第九章第五节
一、选择题
1．(文)已知一个平面α，那么对于空间内的任意一条直线a，在平面α内一定存在一条直线b，使得a与b()
A．平行B．相交
C．异面D．垂直
[答案] D
[解析]当a与α相交时，平面内不存在直线与a平行；当a∥α时，平面内不存在直线与a相交；当a?平面α时，平面α内不存在直线与a异面；无论a在何位置，a在平面α内总有射影a′，当b?α，b⊥a′时，有b⊥a，故选D.
(理)(2013·深圳模拟)已知直线m、n和平面α、β，若α⊥β，α∩β＝m，n?α，要使n⊥β，则应增加的条件是()
A．m∥n B．n⊥m
C．n∥αD．n⊥α
[答案] B
[解析]两个平面互相垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面，故选B.
2．(文)(2014·温州十校联考)关于直线a，b，l及平面α，β，下列命题中正确的是() A．若a∥α，b∥α，则a∥b
B．若a∥α，b⊥a，则b⊥α
C．若a?α，b?α，且l⊥a，l⊥b，则l⊥α
D．若a⊥α，a∥β，则α⊥β
[答案] D
[解析]平行于同一平面的两条直线的位置关系不确定，故A错；a∥α，b⊥a时，经过b 与a垂直的平面α内任一条直线l都与a垂直，但l与α的位置关系不确定，每一条直线l都可取作直线b，故B错；对于C，当a与b相交时，结论成立，当a与b不相交时，结论错误，故C错；∵a∥β，设经过a的平面与β相交于c，则a∥c，∵a⊥α，∴c⊥α，∴α⊥β，故D 正确．
(理)(2014·浙江温州第一次适应性测试)m是一条直线，α，β是两个不同的平面，以下命题正确的是()
A．若m∥α，α∥β，则m∥β
B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C ．若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β
D ．若m ∥α，m ⊥β，则α⊥β [答案] D
[解析] 若m ∥α，α∥β，则m ∥β或m ?β，A 错误；若m ∥α，m ∥β，则α∥β或α∩β＝l ，且m ∥l ，B 错误；若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β或m ∥β或m ?β，C 错误；∵m ∥α，∴存在直线n ?α，使m ∥n ，∵m ⊥β，∴n ⊥β，又∵n ?α，∴α⊥β，故选D.
3．(文)(2014·运城模拟)已知两条不同的直线a ，b 和两个不同的平面α，β，且a ⊥α，b ⊥β，那么α⊥β是a ⊥b 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
[答案] C
?
???
?
????
?[解析] α⊥βa ⊥α?a ∥β或a ?β b ⊥β
?a ⊥b ；
?
???? ?
???
?a ⊥αa ⊥b ?b ∥α或b ?α b ⊥β
?α⊥β.
(理)设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] ①∵α∩β＝m ，b ?β，α⊥β，b ⊥m ，∴b ⊥α，
又∵a ?α，∴b ⊥a .②当a ?α，a ∥m 时，∵b ⊥m ，∴b ⊥a ，而此时平面α与平面β不一定垂直，故选A.
4．(文)(2015·绍兴一中期中)如图，P A 垂直于正方形ABCD 所在平面，则以下关系错误．．的是(
)
A ．平面PCD ⊥平面P AD
B．平面PCD⊥平面PBC
C．平面P AB⊥平面PBC
D．平面P AB⊥平面P AD
[答案] B
[解析]∵P A⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∴CD⊥平面P AD，BC⊥平面P AB，AB⊥平面P AD，∴A、C、D正确，选B.
(理)(2014·望江期中)在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下
面四个结论中不成立
．．．的是()
A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面P AE
C．平面PDF⊥平面ABC D．平面P AE⊥平面ABC
[答案] C
[解析]∵D、F分别为AB、CA中点，∴DF∥BC.
∴BC∥平面PDF，故A正确．
又∵P－ABC为正四面体，
∴P在底面ABC内的射影O在AE上．
∴PO⊥面ABC.∴PO⊥DF.
又∵E为BC中点，
∴AE⊥BC，∴AE⊥DF.
又∵PO∩AE＝O，∴DF⊥平面P AE，故B正确．
又∵PO?平面P AE，PO⊥平面ABC，
∴平面P AE⊥平面ABC，故D正确．
∴四个结论中不成立的是C.
5．(2015·浙江桐乡四校期中联考)设a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则
下列命题中，逆命题
．．．不成立的是()
A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥β
B．当b?α时，若b⊥β，则α⊥β
C．当b?α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥b
D．当b?α，且c?α时，若c∥α，则b∥c
[答案] B
[解析] A 的逆命题是“当c ⊥α时，若α∥β，则c ⊥β”，A 的逆命题正确；B 的逆命题是“当b ?α时，若α⊥β，则b ⊥β”，只有当b 垂直于α与β的交线时，才是正确的，故选B.另外由线面平行的判定定理知D 的逆命题正确；由三垂线定理及其逆定理知，C 及其逆命题正确．
6.(2014·皖南八校联考)正四面体ABCD 的棱长为1，G 是△ABC 的中心，M 在线段DG 上，且∠AMB ＝90°，则GM 的长为( )
A.12 B ．22 C.33
D ．
66
[答案] D
[解析] ∵G 是正四面体ABCD 的面ABC 的中心，M 在DG 上，∴MA ＝MB ， 又∠AMB ＝90°，AB ＝1，∴MA ＝MB ＝22，又AG ＝3
3
， ∴MG ＝MA 2－AG 2＝(
22)2－(33)2＝6
6
. 二、填空题
7．(文)设x 、y 、z 是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：
①x 、y 、z 均为直线；②x 、y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x 、y 是平面；④x 、y 、z 均为平面，其中使“x ⊥z 且y ⊥z ?x ∥y ”为真命题的序号是________．
[答案] ②③
[解析] 当x 、y 为直线，z 为平面时，有x ⊥z ，y ⊥z ?x ∥y ；当x 、y 为平面，z 为直线时，有x ⊥z ，y ⊥z ?x ∥y ，故②③正确．
[点评] 由正方体交于同一个顶点的三条棱和三个面知①④均使命题为假命题． (理)正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成60°角，则A 1C 1到底面ABCD 的距离为________．
[答案]
3
[解析] 依题可知∠B 1AB ＝60°，平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ，A 1C 1?平面A 1B 1C 1D 1， ∴B 1B 即为所求距离，在△ABB 1中得，B 1B ＝ 3.
