第7章 多元函数微积分 测试题 一、单项选择题。 1．设23)12(++=y x z ，则 =??y z （ D ）。 A ．13)12)(23(+++y x y B ．13)12)(23(2+++y x y C ．)12ln()12(23+++x x y D ．)12ln()12(323+++x x y 2．设)ln(y x z +=，则=) 0,1(d z （ B ） 。 A ．y x d d +- B ．y x d d + C ．y x d d - D ．y x d d -- 3．下列说法正确的是（ A ）。 A ．可微函数),(y x f 在),(00y x 处达到极值，则必有),(00y x f x 0),(00==y x f y ； B ．函数),(y x f 在),(00y x 处达到极值，则必有),(00y x f x 0),(00==y x f y ； C ．若),(00y x f x 0),(00==y x f y ，则函数),(y x f 在点),(00y x 处达到极值。 D ．若),(00y x f x 或),(00y x f y 有一个不存在，则函数),(y x f 在点),(00y x 处一定没有极值。 4．设uv z =，v u x +=，v u y -=，若把z 看作y x ,的函数，则 =??x z （ A ） 。 A ．x 21 B ．)(21 y x - C ．x 2 D ．x 5．下列各点中（ B ）不是函数x y x y x z 9332233-++-=的驻点。 A ．)0,1( B ．)1,0( C ．)2,1( D ．)0,3(- 6．二元函数?????=≠+=)0,0(),( 0)0,0(),( ),(2 2y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处（ C ）。 A ．连续，偏导数存在 B ．连续，偏导数不存在 C ．不连续，偏导数存在 D ．不连续，偏导数不存在 7．函数xy y x z ++=22的极值点为（ A ）。 A ．)0,0( B ．)1,0( C ．)0,1( D ．不存在
1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限： A (2，1,-6)， B (0，2，0)， C (-3，0,5)， D (1，-1，-7). 解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。 2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则 (1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3). (3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3). 同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3). 3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即 (-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2. 解之得z =11，故所求的点为M (0，0， 149 ). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得2 12 14M M =，2 2 13236,6M M M M == 所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程. 解：所求平面方程为1y x z ++=。 6. 求通过x 轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过x 轴，故可设其方程为 Ay +Bz =0. 又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A -B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于y 轴且过M 1(1,0,0)，M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于y 轴，故可设其方程为 Ax +Cz +D =0. 又点M 1和M 2都在平面上，于是 0A D C D +=?? +=? 可得关系式：A =C =－D ,代入方程得：－Dx －Dz +D =0. 显然D ≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x +z －1=0. 8. 方程x 2+y 2+z 2－2x +4y =0表示怎样的曲面？ 解：表示以点（1，-2，0 9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？ (1) x －2y =1； (2) x 2+y 2=1； (3) 2x 2+3y 2=1； (4) y =x 2. 解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。 (4)表示抛物线、抛物柱面。
