第三章导数与微分
一、教学目标
导数是微分学的重要概念，在微积分中占有主要地位，它为积分学、多元函数微积分学、微分方程等奠定了基础，在实际问题中有着广泛的应用。通过本章的教学，掌握导数、微分的概念，熟练掌握导数、微分的计算，掌握导数在讨论函数性质及在经济等方面的应用，并学会应用导数的有关理论和方法解决实际问题.
二、基本要求
1.理解并掌握导数（包括左导数、右导数）的概念，会用定义求导数；掌握导数的几何意义，理解可导与连续的关系.
2、熟记基本初等函数的导数公式；掌握求导的四则运算法则、复合函数求导法则、隐函数求导法、对数求导法；会求反函数、由参数方程确定函数的导数；熟练计算函数的导数.
3.掌握高阶导数的概念，会求高阶导数.
4.理解并掌握微分的概念，微分与导数之间的关系；掌握微分的运算法则，会求函数的微分；了解微分在近似计算中的应用.
5.掌握罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理；会用它们来证明解决问题.
6.掌握罗彼塔法则，熟练利用此法则求待定式函数的极限.
7.理解函数的增减性、凸凹性（包括拐点）的概念，掌握求函数的单调区间、凸凹区间以及拐点的方法.
8.理解并掌握函数极值和最值的概念，掌握求函数极值和最值的方法；并会解决实际中的最值问题.
9.了解函数图形的描绘；了解渐近线的定义，会求渐近线.
10.掌握边际与弹性的概念，会求边际与弹性，了解其经济含义.
三、教学重点
1.导数的定义及左导数、右导数的定义、导数的几何意义、可导的必要条件.
2.基本初等函数的导数公式、导数运算法则及计算.
3.高阶导数的定义及计算.
4. 微分的定义及计算.
5. 中值定理（罗尔定理和拉格朗日定理）及应用.
6. 罗彼塔法则，求待定式函数的极限.
7. 导数在研究函数性质方面的应用：函数的单调区间、凸凹区间（包括拐点）、极值、最值的求法.
8. 渐近线的求法.
9. 边际分析与弹性分析.
四、教学难点
1. 导数与左、右导数的关系,判定分段函数在分点处的导数是否存在及求导数.
2. 复合函数求导数、隐函数求导法、对数求导法.
3、罗尔定理和拉格朗日定理的应用：多用于证明结论（不等式、等式、方程根的存在性等）.
4. 罗彼塔法则求待定式函数的极限.
5.实际问题中的最值求法.
五、深化和拓宽
1. 利用导数定义求极限.
2. 分段函数的导数.
3. 隐函数的高阶导数的求法.
4. 中值定理的应用.
六、教学方法与教学手段
讲授法与启发式教学结合，讲练结合法；多媒体教学与板书教学相结合.
七、教学内容及课时分配
本章共需26课时，按节分配如下
2.1 导数的概念 2课时
2.2 导数的运算 4课时
2.3 高阶导数 1课时
2.4 微分 2课时
2.5 中值定理 2课时
2.6 罗彼塔法则 2课时
2.7 函数的增减性.凸凹性 3课时
2.8 函数极值和最值 3课时
2.9 函数作图 2课时
2.10 边际分析与弹性分析 1课时
习题课 4课时
参考书：
1. 高等数学（同济版）
2. 微积分（人大版）
3. 高等数学（一）（高汝熹主编）
课题： § 3.1导数的概念
教学目的：通过本节课的学习,使学生理解导数、导函数、以及左、右导数等概念，弄清导数的几何意义，并会运用所学知识解决有关问题.
重点：导数的定义.
难点：对导函数概念的理解. 教学过程：
微积分学包括微分学与积分学两大组成部分。 微分学中最重要的两个概念就是导数与微分。导数，从本质上看，它是一类特殊形式的极限，它是函数变化率的度量，它是刻画函数对于自变量变化的快慢程度的数学抽象。 微分，它是函数增量的线性主部， 它是函数增量的近似表示。 微分与导数密切相关， 这两个函数之间存在着等价关系。导数与微分都有实际背景，都可以给出几何解释，因而它们都会有广泛的实际应用。它们在解决几何问题，寻求函数的极值与最值，以及寻求方程的近似根等问题中有重要作用。
本章分两部分，第一部分在深入研究导数概念的基础上，讨论函数求导的基本公式，以及函数求导的运算法则。相应地，将推出函数微分的基本公式与运算法则，同时，还将介绍可导与连续的关系，高阶导数、隐函数、由参数方程决定的函数的导数的概念及计算方法。第二部分首先建立导数应用的理论基础――微分中值定理，然后相继讨论导数的一些重要应用：函数的多项式逼近（泰勒公式）、求未定式的极限的一种方法（洛必达法则）、函数单调性和凹凸性的研究、函数图形的描绘、函数的极值和最值的求法、某些函数恒等式或不等式的证明以及曲率的计算等等。
一、导数概念的实例
【引例1】变速直线运动的瞬时速度
设一物体作变速直线运动，从某个时刻开始经过时间t 后，物体所经过的位移s 是时间t 的函数，即s=f (t)。 计算该物体在时刻0t 的瞬时速度.
当时间从0t 改变到t t t 0?+=时，物体在t ?这段时间里所走过的位移，即函数s=f (t)的改变量为
)()t (00t f t f s -?+=?
它与时间的改变量之比
t
t f t f t s ?-?+=??)()t (00
是该物体在这段时间内的平均速度.
当0t t →时,即0t →?，如果平均速度t
s
??的极限存在，我们就把这个极限称为运动物体在时刻0t 的瞬时速度，则有
t
t f t f t v ?-?+=??=→?→?)()t (lim t s
lim
)(000t 0t 0 (1)
以上计算过程，先在局部范围内求出平均速度，然后通过取极限，由平均速度过渡到瞬时速度。
曲线的切线定义为割线的极限位置。
如下图,设曲线C 是函数y f x =()的图形，现讨论C 上一点),(000y x M 处的切线问题。另取C 上一点)y ,x (M 00?+?+y x ，割线0M M 的倾角为?，于是割线
0M M 的斜率为点0M 的纵坐标的改变量y ?与横坐标的改变量x ?之比：
x
x f x x f N M MN
k M M ?-?+==??=
=)()(x y tan 0000?
