构造辅助函数证明微分中值定理及应用 摘要：构造辅助函数是证明中值命题的一种重要途径。本文给出了几种辅助函数的构造方法：微分方程法，常数K值法，几何直观法，原函数法，行列式法；并且举出具体例子加以说明。 关键字：辅助函数，微分方程，微分中值定理 Constructing auxiliary function to prove differential median theorem and its copplications
Abstract: Constructing auxiliary function is the important method to prove median theorem. This paper gives several ways of constructing auxiliary function:Differential equation, Constant K, Geometry law, Primary function law, Determinant law;and Gives some specific examples to illustrate how to constructing. Key words: Auxiliary function; Differential equation; Differential median theorem 目录 一：引言 (4) 二：数学分析中三个中值定理 (4) 三：五种方法构造辅助函数 (6) 1：几何直观法 (6)
2：行列式法…………………………………………………………………… .第7页 3：原函数法 (8) 4：微分方程法 (10) 5：常数k值法 (13) 四：结论 (15) 参考文献 (15) 致谢 (16) 一:引言 微分中值定理是应用导数的局部性质研究函数在区间上的整体性质的基本工具，在高等数学课程中占有十分重要的地位，是微分学的理论基础，这部分内容理论性强，抽象程度高，所谓中值命题是指涉及函数（包括函数的一阶导数，二阶导数等）定义区间中值一些命
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
三角函数公式大全 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) = tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3 π +a)·tan( 3 π -a) 半角公式 sin( 2A )= 2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )= A A sin cos 1-=A A cos 1sin +
sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2 b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2 b a +sin 2 b a - tana+tanb= b a b a cos cos ) sin(+ 积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2 π -a) = cosa cos(2 π -a) = sina sin(2 π +a) = cosa cos( 2 π +a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina c os(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin
几种构造辅助函数的方法及应用 许生虎 （西北师范大学数学系，甘肃 兰州 730070） 摘 要：在对数学命题的观察和分析基础上给出了构造辅助函数的方法，举例说明了寻求 辅助函数的几种方法及在解题中的作用。 关键词：辅助函数 弧弦差法 原函数法 几何直观法 微分方程法 1. 引言 在解题过程中，根据问题的条件与结论的特点，通过逆向分析、综合运用数学的基本概念和原理，经过深入思考、缜密的观察和广泛的联想，构造出一个与问题有关的辅助函数，通过对函数特征的考查达到解决问题的目的，这种解决问题的方法叫做构造辅助函数法。 构造函数方法在许多命题证明中的应用，使问题得以解决，如在微分中值定理、泰勒公式、中值点存在性、不等式等证明。但构造辅助函数方法的内涵十分丰富没有固定的模式和方法，构造过程充分体现了数学的发现、类比、逆向思维及归纳、猜想、分析与化归思想。但如何通过构造，构造怎样的辅助函数给出命题的证明，是很难理解的问题之一，本文通过一些典型例题归纳、分析和总结常见的构造辅助函数方法及应用。 2. 构造辅助函数的七中方法 2.1“逆向思维法” 例1： 设()x f 在[]1,0 上可微，且满足 ()()?=2 1 21dx x xf f ，证明在][1,0内至少有一点θ，
使()() θθθf f -='. 证明:由所证明的结论出发,结合已知条件,探寻恰当的辅助函数. 将()() θθθf f '变为()()0='?+θθθf f ,联想到()[]()()θθθθf f x xf x '?+='=,可考虑 辅助函数 ()()[].1,0,∈=x x xf x F 因为()()ξξf f =1 , 而对于()x F ,有()()ξξξf F =,()().11f F = 所以,()()1F F =ξ ,由罗尔定理知,至少存在一点()1,ξθ∈,使得()0='θF 即:()() θθθf f -='. 证毕 2.2 原函数法 在微分中值定理(尤其是罗尔定理)求解介值(或零点)问题时要证明的结论往往是某一个函数的导函数的零点,因此可通过不定积分反求出原函数作为辅助函数,用此法构造辅助函数的具体步骤如下: (1)将要证的结论中的;)(0x x 换或ξ (2)通过恒等变换,将结论化为易积分(或易消除导数符号)的形式; (3)用观察法或凑微分法求出原函数(必要时可在等式两端同乘以非零的积分因子),为简便起见,可将积分常数取为零;
