湖南省株洲市醴陵二中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题.（本大题共10小题，每小题5分，共计50分）
1．（5分）cos210°等于（）
A．B．﹣C．﹣D．
2．（5分）老师在班级50名学生中，依次抽取班号为4，14，24，34，44的学生进行作业检查，老师运用的抽样方法是（）
A．随机数法B．抽签法C．系统抽样D．以上都是
3．（5分）①正相关，②负相关，③不相关，则下列散点图分别反映的变量是（）
A．①②③B．②③①C．②①③D．①③②
4．（5分），是两个向量，||=1，||=2，且（+）⊥，则与的夹角为（）
A．30°B．60°C．120°D．150°
5．（5分）已知sinx=，则cos2x的值为（）
A．B．C．D．
6．（5分）已知点A（﹣3，﹣4）、B（5，﹣12）．则||=（）
A．8B．8C．8D． 16
7．（5分）已知某单位有职工120人，其中男职工90人，现采用分层抽样（按男、女分层）抽取一个样本，若样本中有27名男职工，则样本容量为（）
A．30 B．36 C．40 D．无法确定
8．（5分）已知样本：
10 8 6 10 13 8 10 12 11 7
8 9 11 9 12 9 10 11 12 12
那么频率为0.3的范围是（）
A．5.5～7.5 B．7.5～9.5 C．9.5～11.5 D．11.5～13.5
9．（5分）设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a、b、α、β为非零常数．若f=﹣1，则f等于（）
10．（5分）定义行列式运算：，将函数的图象向左平移m个单位（m＞0），若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是（）
A．B．C．D．
二、填空题.（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上.）
11．（5分）计算sin43°cos13°﹣cos43°sin13°的值为．
12．（5分）算法如果执行下面的程序框图，输入n=6，m=4，那么输出的p等于．
13．（5分）如图，沿田字型的路线从A往N走，且只能向右或向下走，随机地选一种走法，则经过点C 的概率是．
14．（5分）△ABC中，AC=3，AB=2，若G为△ABC的重心，则?=．
15．（5分）下列命题中正确的有（填写正确的序号）
（1）已知f（n）=sin，则f（1）+f（2）+…+f=1；
（2）已知向量=（0，1），=（k，k），=（1，3），且∥，则实数k=﹣1；
（3）四位二进制数能表示的最大十进制数是15；
（4）函数y=cos（2x+）的图象的一个对称中心是（，0）
（5）若对任意实数a，函数y=5sin（πx﹣）（k∈N）在区间上的值出现不少于4次且不多于8次，则k的值是2．
三．解答题：（本题共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16．（12分）有编号为A1，A2，…A10的10个零件，测量其直径（单位：cm），得到下面数据：
编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10
直径 1.51 1.49 1.49 1.51 1.49 1.51 1.47 1.46 1.53 1.47
其中直径在区间内的零件为一等品．
（Ⅰ）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；
（Ⅱ）从一等品零件中，随机抽取2个．
（ⅰ）用零件的编号列出所有可能的抽取结果；
（ⅱ）求这2个零件直径相等的概率．
17．（12分）已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，|φ|＜π）的一段图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）求这个函数的单调递增区间．
18．（12分）随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图．
（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
（2）计算甲班的样本方差；
（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．
19．（12分）已知=（5cosx，cosx），=（sinx，2cosx），函数f（x）=?+||2
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）当≤x≤时，求函数f（x）的值域；
（3）求满足不等式f（x）≥6的x的集合．
20．（13分）平面内有四边形ABCD，=2，且AB=CD=DA，=，=，M是CD的中点．
（1）试用，表示；
（2）若AB上有点P，PC和BM的交点为Q，已知PQ：QC=1：2，求AP：PB和BQ：QM．
21．（14分）已知点M（0，1），C（2，3），动点P满足||=1，过点M且斜率为k的直线l与动点P的
轨迹相交于A、B两点．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）求实数k的取值范围；
（3）求证：?为定值；
（4）若O为坐标原点，且?=12，求直线l的方程．
