1. 设级数∑∞=--1
1)(n n n a a 收敛,∑∞=1
n n b 绝对收敛,证明∑∞
=1
n n n b a 绝对收敛
2. 设正项数列{n x }单调增加且有界,证明级数∑∞
=+-
1
1
)1(n n n
x x 收敛 3. 证明级数()∑∞
=≠+1
220)sin(n a n a π条件收敛
4. 设级数∑∞=1
n n a 收敛,1lim =∞
→n n b ,证明∑∞
=1
n n n b a 收敛
5. 设数列{n u }单调减少,1lim =∞
→n n u ,证明∑∞
=+++-1
21)1(n n
n
n
u u u 收敛
6. 设对一切自然数n 均有n n n c b a ≤≤,证明:若∑∞
=1
,
n n a ∑∞
=1
n n
c
收敛,则∑∞
=1
n n b 收敛
7. 设)0,0;,,2,1(,1
1>>=≤++n n n n n n b a n b b a a ,证明:若∑∞=1n n b 收敛,则∑∞
=1n n a 收敛 8. 设)0,0;,,2,1(,1
1>>=≤++n n n n n n b a n b b a a ,证明:若∑∞=1n n a 发散,则∑∞=1
n n b 发散 9.设)(x f 在0=x 的某一邻域内具有二阶连续导数,且0)
(lim
=→x
x f x ,证明级数∑
∞
=1
)1
(n n
f 绝对收敛 10.已知数列}{n na 收敛, 级数)(1--n n a a n 收敛, 证明级数∑∞
=1
n n a 收敛
11.设{n u },{n v }为正项数列,若对一切自然数n 均有011≤-++n n n n v u v u ,且∑∞
=11n n
v 发散,证明级数∑∞
=1n n u
12.设正项级数∑∞=1
n n u 收敛,证明下列级数收敛:1) ∑∞=1
2
n n u ;2) ∑
∞
=1
n n n
u
3) ∑∞
=+?1
1n n n u u
极限与连续 1. 证明 n
n n
n 2642)
12(531lim ????-????∞
→ =1
2. 设21
31211n
S n n n ++++
= ,证明 n n S ∞→lim 存在 3. 设a 1,a 2,a 3为正数,321λλλ<< , 证明 方程
03
322
11=-+-+-λλλx a x a x a 在),(21λλ和),(32λλ内各有一根.
4. 设)0(,)(lim 0
>=→a a x f x x ，用极限的δε-定义证明 a x f x x =→)(lim
5. 证明 方程x 3-9x-1=0恰好有三个实根
6. 设a>0,任取x 1>0,令)(211n
n n x a
x x +=
+(n=1,2,….), 证明 数列{}n x 收敛，并求n n x ∞
→lim
7. 证明 方程0cos =++x q p x 恰好有一个实根，其中p,q 为常数且0 →x x x x 9. a 0>b 0>0,),2,1(,,2 ,,,2111 1001001 ==+==+= ----n b a b b a a b a b b a a n n n n n n ,证明 n n a ∞ →lim 与n n b ∞ →lim 都存在且相等 10.证明 次复合 n n 222lim ∞→=2 微分差分方程 1. 设)(x f 有连续的二阶导数,且?--=x x du u f x u x f 0sin )()()(.求:)(x f 2. 设)(x y y =满足??=++'+'-x x e dt xt y x dt t y x y 0 1 0)(2)(3)(,且1)0(=y .求:)(x y 3. 设)(x y y =满足x e y y y 223=+'-'',且其图形在点(0,1)处的切线与曲线 12+-=x x y 在该点的切线重合,求函数)(x y . 4. 已知?+= 1 1)(2 1 )(x f dt xt f ,求:)(x f 5. 已知x x x x x x x e e xe y e xe y e xe y ---+=+=+=23221,,是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,求此微分方程 6. 已知)(x y y =是可微函数,且?+=x tdt t y x x y 0sin )(2cos )(,求)(x y 7. 设)(x f 有连续的二阶导数,且?+-=x dt t f x f 0 1)1()(.求:)(x f 8. 设?--=x dt t f t x x x x f 0 )()(sin )(,其中)(x f 连续,求:)(x f 9. 求微分方程x e x y x y x y =+'-''cos 3sin 2cos 的通解 10.设微分方程x ce by y a y =+'+''的一个特解是x x e x e y )1(2++=,求:a,b,c 的值及该方程的通解 微积分的经济应用 1.若全年需要某种原料a 吨，其消耗是均匀的，已知原料分批均匀进货一次订购所需费用为b ，原料单价为p ，年保管费用率为r ，求每次订购多少才能使总费用最省. 2.某商品进价为a(元/件),根据以往经验，当销售价为b(元/件)时,销售量为c 件(a,b,c 均为正常数,且b ≥4a/3),市均调查表明，销售价每下10%,销售量可增加40%,现决定一次性降价,试问当销售价定为多少时,可获得最大利润?并求出最大利润. 3.假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品,两个市场的需求函数分别是11218Q p -=,2212Q p -=.