2015-2016学年安徽省合肥一中高二（下）期中数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若z1=（m2+m+1）+（m2+m﹣4）i，m∈R，z2=3﹣2i，则m=1是z1=z2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
2．设f（x）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′（x）的图象可能是（）
A． B．C．D．
3．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）
A．B．4 C．D．6
4．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）
A．假设a，b，c不都是偶数
B．假设a，b，c都不是偶数
C．假设a，b，c至多有一个是偶数
D．假设a，b，c至多有两个是偶数
5．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）
A．?xα∈R，f（xα）=0
B．函数y=f（x）的图象是中心对称图形
C．若xα是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，xα）单调递减
D．若xα是f（x）的极值点，则f′（xα）=0
6．用数学归纳法证明等式：1+2+3+…+2n=n（2n+1）时，由n=k到n=k+1时，等式左边应添加的项是（）
A．2k+1 B．2k+2 C．（2k+1）+（2k+2） D．（k+1）+（k+2）+ (2)
7．已知函数f（x）在R上满足f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是（）
A．y=2x﹣1 B．y=x C．y=3x﹣2 D．y=﹣2x+3
8．下面使用类比推理正确的是（）
A．直线a∥b，b∥c，则a∥c，类推出：向量，则
B．同一平面内，直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b．类推出：空间中，直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b
C ．实数a ，b ，若方程x 2+ax +b=0有实数根，则a 2≥4b ．类推出：复数a ，b ，若方程x 2+ax +b=0有实数根，则a 2≥4b
D ．以点（0，0）为圆心，r 为半径的圆的方程为x 2+y 2=r 2．类推出：以点（0，0，0）为球心，r 为半径的球的方程为x 2+y 2+z 2=r 2
9．点P 是曲线y=x 2﹣1nx 上任意一点，则点P 到直线y=x ﹣2的距离的最小值是（ ）
A ．1
B ．
C ．2
D ．2
10．C +C +C +C +…+C 的值为（ ）
A ．C
B ．C
C ．C
D ．C
11．若f （n ）为n 2+1（n ∈N *）的各位数字之和，如142+1=197，1+9+7=17，则f （14）=17，记f 1（n ）=f （n ），f 2=f （f 1（n ））…f k+1=f k （f （n ）），k ∈N *则f 2016（8）=（ ） A ．3 B ．5 C ．8 D ．11
12．已知函数y=f （x ）对任意的x ∈（﹣
，
）满足f ′（x ）cosx +f （x ）sinx ＞0（其中
f ′（x ）是函数f （x ）的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A ． f （﹣
）＜f （﹣）
B ．
f （
）＜f （
）
C ．f （0）＞2f （
）
D ．f （0）＞
f （
）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．由1，2，3，4可以组成 个没有重复数字的正整数．
14．二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr ，二维测度（面积）S=πr 2；三维空间中球的二
维测度（表面积）S=4πr 2，三维测度（体积）V=πr 3；四维空间中“超球”的三维测度V=8πr 3，则猜想其四维测度W= ．
15．已知a n =（）n ，把数列{a n }的各项排成如下的三角形：
记A （s ，t ）表示第s 行的第t 个数，则A （11，12）= ．
16．已知f （x ）=x 3﹣6x 2+9x ﹣abc ，a ＜b ＜c ，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=0．现给出如下结论： ①f （0）f （1）＞0； ②f （0）f （1）＜0； ③f （0）f （3）＞0； ④f （0）f （3）＜0．
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设复数Z=lg（m2+2m﹣14）+（m2﹣m﹣6）i，求实数m为何值时？
（Ⅰ）Z是实数；
（Ⅱ）Z对应的点位于复平面的第二象限．
18．（1）已知0＜x＜，证明：sinx＜x＜tanx；
（2）求证：函数f（x）=在x∈（0，π）上为减函数．
19．设数列{a n}的前n项和为S n，且对任意n∈N*都有：（S n﹣1）2=a n S n；
（1）求S1，S2，S3；
（2）猜想S n的表达式并证明．
20．在数列{a n}中，已知a1=2，a n+1=．
（Ⅰ）证明数列{﹣1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：a i（a i﹣1）＜3
