直线和圆的方程
一、知识导学
1．两点间的距离公式:不论A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在坐标平面上什么位置，都有
d=|AB|=2
21221)()(y y x x -+-，特别地，与坐标轴平行的线段的长|AB|=|x 2－x 1|或
|AB|=|y 2-y 1|.
2．定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x ，y )之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以
A 为起点，
B 为终点，P 为分点，则定比分点公式是???
?
??
?++=++=λ
λλ
λ11212
1y y y x x x .当P 点为AB 的中点时，
λ=1，此时中点坐标公式是???
????+=+=22
21
21y y y x x x .
3．直线的倾斜角和斜率的关系
（1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.
（2）斜率存在的直线，其斜率k 与倾斜角α之间的关系是k =tan α.
4．确定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式很多，但必须注意各种
5．两条直线的夹角。当两直线的斜率1k ,2k 都存在且1k ·2k ≠ -1时，tan θ=
2
11
21k k k k +-，
当直线的斜率不存在时，可结合图形判断.另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的
区别.
6．怎么判断两直线是否平行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断.
（1）斜率存在且不重合的两条直线l 1∶11b x k y +=， l 2∶22b x k y +=，有以下结论： ①l 1∥l 2?1k =2k ，且ｂ1＝ｂ2 ②l 1⊥l 2?1k ·2k = -1
（2）对于直线l 1∶0111=++C y B x A ，l 2 ∶0222=++C y B x A ，当A 1，A 2，B 1，
B 2都不为零时，有以下结论：
①l 1∥l 2?
21A A =21B B ≠2
1C C
②l 1⊥l 2?A 1A 2+B 1B 2 = 0 ③l 1与l 2相交?
21A A ≠21B B ④l 1与l 2重合?
21A A =21B B =2
1
C C 7．点到直线的距离公式.
（1）已知一点P （00,y x ）及一条直线l ：0=++C By Ax ，则点P 到直线l 的距离
d =
2
2
00|
|B
A C By Ax +++；
（2）两平行直线l 1: 01=++C By Ax ， l 2: 02=++C By Ax 之间的距离
d=
2
2
21||B
A C C +-.
8．确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式，要知道两种形式之间的相互转化及相互联系
（1）圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-，其中（a ，b ）是圆心坐标，r 是圆的半径；
（2）圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （F E D 42
2-+＞0），圆心坐标
为（-2D ，-2E ），半径为r =2
422F E D -+.
3 二、疑难知识导析
1．直线与圆的位置关系的判定方法.
（1）方法一 直线：0=++C By Ax ；圆：022=++++F Ey Dx y x .
???=++++=++0
022F Ey Dx y x C By Ax ??→?消元
一元二次方程ac
b 42-=??→?△判别式??
?
???相离△相切△相交△000 （2）方法二 直线: 0=++C By Ax ；圆：222)()(r b y a x =-+-，圆心（a ，b ）到直线的距离为 d=
2
2|
|B A C Bb Aa +++?→???
????相交相切相离r d r d r d
2．两圆的位置关系的判定方法.