分类号 编号 本科生毕业论文（设计） 题目拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用 作者姓名常正军 专业数学与应用数学 学号 2 9 1 0 1 0 1 0 2 研究类型数学应用方向 指导教师李明图 提交日期 2 0 1 3 - 3 - 1 5
论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交毕业论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 论文作者签名：年月日
摘要拉格朗日中值定理是微积分学三大基本定理中的主要定理，它在微积分中占据极其重要的地位，有着广泛地应用。关于它的证明，绝大多数教科书采用作辅助函数的方法，然后利用罗尔中值定理的结论证明拉格朗日中值定理来证明。罗尔中值定理是其的特殊形式，而柯西中值定理是其的推广形式，鉴于微分中值定理的广泛地应用，笔者将从以下几个不同的角度探讨拉格朗日中值定理中辅助函数的构造，以及几个方面的应用加以举例。 关键词：拉格朗日中值定理辅助函数的构造证明及应用 Abstract Lagrange mean value theorem is the main theorem of calculus three basic theorem, It occupies an important status and role in the calculus, has wide application. Proof of it, the vast majority of textbooks by using the method of auxiliary function, and then use the conclusion of Rolle's theorem to prove the Lagrange mean value theorem. Rolle mean value theorem is a special form of it, and Cauchy's theorem is extended form of it, given the widely application of the differential mean value theorem. This paper will discuss the construction of auxiliary function of the Lagrange mean value theorem from several following different angles, and several applications for example. Keyword: Lagrange mean value theorem The construction of auxiliary function Proof and Application
高等数学公式大全及常 见函数图像 文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]
高等数学公 式 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
高数常用公式 平方立方： 22222222 332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2) n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++++≥ 三角函数公式大全 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos( 2A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a -
函数的表示方法 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、 能根据不同需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数； 2、 了解简单的分段函数，并能简单应用； 一、函数的常用表示方法简介： 1、解析法 如果函数()()y f x x A =∈中，()f x 是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法（公式法）。 例如，s =602t ，A =π2r ，2S rl π=,2)y x = ≥等等都是用解析式表示函数关系的。 特别提醒： 解析法的优点：（1）简明、全面地概括了变量间的关系；（2）可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值；（3）便于利用解析式研究函数的性质。中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数。 解析法的缺点：（1）并不是所有的函数都能用解析法表示；（2）不能直观地观察到函数的变化规律。 2、列表法： 通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法。 例如：初中学习过的平方表、平方根表、三角函数表。我们生活中也经常遇到列表法，如银行里的利息表，列车时刻表，公共汽车上的票价表等等都是用列表法来表示函数关系的. 特别提醒： 列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。这种表格常常应用到实际生产和生活中。 列表法的缺点：对于自变量的有些取值，从表格中得不到相应的函数值。 3、图象法： 用函数图象表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法。 例如：气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的。 特别提醒： 图像法的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质。 图像法的缺点：不能够精确地求出某一自变量的相应函数值。