8．已知四棱锥P －ABCD 的顶点都在球O 的球面上，底面ABCD 是矩形，平面P AD ⊥底
面ABCD ，△P AD 为正三角形，AB ＝2AD ＝4，则球O 的表面积为________．
[答案]
64π3
[解析] 过P 作PE ∥AB 交球面于E ，连结BE 、CE ，则BE ∥AP ，CE ∥DP ，∴三棱柱APD －BEC 为正三棱柱，
∵△P AD 为正三角形，∴△P AD 外接圆的半径为233，
∴球O 的半径R ＝
22＋(233)2＝43
，
∴球O 的表面积S ＝4πR 2＝
64π3
. 9.(2015·唐山市海港中学月考)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为棱DD 1，AB 上的点．下列说法正确的是________．(填上所有正确命题的序号)
①A 1C ⊥平面B 1EF ；
②在平面A 1B 1C 1D 1内总存在与平面B 1EF 平行的直线； ③△B 1EF 在侧面BCC 1B 1上的正投影是面积为定值的三角形；
④当E ，F 为中点时，平面B 1EF 截该正方体所得的截面图形是五边形； ⑤当E ，F 为中点时，平面B 1EF 与棱AD 交于点P ，则AP ＝23.
[答案] ②③④⑤
[解析] ①BC ⊥平面ABB 1A 1，A 1C 是平面ABB 1A 1的斜线，A 1B 是A 1C 在平面ABB 1A 1内的射影，显然A 1B 与B 1F 不垂直，∴A 1C 与B 1F 不垂直，∴①错；②∵平面B 1EF 与平面A 1B 1C 1D 1相交于过B 1的一条直线l ，在平面A 1B 1C 1D 1内总存在与l 平行的直线m ，∴m ∥平面B 1EF ，∴②正确；③△B 1EF 的顶点B 1，F 在平面BCC 1B 1内的正投影依次为B 1，B ，而E 点的正投影E ′落在CC 1上，显然△BB 1E ′的面积为定值，∴③正确；④当E 、F 为中点时，由平面B 1EF 与对面ABB 1A 1和DCC 1D 1都相交，故交线平行，设M 为C 1D 1中点，G 为D 1M 中点，则EG ∥DM ∥B 1F ，∴平面B 1EF 与平面A 1B 1C 1D 1的交线为B 1G ，从而在AD 上取点P ，使AP ＝
2PD，则FP∥B1G，连接EP，得平面B1EF截正方体得到的截面图形是五边形GEPFB1，∴④正确；⑤正确．
三、解答题
10．(文)如图，已知在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥DC，AB∥DC，DC＝DD1＝2AD＝2AB＝2.
(1)求证：DB⊥平面B1BCC1；
(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使得D1E∥平面A1BD，并说明理由．
[解析](1)证明：∵AB∥DC，AD⊥DC，∴AB⊥AD，
在Rt△ABD中，AB＝AD＝1，∴BD＝2，
易求BC＝2，又∵CD＝2，∴BD⊥BC.
又BD⊥BB1，B1B∩BC＝B，∴BD⊥平面B1BCC1.
(2)DC的中点即为E点．
∵DE∥AB，DE＝AB，
∴四边形ABED是平行四边形．∴AD綊BE.
又AD綊A1D1，∴BE綊A1D1，
∴四边形A1D1EB是平行四边形．∴D1E∥A1B.
∵D1E?平面A1BD，A1B?平面A1BD，∴D1E∥平面A1BD.
(理)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱BB1，DD1和CC1的中
点．
(1)求证：C 1F ∥平面DEG ； (2)求三棱锥D 1－A 1AE 的体积；
(3)试在棱CD 上求一点M ，使D 1M ⊥平面DEG .
[解析] (1)证明：∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，F ，G 分别为棱DD 1和CC 1的中点， ∴DF ∥GC 1，且DF ＝GC 1.
∴四边形DGC 1F 是平行四边形．∴C 1F ∥DG . 又C 1F ?平面DEG ，DG ?平面DEG ， ∴C 1F ∥平面DEG .
(2)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有A 1D 1⊥平面AA 1E . ∴A 1D 1是三棱锥D 1－A 1AE 的高，A 1D 1＝1. ∴VD 1－A 1AE ＝1
3·S △A 1AE ·D 1A 1
＝13×12×1×1×1＝16
. (3)当M 为棱CD 的中点时，有D 1M ⊥平面DEG . 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有BC ⊥平面CDD 1C 1， 又∵D 1M ?平面CDD 1C 1，BC ∥EG ，∴EG ⊥D 1M . 又∵tan ∠GDC ＝tan ∠MD 1D ＝12
，
∴∠GDC ＝∠MD 1D ，∴∠MD 1D ＋∠D 1DG ＝∠GDC ＋∠D 1DG ＝90°，∴D 1M ⊥DG . 又DG ∩EG ＝G ，∴D 1M ⊥平面DEG .
一、解答题
11．(文)如图所示，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，EC ＝CA ＝2BD ，M
是EA 的中点．求证：
(1)DE ＝DA ；
(2)平面BDM ⊥平面ECA .
[证明] (1)如图所示，取EC 中点F ，连接DF . ∵EC ⊥平面ABC ，BD ∥EC ，
∴BD ⊥平面ABC ，∴BD ⊥AB ， ∵BD ∥EC ，BD ＝1
2EC ＝FC ，∴EC ⊥BC .
∴四边形FCBD 是矩形，∴DF ⊥EC . 又BA ＝BC ＝DF ， ∴Rt △DEF Rt △ADB ， ∴DE ＝DA .
(2)如图所示，取AC 中点N ，连接MN 、NB ， ∵M 是EA 的中点，∴MN 綊1
2
EC .
由BD 綊1
2EC ，且BD ⊥平面ABC ，可得四边形MNBD 是矩形，于是DM ⊥MN .
∵DE ＝DA ，M 是EA 的中点，∴DM ⊥EA . 又EA ∩MN ＝M ，∴DM ⊥平面ECA ， 而DM ?平面BDM ，∴平面ECA ⊥平面BDM .
(理)(2013·合肥第二次质检)如图，在几何体ABDCE 中，AB ＝AD ＝2，AB ⊥AD ，AE ⊥平面ABD .M 为线段BD 的中点，MC ∥AE ，AE ＝MC ＝ 2.
(1)求证：平面BCD ⊥平面CDE ；
(2)若N 为线段DE 的中点，求证：平面AMN ∥平面BEC .
[解析] (1)∵AB ＝AD ＝2，AB ⊥AD ，M 为线段BD 的中点，∴AM ＝1
2BD ＝2，AM ⊥BD .
∵MC ＝2，∴MC ＝1
2
BD ，∴BC ⊥CD .