用割线0M M 的斜率表示切线斜率，这是近似值，显然x ?越小，即点M 沿曲
线越接近于点0M ，其近似程度越好。
现让点)y ,x (M 00?+?+y x 沿着曲线移动并无限趋于点),(000y x M ，即当
0x →?时，割线0M M 将绕着点0M 转动而达到极限位置成为切线T M 0，所以，
割线0M M 斜率的极限：
x
x f x x f k k x T M M M M M ?-?+====→?→?→)
()(lim
tan m i l tan lim 000
x 000
?α (2)
就是曲线y f x =()在点),(000y x M 处切线T M 0的斜率。 从图上可看出，k tg =α，且α是切线的倾斜角。
以上计算过程：先作割线，求出割线斜率；然后通过取极限，从割线过渡到切线，从而求得切线斜率。
以上两个实际问题，其一是曲线的切线斜率，其二是运动的瞬时速度。一个是几何问题，一个是物理问题，虽然实际意义不同，但是从数学上看，解决这两个问题的数学方法却完全一样：都是计算同一类型的极限，即计算函数的改变量与自变量的改变量之比， 当自变
x
量的改变量0x →?时的极限。亦即对函数y f x =()，计算极限：
x
x f x x f x ?-?+=??→?→?)()(l i m x y
m i l 0000
x 若上述极限存在，这个极限值是函数y
f x =()在点0x 处的变化率，它描述了函
数y f x =()在点0x 处的变化快慢程度。
在实际问题中，凡是考察一个变量随着另一个变量变化的变化率问题，都可以归结为计算上述类型的极限。从而引出函数导数的概念。
二、导数的定义 1.导数
定义 设函数y
f x =()在点x 0的某个邻域内有定义，当自变量x 在x 0处
取得改变量?x (点x x 0+?仍在该邻域内)时，函数取得改变量
??y f x x f x =+-()()00
如果?y 与?x 之比当?x →0时的极限存在，即
x
x f x x f x ?-?+=??→?→?)()(lim x y
m i l 0000
x 存在 则称函数y
f x =()在x 0处可导，并称这个极限值为函数y f x =()在x 0处的
导数。记作：
'f x ()0
即x
x f x x f x
y x f x x ?-?+=??=→?→?)()(lim lim )(000
0/
(3)
也可记作： '=y x x
dy dx
x x =0
df x dx x x
()=0
显然，表达式(3)可改写成如下等价的形式：
'=+-→f x f x h f x h
h ()lim
()()
00
00
或
'=--→f x f x f x x x x ()lim
()()
00
00
说明两点:
(1).函数f x ()在点x 0处可导时，也称f x ()在点x 0具有导数或导数存在.
(2).如果极限(3)不存在，称函数f x ()在点x 0处不可导. 即若
?x →0时，
??y
x
→∞，则函数y f x =()在x 0处是不可导的。但为了描述函数的这一特殊性态，我们宁愿称函数在x 0处的导数为无穷大。并赋予它记号：'=∞f x ()0。 （3）用定义求导数
步骤：第一步 计算函数y = f (x )的改变量y ?
第二步 计算比值x
y ??
第三步 求极限x
y
lim x ??→?0
求导数举例
例1. 求函数3x y =在1=x 处及在0x x =处的导数.
解：3))(33(lim 1)1(lim
)1(203
30/
=?+?+=?-?+=→?→?x x x
x f x x 2
0202003
03000/
3))(33(lim )(lim )(x x x x x x
x x x x f x x =?+?+=?-?+=→?→?
可以看出,函数3x y =在定义域内的任何一点x 0处都可导,由此例,我们引入导函数的概念.
2. 左导数、右导数
如果极限 x
)()x (lim x y
lim )(000x 0
x 0?-?+=??='--
→?→?-x f x f x f
或 )x x )
()(lim )(0
0x x 0-
--='→-x f x f x f
存在， 则称此极限值为函数f x ()在点x 0的左导数；
如果极限 x
)()x (lim x y
lim
)(000x 0x 0?-?+=??='+→?+→?+x f x f x f
或 )x x )
()(lim )(0
0x x 00
--='+
→+x f x f x f
存在， 则称此极限值为函数f x ()在点x 0的右导数
利用函数极限与其左、右极限的关系,很容易得出下述结论：
函数f x ()在点x 0处可导的充要条件是左、右导数'-f x ()0、)(0x f +'存
在且相等。即 )x (f A )x (f A )x ('f 0'
0'0+-
==?= 3、导函数
如果函数y f x =()在开区间I 内的每一点都可导，称函数y f x =()在开区间I 上可导。这时，对任意x I ∈，都对应着f x ()的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，我们此函数为导函数。记作：)(x f '
或 dx
df
dx dy 或或
'y
导函数的定义只需将(3)式中的x 0换成x 即可：
)()()(lim x y lim
00x I x x
x f x x f y x ∈??-?+=??='→?→?
注意：虽然x 在开区间I 上任意取值，一经取定，对于极限过程?x →0来说，它应被视为常量。
显然,f x ()在点x 0处的导数
'f x ()0就是导函数)(x f '在点x 0处的函数,即
'='=f x f x x x ()()|00
现在， 我们可以给出函数在闭区间[,]a b 上可导的定义：f x ()在
开区间(,)a b 内可导， 且 '-f b () 及 )(a f +' 都存在。 【例1】利用导数定义，证明下列导数公式
)
()().4(ln )().3(cos )sin ().2()(0
)().1(1为正整数为任意常数n x n x a a a x
x C C n n x x -?='='='='
证明：
().()()()lim lim 100
000
00
设则y f x c
y f x x f x c c y x x
y y
x x x ===+-=-==='===→→?????????
().()sin ()()sin()sin cos()sin
lim lim cos()sin lim cos()lim
sin cos 2222
222222
0000设y f x x
y f x x f x x x x
x x x
y y x x x x
x
x x x x
x
x x x x ===+-=+-=+'==?+?=+?=→→→→?????????????????
().()()()()lim
()
lim
ln ln ln ()ln ln ln ln ln ln ln ln ln 311100设y f x a e y f x x f x e e e e y e e x
e e x e a a a
x x a
x x a x a
x a x a x x a x a x a
x x a x a x ====+-=-=-'=-=?-=?=?+→→??????????
特款：当e a =时，()e e x x '=，该表达式的简明，获益于自然对数。
().()()()()[()()()()]()()()()!
()lim 412121*********
22设y f x x y f x x f x x x x c x x c x x c x x c x x x nx x n n x x n n n x x y n
n n
n n n n n n n
n n n n n n n n n n
x ===+-=+-=++++-=+-++-?'=------→??????????? 012
11
12121[()()!
()]
n x n n x x n n n x x n x n n n n n n ?+-?++-?=?-----??
【例2】试证明函数 y x = 在 x =0 处不可导。
三.可导与连续的关系
【命题】若)(x f y =在0x 处可导，则)(x f y =在0x 处连续；
反之，却不一定成立。
证明：设)(x f y =在0x 处可导，即
)()()(lim lim
00000x f x x f x x f x y
x x '=?-?+=??→?→?
