二元一次方程组讲义
题型一：二元一次方程（组）的概念
①二元一次方程： 含有两个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的方程。
注意：满足的四个条件：1、都是整式方程；2、只含有两个未知数；3、未知数的项最高次数都是一次；4、含
有未知数的项的系数不为0. ②二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫二元一次方程组。
注意：1）满足的三个条件：1、每个方程都是一次方程；2、方程组具有两个未知数；3、每个方程均为整式方
程。
2）方程组的各个方程中，相同字母必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起，组成方程组。
①二元一次方程：
例1、下列方程①x x 263=+，②3=xy ，③42
=-
x y ，④y y x 24
10=-
，⑤21=+
y
x ，⑥532=+xy x ，
⑦03=+-z y x ，⑧1332=+y x 中，二元一次方程有 个。
例2、方程14-=-x y ax 是二元一次方程，则a 的取值范围为 .
例3、已知方程()132-=++m y m mx 是关于y x ,的二元一次方程，则m 的取值范围是 . 例4.若关于x ，y 的方程021=+-+n m y x 是二元一次方程，则n m +的和为 . 例5、若1342
=+--b
a y
x
是关于x ，y 的二元一次方程，其中3≤+b a ，则=-b a ．
②二元一次方程组：
例1、下列方程组中，二元一次方程组的个数是 .
（1）?????=+=+21122y x y x ；
（2）?????=-=+211y x y x ；（3）?????=-=211y x xy ；（4）???==+01x y x ；（5）???
????=+=+2111y x y x ；（6）???=+=+212z y y x ； （7）?????=+=+9114y
x y x ；（8）???=-=-1y x xy y x .；（9）()?????-=-=+-2312y y x x y
x
例5、若方程组()?
??=-=+-+-43
33
2b a y x xy c x 是关于y x ,的二元一次方程组，则代数式c b a ++的值是 ．
题型二：二元一次方程（组）的解的概念
①二元一次方程:
注意：1)二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值；2）二元一次方程的解使方程左右两边
相等；3）一般情况下，一个二元一次方程有无数多组解，但并不是说任意一对数值都是它的解，当对
解有限制条件时，二元一次方程的解的个数为有限个。
②二元一次方程组：
注意：1）二元一次方程组的解满足方程中的每一个方程；2）二元一次方程组需用大括号“{”表示，方程组
的解也要用大括号“{”表示；3）一般常见的二元一次方程组有唯一解，但有的方程组有无数多组解，如()?
??=+=+422y x y x ，有的方程组无解，如???=+=+63y x y x .
例1、若?
??-==22
y x 是二元一次方程3=+by ax 的一个解，则=--1b a .
例2、如果?
??==n y m
x 是方程02=+y x 的一个解（0≠m ）
，那么（ ） A 、m ≠0，n=0 B 、m ，n 异号 C 、m ，n 同号 D 、m ，n 可能同号，也可能异号
例3、方程组???=+-=-8332y x y x 和?
??=-=+42
by ax by ax 同解，求b a 、的值。
例4、已知???==1
2
y x 是二元一次方程组???=-=+18my nx ny mx 的解，则n m -2的算术平方根为 . 例5、若?
??==b y a
x 是方程2x+y=0的解，则=++236b a .
例6、已知???==12
y x 是二元一次方程组?
??=-=+17by ax by ax 的解，则b a -的值为 .
例7、关于x ，y 的二元一次方程()()02521=-+++-a y a x a ，当a 取一个确定的值时就得到一个方程，所
有这些方程有一个公共解，则这个公共解是 .
题型三：解多元一次方程（组）的问题
解二元一次方程组的方法：代入消元法；加减消元法，整体思想（整体代入法；整体加减法）；换元法、分类
讨论法。
①二元一次方程：
例1、（2011?柳州）把方程32=+y x 改写成用含x 的式子表示y 的形式，得=y .
例2、（2003?黑龙江）写出满足方程92=+y x 的一对整数值 . 例3、二元一次方程103=+y x 的非负整数解共有 对． 例4、方程()()731=-+y x 的整数解有 对.
例5、方程204=+y x 的非负整数解有 . A 、4组 B 、5组 C 、6组 D 、无数组
例6、若0034≠=-x y x 且，则=+-y
x y x 5454 .
②二元一次方程组：
例1、（2011?淄博）由方程组?
??=-=+m y m x 36
可得出x 与y 的关系式是 .
1）代入消元法
例2、（2011?肇庆）方程组???=+=-4
22
y x y x 的解是 .
例3、（2011?台湾）若二元一次联立方程式?
??=-=+724
2y x y x 的解为b y a x ==,，则b a +的值为 .
例4、（2011?曲靖）方程12=-y x 和72=+y x 的公共解是 .
例5、用“代入消元法”解方程组?
??=-=-②①
256624y x y x 时，可先将第 方程（填序号即可）变形为 ，
然后再代入．
例6、用代入消元法解下列方程组：
(1)???=+=-172305y x y x ； （2）()?????
-=+-+=--
452221
3y x y x y x x ； （3）?????=+=+14766.053
2.0y x y x ； （4）???=+=-8230
2y x y x （5）?????=-=15
243y x y x
.
2）加减消元法：
例1、用加减消元法解下列方程组：
（1）???=+=-42651043y x y x ； (2)?????=+=+28
322
32y x y x ； （3）?????=-=+343
1332n m n
m
3）整体思想：
例1、解下列方程组：
（1）???-=+-=-6655
37y x y x ； （2）()()?
??=+=---400110112358120000y x y x x .
例2、解下列方程组：
（1）???=+=+15
1617171819y x y x ； (2)???=+=+6029200920116031
20112009y x y x
例3、已知方程组?????=+=-521845n m n m 的解是???
==34n m ，求方程组()()()()?????=++-=+--5232
182435y x y x 的解。
例4、已知方程组：???=+=-9.30531332b a b a 的解是：???==2.13
.8b a ，则方程组：()()()()?
??=-++=--+9.301523131322y x y x 的解是 .
4）换元法：
例1、解下列方程组： （1）???????
=---=-+-152223*********y
x y x y
x y x
5）分类讨论法：
例1、若x 、y 是两个实数，且???=---=+-12y x y y x x ，则x
y y x 等于 .
例2、方程组?
??=+=+612
y x y x 的解的个数为 .
例3、若关于x ，y 的方程组?
??=+-=++020
1a y bx ay x 没有实数解，则 .
③三元一次方程组：
例1、已知方程组?
??=-=+63
2y x y x 的解满足方程k y x =+2，则=k .
例2、已知方程组???+=-=+11
4332k y x k
y x 的解y x ,满足方程35=-y x ，求k 的值.
例3、如果方程组?
??=-=+a y ax y x 44
2的解是方程02853=--y x 的一个解，则=a .
例4、若()024
1432
=-+
-+b c c b a ，则=c b a :: ．
例5、在关于321,,x x x 的方程组???
??=+=+=+3
132321
21a x x a x x a x x 中，已知321a a a >>，那么将321,,x x x 从大到小排起来应该
是 ．
题型四：二元一次方程（组）与绝对值、同类项的综合运用
例1、已知05231=--++b a a ，则=ab .
例2、若022253=--+++b a b a ，则()ab b a 32-+的值为 .
例3、方程a y x =-23的解y x 、的值也满足()02122
=-+-+y x y x ，且0=+a a ，求a 的值。
例4、如果31253y x y x m m n --与是同类项，那么n m 和的取值分别是 . 例5、若3
2213-4--b a
xy
y x
与是同类项，则=a ，=b .
例6、解方程组：?
