定积分的概念与性质
一、复习不定积分的概念 二、定积分问题举例
曲边梯形的面积
曲边梯形由连续曲线)(x f y =)0)((≥x f 、)(x f y =)0)((≥x f 、b x =所围成（如图1）.
图1
提问：怎样求曲边梯形的面积？ 方法：分割 近似 求和 取极限 (1)分割：
用分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 把区间],[b a 分成n 个小区间[]1-i i x x ，，各小区间的长度依次为：1--=?i i i x x x ，),2,1( =i ，在各分点处做y 轴的平行线，就把曲边梯形的面积分成n 个小的曲边梯形 (2)近似：
在各小区间[]1-i i x x ，上任取一点i ξ),2,1( =i ，以)(i f ξ为高，i x ?为底的矩形面积近似代替该区间上的小曲边梯形的面积i A ?，即
i i i x f A ?≈?)(ξ，),2,1( =i
(3)求和：
整个大的曲边梯形的面积等于n 个小曲边梯形的面积之和，即
≈
?=∑=n
i i A A 1
∑=?n
i i i x f 1
)(ξ
(4)取极限：
设},,max{21n x x x ???= λ，i n
i i x f A ?=∑=→1
)(lim
ξλ
dx x f b
a ?)())((a
b f -=ξ. )(b a ≤≤ξ
（2）,0)(],[>x f b a 上在
?=b
a A dx x f )( 曲边梯形面积的负值
（3）上变号，在若],[)(b a x f x
=?dx x f b
a )(下方的面积轴上方的面积-x
4. 定积分的性质 规定：当b a =时，0)(=?b
a dx x f ；
当b a >时，
??-=a b
b
a
dx x f dx x f )()(.
在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小 性质1 ?±b
a
dx x g x f )]()([?=b
a
dx x f )(?±b
a
dx
x g )(
性质2
??=b
a
b
a
dx
x f k dx x kf )()( (k 为常数).
性质3（定积分对于积分区间具有可加性）
假设b c a <<，
?b
a dx x f )(??+=b
c
c
a dx x f dx x f )()(.
推广：不论c b a ,,的相对位置如何, 下式总成立.
?b
a
dx x f )(??+=b
c
c a
dx x f dx x f )()(.
—
+
)(x f y =
y
性质4
dx b
a
??1dx b
a
?=a b -=
性质5（不等式性质）——比较性质 如果在区间],[b a 上0)(≥x f ，则
0)(≥?dx x f b
a . )(
b a <
推论：如果在区间],[b a 上)()(x g x f ≤，则
dx x f b
a
?)(dx x g b
a
?≤)(. )(b a <
性质6 设M 及m 分别是函数)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值, 则
?-≤≤-b
a a
b M dx x f a b m )()()()(b a <
性质7（定积分中值定理）
如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，则在积分区间],[b a 上至少存在一个点ξ，使
dx x f b
a ?)())((a
b f -=ξ. )(b a ≤≤ξ
四、例题
例1.用定积分的几何意义求?-1
0)1(dx x .
解: 函数x y -=1在区间[0, 1]上的定积分是以x y -=1为曲边,
以区间[0, 1]为底的
曲边梯形的面积. 因为以x y -=1为曲边,以区间[0, 1]为底的曲边梯形是一直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以
21
1121)1(1
0=??=-?dx x .
例2.用定积分的几何意义求
sin xdx π
π-
?.
解:因为sin y x =在区间[,]ππ-上有正有负,所以sin xdx π
π-
?等于[,]ππ-上位于x 轴上
方的图形面积A 减去x 轴下方的图形面积A , 所以
00
sin sin sin 0xdx xdx xdx A A π
π
π
π--=+=-=?
??.
例3. 比较下列各对积分的大小：
（1）
10
xdx ?与1
20
x dx ?
解：当01x ≤≤时，2
x x ≥，
从而11
200
xdx x dx ≥??
（2）
?
