高等数学下册试题库
一、选择题（每题4分，共20分）
1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9
解 AB ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}，
||=
5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ）
A ）{-1,1,5}.
B ） {-1,-1,5}.
C ） {1,-1,5}.
D ）{-1,-1,6}.
解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}.
3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k
解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k .
4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ） A ）2π B ）4π C ）3
π D ）π 解 由公式（6-21）有
2
1112)1(211)1(1221cos 2222222
121=
++?-++?-+?+?=
??=
n n n n α，
因此，所求夹角
32
1arccos π
α=
=．
5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ．
解 由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为
因为平面过1M 、2M 两点，所以有
解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的平面方程
6．微分方程()043
='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。
A ．3
B ．4
C ．5
D ． 2
7．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为(A )。
A ．3
B ．5
C ．4
D ． 2
8．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( B )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 9．微分方程3
23y y ='的一个特解是( B)。
A ．13+=x y
B ．()32+=x y
C ．()2C x y +=
D ． ()31x C y += 10．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解(C)。
A ．0=+'y y
B ．02=+'y y
C ．0=+y y n
D ． x y y cos =+'' 11．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的(A)，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ． 上述都不对 12．y y ='满足2|0==x y 的特解是( B)。
A ．1+=x
e y B ．x
e y 2= C ．2
2x e y ?= D ． x e y ?=3 13．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( C )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?= C ．()x b x a x y cos sin *+= D ． x b x a y sin cos *+= 14．下列微分方程中，( A )是二阶常系数齐次线性微分方程。 A ．02=-''y y B ．032=+'-''y y x y C ．045=-''x y D ． 012=+'-''y y
15．微分方程0=-'y y 满足初始条件()10=y 的特解为( A )。 A ．x e B ．1-x e C ．1+x e D ． x e -2
16．在下列函数中，能够是微分方程0=+''y y 的解的函数是( C )。 A ．1=y B ．x y = C ．x y sin = D ． x e y =
17．过点()3,1且切线斜率为x 2的曲线方程()x y y =应满足的关系是( C )。 A ．x y 2=' B ．x y 2='' C ．x y 2='，()31=y D ． x y 2=''，()31=y
18．下列微分方程中，可分离变量的是( B )。
A ．
e x y dx dy =+ B ．()()y b a x k dx dy --=(k ,a ,b 是常数) C ．x y dx
dy
=-sin D ． x e y xy y ?=+'2
19．方程02=-'y y 的通解是( C )。
A ．x y sin =
B ．x e y 24?=
C ．x e C y 2?=
D ．x e y = 20．微分方程
0=+x
dy y dx 满足4|3==x y 的特解是( A )。 A ．2522=+y x B ．C y x =+43 C ．C y x =+22 D ． 722=-y x 21．微分方程
01
=?-y x
dx dy 的通解是=y ( B )。 A ．x
C
B ．Cx
C ．C x +1
D ． C x +
22．微分方程0=+'y y 的解为( B )。
A ．x e
B ．x e -
C ．x x e e -+
D ． x e -
23．下列函数中，为微分方程0=+ydy xdx 的通解是( B )。
A ．C y x =+
B ．
C y x =+22 C ．0=+y Cx
D ． 02=+y Cx 24．微分方程02=-dx ydy 的通解为( A )。
A ．C x y =-2
B ．
C x y =- C ．C x y +=
D ．C x y +-= 25．微分方程xdx ydy sin cos =的通解是( D )。 A ．C y x =+cos sin B ．C x y =-sin cos C ．C y x =-sin cos D ． C y x =+sin cos 26．x e y -=''的通解为=y ( C )。
A ．x e --
B ．x e -
C ．21C x C e x ++-
D ．21C x C e x ++-- 27．按照微分方程通解定义，x y sin =''的通解是( A )。
A ．21sin C x C x ++-
B ．21sin
C C x ++- C ．21sin C x C x ++
D ． 21sin C C x ++
一、单项选择题
2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ D )
(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ).
(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( ). C
A. 若0
lim (,)x x
y y f x y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0
lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处
z x ??和z
y ??都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处
z x ??和z
y
??存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ??和22z y ??都存在, 则. 22z x ??=22
z
y
??. 6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-r r ，则a b =r
r g （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 2
5．已知三点M （1，2，1），A （2，1，1），B （2，1，2） ，则→
→?AB MA = （ C ）
(A) -1； (B) 1； (C) 0 ； (D) 2；
6．已知三点M （0，1，1），A （2，2，1），B （2，1，3） ，则||→
→
+AB MA =（ B ） (A);2-
(B) ;
(C)2; (D)-2;
7．设D 为园域222x y ax +≤ (0)a >, 化积分(,)D
F x y d σ??为二次积分的正确方法
是_________. D
A. 20
(,)a a a
dx f x y dy -??
B. 20
2(,)a
dx f x y dy ?
C. 2cos 0
(cos ,sin )a a a
d f d θθρθρθρρ-??
D. 2cos 20
2
(cos ,sin )a d f d π
θπ
θρθρθρρ-
?
?
8．设3
ln 1
0(,)x I dx f x y dy =??
, 改变积分次序, 则______.I = B A. ln30
(,)y e dy f x y dx ?? B. ln33
0(,)y e dy f x y dx ?
?
C. ln33
(,)dy f x y dx ?
? D. 3
ln 1
(,)x dy f x y dx ??
9． 二次积分cos 20
(cos ,sin )d f d π
θθρθρθρρ??
可以写成___________. D
A. 1
(,)dy f x y dx ? B. 1
00
(,)dy f x y dx ??
C. 11
(,)dx f x y dy ?? D. 10
(,)dx f x y dy ??