第六章多元函数微分学 ［单选题］ 1、 设积分域在 D由直线x+y二0所围成，则 | dxdy 如图: ［单选题］ 2、 A 9 B、4 C 3
【从题库收藏夹删除】 【正确答案】A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 ［单选题］ 3、 设H 二才，则y=() A V 皿2-1) B 、xQnx-1) D 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】C 【您的答案】您未答题 【答案解析】 首先设出-,J ' 二一；，然后求出 最后结果中把二】用’’次方代换一下就可以得到结果. ［单选题］ 4、 Ft F'y,尸空二 dx F f y
［% I 设Z = 则去九￡ |（） km ，（心+& J D ）L 『（也几） AK^*° A'X ?■ 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】D 【您的答案】您未答题 【答案解析】本题直接根据偏导数定义得到 ［单选题］ 5、 设z=ln （x+弄），示=（） A 1 B 、 X+旷" C 1-2妒 盂+沙 D X + 帘 一" 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 B 、 lim U m /侃+山+ 3) — / (险用) Ay 了0+山』0）—/（兀 几） Ar lim /(x+Ax.y)-/^) 4y
|"S 1 I 对x求导，将y看做常数，小门?八 ［单选题］ 6、 设U 了：,；_丁；：￡=() 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】A 【您的答案】您未答题 【答案解析】<■■-?■■■■■：川［单选题］ 7、 设f(x r x+y) = ^ + x2t则￡0,卩)+ ￡(尽刃二() A丨； B、… C : D ', 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】B 【您的答案】您未答题 【答案解析】 f(x,兀+y)=砂+ F二疏》+兀) /fcy) = ^y X '(^y)=y 二兀 ￡(2)+另(“)=曲 ［单选题］ 8
§7.1 空间解析几何基本知识 教学内容提要 1. 空间直角坐标系； 2. 空间两点间的距离公式与两点连线的中点坐标公式； 3. 简单的曲面方程。 教学目的与要求 1. 了解空间直角坐标系和空间两点间的距离公式及两点连线的中点公式； 2. 了解常用二次曲面的方程及其图形。 教学重点与难点 常用二次曲面的方程及其图形的简单描绘. 教学时数 4 教学过程： 一、空间直角坐标系 1．空间直角坐标系的建立 过空间定点0，作三条互相垂直的数轴，他们都以0为原点 且一般具有相同的长度单位。这三条轴分别称为x 轴，y 轴， z 轴，统称坐标轴。通常把x 轴和y 轴配置在水平面上，z 轴 z 在铅垂方向，他们的指向符合右手法则. 2、空间两点间的距离公式 空间任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M 21221221221)()()(z z y y x x M M -+-+-= 特殊地，点),,(z y x M 与坐标原点)0,0,0(O 的距离为222z y x OM ++= 。 例1 在z 轴求与两点)7,1,4(-A 和)25,3(-B 等距离的点的坐标。 二、曲面及其方程的概念 1．曲面方程 在空间解析几何中，任何曲面都可以看作满足一定条件的点的几何轨迹 ，如果曲面S 上任一点的坐标都满足方程0),,(=z y x F ，不在曲面S 上的点的坐标都不满足该方程，则称此方程0),,(=z y x F 为曲面的方程，而曲面S 就叫做方程的图形。 例2 动点),,(z y x P 与两定点)1,3,2(),0,2,1(21-P P 的距离相等，求此动点P 的轨迹。 三、几种常见的曲面及其方程 1、平面的一般方程 任一平面都可以用三元一次方程来表示 .任一三元一次方程Ax +By +Cz +D =0的图形总是一个平面. 例3 求通过x 轴和点(4, -3, -1)的平面的方程. 解 平面通过x 轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x 轴, 即A =0; 另一方面表明 它必通过原点, 即D =0. 因此可设这平面的方程为