湖南省株洲市醴陵二中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题.（本大题共10小题，每小题5分，共计50分）
1．（5分）cos210°等于（）
A．B．﹣C．﹣D．
考点：运用诱导公式化简求值．
专题：三角函数的求值．
分析：原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
解答：解：cos210°=cos（180°+30°）=﹣cos30°=﹣．
故选：C．
点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
2．（5分）老师在班级50名学生中，依次抽取班号为4，14，24，34，44的学生进行作业检查，老师运用的抽样方法是（）
A．随机数法B．抽签法C．系统抽样D．以上都是
考点：系统抽样方法．
专题：概率与统计．
分析：根据号码之间的关系进行判断即可．
解答：解：∵班号为4，14，24，34，44的学生号码间距相同都为10，
∴老师运用的抽样方法是系统抽样，
故选：C
点评：本题主要考查系统抽样的应用，根据系统抽样的定义是解决本题的关键．
3．（5分）①正相关，②负相关，③不相关，则下列散点图分别反映的变量是（）
A．①②③B．②③①C．②①③D．①③②
考点：散点图．
专题：计算题；概率与统计．
分析：由图分析得到正负相关即可．
解答：解：第一个图大体趋势从左向右上升，故正相关，
第二个图不相关，
第三个图大体趋势从左向右下降，故负相关，
故选D．
点评：本题考查了变量相关关系的判断，属于基础题．
4．（5分），是两个向量，||=1，||=2，且（+）⊥，则与的夹角为（）
A．30°B．60°C．120°D．150°
考点：数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：设，的夹角为θ，0°≤θ≤180°，则由题意可得（）?=0，解得cosθ=﹣，可得θ的值．解答：解：设，的夹角为θ，0°≤θ≤180°，则由题意可得（）?=0，
即+=1+1×2×cosθ=0，解得cosθ=﹣，∴θ=120°，
故选C．
点评：本题主要考查两个向量垂直的性质，根据三角函数的值求角，属于中档题．
5．（5分）已知sinx=，则cos2x的值为（）
A．B．C．D．
专题：三角函数的求值．
分析：由二倍角的余弦公式化简即可求值．
解答：解：∵sinx=，∴cos2x=1﹣2sin2x=1﹣2×=．
故选：D．
点评：本题主要考察了二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查．
6．（5分）已知点A（﹣3，﹣4）、B（5，﹣12）．则||=（）
A．8B．8C．8D．16
考点：平面向量的坐标运算．
专题：平面向量及应用．
分析：直接利用向量求模公式求解即可．
解答：解：点A（﹣3，﹣4）、B（5，﹣12）．则||==8．
故选：A．
点评：本题考查向量的模的求法，向量的坐标运算，基本知识的考查．
7．（5分）已知某单位有职工120人，其中男职工90人，现采用分层抽样（按男、女分层）抽取一个样本，若样本中有27名男职工，则样本容量为（）
A．30 B．36 C．40 D．无法确定
考点：分层抽样方法．
专题：概率与统计．
分析：根据分层抽样的定义和性质进行求解即可．
解答：解：设样本容量为n，
则由题意得，
解得n=36，
故选：B
点评：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．
8．（5分）已知样本：
10 8 6 10 13 8 10 12 11 7
8 9 11 9 12 9 10 11 12 12
那么频率为0.3的范围是（）
A．5.5～7.5 B．7.5～9.5 C．9.5～11.5 D．11.5～13.5
考点：频率分布表．
专题：计算题．
分析：根据已知数据，求出样本容量及各组的频数，进而根据频率=，计算出各组的频率，进
而比照四个中的频率，可得结论
解答：解：由已知可和样本数据的样本容量为20
其中在7.5～9.5的频数为：6，其频率为0.3，故B正确；
其中在9.5～11.5的频数为：7，其频率为0.35，故C不正确；
其中在11.5～13.5的频数为：5，其频率为0.25，故D不正确；
故选B
点评：本题考查的知识点是频率分布表，其中掌握公式频率=，是解答的关键
9．（5分）设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a、b、α、β为非零常数．若f=﹣1，则f等于（）A．﹣1 B．0C．1D．2
考点：运用诱导公式化简求值．
专题：三角函数的求值．
分析：由题意和诱导公式可得asinα+bcosβ=1，把x=2014代入由诱导公式化简可得f=asinα+bcosβ，整体代入计算可得．
解答：解：∵f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），
∴f=asin+bcos=﹣1，
由诱导公式化简可得：﹣asinα﹣bcosβ=﹣1，即as inα+bcosβ=1
∴f=asin+bcos
=asinα+bcosβ=1，
故选：C．
点评：本题考查诱导公式，整体代入是解决问题的关键，属基础题．
10．（5分）定义行列式运算：，将函数的图象向左平移m个单位（m＞0），若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是（）