??-=-=+1327
y x y x
题型五：模糊以及抄错题问题
例1、小华不小心将墨水溅在同桌小丽的作业本上，结果二元一次方程组
中第一个方程y 的系数和
第二个方程x 的系数看不到了，现在已知小丽的结果是?
?
?==21
y x 你能由此求出原来的方程组吗？
例2、甲、乙两位同学一起解方程组232ax by cx y +=??-=-?，
．甲正确地解得11x y =??=-?，．乙仅因抄错了题中的c ，解得26
x y =??
=-?，
求原方程组中b c ，的值．
例3、甲乙两人解方程组?
?
?-=-=+，②①24,155by x y ax ，由于甲看错了方程①中的a ，而得到方程组的解为???-=-=;1,
3y x 乙
看错了方程②中的b ，而得到的解为?
??==.4,
5y x 假如按正确的b a ,计算，求出原方程组的解。
例4、已知方程组???-=+-=+2242016y cx by ax 的解应为???-==108y x ，小明解题时把c 抄错了。因此得到的解是?
??-==1312
y x ，
则222c b a ++的值。
题型六：由实际问题抽象出二元一次方程组的问题
例1、（2011?泰安）某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲．乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲乙两种各买多少件？该问题中，若设购买甲种奖品x 件，乙种奖品y 件，则可列方程 .
A 、???=+=+400161230y x y x
B 、???=+=+400121630y x y x
C 、???=+=+400301612y x y x
D 、?
??=+=+400301216y x y x
例2、（2011?台湾）在早餐店里，王伯伯买5颗馒头，3颗包子，老板少拿2元，只要50元．李太太买了11颗馒头，5颗包子，老板以售价的九折优待，只要90元．若馒头每颗x 元，包子每颗y 元，则下列哪一个二元一次联立方程式可表示题目中的数量关系 .
A 、????=++=+9.09051125035y x y x
B 、???÷=++=+9.09051125035y x y x
C 、????=+-=+9.09051125035y x y x
D 、?
??÷=+-=+9.09051125035y x y x 例3、（2011?宁夏）一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为x ，十位数字为y ，所列方程组正确的是 . A 、???=+=+yx xy y x 188 B 、???+=++=+y x y x y x 1018108 C 、???=++=+yx y x y x 18108 D 、()?
??=+=+yx y x y x 108
例4、（2010?宁夏）甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，
调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%、若设甲、乙两种商品原来的单价分别为x 元、y 元，则下列方程组正确的是 . A 、()()()???+?=-++=+00
0000
201100401101100y x y x B 、()()????=++-=+0
00
0020100401101100
y x y x
C 、()()()???-?=++-=+00
0000
20110040
1101100y x y x D 、()()?
???=-++=+0
00
0020100401101100
y x y x 例5、（2010?丹东）某校春季运动会比赛中，八年级（1）班、（5）班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：（1）班与（5）班得分比为6：5；乙同学说：（1）班得分比（5）班得分的2倍少40分．若设（1）班得x
分，（5）班得y 分，根据题意所列的方程组应为 .
A 、???-==40256y x y x
B 、???+==40256y x y x
C 、???+==40265y x y x
D 、???-==40
265y x y x
例6、（2010?长春）端午节时，王老师用72元钱买了荷包和五彩绳共20个，其中荷包每个4元，五彩绳每个3元．设王老师购买荷包x 个，五彩绳y 个，根据题意，下面列出的方程组正确的是 . A 、???=+=+724320y x y x B 、???=+=+723420y x y x C 、???=+=+203472y x y x D 、?
??=-=+204372y x y x
例7、（2010?巴中）巴广高速公路在5月10日正式通车，从巴中到广元全长约为126km ．一辆小汽车，一辆货车同时从巴中，广元两地相向开出，经过45分钟相遇，相遇时小汽车比货车多行6km ，设小汽车和货车的速度分别为x km/h ，y km/h ，则下列方程组正确的是 .
A 、()()???=-=+645126
45y x y x B 、()?????=-=+612643y x y x C 、()()?????=-=+6
4512643y x y x D ()()?????=-=+64
312643
y x y x
例8、（2008?株洲）“鸡兔同笼”是我国民间流传的诗歌形式的数学题：“鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露，看来脚有100只，几多鸡儿几多兔”解决此问题，设鸡为x 只，兔为y 只，则所列方程组正确的是 . A 、???=+=+100236y x y x B 、???=+=+1002436y x y x C 、???=+=+1004236y x y x D 、?
??=+=+1002236y x y x
例9、（2008?台州）四川5.12大地震后，灾区急需帐篷．某企业急灾区所急，准备捐助甲、乙两种型号的帐篷共2000顶，其中甲种帐篷每顶安置6人，乙种帐篷每顶安置4人，共安置9000人，设该企业捐助甲种帐篷x 顶、乙种帐篷y 顶，那么下面列出的方程组中正确的是 .
A 、???=+=+9000420004y x y x
B 、???=+=+9000620004y x y x
C 、???=+=+90006420004y x y x
D 、?
??=+=+90004620004y x y x
例10、（2008?荆门）用四个全等的矩形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是144，小正方形的面积是4，若用x ，y 表示矩形的长和宽（y x >），则下列关系式中不正确的是 . A 、12=+y x B 、2=-y x C 、35=xy D 、1442
2
=+y x
例11、“甲、乙两数之和为16，甲数的3倍等于乙数的5倍”，若设甲数为x ，乙数为y ，则列出方程组：
（1）???==+y x y x 5316；（2）???==+x y y x 3516 ；（3）???=-=-03516x y y
x ；（4）?????==-35
16y x x
y 中，其中正确的有 。
A 、1组
B 、2组
C 、3组
D 、4组
例12、现用190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，而一个盒身与两个盒底配成一个盒子，
设用x 张铁皮做盒身，y 张铁皮做盒底，则可列方程组为 .
A 、???=?=+y x y x 2282190
B 、???=?=+x y y x 8222190
C 、???==+x y x y 8221902
D 、?
??==+x y x y 2281902
例13、已知一组数据1，2，4，2，8，7，它的中位数和众数恰好是一个关于x ，y 的二元一次方程组的解，则这个二元一次方程组是 ．（写出符合条件的一个即可）
题型七：方程及方程组的应用问题
思路导航：应用二元一次方程组解决实际问题关键在于正确找出问题中的两个等量关系，列出方程并组成方程组，同时注意检验解的合理性
列方程组解应用题的一般步骤：
（1）审题：反复阅读题目，弄清题意，明确问题中哪些量是已知量，哪些量是未知量，弄清题目中的等量关系。（2）找等量关系，设未知数，列出代数式：选择两个未知数，用字母表示，用含有未知数的代数式表示其他的未知数，找出题目中明显的灯亮关系和隐含的等量关系；
（3）列方程组：根据题目中的等量关系列出方程，并组成方程组；
（4）解方程组：求出未知数的值；
（5）检验并作答：检验所得的未知数的值是否合理，然后作答。
1）工作量问题
思路导航：工程问题.一般分为两类，一类是一般的工程问题，一类是工作总量为1的工程问题.
基本等量关系为：工作量＝工作效率× 工作时间；
例1、某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共480台．改进生产技术后，计划第二季度生产这两种机器共554台，其中甲种机器产量要比第一季度增产10％，乙种机器产量要比第一季度增产20％．该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多少台？
例2、一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，问两人每天各做多少个机器零件？
例3、重庆市政府打算把一块荒地建成公园，动用了一台甲型挖土机，4天挖完了这块地的一半。后又加一台乙型挖土机，两台挖土机一起挖，结果1天就挖完了这块地的另一半。乙型挖土机单独挖这块地需要几天？
2）行程问题
思路导航：行程问题.包括追及问题和相遇问题，基本等量关系为：路程＝速度×时间；
例1、某学校组织学生到100千米以外的夏令营去，汽车只能坐一半人，另一半人步行.先坐车的人在途中某处下车步行，汽车则立即回去接先步行的一半人.已知步行每小时走4千米，汽车每小时走20千米（不计上下车的时间），要使大家下午5点同时到达，问需何时出发.
