2012年全国中考数学压轴题分类解析汇编
专题4：三角形四边形存在性问题
24. （2012黑龙江龙东地区10分）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、
OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=12，点C的坐标为（－18，0）。
（1）求点B的坐标；
（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的解析式；
（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的
四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】解：（1）过点B作BF⊥x轴于F，
在Rt△BCF中
∵∠BCO=45°，，∴CF=BF=12 。
∵C 的坐标为（－18，0），∴AB=OF=6。
∴点B的坐标为（－6，12）。
（2）过点D作DG⊥y轴于点G，
∵OD=2BD，∴OD=2
3 OB。
∵AB∥DG，∴△ODG∽△OBA 。
∵D G O D O G2
AB O B O A3
===，AB=6，OA=12，∴DG=4，OG=8。∴D（－4，8），E（0，
4）。
设直线DE解析式为y=kx+b（k≠0）
∴ 4k b 8 b 4
-+=??
=?，解得k 1 b 4
=-??
=?。∴直线DE 解析式为y=－x+4。
（3）结论：存在。
点Q 的坐标为：（ ，－），（－ ，），（4，4），（－2，2）。
【考点】一次函数综合题，等腰直角三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，菱形的判定和性质。
【分析】（1）构造等腰直角三角形BCF ，求出BF 、CF 的长度，即可求出B 点坐标。
（2）已知E 点坐标，欲求直线DE 的解析式，需要求出D 点的坐标．构造△ODG∽△OBA，
由线段比例关系求出D 点坐标，从而可以求出直线DE 的解析式。
（3）如图所示，符合题意的点Q 有4个：
设直线y=－x+4分别与x 轴、y 轴交于点E 、点F ，
则E （0，4），F （4，0），OE=OF=4，。 ①菱形OEP 1Q 1，此时OE 为菱形一边。
则有P 1E=P 1Q 1=OE=4，P 1F=EF －P 1－4。 易知△P 1NF 为等腰直角三角形，
∴P 12
1F=4－。
设P 1Q 1交x 轴于点N ，则NQ 1=P 1Q 1－P 1N=4－（4－）。
又ON=OF －，∴Q 1（ ，－）。
②菱形OEP 2Q 2，此时OE 为菱形一边。此时Q 2与Q 1关于原点对称，∴Q 2
（－，
）。
③菱形OEQ 3P 3，此时OE 为菱形一边。
此时P 3与点F 重合，菱形OEQ 3P 3为正方形，∴Q 3（4，4）。 ④菱形OP 4EQ 4，此时OE 为菱形对角线。 由菱形性质可知，P 4Q 4为OE 的垂直平分线，
由OE=4，得P 4纵坐标为2，代入直线解析式y=－x+4得横坐标为2，则P 4（2，
2）。
由菱形性质可知，P 4、Q 4关于OE 或x 轴对称，∴Q 4（－2，2）。
综上所述，存在点Q ，使以O 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形，点Q 的坐标
为：
Q 1（
2，－
），Q 2（－
，
），Q 3（4，4），Q 4（－2，2）。
25. （2012黑龙江绥化10分）如图，四边形ABCD 为矩形，C 点在x 轴上，A 点在y 轴上，D 点坐标是（0，0），B 点坐标是（3，4），矩形ABCD 沿直线EF 折叠，点A 落在BC 边上的G 处，E 、F 分别在AD 、AB 上，且F 点的坐标是（2，4）． （1）求G 点坐标； （2）求直线EF 解析式；
（3）点N 在x 轴上，直线EF 上是否存在点M ，使以M 、N 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）由已知得，FG=AF=2，FB=1。
∵四边形ABCD 为矩形，∴∠B=90°。
∴BG =
==
。∴G 点的坐标为（3，4
。
（2）设直线EF 的解析式是y=kx+b ，
在Rt△BFG 中，
FB 1cos BFG FG
2
∠==，∴∠BFG=60°。∴∠AFE=∠EFG=60°。
点的坐标为（0，4－
）。 又F 点的坐标是（2，4），
∴b 42k b 4?=-??+=??
解得k b 4?=??=-??
∴直线EF
的解析式为y 4=+- （3）存在。M 点的坐标为
3
）
3
-
）
83
-
）。
【考点】一次函数综合题，矩形的性质，折叠性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角
的三角函数值，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】（1）根据折叠性质可知FG=AF=2，而FG=AB －AF=1，则在Rt△BFG 中，利用勾股定理求出BG 的长，从而得到CG 的长，从而得到G 点坐标。
（2）由题意，可知△AEF 为含30度角的直角三角形，从而可求出E 点坐标；又F
点坐标已知，所以可利用待定系数法求出直线EF 的解析式。
（3）分FG 为平行四边形边和对角线两种情况讨论，探究可能的平行四
边形的形状：
若以M 、N 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形，则可能存在以下
情形：
①FG 为平行四边形的一边，且N 点在x 轴正半轴上，如图1所示。
过M 1点作M 1H⊥x 轴于点H ，易证△M 1HN 1≌△GBF，
∴M 1y M1
由直线EF 解析式y 4=+-M 1x 3
=
。
∴M 13
）
。 ②FG 为平行四边形的一边，且N 点在x 轴负半轴上，如图2所示。
仿照与①相同的办法，可求得M 23
-
）
。 ③FG 为平行四边形的对角线，如图3所示。
过M 3作FB 延长线的垂线，垂足为H ．易证△M 3FH≌△GN 3C ，
则有M 3M 3的纵坐标为8
代入直线EF 解析式，得到M 33
。
∴M 383
-
。
综上所述，存在点M ，使以M 、N 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形，点M
的坐标为：M 13
），M 23
-
），M 383
-
）。
26. （2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西10分）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB 的两条直角边0A 、08分别在y 轴和x 轴上，并且OA 、OB 的长分别是方程x 2—7x+12=0的两根(OA<0B)，动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒l 个单位长度的速度向
点O 运动；同时，动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒． (1)求A 、B 两点的坐标。
(2)求当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似，并直接写出此时点Q 的坐标．
(3)当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M ，使以A 、P 、Q 、M 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）由x 2－7 x +12=0解得x 1=3，x 2=4。
∵OA＜OB ，∴OA=3 , OB=4。∴A(0，3)， B(4，0)。
(2) 由OA=3 , OB=4，根据勾股定理，得AB=5。
由题意得，AP=t, AQ=5－2t 。分两种情况讨论： ①当∠APQ=∠AOB 时，如图1，△APQ∽△AOB。
∴
A P A Q A O
A B
=，即
t 52t 3
5
-=
解得 t=
1511
。∴Q （
201811
11
，）。
②当∠AQP=∠AOB 时，如图2， △APQ∽△ABO。
∴
AP AQ AB
AO =，即
t
52t
53
-= 解得 t=
2513
。∴Q （
123013
13
，）。
（3）存在。M 1（4225
5
，
）， M 2（4
2
5
5
，），M 3（4
8
5
5
- ，）。
【考点】动点问题，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的性质，平行四边形的判定。 【分析】（1）解出一元二次方程，结合OA ＜OB 即可求出A 、B 两点的坐标。 （2）分∠APQ=∠AOB 和∠AQP=∠AOB 两种情况讨论即可。
（3）当t=2时，如图，OP=2，BQ=4，∴P（0，1），Q （4
1255
，
）。
若以A 、P 、Q 、M 为顶点的四边形是平行四边形，则
①当AQ为对角线时，点M
1的横坐标与点Q的横坐标相
同，纵坐标为1222
+2=
55
。∴M
1
（
422
55
，）。
②当PQ为对角线时，点M
2
的横坐标与点Q的横坐标相
同，纵坐标为122
2=
55
-。∴M2（
42
55
，）。
③当AP为对角线时，点Q、M
3
关于AP的中点对称。由A(0，3)，P（0，1）得AP的中点坐标为（0，2）。
由Q（412
55
，）得M3的横坐标为
44
20=
55
?--，纵坐标为
128
22=
55
?-。∴M3
（
48
55
-，）。
综上所述，若以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，则M点的坐标为
（
422
55
，）或（
42
55
，）或（
48
55
-，）。
27. （2012湖北襄阳12分）如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC 的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．
（1）求AD的长及抛物线的解析式；
（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C 出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？
（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）∵四边形ABCO为矩形，∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10。
由折叠的性质得，△BDC≌△EDC，∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD。
由勾股定理易得EO=6。∴AE=10﹣6=4。
设AD=x，则BD=CD=8﹣x，由勾股定理，得x2+42=（8﹣x）2，解得，x=3。∴AD=3。
∵抛物线y=ax2+bx+c过点D（3，10），C（8，0），
∴
9a+3b=10
64a+8b=0
?
