高中数学函数的极大值和极小值

典例剖析题

型一 函数极值的求法

例1 已知3

2

()f x x ax bx c =+++在1x =与2

3

x =-

时，都取得极值． (1) 求,a b 的值； (2)若3

(1)2

f -=，求()f x 的单调区间和极值；

分析：可导函数在0x 点取到极值时，0)(0=x f ；求函数极值时，先求单调区间，再求极值。

解：（1）f ′(x )＝3x 2＋2a x ＋b ＝0．

由题设，x ＝1，x ＝－2

3

为f ′(x )＝0的解．

－23a ＝1－23，b 3＝1×(－23)．∴a ＝－12，b ＝－2． （2）f (x )＝x 3－12x 2－2 x ＋c ，由f (－1)＝－1－12＋2＋c ＝3

2，c ＝1．

∴f (x )＝x 3－1

2

x 2－2 x ＋1．

∴f (x )的递增区间为（－∞，－23），及（1，＋∞），递减区间为（－2

3

，1）．

当x ＝－23时，f (x )有极大值，f (－23)＝4927；当x ＝1时，f (x )有极小值，f (1)＝－1

2．

评析：列表求单调区间和极值不容易出错。

题型二

例2 设函数3

2

()f x x ax bx c =+++的图象如图所示，且与0y =

在原点相切，若函数的极小值为4-，（1）求,,a b c 的值；（2）求函数的递减区间．

分析;从图上可得0=x 是函数的极大值点，函数的图象经过（0，0）

点且图象与x 轴相切于（0，0）点，可先求出,,a b c 的值。

分析;从图上可得0=x 是函数的极大值点，函数的图象经过（0，0）点且图象与x 轴相切于（0，0）点，可先求出,,a b c 的值。 解：（1）函数的图象经过（0，0）点

∴ c=0，又图象与x 轴相切于（0，0）点，'y =3x 2+2ax +b ∴ 0=3×02+2a ×0+b ，得b =0 ∴ y =x 3+ax 2，'y =3x 2+2ax

当a x 32-

<时，0'y <，当a x 32

->时，0'y > 当x =a 32

-时，函数有极小值－4

∴ 4)3

2()32(2

3-=+-a a a ，得a =－3

（2）'y =3x 2－6x ＜0，解得0＜x ＜2 ∴ 递减区间是（0，2）

评析：求出,,a b c 的值后，利用导数就可求出单调区间。

备选题

例3：已知函数21

)(x

x f =+lnx, 求)(x f 的极值.

解;因为f '

(x)=-3

23212x

x x x -=+, 令f '

(x)=0，则x=2± 注意函数定义域为（0，∞+），所以驻点是x=2, 当x ∈(0,

2)时f '(x)<0, )(x f 为减函数，

当x ∈(2，+∞)时f '(x)>0, )(x f 为增函数， 所以x=2是极小值点，)(x f 的极小值为f(2)=2

1

(1+ln2),没有极大值。 评析：注意函数的定义域

点击双基

1、函数y=1+3x-x 3

有 （ ）

A ．极大值1，极小值-1，

B 。极小值-2，极大值2

C ．极大值3 ，极小值 –2，

D 。极小值-1，极大值3 2、函数y=3+mx+x 3有极值的充要条件是 ( )

A m>0

B m<0

C m ≤0 D, m ≥0

3、 f '

(x)在区间（a,b ）的图像如右

则f(x) 在区间（a,b ）内有极大值点（ ） A 2个 B 。3个 C 4个 D 1个 x

4、y=x+

x

4

的极大值为＿＿＿＿＿＿极小值为＿＿＿＿＿＿＿＿ 5、若函数()()2

f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________；

课外作业

一．选择题

1、函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）

A ．充分条件

B ．必要条件

C ．充要条件

D ．必要非充分条件

2、函数93)(2

3-++=x ax x x f ,已知)(x f 在3-=x 时取得极值,则=a ( )

A.2

B.3

C.4

D.5 3、函数)(x f =-x 3+3x 2-3x+6有 （ ） A.极大值5 B 极小值5 C 极小值1 D 无极值

4、函数a x x x f +-=2

3

32)(的极大值为6，那么a 等于（ ） A.6 B.0 C.5 D.11

5、下列四个函数，在0=x 处取得极值的函数是（ ）

①3x y = ②12

+=x y ③||x y = ④x

y 2=

A.①②

B.②③

C.③④

D.①③

6、函数)(x f =ax 3

+3x 2

+(a-1)x-5有极值的充要条件是（ ） A a=-3或a=4 B -34或a<-3 D a ∈R 7、如右图是函数)x (f y =的导数)(x f '的图象，则)(x f 有( ) A,唯一极值点x=1 B x=0极大值点，x=2是极小值点 C x=0极小值点，x=2是极大值点 D 无极值 8、函数)(x f =2sinx-x 则有 ( )

A x=3π是极小值点,

B x=6π

是极小值点 C x=3π是极大值点, D x=6

π

是极大值点,

二．填空题

9、函数()3

2

3922y x x x x =---<<的极大值为

10、函数)(x f =-x-x

2

的极大值为 11、函数y =31x 3－4x +3

1

的极小值为 三．解答题

思悟小结

1.可导函数f（x）在极值点的导数为0，但是导数为0的点不一定是极值点.如果f（x）在x0处连续，在x0两侧的导数异号，那么点x0是函数f（x）的极值点.

