常考知识点及相应习题汇总
一、棱锥
1、正三棱锥
定义：正三棱锥是锥体中底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三
棱锥。
性质：1．底面是等边三角形。
2．侧面是三个全等的等腰三角形。
3．顶点在底面的射影是底面三角形的中心（也是重心、垂心、外心、内心）。
4.
常构造以下四个直角三角形（见图）：
说明：上述直角三角形集中了正三棱锥几乎所有元素。在正三棱锥计算题中，常常取上述直角三角形。其实质是，不仅使空间问题平面化，而且使平面问题三角化，还使已知元素与未知元素集中于一个直角三角形中，利于解出。
练习1：
1、三棱锥A —BCD 的棱长全相等, E 是AD 中点, 则直线CE 与直线BD 所成角的余弦值为( ) (A)
63 (B)23 (C)633 (D)2
1
2、正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为( ) A ． B ．2 C D ．
3、侧棱长为2a 的正三棱锥其底面周长为9a ，则棱锥的高为（）
A 、a
B 、2a
C 、
D 、
4、如图为正三棱柱的平面展开图，该正三棱柱的各侧面都是正方形，对这个正三棱柱有如下判断：①11//BC AB ；②1AC 与BC 是异面直线； ③1AB 与BC 所成的角的余弦为
4
2
；④1BC 与C A 1垂直.
其中正确的判断是_______.
5、在正三棱锥P ABC -中，6,5AB PA ==。（1）求此三棱锥的体积V ；（2）求二面角
P AB C --的正弦值。
6、正三棱锥V-ABC 的底面边长是a, 侧面与底面成60°的二面角。
求（1）棱锥的侧棱长（2）侧棱与底面所成的角的正切值。
2、正四面体
定义：正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等。
它有4个面，6条棱，4个顶点。正四面体是最简单的正多面体。
正四面体与正三棱锥的关系：正四面体属于正三棱锥，但是正三棱锥只需要底面
为正三角形，其他三个面是全等的等腰三角形且顶点在底面的投影是底面三角形的中心，不需要四个面全等且都是等边三角形。
因此，正四面体又是特殊的正三棱锥。
性质：
练习2：
1、在正四面体ABC P -中，如果E F 、分别为PC 、AB 的中点，那么异面直线EF 与PA 所
成
的
角
为
( )
(A)0
90 (B)0
60 (C)0
45 (D)0
30
3、正四棱锥
定义：底面是正方形，侧面为
4个全等的等腰三角形且有公共顶点，顶点在底面的投影
是底面的中心。三角形的底边就是正方形的边。
性质：（1）正四棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的
高相等（它叫做正棱锥的斜高）； （2）正四棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形；
（3）正四棱锥的侧棱与底面所成的角都相等；正棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等； （4）正四棱锥的侧面积：如果正棱锥的底面周长为c ，斜高为h’，那么它的侧面积是 s=1/2ch‘
练习3：
1、正四棱锥的一个对角面与一个侧面的面积之比为2:6，则侧面与底面的夹角为（ ）。 （A ）12
π
（B ）6
π
（C ）4
π
（D ）3
π
2、 四棱锥成为正棱锥的一个充分但不必要条件是( )
(A) 各侧面是正三角形 (C) 各侧面三角形的顶角为45度
(B)底面是正方形 (D)顶点到底面的射影在底面对角线的交点上 3、如果正四棱锥的侧面积等于底面积的2倍，则侧面与底面所成的角等于（）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
4、在正四棱锥P —ABCD 中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA 与BC 所成角的正切值为；
5、若正四棱锥所有棱长与底面边长均相等，求①斜高与棱锥高之比②相邻两个侧面所成二面角的大小。
4、棱锥
定义：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，
由这些面所围成的多面体叫做棱锥。
概念：棱锥的底面、棱锥的侧面、棱锥的侧棱、棱锥的顶点、棱锥的高、棱锥
的对角面; （棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面）
性质：1．棱锥截面性质定理及推论
定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比。
推论1：如果棱锥被平行于底面的平面所截，则棱锥的侧棱和高被截面分成的线段比相等。
推论2：如果棱锥被平行于底面的平面所截，则截得的小棱锥与原棱锥的侧面积之比也等于它们对应高的平方比，或它们的底面积之比。
2．一些特殊棱锥的性质
侧棱长都相等的棱锥，它的顶点在底面内的射影是底面多边形的外接圆的圆心（外心），同时侧棱与底面所成的角都相等。 侧面与底面的交角都相等的棱锥，它的二面角都是锐二面角，所以顶点在底面内的射影在底多边形的内部，并且它到各边的距离相等即为底多边形的内切圆的圆心（内心），且各侧面上的斜高相等。如果侧面与底面所成角为α，则有S 底=S 侧cos α。
练习4
1、三棱锥ABC P -中，⊥PA 底面ABC ，ABC ?是直角三角形，则三棱锥的三个侧面中直角三角形有（）