A．B．C．D．
考点：二阶行列式的定义；函数的图象与图象变化．
专题：计算题．
分析：先用行列式展开法则求出f（x），再由函数的平移公式能够得到f（x+m），然后由偶函数的性质求出m的最小值．
解答：解：f（x）==sinx﹣cosx=2sin（x﹣），
图象向左平移m（m＞0）个单位，
得f（x+m）=2sin（x+m﹣），
由m﹣=+kπ，k∈Z，
则当m取得最小值时，函数为偶函数．
故选A．
点评：本题考查二阶行列式的展开法则、函数的图象与图象变化，解题时要注意函数的平移和偶函数的合理运用．
二、填空题.（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上.）
11．（5分）计算sin43°cos13°﹣cos43°sin13°的值为．
考点：两角和与差的正弦函数．
专题：计算题．
分析：两角差的正弦公式逆用，得特殊角的正弦值，可求．
解答：解：sin43°cos13°﹣cos43°sin13°=sin（43°﹣13°）=sin30°=，
故答案为．
点评：本题考查两角和与差的正弦函数，此公式不仅要会正用，也要会逆用．
12．（5分）算法如果执行下面的程序框图，输入n=6，m=4，那么输出的p等于360．
考点：循环结构．
专题：图表型．
分析：讨论k从1开始取，分别求出p的值，直到不满足k＜4，退出循环，从而求出p的值，解题的关键是弄清循环次数．
解答：解：第一次：k=1，p=1×3=3；
第二次：k=2，p=3×4=12；
第三次：k=3，p=12×5=60；
第四次：k=4，p=60×6=360
此时不满足k＜4．
所以p=360．
故答案为：360．
点评：本题主要考查了直到形循环结构，注意循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．
13．（5分）如图，沿田字型的路线从A往N走，且只能向右或向下走，随机地选一种走法，则经过点C 的概率是．
考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
专题：计算题；概率与统计．
分析：沿田字型的路线从A往N走，共分4步完成，其中有2步向右，有2步向下，故所有的走法共有?=6种方法．其中经过点C的走法有2×2=4种，由此求得经过点C的概率．
解答：解：沿田字型的路线从A往N走，且只能向右或向下走，共分4步完成，其中有2步向右，有2步向下，故所有的走法共有?=6种方法．
其中经过点C的走法有2×2=4种，故经过点C的概率是=，
故答案为．
点评：本题主要考查古典概型，解决古典概型问题时最有效的工具是列举，要求能通过列举解决古典概型问题，也有一些题目需要借助于排列组合来计数．
14．（5分）△ABC中，AC=3，AB=2，若G为△ABC的重心，则?=．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：计算题；平面向量及应用．
分析：运用三角形的重心的性质和向量的三角形法则及向量的中点表示，以及向量的平方即为模的平方，即可化简求得．
解答：解：由于G为△ABC的重心，
连接AG，延长交BC于D，
则==（）=，
则有?=
=（﹣）=（9﹣4）=．
故答案为：．
点评：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查三角形的重心的性质及向量中点的向量表示，考查运算能力，属于基础题．
15．（5分）下列命题中正确的有（2）（3）（4）（填写正确的序号）
（1）已知f（n）=sin，则f（1）+f（2）+…+f=1；
（2）已知向量=（0，1），=（k，k），=（1，3），且∥，则实数k=﹣1；
（3）四位二进制数能表示的最大十进制数是15；
（4）函数y=cos（2x+）的图象的一个对称中心是（，0）
（5）若对任意实数a，函数y=5sin（πx﹣）（k∈N）在区间上的值出现不少于4次且不多于8次，则k的值是2．
考点：命题的真假判断与应用．
专题：三角函数的图像与性质；平面向量及应用；算法和程序框图；简易逻辑．
分析：根据正弦型函数的周期性，利用分组求和法，可判断（1）；根据向量平行的充要条件，可判断（2）；根据二进制与十进制之间的转化关系，可判断（3）；根据余弦型函数的对称性，可判断（4）；根据正弦型函数的周期性，构造关于k的不等式组，解出k值，可判断（5）．
解答：解：对于（1）∵f（n）=sin是周期为12的周期函数，
在同一周期内，f（1）+f（2）+…+f（12）=0，
2014=167×12+10，
故f（1）+f（2）+…+f=f（1）+f（2）+…+f（10）=，
故（1）错误；
对于（2），∵向量=（0，1），=（k，k），=（1，3），
∴=（k，k﹣1），=（1，2），
又∵∥，
∴2k﹣（k﹣1）=0，解得k=﹣1；
故（2）正确；
对于（3），四位二进制数能表示的最大数为1111（2）=15（10），故（3）正确；
对于（4），当x=时，y=cos（2x+）=cos=0，故（，0）点是函数y=cos（2x+）的图象的一个
对称中心，故（4）正确；
对于（5），由于函数在一个周期内有且只有2个不同的自变量使其函数值为3，
因此该函数在区间（该区间的长度为3）上至少有2个周期，至多有4个周期，，
因此，≤T≤，即≤≤，求得≤k≤，可得k=3，或k=4，故（5）错误；
故正确的命题有：（2）（3）（4），
故答案为：（2）（3）（4）
