第二章习题解答参考
习 题 2-1
1．设()=8f x x ，试按定义求(1)f '． 解 ()()
()00
11818
(1)=lim
lim
8x x f x f x f x
x
?→?→+?-+?-'==??．
2．设2()=f x ax bx c ++，其中,,a b c 为常数.按定义求()f x '． 解 ()()()
=lim
x f x x f x f x x
?→+?-'?
()()()
2
2
lim
x a x x b x x c ax bx c x
?→+?++?+-++=?
()2
2lim
2x ax x a x b x
ax b
x
?→?+?+?==+?．
3．证明 (sin )=cos x x '． 证 设()sin f x x =，
则()()()sin sin 2cos sin 22
x x
f x x f x x x x x ???
?+?-=+?-=+
???
()()()002cos sin 22lim lim
x x x x x f x x f x f x x x
?→?→???
?+ ?+?-?
?'==??
0sin
2lim cos cos 22x x
x x x x ?→????=+?= ???
?，
所以 (sin )=cos x x '．
4．下列说法可否作为()f x 在0x 可导的定义？ （1）000
()()
lim
h f x h f x h h
→+--存在；
解 不能．因为从极限式中不能判断()0f x 存在，也不能判断
000
()()
lim
h f x h f x h
→+-存在．
例如()f x x =在0x =点不可导，但0
(0)(0)
lim lim
h h h h f h f h h
h
→→--+--==却存在．
（2）000
()()
lim
h f x h f x h
+
→+-和000
()()
lim
h f x h f x h
+
→---存在且相等；
解 可以．因为()
0000
()()
lim
h f x h f x f x h
+
+→+-'=，
()
000000
()()
()()
lim lim h h f x h f x f x h f x f x h
h
+
-
-→-→----'==--，根据导数存在的充要
条件，可知()0f x '存在．
5．求下列函数的导数：
（1）5y x =； （2
）y =
； （3
）y x =；
（4）13
log y x = ； （5
）2y =
（6）lg y x =．
解 （1）51455y x x -'==；
（2
）13
2211
2y x x --'??'==-=- ???；
（3
）2215
7
7222277y x x x '??'=== ???
；
（4）111ln 3
ln
3
y x x '=
=-
；
（5
）251
5
2326
616y x x x +--''???
?'==== ? ?????
； （6）1ln 10
y x '=
．
6．已知物体的运动规律为3s t =(米)，求这物体在2t =(秒)时的速度． 解 因为3s t =，2
3ds v t
dt =
=，所以2t =时，()223212v =?=．
7．如果()f x 为偶函数，且(0)f '存在，证明(0)=0f '．
证 因为()()
0(0)=lim x f x f f x
?→?-'?，而()f x 为偶函数，故()()f x f x -?=?，
所以()()
()()
00(0)lim
lim (0)x x f x f f x f f f x
x
?→?→-?--?-''==-
=-?-?，
所以(0)=0f '．
8．抛物线2y x =在哪一点的切线平行于直线45y x =-？在哪一点的切线垂直于直线2650x y -+=？
解 由2y x =，可得2y x '=，若切点为()200,x x ，则依题设024x =，即02x =时，切线平行于直线45y x =-；01
213x ?=-，即032
x =-
时，切线垂直于直线
2650x y -+=；
所以抛物线2y x =在点()2,4的切线平行于直线45y x =-？在点39,24??
- ??
?
的
切线垂直于直线2650x y -+=．
9．在抛物线2y x =上取横坐标为11x =及23x =的两点，作过这两点的割线，问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？
解 由题设可知2y x '=，所取的两点为()1,1，()3,9，连接两点的直线斜率为4k =，依题设，应有24x =，即2x =，所以所求点为()2,4．
10.如果()y f x =在点()4,3处的切线过点()0,2，求()4f '． 解 依题设，曲线在点()4,3处的切线为()()344y f x '-=-， 满足()()23404f '-=-，从而()144
f '=
．
11．讨论下列函数在0x =处的连续性与可导性：
（1
）y =
（2）2
1sin ,0,0,0.
x x y x
x ?≠?
=??=?
解（1
）因为()0
lim 00x y →==
，所以y =
在0x =点连续，
而
2
3
1
lim
lim
x x x
x →→==+∞
，所以y =
0x =点不可导；
（2）因为()201lim sin 00x x y x →==，所以2
1sin ,0,0,
0.
x x y x
x ?≠?
=??=?
在0x =点连续，
又 2
01
sin
1lim
lim sin 0x x x x x x x →→==，所以2
1sin ,0,0,
0.
x x y x x ?≠?=
??=?
在0x =点可导．
12．设sin ,0
()=,0x x f x ax b x
+≥?在0x =处可导，求,a b 的值．
解 因为sin ,
()=,0
x x f x ax b x
+≥?在0x =处可导，
所以()0
lim ()0x f x f →=，且()()00f f -+''=，
又0
lim ()0x f x -
→=，0
lim ()x f x b +
→=，()0f b =，故0b =，()00f =，
从而()()()
0sin 0lim
lim 1x x f x f x f x
x
-
-
-→→-'===，
()()()
00lim lim x x f x f ax f a x
x
+
+
+→→-'===，所以1a =．
13．已知2,0
(),0
x x f x x x ?≥=?-
解 因为2,0(),0
x x f x x x ?≥=?-
00()0(0)lim lim 0x x f x f x
f x x +++→→-'===，
()
()0(0)lim lim 1x x f x f x f x
x
-
-
-→→--'===-，所以(0)f '不存在．
14．设函数33,0
()=,0x x f x x x ?≥?-
，求()f x '．
解 当0x >时，2()3f x x '=，当0x <时，2()3f x x '=-， 当0x =时，()()
3
0(0)lim
lim 0x x f x f x
f x x +
+
+→→-'===，
()()
3
0(0)lim lim 0x x f x f x f x
x
-
-
-→→--'===，所以(0)0f '=，
所以 22
3,0
()=3,0
x x f x x x ?≥'?-
15．设所给的函数可导，证明：
（1）奇函数的导函数是偶函数；偶函数的导函数是奇函数； （2）周期函数的导函数仍是周期函数． 证 （1）设()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-， 而()()()
lim
h f x h f x f x h
→+-'=，
()()()
()()
lim
lim
h h f x h f x f x h f x f x h h
→→-+----+'-==
()()
0lim
h f x h f x h
→--=-()()
()0
lim
h f x h f x f x h
→--'==-，
所以()f x '为偶函数；
相似地，若()f x 为偶函数，则()()f x f x -=，于是
()()()
()()
00
lim
lim
h h f x h f x f x h f x f x h
h
→→-+----'-==
()()
()0
lim
h f x h f x f x h
→--'=-=--，所以()f x '为奇函数．
（2）设()f x 为周期函数，则存在T ，使()()f x T f x +=，则
()()()
lim
h f x T h f x T
f x T h
→++-+'+=()()
()0
lim
h f x h f x f x h
→+-'==，
所以()f x '也是以T 为周期的周期函数．
16．设有一根细棒，取棒的一端作为原点，棒上任意点的坐标为x ．于是分布在区间[0,]x 上细棒的质量m 是x 的函数()m m x =．应怎样确定细棒在点0x 处的线密度（对于均匀细棒来说，单位长度细棒的质量叫这细棒的线密度）?
解 设在0x 处的线密度为()0x ρ，给0x 以x ?的增量， 则在区间00[,]x x x +?上细棒的平均线密度为()()
00m x x m x x
+?-?，
故()()()
()00000
lim
x m x x m x x m x x
ρ?→+?-'==?．
17．证明：双曲线2xy a =上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于22a ．
证 由2
xy a =可得2
,0a
y x x =≠，于是2
2,0a
y x x '=-≠，若切点为2
00,a x x ??
??
?，
则该点处的切线为()2
202
a
a
y x x x x -
=-
-，它与两坐标轴的交点分别为()02,0x ，
2020,a x ?? ??
?，所以所求三角形的面积为2
2
00
12222a S x a x =??
=． 18．设函数()f x 在0x =处可导，试讨论函数|()|f x 在0x =处的可导性． 解 因为函数()f x 在0x =处可导，所以()
()0
()0lim
0x f x f f x
→-'=存在，
而()()
()0lim
x x f x f f x x
=→-'
=，故
（1）若(0)0f =，由()
()0
()0l i m
0x f x f f x
→-'=可知：()()0f x f x
α'=+，其中
l i m 0x α→=，从而()()0f x x f α'=+????，
此时()
()()0
0lim
lim
0x x x x f x f x f x
x
αα=→→'+????