?
?
，解得
2
a=
3
16
b=
3
?
-
??
?
?
??
。∴抛物线的解析式为：2
216
y x x
33
=-+。
（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，∴∠DEA=∠OCE，由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5。而CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t。
当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，
∴C Q C P
EA ED
=，即
t102t
45
-
=，解得
40
t
13
=。
当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，
∴PC C Q
AE ED
=，即
102t t
45
-
=，解得
25
t
7
=。
∴当
40
t
13
=或
25
7
时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似。
（3）存在符合条件的M、N点，它们的坐标为：①M
1（﹣4，﹣32），N
1
（4，
﹣38）；
②M
2（12，﹣32），N
2
（4，﹣26）；③M
3
（4，
32
3
），N
3
（4，﹣
14
3
）。
【考点】二次函数综合题，折叠和动点问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质。【分析】（1）根据折叠图形的轴对称性，△CED≌△CBD，在Rt△CEO中求出OE的长，从而可得到AE的长；在Rt△AED中，AD=AB﹣BD、ED=BD，利用勾股定理可求出AD的长．进一步能确定D点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式。
（2）由于∠DEC=90°，首先能确定的是∠AED=∠OCE，若以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似，那么∠QPC=90°或∠PQC=90°，然后在这两种情况下，分别利用相似三角形的对应边成比例求出对应的t的值。
（3）假设存在符合条件的M、N点，分两种情况讨论：
①EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形MENC 是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点。
由()
2
2
216232y x x x 433
3
3
=-
+
=-
-+
得抛物线顶点，则：M （4，
323
）。
∵平行四边形的对角线互相平分，∴线段MN 必被EC 中点（4，3）平分，则N
（4，﹣
143
）。
②EC 为平行四边形的边，则EC
MN ，
设N （4，m ），则M （4﹣8，m+6）或M （4+8，m ﹣6）； 将M （﹣4，m+6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣38， 此时 N （4，﹣38）、M （﹣4，﹣32）；
将M （12，m ﹣6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣26， 此时 N （4，﹣26）、M （12，﹣32）。
综上所述，存在符合条件的M 、N 点，它们的坐标为：①M 1（﹣4，﹣32），N 1
（4，﹣38）；
②M 2（12，﹣32），N 2（4，﹣26）；③M 3（4，
323
），N 3（4，﹣
143
）。
28. （2012湖南永州10分）如图所示，已知二次函数y=ax 2+bx ﹣1（a≠0）的图象过点A （2，0）和B （4，3），l 为过点（0，﹣2）且与x 轴平行的直线，P （m ，n ）是该二次函数图象上的任意一点，过P 作PH⊥l，H 为垂足． （1）求二次函数y=ax 2+bx ﹣1（a≠0）的解析式； （2）请直接写出使y ＜0的对应的x 的取值范围；
（3）对应当m=0，m=2和m=4时，分别计算|PO|2和|PH|2的值．由此观察其规律，并猜想一个结论，证明对于任意实数m ，此结论成立；
（4）试问是否存在实数m 可使△POH 为正三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）∵二次函数y=ax 2+bx ﹣1（a≠0）的图象过点A （2，0）和B （4，3），
∴
4a+2b1=0
16a+4b1=0
-
?
?
-
?-
，解得
1
a=
4
b=0
?
?
?
?
?