微分中值定理证明中辅助函数的构造 1 原函数法 此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点：(1)将要证的结论中的ξ换成x ；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数()F x ． 例1：证明柯西中值定理． 分析：在柯西中值定理的结论 ()()'()()()'()f b f a f g b g a g ξξ-=-中令x ξ=，得()()'()()()'()f b f a f x g b g a g x -=-，先变形为()()'()'()()()f b f a g x f x g b g a -=-再两边同时积分得 ()()()()()() f b f a g x f x C g b g a -=+-，令0C =，有() ()()()0()()f b f a f x g x g b g a --=-故()()()()()()() f b f a F x f x g x g b g a -=--为所求辅助函数． 例2：若0a ,1a ,2a ,…,n a 是使得1200231 n a a a a n ++++=+…的实数．证明方程20120n n a a x a x a x ++++=…在（0，1）内至少有一实根． 证：由于2231120120()231n n n n a a a a a x a x a x dx a x x x x C n +++++=++++++?…… 并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设 231120()231 n n a a a F x a x x x x n +=+++++…（取0C =），则 1）()F x 在[0，1]上连续 2）()F x 在（0，1）内可导 3）(0)F =0， 120(1)0231 n a a a F a n =++++=+… 故()F x 满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在(0,1)ξ∈使'()0F ξ=，即231120()'0231 n n x a a a a x x x x n ξ+=++++=+…亦即20120n n a a a a ξξξ++++=…．
构造辅助函数解题 一、 直接构造 1.实数k 为何值时，不等式x e kx ≥对x R ?∈恒成立？ 二、稍作变形 2. 设函数()1(01)ln f x x x x x =>≠且 (I)求()f x 的单调区间； (II)已知12a x x >对(0,1)x ?∈成立，求实数a 的取值范围. 三、适当放缩 3. 设函数1()ln(1)(1)n f x x x = +--.其中n N *∈.求证：对n N *?∈，当2x ≥时，有()1f x x ≤-. 四、化离散为连续 4.证明：对n N *?∈，不等式23 111ln(1)n n n +> -都成立.
五、二次构造 5.函数()2 2 ln (1)1x f x x x =+-+ (1)求()f x 的单调区间； (2)若不等式11n a e n +??+≤ ??? 对任意的n N *∈都成立，求a 的最大值. 六、构造双函数 6.证明：对0x ?>，都有12ln x x e ex > -成立. 七、注意繁简之分 7.设()ln f x x =. (1)求函数()()1g x f x x =+-的最大值； (2)已知0a b <<，求证：()()22 2()a b a f b f a a b --> +. 附2012年高考题分类： 一、数列与不等式 1.已知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0，其中0a >. (1)求a 的值； (2)若对任意的[)0,x ∈+∞，有()2f x kx ≤成立，求实数k 的最小值；
(3)证明：12ln(21)2()21n i n n N i *=-+<∈∑ - 2. 设函数()1(0)x x f x ae b a ae =++> （Ⅰ）求()f x 在[)0,+∞内的最小值； （Ⅱ）设曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程为y= 32x ,求a,b 的值。 3. 设函数()(,,)n n f x x bx c n N b c R +=++∈∈. （Ⅰ）设2n ≥，1,1b c ==-，证明：()n f x 在区间1,12?? ??? 内存在唯一的零点； （Ⅱ）设2n =，若对任意12,x x [1,1]∈-，有2122|()()|4f x f x -≤，求b 的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设n x 是()n f x 在1,12?? ???内的零点，判断数列23,,,n x x x 的增减性。 4.（I ）已知函数()(1)(0)r f x rx x r x =-+->，其中r 为有理数，且01r <<，求()f x 的最小值； （II ）试用（I ）的结果证明如下命题：设12120,0,,a a b b ≥≥为正有理数，若121b b +=，则12121122b b a a a b a b ≤+； （III ）请将（II ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题。注：当α为正有理数时，有求道 公式()1x x ααα-'=. 5.函数()223f x x x =--，定义数列{}n x 如下：112,n x x +=是过两点()(4,5),(,)n n n P Q x f x 的直线n PQ 与x 轴交点 的横坐标. (1)证明：123n n x x +≤<<； (2)求数列{}n x 的通项公式.