'
'==?+，
因此|()|f x 在0x =点的左导数为()0f '-，右导数为()0f '， 所以|()|f x 在0x =处可导的充要条件是()00f '=；
（2）若(0)0f ≠，设(0)0f >，则()0
lim ()00x f x f →=>，由保号性定理，0δ?>，
当()0,x U δ∈时，()0f x >， 此时有()
()
()
()0
()0()0lim
lim
0x x x f x f f x f f x f x
x
=→→--'
'===，相似地，
若(0)0f <，则()0
lim ()00x f x f →=<，由保号性定理，0δ?>，当()0,x U δ∈时，
()0f x <，此时有()
()
()()0
0()0()0lim
lim 0x x x f x f f x f f x f x
x
=→→---????'
'===-； 总之，若()f x 在0x =处可导，则当(0)0f ≠时，|()|f x 在0x =处可导；当
(0)0f =时，|()|f x 在0
x =处可导的充要条件是()00f '=．
习 题 2-2
1．求下列函数的导数： （1）3cos2y x =；
（2）4sin(31)y t =-；
（3）32e 4cos2x y x =+； （4）5(1)y x =+；
（5）43e 1x y -=+； （6
）y =；
（7）1ln y x x
=
； （8）23(1)(1)y x x x =++-； （9）3
e sin x
y x x =；
（10）32
2ln 3ln x x y x x
+=
+．
解（1）()()()()3sin 223sin 226sin 2y x x x x ''=?-=-?=-； （2）()4cos(31)3112cos(31)y t t t ''=-?-=-；
（3）()()()()332e 34sin 226e 8sin 2x x y x x x x '''=+-=-； （4）()445(1)15(1)y x x x ''=++=+； （5）()443e 4012e x x y x --''=-+=-；
（6
）
1y x
'=
=
+；
（7）()()
()()
2
22
1
ln ln ln 1
ln ln ln x x x x x x y x x x x x x +?'+'=-
=-
=-；
（8）()()3222221(1)(1)3(1)(1)522y x x x x x x x x '=+-+++?-=-++； （9）()23323e sin e sin e cos e 3sin sin cos x x x x y x x x x x x x x x x x x '=++=++；
（10）()()()
()()
2234
2
2
2
2
2
23
33ln 2ln 294ln 323ln 3ln x x x x x x x x x x x x
x x y x x x x ????++-++ ? ?-+-+????
'=
=
++
2．证明：（1）2(cot )csc x x '=-； （2） (csc )csc cot x x x '=- ．
证 （1）2
2
cos sin sin cos cos (cot )csc sin sin x
x x x x x x x
x '-?-???'===-
???
； （2）2
1cos 1cos (csc )csc cot sin sin sin sin x x x x x x x x x '??
'==-=-?=- ???
． 3．证明：（1
）1(arccos )x '=-
； （2）2
1(arccot )1x x
'=-
+．
证 （1）设arccos y x =，则其反函数为cos x y =，,22y ππ??
∈-???
?，
由于sin x y '=-，
由反函数求导法则，(
)1arccos sin x y
'=-
=-
=-
；
（2）设arc cot y x =，则其反函数为cot x y =，()0,y π∈， 由于2csc x y '=-，
由反函数求导法则，()2
2
2
111arccos csc 1cot 1x y
y
x
'=-
=-
=-
++．
4．求下列函数在给定点处的导数：
（1）2cos 3sin y x x =-，求π4
x y ='； （2）2
233
x
y x =
+
-，求(2)f '．
解 （1）因为2sin 3cos y x x '=--
，所以π4
ππ2sin
3cos 4
4
2
x y ='=--=-
； （2）因为()
()
()
2
2
2122
23
3
33x x y x x ?-'=-
+
=
+
--，所以()
2
2
2
22103
3
32x y =?'
=
+
=
-．
5．写出曲线122y x x
=-
与x 轴交点处的切线方程．
解 令0y =，得曲线1
22y x x =-与x 轴交点为1,02?? ???和1,02??
- ???
，
而2
1
22y x '=+
，所以142y ??
'±= ???
， 所以所求切线有两条，方程分别为42y x =+，42y x =-．
6．求下列函数的导数： （1）25(23)y x =+；
（2）2sin (52)y x =-；
（3）2
321
e x
x y -++=；
（4）2sin ()y x =； （5）2cos y x =；
（6
）y =
（7）()arctan x y e =； （8）2(arccos )y x =； （9）ln sin y x =；
（10）3log (1)a y x =+．
解 （1）242245(23)(23)20(23)y x x x x ''=?+?+=+； （2）222cos(52)(52)4cos(52)y x x x x ''=-?-=--； （3）()()2
2
321
2
321
e 32162e
x
x x x y x x x -++-++'
'=?-++=-+；
（4）222cos()()2cos()y x x x x ''=?=；
（5）()()2cos cos 2cos sin sin 2y x x x x x ''==-=-； （6
）(
)2
2
y a x
''=
-=
=-
；
（7）()
()
2
21e
e 1e
1e
x x
x
x
y '
'=
=
++；
（8
）2(arccos )(arccos )2(arccos )y x x x ?
?''==-
=- ?
（9）()1cos sin cot sin sin x y x x x
x
'
'=
=
=；
（10）2
3
3
3
1
3(1)(1)ln (1)ln x
y x x a
x a
''=
+=
++．
7．求下列函数的导数：
（1）arccos (12)y x =-； （2）1arcsin y x
=；
（3）1ln 1ln x y x
-=
+； （4
）ln (y x =+；
（5）sin cos n y x nx =?； （6
）y =；
（7
）e y =
（8）[]ln ln (ln )y x =；
（9
）y =
（10）1
arccot tan
2
2x y ??
= ???
．
解 （1
）
2)y x ''=-
-=
=
；
（
2
）211y x x '??
'=
=-=-????；
（3）()()()
()2
2
111ln 1ln 21ln 1ln x x x
x y x x x -
+--'=
=-
++；
（4
）
y x '
'=
+==
；
（5）()()()1sin sin cos sin sin n n y n x x nx x nx nx -'''=?+-
()1
sin
cos cos sin sin n n x x nx x nx -=?-()1sin cos 1n n x n x -=+????；
（6
）1sin 21sin 2x y x '-??'=
?+??
()()()
2
2cos 21sin 21sin 22cos 21sin 2x x x x
x -+--=
+
2cos 21sin 2x x -=
+()
2cos 2cos 21sin 2x x x =-
+；
（7
）(
1e
e
e
1y x
'
'
'===
+；
（8）()()()11
1
1
ln (ln )ln ln (ln )
ln (ln )ln ln ln (ln )
y x x x x x
x x x '''==
?
=
；
（9）
y
'
=
=
+
=
=
；
（10）
21
1
tan 2
211tan 2
2x y x '
??
'=-
???
??+ ?
??2
2
4
1
sec 2224tan 2x x x '??=- ????
?+ ?
?
? 2
2
2sec
1
2
13cos 4tan 22x x x =-
=-
??
?
?++ ?
?
??
?
?．
8．设1cos ,
0()ln (1)cos ,
x x f x x x x x -
+-≥?，求()f x '．
解 当0x ≠时，
sin ,0()1
cos sin ,01x x f x x x x x x
'=?-+>?
+?，
当0x =时，2
02sin
sin 1cos 0
22(0)lim lim
lim sin 02
2
x x x x
x
x x f x x
x -
-
-
-→→→--'===?
=，
()()1
ln 1cos 0
(0)lim lim ln 1cos ln 10x x x x x x f x x e x
+
++→→+--?
?
'==+-=-=???
?
， 所以()00f '=，从而
sin ,
0()1
cos sin ,01x x f x x x x x x
'=?-+≥?
+?．
9．求函数cos (sin )x y x =的导函数． 解法1 因为cos cos ln sin (sin )x x x y x e ==， 所以()()
cos cos ln sin cos cos ln sin sin sin ln sin cos sin x
x x x y e x x x x x x x ?
?''=?=-+ ?
?
?
()
2
cos cos sin sin ln sin sin x
x x x x x ??=-+ ??
?．
解法2 对数求导法，由cos (sin )x y x =，得ln cos ln (sin )y x x =， 两边同时对x 求导，得
cos sin ln sin cos sin y x x x x
y
x
'=-+，
所以()
2
cos cos sin sin ln sin sin x
x y x x x x ??'=-+ ???
．
10．设()sin f x x =，3()x x ?=，求[()]f x ?'，[()]f x ?'，{[()]}f x ?'．
解 因为()sin f x x =，3()x x ?=，所以()cos f x x '=，2()3x x ?'=， 所以()()22[()]3sin 3f x f x x ?'==，
[]()3
[()]cos ()cos f x x x ??'==，
()()()()33323
{[()]}sin cos 3cos f x x x x x x ?''??'===??
. 11．设()f x '存在，求下列函数的导数： （1）(cos )n f x ； （2）cos [()]n f x ．
解 （1）[]()11
(cos )(cos )(cos )(cos )(cos )cos n n n f x nf x f x nf x f x x --''''??==??