由P29的定理2.2：)0(A )x (f A )x (f lim →+=?=αα 故
α+'=??)(0x f x
y
（ 0→α，当 0→?x 时） x x x f y ??+??'=?α)(0
从而
0)]x (x )x ('f [lim lim 00
x 0
=?+?=?→?→?αy x
符合函数在一点处连续的严格定义：0lim 0
=?→?
y x 故函数)(x f y =在0x 处连续。
反过来，结论不成立，即函数在某点连续，在改点却可能不可导。例如：
x y =在0=x 处连续，但不可导。
三、导数的几何意义 由切线问题的讨论可知：
函数y = f(x)在点x0处的导数)(0x f '就是曲线y = f(x)在点）（000,y x M 处的切线的斜率.即
)2
(tan tan lim x y lim
)x ('f 0x 0x π
αα?≠==??=→?→?
这就是导数的几何意义。
过点0M （0x ， )(0x f ）且与切线垂直的直线称为曲线y = f (x )在
点）
（000,y x M 处的法线。若0)(0≠'x f ，则法线的斜率为)
x ('f 1
0-。 曲线y = f (x )在点）
（000,y x M 处的法线方程为: )x x ()
x ('f 1
y y 000--
=- (0)(0≠'x f ) 说明:
(1)若0)(0>'x f ，由)2
(t
a n )x ('f π
αα≠
=知，0tan >α，则在0x 处，
曲线是上升的，函数)(x f 随x 的增加而增加。
(2)若0)(0<'x f ，由)2
(t
a n )x ('f π
αα≠=知，0tan <α，则在0x 处，
曲线是下降的，函数)(x f 随x 的增加而减少。
(3)、当0)(0='x f 时，0=αtg ,0=α,知y f x =()在点M x y (,)00处的切线平行于x 轴。此时，切线方程为y y =0。
切线平行于x 轴，即曲线在M 点具有水平切线，其法线方程为x x =0。
使0)(0='x f 的点0x 称为函数y f x =()的驻点或稳定点. (4)、若'=∞f x ()0，tg α=∞，απ
=
2
，曲线在M x y (,)00的切线垂直于x
轴，故切线方程为 x x =0，法线方程自然是y y =0。
例:求曲线3x )(==x f y 在点（２，８）处的切线方程、法线方程。 解：23x 'y = 12|'y 2x ==
所以，切线方程为：y-8=12(x-2) → 12x – y - 16=0
法线方程为：y-8=－1/12(x-2) → x + 12y - 98=0 例:函数3x )(==x f y 在点x ＝０处是否可导？
解：当自变量在x=0处取得改变量?x 时，函数相应的改变量为
33x 0x y ?=-?=?
两个改变量之比：x
x
x y 3??=
?? 取极限：+∞=?=??=??→?→?→?3
20x 3
0x 0x )
x (1lim x x lim x y lim
即x
y
lim 0
x ??→?
不存在，说明函数3x )(==x f y 在点x ＝０处是不可导，但是函数3x )(==x f y 在点x ＝０处是连续的。
§3.2导数的运算
一、教学目标和要求 1. 熟记导数公式.
2. 熟练掌握导数的运算法则和计算方法. 二、教学重点和难点 1. 导数的四则运算. 2. 复合函数求导数.
3. 隐函数求导数.
4. 对数求导法. 三、教学方法与手段 讲练结合法
四、教学过程（需4课时） （第一、二课时）
复习导数定义，引出新课.
（一）授课内容
依据导数定义求导数固然是一种求导方法，但是如果对每一个函数都利用定义求导，那将是极为烦琐的，而且也给导数的实际应用带来很大困难。为了使求导数的运算简化，我们根据导数的定义和极限的运算法则，推出求导的基本公式和运算法则。今后求导时，就可以直接运用公式或法则求，一般不再用定义了。
一、基本初等函数的求导公式 (1) (C )'=0，（C 为任意常数）
(2) 1
'x )(x -=ααα（α为任意实数）
(3) (ax )'=a x ln a ，（a>0,a ≠1) (4) (e x )'=e x ， (5) a l n
x 1
e log x
1)x (log a 'a == （a>0,a ≠1) (6) x 1
ln x)('=
(7) (sin x )'=cos x ， (8) (cos x )'=-sin x ，
(9) x
cos 1
x sec )tan x (2
2'=
= (10) x
sin 1
x csc )cot x (22'-=-=
(11) (sec x )'=sec x · tan x ， (12) (csc x )'=-csc x ·cot x ， (13) 2
x
11)'arcsinx (-=
(14) 2
x
11)'arccosx (--=
(15) 2
x 11
)'arctanx (+=
(16) 2
x 11
)'arctanx (+-=
二、求导法则 1、导数的四则运算
定理 3.3：假定：函数u u x =()，v v x =()在点x 处具有导数
'='u u x ()，'='v v x ()。
【法则一】 代数和u(x) ± v (x)可导，且()u v u v ±'='±' 证明：记 )()()(x v x u x f +=
f x h f x h
u x h v x h u x v x h
u x h u x v x h v x h
u x h u x h v x h v x h
()()
[()()][()()][()()][()()]()()()()+-=
+++-+=
+-++-=+-+
+- '=+-=+-++-='+'→→→f x f x h f x h
u x h u x h v x h v x h u x v x h h h ()lim
()()lim ()()lim ()()()()
000
【法则二】 乘积u(x) · v (x)可导，且()u v u v u v ?'='?+?' 证明： 记f x u x v x ()()()=，由导数的定义有
'=+-=++-=++-+++-=+-?+++-?=→→→→→f x f x h f x h u x h v x h u x v x h
h
u x h v x h u x v x h u x v x h u x v x u x h u x h v x h v x h v x h u x h h h h h ()lim
()()lim ()()()()
lim {[()()()()][()()()()]}lim ()()()lim ()()()0
00001
lim ()()lim ()()lim ()()h h h u x h u x h v x h u x v x h v x h u v u v →→→+-?++?+-='?+?'
000 【推论】设c 为任意常数，则 ()c u c u ?'=?' 即常数因子可从导数符号内提出来。
积的求导法则可方便地推广到任意有限个函数积的形式，例如
()[()]()()()uvw uv w uv w uv w u v uv w uvw u vw uv w uvw '='='+'
='+'+'='+'+'
【法则三】设f x u x v x ()()
()
= 可导，且0)(≠x v ，则
'=
'-'f x u x v x u x v x v x ()()()()()
[()]
2
特别地，u(x)为常数，则有，2
'')]
x ([v )
x (cv ])x (v c [-=
二、求导举例
【例1】求下列函数的导数或导数值
().,.().()cos sin
,().().
(sin cos ),.125372422
3323y x x x y f x x x f y e x x y x =-+-'=+-'=+'求求求ππ
解：(1)
'='-'+'-'
='-'+'-=??-??+=-+y x x x x x x x x x x ()()()()()()()25372530235236103
323222
解： (2)
'='+?'-'
=?+?'-=-'=?-?=-f x x x x x x x
f ()()(cos )(sin
)(cos )sin (
)(
)sin
3222242
340342
32
42
34
4
π
π
π
π
π
解： (3)
'='?++?+'=?++?'+'=?++?-=y e x x e x x e x x e x x e x x e x x e x
x x x x x x x ()(sin cos )(sin cos )(sin cos )[(sin )(cos )](sin cos )(cos sin )cos 2 【例2】证明下列基本导数公式：
().()sec ().(sec )sec ().()csc ().(csc )csc 123322
tgx x
x x tgx
ctgx x x x ctgx
'='=?'=-'=-?