１. 基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =， )(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数 )(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应 区间x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则
设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或()()y f u x ?'''= ２. 双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出．可以推出下表列出的公式： 三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 从函数的微分表达式: d ()d y f x x '= 可以看出，要计算函数的微分，只要计算函数的导数，再乘以自变量的微分．因此，可得如下的微分公式和微分运算法则． 1． 基本初等函数的微分公式 由基本初等函数的导数公式，可以直接写出基本初等函数的微分公式．为了便于对照，列表于下：
设 f ( x ) 2 x ， 求 f ( x ) 的 定 义 域 及 值 域 。 1 x 设 f ( x) 对一切实数 x 1， x 2 成立 f ( x 1 x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 )，且 f (0 ) 0， f (1) a ， 求 f (0 )及 f ( n)．(n 为正整数 ) 定 义 函 数 I ( x) 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 叫 做 x 的 取 整 函 数 ，若 f ( x) 表 示 将 x 之 值 保 留 二 位小数，小数第 3 位起以后所有数全部舍去，试用 表 示 f ( x) 。 I ( x) 定 义 函 数 I ( x) 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 叫 做 x 的 取 整 函 数 ，若 g ( x) 表 示 将 x 依 4 舍 5 入 法 则 保 留 2 位 小 数 ， 试 用 I ( x) 表 示 g ( x) 。 在某零售报摊上每份报纸的进价为 0.25 元，而零售价为 0.40 元，并且如果报纸当天未售 出 不 能 退 给 报 社 ，只 好 亏 本 。若 每 天 进 报 纸 t 份 ，而 销 售 量 为 x 份 ，试 将 报 摊 的 利 润 y 表 示 为 x 的函数。 定义函数 I ( x)表示不超过 x 的最大整数叫做 x 的取整函数，试判定 ( x) x I ( x )的周期性。 判定函数 x x ln( 1 x x )的奇偶性。 f ( x ) ( e 1) 设 f ( x ) e x sin x ， 问 在 0 ， 上 f ( x ) 是 否 有 界 ？ 函 数 y f ( x ) 的 图 形 是 图 中 所 示 的 折 线 O BA ， 写 出 y f ( x) 的 表 达 式 。 x 2 ， 0 x ； x ， x ； 设 f ( x) 2 ( x) 0 4 求 f ( x ) 及f ( x ) ． x x 4 x x ， ． ， ． 2 2 2 4 6 设 f ( x ) 1， x 0 ； ( x ) 2 x 1， 求 f ( x ) 及 f ( x) ． 1 ， x 0 ． e x ， x ； 0 ， x 0 ； 设 f ( x ) 求 f ( x )的反函数 g ( x ) 及 f ( x ) ． x x ( x) x 2， x 0 ， ． ． 1 x ) ， ( x ) x ， x 0 ； 求 f ( x ) ． 设 f ( x )( x x 2 ， x 2 0 ． 2 x ， x 0 ； 求 f f ( x ) 设 f ( x ) x 0． ． 2 ， 0 ， x ； x ， x ； ( x ) 求 f ( x) ( x )． 设 f ( x ) x ， x 0 ． x ， x ． 1
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '
三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππx x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x ++=+-==+= -= ----1ln(:2 :2:22） 双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x
中值定理构造辅助函数 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
