试卷类型:B 卷 河北冀州中学
2017-2018学年度下学期期末 高二年级理科数学试题
( 考试时间:120分钟 分值:150分)
第Ⅰ卷(选择题 共52分)
一、选择题:本大题共13小题,每小题4分,共52分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.下列说法正确的是( )
A. x ?, y R ∈,若0x y +≠,则1x ≠且1y ≠-
B. 命题“x R ?∈,使得2230x x ++<”的否定是“x R ?∈,都有2230x x ++>”
C. a R ∈,“1
1a <”是“1a >”的必要不充分条件
D. “若2
2am bm <,则a b <”的逆命题为真命题
2.设()()12i x yi ++=,其中i 为虚数单位,x ,y 是实数,则2x yi +=( )
A. 1 B C. D.
3.设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ,若(1)P p ξ>=,则(10)P ξ-<<=( )
A.
12p - B. 1
2
p + C. 1p - D. 12p - 4.已知m , n 是两条不同的直线, α, β是两个不同的平面,给出下列四个命题,错误的命题是( )
A. 若//m α, //m β, n αβ?=,则//m n
B. 若αβ⊥, m α⊥, n β⊥,则m n ⊥
C. 若//αβ, //m α,则//m β
D. 若αβ⊥, αγ⊥, m βγ?=,则m α⊥
5.设等差数列
满足,且,为其前项
和,则数列的最大项为
A. 23S
B. 24S
C. 25S
D. 26S
6.下图是一个算法流程图,则输出的x 值为 A. 95 B. 23 C. 11 D. 47
7.二项式2n
x
?
?
的展开式中所有二项式系数和为64,
则展开式中的常数项为60,则a 的值为 ( ) A. 1± B. 2 C. 1 D. -1
8.设函数()()lnx =-f x x ax (a R ∈)在区间()0,2上有两个极值点,则a 的取值
范围是( )A. 1,02??- ??? B. ln210,4+?? ??? C. ln211,4
2+??
??? D. 1,12?? ???
9.若双曲线M : 22
221x y a b
-=(0a >, 0b >)的左、右焦点分别
是1F , 2F ,以12F F 为直径的圆与双曲线M 相交于点P ,且
116PF =, 212PF =,则双曲线M 的离心率为( )A. 54 B. 5 C. 4
3
D.
5
3
10.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图,则该四棱锥各个侧面中,最大的侧面面积为( )A. 2 B. 3
C. D. 4
11.已知函数()22cos 22f x x =-.给出下列命题:①(),R f x ββ?∈+为奇函数;
②30,4πα??
?∈ ???
, ()()2f x f x α=+对x R ∈恒成立;③12,x x R ?∈,若()()122f x f x -=,
则12x x -的最小值为4
π
;④12,x x R ?∈,若()()120f x f x ==,则()12x x k k Z π-=∈.其中的真命题有( )
A. ①②
B. ②③
C. ③④
D. ①④ 12
.已知双曲线
的左右焦点分别为
,过点
且垂直于轴的
直线与该双曲线的左支交于两点,分别交轴于两点,若
的周长
为12,则取得最大值时该双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
13.已知函数
,
.方程有六个不同的实
数解,则的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷(非选择题,共98分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。把答案直接答在答题纸上。
14.从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务,每天安排一人,每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加,且当甲、乙两人都参加时,他们参加社区服务的日期不相邻,那么不同的安排种数为__________.(用数字作答)
15.点(),M x y
是不等式组0{3x y x ≤≤≤≤表示的平面区域Ω内的一动点,且不等式
20x y m -+≤恒成立,则m 的取值范围是__________. 16
.已知在中,,,如图,动点是在以点为圆心
,为半径的扇形内运动(含边界)
且;
设
,则的取值范围__________.
17.设()A n 表示正整数n 的个位数, ()
()2,n a A n A n A =-
为数
列{}n a 的前202项和,函数()1x f x e e =-+,若函数()g x 满足
()11x Ax f g x A -?
?-=???
?,且()()
*N n b g n n =∈,则数列{}n b 的前n 项和为__________.
三、解答题:本大题共7小题,共82分.解答应写出文字说明,证明过程或演
算步骤。18.已知函数()2sin 2cos 6f x x x π?
?=+- ??
?.
(I)求()f x 的最小正周期及2,123x ππ??