证明： (1)
()sin cos (sin )cos sin (cos )cos cos cos sin (sin )
cos cos sin cos cos sec tgx x x x x x x x
x x x x x
x x x x x '=?? ?
??'
=
'?-?'=
?-?-=
+=
=2222221
(2)
(sec )cos (cos )cos (sin )cos sin cos cos sin cos sec x x x x
x x x
x x x x
x tgx '=?? ?
??'
=
-'=--=
=?=?112 (3)
()cos sin (cos )sin cos (sin )sin (sin )sin cos (cos )sin sin cos sin sin csc ctgx x x x x x x x
x x x x x
x x x x
x
'=?? ?
??'
=
'?-?'=
-?-?=-+=-
=-22222221
(4)
(csc )sin (sin )sin cos sin sin cos sin csc x x x x x x
x x x x ctgx
'=?? ?
??'
=
-'=-=-?
=-?112
如果)(x u ?=在点x 可导，而)(u f y =在点)(x u ?=可导，则复合函数])([x f y ?=在点x 可导，且导数为
)()(dx
du
du dy dx dy x u f ?'?'=?= 或写作：)x ('))x ((f )x ()u (f ))]
x ((f [''''
?????=?=
证明：因)(u f y =在点)(x u ?=可导,由导数定义：)(u
lim 0u f y
u '=??→? ，由极限与无
穷小的关系，有
)
0,0()()u ('f u
y
→→???+?'=?+=??ααα
时当u u u u f y 用0≠?x 去除上式两边得：
x
u x u u f x y ???+???'=??α)( 由)(x u ?=在x 的可导性有：
00→??→?u x ， 0lim lim 0
==→?→?ααu x
])([lim lim
000x
u
x u u f x y x x ???+???'=??→?→?α
x u
x u u f x x x ???+???'=→?→?→?0000lim lim lim )(α
)()(x u f ?'?'=
即
)()(0
x u f dx dy
x x ?'?'==
上述复合函数的求导法则可作更一般的叙述：
若u x =?()在开区间I x 可导，y f u =()在开区间I u 可导，且
?∈x I x 时，对应的 u I u ∈，则复合函数])([x f y ?=在I x 内可导，且
第二章 导数与微分 教学目的： 1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。 2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n 阶导数。 4、 会求分段函数的导数。 5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 教学重点： 1、导数和微分的概念与微分的关系； 2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 3、基本初等函数的导数公式； 4、高阶导数； 6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。 教学难点： 1、复合函数的求导法则； 2、分段函数的导数； 3、反函数的导数 4、隐函数和由参数方程确定的导数。 §2. 1 导数概念 一、引例 1．直线运动的速度 设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数: s =f (t ), 求动点在时刻t 0的速度. 考虑比值 000) ()(t t t f t f t t s s ??=??, 这个比值可认为是动点在时间间隔t ?t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践 中也可用来说明动点在时刻t 0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令t ?t 0→0, 取
比值 0) ()(t t t f t f ??的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即 0) ()(lim t t t f t f v t t ??=→, 这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度. 2．切线问题 设有曲线C 及C 上的一点M , 在点M 外另取C 上一点N , 作割线MN . 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT , 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线. 设曲线C 就是函数y =f (x )的图形. 现在要确定曲线在点M (x 0, y 0)(y 0=f (x 0))处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M 外另取C 上一点N (x , y ), 于是割线MN 的斜率为 0000) ()(tan x x x f x f x x y y ??=??=?, 其中?为割线MN 的倾角. 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, x →x 0. 如果当x → 0时, 上式的极限存 在, 设为k , 即 00) ()(lim 0x x x f x f k x x ??=→ 存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里k =tan α, 其中α是切线MT 的 倾角. 于是, 通过点M (x 0, f (x 0))且以k 为斜率的直线MT 便是曲线C 在点M 处的切线. 二、导数的定义 1. 函数在一点处的导数与导函数 从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限: 令, x →x 0相当于?x →0, 于是0 0) ()(lim 0 x x x f x f x x ??→ . , 当自变量x 在x 0处取得增量?x (点x 0+?x ?y =f (x 0+?x )?f (x 0); 如果?y 与?x 之比当?x →0时的极限存在, 则称函数y =f (x )在点x 0处可导, 并称这个极限为函数y =f (x )在点x 0处的导数, 记为0|x x y =', 即 x x f x x f x y x f x x ???+=??='→?→?)()(lim lim )(00000,
一元函数微分学 §1 导数和微分的概念 基本概念 1. 导数定义 00000)()(lim lim )()(lim 0x x x f x f x y x x f x x f x x x x --=??=?-?+→→?→? 0|)()(00x x dx dy x y x f =='='= 几种极限形式都要掌握 函数在某点可导即上述极限存在，极限存在?左右极限都存在且相等，左极限为左导，右极限为右导， )(lim 00x f x y x --→?'=??， )(lim 00x f x y x ++→?'=?? 导数定义是非常重要的概念，一定要灵活掌握。 2. 导函数)(x f ',dx dy . f (x )在（a , b ）可导, f (x )在[a , b ]可导 3. 可导与连续的关系 可导一定连续，但连续不一定可导（如函数||x y =在x =0点处连续，但是不可导） 4. 导数的几何意义 切线方程：))((000x x x f y y -'=-； 法线方程：)() (1000x x x f y y -'- =- 0)(0≠'x f ， 5. 微分的定义
微分的几何意义 6. 微分与导数的关系 )(x f 在x 处可微?)(x f 在x 处可导，且dx x f dy )('= 同时 dx x f dy x x )(|00'==。 §2 导数与微分的计算 基本概念 1. 基本初等函数的导数、微分公式（书159页，166页） 2. 导数（微分）四则运算公式 )()())()((x g x f x g x f '±'='±， )()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='， 特别地 )())((x f k x kf '='， ) ()()()()())()((2x g x g x f x g x f x g x f '-'=' 特别地 ) ()())(1(2x f x f x f '-='。 后面两个公式不要记错。 3. 复合函数的求导法则 如何正确运用好复合函数求导法则（必须明确函数的复合过程），并且应到最后一层复合 4．高阶导数（计算同一阶导数）。
第三章一元函数的导 数和微分【字体：大中小】【打印】 3.1 导数概念 一、问题的提出 1.切线问题 割线的极限位置——切线位置 如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即 切线MT的斜率为 2.自由落体运动的瞬时速度问题