。∴二次函数的解析式为y=
1
4
x2﹣1。
（2）当﹣2＜x＜2时y＜0。
（3）当m=0时，|PO|2=1，|PH|2=1；
当m=2时，P点的坐标为（2，0），|PO|2=4，|PH|2=4；
当m=4时，P点的坐标为（4，3），|PO|2=25，|PH|2=25。
由此发现|PO|2=|PH|2。
设P点坐标为（m，n），即n=1
4
m2﹣1
|OP|2= m2+ n2，|PH|2=（n+2）2=n2+4n+4=n2+m2。
∴对于任意实数m，|PO|2=|PH|2。
（4）存在。由（3）知OP=PH，只要OH=OP成立，△POH为正三角形。
设P点坐标为（m，n），|OP|2= m2+ n2，|OH|2=4+ m2，
由|OP|=|OH|得，m2+ n2=4+ m2，即n2=4，解得n=±2。
当n=﹣2时，n=1
4
m2﹣1不符合条件，
当n=2时，由2=1
4
m2﹣1解得
∴故当
为正三角形．
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，勾股定理，等边三角形的判定。
【分析】（1）根据二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），待定系数法求出a和b的值，抛物线的解析式即可求出。
（2）令y=1
4
x2﹣1=0，解得x=﹣2或x=2，由图象可知当﹣2＜x＜2时y＜0。
（3）分别求出当m=0，m=2和m=4时，分别计算|PO|2和|PH|2的值．然后观察其规律，再进行证明。
（4）由（3）知OP=OH，只要OH=OP成立，△POH为正三角形，求出|OP|、|OH|含有m和n的表达式，令两式相等，求出m和n的值。
29. （2012湖南娄底10分）已知二次函数y=x2﹣（m2﹣2）x﹣2m的图象与x轴交于点A（x
1
，
0）和点B（x
2，0），x
1
＜x
2
，与y轴交于点C，且满足
12
111
+=
x x2
．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）探究：在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由．
【答案】解：（1）∵二次函数y=x2﹣（m2﹣2）x﹣2m的图象与x轴交于点A（x
1
，0）和点B
（x
2，0），x
1
＜x
2
，
∴令y=0，即x2﹣（m2﹣2）x﹣2m=0 ①，则有：x
1
+x
2
=m2﹣2，x
1
x
2
=﹣2m。
∴
2
12
1212
x+x
11m11
+===
x x x x2m2
-
-
，化简得到：m2+m﹣2=0，解得m
1
=﹣2，m
2
=1。
当m=﹣2时，方程①为：x2﹣2x+4=0，其判别式△=b2﹣4ac=﹣12＜0，此
时抛物线与x轴没有交点，不符合题意，舍去；
当m=1时，方程①为：x2+x﹣2=0，其判别式△=b2﹣4ac=9＞0，此时抛物线与x轴有两个不同的交点，符合题意。
∴m=1。∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣2。
（2）存在。理由如下：
假设在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形。
如图所示，连接PA．PB．AC．BC，过点P作PD⊥x轴于D点。
∵抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A．B两点，与y轴
交于C点，
∴A（﹣2，0），B（1，0），C（0，2）。
∴OB=1，OC=2。
∵PACB为平行四边形，∴PA∥BC，PA=BC。
∴∠PAD=∠CBO，∴∠APD=∠OCB。
在Rt△PAD与Rt△CBO中，
∵∠PAD=∠CBO ，PA=BC，∠APD=∠OCB ，
∴Rt△PAD≌Rt△CBO（AAS）。
∴PD=OC=2，即y
P
=2。
∵直线解析式为y=x+3，∴x
P
=﹣1。∴P（﹣1，2）。
∴在直线y=x+3上存在一点P，使四边形PACB为平行四边形，P点坐标为（﹣1，2）。
【考点】二次函数综合题，二次函数与x点问题，曲线图上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】（1）欲求抛物线的解析式，关键是求得m的值．根据题中所给关系式，利用一元二次方程根与系数的关系，可以求得m的值，从而问题得到解决。注意：解答中求得两个m 的值，需要进行检验，把不符合题意的m值舍去。
（2）利用平行四边形的性质构造全等三角形，根据全等关系求得P点的纵坐标，从而得到P点的横坐标，从而求得P点坐标。
30. （2012湖南衡阳10分）如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B 出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O 为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动
时间为t（0＜t＜10
3
）秒．解答如下问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BO？
（2）设△AQP的面积为S，
①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；
②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x
1，y
1
），（x
2
，y
2
），则新坐标（x
2
﹣x
1
，y
2
﹣y
1
）称
为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标．
【答案】解：（1）∵A、B 两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），则OB=6，OA=8。
∴AB 10=
=
=。
如图①，当PQ∥BO 时，AQ=2t ，BP=3t ，则AP=10﹣3t 。 ∵PQ∥BO，∴AP AQ AB
AO
=，即
103t 2t 10
5
-=
，解得t=
2011
。
∴当t=
2011
秒时，PQ∥BO。
（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10．
①如图②所示，过点P 作PD⊥x 轴于点D ，则PD∥BO。 ∴△APD∽△ABO。 ∴
AP PD AB
O B
=，即
103t PD 106
-=
，解得PD=6﹣
95
t 。
∴2
21
1
9995S AQ PD 2t 6t =t +6t=t +5225553?
???=??=??---- ? ?????。
∴S 与t 之间的函数关系式为：S=2
95t +553??-- ???（0＜t ＜10
3
）。
∴当t=
53
秒时，S 取得最大值，最大值为5（平方单位）。
②如图②所示，当S 取最大值时，t=53
，
∴PD=6﹣
95
t=3，∴PD=
12
BO 。
又PD∥BO，∴此时PD 为△OAB 的中位线，则OD=12
OA=4。∴P（4，3）。
又AQ=2t=
103
，∴OQ=OA﹣AQ=
143
，∴Q（
143
，0）。
依题意，“向量PQ”的坐标为（143
﹣4，0﹣3），即（
23
，﹣3）．
∴当S 取最大值时，“向量PQ”的坐标为（23
，﹣3）。
【考点】动点问题，平行线分线段成比例，二次函数的最值，勾股定理，三角形中位线定理。
【分析】（1）如图①所示，当PQ∥BO 时，利用平分线分线段成比例定理，列线段比例式
AP AQ AB
AO
=，求出t 的值。
（2）①求S 关系式的要点是求得△AQP 的高，如图②所示，过点P 作过点P 作PD⊥x
轴于点D ，构造平行线PD∥BO，由△APD∽△ABO 得
AP
PD AB
O B
=
求得PD ，从而S 可求出．S
与t 之间的函数关系式是一个关于t 的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出S 的最大值。
②求出点P 、Q 的坐标：当S 取最大值时，可推出此时PD 为△OAB 的中位线，从而可
求出点P 的纵横坐标，又易求Q 点坐标，从而求得点P 、Q 的坐标；求得P 、Q 的坐标之后，代入“向量PQ”坐标的定义（x 2﹣x 1，y 2﹣y 1），即可求解。 31. （2012湖南株洲10分）如图，一次函数1y=x+22
-分别交y 轴、x 轴于A 、B 两点，抛
物线
y=﹣x 2+bx+c 过A 、B 两点． （1）求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直x 轴的直线x=t ，在第一象限交直线AB 于M ，交这个抛物线于N ．求当t 取何值时，MN 有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点D 的坐标．
【答案】解：（1）∵1y=x+22
-
分别交y 轴、x 轴于A 、B 两点，
∴A、B 点的坐标为：A （0，2），B （4，0）。 将x=0，y=2代入y=﹣x 2+bx+c 得c=2；