其中1p ,2p 分别表示产品在两个市场的价格(单位:万元/吨), 1Q 和2Q 分别表示该产品在两市场的销售量(即需求量，单位：吨),并且该企业生产这种产品的总成本函数是C=2Q+5,其中Q 表示该产品在两市场的销售总量，即Q=1Q +2Q .(1)如果该企业实行价格差别策略,试确定两个商场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；(2)如果该企业实行价格无差别策略, 试确定两个商场上该产品的销售量即统一的价格，使该企业的总利润最大;并比较两种价格策略下的总利润大小. 4.设某种商品在t 时期的供给量t S 与需求量t D 都是这一时期商品价格t P 的线性函数：t S =3t P -2, t D =4-5t P ;且在t 时期的价格t P 由t-1时期的价格1-t P 与供给量及需求量之差1-t S -1-t D 按关系式t P =1-t P -1(16 1 -t S -1-t D )确定，试求该产品的价格随时间变化的规律. 1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()11 3--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值． 微积分的起源与发展 主要内容： 一、微积分为什么会产生 二、中国古代数学对微积分创立的贡献 三、对微积分理论有重要影响的重要科学家 四、微积分的现代发展 一、微积分为什么会产生 微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期。公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。 到了十七世纪，哥伦布发现新大陆，哥白尼创立日心说，伽利略出版《力学对话》，开普勒发现行星运动规律－－航海的需要，矿山的开发，火松制造提出了一系列的力学和数学的问题，这些问题也就成了促使微积分产生的因素，微积分在这样的条件下诞生是必然的。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。 已知物体移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距离。 困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化。例如，计算瞬时速度，就不能象计算平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是0，而0 / 0 是无意义的。但根据物理学，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。 第二类问题是求曲线的切线的问题。 这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。 困难在于：曲线的“切线”的定义本身就是一个没有解决的问题。 古希腊人把圆锥曲线的切线定义为“与曲线只接触于一点而且位于曲线的一边的直线”。这个定义对于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了。 高等数学竞赛极限与连续真题 1. 计算：22 2 sin )(cos 112lim 2x e x x x x x -+-+→ 析： ),(08 21144 22 x x x x +-+=+ )(08 1 1124422x x x x +=+-+ 又)(02 3 )](01[)](0211[cos 2222224 x x x x x x e x x +-=++-+- =- 故22 2 sin )(cos 112lim 2x e x x x x x -+-+→ 121sin )(023)(081lim sin 1)(023)(081lim 222244022 22 24 40-=?+-+=??+-+=→→x x x x x x x x x x x x x x x 2.计算求n n n n n n n ln )ln ln ( lim -+∞→的值。 （选自广东省大学生高等数学竞赛试题） 析：n n n n n n n ln )ln ln (lim -+∞→=n n n n n n n n n n ln 2ln 2ln ])ln ln 21[(lim --∞→-+ 令,ln t n n =则原式.)11(lim 21 0e t t t t =-++ → 3.计算：)1)1(31211(lim 1n n n -∞→-+++- 析： )21 4121(12131121312112n n n S n +++--+++=- -+-= =n n n n n n ++++++=+++-++++1 2111)214121(22131211 =)11 211111(1n n n n n ++++++ 摘要:文章主要探讨了牛顿和莱布尼兹所处的时代背景以及他们的哲学思想对其创立广泛地应用于自然科学的各个领域的基本数学工具———微积分的影响。 关键词:牛顿;莱布尼兹;微积分;哲学思想 今天,微积分已成为基本的数学工具而被广泛地应用于自然科学的各个领域。恩格斯说过:“在一切理论成就中,未有象十七世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了,如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩,那就正是在这里。”[1 ] (p. 244) 本文试从牛顿、莱布尼兹创立“被看作人类精神的最高胜利”的微积分的时代背景及哲学思想对其展开剖析。 