21．已知向量=（e x，lnx+k），=（1，f（x）），∥（k为常数，e是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，F（x）=xe x f′（x）．
（1）求k的值及F（x）的单调区间；
（2）已知函数g（x）=﹣x2+2ax（a为正实数），若对任意x2∈[0，1]，总存在x1∈（0，+∞），使得g（x2）＜F（x1），求实数a的取值范围．
22．已知函数f（x）=的图象为曲线C，函数g（x）=ax+b的图象为直线l．
（1）当a=2，b=﹣3时，求F（x）=f（x）﹣g（x）的最大值；
（2）设直线l与曲线C的交点的横坐标分别为x1，x2，且x1≠x2，求证：（x1+x2）g（x1+x2）＞2．
2015-2016学年安徽省合肥一中高二（下）期中数学试卷
（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若z1=（m2+m+1）+（m2+m﹣4）i，m∈R，z2=3﹣2i，则m=1是z1=z2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据复数相等的条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】解：当m=1，则z1=（m2+m+1）+（m2+m﹣4）i=3﹣2）i，此时z1=z2，充分性成立．
若z1=z2，则，
即，
则，即m=1或m=﹣2，此时必要性不成立，
故m=1是z1=z2的充分不必要条件，
故选：A
2．设f（x）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′（x）的图象可能是（）
A． B．C．D．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】由f（x）的图象可得在y轴的左侧，图象下降，f（x）递减，y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，即有y轴左侧导数小于0，右侧导数先小于0，再大于0，最后小于0，对照选项，即可判断．
【解答】解：由f（x）的图象可得，在y轴的左侧，图象下降，f（x）递减，
即有导数小于0，可排除C，D；
再由y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，
函数f（x）递减，再递增，后递减，
即有导数先小于0，再大于0，最后小于0，
可排除A；
则B正确．
故选：B．
3．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）
A．B．4 C．D．6
【考点】定积分在求面积中的应用．
【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x ﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．
【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），
因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：
S=．故选C．
4．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）
A．假设a，b，c不都是偶数
B．假设a，b，c都不是偶数
C．假设a，b，c至多有一个是偶数
D．假设a，b，c至多有两个是偶数
【考点】反证法与放缩法．
【分析】本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“b、c中至少有一个偶数”写出否定即可．
【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”．
即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数
故选：B．
5．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）
A．?xα∈R，f（xα）=0
B．函数y=f（x）的图象是中心对称图形
C．若xα是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，xα）单调递减
D．若xα是f（x）的极值点，则f′（xα）=0
【考点】函数在某点取得极值的条件；命题的真假判断与应用．
【分析】利用导数的运算法则得出f′（x），分△＞0与△≤0讨论，列出表格，即可得出．【解答】解：f′（x）=3x2+2ax+b．
1=4a212b0f x=0x x
①x2是函数f（x）的极小值点，但是f（x）在区间（﹣∞，x2）不具有单调性，故C不正确．
②∵+f（x）=
+x3+ax2+bx+c=﹣+2c，
=，
∵+f（x）=，
∴点P为对称中心，故B正确．
③由表格可知x1，x2分别为极值点，则，故D正确．
④∵x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即?xα∈R，f（xα）=0，故A正确．
（2）当△≤0时，，故f（x）在R上单调递增，①此时不存在极
值点，故D正确，C不正确；
②B同（1）中②正确；
③∵x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即?xα∈R，f（xα）=0，故A正确．
综上可知：错误的结论是C．
由于该题选择错误的，故选：C．
6．用数学归纳法证明等式：1+2+3+…+2n=n（2n+1）时，由n=k到n=k+1时，等式左边应添加的项是（）
A．2k+1 B．2k+2 C．（2k+1）+（2k+2） D．（k+1）+（k+2）+ (2)
【考点】数学归纳法．
