《概率论与数理统计》疑难解析
·内容提要/ ·疑难分析/ ·例题解析
目录
第一章随机事件及其概率 (1)
第二章随机变量及其分布 (7)
第三章多维随机变量及其分布 (13)
第四章随机变量的数字特征 (19)
第五章大数定律和中心极限定理 (24)
第六章数理统计的基本概念 (26)
第七章参数估计 (29)
第八章假设检验 (33)
第九章方差分析和回归分析 (35)
第一章随机事件及其概率
内容提要
1、随机试验、样本空间与随机事件
（1）随机试验：具有以下三个特点的试验称为随机试验，记为E。
1）试验可在相同的条件下重复进行；
2）每次试验的结果具有多种可能性，但试验之前可确知试验的所有可能结果；
3）每次试验前不能确定哪一个结果会出现。
（2）样本空间：随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E 的样本空间，记为Ω；试验的每一个可能结果，即Ω中的元素，称为样本点，记为e。
（3）随机事件：在一次试验中可能出现也可能不出现的事件称为随机事件，简称事件，常用A、B、C 等大写字母表示；可表述为样本空间中样本点的某个集合，分为复合事件和简单事件，还有必然事件（记为Ω）和不可能事件（记为Φ）。
2、事件的关系与运算
（1）包含关系与相等：“事件A发生必导致B发生”，记为或；
且
（2）和事件（并）：“事件A与B至少有一个发生”，记为。
（3）积事件（交）：“ 事件A与B同时发生”，记为或AB 。
（4）差事件、对立事件(余事件)：“事件A发生而B不发生”，记为A－B称为A与B的差事件；称为B的对立事件；易知：。
（5）互不相容性：AB=ф；A、B互为对立事件且。
（6）事件的运算法则：1) 交换律：；
2) 结合律：；
3) 分配律：；
4) 对偶(De Morgan) 律：，，可推广
。
3、频率与概率
（1）频率的定义：事件A在n次重复试验中出现次，则比值称为事件A在n次重复试验中出现的频率，记为，即。
（2）统计概率：当n→∞时，频率。当很大时，称为事件A 的统计概率。
（3）古典概率：若试验的基本事件数为有限个，且每个事件发生的可能性相等，则试验对
应古典概型（等可能概型），事件A 发生的概率为：。
（4）几何概率：若试验基本事件数无限，随机点落在某区域g 的概率与区域g 的测度(长度、面积、体积等)成正比，而与其位置及形状无关，则试验对应几何概型，“在区域Ω中随机
地取一点落在区域g中”这一事件发生的概率为：。
（5）概率的公理化定义：设(Ω,F )为可测空间，在事件域F上定义一个实值函数，满足：1) 非负性：，对任意；2) 规范性：；3) 可
列可加性：若有一列，使得，则称
为σ域F上的概率测度，简称“概率”．
4、概率的基本性质
（1）不可能事件概率零：P(Φ)＝0。
（2）有限可加性：设是n 个两两互不相容的事件，即，
，则有
（3）单调不减性：若事件，则，且。
（4）互补性：，且。
（5）加法公式：对任意两事件A、B，有；此性质可推广到任意n个事件的情形。
（6）可分性：对任意两事件A、B ，有。
5、条件概率与乘法公式
（1）条件概率：设A、B是Ω中的两个事件，即，则称为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率。
（2）乘法公式：设，则称为事件A、B的概率乘法公式。
6、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式
（1）全概率公式：设是Ω的一个划分，且，则对任何事件，有，称为全概率公式。
（2）贝叶斯(Bayes)公式：设n 是Ω的一个划分，且，
则对任何事件，有，称为贝叶斯公式或逆概
率公式。
7、事件的独立性
（1）两事件的独立：设(Ω,F ,P)
为一概率空间，事件
，且，若
，则称事件A与B 相互独立；等价于：。
（2）多个事件的独立：设n 是n 个事件，如果对任意的，任意
的
，具有等式，称n 个事件相互独立。
8、贝努里(Bernoulli)概型
（1）只有两个可能结果的试验称为贝努里试验，常记为E。E也叫做“成功—失败”试验，“成功”的概率常用p=P(A) 表示，其中A ＝“成功”。
（2）把E重复独立地进行n 次，所得的试验称为n 重贝努里试验，记为。
（3）把E
重复独立地进行可列多次，所得的试验称为可列重贝努里试验，记为．以
上三种贝努里试验统称为贝努里概型。
（4）中成功k 次的概率是：其中p+q =1。
疑难分析
1、必然事件与不可能事件
必然事件是在一定条件下必然发生的事件，不可能事件指的是在一定条件下必然不发生的事件。它们都不具有随机性，是确定性的现象，但为研究的方便，把它们看作特殊的随机事件。
2、互逆事件与互斥事件
如果两个事件A与B必有一个事件发生，且至多有一个事件发生，则A 、B为互逆事件；如果两个事件A与B 不能同时发生，则A 、B为互斥事件.因而，互逆必定互斥，互斥未必互逆。
区别两者的关键是：当样本空间只有两个事件时，两事件才可能互逆，而互斥适用与多个事件的情形。作为互斥事件在一次试验中两者可以都不发生，而互逆事件必发生一个且只发生一个。
3、两事件独立与两事件互斥
两事件A 、B独立，则A 与B中任一个事件的发生与另一个事件的发生无关，这时P(AB) = P(A)P(B)；而两事件互斥，则其中任一个事件的发生必然导致另一个事件不发生，这两事件的发生是有影响的，这时AB = Ω，P(AB) = 0 。可以用图形作一直观解释。
在图1-1
左边的正方形中，
P(AB) = 0，表示样本空间中两事件的互斥关系。
4、条件概率P(A | B)与积事件概率P(AB)
P(AB)是在样本空间Ω内，事件AB的概率，而
P(A | B)是在试验E增加了新条件B发生后的缩减的样本空间ΩB中计算事件的概率。虽然A、B 都发生，但两者是不同的，一般说来，当A 、B同时发生时，常用P(AB)，而在有包含关系或明确的主从关系时，用P(A | B) 。如袋中有9 个白球1 个红球，作不放回抽样，每次任取一球，取2 次，求：（1）第二次才取到白球的概率；（2）第一次取到的是白球的条件下，
第二次取到白球的概率。问题（1）求的就是一个积事件概率的问题，而问题（2）求的就是一个条件概率的问题。
5、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式
当所求的事件概率为许多因素引发的某种结果，而该结果又不能简单地看作这诸多事件之和时，可考虑用全概率公式，在对样本空间进行划分时，一定要注意它必须满足的两个条件。贝叶斯公式用于试验结果已知，追查是何种原因（情况、条件）下引发的概率。
例题解析
【例1】写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点：
（1）掷一棵骰子，出现奇数点。
（2）投掷一枚均匀硬币两次：1）第一次出现正面；2）两次出现同一面；3）至少有一次出现正面。
（3）在1，2，3，4 四个数中可重复地抽取两个数，其中一个数是另一个数的两倍。
（4）将a,b 两只球随机地放到3 个盒子中去，第一个盒子中至少有一个球。
分析：可对照集合的概念来理解样本空间和样本点：样本空间可指全集，样本点是元素，事件则是包含在全集中的子集。
解：(1) 掷一棵骰子，有六种可能结果，如果用“1”表示“出现1 点”这个样本点，其余类似。则样本空间为：Ω={1，2，3，4，5，6}，出现奇数点的事件为：{1，3，5}。
（2）投掷一枚均匀硬币两次，其结果有四种可能，若用（正，反）表示“第一次出现正面，第二次出现反面”这一样本点，其余类似。则样本空间为：Ω={（正,正）,（正,反）,（反,正）,（反,反）}，用A、B、C分别表示上述事件1）、2）、3），则事件A ={（正,正）,（正,反）}；事件B={（正,正），（反,反）}；事件C={（正,正）,（正,反）,（反,正）}。
（3）在1，2，3，4 四个数中可重复地抽取两个数，共有42 = 16种可能，若用(i, j )表示“第一次取数i ，第二次取数j ”这一样本点，则样本空间为：
Ω={ (i, j ) } (i, j =1,2,3,4)；其中一个数是另一个数的两倍的事件为：{（1,2）,（2,1）,（2,4）,（4,2）}。
(4)三个盒子分别记为甲、乙、丙，将a,b 两只球随机地放到3 个盒子中去共有九种结果。若用（甲、乙）表示“a 球放入甲盒，b球放入乙盒”这一样本点，其余类似。则样本空间为：Ω={（甲，甲），（甲，乙），（甲，丙），（乙，乙），（乙，甲），（乙，丙），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丙）}；第一个盒子中至少有一个球的事件为：{（甲，甲），（甲，乙），（甲，丙），（乙，甲），（丙，甲）}。
【例2】设A、B、C为三个事件，用A、B、C 的运算关系表示下列各事件：（1）仅A发生；（2）A与C都发生，而B不发生；
（3）所有三个事件都不发生；（4）至少有一个事件发生；
（5）至多有两个事件发生；（6）至少有两个事件发生；
（7）恰有两个事件发生；（8）恰有一个事件发生.