二、导数的定义 设函数y=f（x）在点的某个邻域内有定义，当自变量x在处取得增量Δx（点仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量；如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f（x）在点处可导，并称这个极限为函数 y=f（x）在点处的导数，记为 即 其它形式 关于导数的说明： 在点处的导数是因变量在点处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。 如果函数y=f（x）在开区间I内的每点处都可导，就称函数f（x）在开区间I内可导。 对于任一，都对应着f（x）的一个确定的导数值，这个函数叫做原来函数f（x）
的导函数，记作 注意： 2.导函数（瞬时变化率）是函数平均变化率的逼近函数. 导数定义例题： 例1、115页8 设函数f（x）在点x=a可导，求： （1） 【答疑编号11030101：针对该题提问】 （2） 【答疑编号11030102：针对该题提问】
三、单侧导数 1.左导数： 2.右导数： 函数f（x）在点处可导左导数和右导数都存在且相等. 例2、讨论函数f（x）=|x|在x=0处的可导性。 【答疑编号11030103：针对该题提问】 解
闭区间上可导的定义：如果f（x）在开区间（a，b）内可导，且及都存在，就说f（x）在闭区间[a，b]上可导. 由定义求导数 步骤： 例3、求函数f（x）=C（C为常数）的导数。 【答疑编号11030104：针对该题提问】 解 例4、设函数 【答疑编号11030105：针对该题提问】 解
第二章 导数与微分 一 导数 （一） 导数的概念（见§2.1） Ⅰ 内容要求 （ⅰ）理解导数的概念及其几何意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系。 （ⅱ）了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率。 Ⅱ 基本题型 （ⅰ）用导数定义推证简单初等函数的导数公式 1． 用导数定义求证下列导数公式，并记忆下列公式（每题4分） （1）0)(='C （2）21 )1(x x - =' （3）x x 21)(=' （4）x x sin )(cos -=' （5）a a a x x ln )(=' （6）1 )(-='μμμx x （ⅱ）确定简单基本初等函数在某点处的切线方程和法线方程 2．（6分）求x y ln =在)0,1(点处的切线方程及法线方程。 解：x y 1' = ，1)1(' ==k y ，所以 切线方程为1-=x y 法线方程为1+-=x y 3．（6分）求x x y = 在)1,1(点处的切线方程。 解：4 3 x y =，41 ' 43-=x y ，4 3)1(' ==k y 切线方程为1)1(43+-= x y ，即4 143+=x y （ⅲ）科技中一些量变化率的导数表示 4．填空题（每题4分） （1）若物体的温度T 与时间t 的函数关系为)(t T T =，则该物体的温度随时间的变化 速度为 )(' t T （2）若某地区t 时刻的人口数为)(t N ，则该地区人口变化速度为 )(' t N Ⅲ 疑难题型 （ⅰ）分段函数在分段点处的导数计算 5. 讨论下列函数在0=x 处的连续性与可导性 （1）（7分）|sin |x y =
第二章 导数与微分 【内容提要】 1．导数的概念 设函数y ＝f (x )在x 0的某邻域（x 0－δ，x 0 + δ）（δ＞0）内有定义，当自变量x 在点x 0处有改变量Δx 时，相应地，函数有改变量00()()y f x x f x ?=+?-．若0→?x 时，极限x y x ??→?0lim 存在，则称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，称此极限值为f(x)在点x 0 处的导数， 记为 )(0x f '或)(0x y '或0|x x y ='或 0|d d x x x y =或0|d d x x x f = +→?0x 时，改变量比值的极限x y x ??+ →?0 lim 称f(x)在x 0处的右导数，记为)(0x f +'。 -→?0x 时，改变量比值的极限x y x ??- →?0 lim 称f(x)在x 0处的左导数，记为)(0x f -'。 2．导数的意义 导数的几何意义：)(0x f '是曲线y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处切线的斜率，导数的几何意义给我们提供了直观的几何背景，是微分学的几何应用的基础。 导数的物理意义：路程对时间的导数)(0t s '是瞬时速度v (t 0) 。以此类推，速度对时间的导数)(0t v '是瞬时加速度a (t 0)。 3．可导与连续的关系 定理 若函数)(x f y =在点x 0处可导，则函数在点x 0处一定连续。 此定理的逆命题不成立，即连续未必可导。 4．导数的运算 定理1（代数和求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，则 v u v u '±'='±)( 定理2（积的求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，则 v u v u uv '+'=')( 定理3（商的求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，且v (x )≠0，则 2v v u v u v u ' -'= ' ?? ? ??
导数和微分的概念
一元函数微分学 §1 导数和微分的概念 基本概念 1.导数定义 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 几种极限形式都要掌握 函数在某点可导即上述极限存在，极限存在?Skip Record If...?左右极限都存在且相等，左极限为左导，右极限为右导， ?Skip Record If...?， ?Skip Record If...? 导数定义是非常重要的概念，一定要灵活掌握。 2.导函数?Skip Record If...?,?Skip Record If...?. f(x)在（a, b）可导, f(x)在[a, b]可导 3.可导与连续的关系 可导一定连续，但连续不一定可导（如函数?Skip Record If...?在x=0点处连续，但是不可导） 4.导数的几何意义 切线方程：?Skip Record If...?； 法线方程：?Skip Record If...? ?Skip Record If...?， 5.微分的定义 微分的几何意义 6.微分与导数的关系
?Skip Record If...?在x处可微?Skip Record If...??Skip Record If...?在x处可导，且?Skip Record If...? 同时 ?Skip Record If...?。 §2 导数与微分的计算 基本概念 1.基本初等函数的导数、微分公式（书159页，166页） 2.导数（微分）四则运算公式 ?Skip Record If...?， ?Skip Record If...?， 特别地 ?Skip Record If...?， ?Skip Record If...? 特别地 ?Skip Record If...?。 后面两个公式不要记错。 3.复合函数的求导法则 如何正确运用好复合函数求导法则（必须明确函数的复合过程），并且应到最后一层复合 4．高阶导数（计算同一阶导数）。 §3 中值定理 基本概念
第三章 函数的导数与微分 习题 3－1 1. 根据定义求下列函数的导数: (1) x y 1 = (2)x y cos = (3)b ax y +=(a ,b 为常数) (4)x y = 解(1)因为 00()()'lim lim x x y f x x f x y x x ?→?→?+?-==?? =x x x x x ?-?+→?1 1lim 0=01lim ()x x x x ?→-+?=21 x - 所以 21 y x '=- . (2) 因为00cos()cos 'lim lim x x y x x x y x x ?→?→?+?-==?? 02sin()sin 22 lim sin x x x x x x ?→??-+==-? 所以sin y x '=- (3) 因为 00[()][]'lim lim x x y a x x b ax b y x x ?→?→?+?+-+==?? =x x a x ??→?0lim =a 所以y a '= (4) 因为 00'lim lim x x y y x x ?→?→?-==?? = )(lim 0x x x x x x +?+??→? lim x ?→== 所以 y '= . 2. 下列各题中假定)(0' x f 存在, 按照导数的定义观察下列极限, 指出A 表示什么? (1) A x x f x x f x =?-?-→?)()(lim 000 (2) A x x f x =→)(lim 0(其中0)0(=f 且)0(' f )存在) (3) A x f tx f x =-→)0()(lim 0(其中)0(' f 存在)