2.求可导函数f（x）的极值的步骤如下：

（1）求f（x）的定义域，求f'（x）；

（2）由f'（x）=0，求其稳定点；

（3）检查f'（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取极小值；如果左右同号，那么f（x）在这个根处不取极值.

参考答案

例2

点击双基

1、解：'

y =-32x +3,令'

y =0得x= -1或x=1，易得x= -1是极小值点，x=1.是极大值点，故选D ，

2、解：'y =32

x +m=0则方程要有两解，函数y=3+mx+x 3才有极值。所以m<0，故选B 3、解:A,B,D 三点左右导数异号，是极值点，其中A ，D 是极大值点 B 是极小值点。注意C 不是极值点，故选A 4、解：'y =1-24

x

=0，则x=-2或x=2， x=-2是极大值点,所以极大值为-4，x=2是极小值点，所以极小值为4.

5、解;'

2

2

'

2

()34,(2)8120,2,6f x x cx c f c c c =-+=-+==或，2c =时取极小值, 6c =时取极大值，故常数c 的值为6 课外作业 一．选择题

1、解：对于3'2'

(),()3,(0)0,f x x f x x f ===不能推出()f x 在0x =取极值，反之成立，故选D

2、解：2

()323,(3)39630,5f x x ax f a a ''=++-=?-+==，故选D

3、解：f '(x)=-3 x 2+6x-3=-3（x-1）2

≤0,所以)(x f 在R 上为减函数，故选D

4、解：令f '(x)=62

x -6x=0.得x=0或x=1,易得x=0极大值点，由f(0)=6得a=6，故选A 5、解：可以分别画出四个函数的图像，得到在0=x 处取得极值的函数是12

+=x y 和

||x y = 故选B

6、解：f '

(x)=3a x 2

+6x+a-1, )(x f 有极值的充要条件是方程f '

(x)=0有两个不等实根。

令?>0,解得-3

7、解：x=0和x=2是方程f '

(x)=0的两根，由点x=0和x=2它们左右

两侧导数值的正负号，故选B 8、解：)(x f '=2cosx-1, f '

（

3π）=0，图像可知在x=3π左侧)(x f '>0，在x=3

π

右侧 )(x f '＜0,所以x=

3

π

是极大值点，故选C 二．填空题

9、解：'

2

3690,1,3y x x x x =--==-=得，当1x <-时，'0y >；当1x >-时，'

0y <

当1x =-时，5y =极大值

10、 解：令)(x f '=-1+2

2

x >0，则x ∈(-2,0)或x ∈(0, 2)，令)(x f '=-1+

2

2

x <0, 则x ∈(-,

∞2))或x ∈(2,+∞) ，所以极大值为)2(f '=-22，

11、解：'

2

40,2y x x =-==±，极小值在2x =时取到，极小值为5- 三．解答题 12、求函数443

13

+-=x x y 的极值。

解： y '=42

-x 令y '=0的1x =-2,2x =2 函数4413

+-=

x x y 驻点左右的符号如下表所示：

所以极大值是y=

328, 极小值是y=-3

4

13、求函数的极值：y ＝2 e x ＋e x - 、解一; y ′＝2 e x －e －

x

令y ′＝0 2e x ＝e x 2 e 2x ＝1

e 2 x ＝

21 x ＝－21ln 2 在x ＝－2

1

ln2附近 y ′由负到正

∴ y 有极小值，y 极小＝22 解二: y ′＝2 e x －e －

x

令y ′＝0 则x ＝－2

1ln 2 y ″＝2 e x ＋e －

x

由于：y ″(－2

1ln 2) ＝2 e 2ln 2

1

-＋e 2ln 21

＝2＋2＝22＞0． 说明y ′在x ＝－

2

1

ln 2附近是增函数，即由负到正，所以y 有极小值22． 14、求函数y ＝x 4－8 x 2 ＋2的极值： 解：y ′＝4 x 3－16 x ，

令y ′＝0，解得x 1＝0，x 2＝2，x 3＝－2． 当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表：

当x＝0时，y有极大值，y极大值＝2；

当x＝±2时，y有极小值，y极小值＝－14．

导数运用极大值与极小值(含答案)

极大值与极小值 一、基础过关 1．函数y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，y ＝f ′(x )的图象如图，则函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内取得极小值的点有________个． 2．下列关于函数的极值的说法正确的是________．(填序号) ①导数值为0的点一定是函数的极值点； ②函数的极小值一定小于它的极大值； ③函数在定义域内有一个极大值和一个极小值； ④若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内不是单调函数． 3．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－20，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于________． 9．若函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值，则实数a 的取值范围是________． 10．求下列函数的极值：