一、牛顿所处的时代背景及其哲学思想 “牛顿( Isaac Newton ,1642 - 1727) 1642 年生于英格兰。??,1661 年,入英国剑桥大学,1665 年,伦敦流行鼠疫,牛顿回到乡间,终日思考各种问题,运用他的智慧和数年来获得的知识,发明了流数术(微积分) 、万有引力和光的分析。”[2 ] (p. 155) 1665 年5 月20 日,牛顿的手稿中开始有“流数术”的记载。《流数的介绍》和《用运动解决问题》等论文中介绍了流数(微分) 和积分,以及解流数方程的方法与积分表。1669 年,牛顿在他的朋友中散发了题为《运用无穷多项方程的分析学》的小册子,在这里,牛顿不仅给出了求一个变量对于另一个变量的瞬时变化率的普遍方法,而且证明了面积可以由求变化率的逆过程得到。因为面积也是用无穷小面积的和来表示从而获得的。所以牛顿证明了这样的和能由求变化率的逆过程得到(更精确地说,和的极限能够由反微分得到) ,这个事实就是我们现在所讲的微积分基本定理。这里“, 牛顿使用的是无穷小方法,把变量的无限小增量叫做“瞬”,瞬是无穷小量,是不可分量, 或是微元, 牛顿通过舍弃“瞬”求得变化率。”[3 ] (p. 199) 1671 年牛顿将他关于微积分研究的成果整理成《流数法和无穷级数》(1736) ,在这里,他认为变量是连续运动产生的,他把变量叫做流,变量的变化率叫做流数。牛顿更清楚地陈述了微积分的基本问题:已知两个流之间的关系,求它们流数之间的关系,以及它的逆问题。《流数法和无穷级数》是一部较完整的微积分著作。书的后半部分通过20 个问题广泛地介绍了流数法各无穷级数的应用。1676 年,牛顿写出了《求曲边形的面积》(1704) ,在这里,牛顿的微积分思想发生了重大变化,他放弃了微元或无穷小量,而采用了最初比和最后比的方法。 1687 年牛顿发表了它的划时代的科学名著《自然哲学的数学原理》,流数术(即微积分) 是其三大发现之一。正如爱因斯坦所说的:“牛顿啊??你所发现的道路在你的那个时代是一位具有最高思维能力和创造能力的人所发现的唯一道路,你所创造的概念即使在今天仍然指导着我们的物理学思想”。[4 ] (p. 192) 牛顿生活的时代正是英国发生变化的时代,当时英国发生了国内战争,资产阶级和贵族的阶级妥协,使英国资产阶级革命明显的带上了不彻底性。当时的英国资产阶级正在为现存的剥削阶级的一切上层建筑做永恒存在的论证,因此绝对化的思想成为占统治地位的主导思想,它也影响到当时的自然科学家们把形而上学的思想方法绝对化。牛顿的思想也受到了英国资产阶级革命不彻底性的影响,因而牛顿也往往不能从自然界本身或事物的本身来寻找最初的原因,而借助于外来的推动力。 牛顿在30 岁以前发现了微积分,并建立了经典力学体系,而他的后半生在自然科学的研究上几乎一事无成。这是由于在资本主义产生和形成的时期,资产阶级曾经向宗教神学发起冲击,帮助科学从神学中解放出来。但是当资产阶级的地位巩固以后,阶级斗争逐渐激化之时,资产阶级就逐渐衰退,他们就抓住各种各样的宗教信念作为奴役人民的思想武器。牛顿受其影响很大,其前半生由于自发的唯物主义的思想倾向,使他获得了巨大成就,而后半生则完全沉迷于神学的研究。 作业习题 1、求下列函数的导数。 （1）223)1(-=x x y ； （2）x x y sin = ； （3）bx e y ax sin =； （4）)ln(22a x x y ++=；（5）11arctan -+=x x y ；（6）x x x y )1(+=。 2、求下列隐函数的导数。 （1）0)cos(sin =+-y x x y ；（2）已知,e xy e y =+求)0(y ''。 3、求参数方程???-=-=) cos 1()sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数dx dy 与二阶导数 2 2dx y d 。 4、求下列函数的高阶导数。 （1）,αx y =求)(n y ； （2）,2sin 2x x y =求)50(y 。 5、求下列函数的微分。 （1）)0(,>=x x y x ； （2）2 1arcsin x x y -= 。 6、求双曲线122 22=-b y a x ，在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。 7、用定义求)0(f '，其中?????=, 0,1sin )(2 x x x f .0, 0=≠x x 并讨论导函数的连续性。 作业习题参考答案： 1、（1）解：])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y ]))(1(2[)1(3223222'-+-=x x x x x x x x x x 2)1(2)1(323222?-+-= )37)(1(222--=x x x 。 （2）解：2sin cos )sin ( x x x x x x y -='='。 （3）解：bx be bx ae bx e y ax ax ax cos sin )sin (+='=' )cos sin (bx b bx a e ax +=。 第二章 极限与连续 本章教学内容 本章介绍了数列极限与函数极限的概念、基本知识和基本理论以及函数连续性的基本知识． 微积分是一门以变量（函数等）作为研究对象、以极限方法作为基本研究手段的数学学科，无论是微分学、积分学、还是无穷级数问题都需以极限为工具进行研究，整个微积分学就是建立在极限论的基础之上的． 连续性是函数的一个重要的分析性质，本章运用极限引入函数连续性的概念． 在微积分学中讨论的函数，主要是连续型的函数，它有许多良好的性质，它是本课程的主要研究对象． 