10． 设Ω是由曲面222x y z +=及2z =所围成的空间区域，在柱面坐标系下将三重积分
(,,)I f x y z dx dy dz Ω
=???表示为三次积分，________.I = C
A ． 221
20
00
(cos ,sin ,)d d f z dz ρπθρρθρθ?
??
B. 2
22
20
(cos ,sin ,)d d f z dz ρπθρρθρθρ?
??
C ． 2222
2
(cos ,sin ,)d d f z dz πρθρρθρθρ?
??
D ． 222
(cos ,sin ,)d d f z dz πθρρθρθρ?
??
11．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d y c a x L ≤≤=,:，
则()=?L
dx y x P ,
（ C ）
（A ） a （B ） c
（C ） 0 （D ） d
12．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d x c a y L ≤≤=,:，则()=?L
dy y x P ,
（ C ）
（A ） a （B ） c （C ） 0 （D ） d
13．设有级数∑∞
=1
n n u ,则0lim =∞
→n n u 是级数收敛的
（ D ）
(A) 充分条件； (B) 充分必要条件； (C) 既不充分也不必要条件； (D) 必要条件;
14．幂级数∑∞
=1n n nx 的收径半径R =
（ D ）
(A) 3 (B) 0 (C) 2 (D) 1
15．幂级数∑∞
=11
n n x n
的收敛半径=R
（ A ）
(A) 1 (B) 0 (C) 2 (D) 3
16．若幂级数∑∞
=0
n n
n x a 的收敛半径为R ，则∑∞
=+0
2n n n x a 的收敛半径为
（ A ）
(A) R (B) 2R
(C) R (D) 无法求得 17. 若lim 0n n u →∞
=, 则级数1
n n u ∞
=∑( ) D
A. 收敛且和为
B. 收敛但和不一定为
C. 发散
D. 可能收敛也可能发散 18. 若1n n u ∞
=∑为正项级数, 则( )
A. 若lim 0n n u →∞
=, 则1n n u ∞=∑收敛 B. 若1n n u ∞=∑收敛, 则21
n n u ∞
=∑收敛 B
C. 若21
n n u ∞=∑, 则1
n n u ∞=∑也收敛 D. 若1
n n u ∞
=∑发散, 则lim 0n n u →∞
≠
19. 设幂级数1
n n n C x ∞
=∑在点3x =处收敛, 则该级数在点1x =-处( ) A
A. 绝对收敛
B. 条件收敛
C. 发散
D. 敛散性不定 20. 级数1
sin (0)!n nx
x n ∞
=≠∑
, 则该级数( ) B
A. 是发散级数
B. 是绝对收敛级数
C. 是条件收敛级数
D. 可能收敛也可能发散
二、填空题（每题4分，共20分）
1. a ?b = （公式） 答案∣a ∣?∣b ∣cos(∧
b a ,)
2. a =(a x ，a y ，a z )，b=(b x ，b y ，z b z )则 a ·b = （计算） 答案a x b x +a y b y +a z b z
3. .=?b a ρ
ρ
答案
z
y x z y x b b b a a a k
j i ρρρ 4. ][c b a ρ
ρρ= 答案x
y z x
y z x
y
z
a a a
b b b
c c c 5. 平面的点法式方程是 答案
)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A
6.设(
)x
y y x z -+=
2
2arcsin ，其定义域为 ((){}
0,1,22
≥>≤+x y y x
y x )
7.设()()
??
?
??=≠=0
00sin ,2xy xy xy
y x y x f ，则()=1,0x f (()11,0=x f )
8.()y x f ,在点()y x ,处可微分是()y x f ,在该点连续的 的条件，()y x f ,在点()y x ,处连续是
()y x f ,在该点可微分的 的条件. (充分，必要)
9.()y x f z ,=在点()y x ,的偏导数
x z ??及y
z ??存在是()y x f ,在该点可微分的 条件.(必要) 10.在横线上填上方程的名称
①()0ln 3=-?-xdy xdx y 方程的名称是 答案 可分离变量微分方程；
②()()022=-++dy y x y dx x xy 方程的名称是 答案 可分离变量微分方程； ③x
y
y dx dy x
ln ?=方程的名称是 答案 齐次方程；
④x x y y x sin 2+='方程的名称是 答案 一阶线性微分方程；
⑤02=-'+''y y y 方程的名称是
答案 二阶常系数齐次线性微分方程.
11. 在空间直角坐标系{O ;k j i ρ
ρρ,,}下，求P (2,－3,－1)，M (a , b , c )关于
(1) 坐标平面；(2) 坐标轴；(3) 坐标原点的各个对称点的坐标. [解]：M (a , b , c )关于xOy 平面的对称点坐标为(a , b , －c )，
M (a , b , c )关于yOz 平面的对称点坐标为(－a , b , c )， M (a , b , c )关于xOz 平面的对称点坐标为(a ,－b , c )， M (a , b , c )关于x 轴平面的对称点坐标为(a ,－b ,－c )， M (a , b , c )关于y 轴的对称点的坐标为(－a , b ,－c )， M (a , b , c )关于z 轴的对称点的坐标为(－a ,－b , c ). 类似考虑P (2,－3，－1)即可.
12.要使下列各式成立，矢量b a ,应满足什么条件？
（1-=+ （2+=+
（3-=+ （4+=-
（5-=-
[解]：（1）b a ,=+；
（2）b a ,同向时有+=+
（3）≥且b a ,-=+
（4）b a ,反向时有+=-
（5）b a ,同向，且≥时有-=-
13.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？
（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；
（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；
（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. [解]：（1）单位球面； （2）单位圆
（3）直线； （4）相距为2的两点
二、填空题
1．设22(,)sin (1)ln()f x y x y x y =+-+，则 =')1,0(x f ___1___.
2．设()()()22ln 1cos ,y x y x y x f +-+=，则
)1,0('x f =____0______.
