湖北省襄阳市老河口市高级中学2014-2015学年高二（下）期末
数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共10题，每题5分，共计50分）
1．（2013秋?赣州期末）下列命题正确的个数是（）
①已知复数z=i（1﹣i），z在复平面内对应的点位于第四象限；
②若x，y是实数，则“x2≠y2”的充要条件是“x≠y或x≠﹣y”；
③命题P：“?x0∈R，﹣x0﹣1＞0”的否定￢P：“?x∈R，x2﹣x﹣1≤0”．
A． 3 B． 2 C． 1 D． 0
考点：命题的真假判断与应用．
专题：综合题．
分析：①中，化简复数z，判定z在复平面内对应的点位于第几象限即可；
②中，由“x2≠y2”等价于“x≠y且x≠﹣y”，判定命题②是否正确；
③中，命题P的否定是￢P，判定命题是否正确即可．
解答：解：对于①，复数z=i（1﹣i）=1+i，∴z在复平面内对应的点位于第一象限，∴命题①错误；
对于②，x，y是实数，当“x≠y且x≠﹣y”时，“x2≠y2”；反之，当“x2≠y2”时，“x≠y且x≠﹣y”；∴命题②错误；
对于③，命题P：“?x0∈R，﹣x0﹣1＞0”的否定是￢P：“?x∈R，x2﹣x﹣1≤0”，是真命题，
∴命题③正确．
以上正确的命题是③；
故选：C．
点评：本题通过命题真假的判定，考查了复数的有关概念，充分与必要条件的判定，命题与命题的否定等问题，解题时应对每一个命题进行分析，作出正确的选择．
2．（2014?安徽）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
考点：充要条件．
专题：计算题；简易逻辑．
分析：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
解答：解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；
∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，
∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．
故选：B．
点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．
3．（2012?宁波模拟）设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，
离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2=（）
A．B．C．D．
考点：双曲线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：利用双曲线的定义等腰直角三角形的性质可得|AF1|﹣|AF2|=2a，|BF1|﹣|BF2|=2a，
|BF1|=|AF2|+|BF2|，再利用等腰直角三角形的性质、勾股定理即可得出．
解答：解：如图所示，
∵|AF1|﹣|AF2|=2a，|BF1|﹣|BF2|=2a，
|BF1|=|AF2|+|BF2|，
∴|AF2|=2a，|AF1|=4a．
∴，
∴|BF2|=．
∵=，
∴（2c）2=，
∴e2=5﹣2．
故选：C．
点评：本题考查了双曲线的定义等腰直角三角形的性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
4．（2009?山东）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（）
A．y2=±4x B．y2=4x C．y2=±8x D．y2=8x
考点：抛物线的标准方程．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：先根据抛物线方程表示出F的坐标，进而根据点斜式表示出直线l的方程，求得A 的坐标，进而利用三角形面积公式表示出三角形的面积建立等式取得a，则抛物线的方程可得．
解答：解：抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F坐标为，
则直线l的方程为，
它与y轴的交点为A，
所以△OAF的面积为，
解得a=±8．
所以抛物线方程为y2=±8x，
故选C．
点评：本题主要考查了抛物线的标准方程，点斜式求直线方程等．考查学生的数形结合的思想的运用和基础知识的灵活运用．
5．（2015春?老河口市校级期末）已知双曲线=1（a＞0）的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（）
A．y=x B．y=x C．y=x D．
y=x
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：通过双曲线=1（a＞0）的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，求出a，然后求解双曲线的渐近线方程即可．