将x=4，y=0代入y=﹣x 2+bx+c 得0=﹣16+4b+2，解得b=72
。
∴抛物线解析式为：y=﹣x 2+
72
x+2。
（2）如图1，设MN 交x 轴于点E ，则E （t ，0），BE=4﹣t 。
∵O A 21tan ABO O B
42
∠=
==，
∴ME=BE?tan∠ABO=（4﹣t ）×12
=2﹣
12
t 。
又∵N 点在抛物线上，且x N =t ，∴y N =﹣t 2
+72
t+2。
∴()2
22
N 1M N y M E t t 22t t 4t=t 2+42
=-=-++--=-+--（）。
∴当t=2时，MN 有最大值4。
（3）由（2）可知，A （0，2），M （2，1），N （2，5）．
如图2，以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形，D 点的可能位置有三种情形。 （i ）当D 在y 轴上时，设D 的坐标为（0，a ），
由AD=MN ，得|a ﹣2|=4，解得a 1=6，a 2=﹣2， 从而D 为（0，6）或D （0，﹣2）。
（ii ）当D 不在y 轴上时，由图可知D 为D 1N 与D 2M 的交点， 由D 1（0，6），N （2，5）易得D 1N 的方程为y=12
-x+6；
由D 2（0，﹣2），M （2，1）D 2M 的方程为y=32
x ﹣2。
由两方程联立解得D 为（4，4）。
综上所述，所求的D 点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，锐角三角函数定义，平行四边形的判定和性质。
【分析】（1）首先求得A 、B 点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式。
（2）求得线段MN 的表达式，这个表达式是关于t 的二次函数，利用二次函数的极
值求线段MN 的最大值。
（3）明确D 点的可能位置有三种情形，如图2所示，不要遗漏．其中D 1、D 2在y 轴
上，利用线段数量关系容易求得坐标；D 3点在第一象限，是直线D 1N 和D 2M 的交点，利用直线解析式求得交点坐标。
32. （2012湖北鄂州12分）已知：如图一，抛物线c bx ax y 2
++=与x 轴正半轴交于A 、
B 两点，与y
轴交于点C ，直线2x y -=经过A 、C 两点，且AB=2.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线DE 平行于x 轴并从C 点开始以每秒1个单位的速度沿y 轴正方向平移，且分别
交y 轴、线
段BC 于点E 、D ，同时动点P 从点B 出发，沿BO 方向以每秒2个单位速度运动，（如图2）；
当点P
运动到原点O 时，直线DE 与点P 都停止运动，连DP ，若点P 运动时间为t 秒 ；设
OP
ED OP ED s ?+=
，当
t 为何值时，s 有最小值，并求出最小值。
（3）在（2）的条件下，是否存在t 的值，使以P 、B 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似；若
存在，求t
的值；若不存在，请说明理由。
【答案】解：（1）在y x 2=-中，由x=0得y=－2，∴C（0，－2）。 由 y=0得 x=2，∴A（2，0）。 ∵AB=2，∴B（4，0）。
∴可设抛物线的解析式为()()y a x 2x 4=--，代入点C （0，－2）得
1a 4
=-
。
∴抛物线的解析式为()()2
1
13y x 2x 4x x 2442
=---=-
+
-。
（2）由题意：CE=t ，PB=2t ，OP=4－2t 。
∵ED∥BA，∴△CED∽△COB。 ∴
ED C E O B C O =
，即
E D t 4
2
=
。∴ED=2t。
∴()()
()2
2
2t+42t ED O P 4
1
s ==
=
ED O P
2t 42t 4t +8t
t 1+1
-+=
??----。
∴当t=1时，()2
t 1+1--有最大值1。
∴当t=1时，ED O P s ED O P
+=
?的值最小，最小值是1。
（3）存在。设BC 所在直线的解析式为y=kx+b ，由B （4，0），C （0，－2）得
4k+b=0b=2??-?，解得1k=
2b=2
?
???-?
，∴C 所在直线的解析式为1y=x 22-。
由题意可得：D 点的纵坐标为t －2，则D 点的横坐标为2t 。 ∴
)BD 2t =
-。
又BC =
。
∵∠PBD=∠ABC，∴以P 、B 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似有两种情况： 当
BP BD
AB BC =
时，即
2t 2t 2
-=
，解得2t 3
=
；
当
BP BC BD
BA
=
2
=
10t 7
=
。
综上所述，当2t 3
=
或10t 7
=
时，以P 、B 、D 为顶点的三角形与△ABC 相
似。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值，相似三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】（1）求出C 、A 、B 的坐标，设抛物线的解析式为y=a （x －2）（x －4），代入点C 的坐标求出a 即可。
（2）由题意：CE=t ，PB=2t ，OP=4-2t ，由ED∥BA 得出△CED∽△COB ，从而
ED C E O B
C O
=
，
求出ED=2CE=2t ，根据()2
ED O P 1s =
ED O P
t 1+1
+=
?-- ，根据二次函数的最值求出即可。
（3）以P 、B 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似有两种情况：
B P
B D A B
B C
=和
BP BC BD
BA
=
代入求出即可。
33. （2012福建宁德13分）如图，矩形OBCD 的边OD 、OB 分别在x 轴正半轴和y 轴负半轴上，且OD ＝10，OB ＝8．将矩形的边BC 绕点B 逆时针旋转，使点C 恰好与x 轴上的点A 重合．
(1)直接写出点A 、B 的坐标：A( ， )、B( ， )；
(2)若抛物线y ＝－ 1 3x 2
＋bx ＋c 经过点A 、B ，则这条抛物线的解析式是 ；
(3)若点M 是直线AB 上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x 轴于点N ．问是否存在点M ，
使△AMN
与△ACD 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由；
(4)当
7
2
≤x≤7，在抛物线上存在点P ，使△ABP 的面积最大，求△ABP 面积的最大值．
【答案】解：（1）（6，0），（0，－8）。 （2）2
110y x +
x 833
-
-＝。
（3）存在。
设M 2
110
m m +
m 833?
?
-- ???
，
， 则N （m ，0）MN=2
110m +
m 83
3
--，NA=6－m 。
又DA=4，CD=8，
①若点M 在点N 上方，
M N N A C D
D A
=
，则△AMN∽△ACD。
∴
2
110m +
m 8
6m 33
8
4
---=
，即2m 16m+60=0-，解得m=6或m=10。
与点M 是直线AB 上方抛物线上的一个动点不符。 ∴此时不存在点M ，使△AMN 与△ACD 相似。
②若点M 在点N 下方，
M N N A C D
D A
=
，则△AMN∽△ACD。
∴2
110m m +8
6m 3
38
4
-
-=
，即2m 4m 12=0--，解得m=－2或m=6。
与点M 是直线AB 上方抛物线上的一个动点不符。 ∴此时不存在点M ，使△AMN 与△ACD 相似。 ③若点M 在点N 上方，
M N N A D A
C D
=
，则△AMN∽△ACD。
∴
2
110m +
m 8
6m 33
4
8
---=
，即22m 23m+66=0-，方程无解。
∴此时不存在点M ，使△AMN 与△ACD 相似。 ④若点M 在点N 下方，
M N N A D A
C D
=
，则△AMN∽△ACD。
∴2
110m m +8
6m 3
34
8
-
-=
，即22m 17m+30=0-，解得m=
52
或m=6。
当m=
52
时符合条件。
∴此时存在点M （52
，74
-
），使△AMN 与△ACD 相似。
综上所述，存在点M （52
，74
-），使△AMN 与△ACD 相似。
（4）设P （p ，21
10p +
p 833
--）
， 在2
110y x +
x 83
3
--＝中，令y=0，得x=4或x=6。
∴
7 2≤x≤7分为 7
2
≤x＜4，4≤x＜6和6≤x≤7三个区间讨论： ①如图，当 7
2
≤x＜4时，过点P 作PH⊥x 轴于点H
则OH=p ，HA=6－p ，PH=21
10p p+833
-
。
∴ABP O AB APH O BPH S S S S ???=--梯形
()()222
2
11110111068p p+8+8p 6p p p+82233233p +6p=p 3+9
????=??-
?-?-?-?- ? ?????