(A)２个 (B)３个 (C)至多２个 (D)２个或３个
2、正n 棱锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面与底面所成二面角的度数为 （） (A)
3
π
(B)
2
π
(C)
6
π
(D)与n 的取值有关
3、如果一个棱锥被平行于底面的两个平面所截后得到的三部分体积（自上而下）为1:8:27，
则这时棱锥的高被分成上、中、下三段之比为 （ ） （A ） 1:)12(3-:)23(33-(B)1:32:33 (C)1:
21:3
1
(D)1:1:1
4、已知棱锥被平行于底面的截面分成上、下体积相等的两部分，则截面把棱锥的侧棱分成上、下两线段的比为 ( )
A.2∶ 1
B.2∶1
C.1∶ (2-1)
D.1∶ (32-1)
5、三棱锥V-ABC 的三条侧棱两两为300角，在VA 上取两点M 、N ，VM ＝6，VN ＝8，用线绳由自M 向N 环绕一周，线绳的最短距离是 .
6．在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 为PC 中点．（1）
求证：PA ∥平面EDB ．（2）求EB 和底面ABCD 成角正切值．
7．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，且PA=AD=2a ，AB=a ，∠ABC=60°（1）求证平面PDC ⊥平面PAC ． （2）求异面直线PC 与BD 所成的角的余弦值．
8、AB 为圆O 的直径，圆O 在平面α内，SA ⊥α，∠ABS=30o
,P 在圆周上移动（异于A 、B ），M 为A 在SP 上的射影，
(Ⅰ)求证：三棱锥S —ABP 的各面均是直角三角形； （Ⅱ）求证：AM ⊥平面SPB ；
9、三棱锥V －ABC 的底面是腰长为5底边长为6的等腰三角形，各个侧面都和底面成450的二面角，求三棱锥的高．
C
A
V
习题答案：
练习1：1.A 2.C 3.A 4.②③ 5.393
6、解：（1）过V 点作V0⊥面ABC 于点0，VE ⊥AB 于点E
∵三棱锥V —ABC 是正三棱锥∴O 为△ABC 的中心
则OA=
a a 332332=?，OE=a a 6
3
2331=?又∵侧面与底面成60°角∴∠VEO=60° 则在Rt △VEO 中；V0=OE ·tan60°=
2
363a
a =? 在Rt △VAO 中，VA=6
211273422
2
2
2
a
a a a AO VO =
=+=+即侧棱长为a 621 练习2：1.C
练习3：1.D2.A 3.C 4.2 5、（1）3∶2 ；（2）π-arccos
3
1
； 练习4：1、D 2、A 3、D 4、D 5．10 6、（2）55arctan 7．（2）73
arccos 8、略
9、解：过点V 作底面ABC 的垂线，垂足为O
∵各个侧面和底面成450
的二面角 ∴点O 为三角形ABC 的内心 设OD ＝x ，则有
4621
)655(21??=++x ∴x ＝2
3
∴三棱锥的高VO 为2
3
二、棱柱
定义：有两个面平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个平行四
边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
两个互相平行的平面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面。 两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。 侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点，不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线，两个底面的距离叫做棱柱的高。
棱柱中过不相邻的两条侧棱的截面叫做棱柱的对角面。
分类：
斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱，画斜棱柱时，一般将侧棱画成不与底面垂直。
直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱。画直棱柱时，应将侧棱画成与底面垂直。
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。 平行六面体:底面是平行四边形的棱柱。
直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体叫直平行六面体。 长方体：底面是矩形的直棱柱叫做长方体。
对角线的求法：由棱柱的三条棱长的平方的和的开方。
性质：1）棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都平行且相等；
直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。
2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形。 3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。
4）直棱柱的侧棱长与高相等；直棱柱的侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形。
练习题：1．如图：在正三棱柱111C B A ABC -中，1BB E ∈，截面11AC EC A 侧面⊥.
