如图，已知△ ABC, / ADE = / C,若连CD、BE,进而能证明△ ACD ABE(SAS) 试一试写出具体证明过程 模型二：反X型： 如图，已知角/ BAO= / CDO，若连AD, BC,进而能证明△ AOD BOC. 试一试写出具体证明过程D B 应用练习: 1.已知△ ABC 中，/ AEF= / ACB，求证：(1) AE AB AF AC (2)/ BEO= / CFO , / EBO= / FCO ( 3)/ OEF= / OBC，/ OFE= / OCB 2.已知在MBC中，/ABC=90°,AB=3,BC=4.点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图1)或线段AB的延长线(如 图2)于点P. ⑴当点P在线段AB上时,求证：MPQ S /△ABC ; ⑵当/△^QB为等腰三角形时，求AP的长。 模型三：射影定理 相似三角形证明方法之射影定理与类射影 如图已知^ ABC，/ ACB=90° , CH 丄AB 于H，求证：A C2AH AB , BC2 BH BA ,, 2 HC HA HB ,试一试写出具体证明过程 模型四：类射影 BD AB 如图，已知AB 2 AC AD ，求证：亍 乔，试一试写出具体证明过程 BC AC 应用练习: J 45 1.如图，在 △ ABC 中，AD 丄BC 于D ，DE 丄AB 于E ，DF 丄AC 于F 。求证：— AP AS 2.如图，在 △ ABC 中，AD BC 于 D , DE AB 于 E , DF / AEF= / C 模型五：一线三等角 如图，已知/ B=/ C= / EDF ，则△ BDECFD (AA )，试 一试写出具体证明过程 应用练习： 1.如图，△ ABC 和/ DEF 两个全等的等腰直角三角形， / BACK EDF=90, △ DEF 的顶点E 与^ABC 的斜边BC 的中点重合.将△ DEF 绕点E 旋转，旋转过程中， 线段DE 与线段AB 相交于点P ,线段EF 与射线CA 相交于点Q . (1) 如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP=AQ 时，求证：△ BPE^ZCQE (2) (2)如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证： 并求当BP=a CQ=9a/2时，P 、Q 两点间的距离(用含 2.^ABC 中，AB=AC , D 为BC 的中点，以 D 为顶点作/ (1) 如图(1)当射线DN 经过点A 时，DM 交AC 边于点E ,不添加辅 助线，写出图中所有与/△ADE 相似的三角形. (2) 如图(2)，将/ MDN 绕点D 沿逆时针方向旋转，DM ，DN 分别交 线段AC ， AB 于E ，F 点(点E 与点A 不重合)，不添加辅助线，写出图 中所有的相似三角 形，并证明你的结论. (3) 在图(2 )中，若 AB=AC=10，BC=12，当 Z\DEF 的面积等于 /ABC 的面积的4时，求线段EF 的长. 3.如图，点仔在线段《上，点D 、F 在M 同侧，"=? =妙，他丄砒， AD = SC (1)求证：胆"D+CA (2 )若37, CE"，点P 为线段丄&上的动点，连接DP ,作M3尸，交 直线占E 相似三角形证明方法之一线三等角 △ BP0A CEQ a 的代数式表示) AC 于F ，连EF ，求证: 相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析 一、相似三角形 (1)三角形相似的条件： ① ；② ；③ . 二、两个三角形相似的六种图形： 只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决. 三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路： 1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例； 找另一角 两角对应相等，两三角形相似 找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似 找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似 找另一角 两角对应相等，两三角形相似 找两边对应成比例 判定定理2 找顶角对应相等 判定定理1 找底角对应相等 判定定理1 找底和腰对应成比例 判定定理3 e)相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3 四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。 有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。 例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证: BA AC AF AE （判断“横定”还是“竖定”？ ） a)已知一对等 b)己知两边对应成比c)己知一个直 d)有等腰关 相似三角形判定定理的证明一、教学目标 1．知识目标： ①了解相似三角形判定定理 ②会证明相似三角形判定定理 2．能力目标： 掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力 二、教学过程分析 1.复习提问 相似三角形的判定方法有哪些？ 答：（1）两角对应相等，两三角形相似. （2）三边对应成比例,两三角形相似. （3）两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 2.探究学习，得出新知 探究1 如果∠A =∠A ′，∠B =∠B ′， 那么，△ABC ∽△ A′B′C′. 如何证明呢？ 应用1 已知：如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB. 学 解：∵∠ A= ∠ A,∠ABD=∠C, ∴△ABD ∽△ACB , ∴ AB : AC=AD : AB, ∴ AB2 = AD · AC. ∵ AD=2, AC=8, ∴ AB =4. 探究2 如果∠B =∠B 1 ， 那么，△ABC∽△A 1 B 1 C 1 . 应用2 已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD= 7 ，求AD的长. 1 1111 , AB BC k A B B C == 2 探究3 如果 那么，△ABC ∽△A ′B ′C ′. 应用3 画一画 任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k 倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同桌交流一下，看看是否有同样的结论. 3： 例题学习 例1. 弦AB 和CD 相交于⊙O 内一点P. 求证:PA ·PB=PC ·PD. ,AB BC AC A B B C A C =='''''' 第五讲：相似三角形证明的方法与技巧 A 字形，斜A 形，8字形（X 型），蝴蝶形，双垂直型, 旋转形 双垂直结论:射影定理：①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直 角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 ⑴△ACD ∽△CDB →AD:CD=CD:BD →CD2=AD ?BD ⑵△ACD ∽△ABC →AC:AB=AD:AC →AC2=AD ?AB ⑶△CDB ∽△ABC →BC:AC=BD:BC →BC2=BD ?AB 结论：⑵÷⑶得AC2:BC2=AD:BD ；结论：面积法得AB ?CD=AC ?BC →比例式 证明等积式(比例式)策略 1、直接法：找同一三角形两条边，变化：等号同侧两边同一三角形 三点定形法 2、间接法： ⑴3种代换 ①等线段代换； ②等比代换； ③等积代换； ⑵创造条件 ①添加平行线——创造“A ”字型、“8”字型 ②先证其它三角形相似——创造边、角条件 相似判定条件：两边成比夹角等、两角对应三边比 相似终极策略： 遇等积，化比例，同侧三点找相似； 四共线，无等边，射影平行用等比； 四共线，有等边，必有一条可转换；两共线，上下比，过端平行条件边。 彼相似，我角等，两边成比边代换。 （3）等比代换：若d c b a ,,,是四条线段，欲证d c b a =，可先证得f e b a =（f e ,是两条线段）然后证 d c f e =，这里把 f e 叫做中间比。 方法一：遇等积，化比例，同侧三点找相似 1．∠ABC=∠ADE ．求证：AB ·AE=AC ·AD 2.△ABC 中，AB=AC ，△DEF 是等边三角形，求证：BD?CN=BM?CE ． 3.等边三角形ABC 中，P 为BC 上任一点，AP 的垂直平分线交AB 、AC 于M 、N 两点。 求证：BP ?PC=BM ?CN E A B D E A B B A D E C 回顾相似三角形的判定方法总结： 1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS ） 3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS) 4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA) 5. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 模型一：反A 型： 如图，已知△ABC ，∠ADE =∠C ，若连CD 、BE ，进而能证明△ACD ∽△ABE (SAS) 试一试写出具体证明过程 模型二：反X 型： 如图，已知角∠BAO =∠CDO ，若连AD ，BC ，进而能证明△AOD ∽△BOC . 试一试写出具体证明过程 应用练习： 1. 已知△ABC 中，∠AEF=∠ACB ，求证：（1）AE AB AF AC ?