例2、甲、乙两从A地出发，向同一方向前进，甲步行先走1小时后，乙骑自行车追赶，当乙骑了2小时后，乙还在甲的后面1.5千米处，再走1小时后，乙在甲的前面2.5千米处，求甲、乙两人的速度．
例3、甲、乙两人分别从相距30千米的A、B两地同时相向而行，经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B地所剩路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度.
例4.某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟；如果他以每小时75千米的高速行驶，则可提前24分钟到达乙地，求他以每小时多少千米的速度行驶可准时到达.
3）分配问题
思路导航：这类问题要搞清资源的变化情况
例1、现有190张铁皮做盒子，每张铁皮可以做8个盒身或做22个盒底，一个盒身与两个盒底可以配成一个完整的盒子，问：用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以恰好制成一批完整的盒子？
例2、某家具厂生产一种方桌，设计时3
1m的木材可做50个桌面或做300条桌腿。现有3
10m的木材，求怎样分配生产桌面和桌腿使用的木材，可使生产的桌面、桌腿刚好配套，并指出生产多少张方桌（1张方桌有一个桌面，4条桌腿）.
例3、某服装厂要生产一批服装，已知3米长的某种布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用600米长的这种布料生产这一批服装，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套？共能生产多少套？
4）利率问题
思想导航：储蓄问题中基本量之间的关系：(1)
=+=?+?
本息和本金利息本金利率期数，
利息=本金?利率?期数，利率=利息本金.
例1、小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25％的教育储蓄，另一种是年利率为2.25％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税＝利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税）
例2、某同学的父母用甲、乙两种形式为其存储了一笔教育储蓄金10 000元，甲种形式年利率为0
025
.2，乙
种形式年利率为005.2,一年后，这名同学得到本息和共10242.5元，那么该同学的父母为其存储的甲、乙两种形式的教育储蓄金各为多少元？
5）盈亏问题
例1、某服装商贩同时卖出两套服装，每套均卖168元，按成本计算，一套赚了20%另一套亏了20%。则商贩在这次买卖中盈亏了多少？
例2、新华书店一天内销售两种书籍，甲种书籍共卖得1560元，为了发展农业科技，乙种书籍送下乡共卖得1350元，按甲、乙两种书籍的成本分别计算，甲种书籍盈利0
025，乙种书籍亏本0
10
，试问该书店一天共盈利（亏
本）多少元？
6）数字问题
思路导航：abcd 表示一个多位数，它可以表示为：abcd
3
2
101010a b c d
=?+?+?+
数字型应用题的常见解题思路是抓住数字间或新数、原数间的关系列方程，多以间接设元求解为
宜．解题时要注意区分数字与数之间的区别．
例1、如果一个两位数的十位数字与个位数字之和为6，那么这样的两位数的个数是（ ）
A 、3
B 、6
C 、5
D 、4
例2、一个两位数的数字之和是7，这个两位数减去27，它的十位和个位上的数字就交换了位置，则这个两位
数是多少？
例3、一个两位数，十位上数字是个位上数字的两倍，把这个两位数个位上数字与十位上数字对调得的新两位
数比原两位数小27，求原两位数.
例3、甲乙两人做加法，甲在其中一个数后面多写了一个0，得和为2342，乙在同一个加数后面少写了一个0，
得和为65，你能求出原来的两个加数吗？
例1
7）和、差、倍、分问题
思路导航：基本等量关系为：(和＋差)÷2＝大数 ； (和－差)÷2＝小数 ；
和倍问题： 和÷(倍数+1)＝小数 小数×倍数＝大数 (或者 和－小数＝大数) 差倍问题： 差÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数 (或 小数＋差＝大数)
例1、有两缸金鱼，如果从甲缸中取出5条放入乙缸，两缸内的金鱼数相等。已知原来甲缸的金鱼数是乙缸的1又2/3倍，甲缸原有金鱼多少条？
例2、 有两筐苹果，如果从第一筐拿出9个放到第二筐，两筐苹果个数相等；如果从第二筐拿出12个放到第一筐，则第一筐苹果的个数等于第二筐的2倍。原来每筐各有几个苹果？
例3、在读书活动中，某校将一批书按以下原则分给各班：第一班取走100本，又取走余下的十分之一：第二班取走200本，又取走余下的十分之一...以此类推，最后全部书被各班取走，而且各班所得的书相等，问共多少本书，班数是多少?
8）年龄问题
例1、师傅对徒弟说“我像你这样大时，你才4岁，将来当你像我这样大时，我已经是52岁的人了”.问这位师傅与徒弟现在的年龄各是多少岁？
例2、 甲乙两人在聊天，甲对乙说："当我的岁数是你现在岁数时，你才4岁。”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁。”你能算出他们两人各几岁吗？
几何问题
例1、（2011?台湾）如图，将长方形ABCD 分割成1个灰色长方形与148个面积相等的小正方形．若灰色长方形之长与宽的比为5：3，则AD ：AB=？（ ）
A 、5：3
B 、7：5
C 、23：14
D 、47：29 例2、小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图请你根据图中的信息，若小明把100个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是（ ）
A 、106cm
B 、110cm
C 、114cm
D 、116cm
例3、用6块相同的长方形地砖拼成一个矩形，如图所示，那么每个长方形地砖的面积是 2
cm ．
9）航行问题
()()水
逆水顺水静水逆水顺水水静水逆水水静水顺水，v v v v v v v v v v v v =÷-=÷+?=+=2,2-
例1、甲乙两港间的水路长280千米，一艘轮船从甲港开往乙港，顺水14小时到达。从乙港返回甲港，逆水20小时到达。求这艘轮船在静水中的速度和水流速度。
例2、一只小船往返于长江上的AB 两地之间，从A 到B 需要6小时，从B 到A 需要8小时，一个木排从A 到B
例2
例3
需要多长时间？
例3、某河有相距45千米的上下两港，每天定时有甲乙两船速相同的客轮分别从两港同时出发相向而行，这天甲船从上港出发掉下一物，此物浮于水面顺水漂下，4分钟后与甲船相距1千米，预计乙船出发后几小时可与此物相遇。
14）方案选择问题
例1、班委会决定，由小敏、小聪两人负责选购圆珠笔、钢笔共22支，送给结对的山区学校的同学，他们去了商场，看到圆珠笔每支5元，钢笔每支6元。
（1）若他们购买圆珠笔、钢笔刚好用去120元，问圆珠笔、钢笔各买了多少支？
（2）若购圆珠笔可9折优惠，钢笔可8折优惠，在所需费用不超过100元的前提下，请你写出一种选购方案。
例2、一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付两组费用共3480元.若只选一个组单独完成，从节约开支角度考虑，这家商店应选择哪个组？
例3、（2011?湘潭）九年级某班组织班团活动，班委会准备买一些奖品．班长王倩拿15元钱去商店全部用来购买钢笔和笔记本两种奖品，已知钢笔2元/支，笔记本1元/本，且每样东西至少买一件．
（1）有多少种购买方案？请列举所有可能的结果；
（2）从上述方案中任选一种方案购买，求买到的钢笔与笔记本数量相等的概率．
例4、已知某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元，我市东坡中学计划将100500元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由．
第八章 二元一次方程组知识点及练习题及答案 一、选择题 1．已知1, 2 x y =??=?是二元一次方程24x ay +=的一组解，则a 的值为（ ） A ．2 B ．2- C ．1 D ．1- 2．某小区准备新建 50 个停车位，已知新建 1 个地上停车位和 1 个地下停车位共需 0.6万元；新建 3 个地上停车位和 2 个地下停车位共需 1.3 万元，求该小区新建 1 个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？设新建 1 个地上停车位需要 x 万元，新建 1 个地下停车位需 y 万元，列二元一次方程组得（ ） A ．632 1.3x y x y +=??+=? B ．6 23 1.3x y x y +=??+=? C ．0.6 32 1.3x y x y +=??+=? D ．6 3213x y x y +=??+=? 3．已知2 2x y =-??=? 是方程kx +2y ＝﹣2的解，则k 的值为（ ） A ．﹣3 B ．3 C ．5 D ．﹣5 4．已知关于x 、y 的二元一次方程组356 310 x y x ky +=?? +=?给出下列结论：①当5k =时，此方程 组无解；②若此方程组的解也是方程61516x y +=的解，则10k =；③无论整数k 取何值，此方程组一定无整数解(x 、y 均为整数)，其中正确的是( ) A ．①②③ B ．①③ C ．②③ D ．①② 5．已知10a b +=，6a b -=，则22a b -的值是（ ） A ．12 B ．60 C ．60- D ．12- 6．端午节前夕，某超市用1680元购进A ，B 两种商品共60，其中A 型商品每件24元，B 型商品每件36元.设购买A 型商品x 件、B 型商品y 件，依题意列方程组正确的是( ) A ．6036241680x y x y +=??+=? B ．60 24361680x y x y +=??+=? C ．3624601680x y x y +=??+=? D ．2436601680x y x y +=??+=? 7．甲、乙两人同求方程ax -by =7的整数解，甲正确地求出一个解为1 1x y =??=-? ，乙把ax -by =7看成ax -by =1，求得一个解为12x y =??=?，则a ，b 的值分别为( ) A ．2 5a b =??=? B ．5 2a b =??=? C ．35a b =??=? D ．53a b =??=?