多元函数微积分复习题 一、单项选择题 1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( B ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ D ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ). (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( ). C A. 若0 lim x x y y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0 lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ??和22z y ??都存在, 则. 22z x ??=22 z y ??. 5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( ). C A. 可微(指全微分存在)?可导(指偏导数存在)?连续; B. 可微?可导?连续; C. 可微?可导, 或可微?连续, 但可导不一定连续; D. 可导?连续, 但可导不一定可微. 6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b = （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 2
第七章 多元函数微积分学 第一部分：多元函数微分学 一、二元函数的极限专题练习： 1.求下列二元函数的极限: (1) ()2 1 1(,)2,2lim 2;y xy x y xy +? ? →- ? ? ?+ (2) () ()2222 (,),3 lim sin ;x y x y x y →∞∞++ (3) ()(,)0,1sin lim ;x y xy x → (4) ( (,)0,0lim x y → 2．证明：当()(,)0,0x y →时，() 44 3 4 4(,)x y f x y x y =+的极限不存在。 二、填空题 3. 若22),(y x y y x f -=+，则=),(y x f ； 4. 函数22(,)ln(1)f x y x y =+-的定义域是D = ； 5. 已知2 (,)x y f x y e = ，则 '(,)x f x y = ； 6. 当23(,)5f x y x y =,则 '(0,1)x f = ； 7. 若2yx e z xy +=，则=??y z ； 8. 设)2ln(),(x y x y x f + =，则'(1,0)y f =； 9. 二元函数xy xe z =的全微分=dz ；
10.arctan()Z xy =设，则dz= . 三、选择题 11.设函数 ln()Z xy =，则 Z x ?=? ( ) A 1y B x y C 1x D y x 12.设2sin(),Z xy = 则 Z x ?=? ( ) A 2cos()xy xy B 2cos()xy xy - C 22cos()y xy - D 22cos()y xy 13.设 3xy Z =，则 Z x ?=? ( ) A 3xy y B 3ln 3xy C 13xy xy - D 3ln 3xy y
第六章 多元函数微分学 答案及评分标准 一、1、B 解：原式6)11(3lim )11(3lim 0 000=++=++=→→→→xy xy xy xy y x y x . 2、A 解：2R D =，当022≠+y x 时，),(y x f 连续；当022=+y x 时 22222221)(210),(y x y x y x y x f +=++≤-.即)0,0(0),(lim 0 0f y x f y x ==→→. 3、B 4、D 解：)0,0()0(111222?>≥?≥++≥z z y x z 是最小值点，由于)0,0(为定义域内点，所以)0,0(也是极小值点. 5.C 解：由方向导数的定义可得. 二、1、 2ln 2、xy xyz xyz yz -- 3、21f z f '+'，2212 2f xz f x f ''+''+' 解：21211f z f z f f x u '+'=?'+?'=??， 故22122222122f xz f x f x f z f x f z x u ''+''+'=?''+'+?''=???. 4、{2x －4,4y －6,6z －8} 解：grad f ={2x －4,4y －6,6z －8}；grad f |(2,1,2)={0,－2,4}， |grad f |(2,1,2)=，即f 在点(2，1，2)处方向导数 的最大值为. 5、 dy dx +2ln 2 三、解：1cos sin ?+?=????+????=??v e y v e x v v z x u u z x z u u )]cos()[sin(y x y y x e xy ++?+= ……………5分 1cos sin ?+?=????+????=??v e x v e y v v z y u u z y z u u )]cos()[sin(y x x y x e xy ++?+= ……………10分 四、解：xy x z 2=?? y x y z cos 2+=?? （4分） x y x z 22=??? （7分） y y z sin 22-=?? （10分）
多元函数微分学练习题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