解答：解：双曲线=1（a＞0）的实轴长2a、虚轴长：4、焦距长2，成等差数列，
所以：8=2a+2，解得a=．
双曲线=1的渐近线方程为：y=±x．
故选：D．
点评：本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线的渐近线方程，属于中档题．
6．（2015春?老河口市校级期末）命题p：函数y=lg（x+﹣3）在区间[2，+∞）上是增函
数；命题q：y=lg（x2﹣ax+4）函数的定义域为R，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：导数的综合应用；简易逻辑．
分析：先根据函数单调性和函数导数符号的关系，及对数式中真数大于0，一元二次不等式的解和判别式△的关系即可求出命题p，q下的a的范围，再根据充分条件，必要条件的概念判断p，q的关系即可．
解答：解：y′=；
∵函数y=lg（x+﹣3）在区间[2，+∞）上是增函数；
根据函数y=lg（x+﹣3）知，x+﹣3＞0；
∴x2﹣a≥0在[2，+∞）上恒成立，∴，即函数x+在[2，+∞）是增函数；
∴，∴a＞2；
由x2﹣a≥0在[2，+∞）上恒成立得a≤x2恒成立，∴a≤4；
∴2＜a≤4；
y=lg（x2﹣ax+4）函数的定义域为R，所以不等式x2﹣ax+4＞0的解集为R；
∴△=a2﹣16＜0，∴﹣4＜a＜4；
显然2＜a≤4是﹣4＜a＜4的既不充分又不必要条件；
∴p是q成立的既不充分也不必要条件．
故选D．
点评：考查函数单调性和函数导数符号的关系，根据单调性求最值，对数式中真数大于0，以及一元二次不等式的解和判别式△的关系．
7．（2014秋?肇庆期末）双曲线﹣=1的焦点坐标是（）
A．（0，﹣10），（0，10）B．（﹣10，0），（10，0）C．（﹣
2，0），（2，0）D．（0，﹣2），（0，2）
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：求出双曲线的a，b，再由c=，计算即可得到双曲线的焦点坐标．
解答：解：双曲线﹣=1的a=6，b=8，
则c==10，
则双曲线的焦点分别为（﹣10，0），（10，0）．
故选B．
点评：本题考查双曲线的方程和性质，掌握双曲线的a，b，c的关系是解题的关键．
8．（2014秋?宁城县期末）若对任意一点O和不共线的三点A、B、C有，
则x+y+z=1是四点P、A、B、C共面的（）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：简易逻辑．
分析：利用空间四点P、A、B、C共面的充要条件即可判断出．
解答：解：对任意一点O和不共线的三点A、B、C有，x+y+z=1?
四点P、A、B、C共面；
因此x+y+z=1是四点P、A、B、C共面的充要条件．
故选：C．
点评：本题考查了空间四点P、A、B、C共面的充要条件，属于基础题．9．（2015?龙岩一模）若命题p：?x0∈R，sinx0=1；命题q：?x∈R，x2+1＜0，则下列结论正
确的是（）
A．￢p为假命题B．￢q为假命题C．p∨q为假命题D．p∧q真命题
考点：复合命题的真假．
专题：简易逻辑．
分析：根据及x2≥0容易判断命题p，q的真假，然后根据￢p，￢q，p∨q，p∧q
的真假和p，q真假的关系即可判断各选项的正误，从而找到正确选项．
解答：解：时，sinx0=1；
∴?x0∈R，sinx0=1；
∴命题p是真命题；
由x2+1＜0得x2＜﹣1，显然不成立；
∴命题q是假命题；
∴￢p为假命题，￢q为真命题，p∨q为真命题，p∧q为假命题；
∴A正确．
故选A．
点评：考查对正弦函数的图象的掌握，弧度数是个实数，对?∈R满足x2≥0，命题￢p，p∨q，p∧q的真假和命题p，q真假的关系．
10．（2015?日照一模）已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线﹣y2=1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是（）
A．B．C．D．
考点：双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：求得抛物线的准线方程，再由抛物线的定义可得p=8，求出M的坐标，求得双曲线的左顶点和渐近线方程，再由斜率公式，结合两直线平行的条件：斜率相等，计算即可得到a的值．
解答：解：抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，
由抛物线的定义可得5=1+，可得p=8，
即有y2=16x，M（1，4），
双曲线﹣y2=1的左顶点为A（﹣，0），
渐近线方程为y=±x，
直线AM的斜率为，
由双曲线的一条渐近线与直线AM平行，