3．二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是 4．三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是 5．柱面坐标下的体积元素 z d d d dv θρρ=
6．设积分区域222:D x y a +≤, 且9D
dxdy π=??, 则a = 3 。
7． 设D 由曲线sin ,a a ρθρ==所围成, 则D
dxdy =
??234
a π 8． 设积分区域D 为2214x y ≤+≤, 2D
dxdy =??6π
9．设()y x f ,在[0， 1]上连续，如果()31
=?
dx x f ，
则()()??1
1
dy y f x f dx =_____9________. 10．设L 为连接(1, 0)与(0, 1)两点的直线段，则
()L
x y ds +=
? 11．设L 为连接(1, 0)与(0, 1)两点的直线段，
则 ().___________=-?L
ds y x 0
12．等比级数∑∞=1
n n
aq )0(≠a 当 1q < 时，等比级数∑∞
=1
n n aq 收敛.
13．当__1ρ>__时，-p 级数∑∞
=1
1
n p n 是收敛的. 14．当_________时,级数()∑
∞
=--1111n p n n
是绝对收敛的. 1ρ>
15
．若(,)f x y =则(2,1)_________.x f = 12,
16．若2
3
(,)(1)arccos 2y f x y xy x x
=+-, 则(1,)_________.y f y = 23y
17．设x y u z =, 则_________.du = ln ln x y xy z y xdx x zdy dz z ?
?++ ???
18．设ln x
z y
=, 则22__________.z x ?=?
ln 2
ln (ln 1)x
y y y x -
19. 积分2220y x dx e dy -??的值等于_________. 41
(1)2
e --,
20.设D 为园域222x y a +≤, 若()228D
x y dxdy π+=??, 则_______.a = 2
21.设2I dxdydz Ω
=???, 其中2222:,0x y z a z Ω++≤≥, 则_______.I = 34
3a π
三、是非题
（每题4分，共20分）
1. 初等函数的定义域是其自然定义域的真子集. ( ⅹ )
2.
sin lim
1x x
x
→∞=. ( ⅹ )
3. 22
lim
33
x x x →∞-=-+. (ⅹ ) 4. 对于任意实数x , 恒有sin x x ≤成立. (ⅹ )
5. 0x
y =是指数函数. ( ⅹ ) 6. 函数()log 01a
y x a = <<的定义域是()0, +∞. (ⅹ )
7. 23log 3log 21?=. (√ ) 8. 如果对于任意实数x R ∈, 恒有
()0f x '=, 那么()y f x =为常函数. (√ )
9. 存在既为等差数列, 又为等比数列的数列. ( √ ) 10. 指数函数是基本初等函数. (√ ) 11.
0x →=. ( √ ) 12. 函数3
2
34y x x =++为基本初等函数. (√ ) 13. 1
11
a a x dx x C a +=
++?. ( ⅹ ) 14. ()arcsin x π+是基本初等函数. ( ⅹ ) 15.
sin x 与x 是等价无穷小量. (ⅹ )
16. 1x
e -与x 为等价无穷小量. ( ⅹ ) 17. 若函数
()f x 在区间[],a b 上单调递增, 那么对于任意[],x a b ∈ , 恒有()0f x '>. ( ⅹ )
18. 存在既为奇函数又为偶函数的函数. ( ⅹ )
19. 当奇函数
()f x 在原点处有定义时, 一定成立()00f =. (√ )
20. 若偶函数()[]()1,1y f x x = ∈- 连续, 那么函数()()()1,1y f x x '= ∈- 为奇函数. (√ ) 21. 若奇函数()[]()1,1y f x x =
∈- 连续, 那么函数()()()1,1y f x x '= ∈- 为偶函数. (√ )
22. 偶函数与奇函数的乘积为奇函数. (√ ) 23. 奇函数与奇函数的乘积为偶函数. ( √ ) 24. 若函数()f x 为奇函数, 那么一定成立()00f =. (√ ) 25. 若函数
()f x 为偶函数, 那么一定成立()00f '=. ( ⅹ )
26. ()(
)sin cos x x π'+=. (ⅹ )
27. sin cos sin 2x x x =. (ⅹ )
28. ()x
x
a a '=. (ⅹ )
29.
()sin sin x x x π+=. ( ⅹ )
30. 单调函数一定存在最大值与最小值. ( ⅹ ) 31. 单调函数一定存在反函数. (√ ) 32. 互为反函数的两个函数的图像关于直线y x =对称. ( √ )
33. 若定义域为
[]0,1
的函数()f x 存在反函数, 那么()f x 在区间[]0,1 上单调. ( √ ) 34. 221
lim
212
n n x n →∞+=+. (√ )
35. 对于任意的,a b R +
∈, 恒有a b +≥ √ ) 36. 函数的三要素为: 定义域, 对应法则与值域. (√ ) 37. 若函数
()f x 在其定义域内处处有切线, 那么该函数在其定义域内处处可导. (ⅹ )
38. 空集是任意初等函数的定义域的真子集. (ⅹ ) 39.
sin
i
i x +∞
=∑为初等函数. (ⅹ )
40. 对于任意的x R ∈, 恒有1x +≥ ⅹ ) 41. 左右导数处处存在的函数, 一定处处可导. ( ⅹ )
下列题（1．×；2．×；3． √；4．×；5．√）
1．任意微分方程都有通解。( × )
2．微分方程的通解中包含了它所有的解。(× )
3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( √ ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。(×) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y +=
2ln 2
1
(C 为任意常数)。(√ ) 下列是非题（1．×；2．√；3．√；4．×；5．×）
1．可分离变量微分方程不都是全微分方程。( )
2．若()x y 1，()x y 2都是()()x Q y x P y =+'的特解，且()x y 1与()x y 2线性无关，则通解可表为()()()()[]x y x y C x y x y 211-+=。( )
3．函数x x e e y 21λλ+=是微分方程()02121=+'+-''y y y λλλλ的解。( ) 4．曲线在点()y x ,处的切线斜率等于该点横坐标的平方，则曲线所满足的微分方程是C x y +='2(C 是任意常数)。( )
5．微分方程y x e y -='2，满足初始条件0|0==x y 的特解为12
12+=x
y e e 。( ) 是非题（1．×；2．√；）
1．只要给出n 阶线性微分方程的n 个特解，就能写出其通解。
2．已知二阶线性齐次方程()()0=?+'?+''y x Q y x P y 的一个非零解y ，即可 四、计算证明题（每题10分，共40分）
1、判断积数收敛性∑∞
=-1
!2)1(2
n n
n
n
解：
12lim )!
