求解股票期权定价问题的差分方法

收稿日期:2003 08 29

基金项目:辽宁省自然科学基金资助项目(20022021)

作者简介:张 铁(1956-),男,辽宁沈阳人,东北大学教授

第25卷第2期2004年2月东北大学学报(自然科学版)Journal of Northeastern U niversity(Natural Science)Vol 25,No.2Feb.2004

文章编号:1005 3026(2004)02 0190 04

求解股票期权定价问题的差分方法

张 铁,李明辉

(东北大学理学院,辽宁沈阳 110004)

摘 要:期权是最重要的金融衍生工具,期权理论的核心是期权定价问题 对于美式期权的

价格,不存在解析公式也无法求得精确解 因此,研究各种计算美式期权价格的数值方法具有重要意义 研究美式股票看跌期权定价问题的差分方法 对美式期权所遵循的变分不等式方程建立了向后欧拉全离散差分逼近格式,利用能量方法进行了差分解的稳定性和收敛性分析,并给出最优阶误差估计 数值计算表明该算法是一个高效和收敛的算法

关 键 词:美式看跌期权;股票期权;变分不等式;差分逼近;稳定性;收敛性;数值计算中图分类号:F 224.9 文献标识码:A

期权是最重要的金融衍生工具之一,它是一种赋予持有者在将来某一确定时间以某一确定价格购买或出售标的资产的权利 对于欧式期权,Black 和Scholes 早已给出解析形式的定价公式[1,2]

然而,对于美式期权的价格,并不存在这样的解析公式,也无法求得精确解 因此,发展各种计算美式期权价格的数值方法具有重要的实际意义 美式期权定价问题的数学模型一般可归结为自由边值问题或相应的线性互补偏微分方程 作者在文献[3]中已经讨论了美式股票期权定价问题的有限元方法 本文将进一步研究相应问题的有限差分方法,建立了向后欧拉全离散差分逼近格式,论证了差分解的存在唯一性和稳定性,并给出了最优阶误差估计 最后,用数值计算例验证了本文方法的有效性 为明确起见,本文假定期权的标的资产为股票 用S 表示股票价格,E 为期权的执行价格,P 为期权价格,T 为期权执行日期, 为股票价格的波动率,r 为无风险利率(假定为常数) 进一步假设世界是风险中性的,在期权有效期内股票无红利支付 在这样假设下,美式股票看跌期权的价格P =P(t,S )将满足如下线性互补偏微分方程[4]

P t +12 2S 2 2

P 2S +r S P S -rP

(P -G (S ))=0,

(1)

P t +12 2S 2 2P 2S +rS P

S -rP 0,P G (S ),

(2)G (S )=max (E -S ,0),

0 S ,0

P (T ,S )=G (S ),P(t,0)=G (0),P (t ,S )=0,S

(3)

1 有限差分逼近

首先对问题(1)~(3)进行化简,目的是将变系数方程化为常系数方程,将反向时间问题化为正向时间问题 引进变量变换

S =E e x ,t =T - 12 2,P(t,S )=

E e -1

2(k -1)x u (

,x )

(4)

其中,k =r

12 2

在此变换下,直接计算可知问题(1)-(3)转化为如下问题

u - 2

u x 2+14(k +1)2u

(u -g)=0,0< T 1,

(5)

u - 2u x 2+1

4(k +1)2u 0,u g (6)其中,T 1=12 2

T ,

g(x )=1E

e 12(k -1)x G (S)=e 12k x max (e

-12x -

e 12x

,0)

为了便于构造数值方法,还需将上述问题限制在有界区域上,并根据原问题的性质给定相应的边界条件 首先考虑到股票价格S 既不可能上升为

无限大,也不可能下降为零,因此可限制变量x [-a,a],a>0充分大 又由于当股票价格S远大于执行价格E时,看跌期权价格P(t,S)=0,因此可令u( ,a)=0 其次,原问题(1)~(3)来源于自由边值问题,也即存在自由边界S*=S*(t)>0,且当0 S

(5)~(6)的初边值条件可确定为

u(0,x)=g(x),u( ,-a)=g(-a), u( ,a)=0

(7)

现在建立问题(5)~(7)的有限差分近似 剖分空间区域[-a,a]:-a=x0

t u n j=1 t(u n j-u n-1j),

2x u n j=1

h2

(u n j+1-2u n j+u n j-1),

那么可有

u

t(t n,x j)= t u n

j +

t

2

u tt( k,x j),

u x x(t n,x j)= 2x u n j+h2

12

u(4)x(t n, j)

(8)

则在剖分节点(t n,x j)处,方程(5)~(7)可离散为

( t u n j- 2x u n j+1

4(k+1)

2u n

j+

n

j)(u

n

j-g j)=0,

(9)

( t u n j- 2x u n j+1

4

(k+1)2u n j+ n j) 0,

u n j g j,(10) u0j=g j,u n j=g0,u n N=0,

n=1,2, ,M, j=1,2, ,N-1 (11)其中,g j=g(x j),截断误差 n j=O( t+h2) 根据式(9)~(11),定义期权定价问题(5)~(7)的向后欧拉有限差分近似为:求U n j使满足

( t U n j- 2x U n j+1

4

(k+1)2U n j)(U n j-g j)=0,

(12)

t U n j- 2x U n j+1

4

(k+1)2U n j 0,U n j g j,

(13) U0j =g j,U n j=g0,U n N=0,n=1,2, ,M,

j=1,2, ,N-1 (14)记N维向量U n=(U n0, ,U n N-1)T,G=(g0, , g N-1)T引进R N中的闭凸子集 N={U R N U G,U0=g0} 那么差分方程(12)~(14)的矩阵方程形式为:求U n N,U0=G使满足

(U n-U n-1+ t AU n,U n-G)=0,(15)

U n-U n-1+ t AU n 0,n=1,2, ,M

(16)其中,( , )表示向量欧式内积,用 表示相应的范数,A=(a ij)为对称正定的三对角矩阵,其元素为

a ii=

2

h2

+

1

4

(k+1)2,a i,i 1=-

1

h2

2 差分方程的适定性和误差分析

为了研究差分方程(15)~(16)解的存在惟一性、稳定性和收敛性,需要将其转化为等价的变分方程形式

定理1 U n为差分方程(15)~(16)解的充要条件是U n N,U0=G满足如下线性变分不等式方程

(U n-U n-1+ t AU n,V-U n) 0, V N

(17)

证明 设U n为(15)~(16)的解 利用方程(16),对任意V N(注意V G)可得

(U n-U n-1+ t AU n,V-G) 0,

再减去式(15)推得方程(17)成立 反之,设U n N为方程(17)的解 在方程(17)中取V=U n+ C,向量C 0,则得到(U n-U n-1+ t AU n,C) 0,由向量C 0的任意性知方程(16)成立 再取C=U n-G得到

(U n-U n-1+ t A U n,U n-G) 0

在方程(17)中取V=G,结合此式推得方程(15)成立,证毕 方程(17)可进一步改写为:求U n N,U0=G使满足

(BU n-U n-1,V-U n) 0, V N,

(18)其中,B=I+ t A 这是与问题(15)~(16)等价的R N中线性变分不等式方程 由于B是对称正定的,因此它的解U n N惟一存在 关于问题(17)的各种求解方法可参见文献[5~10] 下面进行稳定性和收敛性分析