高中数学函数最值问题的常见求解方法

一、配方法 例１：当01≤≤-x 时，求函数x x y 4322 ?-=+的最大值和最小值． 解析：34)3 22(32 + --=x y ，当01≤≤-x 时，122 1≤≤x ．显然由二次函数的性质可得1min =y ，3 4max = y ． 二、判别式法 对于所求的最值问题，如果能将已知函数式经适当的代数变形转化为一元二次方程有无实根的问题，则常可利用判别式求得函数的最值． 例２：已知012442 2 =-++-x x xy y ，求y 的最值． 解析：由已知，变形得0)1()12(242 2 =-+--y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有 0)1(16)12(422≥---y y 故 4 5≤ y ． 因此 4 5 max = y ，无最小值． 例3：若x 、R y ∈且满足：022 2 =-+++y x xy y x ，则m ax x = min y = 解析：由已知，变形得：0)()12(2 2 =++-+x x y x y ，R y ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(22≥+--x x x ，于是018≥+-x ，即 81≤ x ．即 8 1max =x ． 同理，0)()12(2 2 =-+++y y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(22≥--+y y y ，于是018≥+y ，即 81-≥y ．即 8 1 min -=y ． 注意：关于x 、y 的有交叉项的二元二次方程，通常用此法 例4：已知函数1 1 3452 2+++=x x x y ，求y 的最值． 解析：函数式变形为：0)1(34)5(2 =-+--y y x y ，R x ∈，由已知得05≠-y ， 0)1)(5(4)34(2≥----=?∴y y ，即：0762≤--y y ，即：71≤≤-y ． 因此 7max =y ，1min -=y ． 例5：已知函数)(1 2R x x b ax y ∈++=的值域为]4,1[-，求常数b a , 解析： 01 2 22 =-+-?+=+?++= b y ax yx b ax y yx x b ax y

函数极小值

基本概念 遗传算法是一类借鉴生物界的进化规律（适者生存，优胜劣汰遗传机制）演化而来的随机化搜索方法。它是由美国的J.Holland教授1975年首先提出，其主要特点是直接对结构对象进行操作，不存在求导和函数连续性的限定；具有内在的隐并行性和更好的全局寻优能力；采用概率化的寻优方法，能自动获取和指导优化的搜索空间，自适应地调整搜索方向，不需要确定的规则。遗传算法的这些性质，已被人们广泛地应用于组合优化、机器学习、信号处理、自适应控制和人工生命等领域。它是现代有关智能计算中的关键技术之一。 遗传算法的基本运算过程如下： 1)初始化：设置进化代数计数器t=0，设置最大进化代数T，随机生成M个个体作为初始群体P(0)。 2)个体评价：计算群体P(t)中各个个体的适应度。 3)选择运算:将选择算子作用于群体。选择的目的是把优化的个体直接遗传到下一代或通过配对交叉产生新的个体再遗传到下一代。选择操作是建立在群体中个体的适应度评估基础上的。 4)交叉运算：将交叉算子作用于群体。所谓交叉是指把两个父代个体的部分结构加以替换重组而生成新个体的操作。遗传算法中起核心作用的就是交叉算子。 5)变异运算：将变异算子作用于群体。即是对群体中的个体串的某些基因座上的基因值作变动。群体P(t)经过选择、交叉、变异运算之后得到下一代群体P(t 1)。 6)终止条件判断:若t=T,则以进化过程中所得到的具有最大适应度个体作为最优解输出，终止计算。 以上操作过程可以用图1来表示。

图1 遗传算法流程图 利用遗传算法求Rosenbrock 函数的极小值 求解该问题遗传算法的构造过程： （1）确定决策变量和约束条件； （2）建立优化模型； （3）确定编码方法 用长度为15位的二进制编码串来分别表示两个决策变量x1,x2。10位二进制编码串可以表示从0到2^15-1之间的个2^15不同的数，故将x1,x2的定义域离散化为1023个均等的区域，包括两个端点在内共有1024个不同的离散点。 从离散点-100到离散点100 ，分别对应于从000000000000000(0)到111111*********(1023)之间的二进制编码。 将x1,x2分别表示的两个15位长的二进制编码串连接在一起，组成一个30位长的二进制编码串，它就构成了这个函数优化问题的染色体编码方法。使用这种编码方法，解空间和遗传算法的搜索空间就具有一一对应的关系。 例如 x :000000000110111 000001101110001 表示一个个体的基因型，其中前10位表示x1，后10位表示x2 4）确定解码方法：解码时需要将30位长的二进制编码串切断为两个15位长的二进制编码串，然后分别将它们转换为对应的十进制整数代码，分别记为y1和y2。 依据个体编码方法和对定义域的离散化方法可知，将代码y 转换为变量x 的解码公式为 )2,1(1001 15^2200=--?=i yi xi 例如，对个体x :00000000110111 000001101110001 它由两个代码所组成 上述两个代码经过解码后，可得到两个实际的值239.722,247.891=-=x x （5） 确定个体评价方法：由于Rosenbrock 函数的值域总是非负的，并且优 化目标是求函数的最小值，故可将个体的适应度直接取为对应的目标函数值，即 选个体适应度的倒数作为目标函数 （6）设计遗传算子：选择运算使用比例选择算子，交叉运算使用单点交叉算子，变异运算使用基本位变异算子。 （7）确定遗传算法的运行参数：群体大小M=40，终止进化代数G=500，交叉???=≤≤--+-=)2,1(100100)1()(100),(212221212i x x x x x x f i 881 ,5521==y y ) ,()(21x x f x F =)(1)(x F x J =