43
ln xdx 与?4
3
2)(ln dx x
定积分与微积分基本定理复习讲义[备考方向要明了] 考什么怎么考 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2.了解微积分基本定理的含义. 1.考查形式多为选择题或填空题． 2.考查简单定积分的求解． 3.考查曲边梯形面积的求解． 4.与几何概型相结合考查． 1．定积分 (1)定积分的相关概念：在∫b a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式． (2)定积分的几何意义 ①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)． ②一般情况下，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所
示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数． (3)定积分的基本性质：①∫b a kf(x)d x＝k∫b a f(x)d x. ②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x＝∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x. ③∫b a f(x)d x＝∫c a f(x)d x＋∫b c f(x)d x. [探究] 1.若积分变量为t，则∫b a f(x)d x与∫b a f(t)d t是否相等？ 提示：相等． 2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？ 提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算． 3．定积分∫b a[f(x)－g(x)]d x(f(x)>g(x))的几何意义是什么？ 提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的面积． 2．微积分基本定理：如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么∫b a f(x)d x＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记成F(x)| b a，即∫b a f(x)d x＝F(x) |b a＝F(b)－F(a)． 课前预测： 1.∫421 x d x等于( ) A．2ln 2 B．－2ln 2 C．－ln 2 D．ln 2
非常好的定积分与微积分基本定理复习讲 义
定积分与微积分基本定理复习讲义[备考方向要明了] 考什么怎么考 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2.了解微积分基本定理的含义. 1.考查形式多为选择题或填空题． 2.考查简单定积分的求解． 3.考查曲边梯形面积的求解． 4.与几何概型相结合考查． [归纳·知识整合] 1．定积分 (1)定积分的相关概念：在∫b a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式． (2)定积分的几何意义 ①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)． ②一般情况下，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下
方的面积等于该区间上积分值的相反数． (3)定积分的基本性质： ①∫b a kf (x )d x ＝k ∫b a f (x )d x . ②∫b a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝∫b a f 1(x )d x ±∫b a f 2(x )d x . ③∫b a f (x )d x ＝∫c a f (x )d x ＋∫b c f (x )d x . [探究] 1.若积分变量为t ，则∫b a f (x )d x 与∫b a f (t )d t 是否相等？ 提示：相等． 2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？ 提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算． 3．定积分∫b a [f (x )－g (x )]d x (f (x )>g (x ))的几何意义是什么？ 提示：由直线x ＝a ，x ＝b 和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )所围成的曲边梯形的面积． 2．微积分基本定理：如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并 且F ′(x )＝f (x )，那么∫b a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基 本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式． 为了方便，常把F (b )－F (a ) 记成F (x )|b a ，即 ∫b a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )． 课前预测： 1.∫421x d x 等于( ) A ．2ln 2 B ．－2ln 2 C ．－ln 2 D ．ln 2 2．(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V (t )＝t 2－t ＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为( )
定积分讲义总结 内容一 定积分概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ?（b a x n -?= ），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=L ，作和式：1 1 ()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=?=∑∑ 如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx = ? 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 说明：（1）定积分 ()b a f x dx ? 是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()b a f x dx ?，而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和： 1()n i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑? 例1．