二元一次方程组练习题100道（卷一） 1、?? ?? ?-==312y x 是方程组?????? ?=-=-9 10326 5 23 y x y x 的解 …………（ ） 2、方程组? ? ?=+-=5 231y x x y 的解是方程3x -2y =13的一个解（ ） 3、由两个二元一次方程组成方程组一定是二元一次方程组（ ） 4、方程组???????=-++=+++2 5323 473 5 23y x y x ，可以转化为?? ?-=--=+27651223y x y x （ ） 5、若(a 2-1)x 2 +(a -1)x +(2a -3)y =0是二元一次方程，则a 的值为±1（ ） 6、若x +y =0，且|x |=2，则y 的值为2 …………（ ） 7、方程组? ? ?=+-=+8 1043y x x m my mx 有唯一的解，那么m 的值为m ≠-5 …………（ ） 8、方程组?? ???=+=+62 3 131 y x y x 有无数多个解 …………（ ） 9、x +y =5且x ，y 的绝对值都小于5的整数解共有5组 …………（ ） 10、方程组? ? ?=+=-351 3y x y x 的解是方程x +5y =3的解，反过来方程x +5y =3的解也是方程组?? ?=+=-3 51 3y x y x 的解 ………（ ） 11、若|a +5|=5，a +b =1则3 2-的值为b a ………（ ） 12、在方程4x -3y =7里，如果用x 的代数式表示y ，则4 37y x +=（ ） 二、选择： 13、任何一个二元一次方程都有（ ） （A ）一个解； （B ）两个解；
第二讲：二元一次方程组及应用 知识点一：二元一次方程的概念及方程的解 例1、 指出下列方程那些是二元一次方程是____________. ⑴2x ＋5y ＝16 (2)2x ＋y ＋z ＝3 (3) x 1 ＋y ＝21 (4)x 2＋2x ＋1＝0 (5)2x ＋10xy ＝5 例2、 指出下列方程那些是二元一次方程组？并说明理由。 ① ?? ?=+=-7 232z y y x ② ???? ?-=-=+1241 x y y x ③ ?? ?=-=--5 12)4(3y x x x ④ ?? ?? ?= +=-21 32132y x y x 例3、(1)已知（a －2）x －by |a |－1 ＝5是关于x 、y 的二元一次方程，则a ______，b _____． (2)如果25mx y x -=+是关于x 、y 的二元一次方程，则m _____． 例4、二元一次方程3x ＋2y ＝15的正整数解为________________________． 举一反三： 1、若方程2x a ＋1＋3＝y 2b － 5是二元一次方程，则a ＝ ,b ＝ . 2、在下列四个方程组①???=-=+94210342y x y x ，②???==+297124xy y x ，③?????=+=-4 320 21y x y x ，④???=-=+045587y x y x 中，是二元 一次方程组的有 _____________. 3、若x =1，y =2是方程ax －y ＝3的解，则a 的值是 （ ） A ．5 B ．－5 C ．2 D ．1 4、若二元一次方程的一个解为? ? ?-==12 y x ，则此方程可以是 （只要求写一个） 5、已知：∠A 、∠B 互余，∠A 比∠B 大30°，设∠A 、∠B 的度数分别为x °,y °,下列方程组中符合题意的是 A ． ?? ?-==+30 180 y x y x B ． ?? ?+==+30 180 y x y x C ． ?? ?+==+30 90 y x y x D ． ?? ?-==+30 90 y x y x 6、二元一次方程x+y=3的自然数解有_____________________. 知识点二：解二元一次方程组 例5、解二元一次方程组：?? ?=+=-1 3 y x y x （2）?? ?=+=-83120 34y x y x （3） 23 321 y x x y =-?? +=? 例6、(1)若|2a ＋3b －7|与（2a ＋5b －1）2 互为相反数，则a ＝______，b ＝______． (2)2x －3y ＝4x －y ＝5的解为_______________．
第二课时代入法解二元一次方程组练习 能力提升 1．已知 2, 4 x y =- ? ? = ? 和 4, 1 x y = ? ? = ? 都是方程y＝ax＋b的解，则a和b的值分别是()． A．a＝2，b＝3 B．a＝－0.5，b＝3 C．a＝1，b＝3 D．a＝3，b＝0.5 2．用代入法解方程组 23, 328 y x x y =- ? ? += ? ① ② 时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是 ()． A．3x＋4y－3＝8 B．3x＋4x－6＝8 C．3x－2x－3＝8 D．3x＋2x－6＝8 3．已知 2, 1 x y = ? ? = ? 是二元一次方程组 7, 1 ax by ax by += ? ? -= ? 的解，则a－b的值为()． A．1 B．－1 C．2 D．3 4．若关于x，y的二元一次方程组 5, 9 x y k x y k += ? ? -= ? 的解也是二元一次方程2x＋3y＝6的解， 则k的值为()． A． 3 4 -B． 3 4 C． 4 3 D． 4 3 - 5. 若方程4x m－n－5y m＋n＝6是二元一次方程，则m＝__________，n＝__________. 6．若方程组 2, x y b x by a += ? ? -= ? 的解是 1, 0, x y = ? ? = ? 那么|a－b|＝__________. 7．用代入法解下列方程组： (1) 424, 22; x y x y -= ? ? += ? ① ② (2) 20, 328. x y x y -= ? ? += ? ① ② 8．已知二元一次方程：(1)x＋y＝4；(2)2x－y＝2；(3)x－2y＝1.请从这三个方程中选择你喜欢的两个方程，组成一个方程组，并求出这个方程组的解． 9．已知关于x，y的二元一次方程y＝kx＋b的解有 3, 4 x y = ? ? = ? 和 1, 2. x y =- ? ? = ? (1)求k，b的值； (2)求当x＝2时，y的值； (3)当x为何值时，y＝3? 创新应用 10. 甲、乙两人共同解方程组 515, 42, ax y x by += ? ? -=- ? ① ② 由于甲看错了方程①中的a，得到方程 组的解为 3, 1, x y =- ? ? =- ? 乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为 5, 4. x y = ? ? = ? 试计算a2 011＋ 2011 1 10b ?? - ? ?? 的值．
