ABC关于L的对称图形△A′
在这个旋转过程中：
等都是旋转角．
的位置．
都是边长为1的正）这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得
的基本图案通过旋转而得到的．（2）?
、点G、点H．最后强调，这个旋转中心是固定的，即正方形对角线的交点，?但旋转
(1) (2) (3)
二、填空题．
．在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为________，这个定点称为________
(4) (5)
点为中心，把△ABC旋转90
2．A 45° 3．点A 60°等边为旋转中心，将△ABE逆时针旋转90
°形成的．上面的解题过程中，能否得出什么结论，请回答下面的问题：
′形状相同和大小相等，即全等．
的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要
的长度，由勾股定理
旋转而成的
．在作旋转图形中，各对应点与旋转中心的距离________．
ABC和△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE
．
，作两两不相交的扇形，?则图
的延长线上，?AG? CE 3．相等
．旋转角不变，改变旋转中心
画出以下图，四边形ABCD分别为O、O为中心，旋转角都为
因此，从以上的画图中，我们可以得到旋转中心不变，改变旋转角与旋转角不变，改变旋转中心会产生不同的效果，所以，我们可以经过旋转设计出美丽的图案．
，绕着一个点旋转120°后，能与原来的位置重合的是 B．（1），（3） C．（1），（2） D
二、填空题
．如图，五角星也可以看作是一个三角形绕中心点旋转_______
每次旋转的角度是________．
．图形之间的变换关系包括平移、_______、轴对称以及它们的组合变换．
A连一条曲线，将
°，把圆分成四部分，这四部分面积
．请你利用线段、三角形、菱形、正方形、圆作为“基本图案”绘制一幅以“校运动会”为主题的徽标．
ABP绕点A逆时针旋转后，
上课时间：
如图所示的两个图案绕
与△COD重合．
像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称
这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
如图，四边形ABCD绕D点旋转180°，请作出旋转后的图案，写
）这两个图形是中心对称图形吗？如果是对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由．
）如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心的对称点是哪些点．
根据中心对称的定义便直接可知这两个图形是中心对称图形，）旋转后的对应点，便是中心的对称点．
是对称中心且AD是△ABC的中线，所以
关于D的对应点即可．
AD=DA′，因为C点关于D
（B′）
′．
是等腰直角三角形，易得△BDC′也是等腰直角三角形且
1 B．
2 C．
3 D．4
．如图，把一张长方形ABCD的纸片，沿EF折叠后，ED′与
?点D、C分别落在D′、C′的位置上，若∠EFG=55°，则∠
B．125° C．70° D．110°
．关于某一点成中心对称的两个图形，对称点连线必通过
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，
．如图，是由两个半圆组成的图形，已知点B是AC的中点，?画出此
上课时间：
全等三角形辅助线 找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等； （3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种： 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．
3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的 思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是 全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相 等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 常见辅助线写法： ⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F ⑵过点A作BC的垂线，垂足为D ⑶延长AB至C，使BC＝AC ⑷在AB上截取AC，使AC＝DE ⑸作∠ABC的平分线，交AC于D ⑹取AB中点C，连接CD交EF于G点
2020-2021备战中考数学压轴题专题初中数学旋转的经典综合题附详细答案 一、旋转 1．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN． （1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形； 猜想与发现： （2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论． 结论1：DM、MN的数量关系是； 结论2：DM、MN的位置关系是； 拓展与探究： （3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析. 【解析】 试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出 MN∥AE，MN=AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直. 试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF 是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF， ∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN 是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM， AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，