定理2 差分方程(15)~(16)按向量A 范

是绝对稳定的,即

191

第2期 张 铁等:求解股票期权定价问题的差分方法

U n A U 0 A ,n =0,1, ,M 证明 在方程(17)中取V =(U n +U n +1)/2 N

,利用柯西不等式得到 U n

-U

n-1

2+12

t U n 2

A

1

2

t (AU n ,U n-1) 12 t U n A U n-1 A ,

由此推得定理2结论成立

设精确解u(t ,x )在t n 时间层的节点值向量u n =(u(t n ,x 0), ,u(t n ,x N -1))T

,误差向量 n

( n 0, , n N -1)T

那么由方程(9)~(11),完成类似定理1的证明,可知u n N ,u 0=G 满足

(u n -u n-1+ t Au n + n

,v -u n ) 0,

v N

(19)

定理3 设u (t,x )为问题(5)~(7)解,U n j

为(12)~(14)定义的差分近似解,则成立如下误差估计 u n -U n h

2aT 1( t/2+h 2/12) max t,x

(|u tt (t,x )|+|u (4)x (

t,x )|),n =1,2, ,

这里 u n h =

N-1

j=0

h |u n j |2表示离散L 2 范数

证明 记误差向量e n =u n -U n ,则有(e n

,e n

)+ t(Ae n

,e n

)=(u n

,u n

-U n

)+ t(Au n ,u n -U n )-(U n ,u n -U n )- t(AU n

,u n

-U n )

(20)

由u n 和U n 所满足的方程(17)和(19)可知

(u n ,u n -v )+ t(Au n ,u n -v )

(u n-1- t n

,u n -v ),v N ,

(21)(U n

,U n

-V )+ t(A U n

,U n

-V ) (U n-1,U n -V ),V N ,

(22)

在式(21)和(22)中分别取v =U n

,V =u n

结合式(20)~(22)得到 e n

2

+ t e

n 2A

(u

n-1

- t n ,e n

)-

(U n-1,e n )=(e n-1,e n )- t( n

,e n ) ( e n-1 + t n ) e n

由此式得到

e n h e n-1 h + t n h ,n =1,2,

关于n 求和,注意e 0

=0,n t T 1,得到 e n

h t

n

k=1

k h T 1max 1 k n k

h ,由式(8)且注意hN =2a,可得到

n

h

2a ( t/2+h 2

/12)

max t,x

(|u tt (t,x )|+|u (4)

x (t,x )|),从而定理3得证

3 数值计算例

考虑由差分方程导出的线性变分不等式方程(17)的求解 为了处理x 0点的边值条件,引进N -1维向量b = t

h

2g (x 0),0, ,0

T

采用投影SOR 方法[11]求解变分不等式方程(17),记1< <2为超松弛因子 主要计算步骤如下:

(1)计算U 0

=G =(g (x 1),g (x 2), ,g (x N -1))T

,F 0=U 0+b ;

(2)对n =0,1, ,M -1循环执行步(3)到步(6);

(3)V 0=max (G ,U n );

(4)对i =1,2, ,N -1计算,V i =(F n

i -a i ,i -1V i -1-a i ,i +1V 0i +1)/a ii ,V i =max (g i ,V 0

i

+ (V i -V 0i ));

(5)如果 V -V 0

执行步(6);否则,置V 0

=V 转步(4);

(6)置U n +1=V ,F n +1=U n +1+b

利用上述计算程序计算出中间变量x i ,U n

后,再利用变换(4)即可求出t n =T -n t 12

2

时刻与股票价格S i =E e x

i 相应的期权值

P(t n ,S i )=

E e -1

2(k-1)x i U n i

现在考虑一个在期权执行内不付红利的美式看跌股票期权的估值 设相关数据为E =60,r =0 10, =0 30,期权执行期分别为T =3,6,9,12个月 假设当前时刻股票价格为S =60,下面将对不同的执行期T ,计算当前时刻与S =60相应的期权值

取计算区域(x ,t) [-a,a] [0,T 1],a =5,T 1=

12

2

T ,相应的股票价格变化区域是[E e -a ,E e a ]=[0 404277,8904 79] 令剖分步长h =2a/N , t =T 1/M 由于T 1已经很小(以年为单位),在计算中仅取M =10 表1给出了当前时刻期权的估值 计算结果表明本文算法是收敛的 上述计算是在PC586计算机上进行的,计

表1 美式看跌期权价格的估值

Table 1 Evaluation of American put option pri cing T N =250N =300N =350N =400N =500

32 9527322 9636452 9699862 9740622 97872763 9208453 9268383 9321703 9346473 9379159

4 5650924 5711444 5741094 5760014 578771

192东北大学学报(自然科学版)

第25卷

算时间在1s 之内 这表明本文数值方法是一个快速而又收敛的期权估值算法 参考文献:

[1]Black F,Scholes M.The pricing of options and corporate liabilities[J].J Pol Econ ,1973,81:637-659.

[2]

Hull J.Op tion ,f u tur e s and other derivativ e se c urities [M ].S econd Edi tion.Englewood Cliffs:Prentice Hall,1993.84-105.

[3]

张铁 美式期权定价问题的数值方法[J] 应用数学学报,2002,(1):113-122

(Zhang T.The numerical methods for Ameri can option pricing [J].A cta M ath App l S inica ,2002,(1):113-122.)

[4]

Wilmott P,Dewynne J,How ison S.Op tion p ricing :mathe matical mod el and comp utation [M ].London:Ox ford Financial Press,1995.134-156.

[5]

Elliott C,Ockendon J.Weak and variational methods f or f ree and mov ing bou ndary proble ms [M ].London:Pitman

Publishing,1982.34-48.

[6]Eaves B.On the basic theorem of complementarity [J ].M athematical Prog ramming ,1971,(1):68-75.

[7]

Fukushima.A relaxed projection method for variational inequalities[J].M athematical Program ming ,1986,(35):58-70.

[8]Gemm i ll G.Options pricing [M ].New York:M cGraw H i ll,1992.203-245.

[9]

张铁 一个新型的期权定价二叉树参数模型[J ] 系统工程理论与实践,2000,(11):90-94

(Zhang T.A new type of binomial tree parameter model for option pricing[J].System Engineering Theory and Practice ,2000,(11):90-94.)

[10]

张铁 线性有限元导数恢复技术及超收敛性[J] 东北大学学报(自然科学版),2002,23(6):602-605

(Zhang T.Supercon vergence derivative recovery techniques for linear finite elements [J ].Jour nal o f N ortheaster n Univ ersity(Natur al Science ),2002,23(6):602-605.)[11]

Crank J.Free and mov ing boundary p roblems [M ].Lon don:Oxford University Press,1984.89-123.

Difference M ethods for Solving the Stock Option Pricing Problems

ZH A N G T ie ,LI M ing hui

(School of Science,Northeaster n U niversity,Sheny ang 110004,China.Corr espondent:ZHA NG T ie,professor ,E mail:ztmath @https://www.doczj.com/doc/e44532542.html,)

Abstract:Opt ion is one of the most impo rtant deriv ative securit ies,of w hich the pr icing problem plays a key role in option t heory.F or American option,no analyt ic fo rmula and ex act solution can be obtained.T herefore,the study on numerical methods for various Amer ican o ptions is of hig h significance.T he difference method is investig ated for American put option pricing problems.A fully discr etized backw ard Euler approx imation scheme is thus established for the variational inequality equations w ith which American opt ion schemes complied.It is proved that the differ ence solution is stable and conver gent.Numerical examples show the efficiency and conv er gence of the alg orithm.