数学第八章 二元一次方程组知识归纳总结及答案 一、选择题 1．某校运动员分组训练，若每组7人，则余3人:若每组8人，则缺5人.设运动员人数为x 人，组数为y 组，则可列方程为（ ） A ．7385y x y x =+??=+? B ．73 85y x y x =+??+=? C ．73 85y x y x =-??+=? D ．73 85y x y x =-??=+? 2．某小区准备新建 50 个停车位，已知新建 1 个地上停车位和 1 个地下停车位共需 0.6万元；新建 3 个地上停车位和 2 个地下停车位共需 1.3 万元，求该小区新建 1 个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？设新建 1 个地上停车位需要 x 万元，新建 1 个地下停车位需 y 万元，列二元一次方程组得（ ） A ．6 32 1.3 x y x y +=?? +=? B ．6 23 1.3 x y x y +=?? +=? C ．0.6 32 1.3 x y x y +=?? +=? D ．6 3213x y x y +=?? +=? 3．方程组345 3572x y x y +=?? ?-+=-?? 的解是（ ） A ．2 0.25 x y =?? =-? B ． 4.5 3 x y =-?? =? C ．1 0.5 x y =-?? =-? D ．1 0.5 x y =?? =? 4．若二元一次方程组, 3x y a x y a -=??+=?的解是二元一次方程3570x y --=的一个解，则a 为 （ ） A ．3 B ．5 C ．7 D ．9 5．在关于x 、y 的二元一次方程组321 x y a x y +=??-=?中，若232x y +=，则a 的值为（ ） A ．1 B ．-3 C ．3 D ．4 6．已知且x ＋y ＝3，则z 的值为( ) A ．9 B ．－3 C ．12 D ．不确定 7．关于x ，y 的方程组2318517ax y x by +=??-+=?（其中a ，b 是常数）的解为3 4x y =??=?，则方程组 2()3()18 ()5()17a x y x y x y b x y ++-=?? +--=-? 的解为（ ） A ．34x y =??=? B ．7 1x y =??=-? C ． 3.5 0.5x y =??=-? D ． 3.5 0.5x y =??=? 8．两位同学在解方程组时，甲同学由278ax by x cx y +=??-=? 正确地解出32x y =??=-?，乙同学因把C
二元一次方程组（提高题） 济宁学院附中李涛 类型一：二元一次方程的概念及求解 例（1）．已知（a －2）x －by |a |－1＝5是关于x 、y 的二元一次方程，则a ＝______，b ＝_____． （2）．二元一次方程3x ＋2y ＝15的正整数解为_______________． 类型二：二元一次方程组的求解 例（3）．若|2a ＋3b －7|与（2a ＋5b －1）2 互为相反数，则a ＝______，b ＝______． （4）．2x －3y ＝4x －y ＝5的解为_______________． 类型三：已知方程组的解，而求待定系数。 例（5）．已知???==1 2y x －是方程组???=++=-274123ny x y mx 的解，则m 2－n 2的值为_________． （6）．若满足方程组???=-+=-6 )12(423y k kx y x 的x 、y 的值相等，则k ＝_______． 练习：若方程组? ??=++=-10)1(232y k kx y x 的解互为相反数，则k 的值为 。 若方程组?????=+=+52243y b ax y x 与?????=-=-5 243y x by x a 有相同的解，则a = ，b= 。 类型四：涉及三个未知数的方程，求出相关量。设“比例系数”是解有关数量比的问题的常用方法． 例（7）．已知2a ＝3b ＝4c ，且a ＋b －c ＝12 1，则a ＝_______，b ＝_______，c ＝_______． （8）．解方程组?? ???=+=+=+63432 3x z z y y x ，得x ＝______，y ＝______，z ＝______． 练习：若2a ＋5b ＋4c ＝0，3a ＋b －7c ＝0，则a ＋b －c = 。 由方程组???=+-=+-0 432032z y x z y x 可得，x ∶y ∶z 是（ ） A 、1∶2∶1 B 、1∶（－2）∶（－1） C 、1∶（－2）∶1 D 、1∶2∶（－1） 说明：解方程组时，可用一个未知数的代数式表示另外两个未知数，再根据比例的性质求解． 当方程组未知数的个数多于方程的个数时，把其中一个未知数看作已知常数来解方程
2021年七年级数学下册二元一次方程组应用题 一、选择题: 1、如果a2b3与a x+1b x+y是同类项，则x，y的值是( ) A． B． C． D． 2、甲乙两人在相距18千米的两地，若同时出发相向而行，经2小时相遇；若同向而行，且甲比乙先出发1小时，那么在乙出发后经4小时甲追上乙，求甲、乙两人的速度．设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时，则可列方程组为( ) A．B． C． D． 3、小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔和笔芯，小锦买了2021和2盒笔芯，用了56元；小丽买了2支笔和3盒笔芯，仅用了28元．设每支中性笔x元和每盒笔芯y元，根据题意列方程组正确的是( ) A． B． C． D． 4、甲、乙两个人关于年龄有如下对话，甲说:“我是你现在这个年龄时，你是10岁”.乙说:“我是你现在这个年龄时，你是25岁”.设现在甲x岁，乙y岁，下列方程组正确的是( ) A. B. C. D. 5、某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲乙两种奖品各买多少件？该问题中，若设购买甲种奖品x件，乙种奖品y 件，则方程组正确的是( ) B. C. D. 6、二元一次方程2x+5y=32的正整数解有( )组． A．3 B．4 C．5 D．6 7、若|x﹣2y﹣1|+|2x﹣y﹣5|=0，则x+y的值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 8、有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为6，则符合条件的两位数有( ) A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
9、已知a，b满足方程组，则a＋b的值为( ) A．－4 B．4 C．－2 D．2 10、如果方程组的解使代数式kx＋2y－3z的值为8，则k=( ) A. B. C.3 D.－3 11、若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k的值为( ) A. B. C. D. 12、有两支同样长的蜡烛,一支能点燃4小时,另一支能点燃3小时,一次遇到停电,同时点燃这两支蜡烛,来电后同时吹灭,发现其中的一支是另一支的一半,停电时间为( )小时 A.2 B.2.4 C.3 D.2.5 二、填空题: 13、已知x m﹣1+2y n+1=0是二元一次方程，则m= ，n= ． 14、一副三角扳按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，若设∠1=x°，∠2=y°，则可得到方程组为． 第14题图第17题图 15、已知方程组，则y与x之间的关系式为． 16、“十一”黄金周，国光超市“女装部”推出“全部服装八折”，男装部推出“全部服装八五折”的优惠活动，某顾客在女装部购买了原价为x元，男装部购买了原价为y元的服装各一套，优惠前需付700元，而他实际付款580元，则可列方程组为． 17、根据图中提供的信息，可知一个杯子的价格是元． 18、某宾馆有单人间和双人间两种房间,入住3个单人间和6个双人间共需102021入住1个单人间和5个双人间共需700元,则入住单人间和双人间各5个共需元. 19、如图,两根铁棒直立于桶底水平的木桶中,在桶中加入水后,一根露出水面的长度是它的,另一根露出水面的 长度是它的.两根铁棒长度之和为22021,此时木桶中水的深度是cm.