设两圆圆心分别为O 1、O 2，半径分别为r 1，r 2，|O 1O 2|为圆心距，则两圆位置关系如下： |O 1O 2|>r 1+r 2?两圆外离； |O 1O 2|=r 1+r 2?两圆外切；
| r 1-r 2|<|O 1O 2| ［例1］直线l 经过P （2,3）,且在x,y 轴上的截距相等,试求该直线方程. 错解：设直线方程为: 1=+b y a x ,又过P(2,3),∴13 2=+b a ,求得a=5 ∴直线方程为x+y-5=0. 错因：直线方程的截距式: 1=+b y a x 的条件是:a ≠0且 b ≠0,本题忽略了0a b ==这一情形. 正解：在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为:2 3 0203=--= k , ∴直线方程为y= 2 3x 综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y= 2 3 x . ［例2］已知动点P 到y 轴的距离的3倍等于它到点A(1,3)的距离的平方,求动点P 的轨迹方程. 错解：设动点P 坐标为(x,y).由已知3,)3()1(2 2-+-=y x x 化简3x =x 2 -2x+1+y 2 -6y+9 . 当x ≥0时得x 2-5x+y 2 -6y+10=0 . ① 当x ＜0时得x 2+ x+y 2 -6y+10=0 . ② 错因：上述过程清楚点到y 轴距离的意义及两点间距离公式,并且正确应用绝对值定义将方程分类化简,但进一步研究化简后的两个方程,配方后得 (x-52 )2+(y-3)2 = 214 ① 和 (x+12 )2+(y-3)2 = - 34 ② 两个平方数之和不可能为负数,故方程②的情况不会出现. 正解： 接前面的过程,∵方程①化为(x-52 )2+(y-3)2 = 214 ,方程②化为(x+12 )2+(y-3)2 = - 34 ,由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P 的轨迹方程为: (x-52 )2+(y-3)2 = 214 (x ≥0) ［例3］m 是什么数时，关于x,y 的方程（2m 2+m-1）x 2+（m 2-m+2）y 2 +m+2=0的图象表示一个 圆？ 错解：欲使方程Ax 2+Cy 2 +F=0表示一个圆，只要A=C ≠0， 得2m 2+m-1=m 2-m+2，即m 2 +2m-3=0，解得m 1=1，m 2=-3， ∴当m=1或m=-3时，x 2和y 2 项的系数相等，这时，原方程的图象表示一个圆 错因：A=C ，是Ax 2+Cy 2 +F=0表示圆的必要条件，而非充要条件，其充要条件是： A=C ≠0且F A ＜0. 正解：欲使方程Ax 2 +Cy 2 +F=0表示一个圆，只要A=C ≠0， 得2m 2+m-1=m 2-m+2，即m 2 +2m-3=0，解得m 1=1，m 2=-3， (1) 当m=1时，方程为2x 2+2y 2 =-3不合题意，舍去. (2) 当m=-3时，方程为14x 2+14y 2=1,即x 2+y 2=1 14 ,原方程的图形表示圆. ［例4］自点A(-3，3)发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2 -4x-4y+7＝0相切，求光线L 所在的直线方程. 错解：设反射光线为L ′,由于L 和L ′关于x 轴对称，L 过点A(-3，3)，点A 关于x 轴的对称点A ′(-3，-3)，于是L ′过A(-3，-3). 设L ′的斜率为k ，则L ′的方程为y-(-3)＝k ［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0， 已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2 ＝1，圆心O 的坐标为(2，2)，半径r ＝1 因L ′和已知圆相切，则O 到L ′的距离等于半径r ＝1 即 1 1k 5 k 51k 3 k 32k 22 2 =+-= +-+- 整理得12k 2 -25k+12＝0 解得k ＝ 34 L ′的方程为y+3＝3 4 (x+3) 即4x-3y+3＝0 因L 和L ′关于x 轴对称 故L 的方程为4x+3y+3＝0. 错因：漏解 正解：设反射光线为L ′,由于L 和L ′关于x 轴对称，L 过点A(-3，3)，点A 关于x 轴的对称点A ′(-3，-3)， 于是L ′过A(-3，-3). 设L ′的斜率为k ，则L ′的方程为y-(-3)＝k ［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0， 已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2 ＝1，圆心O 的坐标为(2，2)，半径r ＝1 因L ′和已知圆相切，则O 到L ′的距离等于半径r ＝1 5 即 1 1k 5 k 51k 3 k 32k 22 2 =+-= +-+- 整理得12k 2 -25k+12＝0 解得k ＝ 34或k ＝4 3 L ′的方程为y+3＝34(x+3);或y+3＝4 3 (x+3)。 