当前位置：文档之家› 直线的倾斜角与斜率

直线的倾斜角与斜率

浅谈“直线的倾斜角和斜率”的教学设计

南昌大学附属中学吕小娟

在新课标理念下，要求“以教师为主导，以学生为主体”的教学模式，倡导教师进行探究式教学，充分发挥学生的主观能动性.在教学中，教师设计问题情境，引导学生提出问题----分析问题----探究问题---解决问题，那么本文通过“直线的倾斜角和斜率”的教学设计来体现新课标理念.

本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》（北京师范大学出版社编著）必修2第二章第一节《直线与直线方程》的第一课时，是解析几何学习的开端，担负着开启全章的重任，因此在本课时的教学中不但要落实显性知识，更重要的是要揭示隐性知识：研究解析几何的基本方法——坐标法.

直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础.通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法.本课有着开启全章，奠定基调，渗透方法的作用.

一、设计思想

本课时涉及到两个概念——倾斜角和斜率，它们都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度.二者联系的桥梁是正切函数值，进一步可以用直线上两点的坐标表示直线的斜率.倾斜角是一个桥梁，利用它可以将两直线的位置关系问题转化为斜率问题.而在建立直线方程，研究直线的几何性质时斜率起着重要的作用.因此，坐标法和斜率是本课时的核心概念.据此确定本课时的教学重难点点是：

1.使学生经历几何问题代数化的过程，并初步了解解析几何研究问题的基本思想方法，体会坐标法.

2.理解斜率的定义，掌握过两点的直线的斜率分式.

那么教学中怎样来实现这两个教学目标呢？

首先利用直角坐标系中不同直线的图形，让学生直观感知确定直线的两个主要几何要素：一个点和一个方向，并以此为基础引出解析几何解决问题的基本方法——坐标法；其次利用代数方法刻画直线的方向，从而定义直线的倾斜角和斜率；最后推导过两点的直线斜率的计算公式．

探索确定直线的几何要素主要意图在于突出解析几何的几何直观性，让学生在充分把握几何特征的基础上学习如何利用代数方法刻画几何问题．

直线的倾斜角的描述借助多媒体技术，形成一种图形并茂、声像同步.人机交互的教学环境，让学生能形象生动体会倾斜角的定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角.当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为零，这样，直线倾斜角α的范围是0°≤α＜180°.结合多媒体高效率的教学模式，使学生对抽象的定义清晰形象化，能很快掌握下来，通过这种教学示范培养学生的创新意识.

对直线斜率的处理，新课标所采用的方法与传统的处理方法不同.在这里我们用直线l上两点的垂直增量与水平增量的比来定义斜率，当水平增量为一个单位长时，垂直增量（有方向的量）就是这条直线的斜率.这是新课标的一个特点，而这种定义的方式蕴涵了导数、微分的思想.在今后学习三角函数中单位圆上的三角函数线时，学生还可以知道这种定义方式实际上与直线倾斜角的正切线是一致的.而传统的处理方法是借助日常生活中表示倾斜面的“坡度”引出直线斜率的概念的,在具体教学中，我将两种方法一起拿来理解，比较，加深对斜率概念的理解.直线的斜率是内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用.因此，正确理解斜率概念，熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键.

二、教学目标

1．结合具体图形探索确定直线的几何要素.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 体会在直有坐标系下，以坐标轴为“参照系”，用统一的标准刻画几何元素的思想方法.

2．经历结合具体图形探索确何问题代数化的过程，了解解析法的基本步骤，感受解析几何的思想方法.

3．初步了解解析几何解决问题的基本方法，体会“数形结合”的思想通过解析几何发展史的简单介绍，渗透数学文化教育.

三、教学问题诊断分析

1.在初中的平面几何中，学生已经知道“两点确定一条直线”，如何使学生在这一知识的基础上，顺利、地过渡到直角坐标系下用一个点和倾斜角确定一条直线，是比较困难的.事实上，已知直线的倾斜角就相当于已知直线的方向，在平面几何中是没有参照系的，因此已知“两个点可以确定直线的方向”这与引入坐标系后“一个点和直线的方向确定一条直线”是一致的.在

数学中应注意引导学生认识到这种联系.

2.函数是以图助数，利用图形使代数问题直观化，解析几何则是以数助形，用坐标法研究几何问题.它们都体现了数形结合思想，但角度不同.学生知道一次函数的图象是一条直线，这里研究的是直线的方程，学生容易将二者混淆，误认为方程就是一次函数。因此在教学时要注意澄清二者不同.

3．对斜率概念的理解是本节的难点，学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向，而且每一条直线的倾斜角是唯一确定的，而斜率却不这样，另外，为什么要用倾斜角的正切表示斜率对学生来说也有一定困难，教学中通过日常生活的例子，充分利用学生已有的知识（坡度概念），引导学生把这个同样用来刻画倾斜程度的量与倾斜角联系起来.

四、教学过程设计

（一）开篇语

引导性语言：在初中，不与坐标轴平行的直线可以用一次函数来表示，开口向上或向下的抛物线可以用二次函数来表示，这样就把对图形的研究转化为对函数的研究，这里沟通数形关系的桥梁是坐标系.这种以坐标系为桥梁，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法，叫坐标法.用坐标法研究几何的学科称为解析几何，它是17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立的.解析几何的创立是数学发展史上的一个重要的里程碑，数学从此由常量数学进入变量数学时期。解析几何由此成为近代数学的基础之一.

本章我们研究的是直线与方程，这是我们在初中就熟悉的知识，当时是在函数的观点下进行，是借助于“形”研究“数”的问题，从今天开始要转化一个角度，利用坐标系，借助于“数”研究“形”的问题，也就是用“坐标法”进行研究。本课时我们将研究最基础的知识——直线的倾斜角和斜率，并在其学习过程中体会和感受解析几何研究问题的基本方法和思想.那么如何用代数的方法表示平面中其它简单图形？如与x平行或垂直的直线，开口向右或左的抛物线，圆等等.