教学思路 1． 学习微积分的一个直接的重要的目的是掌握研究函数的微观性态和宏观性态的方法．这一点无论对学术研究能力的培养还是对研究生入学应试，都是非常重要的．当然，学习微积分的目的还有其更重要的另外一面，那就是培养和训练思维与思考问题的模式，掌握学习未知世界的方法与技巧，不管你将来是否从事数学及其相关学科，如能达到上述境界，则必会长期受益． 2．极限的思想、概念与方法是分析数学问题的基本工具和语言．数列极限和函数极限都是高等数学重要的基础，但相对而言，前者是训练和培养极限思维模式的基础．对数列极限的有关概念和方法，站到较高台阶上去思考，将有助于全部微积分内容的学习．因此，极限的基本概念要讲透，使学生能接受并理解其深刻的内涵．要使学生会熟练地求极限．可让学生适当地多做一些练习题． 3．用“N -ε”、“δε-”语言定义极限不能省略，不要求学生会做有关的习题，但要领会，以便理解有关的定理的证明． 4．函数的连续性作为承上（极限理论与方法）启下（微分、积分概念）的重要环节，它是用极限等工具研究函数局部性质与整体性质的开始．函数在一点处连续的概念描述了函数的局部性质，而在一个区间上的连续性则描述了一个函 牛顿和微积分 大多数现代历史学家都相信，牛顿与莱布尼茨独立发展出了微积分学，并为之创造了各自独特的符号。根据牛顿周围的人所述，牛顿要比莱布尼茨早几年得出他的方法，但在1693年以前他几乎没有发表任何内容，并直至1704年他才给出了其完整的叙述。其间，莱布尼茨已在1684年发表了他的方法的完整叙述。此外，莱布尼茨的符号和“微分法”被欧洲大陆全面地采用，在大约1820年以后，英国也采用了该方法。莱布尼茨的笔记本记录了他的思想从初期到成熟的发展过程，而在牛顿已知的记录中只发现了他最终的结果。牛顿声称他一直不愿公布他的微积分学，是因为他怕被人们嘲笑。牛顿与瑞士数学家尼古拉·法蒂奥·丢勒(Nicolas Fatio de Duillier)的联系十分密切，后者一开始便被牛顿的引力定律所吸引。1691年，丢勒打算编写一个新版本的牛顿《自然哲学的数学原理》，但从未完成它。一些研究牛顿的传记作者认为他们之间的关系可能存在爱情的成分。不过，在1694年这两个人之间的关系冷却了下来。在那个时候，丢勒还与莱布尼茨交换了几封信件。在1699年初，皇家学会(牛顿也是其中的一员)的其他成员们指控莱布尼茨剽窃了牛顿的成果，争论在1711年全面爆发了。牛顿所在的英国皇家学会宣布，一项调查表明了牛顿才是真正的发现者，而莱布尼茨被斥为骗子。但在后来，发现该调查评论莱布尼茨的结语是由牛顿本人书写，因此该调查遭到了质疑。这导致了激烈的牛顿与莱布尼茨的微积分学论战，并破坏了牛顿与莱布尼茨的生活，直到后者在1716年逝世。这场争论在英国和欧洲大陆的数学家间划出了一道鸿沟，并可能阻碍了英国数学至少一个世纪的发展。 论微积分的地位和作用 摘要:17世纪到19世纪是近代数学发展的重要时期,在这一时期数学最大和最有影响的发展莫过于微积分的产生和应用。微积分的内容包括极限、微分学、积分学及其应用,是一门研究变化、运动的学科。这门学科的创立不仅极大的推进了数学自身的发展,而且影响和推动了其它学科的发展,并进而对人类社会的生产时间产生影响。本文探讨了微积分在数学中的地位,同时揭示了其对于当代数学的发展以及其它自然、人文、社会科学发展的作用。 关键词:微积分;近代数学;产生;发展;地位;作用 1. 微积分产生与发展 1.1 微积分的产生 微积分思想的萌芽出现得比较早,中国战国时代的《庄子.天下》篇中的“一尺之棰,日取其半,万事不竭”,就蕴涵了无穷小的思想。古希腊数学家阿基米德在公元前三世纪运用杠杆原理推导出了球体的体积公式,就包含了定积分的基本原理。之后,到了17世纪,欧洲许多数学家也开始运用微积分的思想来求极大值与极小值,以及曲线的长度等等。帕斯卡在求曲边形面积时, 用到“无穷小矩形”的思想, 并把无穷小概念引入数学, 为后来莱布尼兹的微积分的产生奠定了基础。 1.2 微积分的发展 微积分的正式诞生是在17世纪的后半期,牛顿和莱布尼兹在求积问题与作切线问题之间的互逆关系的基础上创立了微积分的基本定理,并且对无穷小算法进行了归纳与总结,正式创立了微积分这一数学中的重要运算法则。之后,随着数学科学的发展,微积分得到了进一步的发展,其中欧拉对于微积分的贡献最大,他的《无穷小分析引论》、《微分学》、《积分学》三部著作对微积分的进一步丰富和发展起了重要的作用。之后,洛必达、达朗贝尔、拉格朗日、拉普拉斯、勒让德、傅立叶等数学家也对微积分的发展作出了较大的贡献。由于这些人的努力,微分方程、级数论得以产生,微积分也正式成为了数学一个重要分支。 2. 微积分在近代数学中的地位 2.1微积分是近代数学的重要组成内容 微积分是近代数学的重要组成内容。微积分是微分学和积分学的总称,微分学包括极限理论、导数理论、微分理论等等,微分学还有一元微分、多元微分,并进一步发展出常微分方程、偏微分方程等等数学知识,微分学的核心思想就是以直代曲,即在微小的邻域内,可以用一段切线段来代替曲线以简化计算过程。积分学由定积分、不定积分理论组成,积分是微分 导数与微分 1. 已知'(0)1f =，求 0(2)(3)lim sin5x f x f x x →-. 解 由等价无穷小的代换 ， 原极限x x f f f x f x x f x f x x )5()0()0()2(lim )5()2(lim 00-+-=-=→→ x f x f x f x f x x )0()5(lim )0()2(lim 00---=→→ 3)0('5)0('20 5)0()5(lim 502)0()2(lim 200-=-=-----=→→f f x f x f x f x f x x 2. 