梯度下降法求函数极小值

%%%%%%%%%%%%%%% 梯度下降法求函数极小值%%%%%%%%%%%%%%%%%% % 函数：f(x,y)=(x-2)^2+(y-4)^2 % 目的：求极小值和对应的极小值点坐标 % 方法：梯度下降法 % 理论： % 方向导数：偏导数反应的是函数沿坐标轴方向的变化率，但许多物理现象告诉我们，只考虑函数沿坐标轴方向的变化率是不够的，有必要研究函数沿任一指定方向的变化率。 % 函数f(x,y)在点P0(x0,y0)可微分，那么函数在改点沿任一方向l的方向导数存在，其值为： f'x(x0,y0)*cos(α)+f'y(x0,y0)*cos(β)，其中，cos(α)，cos(β)是方向l % 的方向余弦。 % 梯度：是与方向导数有关联的另一个概念，梯度是一个向量，表示为：f'x(x0,y0)*i+f'y(x0,y0)*j。 % 关系： % f'x(x0,y0)*cos(α)+f'y(x0,y0)*cos(β) % =grad f(x0,y0)*el % =|grad f(x0,y0)|*cos(θ)，其中el=（cos(α)，cos(β)）是与方向l同方向的单位向量。 % 变化率：函数沿某个方向的变化率指的是函数值沿这个方向变化的快慢。 % θ=0，el与梯度同向，函数增加最快，函数在这个方向的方向导数达到最大值，这个最大值就是梯度的模；% θ=π，el与梯度反向，函数减少最快，函数在这个方向的方向导数达到最小值； % θ=π/2，el与梯度方向正交，函数变化率为零； %% clear

syms x y b f=2*(x-2)^2+(y-4)^2; %求解函数的极小值点 Grad=[diff(f,x),diff(f,y)]; %求梯度 eps=1e-3; v=[x,y]; v0=[0,0]; Grad0=subs(Grad,v,v0);%求V0的梯度值 M=norm(Grad0);%梯度的模，方向导数 n=0; %% while n<=100 d=-Grad0;%寻优搜索方向 fval=subs(f,v,v0);%函数值 %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%求出最优步长，然后确定下一刻的坐标点%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %设步长变量为b,将v0=v0+b*d带入函数，求导，令导数等于零，解出最佳步长b1,此为一维寻优。得到下一刻坐标点v0=v0+b1*d ft=subs(f,v,v0+b*d);%将步长变量带入函数 dft=diff(ft);%求导 b1=solve(dft);%得到该方向的最优步长

高中数学：导数与函数的极值、最值练习

高中数学：导数与函数的极值、最值练习 (时间:30分钟) 1.函数f(x)=ln x-x在区间(0，e]上的最大值为( B ) (A)1-e (B)-1 (C)-e (D)0 解析:因为f′(x)=-1=，当x∈(0，1)时，f′(x)>0;当x∈(1，e]时， f′(x)<0，所以f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，e]，所以当x=1时，f(x)取得最大值ln 1-1=-1. 2.(豫南九校第二次质量考评)若函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值，则常数c的值为( C ) (A)4 (B)2或6 (C)2 (D)6 解析:因为f(x)=x(x-c)2， 所以f′(x)=3x2-4cx+c2， 又f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值， 所以f′(2)=12-8c+c2=0，解得c=2或6， c=2时，f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值; c=6时，f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值; 所以c=2. 3.函数f(x)=3x2+ln x-2x的极值点的个数是( A ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)无数 解析:函数定义域为(0，+∞)，且f′(x)=6x+-2=，不妨设g(x)=6x2-2x+1. 由于x>0，令g(x)=6x2-2x+1=0，则Δ=-20<0， 所以g(x)>0恒成立，故f′(x)>0恒成立， 即f(x)在定义域上单调递增，无极值点. 4.(银川模拟)已知y=f(x)是奇函数，当x∈(0，2)时，f(x)=ln x-ax(a>)，当x∈(-2，0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于( D ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 解析:由题意知，当x∈(0，2)时，f(x)的最大值为-1. 令f′(x)=-a=0，得x=，

函数的极值和最值(讲解)

函数的极值和最值 【考纲要求】 1.掌握函数极值的定义。 2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件. 3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值 4.会求给定闭区间上函数的最值。 【知识网络】 【考点梳理】 要点一、函数的极值 函数的极值的定义 一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义， （1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作 )(0x f y =极大值； （2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作 )(0x f y =极小值. 极大值与极小值统称极值. 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释： 求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '； ③求方程0)(='x f 的根； ④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点二、函数的最值 1.函数的最大值与最小值定理 若函数()y f x =在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上必有最大值和最小值；在开区间),(b a 内连 函数的极值和最值 函数在闭区间上的最大值和最小值 函数的极值 函数极值的定义 函数极值点条件 求函数极值

续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值.如1 ()(0)f x x x = >. 要点诠释： ①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。 ②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。 2.通过导数求函数最值的的基本步骤： 若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； （2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根； （3）求在),(b a 内使0)(='x f 的所有点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数 ()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值. 【典型例题】 类型一：利用导数解决函数的极值等问题 例1.已知函数.,33)(23R m x x mx x f ∈-+=若函数1)(-=x x f 在处取得极值，试求m 的值，并求 )(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程； 【解析】2'()363,.f x mx x m R =+-∈ 因为1)(-=x x f 在处取得极值 所以'(1)3630f m -=--= 所以3m =。 又(1)3,'(1)12f f == 所以)(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程312(1)y x -=- 即1290x y --=. 举一反三： 【变式1】设a 为实数，函数()22,x f x e x a x =-+∈R ． (1)求()f x 的单调区间与极值；