可得=，解得a=，
故选A．
点评：本题考查抛物线和双曲线的定义、方程和性质，主要考查抛物线的定义和渐近线方程，运用两直线平行的条件是解题的关键．
二、填空题（本大题共5题，每题5分，共计25分）
11．（2014秋?常州期末）曲线y=x﹣cosx在点（，）处的切线方程为2x﹣y﹣=0．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：计算题；导数的概念及应用；直线与圆．
分析：求出函数的导数，求得切线的斜率，再由点斜式方程即可得到所求切线方程．
解答：解：y=x﹣cosx的导数为y′=1+sinx，
即有在点（，）处的切线斜率为k=1+sin=2，
则曲线在点（，）处的切线方程为y﹣=2（x﹣），
即为2x﹣y﹣=0．
故答案为：2x﹣y﹣=0．
点评：本题考查导数的运用：求切线方程，掌握导数的几何意义和运用点斜式方程是解题的关键．
12．（2014秋?江西月考）曲线y=﹣5e x﹣3x在点（0，﹣5）处的切线方程为8x+y+5=0．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：计算题；导数的概念及应用．
分析：欲求在点P（0，﹣5）处的切线的方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
解答：解：∵y=﹣5e x﹣3x，
∴y′=﹣5e x﹣3，
∴曲线y=﹣5e x﹣3x在点P（0，﹣5）处的切线的斜率为：k=﹣8，
∴曲线y=﹣5e x﹣3x在点（0，﹣5）处的切线的方程为8x+y+5=0．
故答案为：8x+y+5=0．
点评：本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、直线方程的应用等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想．属于基础题．
13．（2015?碑林区校级一模）下列说法中，正确的有①（把所有正确的序号都填上）．①“?x∈R，使2x＞3”的否定是“?x∈R，使2x≤3”；
②函数y=sin（2x+）sin（﹣2x）的最小正周期是π；
③命题“函数f（x）在x=x0处有极值，则f′（x）=0”的否命题是真命题；
④函数f（x）=2x﹣x2的零点有2个．
考点：命题的真假判断与应用．
专题：简易逻辑．
分析：写出原命题的否定，可判断①；利用诱导公式和倍角公式化简函数的解析式，进而求出周期可判断②；写出原命题的否命题，可判断③；确定函数f（x）=2x﹣x2的零点个数，可判断④．
解答：解：对于①“?x∈R，使2x＞3“的否定是“?x∈R，使2x≤3”，满足特称命题的否定是全称命题的形式，所以①正确；
对于②，函数y=sin（2x+）sin（﹣2x）=sin（4x+），函数的最小正周期T==，所以②不正确；
对于③，命题“函数f（x）在x=x0处有极值，则f'（x0）=0”的否命题是：若函数f（x）在x=x0处没极值，f'（x0）≠0，则显然不正确．例如f（x）=x3，x=0不是函数的极值点，但x=0时，导数为0，所以③不正确；
对于④，由题意可知：要研究函数f（x）=x2﹣2x的零点个数，只需研究函数y=2x，y=x2的图象交点个数即可．画出函数y=2x，y=x2的图象，
由图象可得有3个交点．所以④不正确；
故正确的命题只有：①，
故答案为：①
点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了特称命题的否定，函数的周期性，取最值的条件，函数零点等知识点，难度中档．
14．（2015春?老河口市校级期末）已知函数y=3x3+2x2﹣1在区间（m，0）上为减函数，则
m的取值范围是．
考点：利用导数研究函数的单调性；二次函数的性质．
专题：计算题．
分析：先求函数y=3x3+2x2﹣1的导函数y′，再解不等式y′＜0，得函数的单调减区间，最后由（m，0）?（﹣，0）即可得m的取值范围
解答：解：依题意，y′=9x2+4x，由y′＜0得9x2+4x＜0
解得﹣＜x＜0，
∴函数y=3x3+2x2﹣1的单调减区间为（﹣，0）
∴（m，0）?（﹣，0）
∴
故答案为
点评：本题考察了利用导数求函数单调区间的方法，解题时要认真求导，熟练的解不等式，辨清集合间的关系
15．（2013?西城区二模）已知命题p：函数y=（c﹣1）x+1在R上单调递增；命题q：不等式x2﹣x+c≤0的解集是?．若p且q为真命题，则实数c的取值范围是（1，+∞）．
考点：复合命题的真假．
专题：计算题．
分析：由函数y=（c﹣1）x+1在R上单调递增可得c﹣1＞0可求p为真时c的范围，由不等式x2﹣x+c≤0的解集是?可得△=1﹣4c＜0可求q为真时c的范围，然后由p且q为真命题，则p，q都为真命题，可求
解答：解：∵函数y=（c﹣1）x+1在R上单调递增
∴c﹣1＞0即p：c＞1；
∵不等式x2﹣x+c≤0的解集是?