第八章 二元一次方程组 8.1 二元一次方程组 1、 二元一次方程的定义：每一个方程都含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做 二元一次方程. 2、 二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 3、 二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元 一次方程有无数个解. 4、 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 1．方程组23x y x y +=+=???■的解为2x y ==???■ ，则被遮盖的两个数分别是（ B ） A ．1，2 B ．5，1 C ．2，-1 D ．-1，9 解：把x=2代入x+y=3中，得：y=1， 把x=2，y=1代入得：2x+y=4+1=5， 则被遮住得两个数分别为5，1， 2．下列方程是二元一次方程的是（ D ） A ． 2132254 y y --=- B ．2x －4y=5 C.xy=x+y D.x+(3－2y )=5 解：二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．A 、是一元一次方程，故A 错误；B 、是二元二次方程，故B 错误；C 、是二元二次方程，故C 错误；D 、是二元一次方程，故D 正确； 3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ D ） A ．12xy x y =??-=? B ．52313x y y x -=???-=?? C ．20132x z x y -=???-=?? D ．5723 x x y =???-=?? 解：A 、第一个方程值的xy 是二次的，故该选项错误； B 、1x 是分式，故该选项错误； C 、含有3个未知数，故该选项错误； D 、符合二元一次方程组的定义； 4．以方程组? ??+-=+=11x y x y 的解为坐标的点（x ，y ）位于（ C ） A ．x 轴的正半轴 B ．x 轴的负半轴 C ．y 轴的正半轴 D ．y 轴的负半轴 解：解方程组?? ?+-=+=11x y x y 可得???==10y x ，所以以方程组???+-=+=1 1x y x y 的解为坐标的点为（0，1），这个点的坐标位于y 轴的正半轴. 5．已知2-=x ，y=3是二元一次方程5ax y +=的一个解，则a = -1 . 解：把x=-2，y=3代入方程5ax y +=可得-2a+3=5，解得a=-1.
二元一次方程组能力提升 一、解答题（共5小题；共65分） 1. 学校为了奖励初三优秀毕业生，计划购买一批平板电脑和一批学习机，经投标，购买台平板电 脑比购买台学习机多元，购买台平板电脑和台学习机共需元． （1）求购买台平板电脑和台学习机各需多少元? （2）学校根据实际情况，决定购买平板电脑和学习机共，要求购买的总费用不超过元，且购买学习机的台数不超过购买平板电脑台数的倍．请问有哪几种购买方案?哪种方案最省钱? 2. 已知：用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车载 满货物一次可运货吨．某物流公司现有吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题： （1）辆型车和辆型车都载满货物一次可分别运货多少吨? （2）请你帮该物流公司设计租车方案． （3）若型车每辆需租金100元/次，型车每辆需租金元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
3. 若方程组的解满足，求满足条件的正整数的值． 4. 已知关于，的方程组的解满足． （1）求的值； （2）若．
5. 对于三个数，，，表示，，这三个数的平均数，表示，， 这三个数中最小的数，如：，； ，． 解决下列问题： （1）填空：若，则的取值范围是； （2）①若，那么； ②根据①，你发现结论 " 若，那么 "（填，，大小 关系）； ③运用②，填空：若 ，则 ．
6. 如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程． 例如：方程的解为，不等式组的解集为， 因为，所以，称方程为不等式组的关联方程． （1）在方程①，②，③中，不等式组 的关联方程是；（填序号） （2）若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是；（写出一个即可） （3）若方程，都是关于的不等式组 的关联方程，求的取值范围．
第八章二元一次方程组 8.1二元一次方程组 含有未知数，并且含有未知数的项的次数都是 下列各式中是二元一次方程的是（） 2.下列方程组中，是二元一次方程组的是（ x =3丄x =1_L x = 5丄x = 2 B. C. D. y =0y =2y—2y = 1 A. x =0x =1x= 1x = T 彳1 B. C. D. 厂「2y =1y =0y 1 A. ( ) m-3 2-n , x +y =6是二兀一次方程，则m-n= ____________ . y2与xy m-n的和是单项式，则可列得二元一次方程组 ________ 二元一次方程（组）的解 6.二元一次方程x-2y=1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是 3. 写出一个未知数为a,b的二元一次方程组: 4. 已知方程x m 3+y2 n=6是二元一次方程，则 5. 已知x m+n 知识点2 的方程叫做二元一次方程 A.6x-y=7 1 1 B. — x- =0 5 y C.4x-xy=5 2 D.x +x+1=0 要点感知2 一起组成的方程组叫做二元一次方程组预习练习 2-1下列方程组是二元一次方程组的是 含有.个未知数，并且每个未知数的项的次数都是,将这样的方程合在 A. xy x _y =1 =2 4x - y = -1 B. y = 2x 3 C.x2-x Z。 y = x 1 1 1 二y D. x 3x y 二0 要点感知 预习练习 要点感知 3-1 预习练习4-1 的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 使二元一次方程两边的值 请写出二元一次方程x+3y=5的一组解：_____________ . 二元一次方程组的两个方程的 ____________ 叫做二元一次方程组的解 F列哪组数是二元一次方程组；二3,的解（ A.3x-2y=4z B.6xy+9=0 1 C.— +4y=6 x 0加=心 x y =4 A. 2x 3y = 7 2a-3b =11 B. 5b-4c=6 C.< y = 2x D. x y = 8 x2 - y 4 要点感知1 预习练习1-1 知识点1认识二元一次方程（组） 1.下列方程中，是二元一次方程的是
第八章二元一次方程组一、选择题 1．方程2x－1 y =0，3x+y=0，2x+xy=1，3x+y－2x=0，x2－x+1=0中，二元一次 方程的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 2．关于x，y的二元一次方程组 5 9 x y k x y k += ? ? -= ? 的解也是二元一次方程2x+3y=6的 解，则k的值是（） A．k=－3 4 B．k= 3 4 C．k= 4 3 D．k=－ 4 3 3．方程3x+y=7的正整数解的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．已知x，y满足方程组 4 5 x m y m += ? ? -= ? ，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（） A．x+y=1 B．x+y=－1 C．x+y=9 D．x+y=9 5．如果│x+y－1│和2（2x+y－3）2互为相反数，那么x，y的值为（） A． 1122 ... 2211 x x x x B C D y y y y ==-==-???? ????==-=-=-???? 6．若 2,1 17 x ax by y bx by =-+= ?? ?? =+= ?? 是方程组的解，则（a+b）·（a－b）的值为（） A．－35 3 B． 35 3 C．－16 D．16 二、填空题（每小题3分，共24分） 7．若2x2a－5b+y a－3b=0是二元一次方程，则a=______，b=______． 8．a－b=2，a－c=1 2 ，则（b－c）3－3（b－c）+ 9 4 =________． 9．已知 32 111 x x y y ==- ?? ?? == ?? 和都是ax+by=7的解，则a=_______，b=______． 10．若2x5a y b+4与－x1－2b y2a是同类项，则b=________．11．方程mx－2y=x+5是二元一次方程时，则m________． 12．方程组 23 32 s t s t +- ==4的解为________． 三、解答题13．解方程组