1.3.2函数的极大值与极小值同步检测

《函数的极大值与极小值》同步检测 一、基础过关 1．函数y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，y ＝f ′(x )的图象如图，则函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内取得极小值的点有________个． 2．下列关于函数的极值的说法正确的是________．(填序号) ①导数值为0的点一定是函数的极值点； ②函数的极小值一定小于它的极大值； ③函数在定义域内有一个极大值和一个极小值； ④若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内不是单调函数． 3．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2

①函数y ＝f (x )在区间????－3，－1 2内单调递增； ②函数y ＝f (x )在区间????－1 2，3内单调递减； ③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； ⑤当x ＝－1 2时，函数y ＝f (x )有极大值． 则上述判断正确的是________．(填序号) 二、能力提升 8．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于________． 9．若函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值，则实数a 的取值范围是________． 10．求下列函数的极值： (1)f (x )＝x 3－12x ； (2)f (x )＝x 3－2 2(x －1)2 . 11．已知f (x )＝x 3＋12mx 2－2m 2x －4(m 为常数，且m >0)有极大值－5 2，求m 的值． 12．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值； (2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 三、探究与拓展 13．已知函数f (x )＝(x 2＋ax －2a 2＋3a )e x (x ∈R )，其中a ∈R . (1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率； (2)当a ≠2 3 时，求函数f (x )的单调区间与极值．

高中数学函数最值问题的常见求解方法

高中数学函数最值问题的常见求解方法 一、配方法 例１.当01≤≤-x 时，求函数x x y 4322?-=+的最大值和最小值． 解析：3 4)322(32 + - -=x y ，当01≤≤-x 时， 12 2 1≤≤x ．可得1min =y ，3 4max = y ． 二、判别式法:若能将问题转化为一元二次方程有无实根的问题，则常利用判别式求得函数的最值． 例2.若x 、R y ∈且满足：022 2 =-+++y x xy y x ，则max x = ， min y = . 解析：由已知，变形得：0)()12(22=++-+x x y x y ，R y ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(2 2≥+--x x x ，于是018≥+-x ，即 8 1≤ x ．即 8 1max = x ． 同理，0)()12(22=-+++y y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(2 2 ≥--+y y y ，于是018≥+y ，即 8 1- ≥y ．即 8 1min - =y ． 例3.在2 0π ≤ ≤x 条件下，求2 ) sin 1()sin 1(sin x x x y +-= 的最大值． 解：设x t sin =，因0(∈x ，)2 π，故 10≤≤t ，则2 ) 1()1(t t t y +-= ，即 0)12()1(2 =+-++y t y t y 因为 10≤≤t ，故01≠+y ，于是0)1(4)12(2 ≥+--=?y y y 即 8 1≤ y 。 将8 1= y 代入方程得 0[3 1∈= t ，]1，所以8 1max = y . 注意：因0≥?仅为方程0)12()1(2 =+-++y t y t y 有实根0[∈t ，]1的必要条件，因此，必须 将8 1= y 代入方程中检验，看等号是否可取． 练习：已知函数)(1 2 R x x b ax y ∈++=的值域为]4,1[-，求常数b a ,.（答案： 3=b ，4±=a ） 三、换元法 (一)局部换元法 例4.求函数x x y 21-+=的最值． 解析：设x t 21-= (0≥t )，则由原式得11)1(2 12 ≤+-- =t y 当且仅当1=t 即0=x 时取 等号．故1max =y ，无最小值． 例5.已知20≤ ≤a ,求函数))(cos (sin a x a x y ++=的最值． 解析：2)cos (sin cos sin a x x a x x y +++= 令t x x =+cos sin 则 22≤ ≤- t 且2 1cos sin 2 -= t x x ，于是]1)[(2 12 2-++= a a t y 当2= t 时，21 22 max + + =a a y ；当a t -=时，)1(2 1 2 min -= a y ． 注意：若函数含有x x cos sin 和x x cos sin +，可考虑用换元法解． (二)三角代换法(有时也称参数方程法) 例6.已知x 、y R ∈，4122≤+≤y x ．求22y xy x u ++=的最值． 解析：设θcos t x =，θsin t y =，(t 为参数),因 4122≤+≤y x ，故 412≤≤t )2sin 2 11()sin sin cos (cos 2 2 2 2 θθθθθ+ =++=∴t t u 故当42=t 且12sin =θ时，6max =u ；当12=t 且12sin -=θ时，2 1max =u ． 练习1：实数x 、y 适合：545422=+-y xy x ，设22y x S +=，则 max 1S +min 1S =____。 练习2：已知x 、y R ∈且x y x 6232 2=+，求y x +的最值． 解析：化x y x 6232 2=+为123)1(2 2 =+-y x ，得参数方程为?? ? ??=+=θθsin 26 cos 1y x )sin(2 101sin 26cos 1?θθθ++ =+ +=+∴y x ， 故 2 101)(max +=+y x ，2 101)(min - =+y x ． (三)均值换元法 例7.已知1=+b a ，求证：4 4b a +的最小值为 8 1． 解析：由于本题中a 、b 的取值范围为一切实数，故不能用三角换元，但根据其和为１，我们可

函数的最大值和最小值(教案与课后反思)

