高三数学试题
文 科
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合A ={1,3,5,7,9},B ={0,3,6,9,12},则A ∩?N B = ( )
A.{1,5,7}
B.{3,5,7}
C.{1,3,9}
D.{1,2,3} 2、已知a ,b 是实数,则“a >0且b >0”是“a +b >0且ab >0”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件 3.下列四个函数中,在区间(0,1)上是减函数的是( )
A .2log y x =
B . 1y x =
C .1()2
x
y =- D .1
3y x =
4.已知α∈(π2,π),sin α=35,则tan(α+π
4
)等于 ( )
A. 7
B. 17
C.-1
7
D.-7
5.函数f (x )=x 3+ax 2+3x -9,已知f (x )在x =-3时取得极值,则a = ( )
A .2
B .3
C .4
D .5
6.要得到y =sin(2x -π
3)的图象,只要将y =sin2x 的图象 ( )
A.向左平移π3个单位
B.向右平移π3个单位
C. 向右平移π6个单位
D. 向左平移π
6个单位
7.一张正方形的纸片,剪去两个一样的小矩形得到一个“E ”形图案,如图所示,设小矩形的长、宽分别为x 、y ,剪去部分的面积为20,若2≤x ≤10,记y =f (x ),则y =f (x )的图象是
( )
8.给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集,R 为实数集,C 为复数集): ( )
①“若a ,b ∈R ,则a -b =0?a =b ”类比推出“若a ,b ∈C ,则a -b =0?a =b ”; ②“若a ,b ,c ,d ∈R ,则复数a +b i =c +d i ?a =c ,b =d ”类比推出“若a ,b ,c ,d ∈Q ,则a +b 2=c +d 2?a =c ,b =d ”;
③“若a ,b ∈R ,则a -b >0?a >b ”类比推出“若a ,b ∈C ,则a -b >0?a >b ”. 其中类比得到的结论正确的个数是
A .0
B .1
C .2
D .3
9 .下图给出4个幂函数的图像,则图像与函数的大致对应是( )
A.1
1
2
132y x y
x y x y x -=
==
=①,②,③,④ B.1
32
12y x y x y x y
x -====①,②,③,④
C.1
2
3
1
2y x y x y x y
x -===
=①,②,③,④ D.1
1
2132y x y
x y
x y x -=
=
==①,②,③,④
10.设函数122log ,0()()()log (),0
x x f x f m f m x x >??
=<-??-
B .,11,-∞-+∞ ()()
C .(1,0)(1,)-+∞
D .,10,1-∞- ()()
11.设奇函数)(x f 在),0(+∞上是增函数,且0)1(=f ,则不等式0)]()([<--x f x f x 的解集为 ( )
A .}1,01|{><<-x x x 或
B .}10,1|{<<- C .}1,1|{>- D .}10,01|{<<<<-x x x 或 12. 若1 ()1(1) f x f x += +,当[0x ∈,1]时,()f x x =,若在区间(1-,1]内 ()()g x f x mx m =--有两个零点,则实数m 的取值范围是( ) A .[0,1)2 B .1[2,)+∞ C .[0,1)3 D .(0,1 ]2 第Ⅱ卷(非选择题 共90分) 题号 二 三 总分 17 18 19 20 21 22 得分 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.请将答案填写在题后横线上. 13.曲线31y x x =++在点()1,3处的切线方程是 。 14.若函数f (x )=3cos(ωx +θ) 对任意的x 都有f (π6+x )=f (π6-x ),则f (π 6 )等于 . .15. 若0 0x y x y y a -≤?? +≥??≤? ,若2z x y =+的最大值为3,则a 的值是____________. 16、 在下列四个结论中,正确的有 (填序号). ①若A 是B 的必要不充分条件,则非B 也是非A 的必要不充分条件 ②“ ”是“一元二次不等式ax 2 +bx +c ≥0的解集为R ”的 充要条件 ③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件 ④“x ≠0”是“x +|x |>0”的必要不充分条件 三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知函数()f x 在定义域()0,+∞上为增函数,且满足 )()()(y f x f xy f +=, 1)3(=f . (Ⅰ) 求()()9,27f f 的值; (Ⅱ) 解不等式()()82f x f x +-< 2 0,40 a b ac >??