Key words:American put option;stock option;v ar iational inequality ;difference approx imat ion;stability;converg ence;numerical examples

(Received A ugust 29,2003)

待发表文章摘要预报

一类具有时滞的广义Hopfield 神经网络的动态分析

季 策,张化光

研究了一类具有时滞的广义Hopfield 神经网络的动态行为 文中放宽了对Hopfield 神经网络的互连结构必须为对称的要求,考虑一类具有时滞的、且互连结构可为非对称的广义Hopfield 神经网络的稳定性问题 通过构造适当的L yapunov 泛函及扇区条件,给出了平衡点渐近稳定的充分条件 在Hopfield 神经网络的设计及实现过程中,这些条件是很实用的 仿真结果进一步证明了结论的有效性

复合地基的褥垫层设计王凤池,朱浮声,王述红,董天文

为了从理论上确定褥垫层的设计参数,桩与褥垫层的关系可以看成倒置的桩对地基土的作用,桩体上刺可能引起褥垫层产生整体剪切破坏、局部剪切破坏或刺入破坏,而能够调节应力比的合理模式是整体剪切破坏,据此提出了褥垫层内摩擦角理论上限值的迭代公式 同时根据T er zaghi 滑移线理论,证明了对数螺旋滑移线与基础底板相交时褥垫层的厚度为最小设置厚度,低于最小设置厚度,调节桩土应力比能力减弱 褥垫层的宽度设置应按照应力扩散原则,防止褥垫层失效

193

第2期 张 铁等:求解股票期权定价问题的差分方法

2015-金融衍生品系列课程之二：期权介绍-90分

试题 一、单项选择题 1. 在无冲抵资产的情况下买入或卖出期权合约被称为（ ）。 A. 套期保值 B. 投机 C. 备兑 D. 无备兑 您的答案：D 题目分数：10 此题得分：10.0 2. 期权处于（ ）情况时时间价值最高。 A. 价内 B. 平价 C. 价外 D. 临近到期日 您的答案：C 题目分数：10 此题得分：0.0 3. 你以每股99美元的价格卖空100股IBM股票。为了保护自己，你买入1份IBM 7月每股99美元的 认购期权（一份标准美股期权合约对应100股股票），权利金为3.5美元。如果IBM股价涨至111美 元，你的获利或损失应该为（ ）。 A. 损失1.550美元 B. 损失350美元 C. 获利1,200美元 D. 损失1,100美元 您的答案：B 题目分数：10 此题得分：10.0 4. 多头认沽期权的持有者拥有（ ）。 A. 在固定期限内以固定价格买入证券的选择 B. 在固定期限内以固定价格卖出证券的选择 C. 在固定期限内以固定价格买入证券的义务 D. 在固定期限内以固定价格卖出证券的义务 您的答案：B 题目分数：10 此题得分：10.0 5. 期权中的Theta表示（ ）。 A. 时间推移对期权权利金的侵蚀 B. 期权价格变化与无风险利率水平变化的关系

C. 当标的证券价格上升时，期权Delta值的预期变化 D. 期权权利金变化与标的证券价格变化的预期比例 您的答案：A 题目分数：10 此题得分：10.0 6. 一位投资者卖出1份认购期权，行权价格低于标的股票的市场价格。因此，这份期权为（ ）。 A. 价内期权 B. 平价期权 C. 价外期权 D. 无价值 您的答案：A 题目分数：10 此题得分：10.0 7. 多头认购期权的持有者拥有（ ）。 A. 在固定期限内以固定价格买入证券的义务 B. 在固定期限内以固定价格卖出证券的选择 C. 在固定期限内以固定价格买入证券的选择 D. 在固定期限内以固定价格卖出证券的义务 您的答案：C 题目分数：10 此题得分：10.0 8. 如果标的股票在认购期权期限内派息，则在其他条件不变的情况下，认购期权的价值将( )。 A. 下降 B. 上涨 C. 不变 D. 需要更多信息 您的答案：A 题目分数：10 此题得分：10.0 二、多项选择题 9. 下列关于美式期权的表述错误的是（ ）。 A. 只能在到期日行权 B. 可以在到期日之前任何时间行权 C. 只能在美国购买并交易 D. 行权价格相同的情况下，比欧式期权的要求更为严格 您的答案：C,A,D 题目分数：10 此题得分：10.0 三、判断题 10. 你买入1份IBM 3月交易价格130美元的认购期权，权利金为4美元。如果IBM当前交易价格为 145美元，则当前标的股票的价格低于行权价格。（ ）

个股期权重要计算公式

1实值认购期权的内在价值=当前标的股票价格- 期权行权价， 2实值认沽期权的行权价=期权行权价- 标的股票价格。 3.时间价值=是期权权利金中- 内在价值的部分。 4. 备兑开仓的构建成本=股票买入成本–卖出认购期权所得权利金。 5. 备兑开仓到期日损益=股票损益+期权损益 =股票到期日价格-股票买入价格+期权权利金收益-期权内在价值(认购==当前标的股票价格- 期权行权价) 6. 备兑开仓盈亏平衡点=买入股票成本–卖出期权的权利金 7. 保险策略构建成本= 股票买入成本+ 认沽期权的权利金 8. 保险策略到期损益=股票损益+期权损益 =股票到期日价格-股票买入价格-期权权利金+期权内在价值（认沽=期权行权价- 标的股票价格) 9. 保险策略盈亏平衡点=买入股票成本+ 买入期权的期权费 10. 保险策略最大损失=股票买入成本-行权价+认沽期权权利金 11. 买入认购若到期日证券价格高于行权价，投资者买入认购期权的收益=证券价格-行权价-付出的权利金 12. 买入认购到期日盈亏平衡点=买入期权的行权价格+买入期权的权利金 13. 买入认沽若到期日证券价格低于行权价，投资者买入认沽期权的收益=行权价-证券价格-付出的权利金 14. 买入认沽到期日盈亏平衡点=买入期权的行权价格-买入期权的权利金 15.Delta=标的证券的变化量/期权价格的变化量 16. 杠杆倍数=期权价格变化百分比/与标的证券价格变化百分比之间的比率 =（标的证券价格/期权价格价格）*Delt 17. 卖出认购期权的到期损益：权利金- MAX（到期标的股票价格-行权价格，0） 18. 卖出认购期权开仓盈亏平衡点=行权价+权利金 19. 卖出认沽期权的到期损益：权利金-MAX（行权价格-到期标的股票价格，0） 20. 认沽期权卖出开仓盈亏平衡点=行权价-权利金 21认购期权义务仓开仓初始保证金＝{前结算价+Max（25%×合约标的前收盘价-认购期权虚值，10%×合约标的前收盘价）}*合约单位; 22.认沽期权义务仓开仓初始保证金＝Min{前结算价+Max[25%×合约标的前收盘价-认沽