=--- ∴当
7
2
≤x＜4时，ABP S ?随p 的增加而减小。
∴当x=
7 2时，ABP S ?取得最大值，最大值为35
4
。 ②如图，当4≤x＜6时，过点P 作PH⊥BC 于点H ，过点A
作AG⊥BC 于点G 。
则BH= p ，HG=6－p ，PH=22
1
10110p +
p 8+8=p +
p 33
33
---
，
∴ABP BPH ABG PHGA S S +S S ???=-梯形
()()222
2
111011101p +p p+p +p+86p 682332332p +6p=p 3+9
????=
?-??-?--?? ? ?????=---
∴当4≤x＜6时，ABP S ?随p 的增加而减小。 ∴当x=4时，ABP S ?取得最大值，最大值为8。 ③如图，当6≤x≤7时，过点P 作PH⊥x 轴于点H 。 则OH=p ，HA= p －6，PH=21
10p p+833
-
。
∴ABP OAB APH OBPH S S S S ???=--梯形
()()222
2
111011110p p+8+8p 68p 6p p+82332233p 6p=p 39
????=
?-?-??-?-?- ? ?????=---
∴当6≤x≤7时，ABP S ?随p 的增加而增加。 ∴当x=7时，ABP S ?取得最大值，最大值为7。 综上所述，当x=
7 2时，ABP S ?取得最大值，最大值为35
4
。 【考点】二次函数综合题，矩形的性质，旋转的性质，勾股定理， 曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定，二次函数的性质。
【分析】（1）由OD ＝10，OB ＝8，矩形的边BC 绕点B 逆时针旋转，使点C 恰好与x 轴上的点A 重合，可得OA 2=AB 2－OB 2=102－82=36，∴OA=6。∴A（6，0），B （0，－8）。
（2）∵抛物线y ＝－
1 3
x 2
＋bx ＋c 经过点A 、B ， ∴12+6b+c=0c=8-??-?，解得10b=
3c=8
?
???-?
。
∴这条抛物线的解析式是2
110y x +
x 833
-
-＝。
（3）分①若点M 在点N 上方，
M N N A C D
D A
=，②若点M 在点N 下方，
M N N A C D
D A
=，
③若点M 在点N 上方，
M N N A D A
C D
=，④若点M 在点N 下方，M N N A D A
C D
=四种情况讨论即可。
（4）根据二次函数的性质，分 7
2
4，4≤x＜6和6≤x≤7三个区间分别求出
最大值，比较即可。
34. （2012福建龙岩14分）在平面直角坐标系xoy 中， 一块含60°角的三角板作如图摆
放，斜边 AB
在x 轴上，直角顶点C 在y 轴正半轴上，已知点A （－1，0）．
（1）请直接写出点B 、C 的坐标：B （ ， ）、C （ ， ）；并求经过A 、B 、C 三
点的抛物
线解析式；
（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF （其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶
点E 放在线段
AB 上（点E 是不与A 、B 两点重合的动点），并使ED 所在直线经过点C ． 此时，EF 所在直
线与（1）
中的抛物线交于第一象限的点M ．
①设AE=x ，当x 为何值时，△OCE∽△OBC；
②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P 使△PEM 是等腰三角形，若
存在，请求
点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）B （3，0），C （0。
2018中考数学相似三角形课时练 一．选择题 1．（2018?重庆）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（） A．360元B．720元C．1080元D．2160元 2．（2018?铜仁市）已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（） A．32 B．8 C．4 D．16 3．（2018?临安区）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（） A．B．C．D． 4．（2018?崇明县一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（） A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1 5．（2018?随州）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（）
A．1 B．C． 1 D． 6．（2018?哈尔滨）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（） A．=B．=C．=D．= 7．（2018?扬州）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论： ①△BAE∽△CAD；②MP?MD=MA?ME；③2CB2=CP?CM．其中正确的是（） A．①②③B．①C．①②D．②③ 8．（2018?孝感）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD 交BD于点H．则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（﹣1）EF．其中正确结论的个数为（） A．5 B．4 C．3 D．2
专业资料整理分享 中考数学压轴题解题技巧 湖北竹溪城关中学明道银 解中考数学压轴题秘诀（一） 数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 （一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。 （二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是
列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀（二） 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想：
2020年中考数学压轴题精选解析 中考压轴题分类专题三——抛物线中的等腰三角形 基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或 抛物线的对称轴上），若ABP ?为等腰三角形，求点P 坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为底时（即PA PB =）：点P 在AB 的垂直平分线上。 利用中点公式求出AB 的中点M ； 利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出AB 的垂直平分线的斜率k ； 利用中点M 与斜率k 求出AB 的垂直平分线的解析式； 将AB 的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 （2）AB 为腰时，分两类讨论： ①以A ∠为顶角时（即AP AB =）：点P 在以A 为圆心以AB 为半径的圆上。 ②以B ∠为顶角时（即BP BA =）：点P 在以B 为圆心以 AB 为半径的圆上。 利用圆的一般方程列出A e (或B e )的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 中考压轴题分类专题四——抛物线中的直角三角形 基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或 抛物线的对称轴上），若ABP ?为直角三角形，求点P 坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。 利用中点公式求出AB 的中点M ； 利用圆的一般方程列出M e 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 （2）AB 为直角边时，分两类讨论： ①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）： ②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）： 利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出PA （或PB ）的斜率 k ；进而求出PA （或PB ）的解析式； 将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 所需知识点： 一、 两点之间距离公式： 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：()()2 21221y y x x PQ -+-= 。 二、 圆的方程： 点()y ,x P 在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为()b ,a ，半径为R 。 则()()R b y a x PM =-+-= 22，得到方程☆：()()22 2 R b y a x =-+-。 ∴P 在☆的图象上，即☆为⊙M 的方程。 三、 中点公式： 四、 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为??? ??++22 2121y y ,x x 。 五、 任意两点的斜率公式： 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则直线PQ 的斜率： 2 12 1x x y y k PQ --= 。 中考压轴题分类专题五——抛物线中的四边形 基本题型：一、已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上， 或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为平行四边形，求点P 坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为边时 （2）AB 为对角线时 二、已知AB ，抛物线()02 ≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对 称轴上），若四边形ABPQ 为距形，求点P 坐标。 在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边互相垂直 （2）对角线相等 三、已知AB ，抛物线()02 ≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对 称轴上），若四边形ABPQ 为菱形，求点P 坐标。 在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边相等 （2）对角线互相垂直
三角形 一、选择题 1.若一个直角三角形的两边长为12和5，则第三边为（） A. 13 B.13或 C. 13或5 D. 15 2.三角形的角平分线、中线和高（） A. 都是射线 B. 都是直线 C. 都是线段 D. 都在三角形内 3.小明用同种材料制成的金属框架如图所示，已知∠B=∠E，AB=DE，BF=EC，其中框架△ABC的质量为840克，CF的质量为106克，则整个金属框架的质量为（） A. 734克 B. 946克 C. 1052克 D. 1574克 4.到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的是（） A. 三条中线的交点, B. 三条角平分线的交点 C. 三条高线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 5.如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做使用的数学道理是（） A. 两点之间线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 两点确定一条直线 D. 长方形的四个角都是直角 6.如图，△ABC内有一点D，且DA=DB=DC，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC的大小是( )
A. 100° B. 80° C. 70° D. 50° 7.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 8.已知在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°，则下列条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是( ) A. AB=DE，AC=DF- B. AC=EF，BC=DF - C. AB=DE，BC=EF- D. ∠C=∠F，AC=DF 9.若等腰三角形的顶角为80°，则它的一个底角度数为（） A. 20° B. 50° C. 80° D. 100° 10.如图，点M是边长为4cm的正方形的边AB的中点，点P是正方形边上的动点，从点M出发沿着逆时针方向在正方形的边上以每秒1cm的速度运动，则当点P逆时针旋转一周时，随着运动时间的增加，△DMP面积达到5cm2的时刻的个数是（） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题 11.在△ABC中，已知∠A=30°，∠B=70°，则∠C的度数是________。 12.将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为________． 13.如图,点P为△ABC三条角平分线的交点,PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,则PD____________PF.