第二章 导数与微分 (A) 1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ?+0时，相应函数的改变量=?y ( ) A ．()x x f ?+0 B ．()x x f ?+0 C ．()()00x f x x f -?+ D ．()x x f ?0 2．设()x f 在0x 处可，则()()=?-?-→?x x f x x f x 000lim ( ) A ．()0x f '- B ．()0x f -' C ．()0x f ' D ．()02x f ' 3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dx dy ( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x 5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( ) A ．左导数存在； B ．右导数存在； C ．左右导数都存在 D ．有定义 6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( ) A ．1 B ．0 C ．-1 D ．不存在 7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( ) A ．8 B ．12 C ．-6 D ．6 8．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( ) A ．()x f e B ．()()x f e x f '' C ．()()()[]x f x f e x f ''' D ．()()[](){} x f x f e x f ''+'2 9．若()???≥+<=0 ,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( ) A ．2=a ，1=b B ． 1=a ，2=b C ．2-=a ，1=b D ．2=a ，1-=b
第三章 导数与微分 一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求 1. 理解导数和微分的概念及其几何意义，会用导数（变化率）描述一些简单的实际问题. 2.熟练掌握导数和微分的四则运算法则和基本初等函数的求导公式. 3.熟练掌握复合函数、隐函数以及由参数方程所确定的函数的一阶导数的求法. 4.了解高阶导数的概念，熟练掌握初等函数的二阶导数的求法. 5.了解可导、可微、连续之间的关系. 重点 导数的概念及其几何意义，计算导数的方法，初等函数的二阶导数的求法. 难点 求复合函数和隐函数的导数的方法. （二） 内容提要 1.导数的概念 ⑴导数 设函数)(x f y =在点0 x 的某一邻域内有定义，当自变量x 在点0 x 处有增量)0(≠??x x ，x x ?+0 仍在该邻域内时，相应地，函数有增量)()(0 x f x x f y -?+=?，若极限 000 0()()lim lim x x f x x f x y x x ?→?→+?-?=?? 存在，则称)(x f 在点0 x 处可导，并称此极限值为)(x f 在点0 x 处的导数，记为)(0 x f '，也可记为0 00 0d d d d , ,)(x x x f x x x y x x y x y ===' '或，即 x x f x x f x y x f x x ?-?+=??='→?→?)()(lim lim )(00000. 若极限不存在，则称)(x f y =在点0 x 处不可导. 若固定0 x ，令x x x =?+0 ，则当0→?x 时，有0x x →，所以函数)(x f 在 点0 x 处的导数)(0 x f '也可表示为 00 ) ()(lim )(x x x f x f x f x --='→.
第二章 导数与微分答案 第一节 导数概念 1．填空题. （1） ()'f 0= 0； （2） (2, 4) （3） 1 . （4） =a 2 ，=b -1 . 2．选择题. （1）B ； （2）B ； （3） C ； （4）D ； （5） B ； （6）B 3．解 令)(t v 表示在t 时刻的瞬时速度，由速度与位移的关系知 ()().5)21(lim 2 ) 22(lim 22lim )2()2(22222' =++=-+-+=--==→→→t t t t t s t s s v t t t 4．设()? x 在x a =处连续，()()()f x x a x =-?， 求()'f a ；若)(||)(x a x x g ?-=，()x g 在x a =处可导吗？ 解（1）因为()? x 在x a =处连续， 故)()(lim a x a x ??=→，所以 ()()()).()(lim 0 )(lim lim )('a x a x x a x a x a f x f a f a x a x a x ???==---=--=→→→ （2）类似于上面推导知 ()()()),(0 )(lim lim )(' a a x x a x a x a g x g a g a x a x ??=---=--=++ →→+ ()()()).(0)(lim lim )(' a a x x a x a x a g x g a g a x a x ??-=----=--=--→→- 可见当()0=a ?时，()0)(' ==a a g ?；当()0≠a ?时，())(' ' a g a g -+≠， 故这时()x g 在x a =处不可导。 5．求曲线y x =-43在点()12,-处的切线方程和法线方程. 解 根据导数的几何意义知道，所求切线的斜率为 ,4|4|131'1=====x x x y k 从而所求切线方程为 ),1(4)2(-=--x y 即 64-=x y .
P61 习题3-1 1、根据定义求导数： (1)cos y x = 00000cos()cos lim 2sin sin 22lim sin()sin 22lim 2 sin 2lim sin()lim 22 sin x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x ?→?→?→?→?→+?-'=?+?++?--=???+=-???=-+?=- 12 (2)y x = 112 2 012()lim lim lim 12x x x x x x y x x ?→?→?→-+?-'=?==== (3)y = 033 223 2 2 2(lim lim lim lim x x x x x x y x ?→?→?→?→+?'=?==== =(4)x y a = 001lim lim x x x x x x x a a a y a x x +???→?→--'==?? 设t x =?，则 01 lim t x t a y a t →-'= 再设t s a =，则log a t s =，于是 11 1 1 110 1 1lim log 1lim log 1 lim log [1(1)] 1log ln x s a x s s a x s s a x a x s y a s a s a s a e a a →→--→--'===+-== 2、
0000000()()(1)lim [(()]() lim () x x f x x f x x f x x f x x f x ?→-?→-?-?+-?-=--?'=- 00000000000000000000000()()(2)lim ()()()()lim ()()()()lim lim ()()()()lim lim ()[()]2() x x x x x x f x x f x x x f x x f x f x f x x x f x x f x f x f x x x x f x x f x f x x f x x x f x f x f x ?→?→?→?→?→?→+?--??+?-+--?=?+?---?=+??+?--?-=-??''=--'= 000()(3)lim ()lim (0)(0)lim (0) x x x f x x f x x f x f x f →?→?→?=?+?-=?'= 00001001 (4)lim [()()]1 ()() lim 1() n n n f x f x n f x f x n n f x →∞→+-+-='= 3、证： ()f x 为偶函数且(0)0f =，则 00000(0)(0)(0)lim ()(0) lim ()(0) lim ()(0) lim ()(0) lim (0)x x x x x f x f f x f x f x f x f x f x f x f x f x f - - - - + -?→?→?→?→-?→++?-'=??-=?-?-=?-?-=--?-?-=--?'=- 又()f x 在0x =处可导，则 (0)(0)f f -+''= 即(0)(0)f f ++''=- 所以(0)0f +'= 故(0)0f '=。 4、证： （1）设()f x 为可导的奇函数，则： 0000()()()lim ()()lim ()() lim [()]() lim ()x x x x f x x f x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x ?→?→?→-?→-+?--'-=?--?+=?-?-=-?+-?-=-?'= 所以()f x '为偶函数。 （2）设()f x 为可导的偶函数，则：