①求证：1EB BE =；②若111B A AA =，求平面EC A 1与平面111C B A 所成锐二面角的度数.
2．已知三棱柱111C B A ABC -的底面是边长为1的正三角形，
451111=∠=∠C AA B AA ，
顶点A 到底面111C B A 和侧面C B 1的距离相等，求此三棱柱的侧棱长及侧面积．
3、在正三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，AA 1=AB=a ，D 是CC 1的中点，F 是A 1B 的中点.(Ⅰ)求证：DF ‖平面ABC ；（Ⅱ）求证：AF ⊥BD ；
4． 已知：如图，直棱柱ABC －A’B’C’的各棱长都相等，D 为BC 中点，CE ⊥C’D 于E （1）求证：CE ⊥平面ADC’ (2)求二面角D －AC’－C 的平面角的大小
A 1
B 1
A
5、如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面ABC 为等腰直角三角形，90ACB ∠=?，AC=1，C 点到AB 1的距离为CE=
2
3
，D 为AB 的中点. （1）求证：AB 1⊥平面CED ； （2）求异面直线AB 1与CD 之间的距离；（3）求二面角B 1—AC —B 的平面角
6、在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，BC=A 1C 1，AC 1⊥A 1B ，M ，N 分别是A 1B 1，AB 的中点。 （1）求证：面ABB 1A 1⊥面AC 1M ；（2）求证：A 1B ⊥AM ；（3）求证：面AMC 1∥面NB 1C
答案：
1．解：①在截面EC A 1内，过E 作C A EG 1⊥，G 是垂足
∵面11AC EC A 侧面⊥，∴EG ⊥侧面C A 1取AC 的中点F ，连结BF ，FG ，由AB=BC ，得BF ⊥AC ∵C A ABC 1侧面面⊥，∴BF ⊥侧面1AC ，得BF ∥EG BF 、EG 确定一个平面，交侧面1AC 于FG ∵C A BE 1//侧面，
∴BE ∥FG ，四边形BEGF 是平行四边形，∴BE = FG ∵1//AA BE ，∴1//AA FG ，FGC C AA ??~1；
∵FC AF =，∴112121BB AA FG ==，即12
1
BB BE =，故1BB BE =
A 1
A 1
② 分别延长CE 、11B C 交于点D ，连结D A 1 ∵11//CC EB ，1112121CC BB EB ==
∴11112
1
C B DC DB ==，又1111C B B A =， ∴ 9011=∠C DA ，即111C A DA ⊥
∵1111B C A CC 面⊥，即11C A 是C A 1在平面D C A 11上的射影，根据三垂线定理，得
C A DA 11⊥∴11C CA ∠是二面角的平面角
∵111111C A B A AA CC ===?=∠9011C C A ∴?=∠4511C CA ，即所求二面角为45° 2．解：作AO ⊥平面A 1B 1C 1，O 为垂足
（12）∵∠AA 1B 1=∠AA 1C 1=450 ∴O 在∠C 1A 1B 1的平分线上 连结A 1O 并延长交B 1C 1于D 1点 ∵A 1C 1=A 1B 1 ∴A 1D 1⊥B 1C 1 ∴A 1A ⊥B 1C 1 ∴BB 1⊥B 1C 1
∴四边形BB 1C 1C 为矩形
取BC 中点D ，连结AD DD 1 ∵DD 1//BB 1
∴B 1C 1⊥DD 1又B 1C 1⊥A 1D 1 ∴B 1C 1⊥平面A 1D 1DA
∴平面A 1ADD 1⊥平面B 1C 1CB
过A 作AN ⊥DD 1，则AN ⊥平面BB 1C 1C ∴AN=AO
∵四边形AA 1D 1D 为□ ∴A 1D 1=DD 1
∴2
31=
DD 2
31=
∴AA 2
326123222312+=?+??