3.8函数的最大值和最小值（第1课时） 嵊州市马寅初中学袁利江 【教学目标】 根据本节教材在高中数学知识体系中的地位和作用，结合学生已有的认知水平，制定本节如下的教学目标： 1．知识和技能目标 （1）理解函数的最值与极值的区别和联系． （2）进一步明确闭区间[a，b]上的连续函数f(x)，在[a，b]上必有最大、最小值． （3）掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤． 2．过程和方法目标 （1）了解开区间内的连续函数或闭区间上的不连续函数不一定有最大、最小值． （2）理解闭区间上的连续函数最值存在的可能位置：极值点处或区间端点处． （3）会求闭区间上连续，开区间内可导的函数的最大、最小值． 3．情感和价值目标 （1）认识事物之间的的区别和联系． （2）培养学生观察事物的能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题． （3）提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神． 【教学重点】 会求闭区间上连续开区间上可导的函数的最值． 【教学难点】 高三年级学生虽然已经具有一定的知识基础，但由于对求函数极值还不熟练，特别是对优化解题过程依据的理解会有较大的困难，所以这节课的难点是理解确定函数最值的方法．【难点突破】 本节课突破难点的关键是：理解方程f′(x)=0的解，包含有指定区间内全部可能的极值点．【教法选择】 根据皮亚杰的建构主义认识论，知识是个体在与环境相互作用的过程中逐渐建构的结果，而认识则是起源于主客体之间的相互作用． 本节课在帮助学生回顾肯定了闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值之后，引导学生通过观察闭区间内的连续函数的几个图象，自己归纳、总结出函数最大值、最小值存在的可能位置，进而探索出函数最大值、最小值求解的方法与步骤，并优化解题过程，让学生主动地获得知识，老师只是进行适当的引导，而不进行全部的灌输．为突出重点，突破难点，这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学． 【学法指导】 对于求函数的最值，高三学生已经具备了良好的知识基础，剩下的问题就是有没有一种更一般的方法，能运用于更多更复杂函数的求最值问题？教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用．

函数的极大值与极小值

专项训练：导数的极大值与极小值 一、单选题 1．已知函数f(x)＝x ln x－a e x(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数a的取值范围是( ) A．B．(0，e) C．D．(－∞，e) 2．函数y＝xe x的最小值是( ) A．－1B．－e C．－D．不存在 3．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝( ) A．B．－ C．－ln 2D．ln 2 4．已知函数，则（） A．有个零点B．在上为减函数 C．的图象关于点对称D．有个极值点 5．设a∈R，若函数y＝e ax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则( ) A．a>－3B．a<－3 C．a>－D．a<－ 6．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝( ) A．B．－ C．－ln 2D．ln 2 7．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( ) A．?x0∈R，f(x0)＝0 B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形 C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减 D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0 8．若函数，当时，函数的单调减区间和极小值分别为（）

A．,B．,C．,D．, 9．若函数在上有最小值，则实数的取值范围是（）A．B．C．D． 10．已知在上递减的函数，且对任意的，总有，则实数的取值范围为（） A．B．C．D． 11．若函数，当时，函数的单调减区间和极小值分别为（） A．B．C．D． 12．若函数在上恰有两个极值点，则的取值范围为（） A．B．C．D． 13．已知是常数，函数的导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（） A．B．C． D． 14．已知，函数，若在上是单调减函数，则的取值范围是( ) A．B．C．D． 15．设，则函数 A．仅有一个极小值B．仅有一个极大值 C．有无数个极值D．没有极值 16．若函数在内有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（）

函数的极大值和极小值

4.3.2 函数的极大值和极小值 教学目标： 1.理解极大值、极小值的概念； 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值； 3.掌握求可导函数的极值的步骤； 教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 教学过程： 一．创设情景 观察图3.3-8，我们发现，t a =时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数()h t 在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？ 放大t a =附近函数()h t 的图像，如图3.3-9．可以看出()h a '；在t a =，当t a <时，函数()h t 单调递增，()0h t '>；当t a >时，函数()h t 单调递减，()0h t '<；这就说明，在t a =附近，函数值先增（t a <，()0h t '>）后减（t a >，()0h t '<）．这样，当t 在a 的附近从小到大经过a 时，()h t '先正后负，且()h t '连续变化，于是有()0h a '=． 对于一般的函数()y f x =，是否也有这样的性质呢？ 附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号 二．新课讲授 1．问题：图 3.3-1（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数 2() 4.9 6.510 h t t t =-++的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像． 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现： （1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是 增函数．相应地，' ()()0v t h t =>． （2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是 减函数．相应地，'()()0v t h t =<． 2．函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系． 如图 3.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．在0x x =处，

高一数学函数的最值

第八课时 函数的最值 【学习导航】 知识网络 学习要求 1．了解函数的最大值与最小值概念； 2．理解函数的最大值和最小值的几何意义； 3．能求一些常见函数的最值和值域． 自学评价 1．函数最值的定义： 一般地，设函数()y f x =的定义域为A ． 若存在定值0x A ∈，使得对于任意x A ∈，有0()()f x f x ≤恒成立，则称0()f x 为()y f x =的最大值，记为max 0()y f x =； 若存在定值0x A ∈，使得对于任意x A ∈，有0()()f x f x ≥恒成立，则称0()f x 为()y f x =的最小值，记为min 0()y f x =； 2．单调性与最值： 设函数()y f x =的定义域为[],a b ， 若()y f x =是增函数，则max y = ()f a ，min y = ()f b ； 若()y f x =是减函数，则max y = ()f b ，min y = ()f a ． 【精典范例】 一．根据函数图像写单调区间和最值： 例1：如图为函数()y f x =，[]4,7x ∈-的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．