初中数学翻转课堂教学实践 发表时间：2019-08-23T09:00:09.833Z 来源：《基础教育课程》2019年7月14期作者：向超[导读] 本文笔者通过总结自身数学教学经验，就初中数学翻转课堂教学实践发表了自己的看法，希望广大教育工作者提供参考和借鉴。向超（旺苍县七一中学四川旺苍 628200）摘要：近年来，随着新课程改革不断深入以及信息技术飞速发展，传统教学方法和教学模式已经无法满足教学目标的需求，为了进一步提高学生数学能力，培养学生的创新能力，有必要尝试在数学教学中运用翻转课堂.本文笔者通过总结自身数学教学经验，就初中数学翻转课堂教学实践发表了自己的看法，希望广大教育工作者提供参考和借鉴. 关键词：初中数学；翻转课堂；运用；优势；原则中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-6715（2019）07-248-01 新时期多种新颖的教学方法及理念被教学工作者总结，并在实践中逐步加以完善，旨在以此来提升教学的质量，促进学生更好的发展，翻转课堂作为其中一种在实践中展示出了强大的优势，通过翻转课堂的构建，学生的学习积极性明显提升，这对我国教育事业的发展极为有利。 一、翻转课堂应用的优势及原则在传统的教学中学生需时刻扮演着聆听者的角色，而教师则是课程的主体，在新课标的实施下，学生的课程主体地位亟需得到体现，翻转课堂可以打破教学的固定思维，将学生与教师的角色进行互换，让二者之间联系更加密切，并帮助学生逐步消除不良学习情绪，主动积极的参与课程讨论。翻转课堂最大的特点是信息化、趣味化，在具体的教学实践中应遵循其既定的原则。第一，精选素材，用心制作。翻转课堂其主要围绕电子素材开展，因此教学材料的制作质量关系到了课程开展的有效性，除了保障其制作材料的清晰度、审美性之外，教师可以结合学生较为感兴趣的素材进行趣味性的提升，帮助学生了解更多的知识信息。第二，积极引导，控制课后作业的度与量。在翻转课堂开展前与结束后，教师都应给学生留下一些学习任务，帮助学生掌握课程的重难点，让学生学会独立自主的进行问题的分析与知识点的总结。如在对称图形的讲解中，教师可以借助剪纸、标志等进行知识点的讲解，并鼓励学生去发现和观察生活中的对称图形及物品。第三，做好信息反馈，教学多元化。翻转课堂的核心应该是课程探讨，在具体的探讨过程中，教师可以结合多种教学方法来进行，给予每一位学生足够的思考及发言时间，通过对学生学习全过程的观察来进行有针对性的指导，消除学生的不良学习情绪。 二、翻转课堂教学模式在初中数学教学设计中的运用 1、教学设计环节的开展在开展翻转课堂教学之前，初中数学教师应当结合教学大纲的实际要求以及学生的数学学科基础确定合理的教学目标，对教学开展步骤进行合理设置。传统的初中数学教学大多利用书本教材对知识进行讲解与传授，教师在教学设计难以实现与学生的良性沟通，难以确保初中数学教学活动的合理性。因此，为了提高初中数学课堂的教学效率，加强同学生的交流与沟通，初中数学教师可以在课前为学生录制相应的指导视频，帮助学生了解具体章节教学中的重点与难点，从而有效地提升学生的自主学习效率。与此同时，教师在制作指导视频时应当尊重学生的个性与差异性，根据学生实际学习能力将学生划分为不同层次，并按照不同的层次录制不同的视频，从而保证不同层次的学生都可以在自主学习环节有效地掌握数学知识点。 2、自主学习环节的开展初中数学的自主学习主要包括课前预习以及课后复习两个部分，这个环节可以帮助初中生在翻转课堂教学模式下有效掌握数学知识点。在初中生自主学习环节，可以应用信息化教学工具辅助自身的预习、复习活动。例如，笔者在教学人教版初中数学的三角函数一课过程时，首先针对课程的重点与疑难点，设计相关网络在线视频，使学生在课前预习的过程中对正弦、余弦、正切、余切等知识点进行学习，并对四种函数图像以及函数关系进行总结。在制作视频过程中，初中数学教师应遵循视频多样性、简练性原则，利用言简意赅的教学视频吸引学生的注意力。对于学生而言，在自主学习过程中应密切结合社交媒体，当自学过程遇到疑难知识点时，可以第一时间使用社交媒体与同学进行探讨与交流，并对老师进行及时反馈。利用社交媒体不仅对疑难知识点进行答疑，而且可以有效地加强师生间的沟通与交流。 3、课堂互动环节的开展在初中数学课堂教学过程中应用翻转课堂教学模式，可以对学生在自主学习环节反馈的疑难点进行讲解与归纳，也可以将疑难知识点设置为练习内容，鼓励学生在课堂上进行分组讨论。通过引导学生通过小组讨论的形式解决问题，不仅可以有效地提高课堂的答疑解惑效率，而且可以有效地培养学生的团队协作能力以及自主思考能力，增强课堂教学的互动性。数学属于理论性较强的学科，在课堂教学过程中需要讨论以及消化的问题有很多，可以利用翻转课堂的教学特点，将学生课余时间的学习活动延伸至课堂教学过程中，从而刺激学生的发散思维。 4、成果考核环节的开展初中数学教师在对学生的学习成果进行考核时，应深入考虑学生数学水平的差异性，根据学生的实际数学能力进行客观合理的评价，在评价过程中可以通过适当的鼓励激发学生的学习热情。与此同时，对学生数学学习成果的考核应该立足于整个学习阶段，拓宽传统的课堂学习成果评价思路，可以由传统的师生评价转向学生自评，还可以利用互联网进行学生间的虚拟互评 5、翻转课堂应用中的注意事项虽然我国当前教育信息化的建设已经初显成效，但是依然有部分地区的教学环境、经济水平无法达到翻转课堂的应用要求，想要大面积的推广及应用依然存在些许难度。受长期的教学思维影响，翻转课堂的开展需要从学生的学习习惯、惯性思维等角度着手，循序渐进，不可一蹴而就，翻转课堂的开展需结合其他教学方法开展，给予学生一定的适应时间。总之，在初中数学教学中采用翻转课堂教学模式是新时期教学改革的重点。随着信息技术在初中数学课堂的普及，翻转课堂模式的建立已经具备了一定的物质条件。因此，数学教师在教学中应该与时俱进，积极转变教学理念，通过学习、交流，不断掌握教学视频录制的技巧，总结翻转课堂的教学经验，重新构建课堂上的师生关系，以不断提高教学效率。参考文献
图形的旋转 1.如图,如果把钟表的指针瞧做三角形OAB,它绕O 点按顺时针方向旋转得到△OEF,在这个旋转过程中: (1)旋转中心就是什么？旋转角就是什么？ (2)经过旋转,点A、B分别移动到什么位置？ 2.(学生活动)如图,四边形ABCD、四边形EFGH都就是边长为1的正方形. (1)这个图案可以瞧做就是哪个“基本图案”通过旋转得到的？ (2)请画出旋转中心与旋转角 (3)指出,经过旋转,点A、B、C、D分别移到什么位置？ 3.如图,△ABC绕C点旋转后,顶点A的对应点为点D,试确定顶点B?对应点的位置,以及旋转后的三角形. ,△ABF就是△ 4.如图,四边形ABCD就是边长为1的正方形,且DE=1 4 ADE的旋转图形. (1)旋转中心就是哪一点？ (2)旋转了多少度？ (3)AF的长度就是多少 (4)如果连结EF,那么△AEF就是怎样的三角形？
5.如图,K就是正方形ABCD内一点,以AK为一边作正方形AKLM,使L、M?在AK的同旁,连接BK与DM,试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系. 参考答案 1、解:(1)旋转中心就是O,∠AOE、∠BOF等都就是旋转角. (2)经过旋转,点A与点B分别移动到点E与点F的位置. 2、 (1)可以瞧做就是由正方形ABCD的基本图案通过旋转而得到 的.(2)?画图略.(3)点A、点B、点C、点D移到的位置就是点E、 点F、点G、点H. (3)旋转前、后的图形全等. 3、分析:绕C点旋转,A点的对应点就是D点,那么旋转角就就是∠ACD,根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角,即∠BCB′=ACD,?又由对应点到旋转中心的距离相等,即CB=CB′,就可确定B′的位置,如图所示. 解:(1)连结CD (2)以CB为一边作∠BCE,使得∠BCE=∠ACD (3)在射线CE上截取CB′=CB 则B′即为所求的B的对应点. (4)连结DB′ 则△DB′C就就是△ABC绕C点旋转后的图形.