=?（2）∠BEO=∠CFO ， ∠EBO=∠FCO （3）∠OEF=∠OBC ，∠OFE=∠OCB 相似三角形6大证明技巧 相似三角形证明方法之反A 型与反X 型 O F E C B A E D C B A O D C B A 2.已知在 △ABC 中 ,∠ABC =90°,AB =3,BC =4. 点 Q 是线段 AC 上的一个动点 , 过点 Q 作 AC 的垂线交线段 AB ( 如图 1) 或线段 AB 的延长线 ( 如图 2) 于点 P . (1)当点 P 在线段 AB 上时 , 求证： △APQ ∽ △ABC ； (2)当 △PQB 为等腰三角形时，求 AP 的长。 模型三：射影定理 如图已知△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：2AC AH AB =?，2BC BH BA =?，，2 H C H AH B =?，试一试写出具体证明过程 模型四：类射影 如图，已知2AB AC AD =?，求证：BD AB BC AC =，试一试写出具体证明过程 相似三角形证明方法之射影定理与类射影 C A B H A B C D 相似三角形证明方法 方法一：直接寻求相似三角形 只要根据题目给定的条件寻找出线段成比例，或者角相等利用判定定理直接找出来. 例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则 ∽ ∽ 。 例2、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线， 求证：△ABC ∽△BCD 方法二：利用中间线段代换 当要证明的结论中的一条线段与其他线段之间的关系难以确定时我们可以利用等线段代换，从而容易找到相应的关系。 例1、△ABC 中，在AC 上截取AD ，在CB 延长线上截取BE ，使AD=BE ，求证：DF ?AC=BC ?FE 例2：已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=900，M 是 BC 的中 点，DM ⊥BC 于点E ，交BA 的延长线于点D 。 求证：（1）MA 2=MD ?ME ；（2）MD ME AD AE =22 命题 1 如图，如果∠1=∠2，那么△ABD ∽△ACB ， A B C D E F G 12 3 4A B C D A B C D E M 12 A B C D E F K AB2=AD?AC。 命题2 如图，如果AB2=AD?AC，那么△ABD∽△ACB，∠1=∠2。 A B C D 1 例3：如图△ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E，交AB于F，求证：AE：ED=2AF：FB。 方法三： 证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法 欲证 AB BC BE BF =，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB和BC，三个字母找到一幕中BEF △的三个顶点．因此只需证ABC EBF △∽△． 2．纵向定型法 欲证 AB DE BC EF =，纵向观察，比例式左边的比AB和BC中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是DE和EF中的三个字母D E F ，，恰为DEF △的三个顶点．因此只需证ABC DEF △∽△． 3．中间比法 由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比． 比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。这类问题的典型模型是射影 相似三角形解题技巧及口诀 常见相似类型： A 字形，斜A 字形，8字形、斜8字形（或称X 型），双垂直（母子型），,旋转形 【双垂直结论，即直角三角形射影定理】： 【1】直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项； 【2】 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 （1）ACD ∽△CDB →AD:CD=CD:BD →CD 2=AD ?BD ⑵ △ACD ∽△ABC →AC:AB=AD:AC →AC 2=AD ?AB （3）CDB ∽△ABC →BC:AC=BD:BC →BC 2=BD ?AB 结论：⑵÷⑶得AC 2:BC 2=AD:BD 结论：面积法得AB ?CD=AC ?BC →比例式 【证明等积式(比例式)策略】: 1、直接法：找同一三角形两条边 变化：等号同侧两边同一三角形， 三点定形法 2、间接法： 对线段比例式或等积式的证明：常用等线段替换法、中间比过渡法、面积法等．