2014年包头一中高三年级一模考试
（数学理科试卷）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的).
1. 已知集合}0)3(|{<-=x x x P ，}2|||{<=x x Q ，则=Q P （ ） A ．)0,2(-
B ．)2,0(
C ．)3,2(
D ．)3,2(-
2. i 是虚数单位,复数31i
i
--= （ ） A ． 2i +
B ．12i -
C ．i 21+
D ．2i -
3.将函数sin()()6
y x x R π
=+
∈的图象上所有的点向左平移
4
π
个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为（ ）
A ．5sin(2)()12
y x x R π
=+
∈ B ．5sin()()212x y x R π=+∈
C ．sin()()212x y x R π=-∈
D ．5sin()()224
x y x R π
=+
∈ 4.已知函数
()f x 的定义域为(-3,0),则函数()21f x -的定义域为( )
(A)()1,1- (B)11,
2?
?- ??
? (C)()-1,0 (D)1,12??
?
??
5.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
（A ）2 （B ）1
（C ）
23
（D ）
13
6.已知x=ln π，y=log 52，2
1-=e
z ，则( )
(A)x ＜y ＜z （B ）z ＜x ＜y (C)z ＜y ＜x (D)y ＜z ＜x
7. 已知βα,是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列命题：
①若βαβα⊥?⊥，则m m ,； ②若βαββαα//,////,,则，n m n m ??；
③如果ααα与是异面直线，那么
、n n m n m ,,??相交； ④若.////,//,βαβαβαn n n n m n m 且，则，且??=? 其中正确的命题是 （ ） A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
8.设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =
（ ）
A ．2744n n +
B ．2533n n +
C ．2324
n n + D ．2
n n +
9.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且
2AK AF =，则AFK ?的面积为( )
（Ａ）4 （Ｂ）8 （Ｃ）16 （Ｄ）32
10.已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >= ，且25252(3)n n a a n -?=≥，则当1n ≥时，
2123221log log log n a a a -+++= ( )
A. (21)n n -
B. 2(1)n +
C. 2
n D. 2
(1)n -
11．已知圆()()221:231C x y -+-=,圆()()22
2:349C x y -+-=,,M N 分别是圆
12,C C 上的动点,P 为x 轴上的动点,则PM PN +的最小值为 （ ）
A ．524-
B ．171-
C ．622-
D ．17
12.下列五个命题中正确命题的个数是( )
（1）对于命题2:,10p x R x x ?∈++<使得，则:p x R ??∈，均有2
10x x ++>； （2）3=m 是直线02)3(=-++my x m 与直线056=+-y mx 互相垂直的充要条件；
(3)已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为?y
＝1.23x ＋0.08
(4)．若实数[],1,1x y ∈-，则满足2
2
1x y +≥的概率为
4
π. (5) 曲线2
y x =与y x =所围成图形的面积是1
20
()S x x dx =
-?
A.2
B.3
C.4
D.5
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．执行如图所示的程序框图，输出的S =
14．
2
6
1
(1)()x x x x ++-的展开式中的常数项为_______.
15．若不等式组50,5,02x y y kx x -+≥??
≥+??≤≤?
表示的平面区域是一个锐角三角形，
则实数k 的取值范是 . [
?10 n n S S 2?+= 16．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点， 若双曲线右支上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0（O 为坐标原点）， 且|PF 1→|＝3|PF 2→|，则双曲线的离心率为__________． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 17（本小题满分12分） .设函数()22cos 2cos ,32 x f x x x R π? ?=++∈ ???。 （I ） 求()f x 的值域； （II ） 记ABC ?的内角A 、B 、C 的对边长分别为a ，b ，c ，若()f B =1，b=1,c=3，求a 的值。 18. （本题满分12分） 已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥DC,AC ⊥BD,AC 与BD 相交于点 O ，且顶点P 在底面上的射影恰为O 点，又BO=2 ， PO=2, PB ⊥PD. (Ⅰ) 求二面角P －A B －C 的大小； (Ⅱ) 设点M 在棱PC 上，且,PM MC λλ=问为何值时，PC ⊥平面BMD. 19．(本题满分12分) 前不久，省社科院发布了2013年度“城市居民幸福排行榜”，某市成为本年度城市最“幸福城”.随后，某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)： （1）指出这组数据的众数和中位数； （2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率； （3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望． 20．