分析：利用事件的运算关系及性质来描述事件。
解：（1）；（2）；（3）或；（4）或
；（5）或
；
（6）或；
（7）；（8）。
【例3】把n个不同的球随机地放入个盒子中，求下列事件的概率：
（1）某指定的n个盒子中各有一个球；
（2）任意n个盒子中各有一个球；
（3）指定的某个盒子中恰有m(m ≥n)个球。
分析：这是古典概率的一个典型问题，许多古典概率的计算问题都可归结为这一类型.每个球都有N 种放法，n个球共有N n 种不同的放法。“某指定的n个盒子中各有一个球”相当于n个球在n个盒子中的全排列；与（1）相比，（2）相当于先在N 个盒子中选n个盒子，再放球；（3）相当于先从n个球中取m个放入某指定的盒中，再把剩下的n -m个球放入N -1个盒中。解：样本空间中所含的样本点数为。
（1）该事件所含的样本点数是n!，故：；
（2）在N个盒子中选n 个盒子有种选法，故所求事件的概率为：；
（3）从n个球中取m 个有种选法，剩下的个球中的每一个球都有种放法，故所求事件的概率为：。
【例4】随机地向由所围成的正方形内掷一点，点落在该正方形内任何区域的
概率与区域面积成正比，求原点和该点的连线与x 轴正向的夹角小于的概率。
分析：这是一个几何概率问题，通常可借助几何上的度量（长度、面积、体积或容积等）来合理地规定其概率。
解：用S表示该正方形的面积，表示S 1
图1.2 阴影部分面积，则所求的概率为：
【例5】设事件A与B互不相容，且P(A) = p,P(B = q ，求下列事件的概率：
。
分析：按概率的性质进行计算。
解：A与B互不相容，所以AB = Ω，P(AB) = P(Ω) = 0；
P(A +B) = P(A)+ P(B) = p +q；由于A与B互不相容，这时，从而
；由于，从而。
【例6】某住宅楼共有三个孩子，已知其中至少有一个是女孩，求至少有一个是男孩的概率（假设一个小孩为男或为女是等可能的）。
分析：在已知“至少有一个是女孩”的条件下求“至少有一个是男孩”的概率，所以是条件概率问题。根据公式，必须求出。
解：设A ={至少有一个女孩}，B={至少有一个男孩}，则={三个全是男孩}，={三个全是女孩}，于是，事件AB为“至少有一个女孩且至少有一个男孩”，因为，且，所以
=，从而，在已知至少有一个为女孩的条件下，求至少有一个是男孩的概率为：
。
【例7】某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件制造厂提供的。根据以往的记录有以下的数据(表1-1)。表1-1
设这三家工厂的产品在仓库中均匀混Array合的，且无区别的标志。
（1）在仓库中随机地取一只晶体管，求
它是次品的概率。（2）在仓库中随机地取
一只晶体管，若已知取到的是次品，为分
析此次品出自何厂，需求出此次品由三家
工厂生产的概率分别是多少.试求这些概率。
分析：事件“取出的一只晶体管是次品”可分解为下列三个事件的和：“这只次品是一厂提供的”、“这只次品是二厂提供的”、“这只次品是三厂提供的”，这三个事件互不相容，可用全概率公式进行计算。一般地，当直接计算某一事件A 的概率P(A)比较困难，而比较容易计算，且时，可考虑用全概率公式计算P(A)。（2）为条件概率，可用贝叶斯公式进行计算。
解：设A 表示“取到的是一只次品”，表示“所取到的产品是由第i 家工厂提供的”。
易知，是样本空间Ω的一个划分，且有，，，
（1）由全概率公式：。
（2）由贝叶斯公式：。
以上结果表明，这只次品来自第二家工厂的可能性最大。
【例8】一名工人照看A、B、C三台机床，已知在1小时内三台机床各自不需要工人照看的概率为。求1 小时内三台机床至多有一台需要照看的概率。
分析：每台机床是否需要照看是相互独立的，这样，可根据事件的独立性性质及加法公式进行计算。
解：各台机床需要照看的事件是相互独立的，而三台机床至多有一台需要照看的事件D 可写成：
，则由加法公式与独立性性质得：
=。
【例9】某车间有10 台同类型的设备，每台设备的电动机功率为10 千瓦.已知每台设备每小时实际开动12 分钟，它们的使用是相互独立的。因某种原因，这天供电部门只能给车间提供50 千瓦的电力。问该天这10 台设备能正常运作的概率是多少？
分析：由题意知，所要求的概率就是求“该天同时开动的设备不超过5 台”这一事件的概率。因
为每台设备的使用是相互独立的，且在某一时刻，设备只有开动与不开动两种情况，所以本题可视为10 重贝努里试验，可用二项概率公式进行求解。
解：设A表示事件“设备开动”，X表示“同时开动的设备数”，则由二项概率公式得：
，同时开动不超过5台的概率：
；
故该天这10 台设备能正常运作的概率为0.994。
第二章随机变量及其分布
内容提要
1、随机变量
设Ω是随机试验的样本空间，如果对于试验的每一个可能结果，都有唯一的实数X (ω) 与之对应，则称X (ω)为定义在Ω上的随机变量，简记为X。随机变量通常用大写字母X、Y、Z等表示。
2、分布函数及其性质
设X为随机变量，x 为任意实数，函数称为随机变量X 的
分布函数。
分布函数完整地描述了随机变量取值的统计规律性，具有以下性质：
（1）
；
（2）如果，则；
（3）F (x )为右连续，即F (x + 0) = F (x)；
（4）；
（5）
3、离散型随机变量及其概率分布
如果随机变量X 只能取有限个或可列个可能值，则称X为离散型随机变量。如果X 的一切可能值为，并且X 取的概率为，则称为离散型随机变量的概率函数（概率分布或分布律）。列成表格形式，也称为分布列(表2-1)：
其中
常见的离散型随机变量的分布有：
（1）0-1 分布，记为X ~ (0-1)，概率函数
；
（2）二项分布，记为X ~ B(n, p)，概率函数
；
（3）泊松分布，记为X ~ P(λ )，概率函数，λ＞0；
泊松定理设λ＞0是一常数，n是任意正整数，设，则对于任一固定的非负整数k，有。
当n 很大且p很小时，二项分布可以用泊松分布近似代替，即，
其中。
（4）超几何分布，记为X ~ H (n,M ,N )，概率函数
，
其中为正整数，且。
当N 很大，且较小时，有。]
（5）几何分布，记为X ~ G(p)，概率函数。
4、连续型随机变量及其概率分布
如果对于随机变量X的分布函数F (x )，存在非负函数f (x)，使对于任一实数x，有
，则称X 为连续型随机变量。函数 f (x)称为X 的概率密度函数。
概率密度函数具有以下性质：
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）如果f (x)在x 处连续，则F (x ) = f (x) 。
常见的连续型随机变量的分布有：
（1）均匀分布，记为X ~U (a,b)，概率密度为，
.相应的分布函数为；；
（2）指数分布，记为X ~ E(λ )，概率密度为
.相应的分布函数为；
（3）正态分布，记为，概率密度为，相应的分布函数为；
当μ= 0，σ = 1时，即X ~ N (0,1)时，称X服从标准正态分布.这时分别用ф (x)和Φ(x)表
示X
的密度函数和分布函数，即
，。具有性质：。
一般正态分布的分布函数F (x )与标准正态分布的分布函数Φ(x)有关系：
。
5、随机变量函数的分布
（1）离散型随机变量函数的分布
设X 为离散型随机变量，其分布列为
(表2-2)：则Y = g (X )
其分布列为(表2-3)：
有相同值时，要合并为一项，
对应的概率相加。
（2）连续型随机变量函数的分布
设X为离散型随机变量，概率密度为，则Y = g (X )的概率密度有两种方法可求。
1）定理法：若y = g (x) 在X 的取值区间内有连续导数，且g (x )单调时，Y = g (X )是连续型随机变量，其概率密度为
其中是g (x )的反函数。
2）分布函数法：先求Y = g (X )的分布函数
，然后求。
疑难分析
1、随机变量与普通函数
随机变量是定义在随机试验的样本空间Ω上，对试验的每一个可能结果，都有唯一的实数X (ω)与之对应。从定义可知：普通函数的取值是按一定法则给定的，而随机变量的取值是由统计规律性给出的，具有随机性；又普通函数的定义域是一个区间，而随机变量的定义域是样本空间。