美式期权定价.doc

美式期权定价 由于美式期权提前执行的可能，使得解决最优执行决策成为美式期权定价和套期保值的关键。由第三章的内容我们知道，如果标的股票在期权的到期日之前不分红，则美式看涨期权不会提前执行，因为在到期日之前执行将损失执行价格的利息。但是，如果标的股票在期权到期日以前支付红利，则提前执行美式看涨期权可能是最优的。提前执行可以获得股票支付的红利，而红利的收入超过利息损失。事实上，我们将证明，投资者总是在股票分红前执行美式看涨期权。 对于美式看跌期权而言，问题变的更复杂。看跌期权的支付以执行价格为上界，这限制了等待的价值，所以对于美式看跌期权而言，即使标的股票不支付红利，也可能提前执行。提前执行可以获得执行价格的利息收入。 许多金融证券都暗含着美式期权的特性，例如可回购债券（called bond ），可转换债券（convertible bond ）， 假设： 1．市场无摩擦 2．无违约风险 3．竞争的市场 4．无套利机会 1．带息价格和除息价格 每股股票在时间t 支付红利t d 元。当股票支付红利后，我们假设股价将下降，下降的规模为红利的大小。可以证明，当市场无套利且在资本收益和红利收入之间没有税收差别时，这个假设是成立的。 ()()t e c d t S t S += 这里()t S c 表示股票在时间t 的带息价格，()t S e 表示股票在时间t 的除息价格。 这个假设的证明是非常直接的。如果上述关系不成立，即()()t e c d t S t S +≠，则存在套利机会。 首先，如果()()t e c d t S t S +>，则以带息价格卖出股票，在股票分红后马上以除息价格买回股票。因为我们卖空股票，所以红利由卖空者支付，从而这个策略的利润为()()()t e c d t S t S +-。因为红利是确定知道的，所以只要()()() t S t S e c -var =0，则利润是没有风险的。 其次，如果()()t e c d t S t S +<，则以带息价格买入股票，获得红利后以除息价格卖 出，获得利润为()()t S d t S c t e -+。

股票期权协议书(完整版)

合同编号：YT-FS-7413-24 股票期权协议书(完整版) Clarify Each Clause Under The Cooperation Framework, And Formulate It According To The Agreement Reached By The Parties Through Consensus, Which Is Legally Binding On The Parties. 互惠互利共同繁荣 Mutual Benefit And Common Prosperity

股票期权协议书(完整版) 备注：该合同书文本主要阐明合作框架下每个条款，并根据当事人一致协商达成协议，同时也明确各方的权利和义务，对当事人具有法律约束力而制定。文档可根据实际情况进行修改和使用。 甲方：_____ 乙方：_____ 根据《股票期权计划》的有关规定，本着自愿、公平、平等互利。诚实信用的原则，甲方与乙方就股票期权赠与、持有、行权等有关事项达成如下协议：第一条乙方承诺从_____年开始在_____年内向甲方赠与一定数量的股票期权，具体赠与数量由公司的薪酬委员会决定。甲方可在指定的行权日以行权价格购买公司的普通股。 第二条股票期权有效期为_____年，从赠与日起满_____年时股票期权将失效。 第三条股票期权不能转让，不能用于抵押以及偿还债务。除非甲方丧失行为能力或者死亡，才可由其指定的财产继承人或法定继承人代其持有并行使相

应的权利。 第四条甲方有权在赠与日满_____年开始行权，每半年可行权一次。 第五条甲方在前_____个行权日中的每个行权日拥有赠与数量1／6的行权权利，若某一行权日未行权，必须在其后的第一个行权日行权，但最后一个行权日必须将所有可行权部分行权完毕，否则，股票期权自动失效。 第六条甲方若欲在某个行权日对其可行权部分实施全部或部分行权，则必须在该行权日前_____个交易日缴足现款。 第七条甲方在行权后才成为公司的注册股东，依法享有股东的权利。 第八条当乙方被兼并、收购时，除非新的股东大会同意承担，否则甲方尚未赠与的部分停止赠与，已赠与未行权的部分必须立即行权。 第九条当乙方送红股、转增股、配股、增发新股或被兼并等影响原有流通股东持有数量的行为时，

B-S期权定价模型的推导过程

B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件 (一)B-S模型有7个重要的假设 1、股票价格行为服从对数正态分布模式； 2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的； 3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本，所有证券完全可分割； 4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)； 5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。 6、不存在无风险套利机会； 7、证券交易是持续的； 8、投资者能够以无风险利率借贷。 (二)荣获诺贝尔经济学奖的B-S定价公式[1] C = S * N(d 1) ? Le? rT N(d2) 其中: C—期权初始合理价格 L—期权交割价格 S—所交易金融资产现价 T—期权有效期 r—连续复利计无风险利率H

σ2—年度化方差 N()—正态分布变量的累积概率分布函数，在此应当说明两点： 第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。一个简单的或不连续的无风险利率(设为r0)一般是一年复利一次，而r要求利率连续复利。r0必须转化为r方能代入上式计算。两者换算关系为:r = ln(1 + r 0)或r0=Er-1。例如r0=0.06，则r=ln(1+0.06)=0.0583，即100以5.83%的连续复利投资第二年将获106，该结果与直接用r0=0.06计算的答案一致。 第二，期权有效期T的相对数表示，即期权有效天数与一年365天的比值。如果期权有效期为100天，则。 B-S定价模型的推导与运用[1] (一)B-S模型的推导B-S模型的推导是由看涨期权入手的，对于一项看涨期权，其到期的期值是: E[G] = E[max(S t? L,O)] 其中，E[G]—看涨期权到期期望值 S t—到期所交易金融资产的市场价值 L—期权交割(实施)价 到期有两种可能情况: 1、如果S t > L，则期权实施以进帐(In-the-money)生效，且max(S t? L,O) = S t? L 2、如果S t < L，则期权所有人放弃购买权力，期权以出帐(Out-of-the-money)失效，且有: max(S t? L,O) = 0 从而: 其中:P：(S t > L)的概率E[S t | S t > L]：既定(S t > L)下S t的期望值将E[G]按有效期无风险连续复利rT贴现，得期权初始合理价格:

二六三：关于调整股票期权激励计划股票期权行权价格的公告

证券代码：002467 证券简称：二六三公告编号：2020—047 二六三网络通信股份有限公司 关于调整股票期权激励计划股票期权行权价格的公告 本公司及董事会全体成员保证信息披露内容的真实、准确和完整，没有虚假记载、误导性陈述或重大遗漏。 二六三网络通信股份有限公司(以下简称“公司”或“二六三”)于2020年6月12日召开公司第六届董事会第十七次会议和第六届监事会第十三次会议，审议通过了《关于调整股票期权激励计划股票期权行权价格的议案》，对2018年股票期权激励计划和2018年限制性股票与股票期权激励计划中的股票期权行权价格进行调整，现将有关情况公告如下： 一、公司股票期权激励计划已履行的决策程序和信息披露情况 （一）2018年股票期权激励计划 1、2018年1月18日，公司第五届董事会第三十一次会议审议通过了《关于公司<2018年股票期权激励计划（草案）>及其摘要的议案》、《关于公司<2018年股票期权激励计划实施考核管理办法>的议案》、《关于提请股东大会授权董事会办理公司2018年股票期权激励计划相关事宜的议案》等议案，公司独立董事就本次股票期权激励计划发表了独立意见，同意公司实施2018年股票期权激励计划。 2、2018年1月18日，公司第五届监事会第二十一次会议审议通过了《关于公司<2018年股票期权激励计划（草案）>及其摘要的议案》、《关于公司<2018年股票期权激励计划实施考核管理办法>的议案》、《关于核查公司<2018年股票期权激励计划激励对象名单>的议案》等议案。 3、2018年1月30日，公司监事会对《2018年股票期权激励计划激励对象名单》进行了审核并对公示情况进行了说明，监事会认为列入本次股票期权激励计划的激励对象符合《公司法》、《证券法》、《管理办法》及《2018年股票期权激励计划（草案）》所规定的各项条件，本次股票期权激励计划激励对象的主体资格合法、有效。 4、2018年2月5日，公司2018年第一次临时股东大会以特别决议审议通过了《关于公司<2018年股票期权激励计划（草案）>及其摘要的议案》、《关