设计意图：通过对已有知识及思想方法的回忆，寻找新的知识“生长点”，引导学生用“坐标法”的思想“数”来思考新的问题.

（二）课题引言

通过生活中学生很熟悉的例子：让学生看课件展示：南昌八一大桥的斜拉锁桥，中过石拱桥，跷跷板引入课题.让学生思考如果把跷跷板抽象成一条直线，那么跷跷板的运动过程中就形成了一系列的直线，那么这些直线有什么共同点呢？

设计意图：数学来源于生活，从实际问题提炼数学知识，让学生了解数学无处不在.

（三）探究新知

1．形成倾斜角的定义

问题1：请你在平面直角坐标系中画出两条直线，说出他们的不同这处.

预设的答案：图（1）中的两条直线者经地点P ，但“倾斜程度”不同.

图（2）中的两条直线“倾斜程度”相同，但没有公共点.

设计意图：明确思维方向,探索确定直线位置的几何要素.

师生活动：引导学生发现：两点确定一条直线，过一点不能确定一条直线.

问题2：如图2，在直角坐标系中，过点P 的不同直线的区别在哪里？

预设的答案：图（1）中的两条直线者经地点P ，但“倾斜程度”不同.

设计意图：引导学生发现过定点的不同直线，其倾斜程度不同.从而发现直线上一点和直线的倾斜程度也能确定一条直线.

问题3：直线的倾斜程度是以什么为参照的？

设计意图:教师引导形成统一的认识：以x 轴或y 轴为基准都可以，习惯上以x 轴为基准. 问题4：在平面直角坐标系中，如何确定一条直线的位置？

预设的答案：（1）两点确定一条直线；（2）一点及直线相对于x 轴的“倾斜程度”. 师生活动：对前面发现进行总结.

问题5：两直线相交可以形成4个角，你愿意选择哪个角来描述直线的倾斜程度呢？设计意图：教师引导形成统一的认识，自然而然引入倾斜角概念.

问题3：根据定义，倾斜角α的取值范围是什么呢？

设计意图：注意倾斜角的取值范围0° ≤α＜180°.

问题6：任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？你认为确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是什么？

x x (1)

(2)

设计意图：使学生理解确定一条直线位置的几何要素是：直线上的一个点以及它的倾斜角，两者缺一不可.

2.形成斜率的定义

引导性语言：刚刚我们已经给出了确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素，那么如何用代数的语言描述上述几何要素呢？

设计意图：告知目标，明确思维的方向，将几何要素代数化.

问题7：在日常生活中，我们有没有碰到过表示倾斜程度的量？

设计意图：基于学生的客观现实，结合已有的生活经验寻找几何要素代数化的方法.

师生活动：引导学生在生活中举例，比如，山坡，楼梯等，教师适时再一次给出新课引入时的动画.

跷跷板南昌八一大桥问题7：通过观察课件，让学生发现在倾斜角不变的情况下，升高量与前进量都在变化，找出之间的关系？

问题8：从上面的讨论，我们发现，如果使用“倾斜角”的概念，“坡度”实际就是“倾斜角的正切值”，由此你认为还可以用怎样的量来刻画直线的倾斜程度？

设计意图：探索描述直线的倾斜程度的代数表示，由此引出斜率概念.

问题9：是否每条直线都有斜率？倾斜角不同，斜率是否相同？由此可以得到怎样结论？

设计意图：沟通数形关系，加深概念理解.明确可以用斜率表示直线的倾斜程度.

问题10：除了用坡度还可以从哪方面理解斜率？

设计意图：这里我们用直线l上两点的垂直增量与水平增量的比来定义斜率，当水平增量为一个单位长时，垂直增量（有方向的量）就是这条直线的斜率.为引入直线斜率的计算公式作铺垫.

问题11：（1）完成下面的表格1,并分析直线的倾斜角不同时，直线的斜率取什是否也不同，在此基础上总结斜率的意义.

（2）根据三角函数的相关知识，思考当倾斜角在（0°,180°）内变化时，斜率k如何变化？并填写表2.

表

设计意图：初步体验斜率与倾斜程度的关系，并用函数的观点分析倾斜角与斜率的变化关系.

活动方式：学生独立完成，并交流认识斜率的意义，及倾斜角与斜率的关系.

预设的结论：倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角α不是90°的直线者有斜率；倾斜角不同，直线的斜率也不同。斜率大于0的直线的倾斜角为锐角，并且斜率越大倾斜角越大；斜率小于0的直线的倾斜角为钝角，并且斜率越小倾斜角越大.因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度.

3．斜率公式

问题12：已知直线将过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），试用点P1、P2的坐标表示直线的斜率k?

设计意图：将斜率坐标化，让学生初步体会坐标法思想.

学生活动：学生在刚才所画的直线上标记上述条件，由于不同学生的标记方法不同，将他们标记的情况收集整理，得到所有的情况之后再分类讨论，分组合作，分别求解.通过这样的活动使得学生对要解决的问题有一个全面的认识，同时认识到分类讨论和合作学习的必要

性.

思路分析：根据斜率的定义解决问题，因此首先要构造直角三角形.

解决过程：（略）。

交流完善：辅助问题：

1.各种一般情形得出的结论一致吗？与P 1、P 2、这两点坐标顺序有关系吗？为什么？

2.当直线垂直于x 轴或y 轴时，上述结论还适用吗?

形成结论：

斜率公式：经过两点P 1（x 1，y 1），P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式是：K=

212x x y y --. 4.初步应用，巩固双基

根据知识点设计1-2个例题，如：

例如下图，已知A (3，2),B (-4，1),C （0，-1）,求直线AB ，BC ，CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.

设计意图：直接利用斜率定义式求解，熟悉斜率公式，并体验斜率与倾斜角之间的关系. 变式.设直线的斜率为k ，倾斜角为α，若-1

A ．（-,） B. C.（0，）∪（，）D.