设函数???≤>+++=0, 0,2)sin 1()(x ax x a x b x f 。 b a ,为何值时)(x f 在0=x 处可导？ 解 可导时)(x f 在0=x 处连续，则有0)0(2)0(==++=+f b a f 。 可导时，左右导数必相等。? ??<>=00cos )('x a x x b x f 因此a f b f ='=='-+)0()0(。于是1-==b a 。 3. 求)0(,)(ln ln sin 2>+=x x x y x 的导数。 解 ()() )'ln (sin 1)ln(ln 21)ln(ln 2'ln sin ln sin x x e x x e x x y x x x x ?+?='+?=?? )ln cos sin (1)ln(ln 2sin x x x x x x x x ++?= 4. 设0334 3=-+xy x y 确定了隐函数)(x f y =，求'y 和"y 。 解 0'3312'332=--+xy y x y y ，3 2123')33(x y y x y -=-，x y x y y --=23 4'。 则 2 2322)()1'2)(4())(12'("x y yy x y x y x y y ------=。 2 22332223)()142)(4())(124(x y x y x y y x y x y x x y x y ----------= 第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x ∈X 2.初等函数: 微积分发展中牛顿与莱布尼茨的贡献 微积分（Calculus ）是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。 1.微积分产生 到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。 微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。 一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。 在十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。 到十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。牛顿和莱布尼茨正是在这样的时刻出场的．时代的需要与个人的才识，使他们完成了微积分创立中最后也是最关键的一步． 2.牛顿的“流数术” 牛顿于1661年入剑桥大学三一学院,受教于巴罗,同时钻研伽利赂,开普勒,笛卡儿和沃利斯等人的著作.而笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》对他影响最深,正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路. 1665年8月,剑桥大学因瘟疫流行而关闭,牛顿离校返乡,随后在家乡躲避瘟疫的两年,竞成为牛顿科学生涯中的黄金岁月.制定微积分,发现万有引力和颜色理论,……,可以说牛顿一生大多数科学创造的蓝图,都是在这两年描绘的. 2.1流数术的初建 牛顿对微积分问题的研究始于1664年秋,当时他反复阅读笛卡儿《几何学》,对笛卡儿求切线的"圆法"发生兴趣并试图寻找更好的方法.就在此时,牛顿首创了小o 记号表示x 的无限小且最终趋于零的增量. 1665年夏至1667年春,牛顿在家乡躲避瘟疫期间,继续探讨微积分并取得了突破性进展.1665年11月发明"正流数术"(微分法),次年5月又建立了"反流数术"(积分法). 1666年10月,牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论文,此文现以《流数简论》著称,《流数简论》是历史上第一篇系统的微积分文献. 《流数简论》反映了牛顿微积分的运动学背景。该文事实上以速度形式引进了“流数”（即微商）概念，虽然没有使用“流数”这一术语。牛顿在《简论》中提出微积分的基本问题如下： （a ）设有两个或更多个物体A ，B ，C ，…在同一时刻内描画线段x ，y ，z ，…。已知表示这些线段关系的方程，求它们的速度p ，q ，r ，…的关系。 （b ）已知表示线段x 和运动速度p 、q 之比q p 的关系方程式，求另一线段y 。 第二章 导数与微分 第一节 导数概念 1.x x x y = ，求y ' 2．求函数y =2tan x +sec x -1的导数y ' 3. x x y 1010 +=，求y ' 4. 求曲线y =cos x 上点)2 1 ,3(π处的切线方程和法线方程式. 5.3ln ln +=x e y ，求y ' 6.已知? ??<-≥=0 0 )(2x x x x x f 求f +'(0)及f -'(0), 又f '(0)是否存在？ 7.设????? =≠=0 ,00 ,1sin )(x x x x x f ，用定义证明)(x f 在点0=x 处连续，但不可导。 8. 证明: 双曲线xy =a 2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a 2 . 9.讨论函数y =|sin x |在x =0处的连续性与可导性: 10.设函数? ??>+≤=1 1 )(2x b ax x x x f ，为了使函数f (x )在x =1处连续且可导, a , b 应取什么值？ 第二节 函数的求导法则 1.设()22arcsin x y =，求y ' 2．