期权定价模型

二、期权价值评估的方法 （一）期权估价原理 1、复制原理 基本思想复制原理的基本思想是：构造一个股票和贷款的适当组合，使得无论股价如何变动投资组合的损益都与期权相同，那么创建该投资组合的成本就是期权的价值。 基本公式每份期权价格（买价）＝借钱买若干股股票的投资支出＝购买股票支出－借款额 计算步骤（1）确定可能的到期日股票价格Su和Sd 上行股价Su=股票现价S×上行乘数u 下行股价Sd=股票现价S×下行乘数d （2）根据执行价格计算确定到期日期权价值Cu和Cd： 股价上行时期权到期日价值Cu=上行股价-执行价格 股价下行时期权到期日价值Cd=0 （3）计算套期保值率： 套期保值比率H=期权价值变化/股价变化=(CU-Cd)/(SU-Sd) （4）计算投资组合的成本（期权价值）=购买股票支出-借款数额 购买股票支出=套期保值率×股票现价＝H×S0 借款数额=价格下行时股票收入的现值 ＝（到期日下行股价×套期保值率）/（1+r）= H×Sd/（1+r） 2、风险中性原理 基本思想假设投资者对待风险的态度是中性的，所有证券的预期收益率都应当是无风险利率；假设股票不派发红利，股票价格的上升百分比就是股票投资的收益率。 因此： 期望报酬率（无风险收益率）＝（上行概率×股价上升时股价变动百分比）+（下行概率×股价下降时股价变动百分比） ＝p×股价上升时股价变动百分比+（1-p）×股价下降时股价变动百分比 计算步骤 （1）确定可能的到期日股票价格Su和Sd（同复制原理） （2）根据执行价格计算确定到期日期权价值Cu和Cd（同复制原理） （3）计算上行概率和下行概率 期望报酬率＝（上行概率×股价上升百分比）+（下行概率×股价下降百分比） （4）计算期权价值 期权价值＝(上行概率×Cu+下行概率×Cd)/（1+r） （二）二叉树期权定价模型 1、单期二叉树定价模型 基本原理风险中性原理的应用 计算公式（1）教材公式 期权价格＝ U=股价上行乘数＝1＋股价上升百分比

期权和公司债务的定价

课程：专业英语专业：概率论与数理统计年级：2009级姓名：董南成绩： 期权和公司债务的定价 费希尔·布莱克（Fischer Black） 迈伦.斯科尔斯（Myron Scholes） 如果期权能在市场中正确地定价，就有可能确定由期权及其标的股票的多头和空头所构造的资产组合的收益。运用这个原理，可以推导出一个理论上的期权定价公式。因为几乎所有的公司负债都可以被视为期权的组合，推导期权的公式和分析也可用于诸如普通股、公司债券和权证等公司负债。特别地，公式可以用于推导可违约公司债券的贴现值。 介绍 期权是一种受制于一定条件，在指定的期限内，赋予买入或卖出某种资产权利的保证。“美式期权”是一种可以在期权到期之前的任意时间行使的期权。“欧式期权”是一种只能在一个未来指定的日期行使的期权。行使期权时资产支付的价格被称为“行使价格”或“执行价格”。期权可被行使的最后一天被称为“截止日”或“到期日”。 最简单的期权品种是赋予购买单一普通股的权利。本文中大部分我们都是讨论这种期权，这种期权常被归为“看涨期权”。

一般来说，股票的价格越高，期权的价值就越大。当股票价格远 大于行使价格时，期权肯定会被行使。期权的现值因此也会近似等于股票的价格减去与期权有相同到期日、面值等于执行价格的纯贴现债券的价格。 另一方面，如果股票的价格远小于行使价格，期权到期时不会被 行使，它的价值近似为零。 如果期权的截止日在非常遥远的未来，那么在到期日支付行使价 格的债券的价格会非常低，期权的价值就近似等于股票的价格。 在另一方面，如果到期日非常近，期权的价值就近似等于股票的 价格减去行使价格，如果股票价格低于行使价格，期权的价值为零。通常地，如果股票的价值不变，期权价值随到期日的接近而下降。 这些期权价值和股票价格关系的一般性质常用图1中的图形说 明。直线A 代表期权的最大值，因为期权的价值不会超过股票的价格。直线B 代表期权的最小值，因为期权的价值不为负且不会小于股票的价格减去行使价格。直线321,,T T T 和依次代表到期日越来越短的期权的 价值。

二叉树期权定价法22222

二叉树期权定价法 摘要上世纪七十年代以来金融衍生品得到了蓬勃的发展，在这之中，期权的地位尤为受到重视，居于核心地位，很多的新创的衍生品，都包含了期权的成分。所以一直以来，期权的定价问题受到了大量经济学家的探索。实物期权的定价模式的种类较多，理论界和实务界尚未形成通用的定价模型，主要估值方式有两种：一是B l a c k-S c h o l e s期权定价模型；二是二叉树期权定价模型。 1973年，布莱克和斯科尔斯(B l a c k a n d C s c h o l e s)提出了 B l a c k-S c h o l e s期权定价公式，对标的资产的价格服从正态分布的期权进行定价。随后，罗斯开始研究标的资产的价格服从非正态分布的期权定价理论。1976年，约翰·考克斯(J o h n C a r r i n g t o n C o x)、斯蒂芬·罗斯(S t e p h e n A.R o s s)在《金融经济学杂志》上发表论文“基于另类随机过程的期权定价”，提出了风险中性定价理论。1979年，约翰·考克斯(J o h n C a r r i n g t o n C o x)、斯蒂芬·罗斯(S t e p h e n A.R o s s)、马克·鲁宾斯坦（M a r k R u b i n s t e i n）在《金融经济学杂志》上发表论文“期权定价：一种简单的方法”，该文提出了一种简单的对离散时间的期权的定价方法，被称为C o x-R o s s-R u b i n s t e i n二项式期权定价模型。 关键词 B l a c k-S c h o l e s期权定价模型虽然有许多优点,但是它的推导过程却是难以为人们所接受；二叉树期权定价模型假设股价波动只有

第十三期：权证定价与避险策略研究

上证联合研究计划第十三期课题报告 权证定价与避险策略研究 国泰君安证券股份有限公司新产品开发部课题组 课题主持： 章飚 课题研究与协调人：上海证券交易所 汤弦 课题研究员：李玉刚 姜玉燕 课题组名称：权证定价与避险策略研究课题组 日期：二〇〇五年六月

【摘要】期权定价理论的经典模型是B-S公式。由于其严密的逻辑、形式上的优美及计算上的方便等原因，而在实践应用方面被广泛采用。但该理论本身涉及一些与实务不吻合的假设，诸如完美市场假设、股价变动过程呈现对数正态分布、股价波动率 (V olatility)固定不变及无风险利率水平不变等等。对这些假设条件的放松或改进，产生了许多不同的定价模型。比如对无风险利率水平不变假设的放松，产生随机利率下的期权定价模型；对于波动率为常数假设的放松，产生确定性波动率模型(Deterministic V olatility Model)和随机波动率模型（Stochastic V olatility Model, SV Model）等；对于股价对数正态分布假设的改进，出现跳跃扩散过程、GARCH过程及Levy过程等分布下的期权定价模型；对于完美市场假设（连续交易及零交易成本）的放松，出现Leland模型和Wilmott模型等。 由于我国市场目前尚不存在权证市场，定价模型的定价效率尚无法进行检验。我们采用Monte Carlo模拟的方法，研究了在间断避险及存在交易成本情况下，各种避险策略的避险效果问题。检验的避险策略包括固定时点的B-S模型、固定时点的Leland模型、Delta区间避险及Whalley-Wilmott避险带策略。结果发现Whalley-Wilmott避险带策略要优于其它避险策略。