三角形旋转 三角形旋转问题考察旋转变换，三角形全等，三角形相似，三角形面积，线段长度的最值，综合性非常强。 （2011浙江宁波3分）如图，⊙O1 的半径为１，正方形ABCD的边长为6， 点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，O1O2 =8．若将⊙O1 绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边 只有一个公共点的情况一共出现 (A)3次(B)5次(C)6次(D)7次 【答案】B。 【考点】直线与圆的位置关系，正方形的性质 【分析】∵⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形 ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点， 设O1O2交圆O1于M，∴PM=8－3－1=4。∴圆O1与以P为圆心，以4 为半径的圆相外切。 ∴在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共 出现5次。 故选B。 问题：证明边相等 思路：三角形全等 问题：求周长最值 思路：和存在性问题结合。列出周长函数解析式，配方法求出最值 (2012四川省南充市，21，8分) 在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B.
（1）求证：MA=MB; （2）连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值.若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由. 解析：（1）连接OM.证明⊿AMO ≌⊿AMO即可.（2）在Rt⊿AOB中，运用勾股定理得到求AB长的式子，转化成二次函数的问题，运用二次函数的最值求解. 答案：（1）证明：连接OM. ∵⊿PQR是等腰之间三角形且M是斜边PQ的中点， ∴MO=MQ，∠MOA=∠MOAMQB=450. ∵∠AMO+∠OMB=900，∠OMB+∠AMO =900. ∴∠AMO =∠AMO. ∴⊿AMO ≌⊿AMO. ∴MA=MB. （2）解：由（1）中⊿AMO ≌⊿AMO得AO=BQ. 设AO=x，则OB=4-x. 在Rt⊿OAB中， 22222 +(4-)=2(-2)+8 AB OA OB x x x =+= . ∴当x=2时，AB的最小值为22， ∴⊿AOB的周长的最小值为22+4. 点评：本题以直角三角形为基本图形，综合考查了全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、勾股定理和二次函数的性质等知识点.考查了学生综合运用数学知识以及转化的数学思想解决问题的能力.对于几何知识与二次函数的综合，是学生解题的难点之一.难度较大
一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图1，在□ABCD中，AB=6，∠B= (60°<≤90°). 点E在BC上，连接AE，把△ABE沿AE折叠，使点B与AD上的点F重合，连接EF. (1)求证：四边形ABEF是菱形； (2)如图2，点M是BC上的动点，连接AM，把线段AM绕点M顺时针旋转得到线段MN，连接FN，求FN的最小值(用含的代数式表示). 【答案】（1）详见解析；（2）FE·sin(－90°) 【解析】 【分析】 (1)由四边形ABCD是平行四边形得AF∥BE，所以∠FAE=∠BEA，由折叠的性质得 ∠BAE=∠FAE，∠BEA=∠FEA,所以∠BAE=∠FEA，故有AB∥FE，因此四边形ABEF是平行四边形，又BE=EF,因此可得结论； (2)根据点M在线段BE上和EC上两种情况证明∠ENG＝90°－，利用菱形的性质得到∠FEN＝－90°，再根据垂线段最短，求出FN的最小值即可. 【详解】 （1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠FAE=∠BEA， 由折叠的性质得∠BAE=∠FAE，∠BEA=∠FEA, BE=EF， ∴∠BAE=∠FEA， ∴AB∥FE， ∴四边形ABEF是平行四边形， 又BE=EF， ∴四边形ABEF是菱形； （2）①如图1，当点M在线段BE上时，在射线MC上取点G，使MG＝AB，连接GN、EN.