求函数y =sin x ?cos x 的导数y ' 3．求函数y =x 2ln x 的导数y ' 4．求函数x x y ln =的导数y ' 5．求函数3ln 2+=x e y x 的导数y ' 6. )(cos )(sin 2 2x f x f y +=，求y ' 7. n b ax f y )]([+=，求y ' 8. ) ()(x f x e e f y =，求y ' 9. x x x y arcsin 12 +-=，求y ' 10．求函数y =x 2ln x cos x 的导数y ' 第三节 高阶导数 1. x x x y ln 1 arctan +=，求y '' 《微积分初步》单元学习辅导一（函数极限连续） 微积分初步学习辅导（一） ——函数、极限和连续部分 学习重难点解析 （一）关于函数的概念 1.组成函数的要素: (1)定义域:自变量的取值范围D ； (2)对应关系：因变量与自变量之间的对应关系f . 函数的定义域确定了函数的存在范围，对应关系确定了自变量如何对应到应变量.因此，这两个要素一旦确定，函数也就随之确定.所以说，两个函数相等（即)()(x g x f =）的充分必要条件是两个函数的定义域和对应关系都相等.若两者之一不同，就是两个不同的函数. 2.函数定义域的确定 对于初等函数，一般要求它的自然定义域，具体说来通过下面的途径确定： (1) 函数式里如果有分式，则分母的表达式不为零； (2) 函数式里如果有偶次根式，则根式里的表达式非负； (3) 函数式里如果有对数式，则对数式中真数的表达式大于零； (4)如果函数表达式是由若干表达式的代数和的形式，则其定义域为各部分定义域的公共部分； (5)对于分段函数，其定义域为函数自变量在各段取值的之并集. (6)对于实际的应用问题，应根据问题的实际意义来确定函数的定义域. 3.函数的对应关系 函数的对应关系f 或f （ ）表示对自变量x 的一个运算，通过f 或f （ ）把x 变成了y ，例如152)(3 +-==x x x f y ，则f 代表算式 1)(5)(2)(3+-=f 括号内是自变量的位置，运算的结果得到因变量的值. （二）关于函数的基本属性 函数的基本属性是指函数的单调性、奇偶性、周期性和有界性.了解函数的属性有助于我们对函数的研究. 理解函数属性中需要注意下面的问题： 1.关于函数的奇偶性：讨论函数的奇偶性，其定义域必须是关于原点对称的的区间，函数奇偶性的判别方法是函数奇偶性定义和奇偶函数的运算性质，即 奇函数±奇函数=奇函数 第四章 导数与微分 第一讲 导数 一，导数的定义： 1函数在某一点0x 处的导数：设()x f y = 在某个()δ,0x U 内有定义,如果极限 ()()0 lim 00→??-?+x x x f x x f (其中()() x x f x x f ?-?+00称为函数()x f 在(0x ,0x +x ?)上的平均变化率(或差商)称此极限值为函数()x f 在0x 处的变化率)存在则称函数()x f 在0x 点可导.并称该极限值为()x f 在0x 点的导数记为()0/ x f ,若记()()00,x f x f y x x x -=?-=?则 ()0/ x f =()()0 00lim x x x x x f x f →--=0lim →???x x y 解析：⑴导数的实质是两个无穷小的比。 即：函数相对于自变量变化快慢的程度,其绝对值 越大,则函数在该点附近变化的速度越快。 ⑵导数就是平均变化率(或差商)的极限,常用记法: ()0/ x f ,0/x x y =,0x x dx dy =。 ⑶函数()x f 在某一点0x 处的导数是研究函数()x f 在点0x 处函数的性质。 ⑷导数定义给出了求函数()x f 在点0x 处的导数的具体方法,即：①对于点0x 处的自变量增量x ?,求出函数的增量（差分）y ?=()()00x f x x f -?+②求函数增量y ?与自变量增 量x ?之比x y ??③求极限0 lim →???x x y 若存在,则极限值就是函数()x f 在点0x 处的导数,若极限不 存在,则称函数()x f 在0x 处不可导。 ⑸在求极限的过程中, 0x 是常数, x ?是变量, 求出的极限值一般依赖于0x ⑹导数是由极限定义的但两者仍有不同，我们称当极限值为∞时通常叫做极限不存在，而导数则不同，因其具有实在的几何意义，故当在某点处左，右导数存在且为同一个广义实数值时我们称函数在某点可导。实质是给导数的定义做了一个推广。 ⑺注意: 若函数()x f 在点0x 处无定义,则函数在0x 点处必无导数,但若函数在点0x 处有定义,则函数在点0x 处未必可导。 2 单侧导数：设函数()x f 在某个(]00,x x δ-（或[)δ+00,x x ）有定义，并且极限 浅谈牛顿、莱布尼兹对微积分的贡献 姓名：马志霞学号：200971010129 班级：09级数学（1）班 摘要本文主要论述了微积分的产生、牛顿和莱布尼茨对微积分的贡献以及他们创立微积分的比较。 关键词牛顿莱布尼兹微积分产生贡献比较 一、微积分的产生 微积分是微分学和积分学的总称。微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等，积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。如今，微积分已成为基本的数学工具而被广泛地应用于自然科学的各个领域。以下四种主要类型的问题： 第一类：变速运动求即时速度的问题。 第二类：求曲线的切线的问题。 第三类：求函数的最大值和最小值问题。 第四类：求曲线长、曲边梯形面积、不规则物体的体积、物体的重心、压强等问题。这些科学问题需要解决是促使微积分产生的因素。