设计意图：根据斜率的定义式，结合图象，熟悉倾斜角和斜率的关系。

5.课堂小结

1．在本节课中，你学到了哪些新的概念？他们之间有什么关系？怎样求出已知两点的直线的斜率？

从倾斜角（形）能刻画直线的倾斜程度，到斜率（数）也能刻画直线的倾斜程度.

2.这个过程中主要体现了什么数学思想？

设计意图：培养学生反思的习惯，鼓励学生对研究的问题进行质疑和概括。

师生活动：让学生归纳出刻画直线倾斜程度的两种方法：倾斜角（形）和斜率（数）。利用确定直线的两种方法，归纳出求斜率的两个计算公式。在倾斜角和斜率相互转化的过程中体现了数形结合的数学思想。强调“坐标法”是解决解析几何问题的基本方法。

五、反思小结，提高认识

计算机辅助教学与发现法相结合,即在多媒体课件支持下，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构.

新课程倡导学生自主学习，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程．本节课采用让学生动手实践、自主探究、合作交流及教师启发引导的教学方法，按照“创设情境——学生活动——意义建构——数学理论——数学应用——回顾反思——巩固提高”的程序设计教学过程，并以多媒体手段辅助教学，使学生经历实践、观察、猜想、论证、交流、反思等理性思维的基本过程，切实改进学生的学习方式，使学生真正成为学习的主人．这堂课经历了用代数方法刻画斜率的过程，感受了数形结合与全面认识基础之上的分类讨论的数学思想.

直线的倾斜角与斜率(教学设计)

2014年全国中职学校“创新杯”教师信息化教学设计和说课大赛 8.2.1 直线的倾斜角与斜率教学设计方案 2014年11月

《8.2.1 直线的倾斜角与斜率》教学设计方案【授课对象】计算机网络专业二年级学生【教材】《数学》（基础模块）下册（主编：李广全李尚志高等教育出版社出版）【教学内容】直线的方程——直线的倾斜角与斜率【授课类型】课堂教学【授课时间】1课时【教材分析】直线的倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是以坐标化（解析化）的方式来研究直线的相关性质的重要基础。直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要的作用。因此，正确理解直线斜率的概念，熟练掌握直线的斜率公式是学好这一章的关键。【学情分析】教学对象是计算机网络专业二年级的学生。他们思维活跃，勇于挑战，且具有一定的网络知识，但数学基础相对薄弱。在教学中，我力求将数学与专业相结合，充分利用《几何画板》等信息化手段去帮助学生理解、掌握本节课内容。【教学目标】根据中职数学新大纲的要求，结合学生的实际情况，确立了如下的教学目标：（一）知识目标 1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念。 2. 掌握直线的斜率公式及应用。（二）能力目标通过经历从具体实例抽象出数学概念的过程，培养学生观察、分析和概括的能力。（三）情感目标通过合作探索，互相交流，增强团队意识，培养协作能力。【教学重难点】重点：直线的倾斜角和斜率的概念，直线斜率公式及其应用；难点：斜率公式的推导。

突破难点的关键：充分利用数形结合，并引导学生分类讨论问题。【教学策略】 1．教学方法：问题探究法课前下发导学提纲，学生预习提出问题，课上通过任务展示、问题交流、小组竞赛的形式引导学生自主学习。 2．学习方法：小组合作、自主探究按照强弱搭配的原则将学生分为5个小组，通过讨论交流共同完成学习任务。 3．评价方法：综合评价尊重学生个体差异，关注学习过程中学生的表现和变化，通过自评、互评和师评对学生进行全面动态的评价，使合作学习更加富有成效。【教学设备】多媒体投影仪，电脑，素描纸，展示板，自制教具。【设计思路】首先，通过生活实例，把数学植根于生活。教具的制作，锻炼了学生的动手能力和学习热情。通过课前导学及微课引导学生自主探究是完成教学任务的主要环节，课上再通过ppt、《几何画板》等信息化手段化解难点。

【范文】《直线的倾斜角与斜率》导学案

《直线的倾斜角与斜率》导学案一、教学内容分析 “直线的倾斜角和斜率”一节是解析几何的入门课，担负着开启全章的重任，因此在本课时的教学中不但要落实显性知识，更重要的是要揭示隐性知识：研究解析几何的基本方法——坐标法。本课时涉及到两个概念——倾斜角和斜率,它们都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度。二者联系的桥梁是正切函数值，进一步可以用直线上两点的坐标表示直线的斜率。倾斜角是一个桥梁，利用它可以将两直线的位置关系问题转化为斜率问题。而在建立直线方程，研究直线的几何性质时斜率起着重要的作用。因此，坐标法和斜率是本课时的核心概念。据此确定本课时的教学重点是：使学生经历几何问题代数化的过程，并初步了解解析几何研究问题的基本思想方法，体会坐标法。理解斜率的定义，掌握过两点的直线的斜率公式。二、教学目标分析 .理解倾斜角的概念，体会在直角坐标系下，以坐标轴为“参照系”，用统一的标准刻画几何元素的思想方法。

2.理解斜率的定义和斜率公式，经历几何问题代数化的过程，了解解析法的基本步骤，感受解析几何的思想方法。 3．通过解析几何发展史的简单介绍，渗透数学文化教育。三、教学问题诊断分析平面几何中，“两点确定一条直线”是没有“参照系”的，如何使学生在这一知识的基础上，顺利、自然地过渡到直角坐标系下用一个点和倾斜角确定一条直线，是比较困难的。事实上，已知直线的倾斜角就相当于已知直线的方向，因此已知“两个点可以确定直线的方向”，这与“一个点和直线的方向确定一条直线”是一致的。在教学中应注意引导学生认识到这种联系。函数是以图助数，利用图形使代数问题直观化，解析几何则是以数助形，用坐标法研究几何问题。它们都体现了数形结合思想，但角度不同。学生知道一次函数的图象是一条直线，这里研究的是直线的方程，学生容易将二者混淆，误认为方程就是一次函数。因此在教学时要注意澄清二者的不同。基于上述分析，确定本课时的教学难点为：直角坐标系下对刻画直线的几何要素的认识——倾斜角概念的形成；用坐标刻画倾斜角的方法——斜率概念本质的认识。