∈????
时()f x 的值域;
(Ⅱ)在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边为a ,b ,c ,且角C 为锐角,
ABC S ?=,
c=2,
1442f C π?
?+=- ???
,求a,b 的值.
19.已知数列{}n a 中, 11a =, ()*13n n n a
a n N a +=∈+.(1)求证: 112n a ??+????
是
等比数列,并求{}n a 的通项公式n a ;(2)数列{}n b 满足()312
n n n n n
b a =-??,求数
列{}n b 的前n 项和为n T .
20.如图所示,该几何体是由一个直三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成, AD AF ⊥, 2AE AD ==. (Ⅰ)证明:平面PAD ⊥平面ABFE ;
(Ⅱ)求正四棱锥P ABCD -的高h ,使得二面角C AF P --的余弦
值是3.
21.高考改革新方案,不分文理科,高考成绩实行“3+3”的构成模式,第一个“3”是语文、数学、外语,每门满分150分,第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试,每门满分100分,高考录取成绩卷面总分满分750分.为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况,“将A 市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体B ,从学生群体B 中随机抽取了50
不相等的概率;(Ⅱ)从所调查的50名学生中任选2名,记X 表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数量之差的绝对值,求随机变量X 的分布列和数学
期望;
(Ⅲ)将频率视为概率,现从学生群体B 中随机抽取4名学生,记其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作Y ,求事件“2Y ≥”的概率. 22.如图,椭圆E 的左右顶点分别为A 、B ,左右焦点分别为1F 、
2F
,124,AB F F ==直线(0)y kx m k =+>交椭圆于C 、D
两点,与线段12F F 及椭圆短轴分别交于M N 、两点(M N 、不重合),且CM DN =. (Ⅰ)求椭圆E 的离心率;
(Ⅱ)若0m >,设直线AD BC 、的斜率分别为12k k 、,求1
2
k k 的取值范围.
23.已知函数()()2ln 1f x x ax =++,0a >. (1)讨论函数()f x 的单调性;
(2)若函数()f x 在区间()1,0-有唯一零点0x ,证明:2101e x e --<+<.
24.已知直线l
的参数方程为12
{x t
y ==(t 为参数),曲线C
的参数方程为
12{2x cos y sin θθ
=+=(θ为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点P
的极坐标为23π?
? ??
?. (Ⅰ)求直线l 以及曲线C 的极坐标方程;
(Ⅱ)设直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,求△PAB 的面积.
河北冀州中学2017-2018学年度下学期期末
高二年级理科数学试题答案
A 卷:BDCD
B BDDDB CCD B 卷:CBAC
C DACBC BAC 14.5040 15
.1m ≤- 16
. 17.23
32
n
n n +-
+ 18. (1)
(
)1
π22
f x x T =
-∴= π4π2,63x ??
∈∴???? ()51,4
2f x ??∈-????
(2)π1πsin 2226C C ?
?+=
∴= ??
?
3S ab =∴=
2
2
2
2
2
16c a
b ab a b =+-∴+=
解得2
{a b ==或{2a b ==19. (1)证明:由()1*3n n n a a n N a +=∈+,得
131
31n n n n
a a a a ++==+,
111
11322n n a a +??∴
+=+ ???所以数列112n a ??+????
是以3为公比,以111322a ??+= ??? 为首项的等比数列,从而11132
32231
n n n n a a -+=??=-;
(2)()10122111111
1231222222
n n n n n n b T n n ---==?+?+?++-?+?
()1211111
12122222
n n n T n n -=?+?++-?+?, 两式相减 得: 012111111222222222n n n n T n n -+=++++-?=-1242n n n T -+∴=-
20. (Ⅰ)证明:正三棱柱ADE BCF -中, AB ⊥平面ADE , 所以AB AD ⊥,又AD AF ⊥, AB AF A ?=, 所以AD ⊥平面ABFE , AD ?平面PAD , 所以平面PAD ⊥平面ABFE .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知AD ⊥平面ABFE ,以A 为原点, AB , AE , AD 方向为x , y , z 轴建立空间直角坐标系A xyz -,设正四棱锥P ABCD -的高为h , 2AE AD ==,
则()0,0,0A , ()2,2,0F , ()2,0,2C , ()1,,1P h -, ()2,2,0AF =, ()2,0,2AC =, ()1,,1AP h =-.设平面ACF 的一个法向量()111,,m x y z =,则
1111220,
{
220,
m AF x y m AC x z ?=+=?=+= 取11x =,则111y z ==-,所以()1,1,1m =--.