第五章（多元函数微分学） 练习题 一、填空题 1. (,)(0,0)sin()lim x y xy y →= ． 2. 22 (,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y →+=+ ． 3. 1 (,)(0,0)lim [1sin()]xy x y xy →+= ． 4. 设21sin(), 0,(,)0, 0x y xy xy f x y xy ?≠?=??=? 则(0,1)x f = ． 5. 设+1(0,1)y z x x x =>≠，则d z = ． 6. 设22ln(1)z x y =++，则(1,2)d z = ． 7. 设u =d u = ． 8. 若(,)f a a x ?=? ，则x a →= ． 9. 设函数u =0(1,1,1)M -处的方向导数的最大值为 ． 10. 设函数23u x y z =++，则它在点0(1,1,1)M 处沿方向(2,2,1)l =-的方向导数为 ． 11. 设2z xy =，3l i j =+，则21x y z l ==?=? ． 12. 曲线cos ,sin ,tan 2 t x t y t z ===在点(0,1,1)处的切线方程是 ． 13. 函数z xy =在闭域{(,)0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上的最大值是 ． 14. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为 ． 15. 曲面2:0x z y e -∑-=上点(1,1,2)处的法线方程是 ． 16. 曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程是 ．
第六章多元函数微积分复习要点 一、基本概念及相关定理 1.多元函数的极限定义：函数(,)z f x y =在区域D 内有定义，当点P(x ,y )D ∈沿任意路径无限趋于点000(,)P x y (0P P ≠)时, (,)f x y 无限趋于一个确定的常数 A,则称常数A 是函数(,)z f x y =当P(x ,y )趋于 000(,)P x y 时的极限.记作0 lim (,)x x y y f x y A →→=,或00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=,或(,)f x y A →,00(,)(,)x y x y →,或 lim (,)f x y A ρ→=,或 (,)f x y A →,0ρ→.其中 ， ρ= 2.二元函数连续的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 内有定义，如果对任意 0(,)()P x y U P ∈，都有 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=（或 0lim ()()P P f P f P →=），则称函数(,)z f x y =在点000(,) P x y 处连续. 3.偏导数的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 内有定义. （1）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对x 的偏导 数定义为00000 (,)(,)lim x f x x y f x y x ? →+?-?，记作 00 x x y y z x ==??，或 00 x x y y f x ==??， 或00(,)x z x y '，或00(,)x f x y '，即 x x y y z x ==??=00000 (,)(,) lim x f x x y f x y x ? →+?-?. （2）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对 y 的偏导
第六章 多元函数微积分 一、单项选择题 二、填空题 1.设z=22y x +，则)2,1(dz =___________. 2.设z =x y cos ，则全微分d z =___________. 3.设z=x e xy ,则y x z ???2=______________________. 4．设z =(2x +y )2y ，则x z ??=________. 5.设z=y x 322e -,则y x z ???2=_______________. 6．设函数v u w w v u w v u f ++-=)(),,(，则=-+),,(xy y x y x f ． 7.设函数z =22y x +,则偏导数 =??x z _________. 三、计算题 1．设z=arctan x y ，求y x z 2???. 2．设隐函数z （x,y ）由方程x+2y+z=2xyz 所确定，求 x z ??. 3．计算二重积分I=??+D 22dxdy )y x (x ，其中D 是由直线x=0, y=0及x+y=3所围成的闭区域. 4.设z =z (x ,y )是由方程e xyz +z -sin(xy )=1所确定的隐函数，求 x z ??,y z ??. 5.计算二重积分I = ??D y x xy x d d )cos(2，其中D 是由直线x =1,y =x 及x 轴所围成的平面区域. 6.计算二重积分??D y x y x d d 2，其中D 是由直线y =x ,x =1以及x 轴所围的区域. 7．计算二重积分??=D y x x I d d ，其中区域D 由曲线x y = ，直线x =2以及x 轴围成. 8.方程xyz -ln(xyz )=1确定了隐函数z =z (x,y ),求y z x z ????,.