1(2
!
2lim lim
12)1(122
>∞==-=-∞→-∞→-∞→n n n u u n n n n n n n
n
由比值法，级数
∑∞
=-1
!
2)
1(2
n n n
n 发散 2．ydy x xdy ydx 2
=-
解：两边同除以2
x ，得： 即
c y x y =+2
2
1 3．
xy
x y
dx dy -=
解：两边同除以x ，得
令u x y
= 则dx
du
x
u dx dy += 即
dx du
x
u dx dy +=u
u -=1 得到
()2ln 2
1
1y c u -=，
即2
ln 21??
? ??-=y c y x
另外0=y 也是方程的解。
4．()01=-+xdy
ydx xy
解：0=+-xydx xdy ydx
得到c x y x d +-=???
?
??221 即
c x y x =+2
2
1 另外0=y 也是方程的解。
5．求方程052=+'+''y y y 的通解.
解: 所给方程的特征方程为 所求通解为 )2sin 2cos (21x C x C e
y x
+=-.
6.求
.
解
7．求方程032=-'+''y y y 的通解.
解 所给方程的特征方程为 0322
=-+r r 其根为 1,321=-=r r 所以原方程的通解为 x x
e C e C y 231+=-
8.证明
()()()
2
2
2220,0,lim
y x y x y x y x -+→极限不存在
8)因为()
1lim
2
222
20=-+=→y x y x y x y
x x ,()
0lim
2
2
2
2
220=-+=→y x y
x y x x
y x 所以极限不存在
9.证明()()4
22
0,0,lim y x xy y x +→极限不存在
9)设y 2=kx ，1lim 242202
+=+=→k k
y x xy ky
x y 不等于定值，极限不存在 10.计算σ
d xy D
??? 其中D 是由直线y ?1、x ?2及y ?x 所围成的闭区域?
解? 画出区域D ?
可把D 看成是X ??型区域? 1?x ?2? 1?y ?x ? 于是
????=211][x D
dx xydy d xy σ??-=?=213
2
112)(21]2[dx x x dx y x x 8
9]24[212124=-=x x ?
注? 积分还可以写成??????==21
1
21
1
x
x D
ydy xdx xydy dx d xy σ?
11．dx
dy
=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：
y
dy
=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2
x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2
x .
12. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy
2
y
dy
dy=-11+x dx 两边积分: -y
1=-ln|x+1|+ln|c| y=
|
)1(|ln 1
+x c
另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=
|
)1(|ln 1
+x c
13. 0)2()(2=-++dy y x dx y x 解： 1=??y M ，x
N
??=1 . 则
x
N y M ??=?? 所以此方程是恰当方程。 凑微分，0)(22=++-xdy ydx ydy dx x 得 ：C y xy x =-+233
1
14． 0)4()3(2=---dy x y dx x y
解： 1=??y M ，1=??x
N
. 则
x
N y M ??=?? . 所以此方程为恰当方程。 凑微分，0432=--+ydy dx x xdy ydx 得 C y xy x =+-232
15. 求
xy
xy y x 1
1lim
)
0 ,0(),(-+→? 解?
)
11()11)(11(lim
11lim
)0 ,0(),()
0 ,0(),(++++-+=-+→→xy xy xy xy xy xy y x y x 21111lim )0 ,0(),(=++=→xy y x ? 16. 求z ?x 2?3xy ?y 2在点(1? 2)处的偏导数? 解 y x x
z 32+=??? y x y z 23+=??? 823122
1=?+?=??==y x x z
? 722132
1=?+?=??==y x y
z ? 17. 设z ?x 3y 2
?3xy 3
?xy ?1? 求22x z ??、33x
z ??、x y z ???2和y x z ???2? 解 y y y x x
z --=??32233? x xy y x y z --=??2392?
2226xy x
z =??? 23
3
6y x z =???
1962
22--=???y y x y x z ? 196222
--=???y y x x y z ? 18. 验证函数2
2ln y x z +=满足方程02
2
22=??+??y z x z ? 证 因为)ln(2
1ln 2222y x y x z +=+=? 所以
22y
x x x z +=??? 22y x y
y z +=???
222222222222)
()(2)(y x x y y x x x y x x z +-=+?-+=
???
222222222222)()(2)(y x y x y x y y y x y z +-=+?-+=??? 因此 0)
()(22222222222222=+-++-=??+??y x x y y x y x y z x z ? 19. 计算函数z ?x 2y ?y 2的全微分? 解 因为xy x
z 2=??? y x y z 22+=???
所以dz ?2xydx ?(x 2?2y )dy ?
20. 函数z ?3x 2?4y 2在点(0? 0)处有极小值?
当(x ? y )?(0? 0)时? z ?0? 而当(x ? y )?(0? 0)时? z ?0? 因此z ?0是函数的极小值? 21.函数22y x z +-=在点(0? 0)处有极大值?
当(x ? y )?(0? 0)时? z ?0? 而当(x ? y )?(0? 0)时? z ?0? 因此z ?0是函数的极大值?