∵∠AMN＝∠B＝，∠AMN+∠2＝∠1+∠B ∴∠1＝∠2 又AM＝NM，AB＝MG ∴△ABM≌△MGN ∴∠B＝∠3，NG＝BM ∵MG＝AB＝BE ∴EG＝AB＝NG ∴∠4=∠ENG= (180°－)＝90°－ 又在菱形ABEF中，AB∥EF ∴∠FEC＝∠B= ∴∠FEN＝∠FEC－∠4=－ (90°－)＝－90° ②如图2，当点M在线段EC上时，在BC延长线上截取MG＝AB，连接GN、EN. 同理可得：∠FEN＝∠FEC－∠4=－ (90°－)＝－90° 综上所述，∠FEN＝－90° ∴当点M在BC上运动时，点N在射线EH上运动(如图3) 当FN⊥EH时，FN最小，其最小值为FE·sin(－90°) 【点睛】 本题考查了菱形的判定与性质以及求最短距离的问题，解题的关键是分类讨论得出∠FEN ＝－90°，再运用垂线段最短求出FN的最小值. 2．在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(4，4)，点M，N是射线OC上两动点(OM＜
翻转课堂教学在初中数学的运用 发表时间：2016-08-10T10:34:13.710Z 来源：《素质教育》2016年6月总第209期作者：赖永春 [导读] 当前运用到初中数学教学中的翻转课堂模式就是在互联网信息技术的基础上，以理论加实践为重点的创新型教学。 福建省晋江市陶英中学362200 摘要：随着中国教育的在不断发展，初中数学课程都异常重视信息技术和数学课程的有机结合。而当今互联网信息的发展也让数学教学焕然一新，同时也为新课改提出了新的理念，但核心仍是“以人为本”，所有的初中数学教学活动仍是为了服务学生。当前运用到初中数学教学中的翻转课堂模式就是在互联网信息技术的基础上，以理论加实践为重点的创新型教学。本文主要就翻转课堂的教育方式在初中数学教学中的运用进行简单分析。 关键词：翻转课堂初中数学作用 翻转课堂教学模式是在互联网信息化技术快速发展的大环境下诞生的一种新型教学模式，有效地结合了传统教学优势，并充分运用互联网教学的广阔平台，对教学模式进行了全面创新，注重锻炼学生的自主学习能力以及合作交流能力。本文从转变教学角色、丰富教学方式、完善评价体系等方面对翻转课堂在初中数学教学中的具体运用进行了探讨分析，希望能有所裨益。 一、当前初中数学教学中的问题 1.初中数学新课改的现状及问题。新课改虽已开展了一段时间的，但是，初中数学教师的教学方法还是受到了传统教学的影响，在课堂教学活动中仍存在教师讲解过多，填鸭式讲授方式，这让学生的主体性无法得到应有的发挥，教师和学生间、生生间没有交流，让学生对数学学习失去兴趣。 2.教学无法满足不同的学生。因为学生存在各个层次，如智力、心理特点、基础知识等，而这些差异生让教师在教学活动中无法满足各个层次不同的学生，所以在课堂教学上只会出现成绩更好、学困生更差的情况。教师在统一的教学中，根本无法找到每个学生的特点，有针对性地进行教学活动。 3.教学方法陈旧。当前的初中数学课堂教学仍然是以教材内容为主，初中教师在数学课上仍占着重要的地位，数学教学方法陈旧、封闭，稍开放的教学可能会在课堂上组织一些考查活动，但这种活动也是以“一问一答、一问多答”的方式为主，并不是全部学生都参与到活动中，小组学习、合作学习等教学活动比例更少。 4.未能重视能力的培养。在初中数学教学当中，多数教师只重结果，不注重能力的培养，他们认为教师的责任就是要传授知识，其任务就是对课本内容整理、细化，让学生可以在最短的时间里接受知识。但是，在这样的教学方法下，忽视了对学生数学能力的培养，且教学方法单一，课堂气氛沉闷，长此以往，制约了学生数学学习能力的提升与发展。 二、翻转课堂教学模式的含义与具体特点 1.翻转课堂教学中模式的含义。翻转课堂教学模式就是利用现代型技术将课堂所教内容录制下来，初中学生可以在不同的地点与时间进行学习，同时学生可以重复观看视频中的知识点的一种新型教学方式。 2.翻转课堂教学模式的具体特点。翻转课堂教学模式的特点有以下几个方面： （1）教学过程的重新建立。翻转课堂教学模式颠覆了传统的教学模式，不再是教师上课讲课、学生下课写作业的模式了，它使得教学流程重新建立，使得教学流程灵活多变，教育者可以采用适合于自身教学课堂的教学流程。（2）教学资源的充分利用。在翻转课堂教学模式下，教育者可以充分地运用教学资源，可以给学生补充额外的知识点。（3）教育者与学生观念的转变。学生从被动地学习转变为主动学习，提高学生的学习兴趣。 三、翻转课堂教学模式的运用 1.