第六章 多元函数微积分 §6.1 空间解析几何简介 一、填空题 1. )12,4,3(-M 点到坐标轴的距离为_________； 2. 以点)3,2,1(--为球心过)0,2,1(--点的球面方程为_________； 3. 将xoy 坐标面上的圆2)1(2 2 =-+y x 绕oy 轴旋转一周所生成的球面方程是___________，且球心坐标是_____________，半径为___________； 4. 方程222 0223 x y z +-=表示旋转曲面.，它的旋转轴是_________； 5.方程z y =2 在平面解析几何中表示__________，在空间解析几何中表示___________； 6. 点)3,2,1(--到平面042=-+z y x 的距离为_________； 7. 过三点)2,0,1(1-M ，)0,0,1(2M ，)0,1,1(3M 的平面方程为_________； 8. 在空间直角坐标系中方程?? ???=-=- 0214 92 2x z x 表示_________； 9. 曲面z y x =-2 2 在xoz 坐标面上的截痕是_________； 10. 双曲抛物面z y x 23 2 2 =-与xoy 坐标面的交线是_________； 11. 由曲面22y x z += 与222y x R z --=所围成的有界区域用不等式组可表示为 _________； 12. 用平面h x =去截双叶双曲面122 2222-=+-c z b y a x ，所得截痕是__________；若用平 面)(2 2 b k k y >=截上述曲面所得截痕是_________ . 二、分别画出下列方程在平面和空间上的图形 （1）x y =2
第十七章 多元函数微分学 ( 1 6 时 ) §1 可微性 ( 4 时 ) 一． 可微性与全微分： 1． 可微性：由一元函数引入. ))()((22y x ?+?ο亦可写为y x ?+?βα, →??) , (y x ) 0 , 0 (时→) , (βα) 0 , 0 (. 2． 全微分: 例1 考查函数xy y x f =),(在点) , (00y x 处的可微性. [1]P 105 E1 二. 偏导数: 1. 偏导数的定义、记法: 2. 偏导数的几何意义: [1]P 109 图案17—1. 3. 求偏导数: 例2 , 3 , 4 . [1]P 142—143 E2 , 3 , 4 . 例5 设 . 0 , 0, 0 ,),(222222 2 3? ????=+≠+++=y x y x y x y x y x f 证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (连续 , 并求) 0 , 0 (x f 和) 0 , 0 (y f . 证 ρ θθρρρθ ρθρ) sin cos (lim ),(lim 2320sin ,cos ) 0,0(),(+===========→==→y x y x y x f =)0,0(0)sin cos (lim 2 30 f ==+→θθρρρ. ),(y x f 在点) 0 , 0 (连续 . ) 0 , 0 (x f =0||lim )0,0()0,(lim 300==-→→x x x x f x f x x , ) 0 , 0 (y f ||lim )0,0(),0(lim 2 00y y y y f y f y y →→=-= 不存在 . Ex [1]P 116—117 1⑴—⑼，2 — 4 . 三. 可微条件:
第七章 多元函数微分学 一、内容分析与教学建议 （一） 本章主要是把一元函数微分学中一些主要概念、理论和方法推广到多元函数，一方 面充实微分学，另一方面也给工程技术及自然科学提供一些处理问题的方法和工具。 在教学方法上，在一元函数微分学基础上，通过类比方法引入新的问题、概念、理论和方法，并注意比较它们的异同。 （二） 多元函数、极限、连续 先通过介绍平面点集的几个基础概念，引入二元函数由点函数再过渡到多元函数，并引入多元函数极限，讲清它的概念，并指出二元函数与一元函数极限点0P P →方式的异同，可补充一些简单例题给出二元函数求极限的一些常用方法，如换元化为一元函数两边夹准则，运用连续性等。在理解极限概念之基础上，不难得到求一个二元函数极限不存在之方法，最后可介绍累次极限与重极限之关系。 （三） 偏导数与全微分 1、可先介绍偏增量概念，类比一元函数，引入偏导数，通过例题说明，偏导与连续之关系，在偏导数的计算中，注意讲清分段函数分界点处的偏导数。 2、可由测量矩形相邻边长计算面积实例，类比一元函数的微分，引入全微分的定义，并指出用定义判断),(y x f z =可微，即求极限[] ρ y y x z x y x z z y x y x ?+?-?→?→?),(),(lim 0 是 否为0。 3、讲清教材中全微分存在的必要条件和充分条件，重点指出可微与偏导之关系，让学生理解关系式dy y z dx x z dz ??+??= 之意义，最后可通过列表给出多元函数连续、偏导存在、可微之相互关系。 （四） 复合函数求偏导 1、可先证明简单情形的全导数公式，画出函数关系图，通过关系图中“分线相加，连线相乘”法则推广至偏导数或全微分的各种情形),(v u f z =，)(x u ?=，)(x v ?=从中让学生理解口诀的含义。
