专题42 存在性问题
?解读考点
知识点[来源:https://www.doczj.com/doc/e54691755.html,]名师点晴
抛物线的存在性等腰、直角三角形来源:Z|xx|https://www.doczj.com/doc/e54691755.html,]
掌握等腰三角形与直角三角形的性质，并能求出相关的点的
存在性问题来源:https://www.doczj.com/doc/e54691755.html,][来源学科网ZXXK]
平行四边形问题理解并掌握抛物线与特殊的平行四边形的求法
相似三角形理解并掌握抛物线与相似三角形问题的解法
等腰梯形、直角梯形理解并掌握抛物线与梯形的存在性问题的求法
线段最值掌握线段最大值或线段和的最小值的求法
面积最值问题解决相关的三角形或四边形的面积最大（小）值问题
?2年中考
[2014年题组]
1.（2014年福建三明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的一个交点为A（﹣2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x轴交于点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）经过B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标；
（3）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2.（2014年福建漳州）已知抛物线l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．
（1）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是▲ ，衍生直线的解析式是▲ ；（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；（3）如图，设（1）中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM 为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2014广东深圳）如图，直线AB的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，以A为顶点的抛物线交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C（0，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线顶点沿着直线AB平移，此时顶点记为E，与y轴的交点记为F，
①求当△BEF与△BAO相似时，E点坐标；
②记平移后抛物线与AB另一个交点为G，则S△EFG与S△ACD是否存在8倍的关系？若有请直接写出F点的坐标．
4．（2014天津）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（3，0）、B（0，3）、C（1，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D的坐标为（﹣1，0），在直线AB上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使△ADE的面积等于四边形APCE的面积？
如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．
5．（2014四川凉山）如图①，在平面直角坐标中，点A的坐标为（1，﹣2），点B的坐标为（3，﹣1），二次函数y=﹣x2的图象为l1．
（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过点A，但不过点B．
①满足此条件的函数解析式有个．
②写出向下平移且经点A的解析式．
（2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过A，B两点，所得的抛物线l2，如图②，求抛物线l2的函数解析式及顶点C的坐标，并求△ABC的面积．
（3）在y轴上是否存在点P，使S△ABC=S△ABP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2014海南）如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过点A（-1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B，已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当a=1时，求四边形MEFP面积的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．
[2013年题组]
1．（2013年广西桂林）已知抛物线的顶点为（0，4）且与x轴交于（﹣2，0），（2，0）．
（1）直接写出抛物线解析式；
（2）如图，将抛物线向右平移k个单位，设平移后抛物线的顶点为D，与x轴的交点为A、B，与原抛物线的交点为P．
①当直线OD与以AB为直径的圆相切于E时，求此时k的值；
②是否存在这样的k值，使得点O、P、D三点恰好在同一条直线上？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．
2．（2013年吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣2 与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）．点M、N在x轴上，点N在点M右侧，MN=2．以MN为直角边向上作等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°．设点M的横坐标为m．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式．