设平面AFP 的一个法向量()222,,n x y z =,则22222220,
{0,
n AF x y n AP x hy z ?=+=?=-+=取21x =,
则21y =-,
21z h =--,所以()1,1,1n h =---.二面角C AF P --
的余弦值是
, 所以cos ,332m n m n m n ?=
==?,解得1h =.
21. (Ⅰ)记“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件
A 则()222
525202
5020
49C C C P A C ++==所以他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率为()29
149
P A -=
(Ⅱ)由题意可知X 的可能取值分别为0,1,2
()2225252025020049C C C P X C ++===, ()1111
52520252
5025
149
C C C C P X C +=== ()11
5202504
249
C C P X C ===
从而X 的分布列为
()2025433
01249494949
E X =?
+?+?=
(Ⅲ)所调查的50名学生中物理、化学、生物选考两科目的学生有25名相应的
概率为251502P ==,所以Y ~ 14,2B ??
???
所以事件“2Y ≥”的概率为
()2
23
4
234444111111121122
22216P Y C C C ????????
??≥=-+-+= ? ? ? ? ?
??
???
?
????
22. (Ⅰ)由124,AB F F ==2,a c ==即椭圆方程为2
214
x y += ,
离心率为e =
(Ⅱ)设()()1122,,,D x y C x y 易知()()()2,0,2,0,0,,,0m A B N m M k ??
-- ???
由22
{44y kx m x y =++=消去y 整理得: ()222148440k x kmx m +++-= 由2
2
2
2
041041k m m k >?-+><+即 , 2121222
844
,1414km m x x x x k k
--+==++ 且CM DN =即CM ND =可知12m x x k +=-,即2814km m k k -=-+,解得1
2
k =
()()()()()()()()()()2
21222221212121212
22222121212211422224214422421224
x x y x x x x x x x k m x k x x x
x x x m y x x ------+
+??+??===== ? ?-+++++-??+??+
由题知,点M 、F 1的横坐标1M F x x ≥,有2
m -≥m ?∈ ??
满足22m < 即1212
111k m k m m +=-=-+--,则(
12
1,7k k ∈+ 23.解:(Ⅰ)()21221
'211
ax ax f x ax x x ++=+=
++,1x >-,令()2221g x ax ax =++,()24842a a a a ?=-=-,
若0?<,即02a <<,则()0g x >,当()1,x ∈-+∞时,()'0f x >,()f x 单调递增, 若0?=,即2a =,
则()0g x ≥,仅当1
2
x =-时,等号成立,当()1,x
∈-+∞时,()'0f x ≥,
()f x 单调递增.
若0?>,即2a >,则()g x 有两个零点1x =
,2x =
()()1010g g -==>,102g ??
-< ???
得121102x x -<<-<<,
当()11,x x ∈-时,()0g x >,()'0f x >,()f x 单调递增;
当()12,x x x ∈时,()0g x <,()'0f x <,()f x 单调递减; 当()2,x x ∈+∞时,()0g x >,()'0f x >,()f x 单调递增. 综上所述,
当02a <≤时,()f x 在()1,-+∞上单调递增;
当2a >时,()f x 在
? - ??和
??+∞???
上单调递增,在
??
上单调递减. (Ⅱ)由(1)及()00f =可知:仅当极大值等于零,即()10f x =时,符合要求.
此时,1x 就是函数()f x 在区间()1,0-的唯一零点0x .
所以2
02210ax ax ++=, 从而有()001
21a x x =-
+,
又因为()()2000ln 10f x x ax =++=, 所以()()
00ln 1021x x x +-
=+,
令01x t +=,则1
ln 02t t t
--
=, 设()11ln 22h t t t =+-,则()221
'2t h t t
-=,
再由(1)知:1
02
t <<,()'0h t <,()h t 单调递减,
又因为()
22
502e h e --=>,()1302
e h e --=<,所以21e t e --<<,即2101e x e --<+<.