1
sin (cos )(cos )n n xf
x f x -'=-；
（2）{}{}{}()11cos [()]cos [()]cos [()]cos [()]sin [()]n n n f x n f x f x n f x f x f x --'''==-
()1
sin [()]cos
[()]n n f x f x f x -'=-??．
12. 求曲线()22sin sin f x x x =+所有具有水平切线的点． 解 因为()2cos 2sin cos f x x x x '=+，
令()0f x '=，得()cos 1sin 0x x +=，于是cos 0x =，或sin 1x =-， 推得 ,2x k k Z
π
π=+
∈，或32,2
x k k Z
ππ=+
∈，
所以所求的点为2,32k π
π?
?
+
??
?
，32,12k π
π??
+
- ??
?
，其中k Z ∈．
习 题 2-3
1．求下列函数的二阶导数： （1）35e x y -= ；
（2）e sin t y t -= ； （3）2sin ln y x x = ；
（4）tan y x = ；
（5）ln(y x =+ ； （6）2(1)arctan y x x =+ ． 解 （1）353e x y -'=，359e x y -''=；
（2）()e sin e cos e cos sin t t t y t t t t ---'=-+=- ，
()()e
cos sin e sin cos 2e cos t
t t y t t t t t ---''=--+--=-；
（3）()2
2
1sin 2sin cos ln sin ln sin 2x y x x x x x x x
x
'=+?
=?+
，
()()2
2
sin 22sin cos sin ln 2cos 2x x x x x
y x x x
x
?-''=
+?+
()
()2
2
2sin 2sin 2cos 2ln x x x x x
x
=
+?-
；
（4）2sec y x '=，22sec sec tan 2sec tan y x x x x x ''=??=?； （5
）1y ??'=
+= ?，
()
32
2
1
422
y x x -''=-
+?=-
；
（6）2arctan 1y x x '=+，22arctan 1x
y x x ?
?
''=+
?
+?
?
． 2．3e x y x = ，求(5)(0)y ． 解 设3u x =，x v e =，
则23u x '=，6u x ''=，6u '''=，()0,4n u n =?≥；(),n x v e n N +=?∈， 代入莱布尼兹公式，得 ()()()()5445(5)510105y u v u v u v u v u v uv ''''''''''''=+++++
2
3
10610653x
x
x
x
e xe x e x e
=?+?+?+，
所以 (5)(0)60y =．
3．22e x y x =，求(20)y ． 解 设2u x =，2x v e =，
则2u x '=，2u ''=，()0,3n u n =?≥；()22,n n x v e n N +=?∈，
代入莱布尼兹公式，得 ()()
20
(20)
20
0n k k k k y
C
u
v
-==
∑()
()
()
1819202
1
202020C u v
C u v
C uv
'''=++
18
21
19
20
2
202202019022222x
x
x
e
C x e
C x e
=??+?+?()20
22
29520x
e
x x =++．
4．试从
d 1d x y
y =
'
导出：（1）
2
2
3
d d ()
x y y
y ''=-
'；（2）
3
2
3
5
d 3()d ()
x y y y y
y ''''''
-=
'．
解 因为
d 1d x y
y =
'
，所以
()()2
232
d 111d x
d d dx y y y dy y dx y dy y y y ''''
????==?=-?=- ? ?'''''????， ()()3
333
d d x
d y d y dx
y dy dx dy y y ????''
''=-=-? ? ? ? ?''???
?
()()()()()
3
2
2
65
331y y y y y y y y y y y '''''''''''''''-?-=-?='''．
5．证明：函数12e e x x y C C λλ-=+（12,,C C λ是常数）满足关系式20y y λ''-=． 解 因为12e e x x y C C λλ-=+，
所以()1212e e e e x x x x y C C C C λλλλλλλλ--'=+-=-，2212e e x x y C C λλλλ-''=+， 所以()22221212e e e e 0x x x x y y C C C C λλλλλλλλ--''-=+-+=． 6. 求常数λ的值，使得函数x y e λ=满足方程560y y y '''+-=．
解 因为x y e λ=，所以x y e λλ'=，2x y e λλ''=，代入方程560y y y '''+-=， 得()2560x e λλλ+-=，因为0,x e x R λ≠?∈，所以2560λλ+-=， 解得16λ=-，21λ=．
7. 设()()sin f x x a =+，()sin cos g x b x c x =+，求常数,b c 的值，使得
()()00f g =，且()()00f g ''=.
解 因为()()sin f x x a =+，()sin cos g x b x c x =+， 所以()()cos f x x a '=+，()cos sin g x b x c x '=-,
所以由()()00f g =，()()00f g ''=，可得sin c a =，且cos b a =． 8．求下列函数的n 阶导数．
（1）12121n n n n n y x a x a x a x a ---=+++++ （12,,n a a a 是常数）； （2）e x y x =； （3）2sin y x =； （4）2
156
y x x =
-+．
解 （1）()()12312112n n n n y nx n a x n a x a ----'=+-+-++ ，
()()()()()2
3
4
12211223n n n n y n n x
n n a x
n n a x
a ----''=-+--+--++ ，
根据幂函数的导数公式特点：每求导一次，幂函数降一次幂，故()!n y n =． （2）()e e e 1x x x y x x '=+=+，()()e 1e e 2x x x y x x ''=++=+，
()()e
2e e
3x
x
x
y x x '''=++=+，由此可见，每求一次导数，增加一个e x ，
所以()()e n x y x n =+，n N +?∈； （3）()
()21cos 211sin cos 22
22
x y x x -==
=-，
()2sin cos sin 2cos 22y x x x x π?
?'===-+ ??
?，
()2cos 22cos 222y x x π?
?''==-+? ???，
()22
2sin 22cos 232y x x π??'''=-=-+??? ???
?
?， ()
()433
2cos 22cos 242y
x x π??=-=-+??? ???
?
?，
所以()12cos 22n n y x n π-??
=-+? ??
?，n N
+
?∈．
（4）因为 2
11156
3
2
y x x x x =
=
-
-+--，
而()2133x x -'??=-- ?-??，()()()311233x x -''??
=--- ?-??， ()()()()4112333x x -'''??
=---- ?
-??
， 可见，()
()()()()()
1
112333n n n x x --??
=----- ?
-?? ()()
1
1!3n n n x --=--，
同理，()
()()()()()
()()
1
1
112321!22n n n n n x n x x ----??
=-----=-- ?
-??
，
所以()
()()()
()
()()1
1
11111!321!32n n n n
n n n y n x x n x x ----++??
??=----=--
??
?
?--?
?
．
习 题 2-4
1．求由下列方程所确定的隐函数的导数d d y x
：
（1）e 0xy x y +-=；
（2）22320x y xy y -+=；
（3）e ln sin 2xy y x x +=； （4=
（0a >的常数）
． 解 （1）将方程两边同时对x 求导，得
1e
0xy
dy dy y x dx dx ?
?+
-+= ??
?，变形得：e 11e xy
xy
dy y dx x -=-；
（2）将方程两边同时对x 求导，得
22222230dy dy dy
xy x y x y y dx dx dx ????+-+?+= ? ?
????
， 变形整理得：
2
2
2
4223dy xy y
dx
x xy y
-+=
-+；
（3）将方程两边同时对x 求导，得 e ln 2cos 2xy dy dy y y x x x dx dx x ????
+++= ? ??
???
，
变形整理得：
2
2cos 2e
ln e
xy
xy
dy x x y xy dx
x x x --=
+；
（4）将方程两边同时对x 求导，得110
dy +
=，
变形整理得：
()0dy x dx
=>．
2．求曲线2520x y xy +-=在点(1,1)处的切线方程． 解 将方程两边同时对x 求导，得：42520dy
dy x y y x dx dx ?
?+-+= ??
?， 将1x =，1y =代入，解得：
()
1,10dy dx
=，
所以曲线在点(1,1)处的切线方程为：1y =．
3．已知sin cos()0y x x y -+=，求隐函数()y y x =在点π0,2?
?
??
?的导数值．
解 将方程两边同时对x 求导，得：
sin cos sin()10dy dy x y x x y dx dx ????++++= ? ????
?，
将0x =，2
y π
=
代入，解得：
0,212
dy dx
ππ
??
???
=--
．
4．求下列方程所确定的隐函数的二阶导数2
2
d d y x
．
（1）tan()y x y =+；
（2）1e y y x =+；
（3）ln y y x y =+； （4
）arctan ln
y x =.
解 （1）将方程两边同时对x 求导，得：2
sec ()1dy
dy x y dx dx ??=++ ??
?， 解得
2
csc ()dy x y dx
=-+，
再求导，得：
()2
2
2csc()csc()cot 1d y dy x y x y x y dx
dx ?
?=-+-+++??
?????
， 将2
csc ()dy x y dx
=-+代入，整理得：
()2
23
2
2csc ()cot
d y x y x y dx
=-++；
（2）将方程两边同时对x 求导，得：
e e
y y
dy dy x dx
dx
=+，
解得：
e
1e
y
y
dy dx
x =
-，再求导，得：
()()
2
2
2
e 1e e e e 1e y
y
y
y y y
dy
dy x x dx
dx d y dx
x ????---+
????