（2）求点C在这条抛物线上时m的值．
（3）将线段CN绕点N逆时针旋转90°后，得到对应线段DN．
①当点D在这条抛物线的对称轴上时，求点D的坐标．
②以DN为直角边作等腰直角三角形DNE，当点E在这条抛物线的对称轴上时，直接写出所有符合条件的m
值．
3．（2013年辽宁锦州）如图，抛物线21
y x mx n 8
=-++经过△ABC 的三个顶点，点A 坐标为（0，3），点B 坐标为（2，3），点C 在x 轴的正半轴上． （1）求该抛物线的函数关系表达式及点C 的坐标；
（2）点E 为线段OC 上一动点，以OE 为边在第一象限内作正方形OEFG ，当正方形的顶点F 恰好落在线段AC 上时，求线段OE 的长；
（3）将（2）中的正方形OEFG 沿OC 向右平移，记平移中的正方形OEFG 为正方形DEFG ，当点E 和点C 重合时停止运动．设平移的距离为t ，正方形DEFG 的边EF 与AC 交于点M ，DG 所在的直线与AC 交于点N ，连接DM ，是否存在这样的t ，使△DMN 是等腰三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； （4）在上述平移过程中，当正方形DEFG 与△ABC 的重叠部分为五边形时，请直接写出重叠部分的面积S 与平移距离t 的函数关系式及自变量t 的取值范围；并求出当t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？
4．（2013年湖南株洲）已知抛物线C 1的顶点为P （1，0），且过点（0，
1
4
）．将抛物线C 1向下平移h 个单位（h ＞0）得到抛物线C 2．一条平行于x 轴的直线与两条抛物线交于A 、B 、C 、D 四点（如图），且点A 、C 关于y 轴对称，直线AB 与x 轴的距离是m 2
（m ＞0）．
（1）求抛物线C 1的解析式的一般形式； （2）当m=2时，求h 的值；
（3）若抛物线C 1的对称轴与直线AB 交于点E ，与抛物线C 2交于点F ．求证：tan ∠EDF ﹣tan ∠ECP=1
2
．
5．（2013年四川成都）在平面直角坐标系中，已知抛物线21y x bx c 2
=-++（b ，c 为常数）的顶点为P ，等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为（0，﹣1），C 的坐标为（4，3），直角顶点B 在第四象限．
（1）如图，若该抛物线过A ，B 两点，求该抛物线的函数表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上滑动，且与AC 交于另一点Q ．
（i ）若点M 在直线AC 下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M 的坐标；
（ii ）取BC 的中点N ，连接NP ，BQ ．试探究PQ
NP BQ
+是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，
请说明理由．
6．（2013年甘肃天水）如图1，已知抛物线y=ax 2
+bx （a≠0）经过A （3，0）、B （4，4）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将直线OB 向下平移m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D ，求m 的值及点D 的坐标； （3）如图2，若点N 在抛物线上，且∠NBO=∠ABO ，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD ∽△NOB 的点P 坐标（点P 、O 、D 分别与点N 、O 、B 对应）．
7．（2013年山东日照）已知，如图(a)，抛物线2y ax bx c =++经过点A(x 1，0)，B(x 2，0)，C(0，－2)，其顶点为D.以AB 为直径的⊙M 交y 轴于点E 、F ，过点E 作⊙M 的切线交x 轴于点N 。∠ONE=30°，12x x 8-=。
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）连结AD、BD,在（1）中的抛物线上是否存在一点P，使得△ABP与△ADB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图（b）,点Q为EBF上的动点（Q不与E、F重合），连结AQ交y轴于点H，问：AH·AQ是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。
?考点归纳
归纳 1：抛物线的存在性问题
基础知识归纳：抛物线的存在性问题主要涉及等腰三角形、直角三角形、相似三角形、等腰梯形、直角梯形、线段的最值与面积的最值问题。
基本方法归纳：等腰三角形要注意顶点问题的讨论、直角三角形主要讨论斜边、相似三角形的涉及对应边问题、梯形的上底和下底互相平行、平行四边形的对边平行且相等、对角线互相平分、线段的最值注意二次函数配方法的应用和对称问题。
注意问题归纳：点的存在性问题中，关键是点的找法，点不要漏找。
【例1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线24
y x bx c 3
=-++与x 轴交于A 、D 两点，与y 轴交于点B ，
四边形OBCD 是矩形，点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（0，4），已知点E （m ，0）是线段DO 上的动点，过点E 作PE ⊥x 轴交抛物线于点P ，交BC 于点G ，交BD 于点H ． （1）求该抛物线的解析式；