∵AE ⊥平面ABD ，MC ∥AE ，∴MC ⊥平面ABD . ∴平面ABD ⊥平面CBD ，∴AM ⊥平面CBD . 又MC 綊AE ，∴四边形AMCE 为平行四边形， ∴EC ∥AM ，∴EC ⊥平面CBD ，∴BC ⊥EC ， ∵EC ∩CD ＝C ，∴BC ⊥平面CDE ， ∴平面BCD ⊥平面CDE .
(2)∵M 为BD 中点，N 为ED 中点， ∴MN ∥BE 且BE ∩EC ＝E ， 由(1)知EC ∥AM 且AM ∩MN ＝M ， ∴平面AMN ∥平面BEC .
12．(文)(2014·山东威海一模)如图所示，矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直，等腰梯形ABEF 中，AB ∥EF ，AB ＝2，AD ＝AF ＝1，∠BAF ＝60°，O ，P 分别为AB ，CB 的中点，M 为底面△OBF 的重心．
(1)求证：平面ADF ⊥平面CBF ； (2)求证：PM ∥平面AFC ； (3)求多面体CD －AFEB 的体积V .
[解析] (1)证明：∵矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直，且CB ⊥AB ， ∴CB ⊥平面ABEF .
又AF ?平面ABEF ，∴CB ⊥AF .
又AB ＝2，AF ＝1，∠BAF ＝60°，由余弦定理知BF ＝3，∴AF 2＋BF 2＝AB 2，∴得AF ⊥BF .又BF ∩CB ＝B ，∴AF ⊥平面CFB .∵AF ?平面ADF ，∴平面ADF ⊥平面CBF .
(2)证明：连接OM 延长交BF 于H ，则H 为BF 的中点，又P 为CB 的中点，∴PH ∥CF .又∵CF ?平面AFC ，∴PH ∥平面AFC .连接PO ，则PO ∥AC ，∵AC ?平面AFC ，PO ?平面AFC ，∴PO ∥平面AFC .又PO ∩PH ＝P ，∴平面POH ∥平面AFC ，PM ?平面POH ，PM ∥平面AFC .
(3)多面体CD －AFEB 的体积可分成三棱锥C －BEF 与四棱锥F －ABCD 的体积之和．
在等腰梯形ABEF中，计算得EF＝1，两底间的距离EE1＝
3 2，
∴V C－BEF＝1
3S△BEF×CB＝
1
3×
1
2×1×
3
2×1＝
3
12，
V F－ABCD＝1
3S?ABCD×EE1＝
1
3×2×1×
3
2＝
3
3，
∴V＝V C－BEF＋V F－ABCD＝53 12.
(理)(2014·山西太原模拟)如图，在三棱锥P－ABC中，P A＝PB＝PC＝AC＝4，AB＝BC＝2 2.
(1)求证：平面ABC⊥平面APC；
(2)求直线P A与平面PBC所成角的正弦值．
[解析](1)证明：如图所示，取AC中点O，连接OP，OB.
∵P A＝PC＝AC＝4，
∴OP⊥AC，且PO＝4sin60°＝2 3.
∵BA＝BC＝22，
∴BA2＋BC2＝16＝AC2，且BO⊥AC，
∴BO＝AB2－AO2＝2.
∵PB＝4，∴OP2＋OB2＝12＋4＝16＝PB2，∴OP⊥OB.
∵AC∩OB＝O，∴OP⊥平面ABC.
∵OP?平面P AC，
∴平面ABC⊥平面APC.
(2)设直线P A与平面PBC所成角的大小为θ，A到平面PBC的距离为d，则sinθ＝d
AP＝d 4.
∵PB＝PC＝4，BC＝22，
∴S△PBC＝1
2BC·PB
2－(BC
2)
2＝1
2×22×14＝27.
由(1)知，V P －ABC ＝13S △ABC ·PO ＝83
3，
又V A －PBC ＝V P －ABC ， ∴13×27·d ＝83
3
， ∴d ＝4217，∴sin θ＝d 4＝217
，
∴直线P A 与平面PBC 所成角的正弦值为
21
7
. [点评] 由第(1)问知OB 、OP 、AC 两两垂直，故可以O 为原点，OB 、OC 、OP 为x 轴、y 轴、z 轴建立坐标系，用向量法解答第(2)问．
13．(2014·四川绵阳二诊)如图所示，四边形ABCD 为矩形，四边形ADEF 为梯形，AD ∥FE ，∠AFE ＝60°，且平面ABCD ⊥平面ADEF ，AF ＝FE ＝AB ＝12
AD ＝2，点G 为AC 的中点．
(1)求证：EG ∥平面ABF ； (2)求三棱锥B －AEG 的体积；
(3)试判断平面BAE 与平面DCE 是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由． [解析] (1)证明：取AB 中点M ，连FM ，GM .
∵G 为对角线AC 的中点，∴GM ∥AD ，且GM ＝1
2AD .
又∵FE 綊1
2AD ，∴GM ∥FE 且GM ＝FE .
∴四边形GMFE 为平行四边形，∴EG ∥FM .
又∵EG ?平面ABF ，FM ?平面ABF ，∴EG ∥平面ABF . (2)作EN ⊥AD ，垂足为N ，
由平面ABCD ⊥平面AFED ，平面ABCD ∩平面AFED ＝AD ， 得EN ⊥平面ABCD ，即EN 为三棱锥E －ABG 的高． ∵在△AEF 中，AF ＝FE ，∠AFE ＝60°， ∴△AEF 是正三角形．
∴∠AEF ＝60°，EF ∥AD 知∠EAD ＝60°，∴EN ＝AE sin60°＝ 3. ∴三棱锥B －AEG 的体积为V ＝13·S △ABG ·EN ＝13×2×3＝233.
(3)平面BAE ⊥平面DCE .证明如下：
∵四边形ABCD 为矩形，且平面ABCD ⊥平面AFED ， ∴CD ⊥平面AFED ，∴CD ⊥AE .
∵四边形AFED 为梯形，FE ∥AD ，且∠AFE ＝60°， ∴∠F AD ＝120°.
又在△AED 中，EA ＝2，AD ＝4，∠EAD ＝60°， 由余弦定理，得ED ＝23，∴EA 2＋ED 2＝AD 2， ∴ED ⊥AE .
又∵ED ∩CD ＝D ，∴AE ⊥平面DCE . 又AE ?平面BAE ，∴平面BAE ⊥平面DCE .