若比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比“转移”(必要时需添辅助线)，使其分别构成两个相似三角形来证明． ⑴3种代换 ①等线段代换； ②等比代换； ③等积代换； ⑵创造条件 ①添加平行线——创造“A ”字型、“8”字型 ②先证其它三角形相似——创造边、角条件 相似判定条件：两边成比夹角等、两角对应三边比 【口诀】： 遇等积，化比例，同侧三点找相似；四共线，无等边，射影平行用等比； 四共线，有等边，必有一条可转换； 两共线，上下比，过端平行条件边； 彼相似，我角等，两边成比边代换。 或： 遇等积，改等比，横看竖看找关系；遇等积，化比例：横找竖找定相似； 不相似，不用急：等线等比来代替；三点定形用相似，三点共线取平截； 平行线，转比例，等线等比来代替； ?遇等积，改等比，横看竖看找关系 ①△ABC 中，AB=AC ，△DEF 是等边三角形，求证：BD?CN=BM?CE ． ②等边三角形ABC 中，P 为BC 上任一点，AP 的垂直平分线交AB 、AC 于M 、N 两 点。求证：BP ?PC=BM ?CN B C A D E 《相似三角形判定定理的证明》基于标准的教学设计教材来源：义务教育教科书《数学》/北师大版 课时：第一课时 授课对象：九年级学生 设计者：张金辉/荥阳市城关乡初级中学 王娟 /荥阳市城关乡初级中学 目标2：通过活动2，能综合应用相似三角形判定定理以及性质解决相关问题。合作交流（学生活动2） （4人小组合作交流） 1.已知：如图，在△ABC 中，D 是 AC 上 一点，∠ CBD 的平分线交 AC 于点E，且 AE = AB 求证：AE2= AD · AC． (1)要证明结论中的等积式，一般将等积式转化成比例式。 (2)要证明比例式往往从（平行线分线段成比例）和（相似三 角形对应边成比例入手）。 (3)结合几何图形我们从后者入手，结合比例式找相似三角 形？ (4)发现找不到怎么办？（将条件中的等线段进行代换） 教师设置问题梯度分解证明思路: (1)从已知条件中我们能得到那些结论？ (2)根据结论我们选择哪个定理进行证明？ (3)具体的步骤有哪些？ 每小组组长说出 证明思路，组员 展示证明过程。 7成达标。 独立完成证明过 程。小组长负责 批改组员。并帮 助学困生完善证 明过程。 学生合作交流时教师积极观察各小组 的交流，主动参与个别组的讨论并及 时指导。教师巡视各小组并适时给予 点拨，并帮助完善。对交流中思考积 极的学生进行表扬，展示部分小组的 成果。对优秀小组的组长及成员大力 表扬。 学生展示这四个问题时要抓住这几个 问题的关键点。 教师点拨关键点：1.等积式转化成比 例式2.比例式中的等线段代换3.“三 点定形”确定相似三角形 教师观注学困生，点拨学困生，帮助 完善。教师批改小组长的作业，对优 秀小组的组长及成员表扬。 2．已知：如图， BC AE AB DE AC AD = =． 求证：AB = AE. 相似三角形证明技巧 姓名：____________ 一、相似、全等的关系 全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础． 二、相似三角形 (1)三角形相似的条件： ① ；② ；③ . 三、两个三角形相似的六种图形： 只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决. 四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路： 1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例； 找另一角 两角对应相等，两三角形相似 找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似 找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似 找另一角 两角对应相等，两三角形相似 找两边对应成比例 判定定理1或判定定理4 找顶角对应相等 判定定理1 找底角对应相等 判定定理1 找底和腰对应成比例 判定定理3 e)相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3 五、确定证明的切入点。几何证明题的证明方法主要有三个方面。第一，从“已知”入手，通过推理论证，得出“求证”；第二，从“求证”入手，通过分析，不断寻求“证据”的支撑，一直追溯回到“已知”；第三，从“已知”及“求证”两方面入手，通过分析找到中间“桥梁”，使之成为清晰的思维过程。 六、证明题常用方法归纳： （一）、总体思路:“等积”变“比例”，“比例”找“相似” （二）、证比例式和等积式的方法： 对线段比例式或等积式的证明：常用“三点定形法”、等线段替换法、中间比过渡法、面积法等．若比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比“转移”(必要时需添辅助线)，使其分别构成两个相似三角形来证明． a)已知一对等角 b)己知两边对应成比例 c)己知一个直角 d)有等腰关系2019年中考几何相似三角形怎么证明
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