22. 已知三角形ABC 的顶点分别是A (1??2??3)、B (3??4??5)、C (2??4??7)??求三角形ABC 的面积??
解 根据向量积的定义??可知三角形ABC 的面积
→
→
→
→
||2
1sin ||||21AC AB A AC AB S ABC ?=∠=???
由于→AB ?(2??2??2)???→
AC ?(1??2??4)???因此
?→
→
4
21222k
j i =?AC AB ?4i ?6j ?2k ?
于是 142)6(42
1|264|2
1222=+-+=+-=?k j i ABC S ??
23. 设有点A (1? 2? 3)和B (2? ?1? 4)? 求线段AB 的垂直平分面的方程? ?
解 由题意知道? 所求的平面就是与A 和B 等距离的点的几何轨迹? 设M (x ? y ? z )为所求平面上的任一点? 则有
|AM |?|BM |? 即 222222)4()1()2()3()2()1(-+++-=-+-+-z y x z y x ? ? 等式两边平方? 然后化简得
2x ?6y ?2z ?7?0? ?
这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程? 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程? 所以这个方程就是所求平面的方程? ?
24. 求过点(2? ?3? 0)且以n ?(1? ?2? 3)为法线向量的平面的方程? 解 根据平面的点法式方程? 得所求平面的方程为 (x ?2)?2(y ?3)?3z ?0? 即 x ?2y ?3z ?8?0?
25.求通过x 轴和点(4? ?3? ?1)的平面的方程?
解 平面通过x 轴? 一方面表明它的法线向量垂直于x 轴? ??即A ?0? 另一方面表明?它必通过原点? 即D ?0? 因此可设这平面的方程为 By ?Cz ?0?
又因为这平面通过点(4? ?3? ?1)? 所以有 ?????????????3B ?C ?0? 或 C ??3B ?
将其代入所设方程并除以B (B ?0)? 便得所求的平面方程为 y ?3z ?0? 26.求直线L 1:1341
1+=-=
-z y x 和L 2:1
222-=-+=z y x 的夹角? 解 两直线的方向向量分别为s 1 ??(1? ?4? 1)和s 2 ??(2? ?2? ?1)? 设两直线的夹角为?
? 则
2221)1()2(21)4(1|
)1(1)2()4(21|cos 2
22222==-+-+?+-+-?+-?-+?=
? ?
所以4
π?=?
例1 求幂级数 的收敛半径与收敛域?
解 因为11
11
lim ||lim 1=+==∞→+∞→n
n a a
n n n n ρ?
所以收敛半径为11==
ρ
R ?
当x ?1时? 幂级数成为∑∞
=--11
1)1(n n n
? 是收敛的? 当x ??1时? 幂级数成为∑∞
=-
1
)1(n n
? 是发散的? 因此? 收敛域为(?1, 1]? 例2 求幂级数∑∞
=0
!1
n n x n
的收敛域?
解 因为0)!1(!lim !
1
)!
1(1
lim
||lim 1=+=+==∞→∞→+∞→n n n n a a n n n n n ρ? 所以收敛半径为R ???? 从而收敛域为(??, ??)? 例3 求幂级数
∑∞
=0
!n n x n 的收敛半径?
解 因为
+∞=+==∞→+∞
→!
)!
1(lim ||
lim 1n n a a n n n n ρ? 所以收敛半径为R ?0? 即级数仅在x ?0处收敛? 例5 计算
?+L dy x xydx 22? 其中L 为抛物线y ?x 2
上从O (0? 0)到B (1? 1)的一段弧?
解? 因为
x x
Q y P 2=??=??在整个xOy 面内都成立?
所以在整个xOy 面内? 积分?+L dy x xydx 22与路径无关?
111
2==?dy ?
讨论? 设L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线? L 的方向为逆时针方向? 问
022=+-?L y x ydx
xdy 是否一定成立？
提示?
这里22y x y
P +-=和22y
x x
Q +=在点(0? 0)不连续? 因为当x 2
?y 2
?0时?
y
P y x x y x Q ??=+-=??2222
2)(? 所以如果(0? 0)不在L 所围成的区域内? 则结论成立? 而当(0? 0)在L 所围成的区域内时? 结论未必成立?
例6 验证? 在整个xOy 面内? xy 2dx ?x 2ydy 是某个函数的全微分? 并求出一个这样的函数? 解 这里P ?xy 2? Q ?x 2y ?
因为P 、Q 在整个xOy 面内具有一阶连续偏导数? 且有
y
P xy x Q
??==??2? 所以在整个xOy 面内? xy 2dx ?x 2ydy 是某个函数的全微分?
取积分路线为从O (0? 0)到A (x ? 0)再到B (x ? y )的折线? 则所求函数为
?
+=)
,()
0 ,0(2
2),(y x ydy x dx xy y x u 2
02
20
2
2y x ydy x
ydy x y
y
==+=???