2、分布函数F (x )的连续性
定义左连续或右连续只是一种习惯.有的书籍定义分布函数F (x )左连续，但大多数书籍定义分布函数F (x )为右连续。左连续与右连续的区别在于计算F (x )时，X = x点的概率是否计
算在内。对于连续型随机变量，由于，故定义左连续或右连续没有什么区别；对于离散型随机变量，由于，则定义左连续或右连续时值就不相同，这时，就要注
意对F (x )定义左连续还是右连续。
例题解析
【例1】分析下列函数是否是分布函数。若是分布函数，判断是哪类随机变量的分布函数。
分析：可根据分布函数的定义及性质进行判断。
解：（1）F (x )在上单调不减且右连续。同时，。故F (x )是随机变量的分布函数。有F (x )的图形可知是阶梯形曲线，故F (x )是离散型随机变量的分布函数；
（2）由于F (x )在上单调下降，故不是随机变量的分布函数。但只要将F (x )中的π改
为π/2，就满足单调不减右连续，且，这时F (x )就是随机变量的
分布函数。由F (x )可求得。显然，F (x )是连续型随机变量的分布函数；
（3）F (x )在上单调不减且右连续，且，是随机变量的分布
函数。但F (x )在x = 0和x=1/2处不可导，故不存在密度函数f (x)，使得。同时，F (x )的图形也不是阶梯形曲线，因而F (x )既非连续型也非离散型随机变量的分布函数。【例2】盒中装有大小相等的球10 个，编号分别为0、1、2、…、9.从中任取1 个，观察号码是“小于5”、“等于5”、“大于5”的情况.试定义一个随机变量，求其分布律和分布函数。
分析：“任取 1 球的号码”是随机变量，它随着试验的不同结果而取不同的值。根据号码是“小于5”、“等于5”、“大于5”的三种情况，可定义该随机变量的取值.进一步，可由随机变量的分布律与分布函数的定义，求出其分布律与分布函数。
解：分别用表示试验的三种结果“小于5”、“等于5”、“大于5”，这时试验的样本空间为，定义随机变量X 为：，X取每个值的概率
为：，
，；故的分布律为(表2-4)：
当x＜0时，；
当时，
；
当时，
；
当时，；由此求得分布函数为：。
【例3】设1 小时内进入某图书馆的读者人数服从泊松分布。已知1 小时内无人进入图书馆的概率为0.01。求1 小时内至少有2 个读者进入图书馆的概率。 分析：1 小时内进入图书馆的人数是一个随机变量X ，且X ~ P (λ ) 。这样，{X = 0}表示在1 小时内无人进入图书馆，{X ≥ 2}表示在1小时内至少有2人进入图书馆。通过求参数λ，进一步，求P {X ≥ 2} 。
解： 设X 为在1 小时内进入图书馆的人数， 则X ~ P (λ ) ， 这时：
已知
，故。所求概率为：
。
【例4】设随机变量X 的密度函数为，试求：
（1）常数c ；（2）；（3）X 的分布函数。
分析
：由密度函数的性质
可求得常数c
；对密度函数在
上积分，即得
；根据连续型随机变量分布函数的定义可求的分布函数。
解：（1） 由 得：
；
（2）；
（3）当
时，
是不可能事件，所以
；当
时，
当x ≥1 时，
；所以，X 的分布函数为：
。
【例5】设顾客在某银行窗口等待服务的时间X （以分计）服从指数分布，其概率密度为
，某顾客在窗口等待服务，若超过10 分钟，他就离开。他一个月要到银
行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y 的分布律，并求。
分析：显然，Y 为随机变量，取值为0、1、2、3、4、5，且Y ~ B (5, p ) 。由 p = P {X ＞10}及分布律的定义，可求得Y 的分布律，进而求P {Y ≥1} 。 解：Y 的取值为0、1、2、3、4、5，Y ~ B (5, p ) 。由题意得：
故的分布律为：
即(表2-5)：
所以，。
【例6】某单位招聘2500 人，按考试成绩从高分到低分依次录用，共有10000 人报名，假设报名者的成绩，已知90分以上有359 人，60分以下有1151 人，问被录用者中
最低分为多少？ 分析：已知成绩
，但不知μ、σ 的值，所以，本题的关键是求μ、σ，再进 一步根据正态分布标准化方法进行求解。 解：根据题意：，故
，
而
，反查标准正态分布表，得：
(1)
同样，
，而
，通过反查标准正态分布
表，得：
(2)
由（1）、（2）两式解得：μ = 72，σ =10，所以X ~ N (72,102 )； 已知录用率为2500/10000=0.25，设被录用者中最低分为X 0
，则
而
，反查标准正态分布表，得：
，解得x 0= 78.75
故：被录用者中最低分为79 分。 【例7】设X 的分布律为(表2-6)： 求
的分布律。
分析：X 是离散型随机变量， Y 也是 离散型随机变量.当X 取不同值时，将
Y 那些取相等的值分别合并，并把相应的概率相加.从而得到Y 的分布律。 解：X 与Y 的对应关系如下表2-7：
由上表可知，Y 的取值只有-1，0，1三种可能，由于
，
，
分析：由于函数
在
上单调增加，且可导，故可按公式法求Y 的概率密度。
解：由
知，所以的取值区间为
。
当y ≤ 0 时，
； 当
时， 有反函数
， 从而
，由此得随机变量Y 的概率密度为：
。
【例9】已知X ~ N (0,1)，求的概率密度。 分析：根据分布函数的定义，先求的分布函数，然后对其求导，即可得到Y 的概率密度。
解：若y ≤0，则{Y ≤y }是不可能事件，因而
，
若y ＞ 0，则有
，
，从而，Y 的概率密度为：
。
第三章 多维随机变量及其分布
内容提要
1、二维随机变量及其联合分布函数
设X ，Y 为随机变量，则称它们的有序数组（X ,Y ）为二维随机变量。 设（X ,Y ）为二维随机变量，对于任意实数x 、y ，称二元函数为（X ,Y ）的联合分布函数。 联合分布函数具有以下基本性质：
（1）F (x , y )是变量x 或y 的非减函数； （2）
且
，
，
；
（3）F (x , y )关于x 右连续，关于y 也右连续； （4）对任意点
，若
，则
。
上式表示随机点(X ,Y )落在区域
内的概率为：
2、二维离散型随机变量及其联合分布律
如果二维随机变量(X ,Y )所有可能取值是有限对或可列对，则称(X ,Y )为二维离散型随机变量。
设(X ,Y ) 为二维离散型随机变量，它的所有可能取值为
将
或表3.-1 称为的联合分布律。 联合分布律具有下列性质：
（1）；（2）
3、二维连续型随机变量及其概率密度函数
如果存在一个非负函数p (x , y ) ，使得二 维随机变量(X ,Y )的分布函数F (x , y )对任意 实数x , y 有
，则
称(X ,Y )是二维连续型随机变量，称 p (x , y )为(X ,Y )的联合密度函数（或概率密度函数）。 联合密度函数具有下列性质： （1）对一切实数x , y ，有； （2）
；
（3）在任意平面域D 上，(X ,Y )取值的概率
；
（4）如果p (x , y )在(x , y )处连续，则
4、二维随机变量的边缘分布
设(X ,Y )为二维随机变量，则称
，
，分别为(X ,Y )关于X 和关于Y 的边缘分布函数。
当(X ,Y )为离散型随机变量，则称，分
别为(X ,Y )关于X 和关于Y 的边缘分布律。
当(X ,Y )
为连续型随机变量，则称
，分别为
(X ,Y )关于X 和关于Y 的边缘密度函数。 5、二维随机变量的条件分布
（1）离散型随机变量的条件分布
设(X ,Y )为二维离散型随机变量，其联合分布律和边缘分布律分别为
，
,
，则当j 固定，
且
时，称，，为
条件下随机变量的条件分布律。同理，有。
（2）连续型随机变量的条件分布
设(X ,Y ) 为二维连续型随机变量，其联合密度函数和边缘密度函数分别为：
。则当时，在和的连续点处，(X ,Y )在条件Y = y 下，X的条件概率密度函数为：。
同理，有。
6、随机变量的独立性
设F (x, y)及分别是的联合分布函数及边缘分布函数。如果对任何实数x, y