14．(文)(2014·甘肃张掖月考)如图所示，在底面是正方形的四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，BD 交AC 于点E ，F 是PC 的中点，G 为AC 上一动点．
(1)求证：BD ⊥FG ；
(2)确定点G 在线段AC 上的位置，使FG ∥平面PBD ，并说明理由； (3)如果P A ＝AB ＝2，求三棱锥B －CDF 的体积．
[解析] (1)证明：∵P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，其对角线BD ，AC 交于点E ，∴P A ⊥BD ，AC ⊥BD .∴BD ⊥平面APC .
∵FG ?平面P AC ，∴BD ⊥FG .
(2)当G 为EC 的中点，即AG ＝3
4
AC 时，FG ∥平面PBD .
理由如下：连接PE .∵F 为PC 的中点，G 为EC 的中点，∴FG ∥PE . ∵FG ?平面PBD ，PE ?平面PBD ，∴FG ∥平面PBD .
(3)三棱锥B －CDF 的体积为V B －CDF ＝V F －BCD ＝13×12×2×2×1＝2
3
.
(理)(2014·唐山一中月考) 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC ⊥侧面AA 1C 1C ，AC ＝BC ＝1，CC 1＝2, ∠CAA 1＝π
3
，D 、E 分别为AA 1、A 1C 的中点．
(1)求证：A 1C ⊥平面ABC ；
(2)求平面BDE 与平面ABC 所成角的余弦值．
[解析] (1)证明：∵BC ⊥侧面AA 1C 1C ，A 1C 在平面AA 1C 1C 内，∴BC ⊥A 1C ， △AA 1C 中，AC ＝1，AA 1＝C 1C ＝2，∠CAA 1＝π
3
，
由余弦定理得A 1C 2＝AC 2＋AA 21－2AC ·AA 1cos ∠CAA 1＝12＋22－2×1×2×cos π
3＝3， ∴A 1C ＝3，∴AC 2＋A 1C 2＝AA 21，∴AC ⊥A 1C ， ∵AC ∩BC ＝C ，∴A 1C ⊥平面ABC . (2)由(1)知CA ，CA 1，CB 两两垂直，
如图，以C 为空间坐标系的原点，分别以CA ，CA 1，CB 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，
B (0,0,1)，A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，
由此可得D (12，32，0)，E (0，32，0)，BD →＝(12，32，－1)，BE →
＝(0，32，－1)．
设平面BDE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，∴?????
n ·
BD →＝0，n ·BE →＝0.
则有??
?
12x ＋3
2
y －z ＝0，3
2y －z ＝0，令z ＝1，则x ＝0，y ＝
23
， ∴n ＝(0，
2
3
，1)， ∵A 1C ⊥平面ABC ，∴CA 1→
＝(0，3，0)是平面ABC 的一个法向量， ∴cos >＝n ·CA 1→|n ||CA 1→ | ＝277， ∴平面BDE 与ABC 所成锐二面角的余弦值为27 7 . 第一轮基本知识基本技能和基本方法的复习，学校的安排通常是九月份到第二年的二月份结束，下面给大家带来一些关于高三数学第一轮复习顺序，希望对大家有所帮助。 一、注重双基，回归教材和考纲。下面给大家带来一些关于，希望对大家有所帮助。 数学的基本概念、定义、公式，数学知识点的联系，基本的数学解题思路与方法，是第一轮复习的重中之重。需要系统的对知识点进行梳理，确保基本概念、公式等牢固掌握，面面俱到、不留盲点和死角，要扎扎实实，不要盲目攀高，欲速则不达。 二、把握知识体系，突出重点内容。 第一轮复习后，大家要能写出或说出章节的知识结构与知识体系，并掌握其重点内容。例如“函数”一章，从基本知识看主要有：函数的概念与运算，函数关系的建立，函数的基本性质，反函数，幂函数，指数函数与对数函数;从考试重点看还有一些必须掌握的扩充内容：求函数解析式，函数值域，求函数定义域，函数图像及变换，函数与不等式，函数思想的应用等。由于函数在高考的重要地位，函数知识与函数思想，同学们需下大力气掌握。 一轮复习一定要有面的兼顾，即使是小的知识点，也不能忽视，当然复习中也需有质的深度，对课本上的定义要善于深挖与联想，抓住各个分支的数学本质，例如利用代数方法解决几何问题，用函数观点来研究数列问题。重点知识点第一轮复习时一定要重视，一些典型题型上海高考常考常新。 三、提高课堂听课效率，多动脑，注重各种能力的提高 接受、记忆、模仿和练习是我们学习数学的重要方式之一，但是不应只限于此，我们还应独立思考，自主探索，阅读自学，独立思考是我们真正掌握所学知识的基础。 每年高考的填空选择解答压轴题都是创新题，能力题，这类试题不拘一格，突出探索、发现和创造。对于想考出高分的我们来说，不仅要吃透课本中的知识点，专题训练，平时做题还要进行灵活变换，多想想有没有其他方法，在分析问题、解决问题的能力上要提高。此外还要特别注意老师讲课中的分析与提示。 菁英听课必备：做好笔记，笔记不是记录而是将听课中的要点，思维方法等作出简单扼要的记录，以便复习，消化，思考。解答过程可以留在课后去完成，笔记的地方留点空余的地方，以备自已的感悟。 四、复习要及时，高效，多次，长期坚持 1、做好每一天的复习。上完课的当天，必须做好当天的复习。复习的有效方法不是一遍遍地看书或笔记，而是采取回忆式的复习：先把书，笔记合起来回忆上课老师讲的内容，例题：分析问题的思路、方法等(也可边想边在草稿本上写一写)尽量想得完整些。然后打开笔记与书本，对照一下还有哪些没记清的，把它补起来，就使得当天上课内容巩固下来，同时也就检查了当天课堂听课的效果如何，若碰到有些题没有思路的还需再仔细做一遍。 2、做好阶段复习。学习一个章节后应进行阶段复习，复习方法也同及时复习一样，采取回忆式复习，而后与书、笔记相对照，使其内容完善。 五、以“错”纠错，查漏补缺 这里说的“错”，是指把平时做作业中的错误收集起来。高三一轮复习，各类题要做很多。如果平时做题出错较多，就只需在试卷上把错题做上标记，在旁边写上评析，然后把试卷保存好，每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷看一看。在看参考书时，也可以把精彩之处或做错的题目做上标记，以后再看这本书时就会有所侧重。查漏补缺的过程就是反思的过程。除了把不同的问题弄懂以外，还要学会“举一反三”，及时归纳。每次订正试卷或作业时，在做错的试题旁边要写明做错的原因，大致可分为以下几类：1、题目看错;2、计算错误;3、概念错误;4、没有找到适合的方法;5、知识点 高中数学必修2知识点总结 第一章 空间几何体 1.1柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱'''''E D C B A ABCDE -或用对角线的端点字母，如五棱柱' AD 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于 底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥' ''''E D C B A P - 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高 的比的平方。 （3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台' ' ' ' ' E D C B A P - 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 1.2空间几何体的三视图和直观图 (1)定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、 俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度； 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 (2)画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 高三数学一轮复习 1.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21++=+n n n a S S ， . ①283-=+a a ；②287-=S ；③2a ，4a ，5a 成等比数列； 请在①②③这三个条件中选择一个，填入题中的横线上，并解答下面的问题： （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最小值并指明相应n 的值. 