24
. (Ⅰ)由12{2
x t
y =
=消去t 得到
y =,则sin cos ρθθ=,∴3π
θ=,
所以直线l 的极坐标方程为3
π
θ=
(R ρ∈
)曲线()(2
2
:14C x y -+-
=,则
()
(2
2
14cos sin ρθρθ-+-=则曲线C
的极坐
标方程为
2290cos sin ρρθθ--+=
(Ⅱ)由2290
{3
cos sin ρρθθπ
θ--+==
,得到2790ρρ-+=,设其两根为1ρ, 2ρ,
则127ρρ+=, 129ρρ=,
∴
21AB ρρ=-=
=,
∵点P 的极坐标为23π?
? ?
??
,∴OP = 3POB π∠=, ∴
1
2PAB POB POA S S S AB ???=-=?=
高二数学期末考试试卷 出题人:冯亚如 一.选择题(40分) 1.由数列1,10,100,1000,……猜测该数列的第n 项是( ) A.10n+1 B.10n C.10n-1 D. 10n 2.空间中垂直于同一条直线的两条直线( ) A.互相平行 B.互相垂直 C.异面或相交 D.平行或相交或异面 3.在正方体1111D C B A ABCD 中与直线1AC 异面的棱有( ) A.4条 B.6条 C.8条 D.10条 4.某中职学校一年级二年级各有12名女排运动员,要从中选出6人调查学习负担情况,调查应采取的抽样方法是( ) A.随机抽样 B.分层抽样 C.系统抽样 D.无法确定 5.已知点A(-3,-2),B(2,3)则直线AB 的倾斜角为( ) A.450 B.600 C.900 D.1350 6.已知12件同类产品中,有10件是正品,2件是次品,从中任意抽取3件的必然事件是 ( ) A .3件都是正品 B.至少有一件是正品 C.3件都是次品 D.至少有一件是次品 7.判断直线L 1:x+3y-4=0与L 2:3x-y+1=0的位置关系( ) A.平行 B.相交但不垂直 C.重合 D.垂直 8.在100张奖券中,有4张中奖卷,从中任取1张,中奖的概率是
( ) A. 201 B. 101 C. 251 D. 30 1 9.侧棱长时2的正三棱锥,其底面边长是1,则棱锥的高是 ( ) A. 311 B. 313 C. 339 D. 333 10.直线5x+12y-8=0与圆(x-1)2+(y+3)2=9的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.直线过圆心 二.填空题(20分) 11.直线x-3y+6=0在X 、Y 轴截距分别为_______、________; 12.圆x 2+y 2+4x-2y+1=0的圆心为_______________; 13.一条直线l 与平面α平行,直线m 在面α内,则l 与m 的位置关系是_______________; 14.正三棱锥的底面边长是4cm ,高是33cm ,则此棱锥的体积为________________; 15.已知球的半径r=3,则球的表面积和体积分别为_________、___ __。 三.解答题(60分) 16.光线从点M(-2, 3)出发,射到P(1, 0),求反射直线的方程并判断点N(4,3)是否在反射光线上。(10分)
【一】选择题:本大题共12小题,每题5分,总分值60分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合要求的. 1.命题〝假设2x =,那么2 320x x -+=〞的逆否命题是〔 〕 A 、假设2x ≠,那么2320x x -+≠ B 、假设2320x x -+=,那么2x = C 、假设2320x x -+≠,那么2x ≠ D 、假设2x ≠,那么2 320x x -+= 2.〝直线l 垂直于ABC △的边AB ,AC 〞是〝直线l 垂直于ABC △的边BC 〞的 〔 〕 A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件 C 、充要条件 D 、既非充分也非必要条件 3 .过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点.假设AB 中点M 到抛物线 准线的距离为6,那么线段AB 的长为〔 ) A 、6 B 、9 C 、12 D 、无法确定 4.圆 042 2=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为 ( ) A 、023=-+y x B 、043=-+y x C 、043=+-y x D 、023=+-y x 5.圆心在抛物线x y 22=上,且与x 轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 〔 〕 A 、0 122 2 =+--+y x y x B 、041 222=- --+y x y x C 、0 122 2 =+-++y x y x D 、 041222=+ --+y x y x 6.在空间直角坐标系O xyz -中,一个四面体的顶点坐标为分别为(0,0,2),(2,2,0), (0,2,0),(2,2,2).那么该四面体在xOz 平面的投影为〔 〕