知识的传授。（1）明显目标。明确课程的教学目标是翻转课堂教学设计的重要任务，需要明确教学目标类型，同时要确定学生在不同阶段可达到的目标。（2）创设教学视频。视频内容要包括所要学习的概念、相应的知识重点、需要明确的注意事项等。同时要注意的是，视频要从学生的知识出发，时间一般要控制在十分钟左右。 2.自主学习。（1）学生在教师的引领下对视频的内容进行学习、记忆，并根据自己的需求进行多次回放、暂停，随时做笔记并完善课前的练习。（2）提出问题。通过观看视频进行自学，学生对相应的数学概念进行初步的理解，同时通过完成相应的练习来检测学习的效果。在课下，学生通过一学、一练的方式来掌握最基本的数学知识，同时发现自己存在的问题，并且在网络交流平台上与其他同学一起进行交流、学习，同时把自己的疑问放到平台上来寻找帮助。 3.课上知识的内化。（1）教师根据视频的知识内容及学生观看教学视频和提出的问题，总结有探究价值的问题。（2）在探索性问题的基础上构建个性化的学习环境，让学生在这样的环境下自己思考，教师通过一对一的教学模式，帮助学生理解教学内容中遇到的问题。（3）学生以小组的形式进行讨论，组内可通过对话、讨论等方式来对问题进行探究。 4.综合评价。（1）展示成果。经过自主学习和合作学习后，个人或小组通过多种方式展示学习活动中收集的问题或解决问题的方法及过程进行展示。（2）反馈式评价。教师通过学生作业的完成情况、独立学习及其小组合作学习过程中的表现对学习效果进行综合式的评价。这和传统的评价方式是完全不同的，注重学习过程的评价，形成“定量＋定性”的评价，了解各项学习活动的实施效果。 综上所述，对数学教师信息素养的培养是非常重要的，同时翻转课堂教学方式要求学生要有着良好的信息、学习能力，只有这样才能更好地运用教学视频来进行学习，并在学习中找到自己的问题所在。
图形的旋转（第1课时）教学设计 （九年级上册第二十三章23.1） 一、内容和内容解析 1．内容 旋转的概念和性质. 2．内容解析 旋转是一种图形变换，也是初中学段继平移和轴对称之后学习的第三种全等变换，它是研究中心对称的知识基础，也是探究旋转对称类图形（如圆）的必要准备. 本课是本章的起始课，重点探究旋转的概念和性质，是本章知识的核心，也是后续研究中心对称和坐标应用的关键. 旋转的概念突出了三要素，即旋转中心、旋转方向和旋转角，这三个要素是确保旋转的唯一性的必要条件，也是表述一个旋转过程的必要因素. 通过观察大量旋转的实例逐步抽象得出旋转的概念，这一过程是将对旋转的认识逐步理性化的过程，也是感受如何定义一种图形变换的过程. 旋转的性质是研究在图形变化前提下图形要素间的不变性，是研究图形变换的价值之所在. 正是因为图形在位置变化的过程中保持了形状和大小的不变，并因各自不同的变化而产生出要素间新的确定的关系，我们才能以此为基础去作图、证明或解决其他问题. 同为图形变换，旋转的性质与平移和轴对称的性质有相似之处，但这种相似更体现在性质的探究过程. 图形整体的变换过程是复杂的，可以先从研究图形上的特殊点（直线型的特殊点一般是其顶点）的变换过程出发，由点到形、由特殊到一般的去研究整体，并了解类似问题的基本研究套路. 基于以上分析，确定本节课的教学重点是：旋转的性质.
二、目标和目标解析 1．目标 （1）通过观察具体实例认识旋转； （2）探索并掌握旋转的性质. 2．目标解析 达成目标（1）的标志是：能通过观察具体的旋转实例抽象出旋转三要素，会判断图形的变化是否为旋转，能指出图形旋转中的三要素，会利用三要素描述旋转. 达成目标（2）的标志是：经历作图、猜想、验证的探究过程，得到并理解旋转的性质，会利用旋转的性质发现旋转中的不变关系，会利用旋转的性质作一个图形经过旋转后的图形. 三、教学问题诊断分析 学生在小学初步认识了旋转，但仅限于图形的识别，没涉及几何要素间的定量分析. 学生也学习了平移、轴对称两种图形变换，具备研究图形变换的基本经验，知道只改变位置的图形变换是全等变换. 在平移和轴对称变换中，变换的途径更直观，对应量的关系更清楚，与之相比，旋转具有更强的抽象性. 学生在探究性质的过程中，或是应用性质的过程中，都会遇到不能发现旋转的途径，找不到对应量，不会确定旋转中心等问题. 针对学生可能遇到的问题，在本课的教学中应注意两点：一是通过大量的旋转实例展示，让学生通过不断地观察熟悉旋转，认识图形在不同的旋转中的相对位置，积累认知和判别经验；二是在实例的观察中，引导学生发现图形上的点的变换与图形的变换具有一致性，从而通过对点的研究发现形的性质.