有则称随机变量X与Y相互独立。
设(X ,Y )为二维离散型随机变量，X与Y 相互独立的充要条件是。
设(X ,Y )为二维连续型随机变量，X与Y相互独立的充要条件是对任何实数x, y ，有
。
7、两个随机变量函数的分布
设二维随机变量(X ,Y )的联合概率密度函数为p(x, y)，是X ,Y的函数，则
Z 的分布函数为：。
（1）Z = X +Y 的分布
若(X ,Y )为离散型随机变量，联合分布律为，则的概率函数为：
或。
若(X ,Y )为连续型随机变量，概率密度函数为p(x, y)，则Z 的概率函数为：
（2）的分布
若(X ,Y )为连续型随机变量，概率密度函数为p(x, y)，则Z 的概率函数为：
。
疑难分析
1、事件表示事件与的积事件，为什么不一定等于？
如同仅当事件A、B相互独立时，才有P(AB) = P(A) P(B)一样，这里依乘
法原理。只有事件与相互独
立时，才有，因为。
2、二维随机变量(X ,Y )的联合分布、边缘分布及条件分布之间存在什么样的关系？
由边缘分布与条件分布的定义与公式知，联合分布唯一确定边缘分布，因而也唯一确定条件分布。反之，边缘分布与条件分布都不能唯一确定联合分布。但由知，一个条件分布和它对应的边缘分布，能唯一确定联合分布。
但是，如果X 、Y 相互独立，则，即
。说明当X 、Y 独立时，边缘分布也唯一确定联合分布，从而条件分布
也唯一确定联合分布。
3、两个随机变量相互独立的概念与两个事件相互独立是否相同？为什么？
两个随机变量X 、Y 相互独立，是指组成二维随机变量(X ,Y )的两个分量X 、Y 中一个分量的取值不受另一个分量取值的影响，满足。而两个事件的独立性，是指一个事件的发生不受另一个事件发生的影响，故有P (AB ) = P (A ) P (B ) 。两者可以说不是一个问题。
但是，组成二维随机变量(X ,Y )的两个分量X 、Y 是同一试验E 的样本空间上的两个一维随机变量，而A 、B 也是一个试验的样本空间的两个事件。因此，若把“”、“”看作两个事件，那么两者的意义近乎一致，从而独立性的定义几乎是相同的。
例题解析
【例1】设一盒内有2件次品，3件正品，进行有放回的抽取和无放回的抽取。设X 为第一次抽取所得次品个数，Y 为第二次抽取所取得次品个数。试分别求出两种抽取下： （1）(X ,Y )的联合分布律；
（2）二维随机变量(X ,Y )的边缘分布律； （3）X 与Y 是否相互独立。 分析：求二维随机变量(X ,Y )的边缘分布律，仅需求出概率P {X = i ,Y = j } 。由二维随机变量(X ,Y )
的边缘分布律的定义，
；将联合分布律表中各列的概率相加，即得关
于X 的边缘分布律；将联合分布律表中各行的概率相加，即得关于Y 的边缘分布律。关于X 与Y 是否相互独立问题可由二维离散型随机变量X 与Y 相互独立的充要条件来验证。
解：X 、Y 都服从0-1 分布，分别记，
（1）在有放回抽样时，联合分布律为：
，
，可列成表，如表3-1 所示。
在不放回抽样时，联合分布律为：
，
，可列成表，如表3-2 所示。
（2）在有放回抽样时，对表3-1，按各列、各行相加，得关于X 、Y 的边缘分布律为表3-3、 表3-4。在不放回抽样时，对表3-2，按各列、各行相加，得关于X 、Y 的边缘分布律为表3-5、
表3-6
（3）在有放回抽样时，因为
，所以
X 与Y 相互独立；在不放回抽
样时，因为
，所以与不相互独立。
【例2】设(X ,Y )的联合密度函数为，试求：
（1）常数C ；（2）
；（3）X 与Y 是否相互独立。
分析：由联合密度函数p (x , y )的性质
确定常数C ，由边缘密度函数的定义：
，计算广义积分得
。关于X 与Y 是
否相互独立的问题，可用二维连续型随机变量X 与Y 相互独立的充要条件来验证。 解：（1）因为
，因此C = 4；
（2）因为
当
时，
，当x 、y 为其它情况时，
，
所以；同理；
（3）
则有，
因此，X 与Y 相互独立。
【例3】设二维随机变量(X ,Y )的密度函数为
，求
的分布函数。
分析：根据密度函数的定义可以看出分布函数与(x , y )所在的区域有关，可分区域分别进行讨论。 解：当时，
，于是；
当
时，
，
；
当时，；
当时，；
当时，；所以
【例4】随机变量(X ,Y )的密度函数为，求X = 1条件下Y
的条件分布密度。
分析：通过(X ,Y )的联合密度和边缘密度函数，来求在X = 1条件下Y 条件分布密度。
解：当x ＞0时，有；
故
【例5】随机变量(X ,Y )的密度函数为，求。
分析：先求得边缘密度函数，再根据条件概率的定义进行求解。
解：因为
故，
又。
所以。
【例6】设随机变量X和Y 相互独立，有。求随机变量Z = X +Y的概率密度函数。
分析：可按分布函数的定义先求得，再进一步求得概率密度函数；在计算累次积分时要分各种情况进行讨论。
解：，积分仅当时才不为0，考虑的区域与的取值，分四种情况计算（如图3-1）。
当时，；
当时，；
当
时，
；
当时，；所以
第四章 随机变量的数字特征
内容提要
1、随机变量的数学期望
设离散型随机变量X 的分布律为
，如果级数
绝对收
敛，则称级数的和为随机变量X 的数学期望。
设连续型随机变量X 的密度函数为p (x )，如果广义积分绝对收敛，则称此积分值
为随机变量的数学期望。
数学期望有如下性质：
（1）设C 是常数，则E (C ) = C ；
（2）设C 是常数，则E (CX ) =CE (X )； （3）若
是随机变量，则
；
对任意n 个随机变量
，有
；
（4）若相互独立，则； 对任意n 个相互独立的随机变量
，有
。
2、随机变量函数的数学期望
设离散型随机变量X 的分布律为
，则X 的函数的数Y = g (X )
学期望为，式中级数绝对收敛。
设连续型随机变量X 的密度函数为p (x )，则X 的函数Y = g (X )的数学期望为
，式中积分绝对收敛。
3、随机变量的方差
设X是一个随机变量，则称为X的方差。
称为X 的标准差或均方差。
计算方差也常用公式。
方差具有如下性质：
（1）设C 是常数，则D(C) = 0；
（2）设C是常数，则；
（3）若相互独立，则；
对任意n个相互独立的随机变量，有
（4）D(X ) = 0的充要条件是：存在常数C，使。
4、几种常见分布的数学期望与方差
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）。
5、矩
设X是随机变量，则称为的阶原点矩。
如果E(X )存在，则称为X的k阶中心矩。
设(X ,Y )是二维随机变量，则 称为(X ,Y )的k +l阶混合原点矩；称为(X ,Y )的k+l阶混合中心矩。
5、二维随机变量的数字特征
(1) (X ,Y )的数学期望E(X ,Y ) = [E(X ),E(Y )]；
若(X ,Y )是离散型随机变量，则。
若(X ,Y )是连续型随机变量，则。这里，级数与积分都是绝对收敛的。
（2）(X ,Y )的方差D(X ,Y ) = [D(X ),D(Y )]