习题7.1(A) 1、求点(2,1,3)A -关于(1)各坐标面；(2)各坐标轴；(3)坐标原点的对称点的坐标。 解 (1)(2,1,3)--,(2,1,3)--, (2,1,3)； (2)x 轴：(2,1,3)-，y 轴：(2,1,3)---，z 轴：(2,1,3)-； (3) (2,1,3)--。 2、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ (4,3,5)A -，(2,3,4)B -，(2,3,4)C --，(2,3,1)D -- 并求点(4,3,5)A -分别到(1)坐标原点；(2)各坐标轴；(3)各坐标面的距离。 解 A 点在第4卦限； B 点在第5卦限； C 点在第8卦限； D 点在第3卦限。 (1) A =(4,3,5)- (2) A 到x = A 到y = A 到z 5=； (3) A 到坐标面xy 5=； A 到坐标面yz 4=； A 到坐标面xz 3=。 3、在z 轴上求一点M ，使该点与点(4,1,7)A 和(3,5,2)B 的距离相等。 解 因为所求点在z 轴上, 所以设该点为(0,0,)M z , 由题意有MA MB , 即 22 222 2(4)1(7 )35(2 )z z 两边平方, 解得149z , 于是所求点为14(0,0,)9 M . 4、写出球心在点(1,3,2)--处，且通过点(1,1,1)-的球面方程。 解 由2 2 2 2000()()()x x y y z z R ，得 2 222(1())(113())(12)R
则3R ，从而球面方程为 2 2 2 2(1)(3)(2)3x y z 5、下列各题中方程组各表示什么曲线？ (1) 2248, 8; x y z z (2) 22 25, 3;x y z x (3) 22 2 4936, 1; x y z y (4) 2244, 2. x y z y 解 (1) 双曲线；(2) 圆；(3) 椭圆；(4) 抛物线。 6、描绘下列各组曲面在第一卦限内所围成的立体的图形。 (1) 0,0,0,1x y z x y z ===++=； (2) 2 2 2 2 2 2 0,0,0,,x y z x y R y z R ===+=+=。 解 (1)、(2)题的图如下： (1)题图 (2)题图 7、由上半球面 224 z x y 和圆锥面223()z x y 围成一个立体，求它在xy 面上 的投影区域。 解 将上半球面和圆锥面的方程联立得到方程组 2 22 2 43() z x y z x y 在该方程组中, 消去z , 得到2 2 1x y . 这是准线为 221 x y z , 母线平行于z 轴 的柱面, 且它在xy 面上的投影是xOy 坐标平面上的一个圆. 故题设中两个已知曲面所围成立体在xy 面上的投影区域为: 2 21x y . 习题7.1(B) 1、指出下列各题中平面位置的特点，并画出各平面。 (1) 0y =； (2) 1z =； (3) 23x y +=； (4) 20x y +=；
第4章 多元函数微分学 4.2.1 二元函数的概念 多元函数与一元函数类似，学习时应注意比较． 一元函数是含有一个自变量的函数：)(x f y =。多元函数是含有多个自变量的函数，例如： 二元函数：),(y x f z =，三元函数：),,(z y x f u =等等． 例1 如果圆锥体底半径为r ,高为h ，则其体积v 它是二元函数.其中，r 和h 是自变量，v 是因变量（函数）.定义域： {} 0,0),(>>=h r h r D . 例2黑白电视：在t 时刻屏幕上坐标为),(y x 处的灰度z 为：),,(t y x z z =，它是三元函数. 例3在一个有火炉的房间里，在t 时刻，点),,(z y x 处的温度u 是t z y x ,,,的函数： ),,,(t z y x u u =，称为温度分布函数，它是四元函数． 例4 求函数222y x a z --= 的定义域． 解：02 22≥--y x a ，定义域为{ } 2 22),(a y x y x D ≤+= 例5 求y y x z ) ln(+= 的定义域． 解：由所给函数，对数真数为正，又分母根式为正，有 ? ? ?>+>00 y x y {}0,0),(>+>=y x y y x D 4.3 ——4.4偏导数 二元函数),(y x f z =在点),(00y x 处关于x 的偏导数 x y x f y x x f x ?-?+→?) ,(),(lim 00000 （注意到：y 取值不变，恒为0y ） 记作： ) ,(00y x x z ??或),(00y x f x '.类似地，关于y 的偏导数： y y x f y y x f y ?-?+→?) ,(),(lim 00000 例如：y x z 3sin 2 =