克明面业：关于调整2018年股票期权激励计划行权价格的公告

证券代码：002661 证券简称：克明面业公告编号：2020-041债券代码：112774 债券简称：18克明01 克明面业股份有限公司 关于调整2018年股票期权激励计划行权价格的公告 克明面业股份有限公司（以下简称“克明面业”）于2020年5月20日召开第五届董事会第九次会议，审议通过了《关于调整2018年股票期权激励计划行权价格的议案》,根据公司2018年股票期权激励计划（草案）的相关规定及公司2019年度利润分配方案，将公司2018年股票期权激励计划的行权价格由13.16元/股调整至12.91元/股。具体情况公告如下： 一、2018年股票期权激励计划简述 1、2018年7月16日，公司召开第四届董事会第二十五次会议，审议通过了《关于公司2018年股票期权激励计划（草案）及其摘要的议案》、《关于公司2018年股票期权激励计划考核办法的议案》、《关于提请股东大会授权董事会办理公司2018年股票期权激励计划有关事项的议案》。同意向92名激励对象授予1,721.00万份股票期权。公司监事会对激励对象名单进行了审核，独立董事对此发表了独立意见，律师出具了法律意见书。 2、2018年7月18日，公司将本次股权激励计划激励对象名单的姓名和职务在公司宣传栏张贴公示，公示期为自2018年7月18日至2018年7月29日止。在公示期内，没有任何组织或个人对激励对象名单提出异议，2018年8月15日公司披露了《监事会关于2018 年股票期权激励计划激励对象人员名单的核查意见及公示情况说明》。 3、2018年8月20日，公司召开2018年第五次临时股东大会，审议通过了

《关于公司2018年股票期权激励计划（草案）及其摘要的议案》、《关于公司2018年股票期权激励计划考核办法的议案》、《关于提请股东大会授权董事会办理公司2018年股票期权激励计划有关事项的议案》，授权董事会确定激励计划的授予日、授权董事会在激励对象符合条件时向激励对象授予股票期权，并办理授予股票期权所必须的全部事宜。 4、2018年9月12日，公司召开第四届董事会第二十七次会议，审议通过了《关于向激励对象授予股票期权的议案》，确定股票期权授予日为2018年9月12日，授予数量为1,721.00万份，行权价格为13.41元/份。 5、2018年9月22日，公司披露了《关于公司2018年股票期权授予完成的公告》，经中国证券登记结算有限责任公司深圳分公司确认，公司于2018年9月21日完成了向92名激励对象授予1,721.00万份股票期权的授予登记工作，期权简称：克明JLC3，期权代码：037790，股票期权的行权价格为13.41元/份。 6、2019年8月5日，公司召开第五届董事会第三次会议，审议通过了《关于调整2018年股票期权激励计划行权价格的议案》。因在股权激励计划公告当日至激励对象完成股票期权行权期间，公司发生资本公积转增股本、派发股票红利、股份拆细或缩股、配股、派息等事宜，所以股票期权的行权价格将做相应的调整。2018年股票期权激励计划行权价格调整有13.41元/份调整为13.16元/份。 7、2019年9月18日，公司第五届董事会第四次会议和第五届监事会第三次会议审议通过了《关于公司2018年股票期权激励计划第一个行权期行权条件成就的议案》和《关于注销部分已获授但尚未行权的股票期权的议案》。根据《克明面业股份有限公司2018年股票期权激励计划（草案）》及《上市公司股权激励管理办法》的相关规定以及董事会薪酬与考核委员会对激励对象2018年度绩效考核情况的核实，公司2018年股票期权激励计划第一个行权期的行权条件已成就；其中10名激励对象在等待期内已离职，公司决定注销离职激励对象已获授但尚未行权的全部股票期权95万份，本次注销完成后，公司股票期权激励计划有效期内剩余的股票期权数量为1626万份，激励对象调整为82人。 8、2019年9月26日，公司披露了《关于公司2018年股票期权激励计划第

上市公司期权定价方法

上市公司期权定价方法 对于实施股票期权激励的上市公司而言，期股定价是一个非常敏感且棘手的问题，关乎期权方案的成败，那么，该如何合理的对期权进行定价呢？ 对上市公司来说，必须采用科学的股票期权价值计量方法。 员工股票期权的会计处理问题历来是会计理论与实务界的一个热点问题，其中股票期权是否应费用化以及如何对股票期权进行可靠计量是两个主要方面。安然事件后，会计界对股票期权费用化的呼声日益引起人们的重视。2004年3月发布第123号准则，“以股票为酬劳基础的会计处理方法”的修改征求意见稿，取消了原来可以采用APB25号意见书中的内在价值法计量加表外披露的选择，从2004年9月开始强制采用公允价值费用化的股票期权。 公允价值作为一种全新的计量属性的观念，发端于20世纪80年代美国证券交易委员会与金融界之间关于金融工具，尤其是衍生金融工具的确认、计量的争议。2000年2月发布的第7号财务会计概念公告《在会计计量中使用现金流量和现值》提出，公允价值主要适用于那些以未来现金流量为基础对资产或负债进行初始确认时的计量、新起点计量和后续摊配技术，将企业的商誉、衍生金融工具等软资产的确认和计量作为公允价值的主要应用对象。 对于股票期权，市场价格为公允价值的确定提供了最好的依据，企业应根据市场价格或按照相同条件下可买卖期权的市场价格计算股票期权的公允价值。但是，由于员工股票期权是一种不可转让且受制于受权条件的期权，在市场上寻觅与员工股票期权的期限和条件相同的买卖期权是极其困难的。在没有可资利用的可买卖期权的情况下，就有必要应用期权定价模型来确定期权的公允价值。 公允价值的计量工具——BS模型 创立：1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·墨顿（Robert Merton）和斯坦福大学教授麦伦·斯科尔斯（Myron Scholes）。他们创立和发展的布莱克——斯科尔斯期权定价模型，简称B-S模型。 评价：瑞士皇家科学协会赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济学科中的最杰出贡献。芝加哥期权交易商马上意识到它的重要性，很快将B-S模型应用于刚刚营业的芝加哥期权交易所。 应用：在过去的20年终，投资者通过运用B-S期权定价模型，将这一抽象的数字公式