?=侧S 4、(2)5
10arcsin
5、（1）略 ；（2）
2
1
；（3）arctan 2； 6、证明：（1）∵三棱柱ABC —A 1B 1C 1是直三棱柱∴AA 1⊥面A 1B 1C 1 ∴AA 1⊥C 1M ∵BC ＝A 1C 1
，M 是A 1B 1的中点 ∴C 1M ⊥A 1B 1
又AA 111111BB AA ,面?=AA A B A A 1B 1M AC A ABB ABB A 11111面面，面⊥∴?
（2）AM B A ABB A M C AC B A 111111⊥∴⊥⊥，面，
C
NB AMC M M C AM C NB M C CN M C ABB A CN ABB A M C C NB AM N B AM M ANB AB B A N M )3(1111111111111111∥平面，＝又平面∥，∥，平面同理可证平面，由平面∥，∥是平行四边形，四边形的中点，，分别是、∴∴⊥⊥∴∴∴
三、正方体、长方体 练习题：
1.棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，异面直线DD 1与BC 1之间的距离为( ) A ．a B
c
D
2．正方体的棱长为１，P 为1DD 的中点，O 为底面ABCD 的中心，则1DD 与平面PAO 所成角的正切值为
(A)
2
2
(B)2 (C)22 (D)以上皆非 3．设长方体的三条棱长分别为c b a ,,，若其所有棱长之和为２４，一条对角线的长度为５，体积为２，则
c
b a 1
11++为 (A)
411 (B)114 (C)211 (D)11
2 4.长方体的表面积为2
22cm ,所有棱的总长度为cm 24,则长方体的对角线的长度是 ( ) A.cm 14 B.cm 11 C.cm 12 D.cm 13 5．如图在正方形ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中点，P 为棱A 1B 1上任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角的大小为（） A ．4
π
B ．
3
π
C ．
2
π
D ．与P 点位置有关
6．如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，
3,4,61===AA AD AB ，分别过BC 、11D A
的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积 分别记为111DFD AEA V V -=，C F C B E B V V 11113==。
若1:4:1::321=V V V ，则截面11EFD A 的面积为 ( ) (A)104 (B)38 (C)134 (D)16
7．如右图，正方体1111D C B A ABCD -中，F E 、是异面线段D A 1和AC 的中点，则EF 和1BD 的关系是
A ．相交不垂直
B ．相交垂直
C ．平行直线
D ．异面直线
8．如图在正方形ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中点，P 为棱A 1B 1上任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角的大小为（ ）
A ．
4
π
B ．
3
π
C ．
2
π
D ．与P 点位置有关
9．长方体全面积为24cm 2，各棱长总和为24cm ，则其对角线长为cm . 10．正方体的表面积为m ，则正方体的对角线长为
11．长方体1111D C B A ABCD -中，1==AD AB ，21=BB ，E 为1BB 的中点．
(1)求证：⊥AE 平面E D A 11；(2)求二面角11A AD E --的正切值； (3)求三棱椎E D C A 11-的体积．
12. 在正方体1111ABCD A BC D -中，（1）求证：平面1A BD ⊥平面11ACC A ；
D A B （2）求直线1A B 与平面11ACC A 所成的角。
13.如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，F E 、分别是1BB 、CD 的中点.（1）证明：
F D AD 1⊥；（2）求直线AE 与F D 1所成的角；（3）证明：平面⊥AED 平面11FD A .
14.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11
2
AB AD AA ==
，点G 为1CC 上的点，且CG =11
4CC 。（1）求证：1CD ⊥平面ADG ；（2）求二面角C AG D --的大小（结果用反余弦表示）。
15.已知在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是D 1D 、BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG
=
D 1
C 1
B 1
A 1
D C
B
A
CD 4
1
．（1）求证：EF ⊥B 1C ；（2）求EF 与C 1G 所成角的余弦值；
（3）求二面角F —EG —C 1的大小（用反三角函数表示）．
16．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，F E 、分别是1BB 、
CD 的中点.（1）证明：F D AD 1⊥ (2)求直线AE 与F D 1所成的角； （3）证明：平面⊥AED 平面11FD A .