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力()F x kx =（k 为常数，x 是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b 所作的功． 分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解． 解： 将物体用常力F 沿力的方向移动距离x ，则所作的功为W F x =?． 1．分割 在区间[]0,b 上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 个小区间： 0,b n ??????，2,b b n n ?? ????，…，()1,n b b n -?????? 记第i 个区间为()1,(1,2,,)i b i b i n n n -???=? ? ??L ，其长度为()1i b i b b x n n n -??=-= 把在分段0, b n ? ???? ?，2,b b n n ?? ????，…，()1,n b b n -?????? 上所作的功分别记作：1W ?，2W ?，…，n W ? （2）近似代替 有条件知：()()11i i b i b b W F x k n n n --???=??=?? ? ?? (1,2,,)i n =L （3）求和 ()1 1 1n n n i i i i b b W W k n n ==-=?=??∑∑ =()()22222 110121122n n kb kb kb n n n n -?? ++++-==-?? ?? ??? L
第六章 定积分及其应用 积分学的另一个基本概念是定积分．本章我们将阐明定积分的定义，它的基本性质以及它的应用．此外，我们要重点讲述沟通微分法与积分法之间关系的微积分学基本定理，它把过去一直分开研究的微分和积分彼此互逆地联系起来，成为一个有机的整体．最后，我们把定积分的概念加以推广，简要讨论两类广义积分． § 6.1 定积分的概念与性质 1. 定积分的定义 我们先来研究两个实际问题． 例1 计算曲边梯形的面积 设)(x f y =为闭区间],[b a 上的连续函数，且0)(≥x f ．由曲线)(x f y =，直线b x a x == ,及x 轴所围成的平面图形(图6—1)称为)(x f 在],[b a 上的曲边梯形，试求这 图6—1 我们先来分析计算会遇到的困难．由于曲边梯形的高)(x f 是随x 而变化的，所以不能直接按矩形或直角梯形的面积公式去计算它的面积．但我们可以用平行于y 轴的直线将曲边梯形细分为许多小曲边梯形如图6—1所示．在每个小曲边梯形以其底边一点的函数值为高，得到相应的小矩形，把所有这些小矩形的面积加起来，就得到原曲边梯形面积的近似值．容易想象，把曲边梯形分得越细，所得到的近似值就愈接近原曲边梯形的面积，从而运用极限的思想就为曲边梯形面积的计算提供了一种方法．下面我们分三步进行具体讨论：
(1) 分割 在],[b a 中任意插入1-n 个分点 b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 把],[b a 分成n 个子区间],[10x x ，],[21x x ，…，],[1n n x x -，每个子区间的长度为 1--=?i i i x x x ),,2,1( n i =． (2) 近似求和 在每个子区间],[1i i x x -),,2,1( n i =上任取一点i ξ，作和式 i n i i x f ?∑=1 )(ξ (1.1) (3) 取极限 当上述分割越来越细(即分点越来越多，同时各个子区间的长度越来越小)时，和式(1.1)的值就越来越接近曲边梯形的面积(记作A )．因此当最长的子区间的长度趋于零时，就有 A x f i n i i →?∑=1)(ξ． 例2 求变速直线运动的路程 设某物体作直线运动，其速度v 是时间t 的连续函数)(t v v =．试求该物体从时刻 a t =到时刻 b t =一段时间内所经过的路程s ． 因为)(t v v =是变量，我们不能直接用时间乘速度来计算路程．但我们仍可以用类似于计算曲边梯形面积的方法与步骤来解决所述问题． (1) 用分点 b t t t t t a n n =<<<<<=-1210 把时间区间],[b a 任意分成n 个子区间(图6—2)： ],[10t t ，],[21t t ，…，],[1n n t t -． 每个子区间的长度为1--=?i i i t t t (n i ,2,1=)． 图6—2 (2) 在每个子区间],[1i i t t - (n i ,2,1=)上任取一点i τ，作和式
第十三讲定积分及其简单应用 教学目标：1、了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2、了解微积分基本定理的含义. 一、知识回顾课前热身 知识点1、定积分 (1)定积分的相关概念在∫b a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式． (2)定积分的几何意义 ①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)． ②一般情况下，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数． (3)定积分的基本性质 ①∫b a kf(x)d x＝k∫b a f(x)d x. ②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x＝∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x. ③∫b a f(x)d x＝∫c a f(x)d x＋∫b c f(x)d x. (4)．定积分∫b a[f(x)－g(x)]d x(f(x)>g(x))的几何意义是什么？ 提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的面积． 知识点2、微积分基本定理如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么∫b a f(x)d x＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记成F(x)|b a，即∫b a f(x)d x＝F(x)|b a＝F(b)－F(a)． 基础练习 1.∫421 x d x等于( ) A．2ln 2 B．－2ln 2 C．－ln 2 D．ln 2 解析：选D ∫421 x d x＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 2. 2．一质点运动时速度和时间的关系为V(t)＝t2－t＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移