点评：本题以命题的真假判断为载体考查了三角函数的图象和性质，进制转化，向量平行的充要条件，难度中档．
三．解答题：（本题共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10
直径 1.51 1.49 1.49 1.51 1.49 1.51 1.47 1.46 1.53 1.47
其中直径在区间内的零件为一等品．
（Ⅰ）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；
（Ⅱ）从一等品零件中，随机抽取2个．
（ⅰ）用零件的编号列出所有可能的抽取结果；
（ⅱ）求这2个零件直径相等的概率．
考点：古典概型及其概率计算公式；等可能事件；等可能事件的概率．
专题：概率与统计．
分析：（1）考查古典概型用列举法计算随机事件所含的基本事件数，从10个零件中随机抽取一个共有10种不同的结果，而符合条件的由所给数据可知，一等品零件共有6个，由古典概型公式得到结果．（2）（i）从一等品零件中，随机抽取2个，一等品零件的编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6．从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有15种．
（ii）从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等记为事件B，列举出B的所有可能结果有：{A1，
A4}，{A1，A6}，{A4，A6}，{A2，A3}，{A2，A5}，{A3，A5}，共有6种．根据古典概型公式得到结果．解答：（Ⅰ）解：由所给数据可知，一等品零件共有6个．
设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A，则P（A）==；
（Ⅱ）（i）一等品零件的编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6．
从这6个一等品零件中随机抽取2个，
所有可能的结果有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，
{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，
{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}共有15种．
（ii）“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”记为事件B
B的所有可能结果有：{A1，A4}，{A1，A6}，{A4，A6}，
{A2，A3}，{A2，A5}，{A3，A5}，共有6种．
∴P（B）=．
点评：本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力．
17．（12分）已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，|φ|＜π）的一段图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）求这个函数的单调递增区间．
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．
分析：（1）由函数的图象观察可知A=2，T=π，即可求出ω的值，由（﹣，2）在函数图象上，可求φ的值，从而可求函数的解析式；
（2）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，可解得函数的单调递增区间．
解答：解：（1）∵由函数的图象观察可知：A=2，T=2（）=π
∴ω===2
∵（﹣，2）在函数图象上，即有2=2sin（φ﹣）
∴可解得：φ=2kπ+，k∈Z
∵|φ|＜π
∴令k=0，可得φ=．
故y=2sin（2x+）．
（2）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，可解得kπ﹣≤x≤kπ，k∈Z
故函数的单调递增区间是，k∈Z．
点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．
18．（12分）随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图．
（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
（2）计算甲班的样本方差；
（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．
考点：茎叶图；极差、方差与标准差；等可能事件的概率．
专题：概率与统计．
分析：本题中“茎是百位和十位”，叶是个位，从图中分析出参与运算的数据，代入相应公式即可解答．解答：解：（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于160～169之间，而乙班身高集中于170～180之间．
（2），
甲班的样本方差为
+（170﹣170）2+（171﹣170）2+（179﹣170）2+（179﹣170）2+（182﹣170）2]=57．
（3）设身高为176cm的同学被抽中的事件为A；
从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：（181，173）（181，176）