【解】 由图可以知道： 当 1.5x =-时，该函数取得最小值2-； 当3x =时，函数取得最大值为3； 函数的单调递增区间有２个：( 1.5,3)-和(5,6)； 该函数的单调递减区间有三个：(4, 1.5)--、(4,5)和(6,7) 二．求函数最值： 例2：求下列函数的最小值： （1）22y x x =-； （2）1()f x x = ，[]1,3x ∈． 【解】 （１）222(1)1y x x x =-=-- ∴当1x =时，min 1y =-； []1,3x ∈上是单调减函数，所以当3x =时函数1()f x x =取得1. 函数()4(0)f x x mx m =-+>在(,0]-∞上的最小值（A ） ()A 4 ()B 4- ()C 与m 的取值有关 ()D 不存在 2. 函数()f x =的最小值是 ０ ，最大值是 32 ． 3. 求下列函数的最值：

高中数学：函数的最大(小)值

课时作业11 函数的最大(小)值 时间：45分钟 ——基础巩固类—— 一、选择题 1．函数f (x )的图象如图，则其最大值、最小值分别为( B ) A ．f ? ????32，f (－3 2) B ．f (0)，f ? ????32 C ．f ? ?? ?? －32，f (0) D ．f (0)，f (3) 解析：观察函数图象， f (x )最大值、最小值分别为f (0), f ? ?? ?? 32，故选 B. 2．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( A ) A ．y ＝1 x ＋2 B ．y ＝3x －2 C ．y ＝x 2 D ．y ＝1－x 解析：B 、C 在[1,4]上均为增函数，A 、D 在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.

3．函数y＝x＋x－2的值域是(B) A．[0，＋∞) B．[2，＋∞) C．[4，＋∞) D．[2，＋∞) 解析：函数y＝x＋x－2在[2，＋∞)上单调递增，所以其最小值为2. 4．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)的最小值为－2，则f(x)的最大值为(C) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：因为f(x)＝－(x－2)2＋4＋a，由x∈[0,1]可知当x＝0时，f(x)取得最小值，即－4＋4＋a＝－2，所以a＝－2，所以f(x)＝－(x－2)2＋2，当x＝1时，f(x)取得最大值为－1＋2＝1.故选C. 5．已知函数f(x)＝2x－3，当x≥1时，恒有f(x)≥m成立，则实数m的取值范围是(B) A．R B．(－∞，－1] C．[－1，＋∞) D．? 解析：因为f(x)＝2x－3在R上是增函数，所以当x≥1时，f(x)≥f(1)＝2×1－3＝－1，故m≤－1. 6．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为(B) A．45.606 B．45.6 C．45.56 D．45.51 解析：设在甲地销售量为a，则在乙地销售量为15－a，设利润为y， 则y＝5.06a－0.15a2＋2(15－a)(0≤a≤15)，

《3.3.2 函数的极大值和极小值》教案

《3.3.2 函数的极大值和极小值》教案 教学目标： 1.理解极大值、极小值的概念； 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值； 3.掌握求可导函数的极值的步骤； 教学重点： 极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点： 对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 教学过程： 一．创设情景 观察图3.3-8，我们发现，t a =时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数()h t 在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？ 放大t a =附近函数()h t 的图像，如图3.3-9．可以看出()h a '；在t a =，当t a <时，函数()h t 单调递增，()0h t '>；当t a >时，函数()h t 单调递减，()0h t '<；这就说明，在t a =附近，函数值先增（t a <，()0h t '>）后减（t a >，()0h t '<）．这样，当t 在a 的附近从小到大经过a 时，()h t '先正后负，且()h t '连续变化，于是有()0h a '=． 对于一般的函数()y f x =，是否也有这样的性质呢？ 附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号 二．新课讲授 1．问题：图 3.3-1（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数' ()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．

函数的极大值、极小值

【学习目标】 1.理解极大值、极小值的概念. 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值. 3.掌握求可导函数的极值的步骤 【重点与难点】 极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤 【学法提示】 讲练结合 【课前预习】 用导数法求下列函数的单调区间. (1) 2()2f x x x =-- (2)311433 y x x = -+ 1.极大值： 2.极小值： 3.极大值与极小值统称为极值 取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念由定义，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 （ⅱ）函数的极值不是唯一的即函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 4. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法: 若0x 满足 0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值 5. 求可导函数f (x )的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数/()f x (2)求方程/()f x =0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列表.检查/()f x 在方程根左右的值的符号，若左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；若左负右