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第四章 不定积分 A 基本内容 一、基本概念与性质 1、原函数与不定积分的概念 (1) 原函数 设函数()x f 和()x F 在区间I 上有定义，若()()x f x F ='在区间I 上成立，则称()x F 为 ()x f 在区间I 上的原函数， (2) 不定积分 ()x f 在区间I 中的全体原函数称为()x f 在区间I 的不定积分，记以()?dx x f 。 其中 ? 称为积分号，x 称为积分变量，()x f 称为被积函数，()dx x f 称为被积表达式。 2、原函数的存在性 设()x f 在区间I 上连续，则()x f 在区间I 上原函数一定存在。 初等函数的原函数不一定是初等函数。例如()?dx x 2sin ，() ?dx x 2cos ， ?dx x x sin ， ?dx x x cos ，?x dx ln ，dx e x ?-2 等。被积函数有原函数，但不能用初等函数表示，故这些不 定积分均称为积不出来。 3、不定积分的性质 设 ()()C x F dx x f +=?，其中()x F 为()x f 的一个原函数，C 为任意常数。 则（1）()()C x F dx x F +='? 或 ()()? +=C x F x dF （2） ()[]()x f dx x f ='? 或 ()[]()dx x f dx x f d =? （3）()()? ? =dx x f k dx x kf （4） ()()[]()()???±=±dx x g dx x f dx x g x f 二、基本积分公式 1．C x dx x ++= ?+1 1 ααα ()，实常数1-≠α
第一部分 定积分的概念 问题一 曲边梯形的面积 如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线()y f x =的一段， 我们把由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的图形 称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？ 例如：求由抛物线2 y x =，直线1=x 以及x 轴所围成的平面图形的面积S 。 ★求曲边梯形面积的四个步骤:第一步：分割．第二步：近似代替。第三步：求和．第四步：取极限。 （说明：最后所得曲边形的面积不是近似值，而是真实值） 问题二 汽车行驶的路程 汽车以速度v 组匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程为S vt =．如果汽车作变速直线运动，在时刻t 的速度为()2 2v t t =-+（单位：km/h ），那么它在0≤t ≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程S （单位：km ） 是多少？ 问题三 定积分的概念 ： 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间 []1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=L ，作和式：()()i n i n i i f n a b x f ξξ∑ ∑==-=??1 1 当n →+∞）时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为： ()b a f x dx ? 即 ()b a f x dx ? =()i n i n f n a b ξ∑ =∞ →-1 lim 其中函数()f x 叫做 ，x 叫做 变量，区间[,]a b 为 区间，b 积分 ，a 积分 。 说明：（1）定积分 ()b a f x dx ? 是一个常数 （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和： 1()n i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑? （3）曲边图形面积：()b a S f x dx = ? ；变速运动路程2 1 ()t t S v t dt =? ☆定积分的几何意义 从几何上看，如果在区间[a,b]上的函数()f x 连续且恒有()0f x ≥。那么定积分 ()b a f x dx ? 表示由直 线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积。 ☆定积分的性质
不定积分换元法例题
【不定积分的第一类换元法】 已知()()f u du F u C =+? 求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==??? 【凑微分】 ()()f u du F u C ==+? 【做变换，令()u x ?=，再积分】 (())F x C ?=+ 【变量还原，()u x ?=】 【求不定积分()g x dx ?的第一换元法的具体步骤如下：】 （1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ??=?? （2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ????==??? （3）作变量代换()u x ?=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ????==???()u f u d =? （4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+?求出原函数： ()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==???()()d u u C f u F ==+? （5）将()u x ?=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得： ()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==???()()f u du F u C ==+?(())F x C ?=+ 【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ?=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。 __________________________________________________________________________________________ 【第一换元法例题】 1、9999(57)(57)(5711 (57)(57)55 )(57)dx d x d x dx x x x x +=+?=+?=+?++???? 110091(57)(57)(57)10111 (57)5550 d C x x x x C =?=?+=+++++? 【注】1 (57)'5,(57)5,(57)5 x d x dx dx d x +=+==+?? 2、1ln ln ln ln dx d x x x dx x x x =?=???? 221 (l 1ln ln (ln )2n )2 x x x d C x C =?=+=+?