一、工程问题 1、公式：工作量=工作时间×工作效率 公式变形：工作时间=工作量÷工作效率 工作效率=工作量÷工作时间 一般把总工作量看作单位“1” 2、例题： 例1、某工人原计划在限定时间内加工一批零件.如果每小时加工10个零件,就可以超额完成3 个;如果每小时加工11个零件就可以提前1h完成.问这批零件有多少个?按原计划需多少小时完成? 解：设这批零件有x个，按原计划需y小时完成， 根据题意，得 10y=x+3 x=77（个） 11·（10-1）=x y=8（小时） 答:这批零件有77个,按计划需8 小时完
二、银行存款问题 1、公式：本息和＝利息+本金 利息＝本金×年利率×年数 例1、小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元(不计利息税)，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？ 解：设x为第一种存款的方式，y第二种方式存款，则 x+y=4000 x=1500（元） 2.25%* x+2.7%* 3* y=30 3.75 y=2500（元） 解得：第一种存款的金额为1500元，第二种存款的金额为2500元 例2、某企业向商业银行申请了甲、乙两种贷款，共计35万元，每年需付出利息4.4万元。甲种贷款每年的利率是12％，乙种贷款的利率是13％。求这两种贷款的金额分别是多少？ 解：设这两种贷款的金额分别x万元、y万元 由题意得： x+y=35 x=15（万元） 12%x+13%y=4.4 y=20（万元） 答：这甲种贷款的金额为15万元、乙种贷款的金额为20万元
第八章：二元一次方程组 第二讲：二元一次方程组应用题（提高） 【课标导航】 【知识梳理】 一、列方程解应用题的体步骤是： 1)审题：理解题意，弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是 什么。 2)设元（未知数）：①直接未知数 ②间接未知数（往往二者兼用）。 一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。 3)用含未知数的代数式表示相关的量。 4)寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地， 未知数个数与方程个数是相同的。 5)解方程及检验。 6)答。 二、常用的相等关系 1)行程问题（匀速运动）基本关系：s=vt ⑴相遇问题(同时出发)：⑵追及问题（同时出发）：⑶水（风）中航行： 2)配料问题：溶质=溶液×浓度溶液=溶质+溶剂 3)增长率问题： 4)工程问题：基本关系：工作量=工作效率×工作时间（常把工作量看着单位“1”）。 5)数字表示问题：如，一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为 c，则这个 三位数为：100a+10b+c，而不是abc 6)几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。 【经典例题】 【例1】某单位组织了200人到甲、乙两地旅游，到甲地的人数比到乙地的人数的2倍少10人．到
两地参加旅游的人数各是多少? 【变式1-1】 一种口服液有大小盒两种包装，3大盒4小盒共108瓶；2大盒3小盒共76瓶．大盒、小盒每盒各装多少瓶? 【变式1-2】 甲、乙两数和为42，甲数的3倍等于乙数的4倍，求甲、乙两数．设甲数为x ，乙数为y ，则下列方程组正确的是( )． (A)???==+.34,42y x y x (B)????==+y x y x 43,42 (C) ????==+y x y x 43,4234 (D)????==+y x y x 34,4243 【变式1-3】 某车间工人举行茶话会，如果每桌12人，还有一桌空着；如果每桌10人，则还差两个桌子．此车间共有工人多少名? 【例2】一个两位数，十位上的数字为x ，个位上的数字为y ，这个两位数为______；若将十位与 个位上的数字对调，新的两位数是______． 【变式2-1】 一个两位数，个位数和十位数数字之和为8，个位与十位互换后，所得的新数比原数小18，则这个两位数是______． 【例3】某铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，从上桥到离开桥共用1分钟，整列火车全在 桥上的时间为40秒钟，则火车的长度为______，火车的速度为______．
二元一次方程组 同步练习题 1．下列各式是二元一次方程的是 A ．x 2 +y =0 B ．x =2y +1 C ． 3 x y +-2y =0 D ．y +12 x 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是 A ．21 3x y y z =+?? =-? B ．12 7xy x y =?? +=? C ．3 4x y =?? =? D ．11 2324x y x y ?+=???-=? 3．已知下面三组数值：①12x y =-??=-?；②24x y =??=?；③0 6x y =??=? ，其中是方程组206x y x y -=??+=?的解的是 A ．① B ．② C ．③ D ．都不是 4．已知1 34x y =?? ?=-?? 是关于x ，y 的方程-3x +4y =2a 的一个解，则a =__________． 5．若方程组537 4 x y y az -=?? +=?是二元一次方程组，则a 的值为__________． 6．有下列三对数：①2 2x y =??=?，②19x y =-??=-?，③31x y =??=-?其中__________是方程3x +y =8的解，__________ 是方程2x -y =7的解，__________是方程组38 27x y x y +=??-=? 的解．（只填序号） 7．若方程x 2m -1+5y 3n -2=7是关于x ，y 的二元一次方程，则（m -n ）2019=__________． 8．方程x +3y =6的正整数解为__________．学-科网
9．综合探究题等腰三角形ABC 中，AB =x ，BC =y ，周长为12． （1）列出关于x ，y 的二元一次方程； （2）求该方程的所有整数解． 10．已知两个二元一次方程：①3x -y =0，②7x -2y =2． （1）对于给出x 的值，在下表中分别写出对应的y 的值； （2）请你写出方程组30 722 x y x y -=??-=?的解． 11．已知方程（2m -6）x |m -2|+（n -2）2 3 n y -=0是二元一次方程，求m ，n 的值．
? ? ? ? ? 4x +10 y = 8 ? ? ? ? ? x -y = 9m ? ? ? ? 2 一、判断 ?x = 2二元一次方程组练习题 100 道（卷一） （范围：代数：二元一次方程组） ?x - y = 5 1、? 1 y =- 是方程组 ?3 2 x y 6 的解…………（） 10 ??3 ?-= ??2 3 9 2、方程组 ?y = 1-x ?3x + 2 y = 5 的解是方程3x-2y=13 的一个解（） 3、由两个二元一次方程组成方程组一定是二元一次方程组（） ?x + 3 + y + 5 = 7 ? 4、方程组，可以转化为 ?3x + 2 y =-12 （） ? x + 4 + 2 y - 3 = 2 ? ?5x - 6 y =-27 ?? 3 5 5、若(a2-1)x2+(a-1)x+(2a-3)y=0 是二元一次方程，则a 的值为±1（） 6、若x+y=0，且|x|=2，则y 的值为2 …………（） 7、方程组 ?mx +my =m - 3x 有唯一的解，那么m 的值为m≠-5 …………（） ? ?1 x + 1 y = 2 8、方程组?3 3 有无数多个解…………（） ??x +y = 6 9、x+y=5 且x，y 的绝对值都小于5 的整数解共有5 组…………（） 10、方程组 ?3x -y = 1 的解是方程x+5y=3 的解，反过来方程x+5y=3 的解也是方程组 ?3x -y = 1 的? x + 5 y= 3 解………（） 11、若|a+5|=5，a+b=1 则 a 的值为- 2 ………（） ? x + 5 y = 3 b 3 12、在方程4x-3y=7 里，如果用x 的代数式表示y，则x = 7 + 3y （） 4 二、选择： 13、任何一个二元一次方程都有（） （A）一个解；（B）两个解； （C）三个解；（D）无数多个解； 14、一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为6，那么符合条件的两位数的个数有（）（A）5 个（B）6 个（C）7 个（D）8 个 15、如果 ?x -y =a ?3x + 2 y = 4 的解都是正数，那么a 的取值范围是（） （A）a<2；（B） a >- 4 ；（C）- 2 二元一次方程提高 一．