【分析】由数学归纳法可知n=k时，左端为1+2+3+…+2k，到n=k+1时，左端左端为
1+2+3+…+2k+（2k+1）+（2k+2），从而可得答案．
【解答】解：∵用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=n（2n+1）时，
当n=1左边所得的项是1+2；
假设n=k时，命题成立，左端为1+2+3+…+2k）；
则当n=k+1时，左端为1+2+3+…+2k+（2k+1）+（2k+2），
∴由n=k到n=k+1时需增添的项是（2k+1）+（2k+2）．
故选：C．
7．已知函数f（x）在R上满足f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是（）
A．y=2x﹣1 B．y=x C．y=3x﹣2 D．y=﹣2x+3
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】由f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8，可求f（1）=1，对函数求导可得，f′（x）=﹣2f′（2﹣x）﹣2x+8从而可求f′（1）=2即曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=2，进而可求切线方程．
【解答】解：∵f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8，∴f（1）=2f（1）﹣1∴f（1）=1
∵f′（x）=﹣2f′（2﹣x）﹣2x+8
∴f′（1）=﹣2f′（1）+6∴f′（1）=2
根据导数的几何意义可得，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=2
∴过（1，1）的切线方程为：y﹣1=2（x﹣1）即y=2x﹣1
故选A．
8．下面使用类比推理正确的是（）
A．直线a∥b，b∥c，则a∥c，类推出：向量，则
B．同一平面内，直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b．类推出：空间中，直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b
C．实数a，b，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a2≥4b．类推出：复数a，b，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a2≥4b
D．以点（0，0）为圆心，r为半径的圆的方程为x2+y2=r2．类推出：以点（0，0，0）为球心，r为半径的球的方程为x2+y2+z2=r2
【考点】类比推理．
【分析】本题考查的知识点是类比推理，我们根据判断命题真假的办法，对四个答案中类比所得的结论逐一进行判断，即可得到答案．
【解答】解：对于A，=时，不正确；
对于B，空间中，直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b或a⊥b或相交，故不正确；
对于C，方程x02+ix0+（﹣1±i）=0有实根，但a2≥4b不成立，故C不正确；
对于D，设点P（x，y，z）是球面上的任一点，由|OP|=r，得x2+y2+z2=r2，故D正确．
故选：D．
9．点P是曲线y=x2﹣1nx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的距离的最小值是（）
A．1 B．C．2 D．2
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；两点间的距离公式．
【分析】画出函数的图象，故当点P是曲线的切线中与直线y=x﹣2平行的直线的切点时，然后求解即可．
【解答】解：由题意作图如下，
当点P是曲线的切线中与直线y=x﹣2平行的直线的切点时，最近；
故令y′=2x﹣=1解得，x=1；
故点P的坐标为（1，1）；
故点P到直线y=x﹣2的最小值为=；
故选：B．
10．C+C+C+C+…+C的值为（）
A．C B．C C．C D．C
【考点】组合及组合数公式．
【分析】利用组合数公式解答．
【解答】解：原式=+C+C+C+…+C=+C+C+…+C=+C
+…+C=+C==；
故选D
11．若f（n）为n2+1（n∈N*）的各位数字之和，如142+1=197，1+9+7=17，则f（14）=17，记f1（n）=f（n），f2=f（f1（n））…f k+1=f k（f（n）），k∈N*则f2016（8）=（）
A．3 B．5 C．8 D．11
【考点】归纳推理．
【分析】根据题中的对应法则，算出f1（8）、f2（8）、f3（8）、f4（8）的值，从而发现规律f k+3（8）=f k（8）对任意k∈N*成立，由此即可得到答案．
【解答】解：∵82+1=65，∴f1（8）=f（8）=6+5=11，
同理，由112+1=122得f2（8）=1+2+2=5；由52+1=26，得f3（8）=2+6=8，
可得f4（8）=6+5=11=f1（8），f5（8）=f2（8），…，
∴f k+3（8）=f k（8）对任意k∈N*成立
又∵2016=3×672，
∴f2016（8）=f2013（8）=f2000（8）=…=f3（8）=8．
故选：C．
12．已知函数y=f（x）对任意的x∈（﹣，）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（）
A．f（﹣）＜f（﹣）B．f（）＜f（）C．f（0）＞2f（）
D．f（0）＞f（）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】根据条件构造函数g（x）=，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论．