直线的倾斜角与斜率的关系

课件1 直线的倾斜角与斜率的关系课件编号：ABⅡ－3－1－1．课件名称：直线的倾斜角与斜率的关系．课件运行环境：几何画板4.0以上版本．课件主要功能：配合教科书“3.1.1倾斜角与斜率”的教学，探究倾斜角的范围以及直线的倾斜角与斜率的关系．课件制作过程：（1）新建画板窗口．单击【Graph】（图表）菜单中的【Define Coordinate System】（建立直角坐标系），建立直角坐标系．选中原点，按Ctrl＋K，给原点加注标签，并用【Text Tool】（文本工具）把标签改为O．（2）单击【Graph】菜单的【Plot Points…】（绘制点），弹出“Plot Points”对话框，如图1，绘制固定点A（3，0），B（0，3），C（－3，0）．图1 （3）依次选中点A，B，C，单击【Construct】（作图）菜单中的【Arc Though 3 Points】（过三点的弧），绘制半圆（图2）．图2 （4）选中半圆，单击【Construct】菜单中的【Point on Arc】(弧上的点)在半圆上取一点，按Ctrl＋K，加注标签，并用【Text Tool】把标签改为P.

（5）选中半圆，单击【Display】（显示）菜单中的【Hide Art】（隐藏弧）隐藏半圆. （6）依次选中点O，A，P，单击【Construct】菜单中的【Arc On Circle】（圆上的弧），绘制圆弧，并单击【Display】菜单中的【Line Width】（线型）菜单中的【Thick】（粗线），单击【Display】菜单中的【Color】（颜色）菜单中的蓝色（图3）．图3 （7）选中点O，P，单击【Construct】菜单中的【Line】(直线)绘制直线OP，并单击【Display】菜单中的【Line Width】菜单中的【Thick】，单击【Display】菜单中的【Color】菜单中的蓝色．（8）选中点P，单击【Edit】（编辑）菜单的【Action Buttons】（操作类按钮）中的【Animation】（动画），弹出对话框，如图4，单击【确定】，出现一个控制按钮，将按钮标签改为“移动点P”．图4

沪教版(上海)高二数学第二学期-11.2 直线的倾斜角与斜率-教案

直线的倾斜角和斜率【教学目标】 1．在理解直线的倾斜角和斜率概念的基础上，掌握过两点的直线的斜率；公式并牢记斜率公式的特点及适用范围； 2．进一步了解向量作为数学工具在进一步学习数学中的作用； 3．培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的培养； 4．充分利用斜率和倾斜角是从数与形两方面刻划直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，培养学生数形结合的数学思想．【教学重点】斜率概念理解与斜率公式【教学难点】斜率概念理解与斜率公式【课时安排】 1课时【教学准备】多媒体、实物投影仪【教学过程】一、复习引入： 1．直线方程的概念：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。 2．直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°。倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°。倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示。 3．概念辨析：①当直线和x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°；②直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°；③倾斜角是90°的直线没有斜率。提问：

（1）哪些条件可以确定一条直线？（2）在平面直角坐标系中，过点P 的任何一条直线l ，对x 轴的位置有哪些情形？如何刻划它们的相对位置？（3）给定直线的倾斜角α，如何求斜率？（4）设α是直线的倾斜角，k 为其斜率，则当0≥k 及0

2.1.1直线的倾斜角与斜率-导学案

直线的倾斜角与斜率（导学案）使用说明： 1.用15分钟左右的时间，阅读探究课本62 59- p页的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力；2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成自测练习。【学习目标】 1．了解在直角坐标系中，确定直线位置的几何要素 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念直线的 3．掌握过两点的斜率的计算公式【重点难点】重点：直线的倾斜角和斜率的概念；难点：直线的倾斜角与斜率的关系一、知识链接 1.在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢? 2．在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭, 有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢? 二、教材助读 1.直线的倾斜角（1）在直角坐标系中，确定直线位置的几何要素有（2）倾斜角的定义是（3）当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为度（4）直线倾斜角的范围为试试：请描出下列各直线的倾斜角函数y=x的图像的倾斜角为 , y=-x的图像的倾斜角为 , 直线x=1倾斜角为 ,直线y=0倾斜角为2.直线的斜率（1）在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”，则坡度的公式是怎样的？（2）斜率的定义:一条直线的倾斜角 a (α≠900) 的正切值叫做这条直线的斜率,记为 k=tan a 试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为 α=0°时，则k 0°<α< 90°,则k α= 90°，,则k 90 °<α< 180°，则k 3．过两点的直线斜率的公式 (1)由直线上两点) , ( 1 1 y x A、) , ( 2 2 y x B来求直线的斜率k的公式是：当 2 1 x x≠时，k= 当x1=x2 时, k （2）如果 1 2 1 2 ,x x y y≠ =则直线与x轴k= 如果 1 2 1 2 ,x x y y= ≠则直线与x轴倾斜角等于k （3）直线的斜率与所选择直线上两点的位置有无关系？顺序有无关系？预习自测 1.已知直线的倾斜角，求直线的斜率（１） 30 = α（２） 135 = α（３） 90 = α 2．已知直线的斜率求直线的倾斜角（１）0 = k（２）1 = k（３）3 - = k（４）k不存在 3．分别求经过下列两点的直线的斜率（1）（2，3）和（4，5）（2）（-3，-1）和(2，-1) （3）（1，3）和（-1，3 3） 4.过点) ,2 (m P-和)4, (m Q的直线的斜率等于1，则m的值为___________ 基础知识探究 1.直线的倾斜角与斜率的关系 (1) 当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角α之间满足关系式_________;当直线与x轴垂直时，直线的斜率________ 预习案探究案