第六章 多元函数微分法 多元函数的极限运算法则与一元函数完全类似，如四则运算法则、复合极 限法则、无穷小的概念及其性质、等价无穷小的替换、夹逼准则等，但不再有所谓的洛必达法则。不再一一指出。下面举几例说明。 例6.求（1）;21lim 2 2 2 2 01-=+- + +→→y x y x y x （2）.lim lim 1 1 1 11112 e x x e x x y x x y x y x y x ===?? ? ???????? ??+??? ??++→∞→+→∞→； （3）()()2 2 2 2 00 lim sin 0. x y y y x x →→+ + = （4）0022 sin sin lim lim . 2.x x y y xy xy y x xy →→→→== 关于二元函数的连续性，请记住一个基本结论：一切二元初等函数在其定义区域内均连续. 例7．求 10 ln y x y x e →→+ 解：因为()1,0是初等函数( )ln ,y x e f x y += 定义域内的点，故 ( )ln ,y x e f x y += 在点()1,0处连续，所以，原式()1,0ln 2.f == 例8．讨论函数设()=y x f ,2222 22 ,0,0,0. xy y x y x y x ?+≠?? +??+=??在其定义域内的连续性。 解：函数的定义域是全平面，并且当() ln ,y x e f x y += 时，(),f x y 是初等函数，从而 是连续的；下面考察函数在()0,0处的连续性。因为22 lim x y xy x y →→+不存在（例4已证），所以 (),f x y 在()0,0处不连续。 四.高阶偏导数
第五部分 多元函数微分学（1） [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线? ??=+--=+++031020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。 答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ??+=+=2 2v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 答：D 5．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A
第七章 多元函数微分学及其应用 7.1 多元函数的基本概念 7.1.1 二元函数的概念 设D 是平面上的一个非空点集，如果对于该平面上的任意一点),(y x ，按照一定的对应法则f 都有确定的数值z 与之对应，则称z 是f 的二元函数，记为),(y x f z = 。其中y x ,为自变量， z 为因变量，f 为对应法则，D 为定义域，值域 {}D y x y x f z z R f ∈==),(),,(。 （1）二元及二元以上的函数称为多元函数。 （2）一元函数与二元函数的区别：①定义域不同；②自变量的个数。 （3）多元函数的定义域和表达式可以参照一元函数求解。 例1：设x y x x e e x y x y x f ln )1()ln ,(-=-，求),(y x f 的表达式。 例 2：求函数) 1ln(4)2arcsin(2 22 y x y x x z ---+=的定义域。 7.1.2 二元函数的极限 设二元函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某去心领域内有定义，当动点),(y x P 趋向于点),(000y x P 时，函数),(y x f 无限趋近于常数 A ，则数A 是函数),(y x f 当),(),(00y x y x →时的极限，记为 A y x f y x y x =→),(lim ) ,(),(00 （1）动点),(y x P 趋近于定点),(000y x P 的方向是任意的。 ①若函数),(y x f 以某一方向趋近于定点),(000y x P 时函数的极限
不存在，则),(y x f 在定点),(000y x P 处的极限不存在。 ②若函数),(y x f 以某一方向趋近于定点),(000y x P 时函数的极限 存在，则),(y x f 在定点),(000y x P 处的极限不一定存在。 ③若函数),(y x f 以不同方向趋近于定点),(000y x P 时函数的极限 存在但是不相等，则),(y x f 在定点),(000y x P 处的极限不存在。 （2）求二重极限的方法与技巧 ①直接代入法；②根式有理化；③无穷小的性质； ④等价无穷小的替换；⑤夹逼准则； ⑥不等式的性质（xy y x 222≥+；1sin ≤x 等等） ⑦若函数),(y x f 中含有22y x +的式子，令θθsin ;cos r y r x ==，则 )0,0(),(→y x 等价于0→r 。 备注：求二重极限的极限不能使用洛必达法则。 例3：求下列极限 （1）xy xy y x 42lim )0,0(),(+-→ （2）y xy y x sin lim )0,2(),(→ （3）2 42)0,0(),(lim y x y x y x +→ 例4：设 ??? ??=≠+) 0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f ，证明：),(lim ) 0,0(),(y x f y x →不存在。 例5：设 ?????=≠+)0,0(),(,0) 0,0(),(,),(2 63y x y x y x y x y x f ，证明：),(lim ) 0,0(),(y x f y x →不存在。 例6：设 ?? ???=≠+)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22 y x y x y x xy y x f ，求),(lim ) 0,0(),(y x f y x →。 7.1.3 二元函数的连续性 设函数),(y x f 在点),(00y x 的领域内有定义，若