???=
-，
将
e
1e
y
y
dy dx
x =
-代入，整理化简得：
()()
()
()222
3
3
2
e
2e e 321e y
y
y
y
x y d y dx
y x --==--； （3）将方程两边同时对x 求导，得：
ln 1dy dy dy y dx
dx
dx
+
=+
，
解得：
1ln dy dx y
=
，再求导，得：
()
2
2
2
1ln dy
d y y dx
dx
y =-
，
将
1
ln dy dx
y
=
代入，整理化简得：
()
23
2
1
ln d y dx
y y =-
；
（4）将方程两边同时对x 求导，得：
2
2
2
2
22112
1dy
dy x y x y dx
dx
x
x y
y x -+?=
?+??+ ?
??
，
解得：dy x y dx x y +=-，再求导，得：()()()
2
2211dy dy x y x y d y dx dx dx x y ????+--+- ? ?????=-， 将
dy x y dx
x y
+=
-代入，整理化简得：
()
()
2
2
2
3
2
2x y
d y dx
x y +=
-.
5．用对数求导法求下列函数的导数： （1）cos (sin )x y x =； （2）(tan 2)x y x =；
（3）
1x
x y x ??
= ?
+??
；
（4
）(2y x =-
解 （1）两边取自然对数，得：ln cos ln(sin )y x x =， 两边同时对x 求导，得：()1cos sin ln sin cos sin dy x x x x y dx
x
=-+?
,
整理化简得：
()cos (sin )
sin ln sin cos cot x
dy x x x x x dx
=-+?????
；
（2）两边取自然对数，得：ln ln(tan 2)y x x =， 两边同时对x 求导，得：
()2
sec
22
1ln(tan 2)tan 2x dy x x y dx
x
?=+?
，
整理化简得：
4(tan 2)ln(tan 2)sin 4x dy
x x x dx x ?
?=+????
；
（3）两边取自然对数，得：()ln ln ln ln 11x
y x x x x x ?
?
==-+?? ???
+??
，
两边同时对x 求导，得：
()11
1ln ln 11dy
x x x y dx x x ??=-++-?? ???+??
整理化简得：1ln 111x
dy
x x dx x x x ???
?=+ ???+++????
； （4）两边取自然对数，得：()111ln ln(21)ln ln(31)ln 12
4
8
y x x x x =-++
++
-，
两边同时对x 求导，得：
()
1213121
24(31)
81dy y dx
x x
x x =
+
+
+
-+-，
整理化简得：
()2131
(22124(31)81dy
x dx x x x x ?=-+++?-+-?
6．求下列参数方程所确定的函数的导数d d y x
：
（1）cos sin sin cos x a bt b at y a bt b at =+??=-?（,a b 为常数）； （2）22
2
21(1)
1at x t
a t y t ?
=??+?-?=?+?
（a 为常数）． 解 （1）因为()()sin cos dx ab bt ab at dt
=-+，
()()
cos sin dy ab bt ab at dt
=+，
所以
()()()()()()()()cos sin cos sin d d sin cos sin cos ab bt ab at bt at y x
ab bt ab at bt at ++=
=
-+-+；
（2）因为
()()
()
()
2
222
2
2
21222111a t
at t
a t
dx dt
t t +-?-=
=
++，
()()
()
2
2
2
2
2
2
21(1)2411at t
a t t
dy at
dt
t t -+--?-=
=
++
所以
2
2
d 22d 11
y t t x
t
t =-
=
--．
7．求曲线2e 1
(2)e
t
t
x t y t t --?=+??
=-??在0t =处的切线方程与法线方程．
解 因为e
e t
t
dx t dt
--=-，()222e
(2)e
t
t
dy t t t dt
--=---，
所以
2
21dy t dx
t
+=
-，
2t dy dx
==，又0
1,0t t x
y
====
故所求切线为：()21y x =-，法线为：()1
12
y x =--．
8．已知曲线
2e 2e
t x t m t n y p ?=++?
?=-??在0t =时过原点，且在该点处的切线与2350x y +-=平行，求常数,,m n p
．
解 因为
2dx t m
dt
=+，
e
t
dy p dt
=，故
e
2t
dy p dx
t m
=
+，
由题设可知：0
0t x
n ===，0
2e 0t y
p ==-=，
23
t dy p dx
m
==
=-
，
所以所求常数为：0n =，2e p =，3e m =-． 注：此题的书后答案有误．
9．求下列参数方程所确定的函数的二阶导数
2
2
d d y x
：
（1）23
1x t y t t
?=-?
?
=-??； （2）e cos e sin t t
x t
y t
?=?=?； （3）()2
ln 1arctan x t y t t
?=+??=-??； （4）()()()
x f t y tf t f t '=??
'=-?（()f t ''存在且不为零）．
解 （1）因为
2dx t
dt
=-，
2
13dy t
dt
=-，所以
2
1313222
dy t t dx
t
t
-=
=-
+
-，
于是
2
2
22
3
1
3
1313222224d y d t dt t t dx
dt t dx t t
+
+??=-+?==- ?-??； （2）因为e cos e sin t
t
dx t t dt
=-，
e sin e cos t t
dy t t
dt
=+，
所以
e sin e cos sin cos e cos e sin cos sin t
t
t
t
dy t t t t dx
t t
t t
++=
=
--，于是
()()()
2
2
2
22cos sin sin cos sin cos 1
cos sin e cos e sin cos sin t t
t t t t d y d t t dt dx
dt t t dx t t t t -+++??==? ?--??-
()
3
2
e
cos sin t
t t =-；
（3）因为
2
21dx t dt
t
=
+，
2
111dy dt
t
=-
+，所以
2
211122
1dy t t
t
dx
t
-+=
=
+，
于是
2
2
2
2
1
12241d y t t dx
t
t
+=
=
+；
（4）因为
()dx f t dt
''=，
()()()()dy f t tf t f t tf t dt
''''''=+-=，所以
d y t
d x
=，
2.1 一元线性回归模型有哪些基本假定？ 答：1. 解释变量 1x , ,2x ,p x 是非随机变量，观测值,1i x ,,2 i x ip x 是常数。 2. 等方差及不相关的假定条件为 ? ? ? ? ? ? ??????≠=====j i n j i j i n i E j i i ,0),,2,1,(,),cov(,,2,1, 0)(2 σεεε 这个条件称为高斯-马尔柯夫(Gauss-Markov)条件，简称G-M 条件。在此条件下，便可以得到关于回归系数的最小二乘估计及误差项方差2σ估计的一些重要性质，如回归系数的最小二乘估计是回归系数的最小方差线性无偏估计等。 3. 正态分布的假定条件为 ???=相互独立 n i n i N εεεσε,,,,,2,1),,0(~212 在此条件下便可得到关于回归系数的最小二乘估计及2σ估计的进一步结果，如它们分别是回归系数的最及2σ的最小方差无偏估计等，并且可以作回归的显著性检验及区间估计。 4. 通常为了便于数学上的处理，还要求,p n >及样本容量的个数要多于解释变量的个数。 在整个回归分析中，线性回归的统计模型最为重要。一方面是因为线性回归的应用最广泛；另一方面是只有在回归模型为线性的假设下，才能的到比较深入和一般的结果；再就是有许多非线性的回归模型可以通过适当的转化变为线性回归问题进行处理。因此，线性回归模型的理论和应用是本书研究的重点。 1. 如何根据样本),,2,1)(;,,,(21n i y x x x i ip i i =求出p ββββ,,,,210 及方差2σ的估计; 2. 对回归方程及回归系数的种种假设进行检验； 3. 如何根据回归方程进行预测和控制，以及如何进行实际问题的结构分析。 2.2 考虑过原点的线性回归模型 n i x y i i i ,,2,1,1 =+=εβ误差n εεε,,,21 仍满足基本假定。求1β的最小二 乘估计。 答：∑∑==-=-=n i n i i i i x y y E y Q 1 1 2112 1)())(()(ββ
第二章 一、选择题. 1. 函数1y x =+在0x =处 （ ） A 、无定义 B 、不连续 C 、可导 D 、连续但不可导 2. 设函数221,0(), 0x x f x x x +