解：（1）21++=+n n n a S S ，21=-∴+n n a a ∴数列{}n a 是公差2=d 的等差数列。 选①2-922-183=+∴=+d a a a 解得10-1=a 122-=∴n a n 选②287-=S 解得10-1=a 122-=∴n a n 选③由2a ，4a ，5a 成等比数列得522 4a a a =即())4)((3112 1d a d a d a ++=+ 解得10-1=a 122-=∴n a n （2）解法一：令?? ?≥≤+001n n a a 即???≥-≤-0 1020 122n n 解得65≤≤n ∴当65==n n 或时，n s 取得最小值，且最小值为30- 解法二：)11(-=n n s n ∴当65==n n 或时，n s 取得最小值，且最小值为30- 2.在①231a b b =+，②44a b =，③255-=s 中选择一个作为条件，补充在下列题目中，使得正整数 k 的值存在，并求出正整数k 的值 设等差数列{}n a 的前n 项和为n s ，{}n b 是等比数列，★_______，51a b =，32=b ，81-5=b 是否存在正整数k ，1+k k s s ，21++k k s s 解：32=b ，81-5=b 3-=∴q 151-==∴a b 274=∴b 011 ++∴k k k a s s 0221 +++∴k k k a s s ，0-12 d a a k k =∴++ 若存在正整数k ，1+k k s s ，21++k k s s ，那么等差数列{}n a 的前n 项和为n s 必然为开口向上() 0 d 的函数模型，在条件选择的时候，选择条件②2744==a b ，由151-==a b 显然公差()0 d ，由 2020-2021高三数学上期末试题(及答案) 一、选择题 1．下列结论正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若22a b >，则a b > C ．若,0a b c ><，则a c b c +<+ D ．若a b < ，则a b < 2．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且2 39522,1a a a a ?==，则1a = ( ) A ． 12 B ．2 C ．2 D ． 22 3．已知在 中，，，分别为角，，的对边，为最小角，且， ， ，则 的面积等于（ ） A ． B ． C ． D ． 4．已知数列{}n a 的通项公式是2 21 sin 2n n a n π+=（），则12310a a a a ++++=L A ．110 B ．100 C ．55 D ．0 5．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若 63 3S S =， 则9 6S S =（ ） A ．2 B ． 7 3 C ．83 D ．3 6．设变量,x y 、满足约束条件236y x x y y x ≤?? +≥??≥-? ，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．9 7．数列{}n a 中，对于任意,m n N * ∈，恒有m n m n a a a +=+，若11 8 a = ，则7a 等于( ) A ． 7 12 B ． 7 14 C ． 74 D ． 78 8．设实数,x y 满足242210 x y x y x -≤??+≤??-≥? ，则1 y x +的最大值是（ ） A ．-1 B ． 12 C ．1 D ．32 9．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ?为锐角三角形，且满足 sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ） A ．2a b = B ．2b a = C ．2A B = D ．2B A = 45分钟滚动基础训练卷(十) [考查范围：第32讲～第35讲 分值：100分] 一、填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，把答案填在答题卡相应位置) 1．不等式|x －2|(x －1)<2的解集是________． 2．已知x 是1,2，x,4,5这五个数据的中位数，又知－1,5，－1 x ，y 这四个数据的平均数 为3，则x ＋y 最小值为________． 3．已知函数f (x )＝? ???? 2x 2＋1(x ≤0)， －2x (x >0)，则不等式f (x )－x ≤2的解集是________． 4．已知集合A ＝{x |y ＝lg(2x －x 2)}，B ＝{y |y ＝2x ，x >0}，R 是实数集，则(?R B )∩A ＝________. 5．设实数x ，y 满足????? x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0， 则u ＝y x －x y 的取值范围是________． 6．[2011·广州调研] 在实数的原有运算法则中，定义新运算a b ＝a －2b ，则|x (1－ x )|＋|(1－x )x |>3的解集为________． 7．已知函数f (x )＝x 2－cos x ，对于??? ?－π2，π 2上的任意x 1，x 2，有如下条件：①x 1>x 2；②x 21>x 22；③|x 1|>x 2.其中能使f (x 1)>f (x 2)恒成立的条件序号是________． 8．已知函数f (x )＝2x ＋a ln x (a <0)，则f (x 1)＋f (x 2)2________f ???? x 1＋x 22(用不等号填写大小关系)． 二、解答题(本大题共4小题，每小题15分，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 9．设集合A 为函数y ＝ln(－x 2－2x ＋8)的定义域，集合B 为函数y ＝x ＋1 x ＋1 的值域，集合C 为不等式? ???ax －1 a (x ＋4)≤0的解集． (1)求A ∩B ； (2)若C ??R A ，求a 的取值范围． 10．已知二次函数y ＝f (x )图象的顶点是(－1,3)，又f (0)＝4，一次函数y ＝g (x )的图象过(－2,0)和(0,2)． (1)求函数y ＝f (x )和函数y ＝g (x )的解析式； (2)当x >0时，试求函数y ＝f (x ) g (x )－2 的最小值． 高中数学主要知识点 必修1数学知识 第一章、集合与函数概念 §、集合 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合：Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §、集合间的基本关系 1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的 子集。记作B A ?. 2、 如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规定：空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子集. §、集合间的基本运算 1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A Y . 2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A I . 3、全集、补集{|,}U C A x x U x U =∈?且 运算类型 交 集 并 集 补 集 定 义 由所有属于A 且属于B 的元素所组成 的集合,叫做A,B 的交集．记作A I B （读作‘A 交B ’），即A I B=｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝． 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集．记作： A Y B （读作‘A 并 B ’），即A Y B ={x|x ∈A ，或x ∈B})． 设S 是一个集合，A 是S 的一个子集，由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集（或余集） 记作A C S ，即 C S A=},|{A x S x x ?