第六章 多元函数微分学 §6.1 多元函数的概念、极限与连续性 甲 内容要点 一．多元函数的概念 1．二元函数的定义及其几何意义 设D 是平面上的一个点集，如果对每个点()D y x P ∈,，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以()y x f z ,=，D 称为定义域。 二元函数()y x f z ,=的图形为空间一卦曲面，它在xy 平面上的投影区域就是定义域 D 。 例如 2 21y x z --=，1:2 2 ≤+y x D 二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。 2．三元函数与n 元函数 ()z y x f u ,,= ()Ω∈z y x ,,空间一个点集称为三元函数 ()n x x x f u ,,21 = 称为n 元函数 它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。
二．二元函数的极限 设()y x f ,在点()00,y x 的邻域内有定义，如果对任意0>ε，存在0>δ，只要 ()()δ<-+-2020y y x x ，就有()ε<-A y x f , 则记以()A y x f y y x x =→→,lim 0 或()()()A y x f y x y x =→,lim 0 0,, 称当()y x ,趋于()00,y x 时，()y x f ,的极限存在，极限值为A ，否则，称为极限不存在。 值得注意：这里()y x ,趋于()00,y x 是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于 ()00,y x ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂；但考试大纲只要求知道基本概念和 简单的讨论极限存在性和计算极限值，不像一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。 三．二元函数的连续性 1．二元函数连续的概念 若()()00,,lim 0 0y x f y x f y y x x =→→ 则称()y x f ,在点()00,y x 处连续。 若()y x f ,在区域D 内每一点皆连续，则称()y x f ,在D 内连续。 2．闭区域上连续函数的性质 定理1．（有界性定理）设()y x f ,在闭区域D 上连续，则()y x f ,在D 上一定有界. 定理2．（最大值最小值定理）设()y x f ,在闭区域D 上连续，则()y x f ,在D 上一定有最大值和最小值 ()()M y x f D y x =∈,max ,（最大值），()()m y x f D y x =∈,min ,（最小值） 定理3．（介值定理）设()y x f ,在闭区域D 上连续，M 为最大值，m 为最小值。若 M C m ≤≤，则存在()D y x ∈00,，使得()C y x f =00,
习题6.9 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 221.:(1)(1).2(1)2(1)(1)(222)(1)(42)0,10,,1. 220,0. 1(0,0),(,0),(1,0).2(1)2(1)2 2(1)4(1)24(1)2(1)8(1)2z x x y z x x x x x x x x x x x x x z y y y x x x x z A x x x x x x x x x x =-+?=-+-?=--+=--==?===?-+-?==-+-++-=-+-+?求下列函数的极值三个稳定点2 22 2 2 2 2 ,2,0. (0,0),20,0,2,4,(0,0) 1. 1(,0),1,0,2,2,. 2 (1,0),2,0,2,40,.(1,0)0. x z z C B y x y A B C A C B z A B C A C B A B C A C B z ??= == =???=>==-===-==-=-===-=>=极小值点，极小值非极小值点极小值点极小值 2 2 2 2 2 22 2 (2)25244 1.21042(52),2442(22). 5224 ,.223324(,). 33100,4, 2. 24 360,( ,).33 24 ( ,) 3.33 z xy x y x y z y x y x x z x y x y y x y x y x y z z z A C B x y x y A C B z =--++-?=-+=-+??=-+=-+?-+=-?==? -=-? ???= =-<= =-= =????-=>==稳定点极大值点极大值