=-?△≤ 18.(本小题满分12分) 如图,点A ,B 是单位圆上的两点,A ,B 点分别在第一、二象限,点C 是圆与x 轴正半轴的交点,△AOB 是正三角形,若点A 的坐标为(35,4 5 ),记∠COA =α. (1)求1+sin2α1+cos2α的值; (2)求|BC |2的值. 19.(本小题满分12分) 已知函数f (x )=ax +1 x 2(x ≠0,常数a ∈R). (1)讨论函数f (x )的奇偶性,并说明理由; (2)若函数f (x )在x ∈[3,+∞)上为增函数,求a 的取值范围. 20.(本小题满分12分) 已知向量 a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),|b a -|=255 . (Ⅰ)求cos (α-β)的值; (Ⅱ)若0<α< 2π,-2 π<β<0,且sin β=-5 13,求sin α的值. 21.(本小题满分12分) 在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36台,每批都购入x 台(x 是正整数),且每批均需付运费4元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购入4台,则该月需用去运费和保管费共52元,现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费. (1)求该月需用去的运费和保管费的总费用();f x (2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由. 22. (本小题满分14分) 已知函数32()2f x x ax x =+++. (Ⅰ)若1a =-,令函数()2()g x x f x =-,求函数()g x 在(1,2)-上的极大值、极小值; (Ⅱ)若函数()f x 在1 (,)3 -+∞上恒为单调递增函数,求实数a 的取值范围. 高三数学参考答案 一、选择题 1、A 2、C 3、B 4、B 5、D 6、C 7、A 8、C 9、B 10、C 11、D 12、D 二、填空题 13.014=--y x 14、±3 15、1 16、①②④ 三、解答题 17、解:(1)()()()()()()9332,27933f f f f f f =+==+= ……4分 (2)()()()()889f x f x f x x f +-=-??? ………………8 分 而函数f(x)是定义在()0,+∞上为增函数 08089(8)9x x x x x >??∴->?< ?- ……………10分 即原不等式的解集为(8,9) ……12分 18.解:(1)∵A 的坐标为(35,4 5),根据三角函数的定义可知, sin α=45,cos α=3 5, …………2分 ∴ 1+sin2α1+cos2α =1+2sin αcos α2cos 2α=49 18. ………… 6分 (2)∵△AOB 为正三角形,∴∠AOB =60°. ∴cos ∠COB =cos(α+60°)=cos αcos60°-sin αsin60° =35×12-45×32=3-43 10, …………9分 ∴|BC |2=|OC |2+|OB |2-2|OC |·|OB |cos ∠COB =1+1-2×3-4310=7+435. …………12分 19、解:(1)定义域(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 当a =0时,f (x )=1 x 2,满足对定义域上任意x , f (-x )=f (x ),∴a =0时,f (x )是偶函数;…………2分 当a ≠0时,f (1)=a +1,f (-1)=1-a , 若f (x )为偶函数,则a +1=1-a ,a =0矛盾; 若f (x )为奇函数, 则1-a =-(a +1),1=-1矛盾, ∴当a ≠0时,f (x )是非奇非偶函数.……………………………………6分 (2)方法一 :任取x 1>x 2≥3, f (x 1)-f (x 2)=ax 1+1x 21-ax 2-1 x 22 =a (x 1-x 2)+x 22-x 21 x 21x 22 =(x 1-x 2)(a -x 1+x 2 x 21x 22 ). ∵x 1-x 2>0,f (x )在[3,+∞)上为增函数, ∴a >x 1+x 2x 21x 22,即a >1x 1x 22+1 x 21x 2在[3,+∞)上恒成立. ∵ 1x 1x 22+1x 21x 2<227,∴a ≥2 27 . ………………………………………12分 方法二:用导数求解,简解如下: / 32()f x a x =- ,由题意得/ 32()0f x a x =-≥在[3,+∞)上恒成立,即3 2a x ≥在[3,+∞)上恒成立,令32()g x x =,而3 2()g x x =在[3,+∞)单调递减, 所以,max 2 ()27 g x =,所以2 27 a ≥ 。(请酌情得分) 20. 