（181，178）（181，179）（179，173）（179，176）（179，178）（178，173）
（178，176）（176，173）共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件．∴．（12分）
点评：茎叶图的茎是高位，叶是低位，所以本题中“茎是百位和十位”，叶是个位，从图中分析出参与运算的数据，代入相应公式即可解答．从茎叶图中提取数据是利用茎叶图解决问题的关键．
19．（12分）已知=（5cosx，cosx），=（sinx，2cosx），函数f（x）=?+||2
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）当≤x≤时，求函数f（x）的值域；
（3）求满足不等式f（x）≥6的x的集合．
考点：平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
专题：计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．
分析：运用平面向量的数量积的坐标表示和向量模的公式，及二倍角的正弦和余弦公式，以及两角和的正弦公式，化简f（x），再由周期公式和正弦函数的图象和性质，即可得到所求的值域和x的取值集合．
解答：解：由于f（x）=f（x）=?+||2
=5sinxcosx+2cos2x+sin2x+4cos2x
=5sinxcosx+sin2x+6cos2x=sin2x++3（1+cos2x）
=sin2x+cos2x+=5sin（2x+）+，
（1）f（x）的最小正周期T==π；
（2）由≤x≤，则
则﹣．即有1≤f（x）≤
即f（x）的值域为；
（3）由f（x）≥6，即有sin（2x+），
即为2kπ+≤2k，k∈Z，
则有kπ≤x≤kπ+（k∈Z）．
点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示和性质，考查三角函数的化简和求值，考查正弦函数的周期和值域，考查运算能力，属于中档题．
20．（13分）平面内有四边形ABCD，=2，且AB=CD=DA，=，=，M是CD的中点．（1）试用，表示；
（2）若AB上有点P，PC和BM的交点为Q，已知PQ：QC=1：2，求AP：PB和BQ：QM．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：计算题；平面向量及应用．
分析：（1）运用向量的中点表示，及向量的数乘，即可得到向量BM；
（2）设=t，=，运用向量的三角形法则，及平面向量的基本定理，得到λ，t的方程，解得
即可．
解答：解：（1）由于M是CD的中点，
则=（）=（）
=，
（2）设=t，则==+
=t=（）
设==，
由于不共线，则有
，
解方程组，得λ=，t=．
故AP：PB=2：1，BQ：QM=4：5．
点评：本题考查向量共线的定理和平面向量基本定理的运用，考查运算能力，属于基础题．
21．（14分）已知点M（0，1），C（2，3），动点P满足||=1，过点M且斜率为k的直线l与动点P的
轨迹相交于A、B两点．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）求实数k的取值范围；
（3）求证：?为定值；
（4）若O为坐标原点，且?=12，求直线l的方程．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量数量积的运算．
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：（1）设P（x，y），由已知得=1，由此能求出动点P的轨迹方程．
（2）设直线l的方程为y=kx+1，代入动点P的轨迹方程得：（1+k2）x2﹣4（1+k）x+7=0，由此利用根的判别式能求出实数k的取值范围．
（3）设过M点的圆切线为MT，T为切点，由MT2=MA×MB，能证明为定值．
（4）设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得=x1x2+y1y2==12，由此能求出直线
l的方程．
解答：（1）解：设P（x，y），
∵点M（0，1），C（2，3），动点P满足||=1，
∴=1，
整理，得动点P的轨迹方程为：（x﹣2）2+（x﹣3）2=1．…（2分）
（2）解：直线l过点M（0，1），且斜率为k，
则直线l的方程为y=kx+1，…（3分）
将其代入动点P的轨迹方程得：（1+k2）x2﹣4（1+k）x+7=0，
由题意：△=2﹣28（1+k2）＞0，
解得．…（6分）
（3）证明：设过M点的圆切线为MT，T为切点，
则MT2=MA×MB，
而MT2=（0﹣2）2+（1﹣3）2=7，…（8分）
∴=||?||cos0°=7为定值．…（10分）
（4）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
由（1）知，…（10分）
=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1
==12，…（12分）
解得k=1，当k=1时．△=82﹣4×2×7=8，…（13分）
故k=1，直线l的方程为y=x+1．…（14分）
点评：本题考查动点的轨迹方程的求法，考查直线斜率的取值范围的求法，考查?为定值的证明，