（2）当点P 在直线BC 上方时，请用含m 的代数式表示PG 的长度；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P ，使得以P 、B 、G 为顶点的三角形与△DEH 相似？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．
?1年模拟
1．（2015届湖北省黄石市第十六中学九年级10月月考数学试卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x mx n =++经过点A （3，0）、B （0，－3），点P 是直线AB 上的动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ，设点P 的横坐标为t ．
（1）分别求出直线AB 和这条抛物线的解析式．（4分）
（2）若点P 在第四象限，连接AM 、BM ，当线段PM 最长时，求△ABM 的面积．（4分）
（3）是否存在这样的点P ，使得以点P 、M 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由（4分）
2．（2015届福建省永定二中、三中九年级上学期期中联考数学试卷）如图，抛物线2y ax bx c =++交x 轴于点A （－3，0），点B （1，0），交y 轴于点E （0，－3）．点C 是点A 关于点B 的对称点，点F 是线段BC 的中点，直线l 过点F 且与y 轴平行．直线y x m =-+过点C ，交y 轴于D 点．
（1）求抛物线的函数表达式；（3分）
（2）点K 为线段AB 上一动点，过点K 作x 轴的垂线与直线CD 交于点H ，与抛物线交于点G ，求线段HG 长度的最大值；（4分）
（3）在直线l 上取点M ，在抛物线上取点N ，使以点A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标．（7分）
3．（2014届辽宁省大石桥市金桥管理区初级中学中考模拟考试数学试卷）如图，抛物线y=x 2
-2x-3与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线L 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．
（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；
（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值； （3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．
4．（2015届江苏省苏州市高新区九年级上学期期中联考数学试卷）如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴的一个交点为A （3，0），与y 轴的交点为B （0，3），其顶点为C ，对称轴为1x =．
（1）求抛物线的解析式：
（2）已知点M 为y 轴上的一个动点，当△ABM 为等腰三角形时，求点M 的坐标；
（3）将△AOB 沿x 轴向右平移m 个单位长度（0 5．（2015届山东省章丘市第二实验中学九年级上学期期中考试数学试卷）如图，抛物线32++=bx ax y 经过点A （1，0）和B （3，0），点C （m ，15）在抛物线的对称轴上. （1）求抛物线的函数表达式. （2）求证: △ABC 是等腰三角形. （3）动点P 在线段AC 上，从点A 出发以每钞1个单位的速度向C 运动，同时动点Q 在线段AB 上，从B 出发以每秒1个单位的速度向A 运动.当Q 到达点A 时，两点同时停止运动.设运动时间为t 秒，求当t 为何值时，△APQ 与△ABC 相似. 6．（2014届浙江省丽水市莲都区九年级第一次中考模拟数学试卷）如图1，抛物线y=－x 2 ＋2bx ＋c （b ＞0）与y 轴交于点C ，点P 为抛物线顶点，分别作点P ，C 关于原点O 的对称点P′，C′，顺次连接四点得四边形PC P′C′． （1）当b=c=1时，求顶点P的坐标； （2）当b=2，四边形PC P′C′为矩形时（如图2），求c的值； （3）请你探究：四边形PC P′C′能否成为正方形？若能，求出符合条件的b，c的值；若不能，请说明理由． 7．（2015届浙江省富阳市新登镇中学共同体九年级10月月考数学试卷）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线c bx ax y+ + =2经过点A、B，且18a+c=0． （1）求抛物线的解析式； （2）如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动． ①移动开始后第t秒时，设△PBQ的面积为S，试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； ②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由． 8．（2015届浙江省绍兴市六校九年级上学期第一次联考数学试卷）如图，抛物线 )0 ≠ ( 2a c bx x y+ + =与 x轴交于A（1，0）、B（-4，0）两点。 （1）求该抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）设此抛物线与直线 =- y x在第二象限交于点D，平行于y轴的直线() 150 x m m =--<< 与抛 物线交于点M，与直线y x =-交于点N，连接BM、CM、NC、NB，是否存在m的值，使四边形BNCM的面积 S最大？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由．
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