(定价策略)期权定价理论

期权定价理论 期权定价是所有金融应用领域数学上最复杂的问题之一。第一个完整的期权定价模型由Fisher Black和Myron Scholes创立并于1973年公之于世（有关期权定价的发展历史大家可以参考书上第358页，有兴趣的同学也可以自己查找一下书上所列出的经典文章，不过这要求你有非常深厚的数学功底才能够看懂）。B—S期权定价模型发表的时间和芝加哥期权交易所正式挂牌交易标准化期权合约几乎是同时。不久，德克萨斯仪器公司就推出了装有根据这一模型计算期权价值程序的计算器。现在，几乎所有从事期权交易的经纪人都持有各家公司出品的此类计算机，利用按照这一模型开发的程序对交易估价。这项工作对金融创新和各种新兴金融产品的面世起到了重大的推动作用。为此，对期权定价理论的完善和推广作出了巨大贡献的默顿和Scholes在1997年一起荣获了诺贝尔经济学奖（Black在1995年去世，否则他也会一起获得这份殊荣）。 原始的B—S模型仅限于这类期权：资产可用于卖出期权；能够评估价值，资产价格行为随时间连续运动。随后建立在原始的B—S模型上的研究以及许多其他期权定价模型的变体相继出现，用于处理其他类型的标的资产以及其他类型的价格行为。在大多数情况下，期权定价模型的推倒基于随机微积分（Stochastic Calculus）的数学知识。没有严密的数学推演，演示这种模型只是摸棱两可的。可是，这并非要紧的问题，因为确定期权公平价格的必要计算已自动化，且达到上述目的的软件在大型计算机及微机中均可获得。因此，在这里，我只简单介绍一下B—S模型的关键几个要素，至于具体的数学推导（非常复杂），感兴趣的同学可以在课后阅读一下相关资料（一般都是在期权定价理论章节的附录中）。 首先，我们来回顾一下套利的含义 套利 套利（arbitrage）通常是指在金融市场上利用金融产品在不同的时间和空间上所存在的定价差异、或不同金融产品之间在风险程度和定价上的差异，同时进行一系列组合交易，获取无风险利润的行为。注意，这种利润是无风险的。 现代金融交易的目的主要可以分为套利、投机和保值，这也是我们在以前的课程中接触过的。那么，我们怎样来理解套利理论的含义呢？ 我们说，市场一般是均衡的，商品的价格与它的价值是相一致的。如果有时候因为某种原因使得价格与价值不相符，出现了无风险套利的机会，我们说这种套利的机会就会马上被聪明的人所发现和利用，低买高卖，赚取利润，那么通过投机者不断的买卖交易，原来价值被低估的商品，它的价格会上涨（投机者低价买入）；原来价值被高估的商品，它的价格会下跌（投机者高价卖出），交易的结果最终会使得市场价格重新回到均衡状态。（就像书中列举的两家书店卖书的例子一样…） 同样的道理我们不难理解，现代期权定价技术就是以无风险套利原理为基础而建立起来的。我们可以设计一个证券资产组合，使得它的价值（收益）与另外一个证券资产组合的价值相等。那么，根据无风险套利理论，这两种证券资产组合应该以同样的价格出售。从而，可以帮助我们确定，在价格均衡状态下，期权的公平定价方式。 具体来说，对期权跌——涨平价原理的推导就采用了无风险套利的原理。 跌——涨平价原理（put——call parity） 看涨期权的价格与看跌期权的价格（也就是期权费）之间存在着非常密切的联系，因此，只要知道看涨期权的价格，我们就可以推出看跌期权的价格（通过平价原理）。这样，就省去我们再费心研究看跌期权的定价公式了。只要我们通过B——S模型计算出看涨欧式期权的定价之后，我们就可以相应地推出欧式看跌期权的定价（注意，B——S模型只适用于欧式看涨期权）。

期权定价

第八章期权定价的二叉树模型 8.1 一步二叉树模型 我们首先通过一个简单的例子介绍二叉树模型。 例8.1 假设一只股票的当前价格是$20，三个月后该股票价格有可能上升到$22，也有可能下降到$18. 股票价格的这种变动过程可通过图8.1直观表示出来。 在上述二叉树中，从左至右的节点（实圆点）表示离散的时间点，由节点产生的分枝（路径）表示可能出现的不同股价。由于从开始至期权到期日只考虑了一个时间步长，图8.1表示的二叉树称为一步（one-step）二叉树。这是最简单的二叉树模型。 一般地，假设一只股票的当前价格是，基于该股票的欧式期权价格为。经过一个时间步（至到期日T）后该股票价 格有可能上升到相应的期权价格为；也有可能下降到相应的期权价格为. 这种过程可通过一步（one-step）二叉树表示出来，如图8.2所示。我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。为了对该欧式股票期权定价，我们采用无套利（no arbitrage）假设，即市场上无套利机会存在。构造一个该股票和期权 的组合（portfolio），组合中有股的多头股票和1股空头期权。如果该股票价格上升到，则该组合在期权到期 日的价值为；如果该股票价格下降到，则该组合在期权到期日的价值为。根据无套利假设，该组合在股票上升和下降两种状态下的价值应该相等，即有 由此可得 (8.1) 上式意味着是两个节点之间的期权价格增量与股价增量之比率。在这种情况下，该组合是无风险的。以表示无风险 利率，则该组合的现值（the present value）为,又注意到该组合的当前价值是，故有

即 将(8.1)代入上式，可得基于一步二叉树模型的期权定价公式为 (8.2) (8.3) 需要指出的是，由于我们是在无套利（no arbitrage）假设下讨论欧式股票期权的定价，因此无风险利率应该满足： . 现在回到前面的例子中，假设相应的期权是一个敲定价为$21，到期日为三个月的欧式看涨权，无风险的年利率为12%，求该期权的当前价值。 已知：且在期权到期日， 当时，该看涨权的价值为而当时，该看涨权的价值为 根据(8.3)和(8.2)，可得 . 上述期权定价公式(8.2)和(8.3)似乎与股价上升或下降的概率无关，实际上，在我们推导期权价值时它已经隐含在股票价 格中了。不妨令股价上升的概率为，则股价下降的概率就是，在时间的期望股票价格为

期权定价

第二章期权定价 自从期权交易产生以来，尤其是股票期权交易产生以来，学者们一直致力于对期权定价问题的探讨。1973年，美国芝加哥大学教授F. Black和M. Scholes 发表《期权定价与公司负债》一文，提出了著名的Black-Scholes期权定价模型，在学术界和实务界引起强烈的反响，Scholes并由此获得1997年的诺贝尔经济学奖。在他们之后，其他各种期权定价模型也纷纷被提出，其中最著名的是1979年由J. Cox、S. Ross和M. Rubinstein三人提出的二叉树模型。在本章中，我们将介绍以上这两个期权定价模型，并对其进行相应的分析和探讨。 第一节二叉树与风险中性定价 对期权定价的研究而言，Black-Scholes模型的提出是具有开创性意义的。然而，由于该模型涉及到比较复杂的数学问题，对大多数人而言较难理解和操作。1979年，J. Cox、S. Ross和M. Rubinstein三人发表《期权定价：一种被简化的方法》一文，用一种比较浅显的方法导出了期权定价模型，这一模型被称为“二叉树定价模型（the Binomial Model）”，是期权数值定价方法的一种。二叉树模型的优点在于其比较简单直观，不需要太多的数学知识就可以加以应用。同时，它应用相当广泛，目前已经成为金融界最基本的期权定价方法之一。 1.1 二叉树模型概述 二叉树（binomial tree）是指用来描述在期权存续期内股票价格变动的可能路径。二叉树定价模型假定股票价格服从随机漫步，股票价格的波动只有向上和向下两个方向，且在树形的每一步，股票价格向上或者向下波动的概率和幅度保持不变。