凑微分法 一，凑微分法原理 回忆一下，我们导函数的几种表示方法：f′(x) dy/dx df(x)/dx 等等，那么我们对于同一个函数是否就有如下等式：f′(x)= df(x)/dx 再加以变形可得f′(x) dx=df(x)我们把这个式子称之为凑微分法的原理公式。（我自己定义的，别和别人说哦，教科书上没定义）为了说明这个式子，我们来看几个例子： 例题一：d(2x+1)= dx 解析：由凑微分法原理公式可知，所填处为2x+1的导函数，既2，所以d(2x+1)= 2 d(x) 例题二：d(e^x)= dx 解析：由凑微分法原理公式可知，所填处为e^x的到函数，既e^x，所以d(e^x)= e^x dx 因为做题目的时候，往往是告诉你们e^x dx要你们求d(e^x)。 我再举一个凑微分法的事例: 例题三： 1 2 dx x = - ? 解析：我们会求解的，其实都是最原始的积分公式有的，如果这题是要我们求1/x我想你们都会吧，但是这里是x-2所以就很麻烦了，那你们就牢记一点，谁可恨，我们就把谁弄到d 后面去。所以我就想到用d(x-2),根据凑微分法原理公式可知d(x-2)=1*d(x),所以我们可以 将这题变为 d(x-2),如果你们还看不出来，那你们用t来代替x-2，是不是就是你 们会解的题目了，最后再把t还原为x-2就好了。 具体的实例就不举了，多操作。 下面我要重点说说，讨厌，这个问题 二，什么函数可以凑微分，什么函数讨厌 什么函数最讨厌，什么函数一看就是要凑微分 我们知道，凑微分其实是把被积函数的一个部分与dx看作一个整体，运用凑积分法原理公式进行替换。所以被积函数可以表示为两个有求导关系的函数时，一般采用凑微分法。 根据已知的不定积分公式我们可以知道： 1三角函数求导仍为三角函数 2反三角函数求导为有理函数 3幂函数求导认为幂函数 4对数函数求导为指数幂为-1的幂函数 5幂函数求导仍为幂函数 所以，当我们发现一个大的函数是由上述关系中的一种构成的，那么我们就会把求导为的那个函数拿去d一下，然后与原来的式子进行比较，缺什么，补什么，有的时候，甚至要进行多次的凑微分，但是不要怕，一步步往下做一定可以。 最后给你们一个提醒：最容易被扔到d后面的函数有e为底的指数函数，1/根号x。而最不能扔的，就是把对数函数，反三角函数想方法扔到d后面去，因为你们想想，什么函数求导会等于对数函数和反三角函数啊对吧。
定积分与微积分基本定理复习讲义 河南省卢氏县第一高级中学山永峰 考 什么怎么考 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2.了解微积分基本定理的含义. 1.考查形式多为选择题或填空题． 2.考查简单定积分的求解． 3.考查曲边梯形面积的求解． 4.与几何概型相结合考查． [归纳·知识整合] 1．定积分 (1)定积分的相关概念：在∫b a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式． (2)定积分的几何意义 ①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)． ②一般情况下，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数． (3)定积分的基本性质：①∫b a kf(x)d x＝k∫b a f(x)d x. ②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x＝∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x. ③∫b a f(x)d x＝∫c a f(x)d x＋∫b c f(x)d x. [探究] 1.若积分变量为t，则∫b a f(x)d x与∫b a f(t)d t是否相等？ 提示：相等． 2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？ 提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算． 3．定积分∫b a[f(x)－g(x)]d x(f(x)>g(x))的几何意义是什么？ 提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的面积． 2．微积分基本定理：如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么∫b a f(x)d x
不定积分公式