【解答】解：构造函数g（x）=，
则g′（x）==（f′（x）cosx+f（x）sinx），
∵对任意的x∈（﹣，）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，
∴g′（x）＞0，即函数g（x）在x∈（﹣，）单调递增，
则g（﹣）＜g（﹣），即，
∴，即f（﹣）＜f（﹣），故A正确．
g（0）＜g（），即，
∴f（0）＜2f（），
故选：A．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．由1，2，3，4可以组成64个没有重复数字的正整数．
【考点】计数原理的应用．
【分析】根据数位的个数分为4类，根据分类计数原理得到结果．
【解答】解：根据数位的个数分为4类，故A41+A42+A43+A44=64．
故答案为：64．
14．二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2；三维空间中球的二
维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3；四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，
则猜想其四维测度W=2πr4．
【考点】类比推理．
【分析】根据所给的示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是底一维的测度，从而得到W′=V，从而求出所求．
【解答】解：∵二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2，观察发现S′=l
三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3，观察发现V′=S
∴四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，猜想其四维测度W，则W′=V=8πr3；
∴W=2πr4；
故答案为：2πr4
15．已知a n=（）n，把数列{a n}的各项排成如下的三角形：
记A（s，t）表示第s行的第t个数，则A（11，12）=．
【考点】归纳推理．
【分析】观察发现：数阵由连续的项的排列构成，且第m行有2m﹣1个数，根据等差数列求和公式，得出A（11，12）是数阵中第几个数字，即时数列{a n}中的相序，再利用通项公式求出答案．
【解答】解：由数阵可知，A（11，12）是数阵当中第1+3+5+…+17+19+12=112个数据，
也是数列{a n}中的第112项，
而a112=，
所以A（11，12）对应于数阵中的数是．
故答案为：．
16．已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论：
①f（0）f（1）＞0；
②f（0）f（1）＜0；
③f（0）f（3）＞0；
④f（0）f（3）＜0．
其中正确结论的序号是②③．
【考点】命题的真假判断与应用；函数在某点取得极值的条件．
【分析】f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，确定函数的极值点1，3及a、b、c的大小关系，由此可得结论
【解答】解：求导函数可得f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3）
∵a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．
∴a＜1＜b＜3＜c
设f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）=x3﹣（a+b+c）x2+（ab+ac+bc）x﹣abc
∵f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc
∴a+b+c=6，ab+ac+bc=9
∴b+c=6﹣a
∴bc=9﹣a（6﹣a）＜
∴a2﹣4a＜0
∴0＜a＜4
∴0＜a＜1＜b＜3＜c
∴f（0）＜0，f（1）＞0，f（3）＜0
∴f（0）f（1）＜0，f（0）f（3）＞0
故答案为：②③
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设复数Z=lg（m2+2m﹣14）+（m2﹣m﹣6）i，求实数m为何值时？
（Ⅰ）Z是实数；
（Ⅱ）Z对应的点位于复平面的第二象限．
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】（Ⅰ）Z是实数，即虚部为零，令m2﹣m﹣6=0，解之即可；
（Ⅱ）Z对应的点位于复平面的第二象限，可得实部为负，虚部为正，由此关系即可解得．【解答】解：（I）Z是实数，则有m2﹣m﹣6=0，解得m=3，或m=﹣2；
又当m=﹣2时，m2+2m﹣14＜0，所以Z是实数时，m=3；
（II）Z所对的点位于第二象限，则有0＜m2+2m﹣14＜1且m2﹣m﹣6＞0
解得﹣5＜m＜﹣1﹣
18．（1）已知0＜x＜，证明：sinx＜x＜tanx；
（2）求证：函数f（x）=在x∈（0，π）上为减函数．
【考点】利用导数研究函数的单调性；三角函数线．
【分析】（1）构造函数f（x）=x﹣sinx，g（x）=tanx﹣x，求导，即可证明；
（2）直接求导，讨论两种情况（利用第一问结论）．
【解答】证明：（1）当0＜x＜时，令f（x）=x﹣sinx，g（x）=tanx﹣x，
则f′（x）=1﹣cosx＞0，g′（x）=﹣1＞0，
故f（x）和g（x）在（0，）上单调递增，
故f（x）＞f（0）=0，g（x）＞g（0）=0，
∴x＞sinx，且tanx＞x，∴sinx＜x＜tanx．
（2）f（x）=直接求导，f′（x）=
0＜x＜，x＜tanx，∴xcosx＜sinx，∴xcosx﹣sinx＜0，∴f′（x）＜0，在x∈（0，）上为减函数．
≤x＜π，xcosx≤0，sinx＞0，∴xcosx﹣sinx＜0，∴f′（x）＜0，在x∈[，π）上为减函数．
综上所述，函数f（x）=在x∈（0，π）上为减函数．
19．设数列{a n}的前n项和为S n，且对任意n∈N*都有：（S n﹣1）2=a n S n；
（1）求S1，S2，S3；
（2）猜想S n的表达式并证明．
【考点】数学归纳法；归纳推理．
【分析】（1）由（S n﹣1）2=a n S n，可得S n=，即可求S1，S2，S3；
（2）猜想，再用数学归纳法证明．
【解答】解：（1）∵（S n﹣1）2=a n S n，
∴，
∴S n=，
又，
∴S1=，，，
（2）猜想．下面用数学归纳法证明：
1°当n=1时，，猜想正确；
2°假设当n=k时，猜想正确，即，
那么，n=k+1时，由，猜想也成立，
综上知，对一切自然数n均成立．
20．在数列{a n}中，已知a1=2，a n+1=．
（Ⅰ）证明数列{﹣1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：a i（a i﹣1）＜3
【考点】等比关系的确定；数列递推式；不等式的证明．
【分析】（1）对a n+1=两边求倒数得﹣1=（﹣1），由a1=2得出数列{﹣
1}是首项为﹣，公比为的等比数列．写出其通项公式化简可得数列{a n}的通项公式；
（2）利用a i（a i﹣1）=＜=
=﹣证出即可．
【解答】（Ⅰ）解：由a1=2，a n+1=得，对n∈N*，a n≠0．
从而由a n+1=两边取倒数得，=+．
即﹣1=（﹣1），
∵a1=2，﹣1=﹣．
∴数列{﹣1}是首项为﹣，公比为的等比数列．
∴﹣1=﹣?=﹣
∴=1﹣=．∴a n=．
故数列{a n}的通项公式是a n=．
（Ⅱ）∵a n=，
∴a i（a i﹣1）=（i=1，2，，n），
当i≥2时，
∵a i（a i﹣1）=＜==﹣
，
∴a i（a i﹣1）=a1（a1﹣1）+a2（a2﹣1）+…+a n（a n﹣1）
=++…+
＜+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）
=2+1﹣
=3﹣＜3．
21．已知向量=（e x，lnx+k），=（1，f（x）），∥（k为常数，e是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，F（x）=xe x f′（x）．
（1）求k的值及F（x）的单调区间；
（2）已知函数g（x）=﹣x2+2ax（a为正实数），若对任意x2∈[0，1]，总存在x1∈（0，+∞），使得g（x2）＜F（x1），求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（I）利用向量平行的条件求出函数y=f（x），再求出此函数的导函数，函数在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，说明f′（1）=0，则k值可求；从而得出F（x）的解析式，求出函数F（x）的定义域，然后让导函数等于0求出极值点，借助于导函数在各区间内的符号求函数F（x）的单调区间．
（II）对于任意x2∈[0，1]，总存在x1∈（0，+∞），使得g（x2）＜F（x1），等价于g（x）max＜F（x）max，再求得F（x）取得最大值；利用二次函数的图象，对a进行分类讨论，得出g（x）在[0，1]上的最大值，由g（x）在[0，1]上的最大值小于F（x）max得a的范围，结合分类时a的范围得a的取值范围．
【解答】解：（I）由已知可得：f（x）=，
∴，
由已知，，
∴k=1…
∴F（x）=xe x f'（x）=，
所以F'（x）=﹣lnx﹣2…
由，
由
∴F（x）的增区间为，减区间为…
（II）∵对于任意x2∈[0，1]，总存在x1∈（0，+∞），使得g（x2）＜F（x1），
∴g（x）max＜F（x）max…
由（I）知，当时，F（x）取得最大值．…
对于g（x）=﹣x2+2ax，其对称轴为x=a
当0＜a≤1时，，
∴，从而0＜a≤1…
当a＞1时，g（x）max=g（1）=2a﹣1，
∴，从而…
综上可知：…
22．已知函数f（x）=的图象为曲线C，函数g（x）=ax+b的图象为直线l．
（1）当a=2，b=﹣3时，求F（x）=f（x）﹣g（x）的最大值；
（2）设直线l与曲线C的交点的横坐标分别为x1，x2，且x1≠x2，求证：（x1+x2）g（x1+x2）＞2．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；分析法和综合法．
【分析】（1）由a=2，b=﹣3，知，x∈（0，
1），F'（x）＞0，F'（x）单调递增，x∈（1，+∞），F'（x）＜0，F'（x）单调递减，由此能求出F（x）=f（x）﹣g（x）的最大值．
（2）设x1＜x2，要证（x1+x2）g（x1+x2）＞2，只需证，
由此入手，能够证明（x1+x2）g（x1+x2）＞2．
【解答】解：（1）∵，
，
x∈（0，1），F'（x）＞0，F'（x）单调递增，
x∈（1，+∞），F'（x）＜0，F'（x）单调递减，
∴F（x）max=F（1）=2
（2）不妨设x1＜x2，要证（x1+x2）g（x1+x2）＞2，只需证，
，
，
∵，
∴，即，∴
，
令，x∈（x1，+∞）．只需证
，
，令，则，G（x）在
x∈（x1，+∞）单调递增．
G（x）＞G（x1）=0，∴H′（x）＞0，∴H（x）在x∈（x1，+∞）单调递增．H（x）＞H （x1）=0，
H（x）=（x+x1）ln﹣2（x﹣x1）＞0，∴（x1+x2）g（x1+x2）＞2．
2016年9月1日