△=1﹣4c＜0
∴c即q：c
若p且q为真命题，则p，q都为真命题
∴，即c＞1
故答案为：（1，+∞）
点评：本题主要考查了复合命题真假关系的应用，解题的个关键是命题p，q为真是对应c 的范围的确定
三、解答题（75分）
16．（2015春?老河口市校级期末）如图：平面直角坐标系中p（x，y）（y≠0）为一动点，A （﹣1，0），B（2，0）∠PBA=2∠PAB．
（1）求动点P轨迹E的方程；
（2）过E上任意一P（x0，y0）向（x+1）2+y2=1作两条切线PF、PR，且PF、PR交y轴于M、N，求MN长度的取值范围．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）由题意可得tan∠PBA=，tan∠PAB=，再根据
tan∠PBA=tan2∠PAB=，化简可得点P的轨迹方程．
（2）设PF斜率为k1，PR斜率为k2，求得PF和PR的方程，可得|MN|=（k1﹣k2）x0|，再
根据直线和圆相切的性质，k1、k2为=1的两个实数解，即（+2x0）k2﹣2y0（x0+1）k+﹣1=0，利用韦达定理可得k1+k2和k1?k2，可得
|MN|2==，再利用导数判断它的单调性，由单调性求出|MN|的范围．
解答：解：（1）由题意可得tan∠PBA=﹣K PB=，tan∠PAB=K PA=，
再根据∠PBA=2∠PAB，可得tan∠PBA=tan2∠PAB=，
即=，化简可得3x2﹣y2=3，即x2﹣=1 （x＞1）．
（2）设PF斜率为k1，PR斜率为k2，
则PF：y﹣y0=k1（x﹣x0），PR：y﹣y0=k2（x﹣x0），
令x=0，可得y M=y0﹣k1x0，y N=y0﹣k2x0，∴|MN|=（k1﹣k2）x0|，
由PF和圆相切得：=1，PR和圆相切得：=1，
故：k1、k2为=1的两个实数解，
故有：（+2x0）k2﹣2y0（x0+1）k+﹣1=0，利用韦达定理可得k1+k2=，k1?k2=．
|MN|2=[﹣4k1?k2]=[﹣4k1?k2]=，又∵﹣=1，∴|MN|2=，
设g（x0）=，则g′（x0）=（x0＞1），故g（x）在（1，+∞）上是增函数．
当x0趋于1时，g（x0）趋于；当x0趋于+∞时，g（x0）趋于16，故|MN|2∈（，16），故|MN|的范围为（，4）．
点评：本题主要考查直线的斜率公式，求动点的轨迹方程，直线和圆锥曲线的位置关系，利用导数研究函数的单调性，属于难题．
17．（2014秋?丰台区期末）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（﹣2，0），离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线l过点A，过O作l的平行线交椭圆C于P，Q两点，如果以PQ为直径的圆与直线l相切，求l的方程．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（Ⅰ）利用椭圆的焦点在x轴上，a=2，=，计算即得结论；
（Ⅱ）通过设直线l的方程，利用以PQ为直径的圆与直线l相切，即|PQ|与原点O到直线
l的距离相等，计算即可．
解答：解：（Ⅰ）依题意，椭圆的焦点在x轴上，
∵a=2，=，
∴c=，b2=a2﹣c2=，
∴椭圆的方程为：+=1；
（Ⅱ）依题意，直线l的斜率显然存在且不为0，设l的斜率为k，
则可设直线l的方程为：y=k（x+2），
则原点O到直线l的距离d=．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立，消去y整理得：（1+3k2）x2=4，
可得P（，），Q（﹣，﹣），
∵以PQ为直径的圆与直线l相切，
∴|PQ|=d，即|OP|=d，
∴（）2+（）2=（）2，
解得：k=±1，
∴直线l的方程为x﹣y+2=0或x+y+2=0．