直线的倾斜角和斜率教案

《直线的倾斜角和斜率》教案教学目的： 1.了解“坐标法” 2.理解直线的倾斜角和斜率概念，掌握过两点的直线的斜率公式并牢记斜率公式的特点及适用范围； 3.已知直线的倾斜角，求直线的斜率 4.已知直线的斜率，求直线的倾斜角 5.培养学生“数形结合”的数学思想. 教学重点：斜率概念，用代数方法刻画直线斜率的过程. 教学难点：1直线的斜率与它的倾斜角之间的关系. 2运用两点坐标计算直线的斜率授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体教学过程：一.知识背景与课题的引入 1.从本章起,我们研究什么?怎样研究? 解析几何是17世纪法国数学家笛卡尔和费马创立的,解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑,数学从此由常量数学进入变量数学时期.解析几何由此成为近代数学的基础之一. 在解析几何学中,我们常常用一种方法:坐标法. 研究几何图形的性质。坐标法是以坐标系为基础,把几何问题转化成代数问题,通过代数运算研究几何图形性质的方法,它是解析几何中最基本的研究方法. 本章首先在平面直角坐标系中,建立直线的方程.然后通过方程,研究直线的交点、点到直线的距离等. 2．课题的引入下面就让我们就一起踏着前人的足迹去学习和体会这一门科学的思想方法，用坐标法研究几何问题时,我们首先研究最简单的几何对象——直线，学习直线的倾斜角和斜率. 二.新课 1问题1 对于平面直角坐标系内的一条直线它的位置由哪些条件可以确定呢？一个点可以确定一条直线的位置吗? 分析:对,两点可以确定一条直线,过一个点可以画出无数条直线,这些直线都与轴正向成一定的角度,我们把直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角,于是可以这样确定一条直线,过个定点,确定一个倾斜角便可以确定一条直线;这种方法与两点确定一条直线的方法是一致的.先固定个点,再确定另外一点相当于确定这条直线的方向,确定了方向也就等同于确定了该直线的倾斜角. 注:平行于轴或于轴重合的直线的倾斜角为0° 问题2

高中数学倾斜角和斜率学案新人教A版必修2

3.1.1 倾斜角与斜率导学案 ★学习目标 1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率； 2．掌握过两点的直线斜率的计算公式； 3．能用公式和概念解决问题. ★学习重点：直线倾斜角与斜率概念；斜率计算公式. ★学习难点：直线的倾斜角与斜率关系；直线斜率公式的推导. ★学习过程一、自主学习阅读课本P82—P86回答下列问题：问题1、在直角坐标系中，过点P 的一条直线绕P 点旋转，不管旋转多少周，它对x 轴的相对位置有几种情形，请画出来？这些直线有什么联系和区别呢? 问题2、怎样描述直线的倾斜程度呢？可以用一个什么几何量来反映这一倾斜程度呢？问题3、直线的倾斜角的取值范围是多少？任一直线一定有倾斜角吗？问题4、在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”，则坡度的公式是怎样的？问题5、任何直线都有斜率么？斜率为正或负时，直线具有怎样的位置？请用图形语言表示. 二、合作探究 1、如何在直线l 上任取两个不同点11122212(,),(,)()P x y P x y x x ≠坐标计算直线的斜率？ 2、过直线上两点的直线斜率公式适用范围如何？与两坐标的顺序有关吗？当直线与x 轴平行或重合或垂直，公式还适用吗？三、训练反馈 1、在平面直角坐标系中，下列叙述中不正确的是（） A.若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应 B. 每一条直线都惟一对应一个倾斜角 C.与坐标轴垂直的直线的倾斜角为?0或?90 D.若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为αtan 2、填表：已知直线的倾斜角或斜率，求相应的斜率或倾斜角。参考公式：当α是锐角时，tan 180tan αα?-=-（）. 3、已知A(－3,2),B(4,1),C(0,－2),求直线AB,BC,CA 的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角. 4、在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为1,－1,2及－3的直线1234,,l l l l 及四、拓展延伸经过点P(0,-1)作直线l ，若直线l 与连接A(1,2),B(2,1)的线段总有公共点，找出直线 l 的斜率k 的取值范围，并说明理由. ★学后总结： 1、今天学到了什么？（知识方面）

高中数学《直线的倾斜角和斜率》教案

课题：直线的倾斜角和斜率教材：普通高中课程标准实验教科书（人教版）数学第3章第1节一、教学目标： 1、知识与能力： (1)理解直线的倾斜角和斜率的概念. (2)掌握过两点的直线的斜率公式，会求直线的斜率和倾斜角. (3)理解直线的倾斜角和斜率之间的相互关系. 2、过程与方法： (1)经历直线倾斜角概念的形成过程，理解直线倾斜角和斜率之间的关系. (2)从数与形两方面让学生明白，倾斜角和斜率都是刻画直线相对于x轴的倾斜程度.渗透数形结合思想. (3)通过问题，层层设疑，提高学生分析、比较、概括、化归的数学思维能力,使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路. 3、情感态度与价值观： 1．从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，让学生感受数学来源于生活，渗透辩证唯物主义世界观. 2．帮助学生进一步了解分类思想、数形结合思想，在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体现数、形的统一，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、勇于创新的精神. 二、教学重点：直线的倾斜角和斜率的概念，直线的斜率公式推导和应用. 三、教学难点：倾斜角概念的形成，斜率公式的推导四、教学方法与手段：计算机辅助教学与发现法相结合.即在多媒体课件支持下，创设情境问题，层层设疑，制造认知冲突，引发争论，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构. 【教学过程】一、知识导入在初中，我们学过了函数的图象，知道在直角坐标系中，点可以用有序实数对) x来表示和确定.那么直线呢？在平面直角坐标系中， (y , 问题：经过一点P的直线L的位置能确定吗? 预案：不能.如图, 过一点P就可以作无数多条直线.那么，问题：这些直线之间又有什么联系和区别呢? 短暂思考和讨论后，学生可以回答预案：(1)它们都经过点P.(2)它们的“倾斜程度”不同. 那么，我们应该怎样描述这种不同直线的“倾斜程度”呢？〖设计意图〗学生刚刚学完立体几何，对解析几何已经有些陌生.所以从简单问题入手，便于激发学生学习热情，同时又能引入倾斜角的概念，起到承上启下的作用. 二、知识探索