∈且 韦 恩 图 示 A B 图1 A B 图2 S A 第1页 共64页 高考数学总复习教案 第一章-集合 考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件． 考试要求： （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． （2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义． §01. 集合与简易逻辑 知识要点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分： 二、知识回顾： （一） 集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ?，同时A B ?，那么A = B. 如果C A C B B A ???，那么，. [注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×） ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ，则C B A = ?， C A B = ? C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ?）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }二、四象限的点集. ③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集. 2019届高三数学一轮复习方案 为备战2019年高考，合理有效利用各种资源科学备考，特制定本方案，来完成高三数学一轮复习； 一、指导思想 立足课本，以纵向为主，顺序整理，真正落实“低起点，勤反复、滚动式复习”，抓牢三基，重视展现和训练思维过程，总结和完善解题程序，渗透和提炼数学思想方法，加强章节知识过关，为二轮（条件允许可进行三轮）复习打下坚实的基础，大约在2019年年初结束。 二、复习要求 1、在一轮复习中，指导学生对基础知识、基本技能进行梳理，使之达到系统化、结构化、完整化；通过对基础题的系统训练和规范训练，使学生准确理解每一个概念，能从不同角度把握所学的每一个知识点、所有可能考查到的题型，熟练掌握各种典型问题的通法。 2、一轮复习必须面向全体学生，降低复习起点，在夯实“双基”的前提下，注重培养学生的能力，包括：空间想象、运算求解、推理论证、数据处理等基本能力。复习教学要充分考虑到本班学生的实际水平，坚决反对脱离学生实际的任意拔高和只抓几个“优生”放弃大部分“差生”的不良做法，不做或少做无效劳动，加大分层教学和个别指导的力度，狠抓复习的针对性、实效性，提高复习效果。 3、在将基础问题学实学活的同时，重视数学思想方法的复习。 一定要把复习内容中反映出来的数学思想方法的教学体现在一轮复习的全过程中，使学生真正领悟到如何灵活运用数学思想方法解题。必须让学生明白复习的最终目标是新题会解，而不是单单立足于陈旧题目的熟练。 三、一轮复习进度表 1、理科 日期一轮复习主要内容用卷 8月1日--8月7日第1讲集合 第2讲命题及重要条件 第3讲 逻辑联结词与全称命题、特称命题 限时小 题训练 8月8日--9月28日第4讲函数概念及其表示 第5讲函数的单调性与最值（二次） 第6讲函数的奇偶性与周期性 第7讲二次函数与幂函数 第8讲指数与指数函数 第9讲对数与对数函数 第10讲函数的图象 第11讲函数与方程 第13讲变化率与导数、导数的运算 第14讲导数在研究函数中的应用 第15讲定积分与微积分基本定理 限时小 题训练 导数强 化练习 复习卷 人教版高中数学知识点（必修＋选修） 高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子 集，它有2 2n -非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 B {x A A = ?=? B A ? B B ? B {x A A A = A A ?= A B A ? B B ? A {|x x ()U A =? e 2()U A A U =e 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 （1）含绝对值的不等式的解法 （2）一元二次不等式的解法 0) ()()()U U A B A B =痧?()()() U U A B A B =痧? 集合 1、集合的含义 把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)． 2、集合中元素的三个特征 (1)确定性：给定集合A ，对于某个对象x ，“x ∈A ”或“x ?A ”这两者必居其一且仅居其一． (2)互异性：集合中的元素互不相同． (3)无序性：在一个给定的集合中，元素之间无先后次序之分． 3、集合的表示 (1)把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法称为列举法． (2)把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法称为描述法．常 用形式是：{x |p }，竖线前面的x 叫做集合的代表元素，p 表示元素x 所具有的公共属性． (3)用平面上一段封闭的曲线的内部表示集合，这种图形称为Venn 图．用Venn 图、数 轴上的区间及直角坐标平面中的图形等表示集合的方法称为图示法． 4、元素与集合的关系 如果x 是集合A 中的元素，则说x 属于集合A ，记作x ∈A ；若x 不是集合A 中的元素，就说x 不属于集合A ，记作x ?A ． 5、常用数集的符号表示 6、有限集与无限集 含有有限个元素的集合叫有限集，含有无限个元素的集合叫无限集． 例1：若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B ．98 C ．0 D ．0或 9 8 例2：说出下列三个集合的含义：①{x |y ＝x 2}；②{y |y ＝x 2}；③{(x ，y )|y ＝x 2}． 1．子集 例如：A＝{0,1,2}，B＝{0,1,2,3}，则A、B的关系是A?B或B?A． 2．真子集 A B(或 B A) 例如：A＝{1,2}, B＝{1,2,3}，则A、B的关系是A B(或B A) 3．相等 若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B. 例如：若A＝{0,1,2}，B＝{x,1,2}，且A＝B，则x＝0. 4．空集 没有任何元素的集合叫空集，记为?. 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 【必考题】高三数学上期末试题(含答案) 一、选择题 1．等差数列{}n a 中，已知70a >，390a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为（ ） A ．4S B ．5S C ．6S D ．7S 2．已知数列{}n a 的前n 项和2 n S n =，()1n n n b a =-则数列{}n b 的前n 项和n T 满足 （ ） A ．()1n n T n =-? B ．n T n = C ．n T n =- D ．,2,. n n n T n n ?=? -?为偶数， 为奇数 3．在ABC ?中,,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,若 2?a bcos C =,则此三角形一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角 三角形 4．已知函数223log ,0(){1,0 x x f x x x x +>=--≤，则不等式()5f x ≤的解集为 ( ) A ．[]1,1- B ．[]2,4- C ．(](),20,4-∞-? D ．(][] ,20,4-∞-? 5．已知等差数列{}n a ,前n 项和为n S ,5628a a +=,则10S =( ) A ．140 B ．280 C ．168 D ．56 6．设数列{}n a 是等差数列，且26a =-，86a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ）． A ．45S S < B ．45S S = C ．65S S < D ．65S S = 7．已知正项等比数列{}n a 的公比为3，若2 29m n a a a =，则 212m n +的最小值等于（ ） A ．1 B ． 12 C ． 34 D ． 32 8．已知数列{}n a 满足112,0,2 121,1, 2n n n n n a a a a a +? ≤ 2012届高三数学一轮基础知识复习第一部分 集合 1．