高等数学练习题 第二章 导数与微分 第一节 导数概念 一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 = )(0x f '- 2. 若)(0x f '存在，h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→= )(20x f ' . 000 (3)() lim x f x x f x x ?→+?-?=03()f x '. 3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim )000 x f x x f x x 4 1 4.已知物体的运动规律为2 t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（ 3π，2 1 ）处的切线方程为03 123=- -+π y x ，法线方程为 03 22332=-+ -π y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， 可微 ? 可导 <≠ ? | 连续 <≠ ? 极限存在。 二、选择题 1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x x f x ) (lim 0→= [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2 1 )0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x x b x f x a x f x ??--?+→?) ()(lim 0 = [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2 b a +)(x f ' 3. 函数在点0x 处连续是在该点0x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要 （B ）必要但不是充分 （C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要 4．设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ] （A ）(0,1) ( B) (1, 0) (C) ( 0,0) (D) (1,1)
高等数学练习题 第二章 导数与微分 第一节 导数概念 一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 = )(0x f '- 2. 若)(0x f '存在，h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→= )(20x f ' . 000 (3)() lim x f x x f x x ?→+?-?=03()f x '. 3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim )000 x f x x f x x 4 1 4.已知物体的运动规律为2 t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（ 3 π ，21）处的切线方程为03 123=- -+π y x ，法线方程为 03 22332=-+ -π y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， ； 可微 ? 可导 <≠ ? | 连续 <≠ ? 极限存在。 二、选择题 1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x x f x ) (lim 0→= [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2 1 )0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x x b x f x a x f x ??--?+→?) ()(lim 0 = [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2 b a +)(x f ' 3. 函数在点 x 处连续是在该点 x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要 （B ）必要但不是充分 （C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要 4．设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ]
第三章 导数与微分 同步练习 一、填空 1、若[]1cos 1)0()(lim =--→x f x f x x ，则)0(f '= 。 2、设)100()3)(2)(1()(----=x x x x x x f ，则)0(f '= 。 3、若)(x e f y -=，且x x x f ln )(='，则 1 =x dx dy = 。 4、若)()(x f x f =-，且3)1(=-'f ，则)1(f '= 。 5、设某商品的需求函数是Q=10-0.2p ，则当价格p=10时，降价10%，需求量将 。 6、设某商品的需求函数为：Q=100-2p ，则当Q=50时，其边际收益为 。 7、已知x x y ln =，则)10(y = 。 8、已知2arcsin )(),232 3( x x f x x f y ='+-=，则：0 =x dx dy = 。 9、设1 111ln 2 2++-+=x x y ，则y '= 。 10、设方程y y x =确定y 是x 的函数，则dy = 。 11、已知()x ke x f ='，其中k 为常数，求()x f 的反函数的二阶导数=22dy x d 。 二、选择 1、设f 可微，则=---→1 ) 1()2(lim 1 x f x f x （ ） A 、)1(-'-x f B 、)1(-'f C 、)1(f '- D 、)2(f ' 2、若2)(0-='x f ，则=--→) ()2(lim 000 x f x x f x x （ ） A 、 41 B 、4 1 - C 、1 D 、-1 3、设?? ???=≠=0001arctan )(x x x x x f ，则)(x f 在0=x 处（ ） A 、不连续 B 、极限不存在 Ｃ、连续且可导 Ｄ、连续但不可导 ４、下列函数在[]1,1-上可微的有（ ） Ａ、x x y sin 3 2+= Ｂ、x x y sin =
偏导数与全导数偏微分与全微分的关系 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
1。偏导数代数意义偏导数是对一个变量求导,另一个变量当做数对x求偏导的话y就看作一个数，描述的是x方向上的变化率对y求偏导的话x就看作一个数，描述的是y方向上的变化率 几何意义对x求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线对y求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线 这里在补充点。就是因为偏导数只能描述x方向或y方向上的变化情况，但是我们要了解各个方向上的情况，所以后面有方向导数的概念。 2。微分偏增量：x增加时f(x,y)增量或y增加时f(x,y) 偏微分：在d e t a x趋进于0时偏增量的线性主要部分d e t a z=f x（x,y）d e t a x+o(d e t a x) 右边等式第一项就是线性主要部分，就叫做在（x，y）点对x的偏微分这个等式也给出了求偏微分的方法，就是用求x的偏导数求偏微分
全增量：x,y都增加时f(x,y)的增量全微分：根号(detax方+detay方）趋于0时，全增量的线性主要部分同样也有求全微分公式，也建立了全微分和偏导数的关系d z=A d x+B d y其中A就是对x求偏导，B就是对y求偏导 希望楼主注意的是导数和微分是两个概念，他们之间的关系就是上面所说的公式。概念上先有导数，再有微分，然后有了导数和微分的关系公式，公式同时也指明了求微分的方法。 3.全导数全导数是在复合函数中的概念，和上面的概念不是一个系统，要分开。u=a(t),v=b(t) z=f[a(t),b(t)] dz/dt 就是全导数，这是复合函数求导中的一种情况，只有这时才有全导数的概念。 d z/d t=(偏z/偏u)(d u/d t)+(偏z/偏v)(d v/d t) 建议楼主在复合函数求导这里好好看看书，这里分为3种情况。1.中间变量一元就是上面的情况，才有全导数的概念。2.中间变量有多元，只能求偏导 3.中间变两有一元也有多元，还是求偏导。 对于你的题能求对x的偏导数，对y的偏导数，z的全微分，不能求全导数