直线的倾斜角与斜率、直线的方程(学案教师版)

第九章平面解析几何第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程班级__________ 姓名_________ 【概念自查】一．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”，并举反例) (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．() (2)直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.() (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．() (4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．() (5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．() 【知识梳理】参考《优化方案》P145 1．直线的倾斜角与直线的斜率 (1)直线倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α。注：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0° (2)直线l倾斜角α的范围是． (3)直线的倾斜角α与斜率k的关系：①． ②．（数形结合来解释） 2．直线方程的五种形式

例1 (1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.[)0，π B.????0，π4∪????3π 4，π C.????0，π4 D.????0，π4∪??? ?π 2，π (2)直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为．【解析】 (1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.因为sin α∈[－1，1]，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π 4 ≤θ＜π，故选B . (2)如图，因为k AP ＝1－0 2－1＝1， k BP ＝ 3－0 0－1 ＝－3，所以直线l 的斜率k ∈(]－∞，－3∪[)1，＋∞. 【答案】 (1)B (2)(]－∞，－3∪[)1，＋∞ 【考点突破】考点2 求直线的方程例2 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为 10 10 ； (2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5，10)，且与原点的距离为5. 【解】 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝ 10 10 (0≤α＜π)，从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±1 3. 故所求直线方程为y ＝±1 3(x ＋4)，即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0. (2)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为x a ＋y 12－a ＝1，又直线过点(－3，4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9. 故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0满足题意；当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋10－5k ＝0.

专题直线的倾斜角和斜率习题与知识点知识讲解

专题直线的倾斜角和斜率习题与知识点

直线的倾斜角和斜率 3.1倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角的概念：当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. 2、倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是 k = tan α ⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l 的倾斜角α一定存在,但是斜率k 不一定存在. 4、直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 3.1.2两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k 1=k 2, 那么一定有L 1∥L 2 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即基础卷一．选择题： 1．下列命题中，正确的命题是（A ）直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α （B ）直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α （C ）任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率（D ）直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0或π 2．直线l 1的倾斜角为30°，直线l 2⊥l 1，则直线l 2的斜率为（A ）3 （B ）－3 （C ） 33 （D ）－3 3 3．直线y =x cos α+1 (α∈R )的倾斜角的取值范围是（A ）[0, 2π] （B ）[0, π) （C ）[－4π, 6π] （D ）[0, 4π]∪[4 3π,π) 4．若直线l 经过原点和点(－3, －3)，则直线l 的倾斜角为

人教版高中数学必修二导学案：第三章第一节倾斜角与斜率

第三章第一节倾斜角与斜率三维目标 1．理解直线的倾斜角和斜率的概念； 2．理解直线倾斜角的唯一性和斜率的存在性； 3．掌握过两点的直线的斜率公式； 4. 通过本节课的学习，学生体会数形结合的思想，逐步养成观察和探索的习惯. ________________________________________________________________________________ 目标三导学做思1 *问题1.初中我们学过一次函数)0(≠+=k b kx y ，请问，一次函数的图象是什么？其中k 的正负对直线有何影响？进一步，当k>0时，随着k 的增大直线有何变化？问题2.对于平面直角坐标系内的一条直线l ,它的位置由哪些条件确定的？问题3.在数学中，我们可以用哪些量来刻画直线的“倾斜程度”？问题4.什么叫直线的倾斜角？它的范围是什么？任何一条直线都有倾斜角吗？问题5.什么叫直线的斜率？任何一条直线都有斜率吗？问题6.当倾斜角从0o一直增大到180o（0°≤α＜180°）的时候，直线的斜率k 是如何变化的？问题7. (小组合作) 探索如何由直线上两点的坐标计算直线的斜率？平面直角坐标系下，直线l 经过两点P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2) （其中x 1≠x 2），则直线l 的斜率 k= ?

进一步：（1）运用该公式计算经过两点P 1(x 1, y 1), P 2 (x 2, y 2)的直线l 的斜率时，与这两个点坐标的顺序有关吗？ *（2）当x 1=x 2时，该公式还适用吗？此时直线的斜率如何？（3）当直线平行于x 轴或者与x 轴重合时，该公式适用吗？直线的斜率等于多少呢？【学做思2】 1. 求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角（或是其它的特殊角）． (1)(1,1)，(2,4)； (2)(－3,5)，(0,2)； (3)(4,4)，(4,5)； (4)( 10,2)，(－10,2)．【思考】在本例（2）中，直线倾斜角的大小是多少？ 2. 在平面直角坐标系中，画出经过原点并且斜率分别为1，-1,2及-3的直线1234,,,l l l l 3.（1）已知点A(3,4),在坐标轴上有一点B,若直线AB 的斜率等于2，则点B 的坐标为 _____________________;(2) 已知点M (5,3)和点N (－3,2)，若直线PM 和PN 的斜率分别为2和－74 ，则点P 的坐标为________．【变式】（1）若过P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，那么实数a 的取值范围是____________; （2）已知a >0，若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3 )共线，则a ＝____________. 达标检测