7. (arctan 2)d x =________，[]ln(sin 2)d x =__________. 8. 函数32()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a =______. 9．设需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(p p q -=，则需求弹性E p =__________. 三、判断题. 1. 若()f x 在点0x 处可导，则()f x 在点0x 处连续. （ ） 2. dy 是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线纵坐标对应于x ?的改变量. （ ） 3. 函数()y f x =在0x 点处可微的充要条件是函数在0x 点可导. （ ） 4. 极值点一定是驻点. （ ） 5. 函数y x =在点0x =处连续且可导. （ ） 四、计算题. 1.求函数y =. 2. 求由方程0e e 2=+-+y x y x 所确定的隐函数()y f x =的导数y '. 3. 设e x y x =，求y '. 4. 求由方程cos()y x y =+所确定的隐函数()y f x =的二阶导数.y '' 五、求下列极限. （1）sin lim sin x x x x x →∞-+， （2）x x x x x x x --+-→4240sin 23lim ， （3）11lim 1ln x x x x →??- ?-? ?， (4）1lim(1)(0)x x a x a →∞->, （5）()10lim 1x x x →+, （6）1lim ()x x x x e →+∞+. 六、应用题. 1. 求函数32 ()391f x x x x =--+的单调性、极值与极值点、凹凸区间及拐点． 2.某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求量为100010q p =-（q 为需求量,p 为价格）．试求：(1）成本函数，收入函数；（2）产量为多少吨时利润最大？
《锅炉原理》习题库参考答案 第一章 基本概念 1. 锅炉容量：指锅炉的最大长期连续蒸发量，常以每小时所能供应蒸汽的吨数示。 2. 层燃炉：指具有炉箅（或称炉排），煤块或其它固体燃料主要在炉箅上的燃料层内燃烧。 3. 室燃炉：指燃料在炉膛空间悬浮燃烧的锅炉。 4. 旋风炉：指在一个以圆柱形旋风筒作为主要燃烧室的炉子，气流在筒内高速旋转，煤粉气流沿圆筒切向送入或由筒的一端旋转送入。较细的煤粉在旋风筒内悬浮燃烧，而较粗的煤粒则贴在筒壁上燃烧。筒内的高温和高速旋转气流使燃烧加速，并使灰渣熔化形成液态排渣。 5. 火炬―层燃炉：指用空气或机械播撒把煤块和煤粒抛入炉膛空间，然后落到炉箅上的燃烧方式的炉子。 6. 自然循环炉：指依靠工质自身密度差造成的重位压差作为循环推动力的锅炉。 7. 多次强制循环炉：指在循环回路中加装循环水泵作为主要的循环推动力的锅炉。 8. 直流锅炉：指工质一次通过蒸发受热面，即循环倍率等于一的锅炉。 9. 复合制循环炉：指在一台锅炉上既有自然循环或强制循环锅炉循环方式，又有直流锅炉循环方式的锅炉。 10. 连续运行小时数：指两次检修之间运行的小时数。 11. 事故率＝%100?+事故停用小时数 总运行小时数事故停用小时数； 12. 可用率＝ %100?+统计期间总时数备用总时数运行总时数； 13. 钢材使用率: 指锅炉每小时产生一吨蒸汽所用钢材的吨数。
一、基本概念 1. 元素分析：指全面测定煤中所含全部化学成分的分析。 2. 工业分析：指在一定的实验条件下的煤样，通过分析得出水分、挥发分、固定碳和 灰分这四种成分的质量百分数的过程。 3. 发热量：指单位质量的煤在完全燃烧时放出的全部热量。 4. 结渣：指燃料在炉内燃烧时，在高温的火焰中心，灰分一般处于熔化或软化状态， 具有粘性，这种粘性的熔化灰粒，如果接触到受热面管子或炉墙，就会粘结于其上，这就称为结渣。 5. 变形温度：指灰锥顶变圆或开始倾斜； 6. 软化温度：指灰锥弯至锥底或萎缩成球形； 7. 熔化温度：指锥体呈液体状态能沿平面流动。 二、问答题 1. 煤的元素分析成分有哪些？ 答：煤的元素分析成分包括：碳、氢、氧、氮、硫、灰分和水分。 2. 煤的工业分析成分有哪些？ 答：煤的元素分析成分包括：水分、挥发分、固定碳和灰分。 3. 挥发性物质包括一些什麽物质？ 答：挥发性物质主包括：各种碳氢化合物、氢、一氧化碳、硫化氢等可燃气体组成，此外，还有少量的氧、二氧化碳、氮等不可燃气体。
第二章作业参考答案 2-2 图示等截面混凝土的吊柱和立柱，已知横截面面积A 和长度a 、材料的重度ρg ，受力如图所示，其中F = 10 ρg Aa 。试按两种情况作轴力图，并求不考虑柱的自重和考虑柱的自重两种情况下各段横截面上的应力。 解：1. 不考虑柱的自重情况：根据吊柱或立柱的受力情况分别作它们的轴力图如下图所示， 则在此情况下，吊柱或立柱各截面上的应力分别为： （a ） N,10AB AB F ga A σρ= =、N,0BC BC F A σ= =， （a ） （b ） （c ） （a ） （b ） （c ） F 轴力图 ○ + 2F 轴力图 ○ + ○ － F 轴力图 3F 6F ○ －
（b ） N,20AB AB F ga A σρ= =-、N,20BC BC F ga A σρ= =， （c ） N,10AB AB F ga A σρ==-、N,30BC BC F ga A σρ==-、N,60CD CD F ga A σρ= =-； 2. 考虑柱的自重情况：根据吊柱或立柱的受力情况分别作它们的轴力图如下图所示， 因此，在此情况下，吊柱或立柱各截面上的应力分别为（以自由端作为起点）： (a) [)N,0,CB CB F gx x a A σρ= =∈、，其中：N,0C C F A σ= =、N,10B B F ga A σρ- -= =， ()(]N,110,2BA BA F a x g x a A σρ= =+∈、，其中：N,11B B F ga A σρ+ += =、N,13A A F ga A σρ= =； (b) ()[)N,200,2CB CB F a x gx x a A σρ= =+∈、，其中：N,20C C F ga A σρ= =、N,22B B F ga A σρ- -= =， ()(]N,180,2BA BA F a x g x a A σρ= =-+∈、，其中：N,18B B F ga A σρ+ +==-、 N,16A A F ga A σρ==-； (c) ()[)N,100,AB AB F a x g x a A σρ= =-+∈、，其中： N,10A A F ga A σρ==-、N,11B B F ga A σρ- -= =-， ()()N,310,BC BC F a x g x a A σρ= =-+∈、，其中：N,31B B F ga A σρ+ +==-、N,32C C F ga A σρ- -= =-， ()(]N,620,CD CD F a x g x a A σρ==-+∈、，其中：N,62C C F ga A σρ+ += =-、 N,63D D F ga A σρ==-。 （a ） （b ） （c ） 轴力图 gAa ρ○ + ○ － gAa ρ22gAa ρ ρgAa ρ gAa ρgAa ρ
锅炉专业考试题库 理论部分： —、填空题： 安全部分： 1.消防工作的方针是（预防为主），（防消结合）。 4.生产现场禁火区内进行动火作业，应同时执行(动火工作票制度)。 5.工作延期手续只能办理一次。如需再延期，应重新签发(工作票)，并注明(原因)。 8.安全电压额定值的等级为：（42）伏、（36）伏、（24）伏、（12）伏、（6）伏 10.工作票不准任意涂改。涂改后上面应由（签发人或工作许可人）签名或盖章，否则此工作票应无效。 11.许可进行工作前，应将一张工作票发给（工作负责人），另一张保存在（工作许可人处）。 12.全部工作结束后，工作人员退出工作地点，工作负责人和运 行班长或值长应在工作票上（签字注销）。注销的工作票应送交 所属单位的领导。工作票注销后应保存（三个月）。 13.工作如不能按计划期限完成，必须由工作负责人办理工作（延期手续）。 14.在没有脚手架或在没有栏杆的脚手架上工作，高度超过（1.5）
米时，必须使用安全带，或采取其他可靠的安全措施。 。较大的工具应用绳栓在牢固的构件高处作业应一律使用（工具袋）15. 上，不准随便乱放，以防止从高空坠落发生事故。 16.在进行高处工作时，除有关人员外，不准他人在工作地点的下面(通行或逗留)，工作地点下面应有(围栏或装设其他保护装置)，防止落物伤人。 钳工部分： 1、内径千分尺测量范围很有限，为扩大范围可采用（加接长杆）的方法。 2、水平仪的读数方法有（相对）读数法和（绝对）读数法。 3、工艺基准按其作用可分为（装配）基准、（测量）基准、（定位）基准、（工序）基准。 4、测量方法的总误差包括（系统）误差和（随机）误差。 5、划线作业可分两种即（平面划线）；（立体划线）。 6、锉刀的齿纹有（单齿纹）和（双齿纹）两种。 7、锉刀分（普通锉）；（特种锉）；（什锦锉) 三类。 8、通过锉削，使一个零件能放入另一个零件的孔或槽内，且松紧合乎要求，这项操作叫（锉配）。 9、钻孔时，工件固定不动，钻头要同时完成两个运动、。 11、麻花钻头主要由几部分构成（柄部）；（颈部）；（工作部分）。 12、用丝锥加工内螺纹称为（攻丝）用板牙套制外螺纹称为（套