许多著名的科学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，英国伟大的科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨选用的。 微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，对过去很多束手无策的初等数学问题运用微积分就会迎刃而解。微积分学不但极大的推动了数学的发展，而且也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展，并在这些学科中应用越来越广泛。 二、莱布尼兹对微积分的贡献 莱布尼兹创立微积分首先是出于几何问题的思考。1673年，他因在帕斯卡的有关论文中“突然看到一束光明”，而提出了自己的“微分三角形”理论。借助于这种无限小三角形，他迅速地、毫无困难地了建立大量定理，其中包括后来“在巴罗和格里高利的著作中见到的几乎所有定理”。 在对微分特征三角形的研究中，莱布尼兹逐渐认识到了什么是求曲线切线和求曲线下面积的实质，并发现了这两类问题的互逆关系。在1666年，莱布尼兹便在序列的求和运算与求差运算间发现了它们的互逆关系。从1672年开始，莱布尼兹将他对数列研究的结果与微积分运算联系起来。他通过把曲线的纵坐标想象成一组无穷序列，得出了“求切线不过是求差，求积不过是求和”的结论。他引进了微分记号dx来表示两相邻x的值的差，并给出幂函数的微分与积分公式。不久，他又给出了计算复合函数微分的链式法则。1677年，莱布尼兹在一篇手稿中明确陈述了微积分基本定理。 1684年莱布尼兹发表了他的第一篇微分学论文《新方法》，该文是莱布尼兹对自己1673年以来微分学研究的概括，其中定义了微分并广泛采用了微分记号，并明确陈述了函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分公式。他还得出了复合函数的链式微分法则，以及后来又将乘积微分的“莱布尼兹法则”推广到了高阶情形，这些表明莱布尼兹非常重视微积分的形式运算法则和公式系统。《新方法》还包含了微分法在求极值、拐点以及光学等方面的广泛应用。1686年，莱布尼兹又发表了他的第一篇积分学论文《深奥的几何与不可分量及无限的分析》。这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系，说明了他的方法和符号， 莱布尼兹的生平及贡献 人物 戈特弗里德〃威廉〃凡〃莱布尼茨， 德国最重要的自然科学家、数学家、物理 学家、历史学家和哲学家，一位举世罕见 的科学天才，和牛顿（1643年1月4日 —1727年3月31日）同为微积分的创建 人。他的研究成果还遍及力学、逻辑学、 化学、地理学、解剖学、动物学、植物学、气体学、航海学、地质学、语言学、法学、哲学、历史、外交等等，“世界上没有两片完全相同的树叶”就是出自他之口，他还是最早研究中国文化和中国哲学的德国人，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。然而，由于他创建了微积分，并精心设计了非常巧妙简洁的微积分符号，从而使他以伟大数学家的称号闻名于世。始创：微积分 17世纪下半叶，欧洲科学技术迅猛发展，由于生产力的提高和社会各方面的迫切需要，经各国科学家的努力与历史的积累，建立在函数与极限概念基础上的微积分理论应运而生了。 微积分思想，最早可以追溯到希腊由阿基米德等人提出的计算面积和体积的方法。1665年牛顿创始了微积分，莱布尼茨在1673—1676年间也发表了微积分思想的论著。 以前，微分和积分作为两种数学运算、两类数学问题，是分别的加以研究的。卡瓦列里、巴罗、沃利斯等人得到了一系列求面积(积分)、求切线斜率(导数)的重要结果，但这些结果都是孤立的，不连贯的。 只有莱布尼茨和牛顿将积分和微分真正沟通起来，明确地找到了两者内在的直接联系：微分和积分是互逆的两种运算。而这是微积分建立的关键所在。只有确立了这一基本关系，才能在此基础上构建系统的微积分学。并从对各种函数的微分和求积公式中，总结出共同的算法程序，使微积分方法普遍化，发展成用符号表示的微积分运算法则。因此，微积分“是牛顿和莱布尼茨大体上完成的，但不是由他们发明的”。 然而关于微积分创立的优先权，在数学史上曾掀起了一场激烈的争论。实际上，牛顿在微积分方面的研究虽早于莱布尼茨，但莱布尼茨成果的发表则早于牛顿。 莱布尼茨1684年10月在《教师学报》上发表的论文《一种求极大极小的奇妙类型的计算》，是最早的微积分文献。这篇仅有六页的论文，内容并不丰富，说理也颇含糊，但却有着划时代的意义。 微积分测试题（一）极限、连续部分（答案） 一、选择题（每小题3分，共21分） 1、 当0x →+时，（A ）无穷小量。 A 1sin x x B 1 x e C ln x D 1 sin x x 2、点1x =是函数31 1()1131x x f x x x x -? 的（C ）。 A 连续点 B 第一类非可去间断点 C 可去间断点 D 第二类间断点 3、函数()f x 在点0x 处有定义是其在0x 处极限存在的（D ）。 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 无关条件 4、已知极限22 lim()0x x ax x →∞++=，则常数a 等于（A ）。 A -1 B 0 C 1 D 2 5、极限2 01 lim cos 1 x x e x →--等于（D ）。 A ∞ B 2 C 0 D -2 6、设函数1 1()1 x x f x e -= -则（D ）。 