直线的倾斜角与斜率导学案电子教案

直线的倾斜角与斜率导学案

3.1.1直线的倾斜角与斜率【学习目标】 1 ?理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率；熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件。 2?掌握过两点的直线斜率的计算公式； 3?能用公式和概念解决问题. 【重点】直线的倾斜角和斜率的应用，两条直线平行和垂直的条件。【难点】斜率概念理解与斜率公式的灵活运用，启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题. 一、自主学习新知1:当直线I与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线I向上方向之间所成的角叫做_____________ . 关键：①_______ :②_______ :③________ . 注意:当直线与X轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为______ . 试试：请描出下列各直线的倾斜角收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除反思：直线倾斜角的范围? 新知2：一条直线的倾斜角 (2)的_叫做这条直线的斜率.记为k= ____________ 试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为 ⑴当 0°时，则k ° ;⑵当0 90 ° 时，则k ⑶当 90°时，则k ;⑷当90° 180 ° 时，则k 新知 3：已知直线上两点 R （X 1, yj P 2（X 2 ,y 2）（x X 2) 的直线的斜率公式: k= 练习： 1已知直线的倾斜角 (90 )，则直线的斜率为—；已知直线上两点A(x“ 且冷x ?，则直线的斜率为 __________ . 2. 若直线I 过(—2,3)和(6, - 5)两点，则直线l 的斜率为 ______ ,倾斜角为 —. 3. __________________________________________________________________________ 斜率为2的直线经过(3, 5)、(a,7)、(— 1,b)三点，贝U a 、b 的值分别为 ___________________ . 4?已知I l ,l 2的斜率都不存在且I i ,l 2不重合，则两直线的位置关系 _______________________ . 5 .已知一直线经过两点A(m,2), B( m,2m 1),且直线的倾斜角为60 ,则 m ________ . 问题1:特殊情况下的两直线平行与垂直. 当两条直线中有一条直线没有斜率时： (1) 当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为 ______ ，两直线位置关系是 ----- (2) 当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为 —，另一条直线的倾斜角为，两直线的位置关系是 ___________ :

(完整版)直线的倾斜角与斜率教学设计

普通高中课程标准实验教科书（北师大版）数学必修2第二章第二节直线的倾斜角和斜率

尝试探究形成概念问题：怎样才能确定直线的问置？一点＋倾斜角（直线的方向）确定一条直线（两都缺一不可）思考:在日常生活中，有没有表示倾斜程度的量？（让学生举例）如图:在日常生活中，我们常用坡面的铅直高度与水平长度（升高量与前进量）的比，表示倾斜面的坡度（倾斜程度）。坡面与地平面所成的角不变的情况下，升高量和前进量都在变化，那么你认为这个角的变化与升高量和前进量之间究竟是怎样的关系？能不能用一个数学式子来表示它们之间的关系？前进量坡度比＝前进量升高量例如:进2升3与进2升2比较 2、直线斜率的概念一条直线倾斜角的正切值叫这条直线的斜率（slope ）,通常用小写字母k 表示。 090tan k 给出生活中的实例,给学生感性认识，点燃学生的思维火花，观察分析并抽象概括出直线位置如何确定. 确定直线位置几何要素转化为代数化升高量

尝试探究形成概念对取不同的范围进行分析k的取值情况。 3、直线的倾斜角与斜率之间的关系直线情况平行于情况由左向右上升垂直于x 轴由右向左上升的大小 k的情况 k的增减性 4、两点确定直线的斜率已知两点), )( , ( ), , ( 2 1 2 2 2 1 1 1 x x y x p y x p 则由这两点确定直线的线率? k 课本上是用坐标法推导的，分两种情况: 让学生课前预习，这里用向量法推导 ① 2 1 p p方向向上② 1 2 p p方向向上 1 2 1 2 x x y y k 让学生掌握公式记忆注意：①当直线与x轴平行或重合时，0 k ②当直线与y轴平行或重合时，k不存在为有利于调动学生学习的积极性，加深对两者关系理解，通过用几何画板演示倾斜角与斜率之间关系，给学生直观认识，降低学习的难度课本中是用坐标法去推导两点直线的斜率,学生课前预习易掌握,在证明过程中用向量法来推导两点确定直线的斜率, 比较两种方法解题思路不同. 0 x y

高二数学：《直线的倾斜角与斜率》导学案

新修订高中阶段原创精品配套教材《直线的倾斜角与斜率》导学案教材定制 / 提高课堂效率 /内容可修改 Tutorial Case of "Slope Angle and Slope of Straight Line" 教师：风老师风顺第二中学编订：FoonShion教育

理解斜率的定义，掌握过两点的直线的斜率公式。二、教学目标分析 1. 理解倾斜角的概念，体会在直角坐标系下，以坐标轴为“参照系”，用统一的标准刻画几何元素的思想方法。 2. 理解斜率的定义和斜率公式，经历几何问题代数化的过程，了解解析法的基本步骤，感受解析几何的思想方法。 3．通过解析几何发展史的简单介绍，渗透数学文化教育。三、教学问题诊断分析平面几何中，“两点确定一条直线”是没有“参照系”的，如何使学生在这一知识的基础上，顺利、自然地过渡到直角坐标系下用一个点和倾斜角确定一条直线，是比较困难的。事实上，已知直线的倾斜角就相当于已知直线的方向，因此已知“两个点可以确定直线的方向”，这与“一个点和直线的方向确定一条直线”是一致的。在教学中应注意引导学生认识到这种联系。函数是以图助数，利用图形使代数问题直观化，解析几何则是以数助形，用坐标法研究几何问题。它们都体现了数形结合思想，但角度不同。学生知道一次函数的图象是一条直线，这里研究的是直线的方程，学生容易将二者混淆，误认为方程就是一次函数。因此在教学时要注意澄清二者的不同。基于上述分析，确定本课时的教学难点为：