微分中值定理证明中辅助函数的构造 1 原函数法 此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点：(1)将要证的结论中的ξ换成x ；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数()F x ． 例1：证明柯西中值定理． 分析：在柯西中值定理的结论()()'()()()'() f b f a f g b g a g ξξ-=-中令x ξ=，得()()'()()()'()f b f a f x g b g a g x -=-，先变形为()()'()'()()() f b f a g x f x g b g a -=-再两边同时积分得()()()()()()f b f a g x f x C g b g a -=+-，令0C =，有()()()()0()() f b f a f x g x g b g a --=-故()()()()()()() f b f a F x f x g x g b g a -=--为所求辅助函数． 例2：若0a ,1a ,2a ,…,n a 是使得1200231 n a a a a n ++++=+…的实数．证明方程20120n n a a x a x a x ++++=…在（0，1）内至少有一实根． 证：由于2231120120()231 n n n n a a a a a x a x a x dx a x x x x C n +++++=++++++?…… 并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设 231120()231 n n a a a F x a x x x x n +=+++++…（取0C =），则 1）()F x 在[0，1]上连续 2）()F x 在（0，1）内可导 3）(0)F =0， 120(1)0231 n a a a F a n =++++=+…
专题四关于中值定理证明中辅助函数的构造 构造函数法的内涵十分丰富，没有固定的模式和方法，构造过程充分体现了数学的发现、类比、逆向思维及归纳、猜想、分析与化归等思想.使用构造法是一种创造性的思维活动，一般无章可循，它要求既要有坚实的基础知识背景，又要有丰富的想象力和敏锐的洞察力，针对问题的具体特点而采用相应的构造方法，常可使论证过程简洁明了. 在教学中，不失时机地加强对学生的构造性思维的训练，对培养学生的创新意识、创新能力大有裨益.同时构造性思维的形成是培养创造性思维能力的一种途径.它是在数学教学中用数、形结合，沟通问题条件与结论，构造出数学模型，从而达到解决问题目的的一种解题数学法.这种方法要求综合应用各种知识，把各科知识有机结合，根据问题的条件、结论、性质及特征，横向联系，纵向渗透，构造出辅助图形或辅助关系式、使问题思路清晰，解法巧妙.有一些数学问题在常规下束手无策，而构造法使问题得到别开生面、简洁而新颖的解法. 数学中的许多问题，往往可以通过构造辅助函数，利用间接方法得到解决.这一方法应用的广泛性，在于其灵活性. 例如，证明拉格朗日定理时，通常都是采用引入一个辅助函数，把适合拉格朗日定理的函数转换成适合罗尔定理的函数的方法.在这里，辅助函数是使问题转化的桥梁. 构造辅助问题，并非是为了它本身，而是要通过辅助问题帮助我们解决原来的问题.那个原来的问题才是我们要达到的目标，而辅助问题只是我们试图达到的手段，是原来问题转化的桥梁.针对所要解决的问题构造一个辅助问题，则原来问题的求解或证明，就转化为对一个函数的性质的研究，可以运用函数的定义域、值域、单调性、最大最小值、连续和微分积分等性质来帮助解决，运算过程就比较简单了. 微分中值定理是沟通函数及导数之间的桥梁，是研究函数性质的有力工具.而各种辅助函数又往往有所不同，这些辅助函数之间有没有内在的联系呢？引入这些辅助函数有没有一般规律呢？为解答上面的问题，给出辅助函数的一般表达式： F（x）=f(x)— ()() f b f a b a - - x c + 此式可以作为证明拉格朗日中值定理所引用的辅助函数，其中c为任意常.容易验证,当f(x)满足拉格朗日中值定理的条件时，相应的F（x）满足罗尔定理的条件.由于它们都含有任意的常数c ，所以具有某种一般性，是辅助函数的最简单的一种形式.每给出一个c的具体的辅助函数，对应一个具体的证法.不难看出将F（x）与某些函数复合所得的函数，也可以作为辅助函数.
常用公式表（一） 1。乘法公式 ()()22212a b a ab b +=++ ()()2 2222a b a ab b -=-+ ()()()223a b a b a b -=+- ()()()33224a b a b a ab b +=+-+ ()()()33225a b a b a ab b -=-++ 2、指数公式： ()()0 110a a =≠ ()12p p a a -= ()3m n a = ()4m n m n a a a += ()5m m n m n n a a a a a -÷= = ()() 6n m m n a a = ()() 7n n n ab a b = ()8n n n a a b b ?? = ??? ()2 9a = (10a = () 1 111a a -= (1 2 12a = 3、指数与对数关系： （1）若N a b =，则 N b a log = （2）若N b =10 ，则N b lg = （3）若N e b =，则N b ln = 4、对数公式： （1） b a b a =log , ln b e b = (2)log 10,ln 10a == （3）N a aN =log ，ln N e N = ()ln 4log ln a N N a = （5）a b b e a ln = （6）N M MN ln ln ln += ()7ln ln ln M M N N =- （8） M n M n ln ln = ()1 9ln ln M n = 5、三角恒等式： （1）22sin cos 1α α+= （2）2 2 1tan sec αα += （3）221cot csc αα+= () sin 4tan cos αα α = () cos 5cot sin αα α = ()1 6cot tan α α = ()17csc sin α α = ()18sec cos αα = 6.