Ch4、不定积分 §1、不定积分的概念与性质 1、 原函数与不定积分 定义1：若)()(x f x F ='，则称)(x F 为)(x f 的原函数。 ① 连续函数一定有原函数； ② 若)(x F 为)(x f 的原函数，则C x F +)(也为)(x f 的原函数； 事实上，())()()('' x f x F C x F ==+ ③ )(x f 的任意两个原函数仅相差一个常数。 事实上，由[]0)()()()()()('2'1' 11=-=-=-x f x f x F x F x F x F ，得C x F x F =-)()(21 故C x F +)(表示了)(x f 的所有原函数，其中)(x F 为)(x f 的一个原函数。 定义2：)(x f 的所有原函数称为)(x f 的不定积分，记为?dx x f )(，?-积分号， -)(x f 被积函数，-x 积分变量。 显然C x F dx x f +=?)()( ①?+=C kx kdx ②??????-=+-≠++=+1 ln 11 1 1μμμμμ C x C x dx x 2、 基本积分表（共24个基本积分公式） 3、 不定积分的性质 ①[]???±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()()( ②??≠=)0()()(k dx x f k dx x kf ⑤()???++-=-=-C x x xdx x xdx dx x x x csc cot cot csc csc cot csc csc 2 ⑥????++-=+=+=C x x xdx xdx dx x x x x x x dx tan cot sec csc cos sin cos sin cos sin 222 22222
定积分的概念 【知识要点】 (1)定积分的定义及相关概念 ① 分割 如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0 第3、4 次课 4 学时 不定积分的概念与性质 1、复习13个基本导数公式. 2、原函数与不定积分的概念. （1）定义1 在区间I 上，如果可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I ，都有 ()'()F x f x =或()dF x =?dx x f )(， 那么函数()F x 就称为()f x (或()f x dx )在区间I 上的原函数. （2）原函数存在定理 如果函数()f x 在区间I 上连续, 那么在区间I 上存在可导函数 ()F x , 使对任一x I 都有F (x ) ()f x . 注： 1、如果函数()f x 在区间I 上有原函数()F x , 那么()f x 就有无限多个原函数. ()F x C +都是()f x 的原函数. (其中C 是任意常数) ; 2、()f x 的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果 (x )和()F x 都是()f x 的原函 数,则 ()()x F x C Φ-=(C 为某个常数). 简单地说就是,连续函数一定有原函数. 定义2 在区间I 上, 函数()f x 的带有任意常数项的原函数称为()f x (或?dx x f )()在区间I 上的不定积分. 记作 ?dx x f )(, 其中记号? 称为积分号, ()f x 称为被积函数, ?dx x f )(称为被积表达式,x 称为积分变量. 3、例题讲解. 例1 因为sin x 是cos x 的原函数,所以C x xdx +=?sin cos . 因为x 是x 21的原函数, 所以 C x dx x +=?2 1. 例 2. 求函数x x f 1 )(=的不定积分 解：当0x >时，(ln x ) x 1=，C x dx x +=?ln 1(0x >). 、 第3、4 次课 4 学时 课程安排：1学期，周学时 2 , 共48学时. 主要内容：不定积分，定积分，微分方程 本次课题：不定积分的概念与性质 教学要求：1. 理解不定积分的概念 2. 理解不定积分的性质；3. 熟记基本积分表。重点：不定积分的性质和基本积分表 难点：不定积分的概念 教学手段及教具：讲授法 讲授内容及时间分配： 1.不定积分的概念（25） 2.不定积分的性质（30） 3.基本积分表（30） 4. 习题（90） 课后作业 参考资料 不定积分的概念与性质 1、复习13个基本导数公式. 2、原函数与不定积分的概念. （1）定义1 在区间I 上，如果可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x ∈I ，都有 ()'()F x f x =或()dF x =?dx x f )(， 那么函数()F x 就称为()f x (或()f x dx )在区间I 上的原函数. （2）原函数存在定理 如果函数()f x 在区间I 上连续, 那么在区间I 上存在可导函数 ()F x , 使对任一x ∈I 都有F '(x )=()f x . 