2016年中考数学相似三角形专题复习（一） 一、填空题 1．下面图形中，相似的一组是___________. (1) (2) （1） （2） (3) (4) 2．若x ∶（x+1）=6∶9，则x= . 3．已知线段a 、b 、c 、d 成比例，且a=6，b=9， c=12，则d= 4．在比例尺为1：10000的地图上，量得两 点之间的直线距离是2cm ，则这两地的实际 距离是________米 5．如图，两个五边形是相似形，则=a ，=c ，α= ，β= . 6. 已知△ABC ∽△DEF,AB=21cm,DE=28cm,则△ABC 和△DEF 的相似比为 . 7．△ABC 的三边长分别为 2、10、3，△ C B A ''的两边长分别为1和5，若△ABC ∽△C B A ''， 则△C B A ''的第三条边长为 . 8．如图，△ABC ∽△CDB ，且AC ＝4，BC ＝3， 则BD ＝_________. 9．若一等腰三角形的底角平分线与底边围成的三角形与原图形相似，?则等腰三角形顶角为________度． 10．△ABC 的三边之比为3：5：6，与其相似的△DEF 的最长边是24cm,那么它的最短边长是 ，周长是 . 二、选择题 11．已知4x －5y=0，则(x+y)∶(x －y)的值为（ ） A. 1∶9 B. －9 C. 9：1 D. －1∶9 12.已知，线段AB 上有三点C 、D 、E ，AB=8，AD=7，CD=4，AE=1，则比值不为1/2的线段比为（ ） A.AE ：EC B.EC ：CD C.CD ：AB D.CE ：CB ╮ 23a c β 1550 950 1150 12 5 7αb ╭╮ ╯650 1150 第5题图 B C D 第8题图
中考数学压轴题十大类型 目录 第一讲中考压轴题十大类型之动点问题 1 第二讲中考压轴题十大类型之函数类问题7 第三讲中考压轴题十大类型之面积问题13 第四讲中考压轴题十大类型之三角形存在性问题19 第五讲中考压轴题十大类型之四边形存在性问题25 第六讲中考压轴题十大类型之线段之间的关系31 第七讲中考压轴题十大类型之定值问题38 第八讲中考压轴题十大类型之几何三大变换问题44 第九讲中考压轴题十大类型之实践操作、问题探究50 第十讲中考压轴题十大类型之圆56 第十一讲中考压轴题综合训练一62 第十二讲中考压轴题综合训练二68
第一讲 中考压轴题十大类型之动点问题 一、知识提要 基本方法： ______________________________________________________; ______________________________________________________; ______________________________________________________． 二、精讲精练 1. （2011吉林）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD =90°，CE ⊥AD 于点E ， AD =8cm ，BC =4cm ，AB =5cm ．从初始时刻开始，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，运动速度均为1cm/s ，动点P 沿A -B -C -E 方向运动，到点E 停止；动点Q 沿B -C -E -D 方向运动，到点D 停止，设运动时间为x s ，△P AQ 的面积为y cm 2，（这里规定：线段是面积为0的三角形）解答下列问题： （1） 当x =2s 时，y =_____ cm 2；当x =9 2 s 时，y =_______ cm 2． （2）当5 ≤ x ≤ 14时，求y 与x 之间的函数关系式． （3）当动点P 在线段BC 上运动时，求出15 4 y S 梯形ABCD 时x 的值． （4）直接写出在整个．．运动过程中，使PQ 与四边形ABCE 的对角线平行的所有x 的值．
、选择题 A. 13 C. 13 或 5 2. 三角形的角平分线、中线和高（ 克，CF 的质量为106克，则整个金属框架的质量为（ 4. 到厶ABC 的三条边距离相等的点是厶 ABC 的是（ 5. 如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做使用的数学道理是 6. 如图，△ ABC 内有一点 D,且 DA=DB=DC 若/ DAB=20，/ DAC=30，则/ BDC 的大小是（ 三角形 1.若一个直角三角形的两边长为 12和 5,则第三边为 D. 15 A. 都是射线 B. 都是直线 C.都是线段 D. 都在三角形内 3. 小明用同种材料制成的金属框架如图所示，已知/ B=Z E , AB=DE BF=EC 其中框架厶ABC 的质量为840 A. 734 克 B. 946 克 C. 1052 克 D. 1574 克 A. 三条中线的交点， B. 三条角平分线的交点 C.三条高线的交点 D.三条边的垂直平分线的交点 A.两点之间线段最短 角都是直角 B.三角形的稳定性 C.两点确定一条直线 D.长方形的四个 B.13 或
A. 100° B. 80° C. 70° D. 50° 7. 若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是（） A.直角三角形 B.锐角三角形 C. 钝角三角形 D.无法确定 8. 已知在△DEF中，/ A=Z D=9C°，则下列条件中不能判定△DEF全等的是（） A. AB=DE AC=DF- B. AC=EF BC=DF - C. AB=DE BC=EF- D. / C=Z F , AC=DF 9. 若等腰三角形的顶角为80°,则它的一个底角度数为（） A. 20° B. 50° C. 80° D. 100° 10. 如图，点M是边长为4cm的正方形的边AB的中点，点P是正方形边上的动点，从点M出发沿着逆时针方向在正方形的边上以每秒1cm的速度运动，则当点P逆时针旋转一周时，随着运动时间的增加，△ DMP 面积达到5cm2的时刻的个数是（） D C A 冠B A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题 11. 在厶ABC中，已知/ A=30°，/ B=70°,则/ C的度数是______________ 12. 将一副三角板如图叠放，则图中/ a的度数为________ ?