高等数学（下册）试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ；
高等数学下试题及参考 答案 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
华南农业大学期末考试试卷（A 卷 ） 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy =
2 ．求极限(,)(0,0)lim x y →= （ ） A ．14 B ．12- C ．14- D ．12 3．直线:3 27 x y z L = =-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤ ，则D σ= （ ） A ．33()2 b a π- B ．332()3 b a π- C ．334()3 b a π - D ． 3 33()2 b a π- 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1 1 21n n ∞ =-∑ D ．n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特 解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22 {(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。
一、填空题（共21分 每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ???+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π +． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式x axe y =*． 二、解答题（共18分 每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 2032z y x z y x 的平面方程． 解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域． 解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)
???Ωv z y x f d ),,(???-=221020d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3．计算二重积分??+-=D y x y x e I d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-=2020d d 2r r e I r πθ??-- =-20220)(d d 212r e r πθ?-?-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分 每题7分） 1．设v ue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ． 解：)2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求y z x z ????,． 解：令xyz e z y x F z -=),,(， (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分 ?+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有 向弧段． 解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林 公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分) ππ=-? =022 (7分) 4．设曲线积分?++L x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，
高等数学II 试题 一、填空题（每小题3分，共计15分） 1．设(,)z f x y =由方程xz xy yz e -+=确定，则 z x ?= ? 。 2．函数 23 2u xy z xyz =-+在点0(0,1,2)P --沿方向l = 的方向导数最大。 3．L 为圆周2 2 4x y +=，计算对弧长的曲线积分?+L ds y x 22= 。 4．已知曲线23 ,,x t y t z t ===上点P 处的切线平行于平面22x y z ++=，则点P 的坐标为 或 。 5．设()f x 是周期为2的周期函数，它在区间(1, 1]-的定义为 210()01x f x x x -<≤?=? <≤?，则()f x 的傅里叶级数在1x =收敛于 。 二、解答下列各题（每小题7分，共35分） 1．设) ,(y x f 连续，交换二次积分 1 201(,)x I dx f x y dy -=??的积分顺序。 2．计算二重积分D ，其中D 是由y 轴及圆周22 (1)1x y +-=所 围成的在第一象限内的区域。 3．设Ω是由球面z =z =围成的区域，试将三重 积分 222()I f x y z dxdydz Ω =++???化为球坐标系下的三次积分。 4．设曲线积分[()]()x L f x e ydx f x dy --?与路径无关，其中()f x 具有一阶连 续导数，且(0)1f =，求()f x 。 5．求微分方程2x y y y e -'''-+=的通解。 三、(10分)计算曲面积分 2 y dzdx zdxdy ∑ +??，其中∑是球面 2224(0)x y z z ++=≥的上侧。 四、(10分)计算三重积分()x y z dxdydz Ω ++???，其中Ω由2 2z x y =+与1 z =围成的区域。 五、(10分)求22 1z x y =++在1y x =-下的极值。 六、(10分)求有抛物面22 1z x y =--与平面0z =所围立体的表面积。
四川理工学院试卷（2007至2008学年第一学期） 课程名称： 高等数学(上)(A 卷) 命题教师： 杨 勇 适用班级： 理工科本科 考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项： 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷 分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -111 ； (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( B )
(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分）
第二学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处 的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件 时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是 （ ） （A ）通过y 轴 （B ）通过x 轴 （C ）垂直于y 轴 （D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的 （ ） （A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）必要但非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（ ） （A ）e （B ）()e dx dy +
（C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛， 则此级数在2x =处（ ） （A ）敛散性不确定 （B ）发散 （C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（ ） （A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==， 求该平面方程． 四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数， 试求z x ??和2z x y ???． 五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???， 其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤． 六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?，
高等数学下册试题 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}， |AB |= 5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ） A ）2π B ）4π C ）3 π D ）π 解 由公式（6-21）有 2 1112)1(211)1(1221cos 2222222 121= ++?-++?-+?+?= ??= n n n n α， 因此，所求夹角 32 1 arccos π α= =． 5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ． 解 由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有 ?? ?=+-=+020D B A D A 解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的 平面方程 01=-+y x 6．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。