化工原理练习题 五.计算题 1. 密度为1200kg.m的盐水，以25m3.h-1的流量流过内径为75mm的无缝钢管。两液面间的垂直距离为25m，钢管总长为120m，管件、阀门等的局部阻力为钢管阻力的25％。试求泵的轴功率。假设：（1）摩擦系数λ＝0.03；（2）泵的效率η＝0.6 1.答案***** Z1＋ｕ2/2ｇ＋P1/ρｇ＋He＝Z2＋ｕ2/2ｇ＋P2/ρg+∑H f Z＝0，Z＝25m，ｕ≈0，ｕ≈0，P＝P ∴H＝Z＋∑H＝25＋∑H ∑H＝（λ×ｌ/d×ｕ/2ｇ）×1.25 ｕ＝Ｖ/A＝25/（3600×0.785×（0.07 5）） ＝1.573m.s ∑H＝（0.03×120/0.075×1.573/（2×9.81）×1.25 ＝7.567m盐水柱 H＝25＋7.567＝32.567m N＝Q Hρ/102＝25×32.567×120 0/（3600×102） ＝2.66kw N轴＝N/η＝2.66/0.6＝4.43kw 2.(16分) 如图的输水系统。已知管内径为d=50mm, 在阀门全开时输送系统的Σ(l+le ) =50m,摩擦系数可取λ=0.03,泵的性能曲线,在流量为 6 m3.h-1至15 m3.h-1范围内可用下式描述: H=18.92-0.82Q2.，此处H为泵的扬程m,Q为泵的流量m3.h-1,问: (1)如要求流量为10 m3.h-1，单位质量的水所需外加功为多少? 单位重量的水所需外加功为多少?此泵能否完成任务? (2)如要求输送量减至8 m3.h-1 (通过关小阀门来达到)，泵的轴功率减少百分之多少?(设泵的效率变化忽略不计) 答案***** ⑴u=10/(3600×0.785×0.05)=1.415[m.s-1] Σhf =λ[Σ(l+le )/d](u2/2) =0.03×(50/0.05)(1.4152/2)=30.03 Pa/ρ+W=Pa/ρ+Z g+Σhf 1 - 2 W=Z2g+Σhf 1 - 2 =10×9.81+30.03=128.13 [J.kg] H需要=W/g=128.13/9.81=13.06[m] 而H泵=18.92-0.82(10)=13.746[m] H泵>H需故泵可用 ⑵N=H泵Q泵ρg/η ρg/η=常数 ∴N∝H泵Q泵N前∝13.746×10 H泵后=18.92-0.82(8)0 . 8 =14.59 N后∝14.59×8 N后/N前=14.59×8/(13.746×10)=0.849
高等数学第二章复习题 及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高等数学习题集及解答 第二章 一、 填空题 1、设()f x 在x a =可导，则0()() lim x f a x f a x x →+--= 。 2、设(3)2f '=，则0______________(3)(3) lim 2h f h f h →--= 。 3、设1 ()x f x e -=，则0 _____________(2)(2) lim h f h f h →--= 。 4、已知00cos (),()2,(0)1sin 2 x f x f x x x π '= =<<-，则0_______________________()f x = 。 5、已知2220x y y x +-=，则当经x ＝1、y ＝1时，_______________dy dx = 。 6、()x f x xe =，则_______________ (ln 2)f '''= 。 7、如果(0)y ax a =>是21y x =+的切线，则__________ a = 。 8、若()f x 为奇函数，0()1f x '=且，则0_________________ ()f x '-=。 9、()(1)(2) ()f x x x x x n =+++，则_________________ (0)f '= 。 10、ln(13)x y -=+，则____________________ y '=。 11、设0()1f x '=-，则0 ___________00lim (2)() x x f x x f x x →=---。 12、设tan x y y +=，则_________________________ dy =。 13 、设ln y =_______________(0)y '''=。 14、设函数()y f x =由方程42ln xy x y +=所确定，则曲线()y f x =在点（1，1）处的切线方程是 ______________________ 。 15、1cos 0()0 0x x f x x x λ ?≠?=??=?，其导数在0x =处连续，则λ的取值范围是 _______________________ 。
第二章力系的简化 2-1．通过A（3，0，0），B（0，4，5）两点（长度单位为米），且由A指向B的力F，在z轴上投影为，对z轴的矩的大小为。 答：F/2；62F/5。 2-2．已知力F的大小，角度φ和θ，以及长方体的边长a，b，c，则力F在轴z和y上的投影：Fz= ；Fy= ；F对轴x的矩 M x(F)= 。 答：Fz=F·sinφ；Fy=－F·cosφ·cosφ；Mx（F）=F（b·sinφ+c·cosφ·cosθ） 图2－40 图2－41 2-3．力F通过A（3，4、0），B（0，4，4）两点（长度单位为米），若F=100N，则该力在x轴上的投影为，对x轴的矩为。 答：－60N； 2-4．正三棱柱的底面为等腰三角形，已知OA=OB=a，在平面ABED内有沿对角线AE的一个力F，图中α=30°，则此力对各坐标轴之矩为： M x（F）= ；M Y（F）= ；M z（F）= 。 答：M x（F）=0，M y（F）=－Fa/2；M z（F）=6Fa/4 2-5．已知力F的大小为60（N），则力F对x轴的矩为；对z轴的矩为。 答：M x（F）=160 N·cm；M z（F）=100 N·cm
图2－42 图2－43 2-6．试求图示中力F 对O 点的矩。 解：a: M O (F)=F l sin α b: M O (F)=F l sin α c: M O (F)=F(l 1+l 3)sin α+ F l 2cos α d: ()22 21l l F F M o +=αsin 2-7．图示力F=1000N ，求对于z 轴的力矩M z 。 题2－7图 题2－8图 2-8．在图示平面力系中，已知：F 1=10N ，F 2=40N ，F 3=40N ，M=30N ·m 。试求其合力，并画在图上（图中长度单位为米）。 解：将力系向O 点简化 R X =F 2－F 1=30N R V =－F 3=－40N ∴R=50N 主矩：Mo=（F 1+F 2+F 3）·3+M=300N ·m 合力的作用线至O 点的矩离 d=Mo/R=6m 合力的方向：cos （R ，）=，cos （R ，）=－
锅炉专业考试题 一、填空题 1.过热蒸汽温度超出该压力下的（饱和）温度的（度数）称为过热度。 2.水冷壁的传热过程是：烟气对管外壁（辐射换热），管外壁向管内壁（导热），管内壁 与汽水之间进行（对流放热）。 3.锅炉受热面外表面积灰或结渣，会使管内介质与烟气热交换时的热量（减弱），因为灰渣的 （导热系数）小。 4.锅炉吹灰前应适当提高燃烧室（负压），并保持（燃烧）稳定。 5.冲洗水位计时应站在水位计的（侧面），打开阀门时应（缓慢小心）。 6.“虚假水位”现象是由于（负荷突变）造成（压力变化）引起锅水状态发生改变而引起 的。 7.强化锅炉燃烧时，应先增加（风）量，然后增加（燃料）量。 8.锅炉汽包水位三冲量自动调节系统，把（蒸汽流量）作为前馈信号，（给水流量）作为 反馈信号进行粗调，然后把（汽包水位）作为主信号进行校正。 9.循环倍率是指进入到水冷壁管的（循环水量）和在水冷壁中产生的（蒸气量）之比值。 10.锅炉排污分为（定期）排污和（连续）排污两种。 二、选择题 1.锅炉吹灰前，应将燃烧室负压（）并保持燃烧稳定。 （A）降低；（B）适当提高；（C）维持；（D）必须减小。答案:B 2.（）开启省煤器再循环门。 （A）停炉前；（B）熄火后；（C）锅炉停止上水后；（D）锅炉正常运行时。答案:C 3.锅炉正常停炉一般是指（）。 （A）计划检修停炉；（B）非计划检修停炉；（C）因事故停炉；（D）节日检修。答 案:A 4.当机组突然甩负荷时，汽包水位变化趋势是（）。 （A）下降；（B）先下降后上升；（C）上升；（D）先上升后下降。答案:B 5.在锅炉三冲量给水自动调节系统中，（）是主信号。 （A）汽包水位；（B）给水流量；（C）蒸汽流量；（D）给水压力。答案:A
第二章作业 2、画前驱图 4、程序并发执行时为什么会失去封闭性和可再现性？ 答： 程序在并发执行时，是多个程序共享系统中的各种资源，因而这些资源的状态将由多个程序分别来改变，致使程序的运行换去了封闭性，这样，某程序在执行时，必然会受到其它程序的影响。程序在并发执行时，由于失去了封闭性，也将导致其再失去可再现性。 8、试说明进程在三个基本状态之间转换的典型原因。 答： 16. 进程在运行时存在哪两种形式的制约？试举例说明之。 答：同步：直接的相互制约关系，例如A进程向B进程传递数据，B进程接收数据后继续下面的处理；互斥：间接的相互制约关系，例如进程共享打印机。 22、试写出相应的程序来描述P82图2-17所示的前驱图。 图(a)
int a1=0，a2=0，a3=0，a4=0，a5=0，a6=0；a7=0；a8=0； parbegin begin S1；V(a1)；V(a2)；end； begin P(a1)；S2；V(a3)；V(a4)；end； begin P(a2)；S3；V(a5)；end； begin P(a3)；S4；V(a6)；end； begin P(a4)；S5；V(a7)；end； begin P(a5)；S6；V(a8)；end； begin P(a6)；P(a7)；P(a8)；S7；end； parend 图(b) int a1=0，a2=0，a3=0，a4=0，a5=0，a6=0；a7=0；a8=0；a9=0；a10=0；parbegin begin S1；V(a1)；V(a2)；end； begin P(a1)；S2；V(a3)；V(a4)；end； begin P(a2)；S3；V(a5)；V(a6)；end； begin P(a3)；S4；V(a7)；end； begin P(a4)；S5；V(a8)；end； begin P(a5)；S6；V(a9)；end； begin P(a6)；S7；V(a10)；end； begin P(a7)；P(a8)；P(a9)；P(a10)；S8；end； parend 28、在测量控制系统中的数据采集任务，把所采集的数据送一单缓冲区；计算任务从该单缓冲中取出数据进行计算。试写出利用信号量机制实现两者共享单缓冲的同步算法。 答： int mutex=1；/*互斥信号量*/ int empty=n；/*空位同步信号量*/ int full=0；/*数据同步信号量*/ int in=0；/*写指针*/ int out=0；/*读指针*/ main( ) { cobegin /*以下两进程并发执行*/ send( )； obtain( )； coend } send( ) { while(1) { . .
高等数学（上）第二章练习题 一. 填空题 1． 设()f x 在0x x =处可导，且00x > ，则0lim x x →= 2． 设()f x 在x 处可导，则22 0()(2) lim 2h f x h f x h h →+--=______________ 3． 设0 ()10x ax x f x e x ?，则()f x 在1x =处【 】 A ．左、右导数都存在 B ． 左导数存在但右导数不存在 C ．右导数存在但左导数不存在 D ． 左、右导数都不存在 14．设32()3||f x x x x =+，使()(0)n f 存在的最高阶数n 为【 】 A ．0 B. 1 C ．2 D ． 3 15．设()f u 可导，而()()x f x y f e e =，则y '=【 】 A ．()[()()()]f x x x x e f x f e e f e ''+ B ． ()[()()()] f x x x e f x f e f e ''+ C ．()()()()f x x f x x e f e e f e ''+ D ． ()()()() x f x x f x x e e f e e f e ''+ 16．函数23()(2)||f x x x x x =+--不可导点的个数是【 】 A ．3 B. 2 C ．1 D ． 0
第二章燃料与燃烧计算 一、名词解释 1、发热量：单位质量的燃料在完全燃烧时所放出的热量。 2、高位发热量：1kg燃料完全燃烧后所产生的热量，包括燃料燃烧时所生成的水蒸气的汽化潜热。 3、低位发热量：高位发热量中扣除全部水蒸气的汽化潜热后的发热量。 4、标准煤：规定收到基低位发热量Qnet，ar =29308kJ/kg的煤。 6、煤的挥发分：失去水分的干燥煤样置于隔绝空气的环境下加热至一定温度时，煤中的有机物分 解而析出的气态物质的百分数含量。 7、油的闪点：油气与空气的混合物与明火接触发生短暂的闪光时对应的油温。 、不完全燃烧：指燃料的燃烧产物中还含有某些可燃物质的燃烧。 10、理论空气量：1kg收到基燃料完全燃烧，而又无过剩氧存在时所需的空气量。 11、过量空气系数：实际供给的空气量与理论空气量的比值。 12、理论烟气量：供给燃料以理论空气量，燃料达到完全燃烧，烟气中只含有二氧化碳、二氧化 硫、水蒸气及氮气四中气体时烟气所具有的体积 13、烟气焓：1kg固体、液体燃料或标准状态下1m3气体燃料燃烧生成的烟气在等压下从0℃加热 到某一温度所需的热量。 二、填空 1、煤的元素分析法测定煤的组成成分有碳、氢、氧、氮、硫、灰分、水分，其中碳、氢、硫是可燃成分，硫是有害成分。 2、煤的工业分析成分有水分、挥发分、固定碳和灰分。 3、表征灰的熔融特性的四个特征温度为变形温度、软化温度、半球温度和流动温度。 4、煤的炭化程度越深，其挥发分含量越少，着火温度越高，点火与燃烧就越困难。
5、煤的成分分析基准常用的有收到基、空气干燥基、干燥基和干燥无灰基。 6、理论水蒸气体积，包括燃料中氢完全燃烧生成的水蒸气、燃料中水分受热蒸发形成的 水蒸气、理论空气量带入的水蒸气三部分。 7、随同理论空气量V k 0带进烟气中的水蒸气体积为V k0 m3/kg。 8、烟气成分一般用烟气中某种气体的所占干烟气总体积的体积百分数含量来表示。 9、完全燃烧方程式为(1+β)RO2+O2=21 ，它表明当燃料完全燃烧时，烟气中含氧量与三原子气体量之间的关系，当α=1时，其式变为(1+β)RO2max=21 。 14、算α的两个近似公式分别为、。两式的使用条件是CO=0 、干烟气含有的氮气接近79%(N2=79%/N ar可忽略) 、β很小。 三、选择 1、在下列煤的成分中，能用干燥无灰基表示的成分有。(1)(2)(3)(5) （1）碳（2）氧（3）挥发分（4）灰分（5）固定碳 2、煤的收到基低位发热量大小与煤中下列成分有关。(1)(2)(4)(5)(6) （1）C ar （2）O ar （3）N ar （4）H ar （5）S ar （6）M ar 3、煤被一场大雨淋湿后，煤的高位发热量。(2) （1）升高（2）降低（3）不变 4、煤被一场大雨淋湿后，煤的干燥基碳的百分含量。(3) （1）升高（2）降低（3）不变 5、下列各煤种中，对锅炉的安全工作危害最大的是。 (3) A、Q net，ar =31320kJ/kg，S ar=% B、Q net，ar =29310kJ/kg，S ar=% C、Q net，ar =25435kJ/kg，S ar=% 6、煤的元素分析成分中收到基碳是。(4) （1）固定碳（2）焦碳（3）碳化物中的碳 （4）由固定碳和碳化物中的碳组成 7、理论空气量的大小是由元素所决定的。(1)(5)(4)(6)（1）C（2）M（3）A（4）O（5）H（6）S（7）N
第一章作业参考解答 1.6 设总体X 服从正态()2N μσ，，1X ，2X ，…，n X 为其子样，X 与2S 分别为子样均值及方差。又设1n X +与1X ，2X ，…，n X 独立同分布，试求统计量Y 解：由于1n X +和X 是独立的正态变量， ∴2~X N n σμ?? ??? ，，()21~n X N μσ+，，且它们相互独立. ()()()110n n E X X E X E X μμ++-=-=-=. ()()()2111n n n D X X D X D X n σ+++-=+= . 则211~0n n X X N n σ++??- ?? ?， . ()01N ，. 而()222~1nS n χσ-，且22nS σ与1n X X +-相互独立， 则()1T t n -. 1.7 设()~T t n ，求证()2~1T F n ，. 证明：又t 分布的定义可知，若()~01U N ， ，()2~V n χ，且U 与V 相互独立，则 ()T t n ，这时，2 2U T V n =，其中，()22~1U χ. 由F 分布的定义可知，()22 ~1U T F n V n =，. 1.9 设1X ，2X ，…，1n X 和1Y ，2Y ，…，2 n Y 分别来自总体()21N μσ，和()22N μσ，，且相互独立，α和β是 (X Y αμβμ-+-()1221111n i i S X X n ==-∑，()2222121n i i S Y Y n ==-∑。 解：211~X N n σμ?? ??? ，，222~Y N n σμ?? ?? ?，，1X μ-与2Y μ-相互独立， 211~0X N n σμ??- ??? ，，222~0Y N n σμ??- ???，， ()( )22221212~0X Y N n n ασβσαμβμ??∴-+-+ ??? ，，((()~01X Y N αμβμ-+-，. ()221112~1n S n χσ- ，()222222~1n S n χσ-，且21S 与22S 相互独立， ()2 2211 22 1222~2n S n S n n χσσ∴++-. (()12 12~2X Y t n n αμβμ-+- +-， (()122X Y t n n αμβμ-+-+-
《锅炉原理》习题库参考答案 第一章 基本概念 1. 锅炉容量：指锅炉的最大长期连续蒸发量，常以每小时所能供应蒸汽的吨数示。 2. 层燃炉：指具有炉箅（或称炉排），煤块或其它固体燃料主要在炉箅上的燃料层内燃烧。 3. 室燃炉：指燃料在炉膛空间悬浮燃烧的锅炉。 4. 旋风炉：指在一个以圆柱形旋风筒作为主要燃烧室的炉子，气流在筒内高速旋转，煤粉气流沿圆筒切向送入或由筒的一端旋转送入。较细的煤粉在旋风筒内悬浮燃烧，而较粗的煤粒则贴在筒壁上燃烧。筒内的高温和高速旋转气流使燃烧加速，并使灰渣熔化形成液态排渣。 5. 火炬―层燃炉：指用空气或机械播撒把煤块和煤粒抛入炉膛空间，然后落到炉箅上的燃烧方式的炉子。 6. 自然循环炉：指依靠工质自身密度差造成的重位压差作为循环推动力的锅炉。 7. 多次强制循环炉：指在循环回路中加装循环水泵作为主要的循环推动力的锅炉。 8. 直流锅炉：指工质一次通过蒸发受热面，即循环倍率等于一的锅炉。 9. 复合制循环炉：指在一台锅炉上既有自然循环或强制循环锅炉循环方式，又有直流锅炉循环方式的锅炉。 10. 连续运行小时数：指两次检修之间运行的小时数。 11. 事故率＝ %100?+事故停用小时数总运行小时数事故停用小时数； 12. 可用率＝%100?+统计期间总时数 备用总时数运行总时数； 13. 钢材使用率: 指锅炉每小时产生一吨蒸汽所用钢材的吨数。 第二章 一、基本概念 1. 元素分析：指全面测定煤中所含全部化学成分的分析。 2. 工业分析：指在一定的实验条件下的煤样，通过分析得出水分、挥发分、固定碳和灰分这四种成分的质量百分数的过程。
3. 发热量：指单位质量的煤在完全燃烧时放出的全部热量。 4. 结渣：指燃料在炉内燃烧时，在高温的火焰中心，灰分一般处于熔化或软化状 态，具有粘性，这种粘性的熔化灰粒，如果接触到受热面管子或炉墙，就会粘结于其上，这就称为结渣。 5. 变形温度：指灰锥顶变圆或开始倾斜； 6. 软化温度：指灰锥弯至锥底或萎缩成球形； 7. 流动温度：指锥体呈液体状态能沿平面流动。 二、问答题 1. 煤的元素分析成分有哪些？ 答：煤的元素分析成分包括：碳、氢、氧、氮、硫、灰分和水分。 2. 煤的工业分析成分有哪些？ 答：煤的元素分析成分包括：水分、挥发分、固定碳和灰分。 3. 挥发性物质包括一些什麽物质？ 答：挥发性物质主包括：各种碳氢化合物、氢、一氧化碳、硫化氢等可燃气体组成，此外，还有少量的氧、二氧化碳、氮等不可燃气体。 第三章 一、基本概念 1. 理论空气量:1kg燃料完全燃烧时所需要的最低限度的空气量称为理论空气量。 2. 过量空气系数:实际空气量和理论空气量之比。 3. 理论烟气量：当实际参加燃烧的湿空气中的干空气量等于理论空气量，且1kg 的燃料完全燃烧时产生的烟气量称为理论烟气量。 4. 实际烟气量：供给的空气量大于理论空气量，且使1kg燃料完全燃烧时产生的 烟气量。 5. 理论空气、烟气焓：在定压条件下，将1kg 燃料所需的空气量或所产生的烟气 量从0加热到t℃时所需要的热量。 6. 锅炉有效利用热：指水和蒸汽流经各受热面时吸收的热量。 7. 正平衡法：直接确定输入锅炉的热量和锅炉的有效利用热，然后利用锅炉热效 率定义式计算锅炉热效率的方法。 8. 反平衡法：通过确定锅炉的各项热损失，计算锅炉热效率的方法。
第二章作业参考解答 2.3给定串联谐振回路的0 1.5MHz f =，0100pF C =，谐振时电阻5R =Ω，试求0Q 和0L 。又若信号源电压振幅1mV ms U =，求谐振时回路中的电流0I 以及回路上的电感电压振幅Lom U 和电容电压振幅Com U 。 解：（1）串联谐振回路的品质因数为 0612 0011 2122 1.510100105 Q C R ωπ-==≈????? 根据0f = 有： 402122212 0011 1.125810(H)113μH (2)100104 1.510 L C f ππ--= =≈?=???? （2）谐振时回路中的电流为 01 0.2(mA)5 ms U I R === 回路上的电感电压振幅为 02121212(mV)Lom ms U Q U ==?= 回路上的电容电压振幅为 02121212(mV)Com ms U Q U =-=-?=- 2.5并联谐振回路与负载间采用部分接入方式，如图2.28所示，已知14μH L =，24μH L =（1L 、2L 间互感可以忽略），500pF C =，空载品质因数0100Q =，负载电阻1k ΩL R =，负载电容10pF L C =。计算谐振频率0f 及通频带B 。 图 2.28 C L 解：设回路的谐振电阻为P R ，图2.28可等效为下图。 图1.7 2 L R p 图中的接入系数为21241 442 L p L L = ==++；回路两端总电感12448(μH)L L L =+=+=；回路两端总电容 21 50010502.5(pF)4 L C C p C ∑=+=+?=。 （1）谐振频率为
第二章极限与连续 [单选题] 1、 若x0时，函数f(x)为x2的高阶无穷小量，则=（） A、0 B、 C、1 D、∞ 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 本题考察高阶无穷小. 根据高阶无穷小的定义，有. [单选题] 2、 与都存在是函数在点处有极限的（）. A、必要条件 B、充分条件 C、充要条件 D、无关条件 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 时，极限存在的充分必要条件为左、右极限都存在并且相等，所以若函 数在点处有极限，则必有与都存在.但二者都存在，不一定相等，所以不一定有极限. [单选题] 3、 （）.
A、 B、1 C、 D、0 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 [单选题] 4、 如果则（）. A、0 B、1 C、2 D、5 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 D 【您的答案】您未答题 【答案解析】 根据重要极限, [单选题] 5、
（）. A、0 B、∞ C、2 D、-2 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 C 【您的答案】您未答题 【答案解析】 分子分母同除以，即 [单选题] 6、 （）. A、0 B、∞ C、2 D、-2 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 C 【您的答案】您未答题 【答案解析】 [单选题] 7、 设，则（）.
A、 B、2 C、 D、0 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 B 【您的答案】您未答题 【答案解析】 [单选题] 8、 当时，与等价的无穷小量是（）. A、 B、 C、 D、 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 B 【您的答案】您未答题 【答案解析】 由于故与等价, 推广，当时， [单选题] 9、 时，与等价的无穷小量是（）. A、 B、
第二章 2.13 在一台单流水线多操作部件的处理机上执行下面的程序，每条指令的取指令、指令译码需要一个时钟周期，MOVE、ADD和MUL操作分别需要2个、3个和4个时钟周期，每个操作都在第一个时钟周期从通用寄存器中读操作数，在最后一个时钟周期把运算结果写到通用寄存器中。 k： MOVE R1，R0 ；R1← (R0) k+1： MUL R0，R2，R1 ；R0← (R2)×(R1) k+2： ADD R0，R2，R3 ；R0← (R2)+(R3) (1)就程序本身而言，可能有哪几种数据相关? (2)在程序实际执行过程中，哪几种数据相关会引起流水线停顿? (3)画出指令执行过程的流水线时空图，并计算完成这3条指令共需要多少个时钟周期？ 解：（1）就程序本身而言，可能有三种数据相关。若3条指令顺序流动，则k指令对R1寄存器的写与k+1指令对R1寄存器的读形成的“先写后读”相关。若3条指令异步流动，则k指令对R0寄存器的读与k+1指令对R0寄存器的写形成的“先读后写”相关，k+2指令对R0寄存器的写与k+1指令对R0寄存器的写形成的“写—写”相关。 （2）在程序实际执行过程中，二种数据相关会引起流水线停顿。一是“先写后读”相关，k指令对R1的写在程序执行开始后的第四个时钟；k+1指令对R1的读对指令本身是第三个时钟，但k+1指令比k指令晚一个时钟进入流水线，则在程序执行开始后的第四个时钟要读R1。不能在同一时钟周期内读写同一寄存器，因此k+1指令应推迟一个时钟进入流水线，产生了流水线停顿。二是“写—写”相关，k+1指令对R0的写对指令本身是第六个时钟，而要求该指令进入流水线应在程序执行开始后的第三个时钟，所以对R0的写是在程序执行开始后的第八个时钟。k+2指令对R0的写对指令本身是第五个时钟，而k+2指令比k+1指令晚一个时钟进入流水线，则在程序执行开始后的第四个时钟，所以对R0的写是在程序执行开始后的第八个时钟。不能在同一时钟周期内写写同一寄存器，因此k+2指令应推迟一个时钟进入流水线，产生了流水线停顿。另外，可分析“先读后写”相关不会产生流水线的停顿。 （3）由题意可认位该指令流水线由六个功能段取指、译码、取数、运一、运二和存数等组成，则程序指令执行过程的流水线时空图如下图所示。若3条指令顺序流动，共需要9个 存数 运二 运一 取数 译码 取指 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9