三角形旋转与极值问题 1.如图所示，AM=3，BM=2，连AB，以AB为边长作等边三角形ABC，连MC，求MC的最大值。 解析：将三角形AMC绕点A顺时针旋转60°，M’、M、B共线MC=M’B最大值为5
2.如图所示:AM=3,BM=5,连AB，以AB为边长作正方形ABCD，连DM，求DM的最大值。 解析：将△AMD绕点A顺时针旋转90°，F、M、B共线MD=FB最大为8 3.如图，正方形ABCD的边长为4，点E为正方形外的一个动点，∠AED=45°，P为AB中点，线段PE的最小值是________,最大值是____________. 解析：将△DEC绕点D顺时针旋转90°，可证∠AEC=90°，E、P、O共线PE=OE-OP，最小 值为22-2，P、O、E共线PE=OE+OP，最大值为22+2
4.如图：正方形ABCD的边长是1，点P是边BC上任意一点（可以与B或C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线段BB′、CC′、DD′， ①写出BB′、CC′、DD′的数量关系等式：并证明你的结论 ②BB′+CC′+DD′的最大值是（） ③BB′+CC′+DD′的最小值是（） 解析：（1）如图△ADD’≌△BCN，DD’=BN=BB’+CC’ （2）P与B重合，BB′+CC′+DD′=2AD，最大值是2 （3）P与C重合，BB′+CC′+DD′=BD，最小值是2 5..在直角平面坐标系中，C（0,4），A在第三象限，B在第四象限，ΔOAB是等腰 直角三角形，AB=8，求SΔCAB最大值。（有两种方法，） 解析：AB长一定，当CM=OM+OC时，S△CAB最大为32.故需将△AOB旋转到C、O、M共线。
旋转证明 一． 利用旋转添加辅助线 例1. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的动点，且始终0 45=∠EAF .过点A 做 AP ⊥EF.（1）求证：EF=DE+BF.(2)求证：AP=AD. （3）若△EFC 周长为a ，求正方形的面积. 变式1：如图，点M 、N 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，已知AB=a ，△MCN 的周长为2a ， 求证：∠MAN=45° 1.如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC,AB ⊥BC,AD=2,BC=3,将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90到ED ，连结AE 、CE,则△ADE 的面积是 。 2.如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的动点，且始终满足AF 平分BAE ∠， 探究：BF 、DE 与AE 的关系. 5.如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF=45°，则有结论EF=BE+FD 成立。 （1）如图2，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B=∠D=90°，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF 是∠ BAD 的一半，那么结论EF=BE+FD 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。 （2）若将（1）中的条件改为：在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠D=180°，延长BC 到点E ，延长CD 到点F ，使得∠EAF 仍然是∠BAD 的一半，则结论EF=BE+FD 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立。请写出它们之间的数量关系，并证明。 A B C D E F A B D C E F A D M B C N A E D
备战中考数学初中数学旋转-经典压轴题附详细答案 一、旋转 1．阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形．小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小胖发现若∠BAC＝ ∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，则BD＝CE． (1)在图1中证明小胖的发现； 借助小胖同学总结规律，构造“手拉手”图形来解答下面的问题： (2)如图2，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，求证：AD+CD＝BD； (3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝m°，点E为△ABC外一点，点D为BC中点，∠EBC＝∠ACF，ED⊥FD，求∠EAF的度数（用含有m的式子表示）． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠EAF =1 2 m°. 【解析】 分析：（1）如图1中，欲证明BD=EC，只要证明△DAB≌△EAC即可； （2）如图2中，延长DC到E，使得DB=DE．首先证明△BDE是等边三角形，再证明 △ABD≌△CBE即可解决问题； （3）如图3中，将AE绕点E逆时针旋转m°得到AG，连接CG、EG、EF、FG，延长ED到 M，使得DM=DE，连接FM、CM．想办法证明△AFE≌△AFG，可得∠EAF=∠FAG=1 2 m°. 详（1）证明：如图1中， ∵∠BAC=∠DAE， ∴∠DAB=∠EAC， 在△DAB和△EAC中，
AD AE DAB EAC AB AC ?? ∠∠??? ＝＝＝， ∴△DAB ≌△EAC ， ∴BD=EC ． （2）证明：如图2中，延长DC 到E ，使得DB=DE ． ∵DB=DE ，∠BDC=60°， ∴△BDE 是等边三角形， ∴∠BD=BE ，∠DBE=∠ABC=60°， ∴∠ABD=∠CBE ， ∵AB=BC ， ∴△ABD ≌△CBE ， ∴AD=EC ， ∴BD=DE=DC+CE=DC+AD ． ∴AD+CD=BD ． （3）如图3中，将AE 绕点E 逆时针旋转m°得到AG ，连接CG 、EG 、EF 、FG ，延长ED 到M ，使得DM=DE ，连接FM 、CM ． 由（1）可知△EAB ≌△GAC ， ∴∠1=∠2，BE=CG ， ∵BD=DC ，∠BDE=∠CDM ，DE=DM ， ∴△EDB ≌△MDC ， ∴EM=CM=CG ，∠EBC=∠MCD ，
图形的旋转 1．如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O 点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中：（1）旋转中心是什么旋转角是什么 （2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置 2．（学生活动）如图，四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正方形． （1）这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的 （2）请画出旋转中心和旋转角 （3）指出，经过旋转，点A、B、C、D分别移到什么位置 3．如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B?对应点的位置，以及旋转后的三角形． ，△ABF是△ADE 4．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE=1 4 的旋转图形． （1）旋转中心是哪一点 （2）旋转了多少度 （3）AF的长度是多少 （4）如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形
5．如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L、M?在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系． 参考答案 1. 解：（1）旋转中心是O，∠AOE、∠BOF等都是旋转角． （2）经过旋转，点A和点B分别移动到点E和点F的位置． 2. （1）可以看做是由正方形ABCD的基本图案通过旋转而得到的．（2） ?画图略．（3）点A、点B、点C、点D移到的位置是点E、点F、 点G、点H． （3）旋转前、后的图形全等． 3. 分析：绕C点旋转，A点的对应点是D点，那么旋转角就是∠ACD，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠BCB′=ACD，?又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB=CB′，就可确定B′的位置，如图所示． 解：（1）连结CD （2）以CB为一边作∠BCE，使得∠BCE=∠ACD （3）在射线CE上截取CB′=CB 则B′即为所求的B的对应点． （4）连结DB′ 则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形．
典型例题： 已知:AC 是正方形ABCD 的对角线，∠EMF 的顶点在线段AC 上运动，∠EMF 绕点M 旋转，角的两边与CD 、BC 交于点F 、E.(点F 不与C 、D 重合）. (1)当∠EMF=90°时，试探究ME 与MF 的数量关系并说明理由.探究CE 、CM 、CF 之间的数量关系，并说明理由. 变式1： (2)当点M 在直线AC 上运动，∠EMF 绕点M 旋转，当角的两边交CD 、CB 的延长线于点F 、E,其余条件不变，结论是否成立？ 探究CE 、CM 、CF 之间的数量关系，并说明理由.. A A A 变式3： (4)当点M 在直线AC 上，当∠FME=∠ABC,其他条件不变，结论是否成立？并说明理由. 旋转法构造全等 学习目标： 题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形. 活动一： 变式2： (3)将正方形ABCD 改为∠ABC=120°的菱形，当∠FME=120°结论是否成立？并说明理由.