高等数学（下）模拟试卷一 一、填空题（每空3分，共15分） （1）函数 11z x y x y =+ +-的定义域为 （2）已知函数 arctan y z x =，则z x ?= ? （3）交换积分次序， 2 220 (,)y y dy f x y dx ? ? ＝ （4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? （5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为 二、选择题（每空3分，共15分） （1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?，平面π为4220x y z -+-=，则（） A.L 平行于πB.L 在π上C.L 垂直于πD.L 与π斜交 （2）设是由方程 222 2xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（） dx dy +2dx dy +22dx dy +2dx dy -（3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5 z =所围成的闭区域，将 2 2()x y dv Ω +???在柱面坐标系下化成三次积分为（） 22 5 3 d r dr dz πθ? ??. 24 5 3 d r dr dz πθ? ?? 22 5 3 50 2r d r dr dz πθ? ??. 22 5 20 d r dr dz π θ? ?? （4）已知幂级数，则其收敛半径（） 2112 2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * =（） ()x ax b xe +()x ax b ce ++()x ax b cxe ++ 三、计算题（每题8分，共48分） 1、 求过直线1L :1231 01x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z +-==的平面方程 2、 已知 22 (,)z f xy x y =，求z x ??，z y ?? 3、 设 22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求 2 D x dxdy ?? 4、 求函数 22 (,)(2)x f x y e x y y =++的极值 得分 阅卷人
习题七 1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置： A (1,2,3); B (-2,3,4); C (2,-3,-4); D (3,4,0); E (0,4,3); F (3,0,0). 解：点A 在第Ⅰ卦限；点B 在第Ⅱ卦限；点C 在第Ⅷ卦限； 点D 在xOy 面上；点E 在yOz 面上；点F 在x 轴上. 2. xOy 坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz 面上的呢？zOx 面上的呢？ 答: 在xOy 面上的点，z =0; 在yOz 面上的点，x =0; 在zOx 面上的点，y =0. 3. x 轴上的点的坐标有什么特点？y 轴上的点呢？z 轴上的点呢？ 答：x 轴上的点，y =z =0; y 轴上的点，x =z =0; z 轴上的点，x =y =0. 4. 求下列各对点之间的距离： （1） （0，0，0），（2，3，4）； （2） （0，0，0）， （2，-3，-4）； （3） （-2，3，-4），（1，0，3）； （4） （4，-2，3）， （-2，1，3）. 解：（1 ）s = (2) s == (3) s == (4) s ==5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离. 解：点(4，-3，5)到x 轴，y 轴，z 轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故 02 s = x s == y s == 5z s ==. 6. 在z 轴上，求与两点A （-4，1，7）和B （3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M （0，0，z ），则 222222(4)1(7)35(2)z z -++-=++-- 解得 149z = 即所求点为M （0，0，14 9）. 7. 试证：以三点A （4，1，9），B （10，-1，6），C （2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB |=|AC |=7.且有 |AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2. 故△ABC 为等腰直角三角形. 8. 验证：()()++=++a b c a b c . 证明：利用三角形法则得证.见图 7-1 图7-1 9. 设2, 3.u v =-+=-+-a b c a b c 试用a , b , c 表示23.u v -
浙江农林大学 2016 - 2017 学年第 一 学期期中考试 课程名称： 高等数学Ｉ 课程类别： 必修 考试方式： 闭卷 注意事项：1、本试卷满分100分。 2、考试时间 120分钟。 一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题3分，共21分） 1．下列各式正确的是： ( ) A. sin lim 1x x x →+∞= B. 0sin lim 0x x x →= C. 1lim 1x x e x →+∞??+=- ??? D. 1lim 1x x e x →+∞ ?? += ??? 2. 当0x +→ ( ) 1 B. ln C. 1- 1-3. 设()f x 在x a =的某邻域有定义，则它在该点处可导的一个充分条件是：( ) A.1lim ()()h h f a f a h →+∞?? +-???? 存在 B. 0(2)()lim h f a h f a h h →+-+存在 C. 0 ()()lim 2h f a h f a h h →+--存在 D. 0()() lim h f a f a h h →--存在 学院： 专业班级： 姓名： 学号： 装 订 线 内 不 要 答 题
4. 函数33y x x =-在区间[0,1]上的最小值是： ( ) A. 0 B. 没有 C. 2 D. 29 - 5. 函数21y x =-在区间[1,1]-上应用罗尔定理时，所得到的中值ξ= ( ) A. 0 B. 1 C. 1- D. 2 6．设函数2 ()(1)0 ax e x f x b x x ?≤=?->?处处可导，那么： ( ) A ．1a b == B ．2,1a b =-=- C ．0,1a b == D ．1,0a b == 7. 设x a =为函数()y f x =的极值点，则下列论述正确的是 ( ) A ．'()0f a = B ．()0f a = C ．''()0f a = D ．以上都不对 二、填空题（每小题3分，共21分） 1. 极限232)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→= . 2 ．极限lim n →∞ ?? +L =. 3.设函数f (x )=2310 22 2 x x x x a x ?+-≠? -??=?在点x =2处连续，则a = . 4. 函数()sin x f x x = 的间断点为 . 5. 函数22ln y x x =-的单调减区间为 . 6. 设函数ln y =dy = . 7．椭圆曲线cos sin x a t y b t =??=? 在4t π =相应的点处的切线方程为 .
高等数学下册试题库及答案 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}， ||= 5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ） A ）2π B ）4π C ）3π D ）π 解 由公式（6-21）有 21112)1(211)1(1221cos 2 22222212 1=++?-++?-+?+?=??=n n n n α， 因此，所求夹角321 arccos π α==． 5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ． 解 由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有 ???=+-=+020D B A D A 解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的平面方程 01=-+y x 6．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。
河北工程大学高等数学同步练习 第八章 多元函数微分法及其应用 第一节 多元函数的基本概念 1. 求定义域 (1){(x,y ) 1 xy e e ≤≤}； (2)2k Z k k y x ∈,1+2≤+≤22； (3){(x,y,z )22219x y z <++≤}. 2.求极限 (1)00 1)2x y →→+=; (2)0 ; (3)22 2 2200 2sin 2lim 0()xy x y x y x y e →→+=+; (4)20 sin cos lim .2x y xy xy x xy →→=. 3.判断下列极限是否存在，若存在，求出极限值 (1)沿直线y=kx 趋于点（0，0）时，2222 2222 01lim 1x x k x k x k x k →--=++,不存在; (2)沿直线y =0,极限为1；沿曲线y ,极限为0，不存在 ; (3)2222222211 00x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≤+≤+=+→+++.极限为0 . 4.因当220x y +≠时， 22 2 2220.x y x y y x y x y ≤=≤++, 所以0 lim (,)0(0,0)x y f x y f →→==，故连续.
第二节 偏导数 1. 求下列函数的偏导数 (1)2(1).2(1)xy y y xy +=+; 2x (1+xy ); (2)yz cos(xyz )+2xy ; xz cos(xyz )+2x ; (3)22()1()x y x y -+- , 2 2() 1()x y x y --+-. 2. 6 π. 3.11(11x y =+-==. 4. 1 2 2222 2222222222 2222222222 2222 1 ln() ln(), 2 12.,2()2,()()()z x y x y z x x x x y x y z x y x x y x x y x y z y x y x y - =+=-+?=-=-?++?+--=-=?++?-=?+ 5. 22 2202 01 0sin , lim (,)0(0,0),1sin 00lim 1 0sin 0 0(0,0)lim 0x y x y x x x y f x y f x f x x x f y y y →→?→?→≤≤+==?-??+=??-?+?==??因为所以连续. （0，0），不存在， .