课后作业一 1. 下列词中全是单纯词的是（）组。 A. 徘徊雷达扑通好歹 B. 姐姐麦克风东西第一 C?玫瑰茫茫奥林匹克轰隆隆 D.缩小人人玻璃司令 2. 下列各组词中全部是联绵词的是。 A崎岖、吩咐、阑干、苗条、囫囵 B悄悄、蟋蟀、批把、卢布、拮据 C犹豫、乌托邦、详细、伶俐、朦胧 D叮当、叮咛、摩托、喽啰、吩咐 3. “玻、泼、摸、佛”应该拼写成 A. buo、puo、muo fuo B. be 、pe、me fe C. bo、po、mo fo D. bu 、pu、mu fu 4. _______________________________________ “娟、全、选”应该拼写成。 A. ju m qu m xu m B. j u m q u iax u n C. ji an qi m xi c n 5. _______________________________________ “司马相如”的正确拼音是。 A. s 1 m a xi a n g r u B. S i Ma Xi a n g r t-x C.d Sn g im a D. S i m a Xi a n g r u 6. _____________________________________ “第一”中的“一”应读。 A.阴平 B.阳平 C.轻声 D.去声 7. _____________________________________ “一定”中的“一”应读。 A.阴平 B.阳平 C.上声 D.去声 8. _____________________________________ “一群”中的“一”应读。 A.阴平 B.阳平 C.上声 D.去声 9. _______________________________________ “唱一唱”中的“一”应读。 A.阴平 B.阳平 C.去声 D.轻声 10. “不好”中的“不”应读__________________ 。 A.轻声 B.阴平 C.阳平 D.去声 11. “不去”中的“不”应读__________________ 。 A.轻声 B.阴平 C.阳平 D.去声 12 “花儿”的正确拼音应写成____________________ 。 A. hu a B. hu a r C. hu a er D. hu e r— 13. “他从什么地方来啊？”中的“啊”应读____________________ 。 A. y a呀 B. w a 哇 C. n a哪 D. n g 啊 14. “这是多好的同志啊！”这的“啊”应读____________________ 。 A. a 啊 B. r a 啊 C.z a啊 D. y a呀 15. “小孩儿”的实际发音是_____________________ 。 16. 下列各字跟“删”的声母相同的是（）。 ①嫂②僧③耍④嗽 17. 跟“濒”的声母发音方法完全相同的是（）。
概率论与数理统计课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：概率论与数理统计 所属专业：物理学 课程性质：必修 学分：3 （二）课程简介、目标与任务； 《概率论与数理统计》是研究随机现象规律性的一门学科；它有着深刻的实际背景，在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域中有广泛的应用。通过本课程的学习，使学生掌握概率与数理统计的基本概念，并在一定程度上掌握概率论认识问题、解决问题的方法。同时这门课程的学习对培养学生的逻辑思维能力、分析解决问题能力也会起到一定的作用。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接； 先修课程：高等数学。后续相关课程：统计物理。《概率论与数理统计》需要用到高等数学中的微积分、级数、极限等数学知识与计算方法。它又为统计物理、量子力学等课程提供了数学基础，起了重要作用。 （四）教材与主要参考书。 教材： 同济大学数学系编，工程数学–概率统计简明教程（第二版），高等教 育出版社，2012. 主要参考书： 1.浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编，概率论与数理统计（第四版）， 高等教育出版社，2008. 2.J.L. Devore, Probability and Statistics(fifth ed.)概率论与数 理统计（第5版）影印版，高等教育出版社，2004. 二、课程内容与安排 第一章随机事件 1.1 样本空间和随机事件； 1.2 事件关系和运算。
第二章事件的概率 2.1概率的概念；2.2 古典概型；2.3几何概型；2.4 概率的公理化定义。第三章条件概率与事件的独立性 3.1 条件概率； 3.2 全概率公式； 3.3贝叶斯公式；3.4 事件的独立性； 3.5 伯努利试验和二项概率。 第四章随机变量及其分布 4.1 随机变量及分布函数；4.2离散型随机变量；4.3连续型随机变量。 第五章二维随机变量及其分布 5.1 二维随机变量及分布函数；5.2 二维离散型随机变量；5.3 二维连续随机变量；5.4 边缘分布； 5.5随机变量的独立性。 第六章随机变量的函数及其分布 6.1 一维随机变量的函数及其分布；6.2 多元随机变量的函数的分布。 第七章随机变量的数字特征 7.1数学期望与中位数； 7.2 方差和标准差； 7.3协方差和相关系数； *7.4大数律； 7.5中心极限定理。 第八章统计量和抽样分布 8.1统计与统计学；8.2统计量；8.3抽样分布。 第九章点估计
第一章绪论”习题答案 “绪论"思考和练习一 一、什么是现代汉民族共同语？它是怎样形成的？ 现代汉民族的共同语就是“以北京语音为标准音，以北方话为基础方言，以典范的现代白话文著作为语法规范的普通话”。 现代汉民族共同语是在北方话基础上形成的。在形成的过程中，北京话占有特殊的地位。早在唐代，北京已是北方军事要镇.北京是辽、金、元、明、清各代的都城。近千年来，北京一直是我国政治、经济、文化的中心,北京话的影响越来越大。一方面,它作为官府的通用语言传播到了全国各地，发展成为“官话"，另一方面，白话文学作品更多地接受了北京话的影响。 本世纪初，特别是“五四”运动以后，掀起了“白话文运动”，动摇了文言文的统治地位;另一方面，“国语运动"的开展促使北京语音成为全民族共同语的标准音。两个运动互相推动和影响，这就使得书面语和口语接近起来，形成了现代汉民族共同语。 二、共同语和方言的关系是怎样的? 方言是一种民族语言的地方分支或变体，是局部地区的人们所使用的语言。一民族语言的共同语，则是通用于这个民族全体成员的语言。对于各地方言来说，规范化的共同语是民族语言的高级形式，它比任何方言都富有表现力.共同语形成后，对于方言的语音、词汇、语法都有一定的影响。它的词语经常传播到各方言中去.规范化的共同语，往往促使地域方言向它靠拢，对方言的发展起一种制约的作用。与此同时，共同语也要从方言中吸收种种语言成分，以丰富和发展自己。但是,地域方言间差异的缩小,以至于消失，则须经过一个长期而复杂的过程. “第二章语音"习题答案 “语音”思考和练习一 四、语音具有物理属性、生理属性、社会属性. “语音”思考和练习二 二、普通话声母的发音部位和发音方法各包括哪几种？请画成一个总表把声母填上。 普通话声母的发音部位包括双唇、唇齿、舌尖前、舌尖中、舌尖后、舌面、舌根七种。发音方法，从阻碍的方式看，包括塞音、擦音、塞擦音、鼻音、边音五种；从声带是否颤动看，包括清音、浊音两种；从气流的强弱看，包括送气音、不送气音两种.声母总表（略）。 三、根据所提供的发音部位和发音方法，在下面横杠上填上相应的声母. 1．双唇送气清塞音是p。
数三《概率论与数理统计》教学大纲 教材：四川大学数学学院邹述超、何腊梅：《概率论与数理统计》，高等教育出版社出，2002年8月。 参考书：袁荫棠：《概率论与数理统计》（修订本），中国人民大学出版社。 四川大学数学学院概率统计教研室：《概率论与数理统计学习指导》 总学时：60学时，其中：讲课50学时，习题课10学时。 学分：3学分。 说明： 1.生源结构：数三的学生是由高考文科生和一部分高考理科生构成。有些专业全是文科生或含极少部分理科生（如：旅游管理，行政管理），有些专业约占1/4～1/3的理科生（国贸，财政学，经济学），有些专业全是理科生（如：国民经济管理，金融学）。 2.高中已讲的内容：高中文、理科都讲了随机事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率，即教材第一章除条件概率以及有关的内容以外，其余内容高中都讲了。高中理科已讲离散型随机变量的概率分布（包括二项分布、几何分布）和离散型随机变量的期望与方差，统计基本概念、频率直方图、正态分布、线性回归。而高中文科则只讲了一点统计基本概念、频率直方图、样本均值和样本方差的简单计算。 3.基本要求：学生的数学基础差异大，不同专业学生对数学课重视程度的差异大，这就给讲授这门课带来一定的难度，但要尽量做到“分层次”培养学生。高中没学过的内容要重点讲解，学过的内容也要适当复习或适当增加深度。讲课时，既要照顾数学基础差的学生，多举基本例子，使他们掌握大纲要求的基本概念和方法；也要照顾数学基础好的学生，使他们会做一些综合题以及简单证明题。因为有些专业还要开设相关的后继课程（如：计量经济学），将用到较多的概率统计知识；还有一部分学生要考研，数三的概率考研题往往比数一的难。 该教材每一章的前几节是讲述基本概念和方法，习题(A)是针对基本方法的训练而编写的，因此，这一部分内容须重点讲解，并要求学生必须掌握；每一章的最后一节是综合例题，习题(B)具有一定的综合性和难度，可以选讲部分例题，数学基础好的学生可选做(B)题。 建议各章学时分配(+号后面的是习题课学时)： 第一章随机事件及其概率 一、基本内容 随机事件的概念及运算。概率的统计定义、古典定义及公理化定义。概率的基本性质、加法公式、条件概率与乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。事件的独立性，独立随机试验、
概率课感想与心得体会 笛卡尔说过：“有一个颠扑不破的真理，那就是当我们不能确定什么是真的时候，我们就应该去探求什么是最最可能的。”随机现象在日常生活中随处可见，概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学的发展提供了理论基础。 概率起源于现实生活，应用于现实生活，如我们讨论了摸球问题，掷硬币正反面的试验，拍骰子问题等等。都是接近生活实践的概率应用实例。 同时，通过概率课还了解了概率的意义，概率是用来度量随机事件发生可能性大小的一个量，而实际结果是事件发生或不发生这两种情况中的一种。但是我们不能根据随机事件的概率来断定某次试验出现某种结果或者不出现某种结果。同时，我们还可以利用概率来判定游戏规则，譬如，在各类游戏中，如果每个人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的，这就是说，要保证所制定的游戏规则是公平的，需要保证每个人获胜的概率相等。概率教学中的试验或游戏结果，如果不进行足够多的次数，是很难得出比较接近概率的频率的，也就是说当试验的次数很多的时候，频率就逐渐接近一个稳定的值，这个稳定的值就是概率。我们说，当进行次数很多的时候，时间发生的次数所占的总次数的比例，即频率就是概率。换句话说，就是时间发生的可能性最大。 概率不仅在生活上给了我们很大的帮助，同时也能帮我们验证某些理论知识，譬如投针问题： ()行直线相交的概率． 平的针，试求该针与任一一根长度为线，向此平面上任意投的一些平行平面上画有等距离为a L L a <
我们解如下： 平行线的距离； ：针的中心到最近一条 设：X 此平行线的夹角．：针与? 上的均匀分布；， 服从区间则随机变量?? ? ?? ? 20a X []上的均匀分布；服从区间随机变量π?,0相互独立．与并且随机变量?X ()的联合密度函数为 ，所以二维随机变量?X ()??? ??≤≤≤≤=. , 02 02 其它，，π?π?a x a x f {} 针与任一直线相交设：=A , . sin 2? ?? ???<=?L X A 则所以， ()? ?????<=?sin 2L X P A P 的面积的面积 D A =.22 sin 20 a L a d L ππ??π == ?
第一章绪论”习题答案 “绪论”思考和练习一 一、什么是现代汉民族共同语?它是怎样形成的? 现代汉民族的共同语就是“以北京语音为标准音，以北方话为基础方言，以典范的现代白话文著作为语法规范的普通话”。 现代汉民族共同语是在北方话基础上形成的。在形成的过程中，北京话占有特殊的地位。早在唐代，北京已是北方军事要镇。北京是辽、金、元、明、清各代的都城。近千年来，北京一直是我国政治、经济、文化的中心，北京话的影响越来越大。一方面，它作为官府的通用语言传播到了全国各地，发展成为“官话”，另一方面，白话文学作品更多地接受了北京话的影响。 本世纪初，特别是“五四”运动以后，掀起了“白话文运动”，动摇了文言文的统治地位；另一方面，“国语运动”的开展促使北京语音成为全民族共同语的标准音。两个运动互相推动和影响，这就使得书面语和口语接近起来，形成了现代汉民族共同语。 二、共同语和方言的关系是怎样的? 方言是一种民族语言的地方分支或变体，是局部地区的人们所使用的语言。一民族语言的共同语，则是通用于这个民族全体成员的语言。对于各地方言来说，规范化的共同语是民族语言的高级形式，它比任何方言都富有表现力。共同语形成后，对于方言的语音、词汇、语法都有一定的影响。它的词语经常传播到各方言中去。规范化的共同语，往往促使地域方言向它靠拢，对方言的发展起一种制约的作用。与此同时，共同语也要从方言中吸收种种语言成分，以丰富和发展自己。但是，地域方言间差异的缩小，以至于消失，则须经过一个长期而复杂的过程。 “第二章语音”习题答案 “语音”思考和练习一 四、语音具有物理属性、生理属性、社会属性。 “语音”思考和练习二 二、普通话声母的发音部位和发音方法各包括哪几种?请画成一个总表把声母填上。 普通话声母的发音部位包括双唇、唇齿、舌尖前、舌尖中、舌尖后、舌面、舌根七种。发音方法，从阻碍的方式看，包括塞音、擦音、塞擦音、鼻音、边音五种；从声带是否颤动看，包括清音、浊音两种；从气流的强弱看，包括送气音、不送气音两种。声母总表（略）。 三、根据所提供的发音部位和发音方法，在下面横杠上填上相应的声母。 1．双唇送气清塞音是p。
概率论与数理统计课程教学大纲（48学时） 撰写人：陈贤伟编写日期：2019 年8月 一、课程基本信息 1.课程名称：概率论与数理统计 2.课程代码： 3.学分/学时：3/48 4.开课学期：4 5.授课对象：本科生 6.课程类别：必修课 / 通识教育课 7.适用专业：软件技术 8.先修课程/后续课程：高等数学、线性代数/各专业课程 9.开课单位：公共基础课教学部 10.课程负责人： 11.审核人： 二、课程简介（包含课程性质、目的、任务和内容） 概率论与数理统计是描述“随机现象”并研究其数量规律的一门数学学科。通过本课程的教学，使学生掌握概率的定义和计算，能用随机变量概率分布及数字特征研究“随机现象”的规律，了解数理统计的基本理论与思想，并掌握常用的包括点估计、区间估计和假设检验等基本统计推断方法。该课程的系统学习，可以培养学生提高认识问题、研究问题与处理相关实际问题的能力，并为学习后继课程打下一定的基础。 本课程主要介绍随机事件及其概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律与中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验等。 体现在能基于随机数学及统计推断的基本理论和方法对实验现象和数据进行分析、解释，并能对工程领域内涉及到的复杂工程问题进行数学建模和分析，且通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、数学运算能力、综合解题能力、数学建模与实践能力以及自学能力。 三、教学内容、基本要求及学时分配 1．随机事件及其概率（8学时） 理解随机事件的概念；了解样本空间的概念；掌握事件之间的关系和运算。理解概率的定义；掌握概率的基本性质，并能应用这些性质进行概率计算。理解条件概率的概念；掌握概率的加法公式、乘法公式；了解全概率公式、贝叶斯公式；理解事件的独立性概念。掌握应用事件独立性进行简单概率计算。理解伯努利试验；掌握二项分布的应用和计算。 2.随机变量及其分布（6学时） 理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质，理解离散型随机变量的分布律及其性质，理解连续型随机变量的概率密度及其性质；掌握应用概率分布计算简单事件概率的方法，掌握二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布和应用，掌握求简单随机变量函数的概率分布的方法。 3．多维随机变量及其分布（7学时）
习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数 之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下 事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和： C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图： 6. 若事件C B A ,,满足C B C A +=+，试问B A =是否成立？举例说明。
《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。
语法部分1 一、填空 1.从语气角度看，句子可分为四类，例如“我爱我的红领巾。”是，“这部小说真好看！”是，“你快去帮忙吧！”是，“他为什么不来通知我呢？”是。 2.单句可分、两大类，例如“1949年春天的一个早晨”是句，“我马上就去办”是句。 3.主谓句的下位句型包括、和三类。例如“鲁迅是一个作家”是句，“鲁迅非常伟大”是句，“鲁迅绍兴人”是句。 4.动词性谓语句包括四种下位句型，例如“这部电影我去年就看过了”是句，“他什么情况都不清楚”是句，“你把房间打扫干净了吗”是句，“我去帮他推一下”是句。 5.从语义关系看，宾语可分、和三类，例如“来了一个人”，“讨论问题”，“是张同志”分别是、、宾语。 6.主谓句的成份包括、、和四种。如“据报道，你救助过的那个学生今年考上大学了”，这个句子的主语是，谓语是，独立语是。 7.复句是由按一定的构成的。复句的基本类型 有、、、、、、、八种。例如“如果不是医生及时抢救，他恐怕早就没命了”是，“他不但爱唱歌，而且还很爱跳舞”是，“即使你取得了成绩，也没有什么可骄傲的”是，“虽然飘着雪花，但是一点也不冷”是。二、辨别正误 1.“狼也不怕的狗”这个短语有歧义。 2.“那是一只狼也不怕的狗”这个句子有歧义。 3.“两个朋友送的花瓶”有歧义，“朋友送的花瓶”没有歧义。 4.分析“世界上所有的人都热爱自己的祖国”这个短语，可以得到“所有的人都热爱自己的祖国”这个成份。 5.“削那个苹果的刀”和“削那个苹果的皮”的结构层次是不相同的。 6.句子和短语的区别是，句子一定比短语长，短语比句子短。 7.“连我都不理”和“连我都不做”中的“我”是主语，是施事。 8.词和短语肯定不和现实发生联系，句子肯定和现实发生联系。 9.句子的意义是确定的，而且不只是有意义，还有具体的内容。 10.句子和短语的区别在于句子是主语和谓语齐全的结构。 11.在一定的场合，陈述句也能表达祈使句的内容。 12.名词充当谓语，一定要加一个“是”。 13.“他买了这本书”可以变成“他把这本书买了”，“他买了一本书”不能变成“他把一本书买了”。 14.及物动词都可以构成被字句，如“剥削阶级被劳动人民仇恨”。15.一个句子如果改变了语气，就变成了不同结构的句子。 16.语气类别相同的句子，结构类别不一定相同。 17.独立语就是用标点符号和其他句子成份隔开的成份。 18.“我知道他明天来”和“我希望他明天来”是同一句型。 19.“我要求他明天来”和“我盼望他明天来”是同一句型。 20.“学校领导提出了解决培训班计算机不足的方案”这个句子没有语病。21.“经过努力奋斗，他今年还欠款八千。”这个句子表达方面没有毛病。 22.“因为他的倔脾气，没有人搭理他”是因果复句。23.“因为他的脾气倔，没有人搭理他”是因果复句。 24.“虽然你取得了成绩，但是
概率论与数理统计课后习题答案 高等教育出版社 习题解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点 数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1(ΛΛΛΛ=Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1(Λ=+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下 事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -.
第二章随机变量及其分布第一节随机变量及其分布函数 一、随机变量 随机试验的结果是事件，就“事件”这一概念而言，它是定性的。要定量地研究随机现象，事件的数量化是一个基本前提。很自然的想法是，既然试验的所有可能的结果是知道的，我们就可以对每一个结果赋予一个相应的值，在结果(本事件)数值之间建立起一定的对应关系，从而对一个随机试验进行定量的描述。 例2-1 将一枚硬币掷一次，观察出现正面H、反面T的情况。这一试验有两个结果：“出现H”或“出现T”。为了便于研究，我们将每一个结果用一个实数来代表。比如，用数“1”代表“出现H”，用数“0”代表“出现T”。这样，当我们讨论试验结果时，就可以简单地说成结果是1或0。建立这种数量化的关系，实际上就相当于引入一个变量X，对于试验的两个结果，将X的值分别规定为1或0。如果与样本空间 { } {H,T}联系起来，那么，对于样本空间的不同元素，变量X可以取不同的值。因此，X是定义在样本空间上的函数，具体地说是 1,当 H X X( ) 0,当 T 由于试验结果的出现是随机的，因而X(ω)的取值也是随机的，为此我们称 X( )X(ω)为随机变量。 例2-2 在一批灯泡中任意取一只，测试它的寿命。这一试验的结果（寿命）本身就是用数值描述的。我们以X记灯泡的寿命，它的取值由试验的结果所确定，随着试验结果的不同而取不同的值，X是定义在样本空间 {t|t 0}上的函数 X X(t) t,t 因此X也是一个随机变量。一般地有 定义2-1 设 为一个随机试验的样本空间，如果对于 中的每一个元素 ，都有一个实数X( )与之相对应，则称X为随机变量。 一旦定义了随机变量X后，就可以用它来描述事件。通常，对于任意实数集合L,X在 L上的取值，记为{X L}，它表示事件{ |X( ) L}，即 。 {X L} { |X( ) L} 例2-3 将一枚硬币掷三次，观察出现正、反面的情况。设X为“正面出现”的次数，则X是一个随机变量。显然，X的取值为0，1，2，3。X的取值与样本点之间的对应关系如表2-1所示。 表2-1 表2-1
第四章词汇 “词汇”思考和练习一 三、用“替代法”证明“驼绒”是两个语素，“骆驼”是一个语素。“驼绒”中的“驼”跟“绒”都可为已知语素所代替，也可跟已知合，如： （1）驼绒平绒呢绒鸭绒 （2）驼绒驼毛驼峰驼铃 (1)组说明“驼”被“平、呢、鸭”替换，“绒”可跟上述语素组合， (2)组说明可以被“毛、峰、铃”替换；所以“驼”、“绒”是两个语素。“驼绒中”的“驼”不能被替换，也就是说“骆”不能跟任何其他语素组合，它不具备语素的资格。由于语言中同一层次的单位才能组合，语素不能跟非语素组合，所以在这里“驼”也不是语素，“骆驼”只能算一个语素。 四、分别指出下列字中的自由语素、半自由语素、不自由语素单独作语素的字。 柿素眉蜻狗羊鸭 习鹃祝闪平虎狼 自由语素：狗、羊、学、祝、闪、平、狼 半自由语素：绩、柿、素、眉、虎、鸭、习 没有不自由语素。 不能单独作语素的字：蜻、鹃 五、划分出下文中的词(在词下划一横线，成语不划，不分析)。如果是合成词就注明它的构成方式。（略） 六、指出下列的双声词、叠韵词、音译词。 仓促灿烂沙发孑孓恍惚婆娑铿锵 扑克涤纶秋千踟蹰拮据婀娜腼腆
双声词：仓促孑孓恍惚秋千踟蹰拮据 叠韵词：灿烂婆娑腼腆 音译词：沙发扑克涤纶’ 七、指出下列复合式合成词的类型。 痛快认真抓紧房间革命 飞快解剖石林开关领袖 工人碰壁戳穿司令雪崩 动静无论烧饼粉饰体验 奶牛牛奶功用用功 (一)联合型：人民解剖开关领袖美好丝毫伟大动静衣服功用 (二)偏正型：痛快飞快石林雪白工人烧饼粉饰 (三)补充型：抓紧房间照明戳穿 (四)动宾型：认真革命碰壁司令无论用功 (五)主谓型：雪崩体验 八、试举出yi音的五个同音语素，用每个语素各造三个合成词，同时注明其结构类型 (一)一一定(偏正) 一律(偏正) 统一(补充) (二)衣衣服(联合) 大衣(偏正) 衣领(偏正) (三)依依靠(联合) 依赖(联合) 依然(附加) (四)医医院(偏正) 医术(偏正) 医疗(联合) (五)揖揖让(联合) 作揖(动宾) 拜揖(联合) 十、下面句子里加着重点的词中间也插进了其他成分，你认为对吗？
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《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ）， 称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P
课后作业一 1.下列词中全是单纯词的是（）组。 A．徘徊雷达扑通好歹 B．姐姐麦克风东西第一 C．玫瑰茫茫奥林匹克轰隆隆 D．缩小人人玻璃司令 2.下列各组词中全部是联绵词的是。 A 崎岖、吩咐、阑干、苗条、囫囵 B悄悄、蟋蟀、批把、卢布、拮据 C犹豫、乌托邦、详细、伶俐、朦胧 D叮当、叮咛、摩托、喽啰、吩咐 3.“玻、泼、摸、佛”应该拼写成_________________。 A. buo、puo、muo、fuo B. be、pe、me、fe C. bo、po、mo、fo D. bu、pu、mu、fu 4.“娟、全、选”应该拼写成_________________。 A. juān quān xuān B. jüān qüān xüān C. jiān qiān xiān 5.“司马相如”的正确拼音是_________________。 A. sīmǎxiànɡrú B. SīMǎXiànɡrú C. Sīmǎ-xiànɡrú D. Sīmǎ Xiànɡrú 6.“第一”中的“一”应读_________________。 A.阴平 B.阳平 C.轻声 D.去声 7.“一定”中的“一”应读_________________。 A.阴平 B.阳平 C.上声 D.去声 8.“一群”中的“一”应读_________________。 A.阴平 B.阳平 C.上声 D.去声 9.“唱一唱”中的“一”应读_________________。 A.阴平 B.阳平 C.去声 D.轻声 10.“不好”中的“不”应读_________________。
A.轻声 B.阴平 C.阳平 D.去声 11.“不去”中的“不”应读_________________。 A.轻声 B.阴平 C.阳平 D.去声 12“花儿”的正确拼音应写成_________________。 A. huā B. huār C. huāer D. huā－er 13.“他从什么地方来啊”中的“啊”应读_________________。 A. yɑ呀 B. wɑ哇 C. nɑ哪 D. nɡɑ啊 14.“这是多好的同志啊！”这的“啊”应读_________________。 A. α啊 B. rɑ啊ɑ啊D. yɑ呀 15.“小孩儿”的实际发音是_________________。 16.下列各字跟“删”的声母相同的是（）。 ①嫂②僧③耍④嗽 17.跟“濒”的声母发音方法完全相同的是（）。 ①刽②揪③傀④频 18.下列各组字其韵母跟“凝”完全相同的是（）。 ①宜、疑②井、拎③进、杏④邻、平 19.第一个音节全都变读为２１调的是（）。 ①毁灭朴素亚洲②伪劣请假奶奶③柳树有趣舞蹈 ④演示 20.下列短语，没有错别字的是（）。 ①戮力同心②精神涣发③随声附合④直接了当 21.都含三个语素的一组词语是（）。 ①石榴花儿小孩儿②光脚丫儿玻璃瓶儿 ③婴幼儿没有准儿④萝卜干儿羊肉串儿 22.全部属于主谓型合成词的一组词是（）。 ①眼红火红②狐疑笔直③胆怯眼热④瓦解冰释 23.加点的词在句中使用比喻义的是（）。
《概率论与数理统计》课程教案大纲 <2002年制定 2004年修订） 课程编号： 英文名：Probability Theory and Mathematical Statistics 课程类别：学科基础课 前置课：高等数学 后置课：计量经济学、抽样调查、实验设计、贝叶斯统计、非参数估计、统计分析软件、时间序列分析、统计预测与决策、多元统计分析、风险理论 学分：5学分 课时：85课时 修读对象：统计学专业学生 主讲教师：杨益民等 选定教材：盛骤等，概率论与数理统计，北京：高等教育出版社，2001年<第三版） 课程概述： 本课程是统计学专业的学科基础课，是研究随机现象统计规律性的一门数学课程，其理论及方法与数学其它分支、相互交叉、渗透，已经成为许多自然科学学科、社会与经济科学学科、管理学科重要的理论工具。因为其具有很强的应用性，特别是随着统计应用软件的普及和完善，使其应用面几乎涵盖了自然科学和社会科学的所有领域。本课程是统计专业学生打开统计之门的一把金钥匙，也是经济类各专业研究生招生测试的重要专业基础课。本课程由概率论与数理统计两部分组成。概率论部分侧重于理论探讨，介绍概率论的基本概念，建立一系列定理和公式，寻求解决统计和随机过程问题的方法。其中包括随机事件和概率、随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理等内容；数理统计部分则是以概率论作为理论基础，研究如何对实验结果进行统计推断。包括数理统计的基本概念、参数统计、假设检验、非参数检验、方差分析和回归分析等。 教案目的： 通过本课程的学习，要求能够理解随机事件、样本空间与随机变量的基本概念，掌握概率的运算公式，常见的各种随机变量<如0－1分布、二项分布、泊松 《概率论与数理统计》教学大纲 编写人：刘雅妹审核：全焕 一、课程性质与任务 概率论与数理统计是研究随机现象客观规律的数学学科，是高等学校本科各专业的一门重要的基础理论课。本课程的任务是使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决、处理实际不确定问题的基本技能和基本素质，它是为培养我国现代建设所需要的高质量、高素质专门人才服务的。 二、教学基本要求 本课程按要求不同，分深入理解、牢固掌握、熟练应用，其中概念、理论用“理解”、“了解”表述其要求的强弱，方法运算用“会”或“了解”一词表述。 〈一〉、随机事件与概率 ⒈理解随机实验，样本空间和随机事件的概念，掌握事件的关系与运算。 ⒉理解概率的定义，掌握概率的基本性质，能计算古典概型和几何概型的概率，能用概率的基本性质计算随机事件的概率。 3.理解条件概率的概念，掌握概率的乘法公式。 ⒋理解全概率公式和贝叶斯公式，能计算较复杂随机事件的概率。 ⒌理解事件的独立性概念，能应用事件的独立性进行概率计算。 6.理解随机实验的独立性概念，掌握n重贝努里实验中有关随机事件的概率计算。 〈二〉、一维随机变量及其概率分布 ⒈理解一维随机变量及其概率分布的概念. 2.理解随机变量分布函数的概念,了解分布函数的性质,会计算与随机变量有关的事件的概率. 3.理解离散型随机变量及概率分布的概念.掌握0-1分布、二项分布、泊松分布及其它们的应用。 4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、指数分布、正态分布及其它们的应用。 5.会求简单的随机变量的函数的分布。 〈三〉、二维随机变量及其分布 ⒈了解二维（多维）随机变量的概念。 ⒉了解二维随机变的联合分布函数及其性质；了解二维离散型随机变的联合概率分布及其性质；了解二维连续型随机变量的联合概率密度函数及其性质，并会用这些性质计算有关事件的概率。 3．掌握二维离散型与二维连续型随机变量的边缘分布的计算，了解条件分布及其计算。 4．理解随机变量独立性的概念，掌握运用随机变量独立性进行概率计算。 概率论与数理统计知识点汇总(免费超详细版) ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事 件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P概率论与数理统计教学大纲
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