分层练习： （A 层） 1. 把含15°角的三角板ABC ，绕点B 逆时针旋转90°到三角板DBE 位置（如图所示），则sin ∠ADE=_______。 （第1题） （第2题） （第3题） 2. 点p 是等边△ABC 内一点，若PA=13，PB=5，PC=12，∠BPA=_________. 3. 如图所示，把正方形ABCD 绕点A,按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与 BC 交于点 H.(1)线段HG 与线段HB 相等吗？证明你的猜想.(2)若旋转角为30，HG 的长. （B 层） 1.如图，若把△ABC 绕点A 旋转一定角度得到△ADE ，那么对应边AB=___,BC=___,对应角∠CAB=____,∠B=____. （第1题） （第2题） （第3题） 2.已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 上，将△DCE 绕点D 按顺时针方向旋转，与△DAF 重合，那么旋转角等于____度. 3. 在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，如果将该三角形绕点A 按顺时针方向旋转到△ A ’ B ’ C ’的位置，点B ’恰好落在边BC 的中点处，则旋转角_____度.
专题二旋转 学习要点与方法点拨： 出题位置：选择、填空最后一道题和倒数第二道题，压轴题最后两道 “旋转”在苏教版中是一个独立章节，在中考和平时的考试张经常出现，结合三角形，四边形等基本图形考察学生对旋转的应用。同时，旋转对解决动点问题有极大的帮助。 一、基本图形一： 将∠AOB旋转至∠A’OB’，图①、②分别可以得到结论？ ①② 旋转点会有一组对角相等（考题规律，如果已知条件为较小的角度相等，则题目一定需要较大的角相等；如果条件给出较大的角相等，则一定需要较小的角相等） 二、基本图形二： 将△AOB旋转至△A’OB’，连接AA’与BB’，分别在图①、②中证明△OAA’与△OBB’相似。 旋转后连接得到的两个三角形相似。 因为旋转的两个三角形全等，连接后出现等腰三角形，顶角相等；则底角亦相等；或根据夹角成比例证明相似。 三、解题步骤 （1）第一步：找旋转点，角相等； （2）第二步：证全等、相似； （3）第三步：利用全等、相似得到边、角条件。 模块精讲 例1.在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．（1）当点C1在线段CA的延长线上时，如图1，求∠CC1A1的度数； （2）如图2，△ABC绕点B按逆时针方向旋转，连接AA1，CC1，若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积； （3）点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．
例 2.已知△ABC是等边三角形. （1）将△ABC绕点A逆时针旋转角（0°＜＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O. ①如图a，当 =20°时，△ABD与△ACE是否全等？（填“是”或“否”）， ∠BOE= 度； ②当△ABC旋转到如图b所在位置时，求∠BOE的度数； （2）如图c，在AB和AC上分别截取点B′和C′，使AB=AB′,AC=AC′,连接B′C′，将△AB′C′绕点A逆时针旋转角（0°＜＜180°），得到△ADE. BD和EC所在直线相交于点O，请利用图c探索∠BOE的度数，直接写出结果，不必说明理由. 例3.（一）如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°． ①当点D在AC上时,如图(1),线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?直接写出你猜想的结论； ②将图(1)中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°）,如图（2）,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?请说明理由． （二）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时,使线段BD、CE在（1）中的位置关系仍然成立?不必说明理由． 甲：AB：AC=AD：AE=1,∠BAC=∠DAE≠90°； 乙：AB：AC=AD：AE≠1,∠BAC=∠DAE=90°； 丙：AB：AC=AD：AE≠1,∠BAC=∠DAE≠90°． 例4.【2016·扬州】已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与 边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF。设CE=a，CF=b。 （1）如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；