基于期权理论的股票定价模型

基于期权理论的股票定价模型 摘要：传统的股利回现模型对股票定价不能精确确定投资者的收益率和未来支付的现金股利。股票具有期权的特性，公司的股票实质上是基于公司价值的看涨期权，该期权的执行价格就是公司债券到期时的还本付息的金额，于是可以用期权定价模型来进行股票定价。该法不需要估计未来现金股利和投资者的语气收益率，在一定程度上客服了传统股票定价方法的缺陷。 关键字：股票定价期权二叉树模型 B-S模型 第1章绪论 自股票产生400多年以来，股票价值就一直是困惑投资者的最大难题。股票价值之谜就如同哥德巴赫猜想一样，历经数百年，吸引了无数的人类精英去探索，但至今仍是不得其解。许多的经济学家和管理学家试图寻找到一个数学模型来确定股票价值，从而为股票市场的正常运行提供依据，但至今为止，这样的模型仍是一个不解之谜。无数的股票投资者苦恼于股票的神秘，他们往往不得不凭猜测压赌注，到头来也往往是血本无归。更有一些别有用心的人，利用股票价值的神秘感，在股市上兴风作浪，趁火打劫。 股票的价值体现在他的未来回报，其评估过程也是一个“从过去预测未来，从未来计算现在”的过程。由于时空的限制，我们无法穿越时间的隧道，准确预知未来。所以我们只能在黑暗中摸索股票价值。我们只能利用科学知识和技术手段，从历史的蛛丝马迹中去分析推测并演算出股票现在的价值。 第2章基于期权理论的股票定价模型

2.1期权的定义及期权定价模型 期权（option）是又称为选择权，是指买方向卖方支付期权费（指权利金）后拥有的在未来一段时间内（指美式期权）或未来某一特定日期（指欧式期权）以事先规定好的价格（指履约价格）向卖方购买或出售一定数量的特定标的物的权利，但不负有必须买进或卖出的义务（即期权买方拥有选择是否行使买入或卖出的权利，而期权卖方都必须无条件服从买方的选择并履行成交时的允诺）。 由此可见，期权是一种交易双方签订的、按约定价格、约定时间、买卖特定数量的商品或有价证券合约。与其他一般合约不同的是，期权购买人在合约规定的交割时间有权选择是否执行这一合约，而期权出售人则必须服从购买人的选择。即：期权交易是一种权利买卖。 期权分为看涨期权（call option）和看跌期权（put option）。看涨期权是持有者有权在约定时间按约定价格向期权出售人购买特定数量的商品或有价证券，而不管这种商品或有价证券到时价格发生如何的变动，而出售者必须履行合约，按照约定的价格出售资产。与此相反，卖进看跌期权，购买人就有权利在期权的有效期内，按约定价格向出售人出售约定数量的商品或者有价证券，而不论此期间他们的价格如何变动。 期权定价模型（OPM）由布莱克与斯科尔斯在20世纪70年代提出。该模型认为，只有股价的当前值与未来的预测有关；变量过去的历史与演变方式与未来的预测不相关。模型表明，期权价格的决定非常2复杂，合约期限、股票现价、无风险资产的利率水平以及交割价格等都会影响期权价格。 2.2传统股票定价的缺陷 传统股票定价思路是将与其的未来现金流量按预期报酬率进行折现、即股票的价值是预期的所有未来股息现金流量折现值之和。公司股票价值的计算可表示为 其中，V e是公司股票的内在价值，D t是在t年末预期收到的股利，K e是股票的期望收益率，包括无风险利率和风险补偿率。若假定预期的股利以固定的增长率g增长，在k>g的条件下，上式可简化为：

股票期权协议书

股票期权协议书 甲方：___________________________ 乙方：某股份有限公司 根据《股票期权计划》的有关规定，本着自愿、公平、平等互利。诚实信用的原则，甲方与乙方就股票期权赠与、持有、行权等有关事项达成如下协议： 第一条乙方承诺从______年开始在三年内向甲方赠与一定数量的股票期权，具体赠与数量由公司的薪酬委员会决定。甲方可在指定的行权日以行权价格购买公司的普通股。 第二条股票期权有效期为五年，从赠与日起满五年时股票期权将失效。 第三条股票期权不能转让，不能用于抵押以及偿还债务。除非甲方丧失行为能力或者死亡，才可由其指定的财产继承人或法定继承人代其持有并行使相应的权利。 第四条甲方有权在赠与日满两年开始行权，每半年可行权一次。 第五条甲方在前六个行权日中的每个行权日拥有赠与数量1/6的行权权利，若某一行权日未行权，必须在其后的第一个行权日行权，但最后一个行权日必须将所有可行权部分行权完毕，否则，股票期权自动失效。 第六条甲方若欲在某个行权日对其可行权部分实施全部或部分行权，则必须在该行权日前10个交易日缴足现款。 第七条甲方在行权后才成为公司的注册股东，依法享有股东的权利。 第八条当乙方被兼并、收购时，除非新的股东大会同意承担，否则甲方尚未赠与的部分停止赠与，已赠与未行权的部分必须立即行权。 第九条当乙方送红股、转增股、配股、增发新股或被兼并等影响原有流通股东持有数量的行为时，需要对甲方持有的股票期权数量和行权价格进行调整，调整办法参照《股票期权计划》。 第十条当甲方因辞职、解雇、退休、丧失行为能力、死亡而终止服务时，按照《股票期权计划》处理。 第十一条乙方在赠与甲方股票期权时必须以《股票期权赠与通知书》的书面形式进行确认，甲方须在一个交易日以内在通知书上签字，否则视为不接受股票期权。 第十二条甲方行权缴款后必须在行权日前以《股票期权行权通知书》的形式通知乙方，同时必须附有付款凭证。

权证系列：B-S模型定价

权证系列：B-S 模型为欧式期权定价 ——Excel 在宝钢权证定价中的应用 在前两期权证知识讲座中，我们为大家介绍了股本权证的基本原理和权证交易的市场实用知识。相信大部分读者已经发现，权证作为一种高风险高收益的投资产品，其特点在于它的价值和标的股票的价值息息相关。尽管大部分人认为股票的价值是随机变化而不可预测的，但同时大家又相信股票价值和权证价值之间存在某种确定的关系，即一旦股票价格已知，则其对应的权证的合理价格就可以计算出来。因此从本期权证知识讲座开始，我们将为大家介绍几种常用的权证定价方法，包括B-S 模型、二叉树、三叉树等，并将以Excel 为工具，为大家演示权证定价步骤。 B-S 模型介绍 Fischer Black，Myron Scholes，Robert Merton 于1973年提出了B-S 模型，这是金融衍生品定价领域的第一个重大历史性突破。B-S 模型的魅力在于不但给出了期权价格的解析解，且其价值仅依赖于为数不多的可观测变量和常数：股票价格、执行价格、波动率、无风险利率、期权有效期，因此非常简单实用。 当然，任何模型的建立都从一些较为理想的假定条件开始，B-S 模型的假定条件为： 1. 股票价格随机可变，但遵循对数正态分布，即 dS Sdt dZ μσ=+ 公式（1） 其中 S：股票价格 μ：股票价格变动的速度 σ：股票价格的波动率 dZ =，ε：随机变量，t：时间 2. 期权投资期间可以卖空证券 3. 不存在交易成本和税费，且所有证券无限可分 4. 期权有效期间无分红配股 5. 市场无套利 6. 证券交易是连续的 7. 无风险利率为常数，且保持不变 尽管上述某些假定条件在现实市场环境中显得过于理想，如目前中国股票市场还不能卖空股票，实际交易均存在交易费用，分红配股也是不可避免的事情，但这些问题仍然没有影响到B-S 模型的魅力，它们在后期的模型改进中均得到了相应的修正。 由于B-S 模型是基于无套利的思想，因此其推导的思路关键在于能否构建一个无风险的投资组合。 假设权证的价格为f，f 是（S，t）的函数，根据公式（1）及泰勒展开式，可以推导出 2222f f 1f f df S S dt Sdz S t 2S S μσ??????=+++???????? σ 公式（2）