注： 1、如果函数()f x 在区间I 上有原函数()F x , 那么()f x 就有无限多个原函数. ()F x C +都是()f x 的原函数. (其中C 是任意常数) 2、()f x 的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果Φ(x )和()F x 都是()f x 的原函数,则 ()()x F x C Φ-=(C 为某个常数). 简单地说就是,连续函数一定有原函数. 定义2 在区间I 上, 函数()f x 的带有任意常数项的原函数称为()f x (或?dx x f )()在区间I 上的不定积分. 记作 ?dx x f )(, 其中记号?称为积分号, ()f x 称为被积函数, ?dx x f )(称为被积表达式,x 称为积分变量. 3、例题讲解. 例1 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以C x xdx +=?sin cos . 因为x 是x 21的原函数, 所以 C x dx x +=?21. 例2. 求函数x x f 1)(=的不定积分 解：当0x >时，(ln x )'x 1=，C x dx x +=?ln 1(0x >). 当0x <时，[ln(x )]'x x 1)1(1=-?-=，C x dx x +-=?)ln( 1(0x <).合并上面两式,得到 一、知识点梳理 1.导数：当x ?趋近于零时， x x f x x f ?-?+) ()(00趋近于常数c 。可用符号“→”记作： 当0→?x 时， x x f x x f ?-?+)()(00c →或记作c x x f x x f x =?-?+→?) ()(lim 000，符号“→”读作“趋近于”。函数在0x 的瞬时变化率，通常称作)(x f 在0x x =处的导数，并记作)(0x f '。 即 x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(000 0' 2.导数的四则运算法则： 1）)()())()((x g x f x g x f '±'='± 2）)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '+'=' 3）)() ()()()()()(2x g x g x f x f x g x g x f '-'='? ? ???? 几种常见函数的导数： (1))(0为常数C C =' (2))(1Q n nx x n n ∈='-）（ (3)x x cos )(sin =' (4)x x sin )(cos -=' (5)x x 1)(ln = ' (6)e x x a a log 1 )(log =' (7)x x e e =')( (8)a a a x x ln )(=' 例题：对下面几个函数求导 （1）、12832 ++=x x y （2）x x a x x e x f -+=ln 5)( (3)2 2ln 3)(x x e x f x += 3.导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率；导数的物理意义，通常是指物体运动在某一时刻的瞬时速度。 即若点),(00y x P 为曲线上一点，则过点),(00y x P 的切线的斜率 x x f x x f x f k x ?-?+==→?) ()(lim )(000 0'切 定积分的概念讲义 定积分的概念 【知识要点】 (1)定积分的定义及相关概念 ① 分割 如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0 第四章测试题A 卷 一、填空题（每小题4分，共20分） 1、函数2x 为 的一个原函数. 2、已知一阶导数 (())f x dx '=? ，则(1)f '= 3、若()arctan xf x dx x C =+?，则1() dx f x ?= 4、已知()f x 二阶导数()f x ''连续，则不定积分()xf x dx ''?= 5、不定积分cos cos ()x xd e ? = 二、选择题（每小题4分，共20分） 1、已知函数2 (1)x +为()f x 的一个原函数，则下列函数中是()f x 的原函数的是 [ ] (A) 21x - (B) 21x + (C) 22x x - (D) 22x x + 2、已知 ()sin x x e f x dx e x C =+?