直线的倾斜角斜率知识点例题

直线的倾斜角和斜率（一）一、知识点： 1.直线方程的概念：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线王新敞在平面直角坐标系中研究直线时，就是利用直线与方程的这种关系，建立直线的方程的概念，并通过方程来研究直线的有关问题.为此，我们先研究直线的倾斜角和斜率王新敞 2.直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按_______方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角. 当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为_____王新敞因此，根据定义，我们可以得到倾斜角的取值范围是___________王新敞倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的_______叫做这条直线的斜率，常用k 表示. 倾斜角是_____的直线没有斜率王新敞二、范例：例1 如图，直线1l 的倾斜角1α＝30°，直线1l ⊥2l ，求1l 、2l 的斜率. 例2 已知直线的倾斜角，求直线的斜率： (1) α＝0°；（2）α＝60°；(3) α＝90°；（４）α＝4 3π 例3、判断正误： ①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为αtan （） ②直线的斜率值为βtan ，则它的倾斜角为β（） ③因为所有直线都有倾斜角，故所以直线都有斜率（） ④因为平行于y 轴的直线的斜率不存在，所以平行于y 轴的直线的倾斜角不存在（）

A.4π B. 45π C.4π或45π D.－4 π 2.过点P (－2,m )和Q (m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 3.已知A (2，3)、B (－1，4)，则直线AB 的斜率是 . 4.已知M (a,b )、N (a,c )(b ≠c ),则直线MN 的倾斜角是 . 5.已知O (0，0)、P (a,b )(a ≠0)，直线OP 的斜率是 . 6.已知),(),,(222111y x P y x P ，当21x x ≠时，直线21P P 的斜率k = ；当21x x ≠且21y y =时，直线21P P 的斜率为 ,倾斜角为 . 思考：如图中的直线123,,l l l 的斜率的大小关系为

高二数学选择性必修一导学案2.1.1倾斜角与斜率

2.1.1倾斜角与斜率【学习目标】 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.(数学抽象) 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念.(数学抽象) 3.掌握倾斜角和斜率之间的关系.(逻辑推理) 4.掌握过两点的直线斜率的计算公式.(数学运算) 情境导学交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度,如图,一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点, 在水平方向前进的距离为AD,竖直方向上升的高度为 DB(如果是下降,则DB的值为负实数),则坡度k=上升高度水平距离 = DB AD .k>0表示上坡,k<0表示下坡,为了实际应用与安全,在道路铺设时常要规划坡度的大小.那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢? 阅读反馈（阅读课本，完成反馈内容）一、直线的倾斜角定义当直线l与x轴相交时,以x轴为基准,与直线l的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角规定当直线l与x轴平行或重合时,规定直线l的倾斜角为记法图示范围作用(1)表示平面直角坐标系内一条直线的; (2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:直线上的一个定点以及它的,二者缺一不可微练习1.如图所示,直线l的倾斜角为( ) A.45° B.135° C.0° D.不存在

二、直线的斜率 1.定义与表示定义(α为直线的倾斜角) 90≠α 一条直线的倾斜角α的叫做这条直线的斜率 90=α 直线斜率不存在记法常用小写字母k 表示,即=k 范围作用用实数反映了平面直角坐标系内的直线的 2. 填表:斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角 (范围) 0=α 900<<α 18090<<α 斜率 (范围) 0>k 不存在斜率变化规律定值直线逆时针旋转,倾斜角 α在 0至 90间逐渐增大,斜率也逐渐增大,且恒为正数不存在直线逆时针旋转,倾斜角 α在 90至 180间逐渐增大,斜率也逐渐增大,且恒为负数微练习2.已知直线l 的斜率1-=k ,则其倾斜角α= . 三、直线的斜率公式如果直线经过两点()()()21222111,,,,x x y x P y x P ≠,则直线的斜率公式为1 21 2x x y y k --=. 微练习3.已知点()()3,1,5,321--P P ,则直线2,1P P 的斜率k 等于( ) A.2 B.1 C. 2 1 D.不存在讨论展示直线的倾斜角例1已知直线l 过原点,l 绕原点按顺时针方向转动角( ) 1800<<αα后,恰好与y 轴重合, 求直线l 转动前的倾斜角是多少?

人教版数学高一必修二导学案直线的倾斜角与斜率

第三章 §3.1.1 直线的倾斜角与斜率一、考纲要求 1、学习目标: 知识与技能：正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．理解直线的倾斜角的唯一性.掌握直线的倾斜角与斜率的关系. 过程与方法：理解直线的斜率的存在性.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．情感态度与价值观：通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神． 2、学习重、难点学习重点: 直线的倾斜角、斜率的概念和斜率公式的应用. 学习难点: 直线的倾斜角、斜率的对应关系，求直线的倾斜角和斜率的范围. 学习重点: 直线的倾斜角、斜率的概念和斜率公式的应用. 学习难点: 直线的倾斜角、斜率的对应关系，求直线的倾斜角和斜率的范围. 二、自主学习阅读教材P82-86完成下面问题并填空知识点一：直线的倾斜角【提出问题】在平面直角坐标系中，直线l经过点P. 问题1: 直线l的位置能够确定吗？问题2: 过点P可以作与l相交的直线多少条？问题3:上述问题中的所有直线有什么区别？【导入新知】 1.定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准,叫做直线l的

倾斜角．．．.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定 α=. 2.范围：倾斜角α的取值范围是 .特别：当时，称直线l与x轴垂直. 3.倾斜角与直线形状的关系知识点二：直线的斜率【提出问题】日常生活中，常用坡度（=升高量坡度前进量）表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度32 22 > 问题1:对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？问题2: 如材料里描述的坡度为升高量与水平前进量的比值，那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？问题3:通过坐标比，你会发现它与倾斜角有何关系？【导入新知】 1.定义：一条直线的倾斜角α (α≠90°)的值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k = . ①当直线l与x轴平行或重合时, α= , k = ; ②当直线l与x轴垂直时, α= , k . 2. 直线的斜率公式: ①已知直线的倾斜角α,则k= ②经过两个定点 P1(x1,y1) , P2(x2,y2) 的直线：若x1≠x2，则直线P1P2 的斜率存在，k=

文档之家