（本小题满分12分） 在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(03)-，，(03)，的距离之和等于4，设点P 的轨迹为 C ，直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点． （Ⅰ）写出C 的方程； （Ⅱ）若OA ⊥OB ，求k 的值； （Ⅲ）若点A 在第一象限，证明：当k >0时，恒有|OA |>|OB |． 21．(本题满分12分).已知函数f （x ）=x ，g （x ）=alnx ，a ∈R 。 （1） 若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的 方程； （2） 设函数h(x)=f(x)- g(x),当h(x)存在最小之时，求其最小值?（a ）的解析式； （3） 对（2）中的?（a ），证明：当a ∈（0，+∞）时， ?（a ）≤1. 22.（本题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，ABC ?是直角三角形，?=∠90ABC ，以AB 为直径的圆O 交AC 于点E ， 点D 是BC 边的中点，连接OD 交圆O 于点M . （1）求证：O 、B 、D 、E 四点共圆； （2）求证：AB DM AC DM DE ?+?=2 2 O A B D C E M 23.(本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线1C :1cos .sin ,x t y t αα=+??=? （t 为参数），圆2C :cos , sin ,x y θθ=??=? (θ为参数)， （Ⅰ)当α= 3 π 时，求1C 与2C 的交点坐标； （Ⅱ）过坐标原点O 作1C 的垂线，垂足为A ,P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线. 24．(本题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数||)(a x x f -=。 （1）若m x f ≤)(的解集为}51|{≤≤-x x ，求实数m a ,的值。 （2）当2=a 且20<≤t 时，解关于x 的不等式()(2)f x t f x +≥+。 试卷答案（仅供参考） 一、选择： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A B B B D D A B C A A 二、填空题 13.8194 14.-5 15. 16. 来 17．（1）值域【0,2】（2）a=1或2 18.解：18．解法一：平面，；又 ， 由平面几何知识得： （Ⅰ）连结，为二面角的平面角 ，二面角的大小为 （Ⅱ）连结，平面平面， 又在中，， ， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m故时，平面 解法二：平面又，，得： 以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 各点坐标为，，，，， （Ⅰ）设平面的一个法向量为，，， 由得取，又已知平面ABCD的一个法向量 ，又二面角为锐角，所求二面角的大小为（Ⅱ）设，由于三点共线，， 平面， 由（1）（2）知：，。 故时，平面。 19．解：（1）众数：8.6；中位数：8.75 ；……………………………2分 （2）设表示所取3人中有个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件，则 ；…………………6分 （3）的可能取值为0，1，2，3. ；； ；……..……………..10分 所以的分布列为： . ………..……….…12分另解：的可能取值为0，1，2，3.则，. 所以=． 20．（本题12分）（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以 为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴， 故曲线C的方程为．3分 （Ⅱ）设，其坐标满足 消去y并整理得， 故．5分若，即． 而，于是， 化简得，所以． 8分 （Ⅲ） ． 因为A 在第一象限，故．由知，从而．又， 故，即在题设条件下，恒有 ． 12分 21。解 （1）f ’(x)=,g ’(x)=(x>0), 由已知得 =alnx = ， 解a=,x=e 2 , 两条曲线交点的坐标为（e 2 ,e ） 切线斜率 k=f ’(e 2 )= e 21 切线的方程为y-e=e 21 (x- 2 e ). y=e 21x+2 e (2)令)0(ln )(>-= x x a x x h 则 x a x x a x x h 2221)('-=-= Ⅰ 当a.>0时，令h (x)=0,解得x=, 所以当0 < x< 时 h (x)<0，h(x)在（0， ）上递减； 当x >时，h (x)>0，h(x)在（0，）上递增。 所以x > 是h(x )在（0， +∞ ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小 值点。 所以Φ （a ）=h( )= 2a-aln =2 Ⅱ当a ≤ 0时，h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在（0，+∞）递增，无最小值。 故 h(x) 的最小值Φ （a ）的解析式为2a(1-ln2a) (a>o) （3）由（2）知Φ（a）=2a(1-ln2a) 则Φ1（a ）=-2ln2a，令Φ1（a ）=0 解得 a =1/2 当 0 当 a>1/2 时，Φ1（a ）<0，所以Φ（a ）在 (1/2, +∞)上递减。 所以Φ（a ）在(0, +∞)处取得极大值Φ（1/2 ）=1 因为Φ（a ）在(0, +∞)上有且只有一个极致点，所以Φ（1/2）=1也是Φ（a）的最大值所当a属于 (0, +∞)时，总有Φ（a）≤ 1 四、选做题 22.证明：22.证明：（1）连接、，则 又是BC的中点，所以 又，所以.。。。。。。。。。。。3分 所以所以、、、四点共圆。。。。。。。5分 （2）延长交圆于点因为 .。。。。。7分所以 所以。。。。。。。。。。10分 23.【规范解答】（I）当时，C1的普通方程为，C2的普通方程为 . 联立方程组解得C1与C2的交点为（1,0）， （II）C1的普通方程为. 点坐标为，故当变化时，点轨迹的参数方程为 （为参数） 点轨迹的普通方程为故点是圆心为，半径为的圆.
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