高等数学（下册）考试试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2 >+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ）
《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日 星期三 考试时间：120 分钟 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin
高等数学(2)期末考试试题【B 卷】 姓名 班级 学号 填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分） 1． 设有向量)1,2,1(=→ a ，)0,2,1(-=→ b ，则=-→ → b a 2＿＿＿＿＿ 2． 过点)1,1,1(且与平面042=--+z y x 垂直的直线方程是＿＿＿＿＿ 3． =+→xy y x y x ) 2,1(),(lim ＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 4． 曲线积分? +) (AB L Qdy Pdx 与积分路径)(AB L 无关的充要条件为＿＿＿＿＿ 5． 幂级数∑ ∞ =0 n n nx 的收敛半径为＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 选择题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分） 1. 函数y x y x z -++= 1 1 的定义域是（ ） Ａ. {}0,0|),(≥≥y x y x Ｂ. {}0,0|),(<
3. 设22y y x Z +=，则===1 1|y x dz ( ) Ａ.dy dx 32+ Ｂ.dy dx 32- Ｃ．dy dx + Ｄ.0 4. 若),(y x f 为关于x 的奇函数，积分域D 关于y 轴对称，对称部分记为21,D D ， ),(y x f 在D 上连续，则??=D d y x f σ),(（ ） Ａ. 2??2 ),(D d y x f σ Ｂ.2??1 ),(D d y x f σ Ｃ.4??1 ),(D d y x f σ Ｄ.0 5. 设级数∑∞=1 n n a 收敛，∑∞=1 n n b 发散，则级数∑∞ =+1 )(n n n b a 必是( ) Ａ. 发散 Ｂ.收敛 Ｃ.条件收敛 Ｄ.敛散性不确定 判断题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分） 1. 两个空间向量的数量积的结果不一定为常数 ( ) 2. 函数),(y x f z =的偏导数 y z x z ????,在点),(y x 连续是函数),(y x f z =在该点可微的必要条件 ( ) 3. 二重积分对于积分区域具有可加性 ( ) 4. 格林公式表示二重积分与第一类曲线积分之间的关系 ( ) 5. 如果∑∞ =1 n n u 绝对收敛，则级数 ∑∞ =1 n n u 必定收敛 ( ) 计算题：（本题共5小题，每小题8分，满分40分）
《高等数学》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2l n 2x x x dx C =+? B ）、s i n c o s t d t t C =-+ ? C ）、 2a r c t a n 1dx dx x x =+? D ）、211 ()dx C x x - =-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=????? ?? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ）、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin
南京邮电大学2010/2011学年第二学期 《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分） 1、交换二次积分 ? ? x e dy y x f dx ln 0 1 ),(的积分次序为 （ c ） (A ) ? ? x e dx y x f dy ln 0 1 ),( (B ) ??1 ),(dx y x f dy e e y (C ) ? ? e e y dx y x f dy ),(1 (D ) ?? e x dx y x f dy 1 ln 0 ),( 2、锥面22y x z +=在柱面 x y x 22 2≤+内的那部分面积为 （D ） (A ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 d d (B ) ? ?- θπ π ρ ρθcos 20 22 2 d d (C ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 2 22 2 d d (D ) ??- θ π πρρθcos 202 2 2d d 3、若级数∑∞ =-1 )2(n n n x a 在2-=x 处收敛，则级数
∑∞ =--1 1 )2(n n n x na 在5=x （B ） (A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （ A ） (A ) ∑∞ =-1 )13(n n n n (B ) ∑∞ =+121n n n (C ) ∑∞ =+111sin n n (D ) ∑∞ =13! n n n 5、若函数 )()2()(2 222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （ c ） (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2
，则曲线 y=f(x) 在1. ( 单选题) 若函数 f(x) 在点 x 0 处可导且 点（ x0, f(x0) ）处的法线的斜率等于（）(本题2.0分) A、 B、 C、 D、 学生答案：C 标准答案：B 解析： 得分：0 2. ( 单选题) 函数f(x)=ln(x-5)的定义域为（）。(本题2.0分) A、x>5 B、x<5 C、 D、 学生答案：A 标准答案：A 解析： 得分：2 3. ( 单选题)
极限 (本题2.0分) A、-2 B、0 C、 2 D、 1 学生答案：A 标准答案：A 解析： 得分：2 4. ( 单选题) 设则(本题2.0分) A、 B、 C、 D、 学生答案：A 标准答案：C 解析： 得分：0 5. ( 单选题) 设函数f(x)=(x+1)Cosx,则f(0)=( ).(本题2.0分)
A、-1 B、0 C、 1 D、无定义 学生答案：C 标准答案：C 解析： 得分：2 6. ( 单选题) (本题2.0分) A、 B、 C、 D、 学生答案：A 标准答案：A 解析： 得分：2
7. ( 单选题) 若，则f(x）=（）。(本题2.0分) A、 B、 C、 D、 学生答案：B 标准答案：A 解析： 得分：0 8. ( 单选题) 微分方程是一阶线性齐次方程。 (本题2.0分) A、正确 B、错误 学生答案：B 标准答案：B 解析： 得分：2 9. ( 单选题) 设函数，其中是常数，则。
(本题2.0分) A、 B、 C、 D、0 学生答案：C 标准答案：A 解析： 得分：0 10. ( 单选题) 设函数f(x) 在点x=1 处可导，则（）。(本题2.0分) A、 B、 C、 D、 学生答案：D 标准答案：D
习题6-2 1. 求图6-21 中各画斜线部分的面积: (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 6 1 ]2132[)(1022310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A , 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1, e ]. 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e . (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-3, 1]. 所求的面积为
3 32 ]2)3[(1 32=--=?-dx x x A . (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-1, 3]. 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12=-+=-+=--?x x x dx x x A . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 22 1 x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算); 解: 3 8 8282)218(220220*********--=--=--=????dx x dx x dx x dx x x A 34238cos 16402+=-=?ππ tdt . 3 4 6)22(122-=-=ππS A . (2)x y 1 =与直线y =x 及x =2;
解: 所求的面积为 ?-=-=2 12ln 2 3)1(dx x x A . (3) y =e x , y =e -x 与直线x =1; 解: 所求的面积为 ?-+=-=-1021 )(e e dx e e A x x . (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 a b e dy e A b a y b a y -===?ln ln ln ln 3. 求抛物线y =-x 2+4x -3及其在点(0, -3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积. 解: