任意角，弧度制和三角函数
【教学目标】：
1.教学知识点
了解角的概念，掌握象限角及终边相同角的概念及其表示。
了解弧度制，能进行弧度与角度的互化。
掌握弧长公式与扇形面积公式，并能利用公式进行相应的运算。
理解掌握任意角的三角函数的定义，掌握三角函数线。
2.能力训练要求
接触新的知识点，培养学生能够自主学习的习惯。在掌握新的知识，能够让学生自主的扩展相关的知识点。能够利用数形结合的思想，在三角函数这一章很重要。
【教学重难点】：
1.重点：
象限角及终边相同角的概念及其表示；
弧度与角度的互化；
掌握任意角的三角函数的定义，掌握三角函数线。
2.难点:
象限角及终边相同角的概念及其表示；
弧度与角度的互化；
掌握任意角的三角函数的定义，掌握三角函数线。
【教学方法】
讲与练结合；数形结合法；
【教学过程】：
一、课堂导入
作为春季的第一次，在上课之前会做个自我介绍，还会通过一些方法了解一下班级的学生，然后再引入一堂新的内容。
二、知识点讲授（要有相应例题，以讲练结合）
知识点汇集
1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α
{}Z
k
k∈
+
?
=,
360
|α
β
β
②终边在x轴上的角的集合：{}Z
k
k∈
?
=,
180
|
β
β
③终边在y轴上的角的集合：{}Z
k
k∈
+
?
=,
90
180
|
β
β
④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z
k
k∈
?
=,
90
|
β
β
⑤终边在y=x轴上的角的集合：{}Z
k
k∈
+
?
=,
45
180
|
β
β
⑥终边在x
y-
=轴上的角的集合：
{}Z
k
k∈
-
?
=,
45
180
|
β
β
⑦若角α与角β的终边关于x轴对称，则角α与角β的关系：β
α-
=k
360
⑧若角α与角β的终边关于y轴对称，则角α与角β的关系：β
α-
+
=
180
360k
⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：β
α+
=k
180
⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：
90
360±
+
=β
αk
2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π180°=π1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
、弧度与角度互换公式：1rad＝
π
180°≈57.30°=57°18ˊ．1°＝
180
π≈0.01745（rad）3、弧长公式：r
l?
=|
|α. 扇形面积公式：2
11
||
22
s lr r
α
==?
扇形
4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）
P与原点的距离为r，则
r
y
=
α
sin
；
r
x
=
α
cos
；
x
y
=
α
tan；
y
x
=
α
cot
；
5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）
正切、余切
余弦、正割
正弦、余割
SIN\C O S三角函数值大小关系图
1、2、3、4表示第一、二、三、
四象限一半所在区域
6、三角函数线
正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.
例题讲解
终边相同角，象限角
例1 设A ={小于090的角}，B ={第一象限的角}，则A B = （ ）
A ．{锐角}
B ．{小于0
90的角} C ．{第一象限的角} D ．以上都不对
例2 与0457-角终边相同的角的集合是（ ）
A ．{}00
360457,k k Z αα=?+∈ B ．{
}
00
36097,k k Z αα=?+∈
C ．{}00360263,k k Z αα=?+∈
D ．{}00360263,k k Z αα=?-∈
例3 若α是第一象限角，求
2
α
是第几象限角。那么2α，
3
α
呢？
弧度角度转化
例4 （1）将0
/
11230化为弧度；
（2）将512
rad π-化为度。
弧长公式，扇形公式
例5.已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧所在的弓形面积；
(2)若扇形的周长是一定值c(c＞0)，当α
三角函数定义
例6．(1)设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P(x，5)，且cos α＝
2
4
x，求sin α与tan
α的值；
例7．已知角α终边上的一点P，P与x轴的距离和它与y轴的距离之比为3 ：4，且0
s i n<
α求：cosα和tanα的值．
三角函数线的利用 例8.已知1sin 2
a ≥，求角a 的集合。
三角函数的符号
例9.已知sin 2112θ
??
< ?
??
，则θ为第几象限角？
例10.已知
cot sin cos tan 0sin cos tan cot ααααα
α
α
α
+++=，确定 sin(cos )tan(sin
)2
α
α?的符号。
三、小结
于90°的角”“第一象限角”“0°到90中只要知道两个就能求出其他的量。
三角函数线是三角函数的几何表示，他们都是有向线段。注意能够结合三角函数线得到我们想要的知识，所以在讲授三角函数线的时候要讲清楚，讲明白。 四、板书设计
任意角，弧度制，三角函数
知识点讲授 例题讲解 学生答疑
五、课堂练习 一、选择题
1.下列说法正确的是 ( ) A.第二象限的角比第一象限的角大 B.若sinα＝12，则α＝π
6
C.三角形的内角是第一象限角或第二象限角
D.不论用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形所对应的半径的大小无关 2.若sin θ>0且sin2θ>0，则角θ的终边所在象限是
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限 3.已知角α、β的终边相同，那么α－β的终边在 ( ) A. x 轴的非负半轴上 B.y 轴的非负半轴上 C.x 轴的非正半轴上 D.y 轴的非正半轴上
4.已知扇形的面积为2 cm 2
，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8
5.若θ为第一象限角，则能确定为正值的是 ( ) A.sin θ2 B.cos θ2 C.tan θ
2
D.cos2θ
二、填空题
6.在单位圆中，一条弦AB 的长度为3，则该弦AB .
7.若点P (m ，n )(n ≠0)为角600°终边上一点，则m
n 等于 .
8.在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为 . 9．函数y ＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |
tan x
的值域为________． 三、解答题
10.已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈(π
2，π)，求α的三角函数值.
11. (1)确定
tan(－3)
cos8·tan5
的符号；
(2)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝m (0
12.如图所示，动点P 、Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时 针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π
6弧度，求
P 、Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P 、Q 点各自 走过的弧长.
任意角及弧度制知识点总结 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： （1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 （2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . （3）α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z . （6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表 示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z π α=∈.如α 的终边与6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象 限角，则2 α 是第_____象限角 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意 一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα==， ()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。三角 函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。如
第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第1课时任意角和弧度制及任意角的三角函数 页 (对应学生用书(文)、(理)40～41页) 1. (必修4P15练习6改编)若角θ同时满足sinθ<0且tanθ<0，则角θ的终边一定落在第________象限． 答案：四
解析：由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的非正半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，可知θ的终边只能位于第四象限． 2. 角α终边过点(－1，2)，则cos α＝________． 答案：－5 5 3. 已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________． 答案：1或4 4. 已知角α终边上一点P(－4a ，3a)(a<0)，则sin α＝________． 答案：－35 5. (必修4P 15练习2改编)已知角θ的终边经过点P(－x ，－6)，且cos θ＝－5 13，则sin θ＝____________，tan θ＝____________． 答案：－1213 12 5 解析：cos θ＝ －x x 2＋36 ＝－513，解得x ＝5 2.sin θ＝ －6 ? ?? ??－522 ＋（－6）2 ＝－1213，tan θ＝125. 1. 任意角 (1) 角的概念的推广
① 按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ② 按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2) 终边相同的角 终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k ∈Z )． (3) 弧度制 ① 1弧度的角：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ② 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝l r ，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径． ③ 弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． ④ 弧长公式：l ＝|α|r ． 扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝1 2|α|r 2． 2. 任意角的三角函数 (1) 任意角的三角函数定义 设P(x ，y)是角α终边上任一点，且|PO|＝r(r ＞0)，则有sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x ，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数． (2) 三角函数在各象限内的正值口诀是：Ⅰ全正、Ⅱ正弦、Ⅲ正切、Ⅳ余弦．
1、下列六个命题：其中正确的命题有 . ①时间经过3小时，时针转过的角是90°②小于90°的角是锐角③大于90°的角是钝角④若α 是锐角，则α 的终边在第一象限 ⑤若α 的终边在第二象限，则α 是钝角⑥若α 的终边在第四象限，则α 是负角 2、练习：角度与弧度互化： 0°= .；30° ；45° ；3π ；2π ；120° ；135° ；150° ； 54π ，－43π 、310 π 、－210° 、75° ，0330 ，0900 23π- ，405° ， -280° ， 1680° ， π411- ，5π ，67π 780° ，-1560° ，67.5° ，π310- ， 12π ，4 7π 3、在0°～360°间，找出与下列角终边相同角：（将下列角化成0360()k k Z α?+∈的形式） －150° 、1040° 、－940° .0 300 01125 0660- －1050° 01485- 4、下列各对角中终边相同的角是( ) A.πππk 222+-和（k ∈z ） B.－3π和322π C.－97π和911π D. 9 122320ππ和 5、用弧度制表示下列角的集合。 (1)x 轴上的角； (2)第四象限角； (3)与 6 π的终边关于x 轴对称的角； (4)终边在直线y=x 上。 (5) 终边落在一、三象限角平分线上 6、写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合(包括边界)． 7、若α 是第二象限的角，则2 α所在的象限是( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、四象限 D ．第二、三象限 8、若角α是第三象限角，则2 α角的终边在 . 9、若α是第四象限角，则π－α一定在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10、已知：α是第三象限角，求(1)2α (2) 2α (3) 3 α终边所在的位置
最新高中数学必修4《任意角和弧度制》教案 高中数学必修4《任意角和弧度制》教案【一】教学准备 教学目标 一、知识与技能 (1)理解并掌握弧度制的定义;(2)领会弧度制定义的合理性;(3)掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式;(4)熟练地进行角度制与弧度制的换算;(5)角的集合与实数集之间建立的一一对应关系.(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系. 二、过程与方法 创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器. 三、情态与价值 通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一
的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应，为下一节学习三角函数做好准备https://www.doczj.com/doc/ee1829009.html, 教学重难点 重点: 理解并掌握弧度制定义;熟练地进行角度制与弧度制地互化换算;弧度制的运用. 难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用. 教学工具 投影仪等 教学过程 一、创设情境，引入新课 师：有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的?(已知1英里=1.6公里) 显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢?那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里. 在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制 ---弧度制.
任意角和弧度制及任意角的三角函数训练题 A 级——保大分专练 1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 解析：选C 设扇形的半径为r (r >0)，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12|α|r 2＝12 ×4×r 2，解得r ＝1，l ＝|α|r ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6. 2．(2019·石家庄模拟)已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则α＝ ( ) A ．150° B ．135° C ．300° D ．60° 解析：选C 由sin 150°＝12>0，cos 150°＝－32<0，可知角α终边上一点的坐标为????12 ，－32，故该点在第四象限，由三角函数的定义得sin α＝－32 ，因为0°≤α<360°，所以角α为300°. 3．(2018·长春检测)若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( ) A.??????α?? α＝2k π－π3，k ∈Z B.??????α?? α＝2k π＋2π3，k ∈Z C.??????α?? α＝k π－2π3，k ∈Z D.??????α?? α＝k π－π3，k ∈Z 解析：选D 当α的终边在射线y ＝－3x (x ≤0)上时，对应的角为2π3 ＋2k π，k ∈Z ，当α的终边在射线y ＝－3x (x ≥0)上时，对应的角为－π3 ＋2k π，k ∈Z ，所以角α的取值集合是??????α?? α＝k π－π3，k ∈Z . 4．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3) D ．[－2,3] 解析：选A 由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上，所以有? ???? 3a －9≤0， a ＋2＞0，
任意角和弧度制练习题 一、选择题 1、下列角中终边与330°相同的角是（ ） A ．30° B ．-30° C ．630° D ．-630° 2、－1120°角所在象限是 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、把－1485°转化为α＋k ·360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）的形式是（ ） A ．45°－4×360° B ．－45°－4×360° C ．－45°－5×360° D ．315°－5×360° 4.在“①160°②480°③-960°④-1600°”这四个角中，属于第二象限的角是（ ) A.① B.①② C.①②③ D.①②③④ 5、终边在第二象限的角的集合可以表示为： （ ） A ．｛α∣90°<α<180°｝ B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z ｝ C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z ｝ D.｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°，k ∈Z ｝ 6.终边落在X 轴上的角的集合是（ ） Α.{ α|α=k ·360°,K ∈Z } B.{ α|α=(2k+1)·180°,K ∈Z } C.{ α|α=k ·180°,K ∈Z } D.{ α|α=k ·180°+90°,K ∈Z } 7.若α是第四象限角，则180°+α一定是（ ） Α.第一象限角 B. 第二象限角 C.第三象限角 D. 第四象限角 8.下列结论中正确的是( ) A.小于90°的角是锐角 B.第二象限的角是钝角 C.相等的角终边一定相同 D.终边相同的角一定相等 9．下列命题中的真命题是 （ ） A ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B ．第一象限的角是锐角 C ．第二象限的角比第一象限的角大 D ．{ }Z k k ∈±?=,90360|οοαα={}Z k k ∈+?=,90180|οοαα 10、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A ．B=A ∩C B ．B ∪C= C C ．A ?C D ．A=B=C
1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角 整体设计 教学分析 教材首先通过实际问题的展示,引发学生的认知冲突,然后通过具体例子,将初中学过的角的概念推广到任意角,在此基础上引出终边相同的角的集合的概念.这样可以使学生在已有经验(生活经验、数学学习经验)的基础上,更好地认识任意角、象限角、终边相同的角等概念.让学生体会到把角推广到任意角的必要性,引出角的概念的推广问题.本节充分结合角和平面直角坐标系的关系,建立了象限角的概念.使得任意角的讨论有一个统一的载体.教学中要特别注意这种利用几何的直观性来研究问题的方法,引导学生善于利用数形结合的思想方法来认识问题、解决问题.让学生初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角.能熟练写出与已知角终边相同的角的集合,是本节的一个重要任务. 学生的活动过程决定着课堂教学的成败,教学中应反复挖掘“探究”栏目及“探究”示图的过程功能,在这个过程上要不惜多花些时间,让学生进行操作与思考,自然地、更好地归纳出终边相同的角的一般形式.也就自然地理解了集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的含义.如能借助信息技术,则可以动态表现角的终边旋转的过程,更有利于学生观察角的变化与终边位置的关系,让学生在动态的过程中体会,既要知道旋转量,又要知道旋转方向,才能准确刻画角的形成过程的道理,更好地了解任意角的深刻涵义. 三维目标 1.通过实例的展示,使学生理解角的概念推广的必要性,理解并掌握正角、负角、零角、象限角、终边相同角的概念及表示,树立运动变化的观点,并由此深刻理解推广之后的角的概念. 2.通过自主探究、合作学习,认识集合S中k、α的准确含义,明确终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无限多个,它们相差360°的整数倍.这对学生的终身发展,形成科学的世界观、价值观具有重要意义. 3.通过类比正、负数的规定,让学生认识正角、负角并体会类比、数形结合等思想方法的运用,为今后的学习与发展打下良好的基础. 重点难点 教学重点:将0°—360°范围的角推广到任意角,终边相同的角的集合. 教学难点:用集合来表示终边相同的角. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 图1 思路 1.(情境导入)如图1,在许多学校的门口都有摆设的一些游戏机,只要指针旋转到阴影部分即可获得高额奖品.由此发问:指针怎样旋转,旋转多少度才能赢?还有我们所熟悉
高一数学同步单元测试（必修4）任意角、弧度任意角的三角函数三角函数图像和性质 命题人刘国钧中学高级教师朱乔根 一、选择题：（5*12=60分） 1．函数y cot( x) 的定义域是（） 4 A. x | x R,且x 2k 4, k Z B.x | x R, 且 x k, k Z 4 C. x | x R,且x k ,k Z D. x | x R,且x 2k, k Z 4 2．已知角α的终边过点P（ 4a,－ 3a）（a<0） ,则 2sinα＋ cos α的值是（）22 A ．5B．－5C． 0D．与 a 的取值有关 3．若θ是第三象限角，且cos0 ，则是（） 22 A ．第一象限角 B ．第二象限角C．第三象限角 D ．第四象限角 4．已知 A={ 第一象限角 } ，B={ 锐角 } ，C={ 小于 90°的角 } ，那么 A 、B、C 关系是（） A．B=A ∩C B．B∪C=C C． A C D． A=B=C 2 5．α为第二象限角， P(x,5)为其终边上一点，且cosα＝4 x，则 x 值为 () A ． 3B．± 3C．－ 3D．－ 2 cot(α－ 4π )· cos(α＋π )· sin2(α－ 3π )的结果是() 6．tan(π＋α )· cos3(－α－π ) A ． 1 B ． 0C．－ 1D． 1 2 7．设 sin123°＝ a，则 tan123°＝ () A ．1－ a2 B ． a C． 1－a2 D． a 1－ a2 a1－ a21－ a2a2－ 1 8．如果 1 弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长为 () A ． 1 B ． sin0.5C． 2sin0.5D． tan0.5 sin0.5 9．先将函数 y＝ sin2x 的图象向右平移π y 轴的对称变换，个单位，再将所得图象作关于 3 所得图象的解析式是() π A ． y＝ sin(－ 2x＋3 )
精品文档 精品文档 §5.1 任意角和弧度制 班级 姓名 评价 一、归纳基础知识： 1．任意角的概念：正角、负角、零角； 象限角，终边在坐标轴上的角（轴线角）的表示方法； 2．终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成集合 {β|β= }. 3. 弧度制：长度等于________长的弧所对的圆心角叫做1rad(弧度)的角。 弧度与角度的换算公式：360o =_____rad; πrad=_____; 1o =_______rad; 1rad=________. 4. 扇形的弧长公式：L =_________ ; 扇形的面积公式：S=_________=__________ 5．单位圆：在直角坐标系中，以______为圆心,以_________为半径的圆叫做单位圆。在单位圆中，圆心角α的弧度数的绝对值，等于圆心角α所对的_________. 二、举例示范解题： 例1、“角?=90α”是“角α终边在y 轴的正半轴上”的（ ）条件。 A 充分不必要 B 必要不充分 C 充要 D 既不充分也不必要 例2、填空：（1）0 2230￠化为弧度制是 ；（2）52 rad p -化成角度是 ； （3）扇形的中心角为23 p ，弧长为2p ，则其内切圆的半径等于 。 例3．（2005湖南文）tan600°的值是（ ） A ．3 3 - B ．33 C ．3- D ．3 例4、已知角?=1690α，()1试将α写成)[()πββπ2,0,2∈∈+Z k k 的形式；()2求θ，使θ与α的终边相同，且()ππθ2,4--∈。 三、巩固挑战高考： 1. 快速口答题：?90= π；?45= π；?135= π；?150= π； ?450= π；?-150= π；?390= π；?1440= π。 2. 时针走过2小时45分，则分针转过了 度， 弧度。 3. 若α是第二象限角，则α-?180是（ ） A 、第一象限角 B 、第二象限角 C 、第三象限角 D 、第四象限角 4．与045-终边相同的角集合是 。 6．在00到0360范围内，与角064018￠-相同的角是 。 7. 已知?-<
第四章 三角函数、解三角形 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 ? 基础知识 1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类? ???? 按旋转方向不同分为正角、负角、零角. 按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }． 终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式： 有关角度与弧度的两个注意点 (1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． (2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x (x ≠0)． (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．
二、常用结论汇总——规律多一点 (1)一个口诀 三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．(2)三角函数定义的推广 设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sin α＝y r，cos α＝ x r，tan α＝ y x(x≠0)． (3)象限角 (4)轴线角
【新教材】5.1.2弧度制教学设计（人教A版） 前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础. 课程目标 1.了解弧度制,明确1弧度的含义. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式. 数学学科素养 1.数学抽象：理解弧度制的概念； 2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合； 3.直观想象：区域角的表示； 4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题. 重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化； 难点：弧度制概念的理解． 教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：多媒体。 一、情景导入 度量单位可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制，不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也可以用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课 阅读课本172-174页，思考并完成以下问题 1． 1弧度的含义是？ 2．角度值与弧度制如何互化？ 3．扇形的弧长公式与面积公式是？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究 1．度量角的两种单位制 (1)角度制 ①定义：用度作为单位来度量角的单位制． ②1度的角：周角的1 360 ． (2)弧度制 ①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角． 2．弧度数的计算 3.角度制与弧度制的转算 4．一些特殊角与弧度数的对应关系 度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧 度0 π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 3π 4 5π 6 π 3π 2 2π l r π 180( 180 π)° 正数 负数 零
任意角与弧度制 【知识梳理】 1．按旋转方向分 2. (1)角的终边在第几象限，则此角称为第几____；(2)角的终边在__上，则此角不属于任何一个象限． 3. 所有与角α终边相同的角，连同角α在，可构成一个集合S＝_________________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与__________的和． 【常考题型】 题型一、象限角的判断 【例1】已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角． (1)－75°；(2)855°；(3)－510°. 【类题通法】象限角的判断方法 (1)根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角． (2)根据终边相同的角的概念．把角转化到0°～360°围，转化后的角在第几象限，此角就是第几象限角． 【对点训练】 在直角坐标系中，作出下列各角，在0°～360°围，找出与其终边相同的角，并判定它是第几象限角． (1)360°；(2)720°；(3)2 012°；(4)－120°. 题型二、终边相同的角的表示 【例2】(1)写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来． (2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．
(3)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合． 【类题通法】 1．终边相同的角常用的三个结论 (1)终边相同的角之间相差360°的整数倍． (2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍． (3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍． 2．区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角，其写法可分三步 (1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界； (2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角； (3)用不等式表示区域的角，组成集合． 【对点训练】 已知角α的终边在如图所示的阴影部分，试指出角α的取值围． 题型三、确定n α及 n α 所在的象限 【例3】 若α是第二象限角，则2α，α 2 分别是第几象限的角？ 【类题通法】 1．n α所在象限的判断方法 确定n α终边所在的象限，先求出n α的围，再直接转化为终边相同的角即可． 2.αn 所在象限的判断方法
任意角和弧度制练习 1.圆弧的长等于该圆内接正三角形的边长，则该弧所对的圆心角的弧度数是（ ） A ．3 B ．1 C ．23 D ．3π 2．设集合 ,,,22k M x x k Z N x x k k Z πππ????==∈==+∈???? ????，则M 与N 的关系是（ ） A.M N = B.M N ? C.M N ? D.M N =?I 3.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A.2 B. 1 sin 2 C.2sin1 D.sin2 4.在“①160°②480°③960-o ④1600-o ”这四个角中，属于第二象限的角是( ) A. ① B. ① ② C. ① ② ③ D. ① ② ③ ④ 5.若α是钝角，则,k k Z θπα=+∈是（ ） A. 第二象限角 B. 第三象限角 C. 第二象限角或第三象限角 D. 第二象限角或第四象限角 6.设k Z ∈，下列终边相同的角是（ ） A ． ()21180k +o 与()41180k ±o B ． 90k ?o 与18090k ?+o o C ． 180 30k ?+o o 与36030k ?±o o D ． 18060k ?+o o 与60k ?o 7.若角α是第二象限的角，则 2 α是（ ） （A ）第一象限或第二象限的角 （B ）第一象限或第三象限的角 （C ）第二象限或第四象限的角 （D ）第一象限或第四象限的角 8.在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角为（ ）弧度 A ． 1 B ． 2 C ．3 D ． 4 9. 120-o 的弧度数是（ ） A.56π- B. 43π C.23 π- D. 34π-
第一章三角函数 1.1 任意角和弧度制 学习目标 1、知道任意角的定义，知道正角、负角、零角与象限角的概念 2、掌握终边相同角的表示方法，并能解决一些简单问题。 【重点、难点】：1、将0°—360°范围的角推广到任意角,终边相同的角的集合； 2、用集合来表示终边相同的角. 【知识链接】：角的定义 学习过程 【探索——任意角的概念】 阅读课本2-3页回答下面的问题： 1、初中时候学习角是怎样定义的？ 2、在日常生活中，你能举出几个旋转角度大于360度的例子吗？ 3、按____________方向旋转形成的角叫做正角； 按顺时针方向旋转形成的角叫做__________ ； 如果____________________________，我们称它形成了一个零角； 综上，我们把角的概念推广到__________，任意角包括_____________________。 4、①你的手表慢了5分钟,你将怎样把它调整准确？假如你的手表快了1.3小时，你应当怎样将它调整准确?当时间调整准确后，分针转过了多少度角？ ②体操运动中有转体两周,在这个动作中,运动员转体多少度? 5、在平面直角坐标系中讨论角时，为了讨论问题的方便，我们____________________，角的始边与x轴的__________重合，那么，___________________，我们就说这个角是_______________；如果角的终边在坐标轴上，我们则认为______________________。 【思考1】60o 角、740o角、-135o角、-510o角，分别在哪一象限？ 【思考2】在直角坐标系中，给定一个角，就有唯一一条边与这个角相对应吗？反之，在直角坐标系中，给定一条终边，就有唯一一个角与之相对应吗？为什么？
知识点一：任意角的表示 正角:按逆时针方向旋转形成的角 1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角 零角:不作任何旋转形成的角 知识点二：象限角的范围 2、角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几 象限角. k 360°180°k 360°270°, k k 360°270°k 360°360°, k 终边在x轴上的角的集合为k 180°,k 终边在y轴上的角的集合为k 180°90°,k 终边在坐标轴上的角的集合为k 90°,k 知识点三：终边角的范围 3、与角终边相同的角的集合为k 360°,k 4、已知是第几象限角，确定一n *所在象限的方法：先把各象限均分n等份，再从x轴的正 n 半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为一终边 n 所落在的区域. 知识点四：弧度制的转换 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度. 6、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为I，则角的弧度数的绝对值是| | - r ° 7、弧度制与角度制的换算公式：2 360°，1°，1 180 57.3°. 180 知识点五：扇形 8、若扇形的圆心角为为弧度制，半径为r，弧长为1，周长为C，面积为S，则1 r 1 1 C 2r I，S -lr 2 22 r . 第一象限角的集合为k 360°k 360°90°,k 第二象限角的集合为 第三象限角的集合为 第四象限角的集合为 k 360°90°k 360°180°,k
例题分析 【例1】如果 角是第二象限的角，那么一角是第几象限的角？说说你的理由 2 【例3】一扇形周长为20cm 当扇形的圆心角 等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此 扇形的最 大面积？ 针对练习 3. 如果一扇形的弧长为2冗cm ，半径等于2cm ，则扇形所对圆心角为（ ） A.n B. 2n C.n D. 3n 2 2 4. 若a 是第四象限角，则180° + a 一定是（ ） A .第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 5. —个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形的面积为（ ） A. 1 1 2 -2 —sin2 R 2 B. !R 2 si n2 2 2 2 C. 丄R 2 D. 2 R 1 2 -R sin 2 2 2 6.若 角的终边落在第三或: 第四象限, 则 -的终边落在（ ) 2 A.第一或第三象限 B.第二或第四象限 C ?第一或第四象限 D.第三或第四象限 7.某扇形的面积为1cm 2，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的度数为 （ ） A. 1弧度角的大小与圆的半径无关 B.大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大 C ?圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等 D .用弧度表示的角都是正角 sin 1 、填空题 10. _____________________________________________________________ 若三角形的三个 内角的比等于2:3: 7,则各内角的弧度数分别为 __________________________________ . 11. 将时钟拨快了 10分钟，则时针转了 度，分针 转了 弧度. 12. __________________________________________________________________ 若角a 的 1. F 列角中终边与330°相同的角是（ A .30 ° B.-30 ° C.630 2. 下列 命题正确的是（ ） A .终边相同的角一定相等。 D.-630 B. 第一象限的角都是锐角 C. 锐角都是第一象限的角 D. 小于90的角都是锐角 A. 2° B. 2 8.下列说法正确的是 C. 4° D. 4 ( ) 9.已知弧度数为 2的圆心角所对的弦长也是 2,则这个圆心角所对的弧长是 A. 2 B. C. 2sin1 D. sin2
任意角与弧度制 【基础再现】 1、角的概念的推广 定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角，记作：角或 可以简记成。 注意： （1）“旋转”形成角，突出“旋转” （2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于轴正半轴 （3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。 2、角的分类： 由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。 正角：按照逆时针方向转定的角。 零角：没有发生任何旋转的角。 负角：按照顺时针方向旋转的角。 3、 “象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴。 角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角 角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。 【重点、难点、考点】 ααα∠αx x
一、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角： （1）终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与个周角的和。 （2）所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合 即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 注意： 1、Z ∈k 2、α是任意角 3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。 4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。 2、终边在坐标轴上的点： 终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈?=,180| ββ 终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,90180| ββ 终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈?=,90| ββ 3、终边共线且反向的角： 终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,45180| ββ 终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-?=,45180| ββ )(Z k k ∈{}Z k k S ∈?+==,360| αββ
高一数学辅导三角函数（一）
【任意角】 1、时间经过了6小时30分钟，则钟表的分针所转过的角的度数为 ，时针所转过的角的度数为 。 2、已知α=-18450 ，在与α 终边相同的角中，最小的正角的度数为 ；最大的负角的度数为 。 3、若α 是第一象限角，则 α 2 终边所在的位置是 。 4、若α 是第一象限角，β 是第二象限角，试确定α+β 2终边所在的位置 。 5、已知集合A=﹛α︱α为小于900 的角﹜，B=﹛α︱α为第一象限的角﹜，则A ∩B=( ) A. ﹛α︱α为锐角﹜ B. ﹛α︱α为小于900 的角﹜ C. ﹛α︱α为第一象限的角﹜ D.以上都不对 6、若α与β的终边互相垂直，则α－β＝ 。 7、已知角α，β的终边关于x+y=0对称，且α=-600 ，则β= 。 8、已知角β的终边在直线Y = 3x 上。 （1）写出角β的集合S ； （2）写出S 中适合不等式-3600＜β＜7200 的元素。 9、如图，一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动，若两只蚂蚁同时从点A(1,0) 按逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角（其中00＜α＜β＜1800 ﹚，如果两只蚂蚁都在第14秒回到A 点，并且在第二秒时均位于第二象限，求α，β的值。
【弧度制】 1、设集合A={α|α=k π+π 2 ,k ∈Z }∪{α|α=k π,k ∈Z },集合B={β|β=k π2 , k ∈Z },则（ ） 2、在00 ～7200 范围内，与角 2π 5 终边相同的角是 。 3、终边经过点（a ，a ）（a ≠0）的角α的集合是 。 4、一个扇形的面积为3π，弧长为2π，则这个扇形圆心角为 。 5、设扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角的弧度数的绝对值是 。 6、圆的半径为6，则150 的圆心角所对的弧长为 ，扇形面积为 。（用π表示） 7、已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为 。 8、集合P={α|2k π≤α≤(2k+1)π,k ∈Z }，Q={α|-4≤α≤4},则P ∩Q= 。 9、将一条绳索绕在半径为40厘米的轮子上，绳索的下端B 处悬挂着物体W ，且轮子按逆时针方向每分钟旋转6圈，现在想将物体W 向上提升100厘米，需要多长时间才能完成？ 10、如图所示，一个长为 3，宽为1的长方体木块在桌面上做无滑动翻滚，翻滚到第四次 时被一个小木块挡住，使长方体木块底面与桌面所成角为π 6 ,试求点A 走过的路程及走过 的弧所在的扇形的总面积。
知识点一：任意角 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、象限角：角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<
第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第1课时 任意角和弧度制及任意角的三角函数 (对应学生用书(文)、(理)40～41页) 页 考情分析 考点新知 ① 了解任意角的概念；了解终边相同的角的意义. ② 了解弧度的意义，并能进行弧度与角度的互化. ③ 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；初步了解有向线段的概念，会利用单位圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切． ① 能准确进行角度与弧度的互化. ② 准确理解任意角三角函数的定义，并能准确判断三角函数的符号. 1. (必修4P15练习6改编)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定落在第________象限． 答案：四 解析：由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的非正半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，可知θ的终边只能位于第四象限． 2. 角α终边过点(－1，2)，则cos α＝________． 答案：－5 5 3. 已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________． 答案：1或4 4. 已知角α终边上一点P(－4a ，3a)(a<0)，则sin α＝________． 答案：－3 5 5. (必修4P15练习2改编)已知角θ的终边经过点P(－x ，－6)，且cos θ＝－5 13，则sin θ＝____________，tan θ＝____________． 答案：－1213 12 5 解析：cos θ＝ －x x2＋36＝－513，解得x ＝5 2.sin θ＝－6? ?? ?－52 2 ＋（－6）2＝－1213，tan θ＝12 5.
第一节 任意角和弧度制、任意角的三角函.数 1.了解任意角的概念；了解弧度制的概念． 2.能进行弧度与角度的互化． 3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 突破点一 角的概念 [基本知识] 1．角的定义 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 2．角的分类 角的分类? ?? ?? 按旋转方向不同分类?? ?? ? 正角：按逆时针方向旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 零角：射线没有旋转 按终边位置不同分类???? ? 象限角：角的终边在第几象限，这 个角就是第几象限角 轴线角：角的终边落在坐标轴上 3．终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}或{β|β＝α＋2k π， k ∈Z}． [基本能力] 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)第二象限角大于第一象限角．( ) (2)三角形的内角是第一象限角或第二象限角．( ) (3)终边在y ＝x 上的角构成的集合可表示为{ α| α＝π 4＋k π，k ∈Z }.( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 二、填空题 1．与角2 020°的终边相同，且在0°～360°内的角是________． 解析：因为2 020°＝220°＋5×360°，所以在0°～360°内终边与2 020°的终边相同的角是220°. 答案：220° 2．已知角α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π 3，则sin α＝________. 解析：因为角α与β的终边关于直线y ＝x 对称． 所以α＋β＝2k π＋π 2(k ∈Z)， 则α＝2k π＋5 6π，k ∈Z. 所以sin α＝sin 56π＝1 2 .