翻转课堂在初中数学教学中的应用 发表时间：2019-11-11T16:46:08.490Z 来源：《素质教育》2020年1月总第331期作者：何越 [导读] 导致初中数学教学过程中出现了不少问题，这些问题的存在阻碍了数学教学改革的进程，滞缓了新课程改革向前推进的步伐。重庆市潼南实验中学校402660 摘要：翻转式课堂是近年来教师们运用最为广泛的教学模式之一，其基本流程是教师先提出问题，与学生一起进行讨论反思，从而来完成教学。那么，要想将翻转式课堂教学运用到初中数学教学中，教师就要设计出具体实施步骤，并且要注重培养学生的创新性和独立思考的能力，让学生主动参与课堂，在课堂上积极发言，提升学生的学习效率。 关键词：翻转课堂初中数学教学效率 初中数学一直以来都是初中教学中重要的一环，在新课程改革推进的过程中，教师的教学模式和教学手段发生了极大的变化，这些变化很大程度上影响着学生在课堂上的学习。由于初中数学教学的改革发展得太快，导致初中数学教学过程中出现了不少问题，这些问题的存在阻碍了数学教学改革的进程，滞缓了新课程改革向前推进的步伐。 一、翻转课堂教学的概述 翻转课堂是指转换传统的授课和听课方式，把学生作为课堂的中心，发挥学生的主体作用。学生长期受到传统教育模式的影响，学习习惯是接受教师所传授的知识而不是靠自己的独立思考，在翻转课堂教学的实施过程中教师很难短时间改变学生的这种学习观念。很多学生并不能合理地运用课后时间进行自主学习，严重的情况有学生甚至将这些自由自配的时间作为玩乐时间，使得实际翻转课堂的教学效果与理想的教学效果相反。教师所教授的课堂内容都是围绕着学生展开的，同时以多媒体、视频等工具为辅助教学手段，启发学生思维和创造力，在很大程度上增加了课堂互动，提高了学生的课堂参与度和学习兴趣，有利于学生自主学习能力的提高，旨在为社会培养一大批创新人才，满足当代社会发展的需要。 二、翻转课堂教学模式在初中数学教学中的具体应用 1.明确数学教学目标。教师在上课之前首先应该明确这节课的教学目标，即哪些知识是学生需要完全掌握的、哪些知识是学生需要理解的，以及哪些知识只需要大概了解就好，不需要过多地讲述。在上课之前，数学教师只有明确这些问题，才能有目的地设计教学内容，侧重点不同，教学内容也不相同。教师还应该明白哪些知识点是学生容易理解和掌握的，而哪些知识点偏复杂或抽象，学生不太容易理解。提前了解这些问题，教师就可以提前选择适合的教学方式来讲解每一个知识点，同时可以合理规划好每个知识点所需要的时间。这样更能充分利用好课堂时间，把握好课堂的每分每秒，同时能够使学生更容易接受所学知识，有利于提高课堂教学效果和教学质量。 2.转变学生角色，体现学生主体地位。教师应该作为学生的引导者和合作者，给学生提供指导和建议，让学生自主探索学习。教师应该清楚每一位学生的“最近发展区”，即每个学生的基础和能力不同，对知识的掌握程度也不同，应该清楚每位学生目前掌握的程度以及在多大程度上可以提升，做到因材施教。 3.做好因材施教。翻转课堂的好处就是可以让学生根据自己的个性化特点进行学习，从而让因材施教得到很好的实施。因材施教对于初中阶段的学生来说有着非常重要的意义，初中阶段的学生个性化特点尤为明显，这正是给未来社会培养各种不同人才的基础。教师需要充分地培养学生的个性化特点，让学生的个性化特点都得到良好的发展，摒弃传统教学模式中的统一性教学，照顾到每个学生的特点，让学生可以根据自己对知识掌握的程度来把控视频播放的进度。学生还可以根据自己的实际情况来选择适合自己的学习视频，如果在课后存在问题的话还可以通过交流工具与教师进行交流，从而充分地解决学生存在的疑惑。教师在教学的过程中不能单纯提高学生的数学知识水平，还需要注重学生的思维拓展和综合能力的培养。初中阶段的学生思维尤为活跃，教师可以抓住翻转课堂教学模式的优点，充分地因材施教，让学生的数学思维能力得到提高，实现因材施教给学生带来的综合能力的提高，从而实现初中数学翻转课堂教学的真正意义。 4.在复习指导教学中应用微课堂。初中数学教师需要充分重视学生学习效率的提升以及自主学习能力的培养，要想实现这个目的，就需要在指导学生复习时提前为学生录制微课小视频，把学生需要复习的内容有效整合起来，让学生紧密结合自身的复习需求有针对性地观看，给予学生充足的复习自由，鼓励学生通过微课小视频自主学习和练习，要求学生把自己在复习过程中的问题详细记录下来。如果这些问题能与其他同学交流解决，就当下解决；如果不能，就把这些问题交给数学课代表，由数学课代表统一交给老师。教师呢？必须认真分析学生的这些问题，把这些问题有效整理和归类，最后在数学课堂上帮助学生就问题进行梳理，及时帮助他们解决，真正提高学生的复习效率。 综上所述，初中数学翻转课堂教学是基于新课改产生的一种非常重要的教学模式，它有着传统灌输式教学模式不可比拟的优势，能让学生学会学习，激发学生的自主学习意识，真正提升初中数学教学的有效性，为社会培养出更多的创新型人才。因此，初中数学教师就需要在教学实践中不断探索，切实发挥微课堂在初中数学翻转课堂教学中的作用。 参考文献 [1]黄尤田微课堂在初中数学翻转课堂教学中的应用[J].中国校外教育（中旬刊），2017，（1）。 [2]邱琼微课应用于初中数学——翻转课堂教学模式的几点体会[J].福建中学数学，2016，（3）。 [3]范长征微课在初中数学翻转课堂教学中的应用体会[J].赤子（上中旬），2016，（22）。