A x=0,x=1都是()f x 的第一类间断点. B x=0,x=1都是()f x 的第二类间断点 C x=0是()f x 的第一类间断点，x=1是()f x )的第二类间断点. D x=0是()f x 的第二类间断点，x=1是()f x 的第一类间断点. . D 【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限. 【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点. 且 0 l i m ()x f x →=∞，所以x=0为第二类间断点； 1 lim ()0x f x +→=，1 lim ()1x f x - →=-，所以x=1为第一类间断点，故应选(D). 【评注】 应特别注意：1 l i m 1 x x x + →=+∞-，1lim 1x x x -→=-∞- 从而 +∞ =-→+ 1 1lim x x x e ， . 0lim 1 1=-→- x x x e 7已知lim( )9x x x a x a →∞+=-，则a =( C ). A.1； B.∞； C.ln 3； D.2ln 3. 二、填空题（每小题4分，共20分） 1、21lim(1)x x x →∞ - 2、 当0x →+时，无穷小ln(1)Ax α=+与无穷小sin 3x β= 等价，则常 数 3、 已知函数()f x 在点0x =处连续，且当0x ≠时，函数2 1()2x f x -= ， 则函数值(0)f 4、 111lim[ ]1223(1) n n n →∞+++ ??+ 5、 若lim ()x f x π →存在，且sin ()2lim ()x x f x f x x ππ →= +-，则lim ()x f x π→ 三、 解答题 1、（7分）计算极限 222111 lim(1)(1)(1)23n n →∞- -- 解：原式=132411111 lim()()( )lim 223322 n n n n n n n n →∞→∞-++???=?= 2、（6分）计算极限 3 0tan sin lim x x x x →- 解：原式=2 322000sin 1sin 1cos 1cos 2lim lim lim cos cos 2 x x x x x x x x x x x x x →→→--=== 摘 要:文章主要探讨了牛顿和莱布尼兹所处的时代背景以及他们的哲学思想对其创立广泛地应用于自然科学的各个领域的基本数学工具———微积分的影响。 关键词:牛顿;莱布尼兹;微积分;哲学思想 今天,微积分已成为基本的数学工具而被广泛地应用于自然科学的各个领域。恩格斯说过:“在一切理论成就中,未有象十七世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了,如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩,那就正是在这里。”[1 ] (p. 244) 本文试从牛顿、莱布尼兹创立“被看作人类精神的最高胜利”的微积分的时代背景及哲学思想对其展开剖析。 一、牛顿所处的时代背景及其哲学思想 “牛顿( Isaac Newton ,1642 - 1727) 1642 年生于英格兰。??,1661 年,入英国剑桥大学,1665 年,伦敦流行鼠疫,牛顿回到乡间,终日思考各种问题,运用他的智慧和数年来获得的知识,发明了流数术(微积分) 、万有引力和光的分析。”[2 ] (p. 155) 1665 年5 月20 日,牛顿的手稿中开始有“流数术”的记载。《流数的介绍》和《用运动解决问题》等论文中介绍了流数(微分) 和积分,以及解流数方程的方法与积分表。1669 年,牛顿在他的朋友中散发了题为《运用无穷多项方程的分析学》的小册子,在这里,牛顿不仅给出了求一个变量对于另一个变量的瞬时变化率的普遍方法,而且证明了面积 可以由求变化率的逆过程得到。因为面积也是用无穷小面积的和来表示从而获得的。所以牛顿证明了这样的和能由求变化率的逆过程得到(更精确地说,和的极限能够由反微分得到) ,这个事实就是我们现在所讲的微积分基本定理。这里“, 牛顿使用的是无穷小方法,把变量的无限小增量叫做“瞬”,瞬是无穷小量,是不可分量, 或是微元, 牛顿通过舍弃“瞬”求得变化率。”[3 ] (p. 199) 1671 年牛顿将他关于微积分研究的成果整理成《流数法和无穷级数》(1736) ,在这里,他认为变量是连续运动产生的,他把变量叫做流,变量的变化率叫做流数。牛顿更清楚地陈述了微积分的基本问题:已知两个流之间的关系,求它们流数之间的关系,以及它的逆问题。《流数法和无穷级数》是一部较完整的微积分著作。书的后半部分通过20 个问题广泛地介绍了流数法各无穷级数的应用。1676 年,牛顿写出了《求曲边形的面积》(1704) ,在这里,牛顿的微积分思想发生了重大变化,他放弃了微元或无穷小量,而采用了最初比和最后比的方法。 1687 年牛顿发表了它的划时代的科学名著《自然哲学的数学原理》,流数术(即微积分) 是其三大发现之一。正如爱因斯坦所说的:“牛顿啊??你所发现的道路在你的那个时代是一位具有最高思维能力和创造能力的人所发现的唯一道路,你所创造的概念即使在今天仍然指导着我们的物理学思想”。[4 ] (p. 192) 牛顿生活的时代正是英国发生变化的时代,当时英国发生了国内战争,资产阶级和贵族的阶级妥协,使英国资产阶级革命明显的带上了不彻底性。当时的英国资产阶级正在为现存的剥削阶级的一切上层建筑做高等数学函数极限与连续习题及答案
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