理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ； 2．数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决； 3．（1）含n 个元素的集合的子集数为2n ,真子集数为2n －1；非空真子集的数为2n －2； （2）;B B A A B A B A =?=?? 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。 4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 第二部分 函数与导数 1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。 2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ； ⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 2 2 2 2b a b a a b +≤ +≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（x a 、x sin 、x cos 等）；⑨导数法 3．复合函数的有关问题 （1）复合函数定义域求法： ① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b 解出 ② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。 （2）复合函数单调性的判定： ①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y =； ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性； ③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5．函数的奇偶性 ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．； ⑵)(x f 是奇函数?f(－x)=－f(x)；)(x f 是偶函数?f(－x)= f(x) ⑶奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f ； ⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； ⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6．函数的单调性 ⑴单调性的定义： ①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈??当21x x <时有12()()f x f x <； 新人教版高中数学必修4知识点总结经典 新课标高中数学必修4知识点详细总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?< 高三数学第一轮复习计划 王旭丽 高考数学命题近年来经历了由“知识立意”向“能力立意”的转变，体现了对能力和潜能的考察，使知识考查服务于能力考查。针对这一命题走向，怎样在短暂的时间内搞好总复习，提高效率，减轻负担是我的核心理念。 一、夯实基础。 今年高考数学试题的一个显著特点是注重基础。扎实的数学基础是成功解题的关键，从学生反馈来看，平时学习成绩不错但得分不高的主要原因不在于难题没做好，而在于基本概念不清，基本运算不准，基本方法不熟，解题过程不规范，结果“难题做不了，基础题又没做好”，因此在第一轮复习中，我们将格外突出基本概念、基础运算、基本方法，具体做法如下：1.注重课本的基础作用和考试说明的导向作用；2.加强主干知识的生成，重视知识的交汇点；3.培养逻辑思维能力、直觉思维、规范解题习惯；4.加强反思，完善复习方法。 二、解决好课内课外关系。 课内：（1）例题讲解前，留给学生思考时间；讲解中，让学生陈述不同解题思路，对于解题过程中的闪光之处或不足之处进行褒扬或纠正；讲解后，对解法进行总结。对题目尽量做到一题多解，一题多用。一题多解的题目让学生领会不同方法的优劣，一题多用的题目 让学生领会知识间的联系。（2）学生作业和考试中出现的错误，不但指出错误之处，更要引导学生寻根问底，使学生找出错误的真正原因。（3）每节课留10分钟让学生疏理本节知识，理解本节内容。 课外：除了正常每天布置适量作业外，另外布置一两道中档偏上的题目，判作业时面批面改，指出知识的疏漏。 三、注重师生互动 1.多让学生思考回答问题，对于有些章节知识，按难易程度选择六至八道，尽量独自完成，无法独立解决的可以提示思路。 2.让学生自我小结，每一章复习完后，让学生自己建立知识网络结构，包括典型题目、思想方法、解题技巧，易错易做之题； 3.每次考试结束后，让学生自己总结：①试题考查了哪些知识点； ②怎样审题，怎样打开解题思路；③试题主要运用了哪些方法，技巧，关键步在哪里；④答题中有哪些典型错误，哪些是知识、逻辑心理因素造成，哪些是属于思路上的。 四、精选习题。 1．把握好题目的难度，增强题目针对性，所选题目以小题、中档题为主，且应突出知识重点，体现思想方法、兼顾学生易错之处。 2.减少题目数量，加强质量。 高三数学第一轮复习计划 高三数学课复习面广、量大、时间紧迫，为科学有效地进行高三数学复习，结合历 年高考，决定采取如下措施： 一、夯实基础。 高考数学试题的一个显著特点是注重基础。扎实的数学基础是成功解题的关键，从学生反馈来看，平时学习成绩不错但得分不高的主要原因不在于难题没做好，而在于基本概念不清，基本运算不准，基本方法不熟，解题过程不规范，结果难题做不了，基础题又没做好，因此在第一轮复习中，我们将格外突出基本概念、基础运算、基本方法，具体做法如下： 1. 注重课本的基础作用和考试说明的导向作用； 2.加强主干知识的生成，重视知识的交汇点； 3.培养逻辑思维能力、直觉思维、规范解题习惯； 4.加强反思，完善复习方法。 二、解决好课内课外关系。 课内： 1）例题讲解前，留给学生思考时间；讲解中，让学生陈述不同解题思路，对于解题过程中的闪光之处或不足之处进行褒扬或纠正；讲解后，对解法进行总结。对题目尽量做到一题多解，一题多用。一题多解的题目让学生领会不同方法的优劣，一题多用的题目让学生领会知识间的联系。 2）学生作业和考试中出现的错误，不但指出错误之处，更要引导学生寻根问底，使学生找出错误的真正原因。 3）每节课留5-10分钟让学生疏理本节知识，理解本节内容。 课外： 1）每天布置适量作业。 2）加强重点生中的缺腿生的辅导工作。 3）指出知识的疏漏，学法的不正。 三、强化学生参与合作 ”1.让学生自我小结，每一章复习完后，让学生自己建立知识网络结构，包括典型题目、思想方法、解题技巧，易错易做之题； 2.每次考试结束后，让学生自己总结：①试题考查了哪些知识点；②怎样审题，怎样打开解题思路；③试题主要运用了哪些方法，技巧，关键步在哪里；④答题中有哪些典型错误，哪些是知识、心理因素造成，哪些是属于思路上的。 3.充分发挥每一节课的效益，备好每一节课，讲好每一节课，要给一定的课时让学生看书自学。 四、精选习题。 1把握好题目的难度，增强题目针对性，所选题目以小题、中档题为主，且应突出 知识重点，体现思想方法、兼顾学生易错之处。 2.减少题目数量，加强质量。题目数 量过大，学生易疲惫生厌，没有思考消化时间，删减偏难怪，技巧过于单一、计算过 于繁杂的题目。 总之，为我校的高考数学成绩，我们将一如既往地尽自己最大的努力，做出自己应尽 的最大的贡献！ 五、复习内容具体安排如下： 2019届高三第一轮复习《原创与经典》（苏教版） （理科） 第一章集合常用逻辑用语推理与证明 第1课时集合的概念、集合间的基本关系 第2课时集合的基本运算 第3课时命题及其关系、充分条件与必要条件 第4课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 第5课时合情推理与演泽推理 第6课时直接证明与间接证明 第7课时数学归纳法 第二章不等式 第8课时不等关系与不等式 第9课时一元二次不等式及其解法 第10课时二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 第11课时基本不等式及其应用 第12课时不等式的综合应用 第三章函数的概念与基本初等函数 第13课时函数的概念及其表示 第14课时函数的定义域与值域 第15课时函数的单调性与最值 第16课时函数的奇偶性与周期性9 第17课时二次函数与幂函数 第18课时指数与指数函数 第19课时对数与对数函数 第20课时函数的图象 第21课时函数与方程 第22课时函数模型及其应用 第四章 导数 第23课时 导数的概念及其运算（含复合函数的导数） 第24课时 利用导数研究函数的单调性与极值 第25课时 函数的最值、导数在实际问题中的应用 第五章 三角函数 第26课时 任意角、弧度制及任意角的三角函数 第27课时 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 第28课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第29课时 二倍角的三角函数 第30课时 三角函数的图象和性质 第31课时 函数sin()y A x ω?