即4x-3y+3＝0或3x-4y-3＝0 因L 和L ′关于x 轴对称 故L 的方程为4x+3y+3＝0或3x+4y-3＝0. ［例5］求过直线042=+-y x 和圆014222=+-++y x y x 的交点，且满足下列条件之一的圆的方程： （1） 过原点；（2）有最小面积. 解：设所求圆的方程是：()0421422 2 =+-++-++y x y x y x λ 即：()()0412222 2 =+++-+++λλλy x y x （1）因为圆过原点，所以041=+λ，即4 1 - =λ 故所求圆的方程为：02 7 472 2 =-+ +y x y x . （2） 将圆系方程化为标准式，有： ()5452452222 2 2 +??? ??+=--+??? ? ?++λλλy x 当其半径最小时，圆的面积最小，此时5 2 - =λ为所求. 故满足条件的圆的方程是5458542 2 =??? ??-+??? ? ? +y x . 点评：（1）直线和圆相交问题，这里应用了曲线系方程，这种解法比较方便；当然也可以待 定系数法。（2）面积最小时即圆半径最小。也可用几何意义，即直线与相交弦为直径时圆面积最小. ［例6］（06年辽宁理科）已知点A(11,y x )，B(22,y x )（21x x ≠0）是抛物线)0(22 >=p px y 上的两个动点，O 是坐标原点，向量OB OA ,满足｜+｜＝｜-｜.设圆C 的方程为0)()(21212 2 =+-+-+y y y x x x y x （1）证明线段AB 是圆C 的直径； （2）当圆C 的圆心到直线02=-y x 的距离的最小值为 5 5 2时，求p 的值. 解：（1）证明 ∵｜OB OA +｜＝｜OB OA -｜，∴（OB OA +）2＝（OB OA -）2 ， 整理得：OB OA ?＝0 ∴21x x ＋21y y ＝0 设M （y x ,）是以线段AB 为直径的圆上的任意一点，则MB MA ?＝0 即 ))((21x x x x --＋))((21y y y y --＝0 整理得：0)()(212122=+-+-+y y y x x x y x 故线段AB 是圆C 的直径. （2）设圆C 的圆心为C （y x ,），则 ??? ??? ?+=+=22 2121y y y x x x ∵12 12px y =，)0(222 2>=p px y ∴22 221214p y y x x = 又∵21x x ＋21y y ＝0 ，21x x ＝－21y y ∴－21y y 22 2 214p y y = ∵21x x ≠0，∴21y y ≠0 ∴21y y ＝－42 p 21212 22122212141)2(41)(412y y p y y y y p y y p x x x -++=+=+= ＝ )2(1 22p y p + 所以圆心的轨迹方程为2 2 2p px y -= 设圆心C 到直线02=-y x 的距离为ｄ，则 ＝ p p p y y p y p y x 5| )(|5 |2)2(1|5 | 2|2222 +-= -+= - 7 当y ＝p 时，ｄ有最小值5 p ，由题设得 5 p ＝ 5 5 2 ∴p ＝2. 四、典型习题导练 1．直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为 （ ） A. π6 B.π4 C.π3 D.π 2 2.已知直线x=a(a ＞0)和圆(x-1)2 +y 2 =4相切 ，那么a 的值是 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 3. 如果实数x 、y 满足等式(x-2)2 +y 2 ＝３，则 x y 的最大值为： . 4.设正方形ABCD （A 、B 、C 、D 顺时针排列）的外接圆方程为x 2+y 2 -6x+a=0（a<9），C 、D 点所在直线l 的斜率为 3 1 . （1）求外接圆圆心M 点的坐标及正方形对角线AC 、BD 的斜率； （2）如果在x 轴上方的A 、B 两点在一条以原点为顶点，以x 轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l 的方程； （3）如果ABCD 的外接圆半径为25，在x 轴上方的A 、B 两点在一条以x 轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l 的方程. 5.如图，已知圆C：（x+4）2+y2=4。圆D的圆心D在y轴上且与圆C外切。圆 D与y轴交于 A、B两点，点P为(-3，0). （1）若点D坐标为（0，3），求∠APB的正切值； （2）当点D在y轴上运动时，求∠APB的正切值的最大值； （3）在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，∠AQB是定值？如果存在，求出点Q坐标；如果不存在，说明理由.
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