1．两条异面直线所成角的求法
设a ，b 分别是两异面直线l 1，l 2的方向向量，则
2.直线与平面所成角的求法
设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，a 与n 的夹角为β，则sin θ＝|cos β|＝|a ·n |
|a ||n |
. 3．求二面角的大小
(1)如图①，AB ，CD 分别是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉．
(2)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)． 【知识拓展】
利用空间向量求距离(供选用) (1)两点间的距离
设点A (x 1，y 1，z 1)，点B (x 2，y 2，z 2)，则|AB |＝|AB →
|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2.
(2)点到平面的距离
如图所示，已知AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离为|BO →|＝|AB →·
n ||n |.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( × )
(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( × ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．( × )
(4)两异面直线夹角的范围是(0，π2]，直线与平面所成角的范围是[0，π
2]，二面角的范围是[0，
π]．( √ )
(5)若二面角α－a －β的两个半平面α，β的法向量n 1，n 2所成角为θ，则二面角α－a －β的大小是π－θ.( × )
1．(2017·烟台质检)已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为( ) A ．45° B ．135° C ．45°或135° D ．90°
答案 C
解析 cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝11×2＝2
2，
即〈m ，n 〉＝45°.
∴两平面所成的二面角为45°或180°－45°＝135°.
2．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－1
2，则
l 与α所成的角为( )
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150° 答案 A
解析 设l 与α所成角为θ，∵cos 〈m ，n 〉＝－12
，
∴sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝1
2
，∵0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.故选A.
3．(2016·郑州模拟)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1所成角的余弦值为( )
A.5
5 B.53 C.56
D.54
答案 A
解析 设CA ＝2，则C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,0,1)，C 1(0,2,0)，B 1(0,2,1)，可得向量AB 1→
＝(－2,2,1)，BC 1→＝(0,2，－1)，由向量的夹角公式得cos 〈AB 1→，BC 1→
〉＝0＋4－1
4＋4＋1×0＋4＋1
＝
15＝5
5
，故选A. 4．(教材改编)如图，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为22，则AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为________．
答案 π6
解析 以A 为原点，以AB →，AE →(AE ⊥AB )，AA 1→
所在直线为坐标轴(如图)建立空间直角坐标系，设D 为A 1B 1中点，
则A (0,0,0)，C 1(1，3，22)，D (1,0,22)，∴AC 1→
＝(1，3，22)，
AD →
＝(1,0,22)．
∠C 1AD 为AC 1与平面ABB 1A 1所成的角， cos ∠C 1AD ＝AC 1→·AD
→|AC 1→||AD →|
＝(1，3，22)×(1，0，22)12×9＝32，
又∵∠C 1AD ∈????0，π2，∴∠C 1AD ＝π
6
. 5．P 是二面角α－AB －β棱上的一点，分别在平面α、β上引射线PM 、PN ，如果∠BPM ＝∠BPN ＝45°，∠MPN ＝60°，那么二面角α－AB －β的大小为________． 答案 90°
解析 不妨设PM ＝a ，PN ＝b ，如图，
作ME ⊥AB 于E ，NF ⊥AB 于F ， ∵∠EPM ＝∠FPN ＝45°， ∴PE ＝
22a ，PF ＝22
b ， ∴EM →·FN →＝(PM →－PE →)·(PN →－PF →
) ＝PM →·PN →－PM →·PF →－PE →·PN →＋PE →·PF → ＝ab cos 60°－a ×
22b cos 45°－22a ×b cos 45°＋22a ×2
2
b ＝ab 2－ab 2－ab 2＋ab
2＝0， ∴EM →⊥FN →，
∴二面角α－AB －β的大小为90°.
题型一 求异面直线所成的角
例1 (2015·课标全国Ⅰ)如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC .
(1)证明：平面AEC ⊥平面AFC ；
(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．
(1)证明 如图所示，连接BD ，设BD ∩AC ＝G ，连接EG ，FG ，EF .
在菱形ABCD 中，不妨设GB ＝1. 由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝ 3.
由BE ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ＝2，可知AE ＝EC . 又AE ⊥EC ，所以EG ＝3，且EG ⊥AC . 在Rt △EBG 中，可得BE ＝2，故DF ＝22
. 在Rt △FDG 中，可得FG ＝
6
2
. 在直角梯形BDFE 中，由BD ＝2，BE ＝2，DF ＝22，可得EF ＝322
，从而EG 2＋FG 2＝EF 2，所以EG ⊥FG .
又AC ∩FG ＝G ，可得EG ⊥平面AFC .
因为EG ?平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面AFC .
(2)解 如图，以G 为坐标原点，分别以GB →，GC →的方向为x 轴，y 轴正方向，|GB →
|为单位长度，建立空间直角坐标系Gxyz ，由(1)可得A (0，－3，0)，E (1,0，2)，
F ?
??
?
－1，0，
22，C (0，3，0)， 所以AE →＝(1，3，2)，CF →
＝????－1，－3，22.
故cos 〈AE →，CF →
〉＝AE →·CF →
|AE →||CF →
|＝－33.
所以直线AE 与直线CF 所成角的余弦值为
33
.
思维升华 用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值．
如图所示正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，已知点H 在A ′B ′C ′D ′的对角
线B ′D ′上，∠HDA ＝60°.求DH 与CC ′所成的角的大小．
解 如图所示，以D 为原点，DA 为单位长度，建立空间直角坐标系Dxyz ，
则DA →＝(1,0,0)，CC ′→
＝(0,0,1)． 设DH →
＝(m ，m,1)(m >0)， 由已知，〈DH →，DA →
〉＝60°，
由DA →·DH →＝|DA →|·|DH →|·cos 〈DH →，DA →〉， 可得2m ＝2m 2＋1，解得m ＝2
2
， ∴DH →
＝(22，22，1)，
∵cos 〈DH →，CC ′→
〉
＝22×0＋2
2×0＋1×11×2＝22，
又∵〈DH →，CC ′→
〉∈[0°，180°]， ∴〈DH →，CC ′→
〉＝45°， 即DH 与CC ′所成的角为45°. 题型二 求直线与平面所成的角
例2 (2016·全国丙卷)如图，四棱锥P ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．
(1)证明MN ∥平面P AB ；
(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值． (1)证明 由已知得AM ＝2
3
AD ＝2.
取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝1
2BC ＝2.
又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ?平面P AB ，MN ?平面P AB ，所以MN ∥平面P AB .