点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
18．（2012?宁夏模拟）已知为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，点N（x0，y0）（y0＞0）为其上一点，点M与点N关于x轴对称，直线l与抛物线交于异于M，N的A，B两点，且．
（I）求抛物线方程和N点坐标；
（II）判断直线l中，是否存在使得△MAB面积最小的直线l'，若存在，求出直线l'的方程和△MAB面积的最小值；若不存在，说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质．
专题：综合题；压轴题．
分析：（Ⅰ）由题意知：p=1，x0=2，y02=4，y0＞0，得y0=2，由此能求出抛物线方程和N点坐标．
（Ⅱ）由题意知直线的斜率不为0，设直线l的方程为x=ty+b（t∈R），联立方程得y2﹣2ty﹣2b=0，设两个交点，由
，得b=2t+3，由此能求出当t=
﹣2时S有最小值为，此时直线l'的方程为x+2y+1=0．
解答：解：（Ⅰ）由题意，
∴p=1，
所以抛物线方程为y2=2x．
，
x0=2，y02=4，
∵y0＞0，
∴y0=2，
∴N（2，2）．（4分）
（Ⅱ）由题意知直线的斜率不为0，
设直线l的方程为x=ty+b（t∈R）
联立方程得y2﹣2ty﹣2b=0，
设两个交点（y1≠±2，y2≠±2）
∴，…（6分）
，
整理得b=2t+3…（8分）
此时△=4（t2+4t+6）＞0恒成立，
由此直线l的方程可化为x﹣3=t（y+2），
从而直线l过定点E（3，﹣2）…（9分）
因为M（2，﹣2），
所以M、E所在直线平行x轴
三角形MAB面积=，…（11分）
所以当t=﹣2时S有最小值为，
此时直线l'的方程为x+2y+1=0…（12分）
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．
19．（12分）（2012?贵州三模）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，
短轴两个端点为A，B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若C，D分别是椭圆长轴的左右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．求证：为定值．
考点：椭圆的标准方程；平面向量数量积的运算；椭圆的应用．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）利用椭圆的几何性质求出a、b的值，从而写出标准方程．
（2）设M（2，y0），写出直线CM的方程，并把它代入椭圆的方程，可求P的坐标，进而得到向量OM、OP的坐标，计算这2个向量坐标的数量积，得出定值．
解答：解：（1）∵左右焦点分别为F1，F2，短轴两个端点为A，B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形，
∴a=2，b=c，a2=b2+c2，∴b2=2，∴椭圆方程为．（4分）
（2）C（﹣2，0），D（2，0），设M（2，y0），P（x1，y1），
则．
直线CM：y﹣0=（x+2），即．（6分）
代入椭圆x2+2y2=4，得，故次方程的两个根分别为﹣2和x1，（8分）
由韦达定理可得x1﹣2=，∴，∴．
∴，（10分）
∴+==4 （定值）．（12分）
点评：本题考查椭圆的标准方程的求法、2个向量的数量积公式的应用，及一元二次方程根与系数的关系，属于中档题．
20．（13分）（2011?江西校级模拟）已知函数f（x）=（a﹣3b+9）ln（x+3）++（b﹣3）
x．
（1）当a＞0且a≠1，f′（1）=0时，试用含a的式子表示b，并讨论f（x）的单调区间；（2）若f′（x）有零点，f′（3）≤，且对函数定义域内一切满足|x|≥2的实数x有f′（x）≥0．