第五章 导数与微分 (计划课时:1 2时) §1 导数的概念 ( 2 时) 一． 导数的背景与定义： 1． 背景：曲线的切线、直线运动的瞬时速度. 2. 导数的定义: )(0x f '定义的各种形式. )0(f '的定义. 导数的记法. 有限增量公式: .0 ),( )(0→? ?+?'=?x x x x f y 例1 ,)(2 x x f = 求). 1 (f ' 例2 设函数)(x f 在点0x 可导, 求极限 .) 3()(lim 000 h h x f x f h --→ 3. 单侧导数: 定义. 单侧可导与可导的关系. 曲线的尖点. 例3 . )(x x f = 考查)(x f 在点0=x 的可导情况. 例4 设?? ?<≥-=. 0, ,0, cos 1)(x x x x x f 讨论)(x f 在点0=x 处的左、右导数与导数. 二. 导数的几何意义: 可导的几何意义, 导数的几何意义, 单侧导数的几何意义. 例5 求曲线2 )(x x f y ==在点) 1 , 1 (处的切线与法线方程. 三. 可导与连续的关系: Th1 若函数f 在点0x （左、右）可导，则f 在点0x （左、右）连续. 例6 证明函数)()(2 x D x x f =仅在点00=x 处可导,其中)(x D 为Dirichlet 函数. 四 导函数: 函数在区间上的可导性, 导函数, 导函数的记法. .) ()(lim )(0x x f x x f x f x ?-?+='→? (注意:x sin 等具体函数的导函数不能记为,n si x ' 应记为.)(sin 'x ) 例7 求下列函数的导数：⑴ ,)(n x x f = ⑵x x f sin )(=， ⑶x x f a log )(=. 五 导函数的介值性:
x 第二章导数与微分 (一) f X 0 X f X 0 I x 0 X 3 .函数f x 在点x 0连续，是f x 在点x 0可导的（A ） 5. 若函数f x 在点a 连续，则f x 在点a （ D ） C . a 6. f x x 2 在点X 2处的导数是（D ） A . 1 B . 0 C . -1 D .不存在 7.曲线y 2x 3 5x 2 4x 5在点2, 1处切线斜率等于（A ） A . 8 B . 12 C . -6 D . 6 8.设y e f x 且fx 二阶可导，则y （ D ） A . e f x B f X r e f f X ￡ ￡ f X 丄 2 x C . e f x f x D . e f x 9.若 f x ax e , x 0 在x 0处可导，则a ， b 的值应为 b sin2x, (A ) A .左导数存在； B .右导数存在； C .左右导数都存在 1 .设函数y f x ，当自变量x 由x 0改变到 X o x 时，相应函数的改变量 f x 0 x B . f x 0 x C . f x 0 X f X 0 f X 。 x 2 .设f x 在x o 处可，则lim f X 0 B . X o C . f X 0 D . 2 f X 0 A .必要不充分条件 B . 充分不必要条件 C .充分必要条件 既不充分也不必要条件 4.设函数y f u 是可导的，且u x 2 ，则 d y ( C ) x 2 B . xf x 2 C . 2 2 2xf x D . x f x D .有定义
10?若函数f x 在点X o 处有导数，而函数 g x 在点X o 处没有导数，则 F x f x g x , G x f x g x 在 x 0 处（A ） A ?一定都没有导数 B ?—定都有导数 C .恰有一个有导数 D ?至少一个有导数 11.函数fx 与g x 在x 0处都没有导数，则Fx g x 在 x o 处(D ) 13 . y arctg 1 ，贝U y x A .一定都没有导数 B . 一定都有导数 C .至少一个有导数 D .至多一个有导数 12.已知F x f g x ，在 X X 。处可导，则（A ） g x 都必须可导 B . f x 必须可导 C . g x 必须可导 D . x 都不一定可导
导数和微分 问题 1.为什么用导数能研究函数的性态？ 答：应用导数之所以研究函数的性态是因为函数 () f x 在点 0 x 导数 00 0 0 0 0 ()() '()lim lim x x x f x f x y f x x x x ?? - D == D - 本身蕴含了函数 () f x 在点 0 x 最本质的属性.为了说明这个事实，我们首先从比数 0 0 ()() f x f x y x x x - D = D - 说起，比数 y x D D 对研究函数 () f x 在点 0 x 的性态有什么意义呢？ 我们知道，两个量a 与b 之比数 a k b = （或a kb = ）是一个抽象的数，称为率。 在数学中有很多的率。例如，圆周率，离心率，斜率，曲率等。在社会科学中， “率”就更多了，例如，增长率，出生率，利率等。率这个抽象的数k 给出了两 个量a 与b 之间的倍数关系，即a 与b 的k 倍，它能刻划事物内在的规律和属性。 例如，椭圆 22 22 1 x y a b += 的离心率 22 (01) a b e e a - = ￡< 描绘了椭圆的扁圆的程度：e 愈大，椭圆愈扁;e 愈小，椭 圆愈近似于圆。 由此可见， 椭圆的离心率e 对认识椭圆的几何性态是十分必要的。 这就是几何性质定量化，是“以数表性”的实例。同样，导数这个“率”也能够 以数表性（函数的性态），而应用的范围更为广泛。 设函数 () y f x = 在点 0 x 可导，任取一点 x ，有自变量的改变量 0 , x x x D =- 相应函数 () y f x = 的改变量 0 ()(). y f x f x D =- 两者的比数为 0 0 ()() '. f x f x y k x x x - D == D - 用分析的语言说， ' k 是函数 () y f x = 在 0 x 附近的平均变化率。用几何的语言说， ' k 是曲线 () y f x = 过点 00 (,()) x f x 与 (,()) x f x 的割线斜率。 当 x 很靠近 0 x 时 （或 x D 很小时），平均变化率 ' k 能够近似地描绘函数 () y f x = 在点 0 x 附近的性态。例如，
第二章 导数与微分 数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学. 微分学与积分学统称为微积分学. 微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一. 恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）. 积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直至16世纪才应运萌生. 本章及下一章将介绍一元函数微分学及其应用的内容. 第一节 导数概念 从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代. 而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展. 生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展. 在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生： (1) 求变速运动的瞬时速度； (2) 求曲线上一点处的切线； (3) 求最大值和最小值. 这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题. 牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念. 本节主要内容 1 引例变速直线运动的瞬时速度和平面曲线的切线 2 导数的定义 3 左右导数 4 用导数计算导数 5 导数的几何意义 6 函数的可导与连续的关系 讲解提纲： 一、 引例： 引例1：变速直线运动的瞬时速度0 00 ()()lim t t f t f t v t t →-=-；
第二章 导数与微分 第一节 导数概念 1.x x x y = ，求y ' 2．求函数y =2tan x +sec x -1的导数y ' 3. x x y 1010 +=，求y ' 4. 求曲线y =cos x 上点)2 1 ,3(π处的切线方程和法线方程式. 5.3ln ln +=x e y ，求y ' 6.已知? ??<-≥=0 0 )(2x x x x x f 求f +'(0)及f -'(0), 又f '(0)是否存在？ 7.设????? =≠=0 ,00 ,1sin )(x x x x x f ，用定义证明)(x f 在点0=x 处连续，但不可导。
8. 证明: 双曲线xy =a 2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a 2 . 9.讨论函数y =|sin x |在x =0处的连续性与可导性: 10.设函数? ??>+≤=1 1 )(2x b ax x x x f ，为了使函数f (x )在x =1处连续且可导, a , b 应取什么值？ 第二节 函数的求导法则 1.设()22arcsin x y =，求y ' 2．求函数y =sin x ?cos x 的导数y ' 3．求函数y =x 2ln x 的导数y '
4．求函数x x y ln =的导数y ' 5．求函数3ln 2+=x e y x 的导数y ' 6. )(cos )(sin 2 2x f x f y +=，求y ' 7. n b ax f y )]([+=，求y ' 8. ) ()(x f x e e f y =，求y ' 9. x x x y arcsin 12 +-=，求y ' 10．求函数y =x 2ln x cos x 的导数y ' 第三节 高阶导数 1. x x x y ln 1 arctan +=，求y ''