，则()f x dx ?= [ ] (A) sin x C + (B) cos x C + (C) cos sin x x C -++ (D) cos sin x x C ++ 3、若函数ln x x 为()f x 的一个原函数，则不定积分()xf x dx '?= [ ] (A) 1ln x C x -+ (B) 1ln x C x ++ (C) 12ln x C x -+ (D) 12ln x C x ++ 4、已知函数()f x 在(,)-∞+∞内可导，且恒有()f x '=0，又有(1)1f -=，则函数 ()f x = [ ] (A) -1 (B) -1 (C) 0 (D) x 5、若函数()f x 的一个原函数为ln x ，则一阶导数()f x '= [ ] (A) 1x (B) 21x - (C) ln x (D) ln x x 三、解答题 1、（7分）计算 22(1)dx x x +?. 2、（7分）计算 1x dx e +?. 3、（7分）计算 3 21x dx x +?. 4、（7分）计算 254dx x x ++?. 5、（8分）计算 . 6、（7分）计算 23x x e dx ?. 7、（8分）已知222(sin )cos tan 01f x x x x '=+<< ，求()f x . 8、（9分）计算 cos ax I e bxdx =?. 第六章 定积分及其应用 积分学的另一个基本概念是定积分．本章我们将阐明定积分的定义，它的基本性质以及它的应用．此外，我们要重点讲述沟通微分法与积分法之间关系的微积分学基本定理，它把过去一直分开研究的微分和积分彼此互逆地联系起来，成为一个有机的整体．最后，我们把定积分的概念加以推广，简要讨论两类广义积分． § 6.1 定积分的概念与性质 1. 定积分的定义 我们先来研究两个实际问题． 例1 计算曲边梯形的面积 设)(x f y =为闭区间],[b a 上的连续函数，且0)(≥x f ．由曲线)(x f y =，直线b x a x == ,及x 轴所围成的平面图形(图6—1)称为)(x f 在],[b a 上的曲边梯形，试求这图6—1 而变化的，所以 y 轴的曲边梯形的面积，从而运用极限的思想就为曲边梯形面积的计算提供了一种方法．下面我们分三步进行具体讨论： (1) 分割 在],[b a 中任意插入1-n 个分点 b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 把],[b a 分成n 个子区间],[10x x ，],[21x x ，…，],[1n n x x -，每个子区间的长度为1--=?i i i x x x ),,2,1( n i =． (2) 近似求和 在每个子区间],[1i i x x -),,2,1( n i =上任取一点i ξ，作和式 i n i i x f ?∑=1)(ξ(1.1) (3) 取极限 当上述分割越来越细(即分点越来越多，同时各个子区间的长度越来越小)时，和式(1.1)的值就越来越接近曲边梯形的面积(记作A )．因此当最长的子区间的长度趋于零时，就有 A x f i n i i →?∑=1)(ξ． 例2 求变速直线运动的路程 设某物体作直线运动，其速度v 是时间t 的连续函数)(t v v =．试求该物体从时刻a t =到时刻b t =一段时间内所经过的路程s ． 因为)(t v v =是变量，我们不能直接用时间乘速度来计算路程．但我们仍可以用类似于计算曲边梯形面积的方法与步骤来解决所述问题． (1) 用分点 b t t t t t a n n =<<<<<=-1210 把时间区间],[b a 任意分成n 个子区间(图6—2)： ],[10t t ，],[21t t ，…，],[1n n t t -． 每个子区间的长度为1--=?i i i t t t (n i ,2,1=)． 图6 (2) 在每个子区间],[1i i t t -(n i ,2,1=)上任取一点i τ，作和式 i n i i t v ?∑=1)(τ ． (3) 当分点的个数无限地增加，最长的子区间的长度趋于零时就有 s t v i n i i →?∑=1)(τ ． 以上两个问题分别来自于几何与物理中，两者的性质截然不同，但是确定它们的量所使用的数学方法是一样的，即归结为对某个量进行“分割、近似求和、取极限”，或者说都转化为具有特定结构的和式(1.1)的极限问题，在自然科学和工程技术中有很多问题，如变力沿直线作功，物质曲线的质量、平均值、弧长等，都需要用类似的方法去解决，从而促使人们对这种和式的极限问题加以抽象的研究，由此产生了定积分的概念．高等数学不定积分讲义
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