倍角公式： （1）α ααcos sin 22sin = ()2 2tan 2tan 21tan αα α = - （3）α αααα2 2 2 2 sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= 7.半角公式（降幂公式）： ()2 1cos 1sin 22 α α -= ()2 1cos 2cos 2 2 α α += ()1cos sin 3tan 2 sin 1cos α ααα α -= = +
高等数学公式 导数公式： (tgx) sec 2 x (arcsin x) 1 1 x 2 ( ctgx) csc 2 x (arccos x) 1 (secx) secx tgx 1 x 2 (cscx) cscx ctgx (arctgx ) 1 ( a x ) a x ln a 1 x 2 (log a x) 1 (arcctgx ) 1 1 x 2 x ln a 基本积分表： tgxdx ln cosx C dx sec 2 xdx tgx C ctgxdx ln sin x C cos 2 x dx 2 secxdx ln secx tgx C sin 2 x csc xdx ctgx C cscxdx ln cscx ctgx C secx tgxdx secx C dx 1 x csc x ctgxdx cscx C a 2 x 2 a arctg a C a x dx a x C dx 1 x a ln a x 2 a 2 2a ln C x a shxdx chx C dx 1 a x a 2 x 2 2a ln C chxdx shx C a x dx x 2 arcsin x C dx ln( x x 2 a 2 ) C a 2 a x 2 a 2 2 2 n 1 I n sin n xdx cos n xdx I n 2 0 0 n x 2 a 2 dx x x 2 a 2 a 2 ln( x x 2 a 2 ) C 2 2 x 2 a 2 dx x x 2 a 2 a 2 ln x x 2 a 2 C 2 2 a 2 x 2 dx x a 2 x 2 a 2 arcsin x C 2 2 a 三角函数的有理式积分： sin x 2u ， cos x 1 u 2 ， u tg x ， dx 2du 1 u 2 1 u 2 2 1 u 2
高等数学公式 导 数 求导数的方法： 1． 用导数定义求导 2． 用导数的基本公式和四则运算法求导 3． 用链式法则对复合函数求导 4． 用对数求导法对幂指函数等求导 5． 隐函数和参数方程求导法 函数和、差的求导法则：两个可导函数之和（差）的导数等于这两个函数的导数之和（差） 函数积的求导法则：两个可导函数乘积的导数等于第一因子的导数与第二因子的乘积，加上第一个因子与第二个因子的导数的乘积。 函数商的求导法则：两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母的乘积减去分母的导数与分子的乘积，再除以分母的平方。 反函数的导数=直接函数的导数的倒数 隐函数？对数求导法？函数的单调性？ 导数基本公式（可导一定连续，连续不一定可导，不连续一定不可导）P 94 正切函数的导数公式：x x 2sec )(tan =' 正割函数的导数公式：x x 2csc )(cot -=' 余切函数的导数公式：x x x tan sec )(sec ?=' 余割函数的导数公式：x x x cot csc )(csc ?-=' 对数函数的导数公式：a x x a ln 1)(log = ' 〈a a a x x ln )(='〉 反正弦函数的导数公式：2 11)(arcsin x x -=' 反余弦函数的导数公式：2 11)(arccos x x -- =' 反正切函数的导数公式：2 11)(arctan x x += ' 反余切函数的导数公式：2 11)cot (x x arc +- ='
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式： ) () () () 2() 1() (0 ) () () (! ) 1()1(! 2)1()(n k k n n n n n k k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--+ +''-+ '+== ---=-∑ 什么是一阶导数？什么是高阶导数？ 微 分 微分公式P115-P116（熟记） 中值定理与导数应用： 拉格朗日中值定理。 时，柯西中值定理就是 当柯西中值定理： 拉格朗日中值定理：x x F f a F b F a f b f a b f a f b f =''=---'=-)(F ) ()() ()()()() )(()()(ξξξ