2020中考数学压轴题100题精选 （附答案解析） 【001 】如图，已知抛物线2(1)y a x =-+（a ≠0）经过点 (2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结 BC ． （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．
【002】如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A 出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B 时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t 秒（t＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是； （2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S 与 t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C 成 为直角梯形？若能，求t （4）当DE经过点C 时，请直接 图16 【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
2018中考数学相似三角形 一．选择题（共28小题） 1．（2018?重庆）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（） A．360元B．720元C．1080元D．2160元 【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可． 【解答】解：3m×2m=6m2， ∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2， 将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍， 则面积扩大为原来的9倍， ∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2， ∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080m2， 故选：C． 2．（2018?玉林）两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（） A．：B．2：3 C．4：9 D．8：27 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【解答】解：∵两三角形的相似比是2：3， ∴其面积之比是4：9， 故选：C． 3．（2018?重庆）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（） A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm 【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得． 【解答】解：设另一个三角形的最长边长为xcm， 根据题意，得： =，
解得：x=4.5， 即另一个三角形的最长边长为4.5cm， 故选：C． 4．（2018?内江）已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为（） A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：9 【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方，求出即可． 【解答】解：已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3， 则△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9， 故选：D． 5．（2018?铜仁市）已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（） A．32 B．8 C．4 D．16 【分析】由△ABC∽△DEF，相似比为2，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可得△ABC与△DEF的面积比为4，又由△ABC的面积为16，即可求得△DEF的面积． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2， ∴△ABC与△DEF的面积比为4， ∵△ABC的面积为16， ∴△DEF的面积为：16×=4． 故选：C． 6．（2017?重庆）已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1 【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2， ∴△ABC与△DEF的面积比为1：4， 故选：A．
中考专题复习——相似三角形 一.选择题 1. (2021年山东省潍坊市)如图,Rt △ABAC 中,AB ⊥AC ,AB =3,AC =4,P 是BC 边上一点,作PE ⊥AB 于E,PD ⊥AC 于D ,设BP =x ,则PD+PE =( ) A. 35 x + B.45 x - C. 72 D. 212125 25 x x - A B C D E P 2。(2021年乐山市)如图(2)，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在 离网6米的位置上，则球拍击球的高度h 为( ) A 、 815 B 、 1 C 、 43 D 、85 3．(2008湖南常德市)如图3，已知等边三角形ABC 的边长为2，DE 是它的中位线，则下面四个结论: (1)DE=1，(2)AB 边上的高为3，(3)△CDE ∽△CAB ，(4)△CDE 的面积与△CAB 面积之比为1:4.其中正确的有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4.(2008山东济宁)如图，丁轩同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，当他走到点P 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部，当他向前再步行20m 到达Q 点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD 的底部，已知丁轩同学的身高是 1.5m ，两个路灯的高度都是9m ，则两路灯之间的距离是( )D A ．24m B ．25m C ．28m D ．30m B 图3
5.(2008 江西南昌)下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是( )B 6.(2008 重庆)若△ABC ∽△DEF ，△ABC 与△DEF 的相似比为2︰3，则S △ABC ︰S △DEF 为( ) A 、2∶3 B 、4∶9 C 、2∶3 D 、3∶2 7.(2008 湖南 长沙)在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大 树的影长为4.8米，则树的高度为( ) C A 、4.8米 B 、6.4米 C 、9.6米 D 、10米 8．(2008江苏南京)小刚身高1.7m ，测得他站立在阳关下的影子长为0.85m 。紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m ，那么小刚举起手臂超出头顶 ( ) A A.0.5m B.0.55m C.0.6m D.2.2m 9．(2008湖北黄石)如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与左图中ABC △相似的是( )B 10．(2008浙江金华)如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P 处放一水平的平面镜,光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么该古城墙的高度是( )B A 、6米 B 、8米 C 、18米 D 、24米 11、(2008湖北襄樊)如图1,已知AD 与VC 相交于点O,AB//CD,如果∠B=40°, ∠D=30°,则∠AOC 的大小为( )B A.60° B.70° C.80° D.120° 12.(2008湘潭市) 如图，已知D 、E 分别是ABC ?的AB 、 AC 边上的点，,DE BC //且 A ． B ． C ． D ． A B C A ． B ． C ． D ．
一、函数与几何综合的压轴题 1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交 于E ′点，如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵ DO EO DB AB ''=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 图① 图②
方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得0 2 x y =?? =-? ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上 （2）设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3） E （0，-2）三点，得方程组42632a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同（1）可得： 1E F E F AB DC ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ，∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? =1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2=1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2. （2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直
武汉中考数学---相似三角形考题汇总 本文选编了2007—2012武汉中考、四月调考中相似相关内容的考题，如需可编辑版本请与作者联系： 1.QQ 邮箱：957468321@https://www.doczj.com/doc/ef4036928.html, 2.百度站内私信：用户名 ronnie_rocket 2012 24．（本题满分10分）已知△ABC 中，6,54,52===BC AC AB ． （1）如图1，点M 为AB 的中点，在线段AC 上取点N ，使△AMN 与△ABC 相似，求线段 MN 的长； （2）如图2，是由100个边长为1的小正方形组成的10×10正方形网格，设顶点在这些小 正方形顶点的三角形为格点三角形． （2）如图2，在AD 边上截取DG ＝CF ，连接GE ，BD ，相交于点H ，求证：BD ⊥GE ． 图1 F E D C B A 图2 H A B C D E G F
图2 F C 图 3 2011 24.（本题满分10分）（1）如图1，在△ABC 中，点D 、E 、Q 分别在ABACBC 上，且DE//边长，AQ 交DE 于点P,求证： BQ DP =QC PE (2)如图，△ABC 中，∠BAC=90别交DE 于M,N 两点。①如图2，若 （四调）24.在等腰ABC Δ，AC AB =分别过点B 、C 作两腰的平行线，经过点A 的直线与两平行线分别交于点D 、E ，连接DC ，BE ，DC 与AB 边相交于点M ，BE 与AC 边相交于点N 。 (1)如图1，若CB DE //，写出图中所有与AM 相等的线段，并选取一条给出证明。 (2) 如图2，若DE 与CB 不平行，在(1)中与AM 相等的线段中找出一条仍然与AM 相等的线段，并给出证明。 2010 24. (本题满分10分) 已知：线段OA ⊥OB ，点C 为OB 中点，D 为线段OA 上