选择题（共14小题） 1．（2013?漳州）如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个矩形，设长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则依题意列方程组正确的是（） A．B．C．D． 2．（2012?临沂）关于x、y的方程组的解是，则|m﹣n|的值是（） A．5B．3C．2D．1 3．若x4﹣3|m|+y|n|﹣2=2009是关于x，y的二元一次方程，且mn＜0，0＜m+n≤3，则m﹣n的值是（） A．﹣4 B．2C．4D．﹣2 4．甲、乙两人同求方程ax﹣by=7的整数解，甲正确地求出一个解为，乙把ax﹣by=7看成ax﹣by=1，求得一个解为，则a，b的值分别为（） A．B．C．D． 5．x，y是正整数，且有2x×4y=1024，则x，y的取值不可能是下列哪一组结果（） A．B．C．D． 6．（2009?东营）关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y=﹣6的解，则k的值是（） A． ﹣B．C．D． ﹣ 7．若方程组的解为x，y，且﹣4＜m＜4，则x﹣y的取值范围是（） A．﹣1＜x﹣y＜1 B．﹣2＜x﹣y＜2 C．﹣3＜x﹣y＜0 D．﹣3＜x﹣y＜1 8．若方程组的解满足x+y=0，则a的取值是（） A．a=﹣1 B．a=1 C．a=0 D．a不能确定 9．已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（） A．x+y=1 B．x+y=﹣1 C．x+y=9 D．x+y=9 10．关于x，y的方程组有无数组解，则a，b的值为（） A．a=0，b=0 B．a=﹣2，b=1 C．a=2，b=﹣1 D．a=2，b=1 11．若方程组有无穷多组解，（x，y为未知数），则（） A．k≠2 B．k=﹣2 C．k＜﹣2 D．k＞﹣2 12．解方程组时，一学生把a看错后得到，而正确的解是，则a、c、d的值为（）A．不能确定B．a=3、c=1、d=1 C．a=3c、d不能确定D．a=3、c=2、d=﹣2 13．若二元一次方程3x﹣y=7，2x+3y=1，y=kx﹣9有公共解，则k的取值为（） A．3B．﹣3 C．﹣4 D．4 14．三个二元一次方程2x+5y﹣6=0，3x﹣2y﹣9=0，y=kx﹣9有公共解的条件是k=（） A．4B．3C．2D．1 二．填空题（共7小题） 15．已知关于x、y的方程是（a2﹣1）x2﹣（a+1）x+y=﹣5．则当a=_________时，该方程是二元一次方程．16．若方程3x2（m+n）﹣3（m﹣n）﹣3﹣2y5（m+n）﹣7（m﹣n）﹣1=1是二元一次方程，则m=_________，n=_________．17．方程x+2y=7的所有自然数解是_________． 18．设：a、b、c均为非零实数，并且ab=2（a+b），bc=3（b+c），ca=4（c+a），则=_________． 19．若x+2y+3z=10，4x+3y+2z=15，则x+y+z的值是_________． 20．已知方程2x﹣3y=z与方程x+3y﹣14z=0（z≠0）有相同的解．则x：y：z=_________． 21．已知x+2y﹣3z=0，2x+3y+5z=0，则=_________． x 3?若直线y= +n 与y=mx-1相交于点(1 , -2)，则() 2 _ 5 D n — B 1 =—,n=-1 ; C 5 n=-— 3 D . m=-3, n=— A 1 m=—, .m m=-1, 2 2 2 2 2 4.直线 1 「 y= x-6 '与直线y=- 2 x- 11 —的交点坐标是() 2 31 32 A .(-8 , -10) B .(0 , -6) ； C . (10 , -1) D . 以上答案均不对 5 .在y=kx+b 中，当x=1时y=2 ;当x=2时y=4，贝U k , b 的值是() 、填空题 4 「亠 c x , x y =3, x 2. 已知 3 是方程组 x 的解，那么一次函数 y=3-x 和y= +1的交点是 5 卜一=1 2 y =匚 L 2 L- 3 3 .一次函数 y=3x+7的图像与 y 轴的交点在二元一次方程 b= . 4. 已知关系x , y 的二元一次方程 3ax+2by=0和5ax-3by=19化成的两 11.3.3 一次函数与二元一次方程 (组)同步练习题 1 .图中两直线L 1, L 2的交点坐标可以看作方程组 ( A . 丄x -y =1 《y B. _L x -y = -1 《y 2x - y = -1 2x _ y = 1 C . x -y =3 D. x _ y = -3 2x-y =1 2x - y = -1 2.把方程 x x+仁4y+ 化为 y=kx+b 的形式，正确的是 3 、选择题 C 1 , 1 1 A .y= x+1 B .y= x+ — 3 6 4 y= x+1 6 y= 1 1 x+ — 3 4 B. k =3 b =1 D. 6. 直线 A kx-3y=8 , .4 B 2x+5y=-4 .-4 交点的纵坐标为 .2 D . -2 则k 的值为( 1. 点(2 , 3)在一次函数 y=2x-1的 ;x=2, y=3 是方程 2x-y=1 的 _________ -?2x+?by=?18?上，?则 第八章 二元一次方程组 §8.1二元一次方程组 一、填空题 1、二元一次方程4x-3y=12，当x=0，1，2，3时，y=____ __。 2、在x+3y=3中，若用x 表示y ，则y=__ ___，用y 表示x ，则x=_ _____。 3、已知方程(k 2-1)x 2+(k+1)x+(k-7)y=k+2，当k=______时，方程为一元一次方程；当k=______时，方程为二元一次方程。 4、对二元一次方程2(5-x)-3(y-2)=10，当x=0时，则y=___ ___；当y=0时，则x=__ ____。 5、方程2x+y=5的正整数解是___ ___。 6、若(4x-3)2+|2y+1|=0，则x+2=_____ _。 7、方程组???==+b xy a y x 的一个解为 ???==3 2y x ，那么这个方程组的另一个解是 。 8、若21=x 时，关于y x 、的二元一次方程组? ??=-=-212by x y ax 的解互为倒数，则=-b a 2 。 二、选择题 1、方程２ｘ－３ｙ＝５，ｘｙ＝3，33=+y x ，３ｘ－ｙ+２ｚ＝０，62=+y x 中是二元一次方程的有（ ）个。 Ａ、１ Ｂ、２ Ｃ、３ Ｄ、４ 2、方程2x+y=9在正整数范围内的解有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 3、与已知二元一次方程5x-y=2组成的方程组有无数多个解的方程是（ ） A 、10x+2y=4 B 、4x-y=7 C 、20x-4y=3 D 、15x-3y=6 4、若是m y x 25与2214-++n m n y x 同类项，则n m -2的值为 （ ） A 、1 B 、－1 C 、－3 D 、以上答案都不对 5、在方程(k 2-4)x 2+(2-3k)x+(k+1)y+3k=0中，若此方程为二元一次方程，则k 值为（ ） A 、2 B 、-2 C 、2或-2 D 、以上答案都不对． 6、若???-==1 2y x 是二元一次方程组的解，则这个方程组是（ ） A 、?? ?=+=-5253y x y x B 、???=--=523x y x y C 、???=+=-152y x y x D 、???+==132y x y x 7、在方程3)(3)(2=--+x y y x 中，用含x 的代数式表示y ，则 （ ） A 、35-=x y B 、3--=x y C 、35+=x y D 、35--=x y 8、已知ｘ＝３－ｋ，ｙ＝ｋ＋２，则ｙ与ｘ的关系是（ ） Ａ、ｘ＋ｙ＝５ Ｂ、ｘ＋ｙ＝１ Ｃ、ｘ－ｙ＝１ Ｄ、ｙ＝ｘ－１ 9、下列说法正确的是（ ） Ａ、二元一次方程只有一个解 Ｂ、二元一次方程组有无数个解 Ｃ、二元一次方程组的解必是它所含的二元一次方程的解 Ｄ、三元一次方程组一定由三个三元一次方程组成 10、若方程组? ??=+=+16156653y x y x 的解也是方程３ｘ＋ｋｙ＝１０的解，则ｋ的值是（ ） Ａ、ｋ＝６ Ｂ、ｋ＝１０ Ｃ、ｋ＝９ Ｄ、ｋ＝101二元一次方程与提高及答案(绝对经典)
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第八章二元一次方程组练习题及答案
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