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高数学习资料(含讲义及全部内容)(二)

第二章 导数与微分

导数和微分是高等数学中的重要内容之一,也是今后讨论一切问题的基础。它从根本上反映了函数的变化情况,我们将陆续介绍倒数和微分的用途。

§2、1 导数的概念

一、 引例

1、 线问题:切线的概念在中学已见过。从几何上看,在某点的切线就是一直线,它在该点和曲线相切。准确地说,曲线在其上某点P 的切线是割线PQ 当Q 沿该曲线无限地接近于P 点的极限位置。

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设曲线方程为)(x f y =,设P 点的坐标为),(00y x p ,动点Q 的坐标为),(y x Q ,要求出曲线在P 点的切线,只须求出P 点切线的斜率k 。由上知,k 恰好为割线PQ 的斜率的极限。我们不难求得PQ 的斜率为:0

0)()(x x x f x f --;因此,当Q P →时,其极限存在的话,其值就是k ,即0

0)()(lim 0x x x f x f k x x --=→。 若设α为切线的倾角,则有αtan =k 。

2、速度问题:设在直线上运动的一质点的位置方程为)(t s s =(t 表示时刻),又设当t 为0t 时刻时,位置在)(0t s s =处,问:质点在0t t =时刻的瞬时速度是多少?

为此,可取0t 近邻的时刻t ,0t t >,也可取0t t <,在由0t 到t 这一段时间内,质点的平均速度为00)()(t t t s t s --,显然当t 与0t 越近,用00)()(t t t s t s --代替0t 的瞬时速度的效果越佳,

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