(2)解 取BC 的中点E ，连接AE . 由AB ＝AC 得AE ⊥BC ， 从而AE ⊥AD ，AE ＝AB 2－BE 2＝
AB 2－????BC 22
＝ 5.
以A 为坐标原点，AE →
的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz . 由题意知，P (0,0,4)，M (0,2,0)，C (5，2,0)，N ????52，1，2，
PM →＝(0,2，－4)，PN →＝???
?52，1，－2，AN →
＝???
?52，1，2.
设n ＝(x ，y ，z )为平面PMN 的法向量，则
????? n ·PM →＝0，n ·PN →＝0，即?????
2y －4z ＝0，52x ＋y －2z ＝0，
可取n ＝(0,2,1)．
于是|cos 〈n ，AN →
〉|＝|n ·AN →||n ||A N →|
＝8525.
设AN 与平面PMN 所成的角为θ，则sin θ＝85
25，
∴直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为85
25.
思维升华 利用向量法求线面角的方法
(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；
(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．
在平面四边形ABCD 中，AB ＝BD ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD .将△ABD 沿
BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图所示．
(1)求证：AB ⊥CD ；
(2)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．
(1)证明 ∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，AB ?平面ABD ，AB ⊥BD ， ∴AB ⊥平面BCD .
又CD ?平面BCD ，∴AB ⊥CD .
(2)解 过点B 在平面BCD 内作BE ⊥BD ，如图．
由(1)知AB ⊥平面BCD ，BE ?平面BCD ，BD ?平面BCD . ∴AB ⊥BE ，AB ⊥BD .
以B 为坐标原点，分别以BE →，BD →，BA →
的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．
依题意，得B (0,0,0)，C (1,1,0)，D (0,1,0)，A (0,0,1)，M (0，12，1
2
)，
则BC →＝(1,1,0)，BM →
＝(0，12，12)，AD →＝(0,1，－1)．
设平面MBC 的法向量n ＝(x 0，y 0，z 0)， 则????? n ·BC →＝0，n ·BM →＝0，即?????
x 0＋y 0
＝0，12y 0＋1
2z 0
＝0， 取z 0＝1，得平面MBC 的一个法向量n ＝(1，－1,1)． 设直线AD 与平面MBC 所成角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n ，AD →
〉|＝|n ·AD →
||n ||AD →
|＝63，
即直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值为6
3
. 题型三 求二面角
例3 (2016·山东)在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O ′的直径，FB 是圆台的一条母线．
(1)已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ； (2)已知EF ＝FB ＝1
2AC ＝23，AB ＝BC ，求二面角FBCA 的余弦值．
(1)证明 设FC 的中点为I ，连接GI ，HI ，
在△CEF 中，因为点G 是CE 的中点，所以GI ∥EF . 又EF ∥OB ，所以GI ∥OB .
在△CFB 中，因为H 是FB 的中点，所以HI ∥BC ，又HI ∩GI ＝I ， 所以平面GHI ∥平面ABC .
因为GH ?平面GHI ，所以GH ∥平面ABC .
(2)解 连接OO ′，则OO ′⊥平面ABC .又AB ＝BC ，且AC 是圆O 的直径，所以BO ⊥AC . 以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz .
由题意得B (0,23，0)，
C (－23，0,0)．过点F 作FM 垂直OB 于点M ， 所以FM ＝FB 2－BM 2＝3，可得F (0，3，3)． 故BC →＝(－23，－23，0)，BF →
＝(0，－3，3)． 设m ＝(x ，y ，z )是平面BCF 的一个法向量． 由?????
m ·BC →＝0，m ·
BF →＝0，可得???
－23x －23y ＝0，－3y ＋3z ＝0.
可得平面BCF 的一个法向量m ＝?
??
?
－1，1，
33， 因为平面ABC 的一个法向量n ＝(0,0,1)， 所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝7
7.
所以二面角FBCA 的余弦值为
77
. 思维升华 利用向量法计算二面角大小的常用方法
(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．
(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．
(2016·天津)如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥
平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB ＝BE ＝2.
(1)求证：EG ∥平面ADF ； (2)求二面角O —EF —C 的正弦值；
(3)设H 为线段AF 上的点，且AH ＝2
3
HF ，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值．
(1)证明 依题意，OF ⊥平面ABCD ，
如图，以O 为原点，分别以AD →，BA →，OF →
的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得
O (0,0,0)，A (－1,1,0)，B (－1，－1,0)，C (1，－1,0)， D (1,1,0)，E (－1，－1,2)，F (0,0,2)，G (－1,0,0)．
依题意，AD →＝(2,0,0)，AF →
＝(1，－1,2)． 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面ADF 的法向量， 则?????
n 1·AD →＝0，n 1·
AF →＝0， 即?????
2x 1＝0，x 1－y 1＋2z 1＝0，
不妨取z 1＝1，可得n 1＝(0,2,1)， 又EG →＝(0,1，－2)，可得EG →
·n 1＝0，
又因为直线EG ?平面ADF ，所以EG ∥平面ADF .
(2)解 易证OA →＝(－1,1,0)为平面OEF 的一个法向量，依题意，EF →＝(1,1,0)，CF →
＝(－1,1,2)． 设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面CEF 的法向量， 则?????
n 2·EF →＝0，n 2·
CF →＝0，
即?
????
x 2＋y 2＝0，－x 2＋y 2＋2z 2＝0， 不妨取x 2＝1，可得n 2＝(1，－1,1)． 因此有cos 〈OA →
，n 2〉＝OA →
·n 2|OA →
|·|n 2|＝－63，
于是sin 〈OA →
，n 2〉＝33.
所以二面角O —EF —C 的正弦值为3
3
. (3)解 由AH ＝23HF ，得AH ＝2
5
AF .
因为AF →
＝(1，－1,2)， 所以AH →＝25
AF →
＝????25，－25，45， 进而有H ????－35，35，45，从而BH →
＝????25，85，45. 因此cos 〈BH →
，n 2〉＝BH →
·n 2|BH →
||n 2|＝－721.
所以直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值为721
. 题型四 求空间距离(供选用)
例4 如图，△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，AB ＝23，求点A 到平面MBC 的距离．
解 如图，取CD 的中点O ，连接OB ，OM ，因为△BCD 与△MCD 均为正三角形，所以OB ⊥CD ，OM ⊥CD ，又平面MCD ⊥平面BCD ，所以MO ⊥平面BCD .
以O 为坐标原点，直线OC ，BO ，OM 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz .
因为△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形， 所以OB ＝OM ＝3，
则O (0,0,0)，C (1,0,0)，M (0,0，3)，B (0，－3，0)，A (0，－3，23)， 所以BC →＝(1，3，0)，BM →
＝(0，3，3)．
设平面MBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
由????? n ⊥BC →，n ⊥BM →得?????
n ·BC →＝0，n ·
BM →＝0，即???
x ＋3y ＝0，
3y ＋3z ＝0，
取x ＝3，可得平面MBC 的一个法向量为n ＝(3，－1,1)． 又BA →
＝(0,0,23)，
所以所求距离为d ＝|BA →·n ||n |＝215
5
.
思维升华 求点面距一般有以下三种方法：
(1)作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离； (2)等体积法；
(3)向量法．其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便．
(2016·四川成都外国语学校月考)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，侧面P AD ⊥
底面ABCD ，侧棱P A ＝PD ＝2，P A ⊥PD ，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝BC ＝1，O 为AD 中点．
(1)求直线PB 与平面POC 所成角的余弦值； (2)求B 点到平面PCD 的距离；
(3)线段PD 上是否存在一点Q ，使得二面角Q －AC －D 的余弦值为63？若存在，求出PQ
QD
的值；若不存在，请说明理由．
解 (1)在△P AD 中，P A ＝PD ，O 为AD 中点， ∴PO ⊥AD .
又∵侧面P AD ⊥底面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ?平面P AD ， ∴PO ⊥平面ABCD .
在△P AD 中，P A ⊥PD ，P A ＝PD ＝2，∴AD ＝2. 在直角梯形ABCD 中，O 为AD 的中点，AB ⊥AD ， ∴OC ⊥AD .
以O 为坐标原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则P (0,0,1)，A (0，－1,0)，B (1，－1,0)，C (1,0,0)，D (0,1,0)， ∴PB →
＝(1，－1，－1)． 易证OA ⊥平面POC ，
∴OA →
＝(0，－1,0)为平面POC 的法向量， cos 〈PB →，OA →
〉＝PB →·OA →|PB →||OA →
|＝33，
∴PB 与平面POC 所成角的余弦值为63
. (2)∵PB →
＝(1，－1，－1)，
设平面PCD 的法向量为u ＝(x ，y ，z )， 则?????
u ·CP →＝－x ＋z ＝0，u ·
PD →＝y －z ＝0.
取z ＝1，得u ＝(1,1,1)．
则B 点到平面PCD 的距离d ＝|PB →
·u ||u |＝3
3.
(3)假设存在，且设PQ →＝λPD →
(0≤λ≤1)．
∵PD →＝(0,1，－1)，∴OQ →－OP →＝PQ →
＝(0，λ，－λ)， ∴OQ →
＝(0，λ，1－λ)， ∴Q (0，λ，1－λ)．
设平面CAQ 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则?????
m ·AC →＝x ＋y ＝0，m ·
AQ →＝(λ＋1)y ＋(1－λ)z ＝0.
取z ＝1＋λ，得m ＝(1－λ，λ－1，λ＋1)． 平面CAD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)， ∵二面角Q －AC －D 的余弦值为
6
3
，
∴|cos 〈m ，n 〉|＝
|m ·n ||m ||n |＝6
3
. 整理化简，得3λ2－10λ＋3＝0. 解得λ＝1
3或λ＝3(舍去)，
∴存在，且PQ QD ＝1
2.
6．利用空间向量求解空间角
典例 (12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点．
(1)证明：BE ⊥DC ；
(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；
(3)若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F －AB －P 的余弦值． 规范解答
(1)证明 依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系如图，可得B (1,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)．[1分]
由E 为棱PC 的中点，得E (1,1,1)． BE →＝(0,1,1)，DC →
＝(2,0,0)， 故BE →·DC →＝0，所以BE ⊥DC .[3分] (2)解 BD →
＝(－1,2,0)， PB →
＝(1,0，－2)．
设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的一个法向量，
则?????
n ·BD →＝0，n ·
PB →＝0，即?????
－x ＋2y ＝0，x －2z ＝0.不妨令y ＝1，[5分]
可得n ＝(2,1,1)．
于是有cos 〈n ，BE →
〉＝n ·BE →
|n ||BE →|＝26×2＝33，
所以，直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为
3
3
.[7分] (3)解 BC →＝(1,2,0)，CP →＝(－2，－2,2)，AC →＝(2,2,0)，AB →
＝(1,0,0)． 由点F 在棱PC 上，设CF →＝λCP →
，0≤λ≤1， 故BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋λCP →
＝(1－2λ，2－2λ，2λ)． 由BF ⊥AC ，得BF →·AC →
＝0，
因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝34，
即BF →
＝(－12，12，32
)．[9分]
设n 1＝(x ，y ，z )为平面F AB 的一个法向量， 则????? n 1·AB →＝0，n 1·BF →＝0， 即????
?
x ＝0，－12x ＋12y ＋32z ＝0.
不妨令z ＝1，可得n 1＝(0，－3,1)． 取平面ABP 的法向量n 2＝(0,1,0)， 则cos 〈n 1，n 2〉＝
n 1·n 2|n 1||n 2|＝－310×1
＝－310
10. 易知，二面角F －AB －P 是锐角， 所以其余弦值为310
10
.[12分]
利用向量求空间角的步骤： 第一步：建立空间直角坐标系； 第二步：确定点的坐标；
第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标； 第四步：计算向量的夹角(或函数值)； 第五步：将向量夹角转化为所求的空间角；
第六步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．
1．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l 与平面α所成的角等于( ) A ．120° B ．60° C ．30° D ．60°或30°
答案 C
解析 设直线l 与平面α所成的角为β，直线l 与平面α的法向量的夹角为γ. 则sin β＝|cos γ|＝|cos 120°|＝12.
又∵β∈[0°，90°]，∴β＝30°，故选C.
2．(2016·广州模拟)二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( ) A ．150° B ．45° C ．60° D ．120° 答案 C
解析 如图所示，二面角的大小就是〈AC →，BD →〉．
∵CD →＝CA →＋AB →＋BD →，
∴CD →2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2(CA →·AB →＋CA →·BD →＋AB →·BD →)＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·BD →. ∴CA →·BD →＝12[(217)2－62－42－82]＝－24.
因此AC →·BD →＝24，
cos 〈AC →，BD →
〉＝AC →·BD →
|AC →||BD →|＝12，
∴〈AC →，BD →
〉＝60°，故二面角为60°.
3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( ) A.12B.23 C.33 D.22 答案 B
解析 以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，设棱长为1，
则A 1(0,0,1)，E (1,0，1
2)，D (0,1,0)，
∴A 1D →＝(0,1，－1)，A 1E →
＝(1,0，－12)．
设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )， 则有?????
A 1D →·n 1＝0，A 1E →·
n 1＝0，
即?????
y －z ＝0，1－12
z ＝0，∴?????
y ＝2，z ＝2.∴n 1＝(1,2,2)．
∵平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝2
3，
即所成的锐二面角的余弦值为2
3
.
4．(2016·长春模拟)在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，CP 的中点，AB ＝AC ＝1，P A ＝2，则直线P A 与平面DEF 所成角的正弦值为( ) A.15 B.255 C.55 D.25 答案 C
解析 以A 为原点，AB ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由AB ＝AC ＝1，P A ＝2，
得A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，P (0,0,2)，D (12，0,0)，E (12，12，0)，F (0，1
2
，1)．
∴P A →＝(0,0，－2)，DE →＝(0，12，0)，DF →
＝(－12，12，1)．
设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则由?????
n ·DE →＝0，n ·
DF →＝0，得?????
y ＝0，
－x ＋y ＋2z ＝0.
取z ＝1，则n ＝(2,0,1)，
设直线P A 与平面DEF 所成的角为θ， 则sin θ＝|P A →
·n ||P A →
||n |
＝5
5，
∴直线P A 与平面DEF 所成角的正弦值为
5
5
.故选C. 5．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，CC 1＝22，E 为CC 1的中点，则直线AC 1到平面BDE 的距离为( ) A ．2 B. 3 C. 2 D ．1 答案 D
解析 以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图)，
则D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,22)，E (0,2，2)，易知AC 1∥平面BDE . 设n ＝(x ，y ，z )是平面BDE 的法向量， 则?????
n ·DB →＝2x ＋2y ＝0，n ·
DE →＝2y ＋2z ＝0.
取y ＝1，则n ＝(－1,1，－2)为平面BDE 的一个法向量， 又DA →
＝(2,0,0)，
∴点A 到平面BDE 的距离是 d ＝|n ·DA →
|
|n |＝|－1×2＋0＋0|(－1)2＋12＋(－2)2＝1. 故直线AC 1到平面BDE 的距离为1.
6.如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长为3，底面边长A 1C 1＝B 1C 1＝1，且∠A 1C 1B 1＝90°，D 点在棱AA 1上且AD ＝2DA 1，P 点在棱C 1C 上，则PD →·PB 1→
的最小值为( )
A.52 B ．－14
C.14 D ．－52
答案 B
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则D (1,0,2)，B 1(0,1,3)，
设P (0,0，z )，则PD →＝(1,0,2－z )，PB 1→
＝(0,1,3－z )， ∴PD →·PB 1→
＝0＋0＋(2－z )(3－z )＝(z －52)2－14，
故当z ＝52时，PD →·PB 1→
取得最小值为－14
.
7．(2016·合肥模拟)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝AA 1＝1，则直线D 1C 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值为________． 答案 1
3
解析 如图，建立空间直角坐标系Dxyz ，
则D 1(0,0,1)，C 1(0,2,1)，A 1(1,0,1)，B (1,2,0)． ∴D 1C 1→
＝(0,2,0)，
A 1C 1→＝(－1,2,0)，A 1
B →
＝(0,2，－1)，
设平面A 1BC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，
一、选择题 1．若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（ ） Ａ．一个圆 Ｂ．一个点 Ｃ．半圆 Ｄ．平行四边形 答案：Ａ 2．在长方体1111ABCD A B C D -中，下列关于1AC 的表达中错误的一个是（ ） Ａ．11111AA A B A D ++ Ｂ．111AB DD D C ++ Ｃ．111AD CC D C ++ Ｄ．11111 ()2 AB CD AC ++ 答案：Ｂ 3．若，，a b c 为任意向量，∈R m ，下列等式不一定成立的是（ ） Ａ．()()a b c a b c ++=++ Ｂ．()a b c a c b c +=+··· Ｃ．()a b a b +=+m m m Ｄ．()()a b c a b c =···· 答案：Ｄ 4．若三点，，A B C 共线，P 为空间任意一点，且PA PB PC αβ+=，则αβ-的值为（ ） Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ． 1 2 Ｄ．2- 答案：Ｂ 5．设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（ ） Ａ．4- Ｂ．9 Ｃ．9- Ｄ． 649 答案：Ｂ 6．已知非零向量12e e ，不共线，如果1222122833e e e e e e =+=+=-， ，AB AC AD ，则四点，，，A B C D （ ） Ａ．一定共圆 Ｂ．恰是空间四边形的四个顶点心 Ｃ．一定共面 Ｄ．肯定不共面 答案：Ｃ 7．如图1，空间四边形ABCD 的四条边及对 角线长都是a ，点E F G ，，分别是AB AD CD ，，
的中点，则2a 等于（ ） Ａ．2BA AC · Ｂ．2AD BD · Ｃ．2FG CA · Ｄ．2EF CB · 答案：Ｂ 8．若123123123=++=-+=+-，，a e e e b e e e c e e e ，12323d e e e =++，且x y z =++d a b c ，则，，x y z 的值分别为（ ） Ａ．51122--，， Ｂ．51122 -，， Ｃ．51122 --，， Ｄ．51122 ，， 答案：Ａ 9．若向量(12)λ=，，a 与(212)=-， ，b 的夹角的余弦值为8 9，则λ=（ ） Ａ．2 Ｂ．2- Ｃ．2-或 255 Ｄ．2或255 - 答案：Ｃ 10．已知ABCD 为平行四边形，且(413)(251)(375)A B C --，，，，，，，，，则顶点D 的坐标为（ ） Ａ．7412??- ???，， Ｂ．(241)，， Ｃ．(2141)-，， Ｄ．(5133)-，， 答案：Ｄ 11．在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC BD ，的交点，则1C O 与1A D 所成角的（ ） Ａ．60° Ｂ．90° Ｃ．3arccos 3 Ｄ．3arccos 6 答案：Ｄ 12．给出下列命题： ①已知⊥a b ，则()()a b c c b a b c ++-=···； ②，，，A B M N 为空间四点，若BA BM BN ，，不构成空间的一个基底，那么A B M N ，，，共面； ③已知⊥a b ，则，a b 与任何向量都不构成空间的一个基底； ④若，a b 共线，则，a b 所在直线或者平行或者重合． 正确的结论的个数为（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 答案：Ｃ 二、填空题 13．已知(315)(123)==-，，，，，a b ，向量c 与z 轴垂直，且满足94==-，··c a c b ，则c = ． 答案：2221055?? - ??? ，，
用空间向量解立体几何题型与方法 平行垂直问题基础知识 (1) 线面平行： l ∥α? a ⊥u? a ·u ＝0? a 1a 3＋ b 1b 3＋c 1c 3＝ 0 (2) 线面垂直： l ⊥α? a ∥u? a ＝ku? a 1＝ka 3，b 1＝ kb 3，c 1＝kc 3 (3) 面面平行： α∥β? u ∥v? u ＝kv? a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4 (4) 面面垂直： α⊥β? u ⊥v? u ·v ＝ 0? a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0 例 1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥 P-ABCD 中， PA ⊥底面 ABCD ， 的中点， PA ＝AB ＝1， BC ＝2. (1) 求证： EF ∥平面 PAB ； (2) 求证：平面 PAD ⊥平面 PDC. ［证明］ 以 A 为原点， AB ，AD ，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立 空 A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)， D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以 E 12，1，12 ， uuur uuur uuur 1)，PD ＝(0,2，－1)，AP ＝(0,0,1)，AD ＝(0,2,0)， uuur ∥AB ，即 EF ∥AB. 又 AB? 平面 PAB ， EF? 平面 PAB ，所以 EF ∥平面 PAB. uuur uuur uuur uuur (2)因为 AP ·DC ＝(0,0,1) (1,0·,0)＝ 0， AD ·DC ＝(0,2,0) (1,0·,0)＝0， uuur uuur uuur uuur 所以 AP ⊥ DC ， AD ⊥ DC ，即 AP ⊥DC ，AD ⊥DC. 又 AP ∩ AD ＝ A ，AP? 平面 PAD ，AD? 平面 PAD ，所以 DC ⊥平面 PAD.因为 DC? 平面 PDC ， 直线 l 的方向向量为 a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面 α， β的法向量 u ＝ (a 3，b 3，c 3)， v ＝(a 4，b 4，c 4) 1 uuur 1 uuur F 0 ， 1， 2 ，EF ＝ －2， 0， 0 ，PB ＝ (1,0， uuur uuur E ， F 分别是 PC ， PD 间直角坐标系如图所示，则 DC ＝(1,0,0)， AB ＝(1,0,0)． uuur 1uuur uuur (1)因为 EF ＝－ 2AB ，所以 EF
(三)立体几何与空间向量 1.如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，P A⊥平面ABCD，P A＝AB，M是PC上一点，且BM⊥PC. (1)求证：PC⊥平面MBD； (2)求直线PB与平面MBD所成角的正弦值. (1)证明连接AC，由P A⊥平面ABCD， BD?平面ABCD，得BD⊥P A， 又BD⊥AC，P A∩AC＝A， P A，AC?平面P AC， ∴BD⊥平面P AC，又PC?平面P AC，∴PC⊥BD. 又PC⊥BM，BD∩BM＝B， BD，BM?平面MBD， ∴PC⊥平面MBD. (2)解方法一由(1)知PC⊥平面MBD， 即∠PBM是直线PB与平面MBD所成的角. 不妨设P A＝1，则BC＝1，PC＝3，PB＝ 2. ∴PC2＝PB2＋BC2，∴PB⊥BC，又BM⊥PC， ∴sin∠PBM＝cos∠BPC＝PB PC＝2 3 ＝ 6 3， 故直线PB与平面MBD所成角的正弦值为 6 3. 方法二以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A－xyz(如图所示)，
不妨设P A ＝AB ＝1， 则P (0,0,1)，B (1,0,0)，C (1,1,0). 由(1)知平面MBD 的一个法向量为PC → ＝(1,1，－1)， 而PB → ＝(1,0，－1). ∴cos 〈PB →，PC → 〉＝(1，0，－1)·(1，1，－1)2×3＝63， 故直线PB 与平面MBD 所成角的正弦值为 63 . 2.如图，已知△DEF 与△ABC 分别是边长为1与2的正三角形，AC ∥DF ，四边形BCDE 为直角梯形，且DE ∥BC ，BC ⊥CD ，点G 为△ABC 的重心，N 为AB 的中点，AG ⊥平面BCDE ，M 为线段AF 上靠近点F 的三等分点. (1)求证：GM ∥平面DFN ； (2)若二面角M －BC －D 的余弦值为 7 4 ，试求异面直线MN 与CD 所成角的余弦值. (1)证明 延长AG 交BC 于点O ，连接ON ，OF . 因为点G 为△ABC 的重心， 所以AG AO ＝2 3，且O 为BC 的中点. 又由题意知，AM →＝23AF → ， 所以AG AO ＝AM AF ＝23， 所以GM ∥OF . 因为点N 为AB 的中点，
知识清单： 1，空间向量及运算： 空间向量和平面向量的加、减、数乘一样。 1.1 空间向量的定义：空间中既有大小又有方向的向量叫做空间向量，用有向线段表示 空间向量的定义AB u u u v 或a v ，是自由向量，不讲究起点，空间向量的大小叫做空间向 量的长度或者模。记AB u u u v 或者a v 。 1.2 空间向量的夹角：过空间一点O 作OA a =u u u v v ，OB b =u u u v v ，则AOB ∠叫做a v 与b v 的夹 角，记作,a b v v ，0,a b π≤≤v v ，当,a b v v 2 π =时，a v 与b v 垂直，记a b ⊥v v 。当 ,a b v v 0=或π时，//a b v v 。 1.3 特殊空间向量：当a v 0=时，称a v 为零向量，记a v 0=，与任意向量平行和垂直。 当a v 1=，称a v 为单位向量，对任意非零向量a v ，a a v v 叫做a v 的单位向量。当a v =-b v 时， 称a v 与b v 互为相反向量。 1.4 方向向量与法向量：当a v 与l 平行时，称a v (0)≠是l 的方向向量，一直线的方向向
量有无数个。当a v 与平面α垂直时，称a v (0)≠是平面α的法向量，一平面的法向量 有无数个。 1.5 向量的线性运算： 1.5.1 向量的加法符合平行四边形法则，减法符合三角形法则，又满足规律： ()()a b c a b c ++=++v v v v v v ，a b b a +=+v v v v ，若n 个向量相加且首尾相接，则其和向量以 开始起点为起点，以最终的终点为终点一样，即 01122103n n n A A A A A A A A A A -+++???+=u u u u v u u u u v u u u u v u u u u u v u u u u u v 。 1.5.2向量的数乘：a λv 与平面向量意义相同。a λv a λ=v ，0λ>时，a λv 与a v 同向；0λ<时，a λv 与a v 反向；满足a a λλ=v v ；()a b a b λλλ+=+v v v v ；()a a a μλμλ+=+v v v ；()()a a λμλμ=v v 1.5.3 向量的共线定理：b v 0≠时，//a b a b λ?=v v v v 1.6 空间向量的数量积：cos ,a b a b a b ?=?v v v v v v 是一个实数。 满足规律：a b b a ?=?v v v v () a b c a b a c ?+=?+?v v v v v v v ()() a b a b λλ?=?v v v v 不满足结合律，即：()()a b c a b c ??≠??v v v v v v 应用： a =v 0a b a b ⊥??=v v v v cos (0,0)a b a b a b a b ??=≠≠?v v v v v v v v 2，空间向量基本定理及坐标运算： 2.1 空间向量基本定理：若向量123,,e e e u v u u v u v 是空间三个不共面向量，a v 是空间任意向量， 那么存在唯一一组实数123,,λλλ使得112233a e e e λλλ=++v u v u u v u v ，其中空间中不共面的 向量123,,e e e u v u u v u v 叫做这空间的一组基底。
空间向量与立体几何 一、知识网络： 二．考纲要求： （1）空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； ② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量； ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 三、命题走向 本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处
理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。 第一课时 空间向量及其运算 一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。 学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。 （二）、知识梳理，方法定位。（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。 1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。 2．向量运算和运算率 说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量 叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作a ∥b 。 注意：当我们说a 、b 共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当 我们说a 、b 平行时，也具有同样的意义。 共线向量定理：对空间任意两个向量a （a ≠）、b ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使b ＝λa （1）对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa |，当λ>0时与a 同向， 当λ<0时与a 反向的所有向量。 （3）若直线l ∥a ，l A ∈，P 为l 上任一点，O 为空间任一点，下面根据上述定理来推导的表达式。
向量法解立体几何 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。 一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系 线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离
点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为PQ =u u u r 2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ u u u r 在法向量(),n A B =上的射影 PQ n n ?u u u r = 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ u u u r ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ u u u r 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤： ① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角； ②再求其余角，即是线面的夹角. 3.面面夹角（二面角） 若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法
高中数学必背公式——立体几何与空间向量 知识点复习： 1. 空间几何体的三视图“长对正、高平齐、宽相等”的规律。 2. 在计算空间几何体体积时注意割补法的应用。 3. 空间平行与垂直关系的关系的证明要注意转化： 线线平行 线面平行 面面平行，线线垂直 线面垂直 面面垂直。 4．求角：（1）异面直线所成的角： 可平移至同一平面；也可利用空间向量：cos |cos ,|a b θ=<>= 1212122 222 2 2 1 1 1 222 |||||| a b a b x y z x y z ?= ?++?++（其中θ（090θ<≤）为异面直线a b ,所成角，,a b 分别表示异面直线a b ,的方向向量）。 （2）直线与平面所成的角： 在斜线上找到任意一点，过该点向平面作垂线，找到斜线在该平面上的射影，则斜线和射影所成的角便是直线与平面所成的角；也可利用空间向量，直线AB 与平面所成角sin |||| AB m AB m β?= (m 为平面α的法向量). （3）二面角： 方法一：常见的方法有三垂线定理法和垂面法； 方法二：向量法：二面角l αβ--的平面角cos |||| m n arc m n θ?=或cos ||||m n arc m n π?- （m ，n 为平面α，β 的法向量）. 5. 求空间距离： （1）点与点的距离、点到直线的距离，一般用三垂线定理“定性”； （2）两条异面直线的距离：|| || AB n d n ?= （n 同时垂直于两直线，A 、B 分别在两直线上）； （3）求点面距： || || AB n d n ?= （n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）； （3）线面距、面面距都转化为点面距。 题型一：空间几何体的三视图、体积与表面积 例1：已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，
空间向量与立体几何知识点归纳总结 一．知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1 ）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈ 运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共 线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a //。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a ＝λb 。 （3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>λ= <=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与共线的单位向量为a ± 4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数 ,x y 使p xa yb =+。 （3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>y x AP += <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一 个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
空间向量与立体几何 1, 如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD （1）证明AB⊥平面VAD； （2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小 2, 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=， BC=1，PA=2，E为PD的中点. （1）求直线AC与PB所成角的余弦值； （2）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.(易错点,建系后,关于N点的坐标的设法,也是自己的弱项)
3. 如图，在长方体ABCD ―A 1B 1C 1D 1中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动. （1）证明：D 1E ⊥A 1D ； （2）当E 为AB 的中点时，求点A 到面ECD 1的距离； （3）AE 等于何值时，二面角 D 1―EC ―D 的大小为(易错点:在找平面DEC 的法向量的时候,本来法向量就己经存在了,就不必要再去找,但是我认为去找应该没有错吧,但法向量找出来了 ,和那个己经存在的法向量有很大的差别,而且,计算结果很得杂,到底问题出在哪里 ?) 4.如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝2DC ＝2，E 为BD 1的中点，F 为AB 的中点，∠DAB ＝60°． (1)求证：EF ∥平面ADD 1A 1； (2)若2 21BB ，求A 1F 与平面DEF 所成角的正弦值．
N：5题到11题都是运用基底思想解题 5.空间四边形ABCD中，AB=BC=CD，AB⊥BC，BC⊥CD，AB与CD成60度角，求AD与BC所成角的大小。 6.三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，∠A1AB=45°, ∠A1AC=60°,求二面角B-AA1-C的平面角的余弦值。 7.如图，60°的二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内， 且都垂直于AB,已知AB=4,AC=6,BD=8，求CD的长 8.如图，已知空间四边形OABC中，OB=0C, ∠AOB=∠AOC=Θ，求证OA⊥BC。 9．如图，空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，点D，E分别是边OA，BC的中点，连接DE。 （1）计算DE的长； （2）求点O到平面ABC的距离。 10．如图，线段AB在平面⊥α，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB=7，AC=BD=24，CD=25，求线段BD与平面α所成的角。
中档大题规范练2 立体几何与空间向量 1．如图，在四棱锥P —ABCD 中，侧面P AD ⊥底面ABCD ，侧棱P A ＝PD ＝2，P A ⊥PD ，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝BC ＝1，O 为AD 的中点． (1)求证：PO ⊥平面ABCD ； (2)求B 点到平面PCD 的距离； (3)线段PD 上是否存在一点Q ，使得二面角Q —AC —D 的余弦值为 63？若存在，求出PQ QD 的值；若不存在，请说明理由． (1)证明 因为P A ＝PD ＝2，O 为AD 的中点， 所以PO ⊥AD ，因为侧面P AD ⊥底面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD . (2)解 以O 为原点，OC ，OD ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O －xyz ，则B (1，－1,0)，C (1,0,0)，D (0,1,0)，P (0,0,1)． PB →＝(1，－1，－1)，设平面PDC 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，CP →＝(－1,0,1)，PD →＝(0,1，－ 1)． 则????? u · CP →＝－x ＋z ＝0，u · PD →＝y －z ＝0，取z ＝1，得u ＝(1,1,1)， B 点到平面PDC 的距离d ＝|BP →·u ||u |＝33 . (3)解 假设存在，则设PQ →＝λPD → (0<λ<1)， 因为PD →＝(0,1，－1)，所以Q (0，λ，1－λ)， 设平面CAQ 的法向量为m ＝(a ，b ，c )，
则????? m ·AC →＝0，m ·AQ →＝0，即????? a ＋ b ＝0， (λ＋1)b ＋(1－λ)c ＝0， 所以取m ＝(1－λ，λ－1，λ＋1)， 平面CAD 的法向量n ＝(0,0,1)， 因为二面角Q —AC —D 的余弦值为 63 ， 所以|m·n||m||n |＝63 ， 所以3λ2－10λ＋3＝0， 所以λ＝13或λ＝3(舍去)，所以PQ QD ＝12 . 2．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2AD ＝2，E 为AB 的中点，F 为D 1E 上的一点，D 1F ＝2FE . (1)证明：平面DFC ⊥平面D 1EC ； (2)求二面角A —DF —C 的大小． (1)证明 以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系， 则A (1,0,0)，B (1,2,0)，C (0,2,0)，D 1(0,0,2)． ∵E 为AB 的中点， ∴E 点坐标为(1,1,0)， ∵D 1F ＝2FE ， ∴D 1F →＝23D 1E →＝23 (1,1，－2) ＝(23，23，－43 )， DF →＝DD 1→＋D 1F →＝(0,0,2)＋(23，23，－43 )
立体几何空间向量知识点总结 知识网络： 知识点拨： 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广． 2、当a 、b 为非零向量时．0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题． 3、公式 cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求 两异面直线所成的角（但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值范围上的区别），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等． 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题． 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 （1）线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． （2）线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b ?=?⊥．
（3）线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量． （4）线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． （5）面面平行 ①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； ②转化为线面平行、线线平行问题． （6）面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 6、运用空间向量求空间角 （1）求两异面直线所成角 利用公式cos, a b a b a b ? <>= ? ， 但务必注意两异面直线所成角θ的范围是 0, 2 π ?? ???， 故实质上应有：cos cos,a b θ=<> ． （2）求线面角 求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝| cosφ|． （3）求二面角 用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补． 7、运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离． （1）点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模． （2）点与面的距离 点面距离的求解步骤是： ①求出该平面的一个法向量； ②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距
10 第七部分 立体几何与空间向量 一、知识梳理 （一）基本知识梳理：见《步步高》文科P123—124 ;理科P135—137 . （二）要点梳理： 1。平面的基本性质是高考中立体几何的重点容.要掌握平面的基本性质，特别注意：不共线的三点确定一个平面.考察点和平面的位置关系时，要注意讨论点在平面的同侧还是两侧，会根据不同的情况作出相应的图形. ［例］已知线段AB 长为3，A 、B 两点到平面α的距离分别为1与2，则AB 所在直线与平面α所成角的大小为＿＿＿＿＿； 解析：要注意到点A 、B 是平面α同侧还是在平面α的两侧的情况.当A 、B 在平面α的同侧时，AB 所在直线与平面α所成角大小为31arcsin ；当A 、B 在平面α的两侧时，AB 所在直线与平面α所成角为 2 π. 2。线面关系中三类平行的共同点是“无公共点”；三类垂直的共同点是“成角90°”.线面平行、面面平行，最终化归为线线平行；线面垂直、面面垂直，最终化归为线线垂直. ［例］已知平面βα,，直线b a ,.有下列命题：（1） βαβα////a a ?????；（2）αββα//a a ?? ?? ⊥⊥ （3）βαβα////??????⊥⊥b a b a ；（4）βαβα////??? ? ?? ??b a b a .其中正确的命题序号是＿＿＿＿＿＿. 解析：立体几何中的符号语言所描述的问题是高考命题中的重点，基本上每年的高考在选择或填空题中都会有涉及，要充分理解符号语言所体现的几何意义.（1）体现的是两平面平行的一个性质：若两平面平行，则一个平面的任一直线与另一平面平行.（2）要注意的是直线a 可能在平面α.（3）注意到直线与平面之间的关系：若两平行直线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直.且垂直于同一直线的两个平面平行.（4）根据两平面平行的判定知，一个平面两相交直线与另一个平面平行，两平面才平行.由此知：正确的命题是（1）与（3）. 3。直线与平面所成角的围是]2, 0[π ；两异面直线所成角的围是]2 ,0(π .一般情况下，求二面角往往是指定 的二面角，若是求两平面所成二面角只要求出它们的锐角（直角）情况即可. ［例］设A 、B 、C 、D 分别表示下列角的取值围：（1）A 是直线倾斜角的取值围；（2）B 是锐角；（3）C 是直线与平面所成角的取值围；（4）D 是两异面直线所成角的取值围.用“?”把集合A 、B 、C 、D 连接起来得到＿＿＿. （答案：A C D B ???） 4。立体几何中的计算主要是角、距离、体积、面积的计算.两异面直线所成角、直线与平面所成角的计算是重点.求两异面直线所成角可以利用平移的方法将角转化到三角形中去求解，也可以利用空间向量的方法，特别要注意的是两异面直线所成角的围.当求出的余弦值为a 时，其所成角的大小应为||arccos a . ［例］正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是AB 中点，则异面直线DE 与BD 1所成角的大小为＿＿＿＿＿. （答案：515 arccos ） 特别需要注意的是：两向量所成的角是两向量方向所成的角，它与两向量所在的异面直线所成角的概念是 不一样的.本题中的向量1BD 与所成的角大小是两异面直线DE 与BD 1所成角的补角. 5。直线与平面所成角的求解过程中，要抓住直线在平面上的射影，转化到直角三角形中去求解.点到平面的距离的求解可以利用垂线法，也可以利用三棱锥的体积转化. C A 1 B 1 C 1 E
. 1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD， 点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4． 的中点；PB（1）求证：M为 的大小；A2）求二面角B﹣PD﹣（ 所成角的正弦值．BDP（3）求直线MC与平面 【分析】（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点； （2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小； （3）求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O，
∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM， ∵PD∥平面MAC，PD?平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM， ∴PD∥OM，则，即M为PB的中点； （2）解：取AD中点G， . . ∵PA=PD，∴PG⊥AD， ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG， 由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD． 以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系， 由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，），C （2，4，0），B（﹣2，4，0），M（﹣1，2，）， ，．
微专题64 利用空间向量解立体几何问题 一、基础知识 （一）刻画直线与平面方向的向量 1、直线：用直线的方向向量刻画直线的方向问题，而方向向量可由直线上的两个点来确定 例如：()()2,4,6,3,0,2A B ，则直线AB 的方向向量为()1,4,4AB =-- 2、平面：用平面的法向量来刻画平面的倾斜程度，何为法向量？与平面α垂直的直线称为平面α的法线，法线的方向向量就是平面α的法向量，如何求出指定平面的法向量呢？ （1）所需条件：平面上的两条不平行的直线 （2）求法：（先设再求）设平面α的法向量为(),,n x y z =，若平面上所选两条直线的方向向量分别为()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，则可列出方程组： 1112220 x y z x y x y z x y z z ++=?? ++=? 解出,,x y z 的比值即可 例如：()()1,2,0,2,1,3a b ==，求,a b 所在平面的法向量 解：设(),,n x y z =，则有20230x y x y z +=??++=? ，解得：2x y z y =-??=? ::2:1:1x y z ∴=- ()2,1,1n ∴=- （二）空间向量可解决的立体几何问题（用,a b 表示直线,a b 的方向向量，用,m n 表示平面 ,αβ的法向量） 1、判定类 （1）线面平行：a b a b ?∥∥ （2）线面垂直：a b a b ⊥?⊥ （3）面面平行：m n αβ?∥∥ （4）面面垂直：m n αβ⊥?⊥ 2、计算类： （1）两直线所成角：cos cos ,a b a b a b θ?==
高中 数学选修（2-1）空间向量与立体几何测试题 一、选择题 1．若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（ ） Ａ．一个圆 Ｂ．一个点 Ｃ．半圆 Ｄ．平行四边形 答案：Ａ 2．在长方体1111ABCD A B C D -中，下列关于1AC u u u u r 的表达中错误的一个是（ ） Ａ．11111AA A B A D ++u u u r u u u u r u u u u r Ｂ．111AB DD D C ++u u u r u u u u r u u u u u r Ｃ．111AD CC D C ++u u u r u u u u r u u u u u r Ｄ．11111()2 AB CD AC ++u u u u r u u u u r u u u u r 答案：Ｂ 3．若，，a b c 为任意向量，∈R m ，下列等式不一定成立的是（ ） Ａ．()()a b c a b c ++=++ Ｂ．()a b c a c b c +=+··· Ｃ．()a b a b +=+m m m Ｄ．()()a b c a b c =···· 答案：Ｄ 4．若三点，，A B C 共线，P 为空间任意一点，且PA PB PC αβ+=u u u r u u u r u u u r ，则αβ-的值为（ ） Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ． 1 2 Ｄ．2- 答案：Ｂ 5．设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（ ） Ａ．4- Ｂ．9 Ｃ．9- Ｄ． 649 答案：Ｂ 6．已知非零向量12e e ，不共线，如果1222122833e e e e e e =+=+=-u u u r u u u r u u u r ， ，AB AC AD ，则四点，，，A B C D （ ） Ａ．一定共圆 Ｂ．恰是空间四边形的四个顶点心 Ｃ．一定共面 Ｄ．肯定不共面 答案：Ｃ
y k i A(x,y,z) O j x z 辅导科目：数学 授课教师： 全国章 年级： 高二 上课时间： 教材版本：人教版 总课时： 已上课时： 课时 学生签名： 课 题 名 称 教 学 目 标 重点、难点、考点 教学步骤及内容 空间向量与立体几何 一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示 空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量a ，设,,i j k （单位正交基底）为坐标向量，则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ，使123a a i a j a k =++，有序实数组123(,,)a a a 叫作向量a 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作123(,,)a a a a =．在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标． 二、空间向量的直角坐标运算律 （1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈， （2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 （3）//a b b a λ?=11 223 3()b a b a R b a λλλλ=?? ?=∈??=? 三、空间向量直角坐标的数量积 1、设b a ,是空间两个非零向量，我们把数量>立体几何与空间向量-浙江省台州市书生中学2020届高三数学复习专题练习(无答案)
立体几何 例1.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，,6,8AB AC AB AC ⊥==，D 是线段AC 上一点，且 3AD DC =.三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的 面积的最大值与最小值之差为16π，则球O 的表面积为（ ） A ．72π B ．86π C ．112π D ．128π 2.三视图 例2.某简单组合体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．164+π B ．484π+ C ．4812π+ D ．4816π+ 3.常见几何体的体积计算公式 例3.已知直角三角形 ABC 两直角边长之和为3，将ABC ?绕其中一条直角边旋转一周，所形成旋转体体积的最大值为__________，此时该旋转体外接球的表面积为___________. 例4.如图，三棱锥的顶点，，，都在同一球面上， 过球心且 ，是边 长为 等边三角形，点、分别为线段，上的动点（不含端点），且 ，则三棱锥 体积的最大值为__________． 例5.如图，在几何体中，平面底面ABC ， 四边形是正方形，，Q 是 的中点，且 ， ． 求证：平面 ； 求二面角的余弦值．
例6.如图几何体中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，//EC PD ，且22PD AD EC ===.（1）求证：//BE 平面PDA ； （2）求PA 与平面PBD 所成角的大小. 例7．已知三棱锥A BCD -的棱长均为6，其内有n 个小球，球1O 与三棱锥A BCD -的四个面都相切，球2O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1O 都相切，如此类推，…，球n O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1n O -都相切（2n ≥，且n *∈N ），则球1O 的体积等于__________，球n O 的表面积等于__________. 例8.如图所示，在等腰梯形ABCD 中，， ，E ，F 为AB 的三等分点，且 将 和 分别沿DE 、CF 折起到A 、B 两点重合，记为点P ． 证明：平面平面PEF ； 若 ，求PD 与平面PFC 所成角的正弦值．