近年来中考数学压轴题大集合 【一】函数与几何综合的压轴题 1.〔2004安徽芜湖〕如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 假如有一抛物线通过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 假如AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，如今AD 与BC 相交于E ′点， 如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解]〔1〕 〔本小题介绍二种方法，供参考〕 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴,EO DO EO BO AB DB CD DB ' '''== 又∵DO ′+BO ′=DB ∴1EO EO AB DC ' ' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ' '=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 方法二：由D 〔1，0〕，A 〔-2，-6〕，得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B 〔-2，0〕，C 〔1，-3〕，得BC 直线方程：y =-x -2② 联立①②得 2 x y =?? =-? ∴E 点坐标〔0，-2〕，即E 点在y 轴上 〔2〕设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A 〔-2，-6〕，C 〔1，-3〕 E 〔0，-2〕三点，得方程组426 32a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 〔3〕〔本小题给出三种方法，供参考〕 由〔1〕当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同〔1〕可得：1E F E F AB DC ''+=得：E ′F =2 图①
一、中考数学压轴题 1．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝4cm ，BE ＝5cm ，点E 是AD 边上的一点，AE 、DE 分别长acm ．bcm ，满足(a －3)2＋|2a ＋b －9|＝0．动点P 从B 点出发，以2cm/s 的速度沿B→C→D 运动，最终到达点D ，设运动时间为t s ． （1）a ＝______cm ，b ＝______cm ； （2）t 为何值时，EP 把四边形BCDE 的周长平分？ （3）另有一点Q 从点E 出发，按照E→D→C 的路径运动，且速度为1cm/s ，若P 、Q 两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．求t 为何值时，△BPQ 的面积等于6cm 2． 2．在平面直角坐标系中，抛物线2 4y mx mx n =-+（m >0）与x 轴交于A ，B 两点，点B 在点A 的右侧，顶点为C ，抛物线与y 轴交于点D ，直线CA 交y 轴于E ，且 :3:4??=ABC BCE S S ． （1）求点A ，点B 的坐标； （2）将△BCO 绕点C 逆时针旋转一定角度后，点B 与点A 重合，点O 恰好落在y 轴上， ①求直线CE 的解析式； ②求抛物线的解析式． 3．如图1，抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点E 是BD 上方抛物线上的一点，连接AE 交DB 于点F ，若AF=2EF ，求出点E 的坐标． （3）如图3，点M 的坐标为（ 3 2 ，0），点P 是对称轴左侧抛物线上的一点，连接MP ，将MP 沿MD 折叠，若点P 恰好落在抛物线的对称轴CE 上，请求出点P 的横坐标．
第4章《相似三角形》中考题集： 4.2 相似三角形 选择题 1．（2006?北京）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=1，AB=，BC=2，P 是BC边上的一个动点（点P与点B不重合），DE⊥AP于点E．设AP=x，DE=y．在下列图象中，能正确反映y与x的函数关系的是（） A．B．C．D． 2．（2005?连云港）如果三角形的每条边都扩大为原来的5倍，那么三角形的每个角（） A．都扩大为原来的5倍B．都扩大为原来的10倍 C．都扩大为原来 的25倍 D．都与原来相等 3．（2010?烟台）如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（） A．A B2=BC?BD B．A B2=AC?BD C．A B?AD=BD?BC D．A B?AD=AD?C D 4．（2010?铜仁地区）如图，小明作出了边长为1的第1个正△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面积．然后分别取△A1B1C1三边的中点A2、B2、C2，作出了第2个正△A2B2C2，算出了正△A2B2C2的面积．用同样的方法，作出了第3个正△A3B3C3，算出了正△A3B3C3的面积…，由此可得，第10个正△A10B10C10的面积是（）
A．B．C．D． 5．（2010?桂林）如图，已知△ADE与△ABC的相似比为1：2，则△ADE与△ABC的面积比为（） A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1 6．（2010?百色）下列命题中，是假命题的是（） A．全等三角形的 对应边相等 B．两角和一边分 别对应相等的 两个三角形全 等 C．对应角相等的 两个三角形全 等 D．相似三角形的 面积比等于相 似比的平方 7．（2009?芜湖）下列命题中不成立的是（） A．矩形的对角线 相等 B．三边对应相等 的两个三角形 全等 C．两个相似三角 形面积的比等 于其相似比的 平方
一、函数与几何综合的压轴题 1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交于 E ′点，如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. ~ [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） ' 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵ DO EO DB AB ''=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 图① 图②
方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得0 2x y =??=-? 》 ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上 （2）设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3） E （0，-2）三点，得方程组426 32a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同（1）可得： 1E F E F AB DC ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ，∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? （ = 1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2=1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2. （2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直
一、中考数学压轴题 1．（1）如图1，A 是⊙O 上一动点，P 是⊙O 外一点，在图中作出PA 最小时的点A ． （2）如图2，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，以点C 为圆心的⊙C 的半径是3.6，Q 是⊙C 上一动点，在线段AB 上确定点P 的位置，使PQ 的长最小，并求出其最小值． （3）如图3，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9，以D 为圆心，3为半径作⊙D ，E 为⊙D 上一动点，连接AE ，以AE 为直角边作Rt △AEF ，∠EAF ＝90°，tan ∠AEF ＝ 1 3 ，试探究四边形ADCF 的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由． 2．如图，已知抛物线y ＝2ax bx c ++与x 轴交于A 3,0-（），B 33,0（）两点，与y 轴交于点C 0,3（）． （1）求抛物线的解析式及顶点M 坐标； （2）在抛物线的对称轴上找到点P ，使得PAC 的周长最小，并求出点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、C 重合）．过点 D 作D E //PC 交x 轴于点E ．设CD 的长为m ，问当m 取何值时， PDE ABMC 1 S S 9 =四边形． 3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线239 334 y x x = --x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点 C ． （1）过点C 的直线5 334 y x = -x 轴于点H ，若点P 是第四象限内抛物线上的一个动
点，且在对称轴的右侧，过点P 作//PQ y 轴交直线CH 于点Q ，作//PN x 轴交对称轴于点N ，以PQ PN 、为邻边作矩形PQMN ，当矩形PQMN 的周长最大时，在y 轴上有一动点K ，x 轴上有一动点T ，一动点G 从线段CP 的中点R 出发以每秒1个单位的速度沿R K T →→的路径运动到点T ，再沿线段TB 以每秒2个单位的速度运动到B 点处停止运动，求动点G 运动时间的最小值： （2）如图2， 将ABC ?绕点B 顺时针旋转至A BC ''?的位置， 点A C 、的对应点分别为A C ''、，且点C '恰好落在抛物线的对称轴上，连接AC '．点E 是y 轴上的一个动点，连 接AE C E '、， 将AC E ?'沿直线C E '翻折为A C E ?''， 是否存在点E ， 使得BAA ?'为等腰三角形?若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图1，正方形CEFG 绕正方形ABCD 的顶点C 旋转，连接AF ，点M 是AF 中点． （1）当点G 在BC 上时，如图2，连接BM 、MG ，求证：BM =MG ； （2）在旋转过程中，当点B 、G 、F 三点在同一直线上，若AB =5，CE =3，则MF = ； （3）在旋转过程中，当点G 在对角线AC 上时，连接DG 、MG ，请你画出图形，探究DG 、MG 的数量关系，并说明理由． 5．“阅读素养的培养是构建核心素养的重要基础，重庆十一中学校以‘大阅读’特色课程实施为突破口，着力提升学生的核心素养．”全校师生积极响应和配合，开展各种活动丰富其课余生活．在数学兴趣小组中，同学们从书上认识了很多有趣的数．其中有一个“和平数”引起了同学们的兴趣．描述如下：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x ，十位上和个位上的数字之和为y ，如果x y =，那么称这个四位数为“和平数”． 例如：1423，14x =+，23y =+，因为x y =，所以1423是“和平数”． （1）直接写出：最小的“和平数”是________，最大的“和平数”是__________； （2）求同时满足下列条件的所有“和平数”：