=+的图象及其应用 第32课时 正弦定理、余弦定理 第33课时 解三角形的综合应用 第六章 平面向量 第34课时 平面向量的概念及其线性运算 第35课时 平面向量的基本定理及坐标表示 第36课时 平面向量的数量积 第37课时 平面向量的综合应用 第七章 数 列 第38课时 数列的概念及其简单表示法 第39课时 等差数列 第40课时 等比数列 第41课时 数列的求和 第42课时 等差数列与等比数列的综合应用 第八章 立体几何初步 第43课时 平面的基本性质及空间两条直线的位置关系 2020年高三数学下期末试卷(及答案)(2) 一、选择题 1．已知2a i b i i +=+ ，,a b ∈R ，其中i 为虚数单位，则+a b =（ ） A ．-1 B ．1 C ．2 D ．3 2．在复平面内，O 为原点，向量OA u u u v 对应的复数为12i -+，若点A 关于直线y x =-的对称点为点B ，则向量OB uuu v 对应的复数为( ) A ．2i -+ B ．2i -- C ．12i + D ．12i -+ 3． ()()3 1i 2i i --+=（ ） A ．3i + B ．3i -- C ．3i -+ D ．3i - 4．若设a 、b 为实数，且3a b +=，则22a b +的最小值是（ ） A ．6 B ．8 C ．D ．5．一动圆的圆心在抛物线2 8y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则此动圆必过定点（ ） A ．(4,0) B ．(2,0) C ．(0,2) D ．(0,0) 6．已知集合1}{0|A x x -≥=，{0,1,2}B =，则A B =I A ．{0} B ．{1} C ．{1,2} D ．{0,1,2} 7．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ） A ．乙、丁可以知道自己的成绩 B ．乙可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．丁可以知道四人的成绩 8．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab += B ．4a b +> C ．()()2 2 112 a b -+-< D ．228a b +> 9．设F 为双曲线C ：22 221x y a b -=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径 的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 A B C ．2 D 10．已知,a b ∈R ，函数32 ,0()11(1),03 2x x f x x a x ax x 新高三数学上期末试题及答案 一、选择题 1．已知点(),M a b 与点()0,1N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论： ①3450a b -+>；②当0a >时，+a b 有最小值，无最大值；③221a b +>；④当 0a >且1a ≠时，1 1b a +-的取值范围是93,,44????-∞-?+∞ ? ????? ， 正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．若正实数x ，y 满足141x y +=，且234 y x a a +>-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]1,4- B ．()1,4- C ．[]4,1- D ．()4,1- 3．已知数列{}n a 的前n 项和2 n S n =，()1n n n b a =-则数列{}n b 的前n 项和n T 满足 （ ） A ．()1n n T n =-? B ．n T n = C ．n T n =- D ．,2,.n n n T n n ?=?-? 为偶数， 为奇数 4．若正项递增等比数列{}n a 满足()()()243510a a a a R λλ+-+-=∈，则89a a λ+的最小值为（ ） A ．9 4 - B ． 94 C ． 274 D ．274 - 5．正项等比数列 中，的等比中项为，令 ，则 （ ） A ．6 B ．16 C ．32 D ．64 6．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36=2S =18S ，，则10 5 S S 等于( ) A ．－3 B ．5 C ．33 D ．－31 7．设数列{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则1210b b b a a a ++?+=（ ） A ．1033 B ．1034 C ．2057 D ．2058 8．数列{}{},n n a b 为等差数列，前n 项和分别为,n n S T ，若 3n 2 2n n S T n +=，则7 7a b =（ ） 2012届高三数学第一轮复习计划 (文科) 一. 背景分析 近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则。考试题不但坚持了考查全面，比例适当，布局合理的特点，也突出体 现了变知识立意为能力立意这一举措。更加注重考查考生进入高校学习所需的基 本素养，这些问题应引起我们在教学中的关注和重视。 2012年山东数学试卷充分发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学 数学基础知识的掌握程度，又注意考查进入高校继续学习的潜能。做到了总体保持稳定，深化能力立意，积极改革创新，兼顾了数学基础、思想方法、思维、应 用和潜能等多方面的考查，融入课程改革的理念，拓宽题材，选材多样化，宽角度、多视点地考查数学素养，多层次地考查思想能力，充分体现出山东卷的特色： 1 试题题型平稳突出对主干知识的考查重视对新增内容的考查 2 充分考虑文、理科考生的思维水平与不同的学习要求，体现出良好的层次性 3 重视对数学思想方法的考查 4 深化能力立意，考查考生的学习潜能 5 重视基础，以教材为本 6 重视应用题设计，考查考生数学应用意识 二、教学计划与要求 新课已授完，高三将进入全面复习阶段，全年复习分两轮进行。 第一轮为系统复习（第一学期），此轮要求突出知识结构，扎实打好基础知识，全面落实考点，要做到每个知识点，方法点，能力点无一遗漏。在此基础上，注意各部分知识点在各自发展过程中的纵向联系，以及各个部分之间的横向联 系，理清脉络，抓住知识主干，构建知识网络。在教学中重点抓好各中通性、通 法以及常规方法的复习，是学生形成一些最基本的数学意识，掌握一些最基本的数学方法。同时有意识进行一定的综合训练，先小综合再大综合，逐步提高学生解题能力。 三、具体方法措施 1. 认真学习《考试说明》，研究高考试题,提高复习课的效率。 《考试说明》是命题的依据，复习的依据. 高考试题是《考试说明》的具体体现。只有研究近年来的考试试题，才能加深对《考试说明》的理解，找到我 们与命题专家在认识《考试说明》上的差距。并力求在复习中缩小这一差距，更好地指导我们的复习。 2．高质量备课， 参考网上的课件资料，结合我校学生实际，高度重视基础知识，基本技能和基本方法的复习。充分发挥全组老师的集体智慧，确保每节课件都是高质量的。 统一教案、统一课件。 3．高效率的上好每节课， 重视“通性、通法”的落实。要把复习的重点放在教材中典型例题、习题上； 放在体现通性、通法的例题、习题上；放在各部分知识网络之间的内在联系上抓 好课堂教学质量，定出实施方法和评价方案。 4．狠抓作业批改、讲评，教材作业、练习课内完成，课外作业认真批改、 讲评。一题多思多解，提炼思想方法，提升学生解题能力。 5．认真落实月考，考前作好指导复习，试卷讲评起到补缺长智的作用。高三数学第一轮复习顺序
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