①求f（x）的表达式；
②当x∈（﹣3，2）时，求函数y=f（x）的图象与函数y=f′（x）的图象的交点坐标．
考点：利用导数研究函数的单调性；函数的单调性与导数的关系．
专题：计算题；压轴题．
分析：（1）此题考查的是函数的单调性和导数知识的综合问题．在解答时应首先考虑函数的定义域优先原则求出定义域，然后对函数求导，由导函数小于或小于零，即可获得解答．
（2）①由（1）及又由|x|≥2（x＞﹣3）有f'（x）≥0知f'（x）
的零点在[﹣2，2]内，设g（x）=x2+bx+a，建立关于a，b的不等关系，结合（i）解得a，b．从而写出f（x）的表达式；
②又设φ（x）=f（x）﹣f'（x），先求φ（x）与x轴在（﹣3，2）的交点，再利用导数研究其单调性，得出φ（x）与x轴有唯一交点（﹣2，0），即f（x）与f'（x）的图象在区间（﹣3，2）上的唯一交点坐标为（﹣2，16）为所求．
解答：解：（1）（x＞﹣3）…（2分）
由f'（1）=0?b=﹣a﹣1，故0＜a＜1时
由f'（x）＞0得f（x）的单调增区间是（﹣3，a），（1，+∞）
由f'（x）＜0得f（x）单调减区间是（a，1）
同理a＞1时，f（x）的单调增区间（﹣3，1），（a，+∞），单调减区间为（1，a）…（5分）（2）①由（1）及（i）
又由|x|≥2（x＞﹣3）有f'（x）≥0知f'（x）的零点在[﹣2，2]内，设g（x）=x2+bx+a，
则，
由b2﹣4a≥0结合（i），解得b=﹣4，a=4…（8分）
∴…（9分）
②又设φ（x）=f（x）﹣f'（x），先求φ（x）与x轴在（﹣3，2）的交点
∵，由﹣3＜x＜2得0＜（x+3）2＜25
故φ'（x）＞0，φ（x）在（﹣3，2）单调递增
又φ（﹣2）=16﹣16=0，故φ（x）与x轴有唯一交点（﹣2，0）
即f（x）与f'（x）的图象在区间（﹣3，2）上的唯一交点坐标为（﹣2，16）为所求…（13分）
点评：此题考查的是函数的单调性和导数知识的综合问题．在解答过程当中充分体现了定义于优先的原则、求导的思想、问题转化的思想．值得同学们体会反思．
21．（12分）（2011?衢州模拟）已知函数f（x）=2lnx﹣x2．
（Ⅰ）求函数y=f（x）在上的最大值．
（Ⅱ）如果函数g（x）=f（x）﹣ax的图象与x轴交于两点A（x1，0）、B（x2，0），且0＜x1＜x2．y=g′（x）是
y=g（x）的导函数，若正常数p，q满足p+q=1，q≥p．求证：g′（px1+qx2）＜0．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系．
专题：压轴题；解题方法．
分析：（Ⅰ）由题意得f′（x）=0在x=1有唯一的极值点f（2）=2ln2﹣4，f（x）极大值=f（1）=﹣1，所以最大值为f（1）=﹣1
（Ⅱ）由题意得所以只要证明
=＜0即可，只需证
u（x）=即可，由题得u′（t）＞0所以u（t）在t∈（0，1）上为增函数．
解答：解：（Ⅰ）由f（x）=2lnx﹣x2得到：，
∵，故f′（x）=0在x=1有唯一的极值点，，f（2）=2ln2﹣4，f（x）极大值=f（1）=﹣1，
且知，所以最大值为f（1）=﹣1．
（Ⅱ）∵，又f（x）﹣ax=0有两个不等的实根x1，x2，
则，两式相减得到：
于是
=
∵2p≤1，x2＞x1＞0，∴（2p﹣1）（x2﹣x1）≤0
要证：g′（px1+qx2）＜0，只需证：
只需证：①
令，只需证：在0＜t＜1*u上恒成立，
又∵
∵，则，∴，于是由t＜1可知t﹣1＜0，
故知u′（t）＞0∴u（t）在t∈（0，1）*u上为增函数，
则u（t）＜u（1）=0，从而知，即①成立，从而原不等式成立．
点评：此题主要考查利用导数函数的最值与函数的单调性，利用导数求出函数的最值从而进一步证明不等式的恒成立问题，利用导数证明不等式恒成立是高考的一个重点内容．