解:(Ⅰ) ()()cos sin cos sin a b ααββ== ,,,, ()cos cos sin sin a b αβαβ∴-=-- ,. ---------------------------------------1分 25 5a b -= , ()() 22 25 cos cos sin sin 5 αβαβ∴ -+-= .---------------------------------2分 即 ()4 22cos 5 αβ--= . ---------------------------------------------------4分 ()3 cos 5 αβ∴-=. ------------------------------------------------------------------5分 (Ⅱ)∵0,02 2 π π αβ<< - <<, ∴ 0.αβπ<-<---------------------6分 ∵ ()3cos 5αβ-= ,∴ ()4 sin .5 αβ-= ----------------------------------8分 ∵ 5sin 13β=- ,∴ 12 cos .13 β= -----------------------------------------------------9分 ∴ ()()()sin sin sin cos cos sin ααββαββαββ=-+=-+-???? 4123533 51351365 ??=?+?-= ???.-----------------------------------------------------------12分 21、 22. 解:(Ⅰ)3232()2(2)2g x x x x x x x x =--++=-++-,所以2()321g x x x '=-++ 由()0g x '=得13 x =-或1x =………………………………………2分 x 1(1,)3-- 13- 1(,1)3 - 1 (1,2) ()g x ' - 0 + - ()g x 5927 - 1- 所以函数()g x 在13x =-处取得极小值59 27 - ;在1x =处取得极大值1-………………6分 (Ⅱ) 因为2 ()321f x x ax '=++的对称轴为3 a x =- (1)若133a - ≥-即1a ≤时,要使函数()f x 在1 (,)3 -+∞上恒为单调递增函数,则有24120a ?=-≤,解得:33a -≤≤,所以31a -≤≤;………………………10分 (2)若133a - <-即1a >时,要使函数()f x 在1 (,)3 -+∞上恒为单调递增函数,则有2111 ()3()2()10333 f a -=?-+?-+≥,解得:2a ≤,所以12a <≤;…………13分 综上,实数a 的取值范围为32a -≤≤………………………………………14分 2012年第一次月考试题 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分) 1. (2010·银川一中第三次月考)已知M ={x |x 2>4},21,1N x x ? ? =≥??-?? 则C R M∩N = ( ) A .{x |1<x ≤2} B .{x |-2≤x ≤1} C .{x |-2≤x <1} D .{x |x <2} 2. (2010··重庆四月模拟试卷) 函数1 lg(2) y x = -的定义域是 ( ) A. ()12, B. []14, C. [)12, D. (]12, 3. (理)(2010·全国卷I )记cos(80)k ? -=,那么tan100?= ( ) A.k B. k - D. (文)(2010··全国卷I )cos300? = ( ) A 12- C 12 D 4(理)(2010·宣武一模)若{}n a 为等差数列,n S 是其前n 项和,且1122π 3 S =,则6tan a 的值为( ) A B .C . D . 4.(文)(2010·茂名二模)在等差数列{}n a 中,已知1241,10,39,n a a a a =+==则n = ( ) A .19 B .20 C .21 D .22 5. (2010·太原五中5月月考)在等比数列}{n a 中,前n 项和为n S ,若63,763==S S 则公比q 等于( ) A .-2 B .2 C .-3 D .3 6. (2010·曲靖一中冲刺卷数学)函数f(x)是以2为周期的偶函数,且当x ∈(0,1)时,f(x)= x +1,则函数f(x)在(1,2)上的解析式为 ( ) A .f(x)= 3-x B .f(x)= x -3 C .f(x)= 1-x D .f(x)= x +1 2016届高三文科数学模拟试卷(一) 第I 卷 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合{} 1A x x =≤,集合B Z =,则A B =( ) A.{}0 B.{}11A x x =-≤≤ C.{}1,0,1- D.? 1.解:集合{} {}111A x x x x =≤=-≤≤,所以{}1,0,1A B =-,选C. 2.设i 是虚数单位,复数111i z i -=+ +在复平面上所表示的点为( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.