苏教版数学高二- 选修1-1试题 极大值与极小值

3.3.2 极大值与极小值 1.函数f(x)＝x 3－3x 的极小值为________． 解析：令f′(x)＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，可求得f(x)的极小值为f(1)＝－2. 答案：－2 2.函数f(x)＝x 3－12x 的极大值与极小值之和为________． 解析：函数的定义域为R ，f′(x)＝3x 2－12，令f′(x)＝0，解得x 1＝－2或x 2＝2.列表： x (－∞，－2) －2 (－2，2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值 16 ↘ 极小值 －16 ↗ ∴当x ＝－2时，函数有极大值f(－2)＝16.当x ＝2时，函数有极小值f(2)＝－16. ∴极大值与极小值之和为f(2)＋f(－2)＝0. 答案：0 3.已知命题甲：f′(x 0)＝0，命题乙：点x 0是可导函数f(x)的极值点，则甲是乙的________条件．(填充分不必要，必要不充分或充要) 解析：f ′(x 0)＝0不能得出点x 0是可导函数f(x)的极值点，即甲不是乙的充分条件；但点x 0是可导函数f(x)的极值点可得出f′(x 0)＝0，故甲是乙的必要条件． 答案：必要不充分 4.若函数f(x)＝x 3＋mx 2－m 2x ＋1(m 为常数，且m>0)有极大值9，则m 的值是________． 解析：由f′(x)＝3x 2＋2mx －m 2＝(x ＋m)(3x －m)＝0，得x ＝－m 或x ＝1 3m ， 当x 变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－m) －m ? ???－m ，13m 1 3m ??? ?13m ，＋∞ f′(x) ＋ － ＋

高一数学必修一函数的最值问题试题(1)

函数的最值问题（高一） 一．填空题： 1. ()35,[3,6]f x x x =+∈的最大值是 。1 ()f x x =，[]1,3x ∈的最小值是 。 2. 函数y =的最小值是 ，最大值是 3.函数21 2810y x x =-+的最大值是 ，此时x = 4.函数[]23 ,3,21x y x x -=∈--+的最小值是 ，最大值是 5.函数[]3 ,2,1y x x x =-∈--的最小值是 ，最大值是 6.函数y=2-x -21 +x 的最小值是 。y x =-的最大值是 7.函数y=|x+1|–|2-x| 的最大值是 最小值是 . 8.函数()2 1f x x =-在[2,6]上的最大值是 最小值是 。 9.函数y =x x 213+-（x ≥0）的值域是______________. 10.二次函数y=-x 2+4x 的最大值 11. 函数y=2x 2-3x+5在[-2，2]上的最大值和最小值 。 12.函数y= -x 2-4x+1在[-1 , 3]上的最大值和最小值 13.函数f （x ）=)1(11x x --的最大值是 22225 1x x y x x ++=++的最大值是 14.已知f （x ）=x 2－6x +8，x ∈［1，a ］并且f （x ）的最小值为f （a ），则a 的取值范围是 15.函数y= –x 2–2ax(0≤x ≤1)的最大值是a 2,那么实数a 的取值范围是 16．已知f （x ）=x 2－2x +3，在闭区间［0，m ］上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是 17. 若f(x)= x 2+ax+3在区间[1,4]有最大值10，则a 的值为： 18.若函数y=x 2-3x -4的定义域为[0,m],值域为[-25/4,-4],则m 的取值范围是 19. 已知f （x ）=-x 2+2x+3 , x ∈［0，4］,若f （x ）≤m 恒成立，m 范围是 。 二、解答题 20.已知二次函数 在 上有最大值4，求实数 a 的值。 21.已知二次函数 在 上有最大值2，求a 的值。 []2,3-∈x 12)(2++=ax x a x f []1,0∈x a ax x x f -++-=12)(2

高中数学函数最值的求解方法

函数最值的解法及其在生活中的应用 （渭南师范学院 数学与信息科学学院 数学与应用数学专业 11级2班） 摘要：函数最值问题是现在高中数学课程中的重要组成部分，也是高考考查的重要内容之一，在高考中占有比较重要的地位.但由于最值问题综合性较强.解法比较灵活.所以对各方面知识及选择何种解题方法方面都有较高的要求.本文主要对函数最值问题进行研究，探讨各种不同的求解方法，阐述函数最值问题研究的重要性，得到求解函数最值的几种方法及求解时应注意的一些问题. 关键词:函数;最值;解法 1绪论 函数是高中数学的主体内容，贯穿于整个高中阶段，而函数最值问题是函 数的重要内容之一．解决函数最值问题就是实现未知向已知、新问题向旧问题以及复杂问题向简单问题的转化的过程，虽然解决问题的具体方法不完全相同，但就其思维模式来说，一般是将待解决的问题进行一次次的转化，直至划为一类很容易解决或已解决的问题，从而获得原问题的解答． 函数最值问题是一类特殊的数学问题，它在生产、科学研究和日常生活中 有着广泛的应用，而且在中学数学教学中也占据着比较重要的位置，是近几年数学竞赛中的常见题型也是历年高考重点考查的知识点之一．由于其综合性强，解法灵活，因此解决这类问题，要掌握各数学分支知识，并能综合运用各种所学知识技巧，选择合适的解题方法． 1.1函数最值的定义： 一般地，函数的最值分为最小值和最大值:设函数()y f x =的定义域为T ， T x ∈0，且在0x 处的函数值是()0f x 如果对于定义域T 内任意x ，不等式()()0f x f x ≥都成立，那么()0f x 叫做 函数()y f x =的最小值，记作()min 0y f x =； 如果对于定义域T 内任意x ，不等式()()0f x f x ≤都成立，那么()0f x 叫做 函数()y f x =的最大值，记作()max 0y f x =.