解:复数12 1111i z i i i -=+ ==-++.所对应的点为(1,1)-,在第四象限,选D. 3.已知向量(,2)a m =-,(4,2)b m =-,条件p ://a b ,条件q :2m =,则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.解:因为2//2802a b m m ?-+=?=±,所以p 是q 的必要不充分条件,选B. 4.函数1()cos23sin cos 2 f x x x x =+的一个对称中心是( ) A.(,0)3π B.(,0)6 π C.(,0)6 π - D.(,0)12 π - 4.解:函数113()cos23sin cos cos2sin 2sin(2)2226 f x x x x x x x π =+=+=+的对称中心的横 坐标满足2,6 x k k Z π π+ =∈,即,212k x k Z ππ= -∈,所以(,0)12 π -是它的一个对称中心, 选D. 高三数学第一次月考试卷(集合、函数) 班级: 学号: 姓名: . 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1、如果C 、R 和I 分别表示复数集、实数集和纯虚数集,其中C 是全集。则有( ) A. C=R ∪I B. R ∩I={0} C. R ∩I=φ D. CcR=C ∩I 2、已知{1,3,5,7,9}I A B == ,{3,7}A B = ,{9}A B = ,则A B = ( ) A 、{1,3,7} B 、{1,5} C 、{3,7,9} D 、{3,7} 3、满足{a ,b }UM={a ,b ,c ,d }的所有集合M 的个数是( ) A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 4、若命题P :x ∈A B ,则 P 是( ) A. x ?A B B. x ?A 或x ?B C. x ?A 且x ?B D. x ∈A B 5、用反证法证明:“若m ∈Z 且m 为奇数,则()1122 m m --± 均为奇数”,其假设正确的( ) A. 都是偶数 B. 都不是奇数 C. 不都是奇数 D. 都不是偶数 6、命题P:若 a.b ∈R ,则a b +>1是a b +>1的充分而不必要条件:命题q: 函数 y = (][),13,-∞-+∞ .则 ( ) A.“ p 或q ”为假 B. “p 且q ”为真 C. p 真q 假 D. p 假q 真 7、 已知01a <<,则方程|| |log |x a a x =的实根个数是( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、1个或2个或3个 8、已知0log 2log 2a b <<,则a ,b 的关系是 ( ) 9、 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x <时,1()()3 x f x =,那么1 (9)f --的 值为( ) A 、2 B 、-2 C 、3 D 、-3 10、设0.3log 4a =,4log 3b =,2 0.3c -=,则a ,b ,c 的大小关系是( ) 高三数学第一次月考试题(文科) 一、选择题(四个选项中只选一项,每小题5分,共60分) 1. 设集合V={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,5},则A ?(CuB )= ( ) A. {2} B. {2,3} C. {3} D.{1,3} 2. 已知P 是r 的充分不必要条件,S 是r 的必要条件,q 是s 的必要条件,那么p 是q 成立的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 与曲线11 -=x y 关于位点对称的曲线为 ( ) A.x y +=11 B. x y +-=11 C. x y -=11 D. x y --=11 4. 若x x x f 1 )(-=则方程x x f =)4(的根是 ( ) A. 21 B. 2 1- C. 2 D. 2- 5. 等差数列{n a }中,24321-=++a a a ,78201918=++a a a ,则此数列前20项和等于 ( ) A. 160 B. 180 C. 200 D. 220 6. 若不等式2+ax <6的解集为(-1,2),则实数a 等于 ( ) A. 8 B. 2 C. -4 D.-8 7. 函数y=sin ))(6 ( )3 (R X x COS x ∈++-π π 的最小值等于 ( ) A. 5- B. 3- C. 2- D. 1- 8. 函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 5本不同的书,全部分给4名学生,每名学生至少1本不同分法的种数为 ( ) A. 480 B. 240 C. 120 D. 96 10. 椭圆14 22 =+y x 的两个焦点为F 1,F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为P 则||2PF = ( ) A. 2 3 B.3 C. 2 7 D.4 11. 已知点A(1,2)、B (3,1)则线段AB 的垂直平分线的方程是 ( ) A. 524=+y x B. 524=-y x C. 52=+y x D. 52=-y x 12. 四面体ABCD 四个面的重心分别为E 、F 、G 、H ,则四面体EFGH 的表面积与四面体ABCD 的表面积的比值是 ( ) A. 27 1 B. 16 1 C. 9 1 D. 8 1 二、填空题(每小题4分,共16分) 13. )1()2(210-+x x 的展开式中x 的系数为__________。(用数字作答) 14. 设x 、y 满足约束条件,?????≥≤≤+o y x y y x 1则y x z +=2的最大值是__________。 15. 某公司生产三种型号的轿车,产量分别为1200辆,6000辆和2000辆,为检验该公司的产品质量,现用分层抽样 高三月考文科数学试卷 一、选择题 1.设全集为R ,集合2 {|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤,则=?B C A R () A .(3,0)-B .(3,1]--C .(3,1)--D .(3,3)- 2.设i 为虚数单位,复数3(),()(1) a z a a i a R a =-+ ∈-为纯虚数,则a 的值为() A .-1 B .1 C .1± D .0 3.若R d c b a ∈,,,,则” “c b d a +=+是“a ,b ,c ,d 依次成等差数列”的() A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 4.函数]2 ,0[,1cos 4cos 32 π ∈+-=x x x y 的最小值为() A .31- B .0 C .3 1 D .1 5.设x x x f sin cos )(-=把)(x f y =的图象按向量)0,(?=a (?>0)平移后,恰好得到函数y =f '(x )的图象,则?的值可以为() A.2π B.43π C.π D.2 3π 6.8sin 128cos 22-++=() A .4sin 2 B .4sin 2- C .4cos 2 D .-4 cos 2 7.若函数322 ++=ax ax y 的值域为[)+∞,0,则a 的取值范围是() A .()+∞,3 B .[)+∞,3 C .(][)+∞?∞-,30, D .()[)+∞?∞-,30, 8.能够把椭圆C :)(x f 称为椭圆C 的“亲和函数” ) A .23)(x x x f += B 5()15x f x n x -=+C .x x x f cos sin )(+=D .x x e e x f -+=)( 9.已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示,则该 几何体的体积为() A.233C. 4323 10.设123,,e e e →→→ 为单位向量,且31212 e e k e → → →=+,) (0>k , 若以向量12,e e →→ 为两边的三角形的面积为 1 2 ,则k 的值为( ) A 2 B 35 D 7 11.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2cos 2 A -B 2cos B -sin(A -B )sin B +cos(A +C )=-3 5 ,a =42,b =5,则向量BA →在BC → 方向上的投影为() A .22 B .22- C .53 D .5 3 - 12.设函数3()(33),(2)x x f x e x x ae x x =-+--≥-,若不等式()f x ≤0有解.则实数a 的最小值为() A .21e - B .22e - C .2 12e +D .11e - 二、填空题 13.设D 为ABC ?所在平面内一点,,,3→ →→→→+==AC n AB m AD CD BC 则m n -= . 14.设),(20πα∈,若,54)6cos( =+πα则=+)122sin(π α . 15.函数x x y cos 3sin 4--=的最大值为 . 16.设函数)0(,2)22 ()(23>-++=x x x m x x f ,若对于任意的[1,2]t ∈,函数)(x f 在区间(,3)t 上总不是 单调函数,则m 的取值范围是为 . 三、解答题: 17.(10分)已知幂函数2 422 )1()(+--=m m x m x f 在),0(+∞上单调递增,函数.2)(k x g x -=(1)求m 的 值;(2)当]2,1[∈x 时,记)(),(x g x f 的值域分别为B A ,,若A B A =?,求实数k 的取值范围. 18.(12分)已知)cos ),2cos(2(x x π + =,))2 sin(2,(cos π +=x x ,高三数学第一次月考试题
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