答案：1、A 2．B 3．A 4.A5．C6.C 7.D 8．C 9.3210、2m
2
11．解（1）：221==
AE E A （12）AA 1=2∴A 1E ⊥AE
又AE ⊥A 1D 1∴AE ⊥平面A 1D 1E
（2）取AA 1中点F ，过F 作FP ⊥AD 1∵EF ⊥平面AA 1D 1D FP ⊥AD 1∴EP ⊥AD 1 ∴∠FPE 即为E-AD 1-A 1的平面角 在Rt △AA 1D 1中，可求5
5
=
PF 5tan ==∠∴FP EF FPE
（3）∵EF//C 1D 1∴EF//平面AC 1D 1
∴VA-C 1D 1E=V E -AC 1D 1=V F -AC 1D 1=1C V -AFD 1
11131D C AFD S ?=
?=1)2141(31????=6
1 12. 03013. 90014. arccos
101015. 17
51
13arctan -π 16．解：①∵1111D C B A ABCD -是正方体，∴ ⊥AD 面1DC ．又?F D 1面1DC ，∴
F D AD 1⊥．
② 取AB 中点G ，连结G A 1、FG ．易证11A GFD 是平行四边形．∴F D G A 11//． 设G A 1与AE 交于点H ，1AHA ∠（或其补角）是AE 与F D 1所成的角． ∵ E 是1BB 的中点，∴ Rt △AG A 1≌Rt △ABE ，GAH A GA ∠=∠1， ∴ =∠1AHA 90°，即AE 与F D 1所成的角为90°．
③ 由①知F D AD 1⊥，由②得F D AE 1⊥，∵A AE AD =?，∴⊥F D 1面AED ． ∵ ?F D 1面11FD A ，∴ 面⊥AED 面11FD A ．
四、二面角
1．二面角l αβ--内一点P 到平面βα,和棱l 的距离之比为2，则这个二面角的平面角是__________度．
2．已知E 是正方体1AC 的棱BC 的中点，则二面角111C E B D --的正切值是（）
A ．5
B ．
25 C ．3 D ．2
3 3.若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角的大
小关系是 ( )
A.相等
B.互补
C.相等或互补
D.不能确定
4．已知等边三角形ABC 的边长为1，沿BC 边上的高将它折成直二面角后，点A 到直线BC 的距离是（） A ．1 B ．
414 C ．2
2 D ．23
5．已知E 是正方体1AC 的棱BC 的中点，则二面角111C E B D --的正切值是（）
A ．5
B ．
25 C ．3 D ．2
3 6.如图，二面角l αβ--的平面角为120?，,,AC BD AC l αβ??⊥,
BD l ⊥，3AC BD ==，4CD =。（1）求AB 的长；（2）求直线AB 与CD
所成的角。
7. 如图，已知四棱锥P ——ABCD 中，底面ABCD 为正方形， 侧面PDC 为正三角形，且平面PDC ⊥底面ABCD ，E 为PC 的中点. （1）求证：PA//平面EDB ；（2）求证：平面EDB ⊥平面PBC ；（3）求二面角D —PB —C 的大小.
8.如图，四棱锥P —ABCD 中，PB ⊥底面ABCD ，CD ⊥PD .底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=AD=PB =3.点E 在棱PA 上，且PE =2EA .
(1) 求异面直线PA 与CD 所成的角； (2) 求证：PC ∥平面EBD ；
(3) 求二面角A —BE —D 的大小（用反三角函数表示）.
答案：1．900或15002.B 3.B 4、 B 5、 B 6.43arctan
4
3
3 7. arctan 68. 060arctan 5
D
C
B
A
l β
α
高中立体几何典型500题及解析(二)(51~100题) 51. 已知空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M 、N 分别为BC 、AD 的中点。 求：AM 及CN 所成的角的余弦值； 解析：(1)连接DM,过N 作NE∥AM 交DM 于E ，则∠CNE 为AM 及CN 所成的角。 ∵N 为AD 的中点, NE∥AM 省 ∴NE=2 1AM 且E 为MD 的中点。 设正四面体的棱长为1， 则NC=21·23= 4 3且ME=2 1MD= 4 3 在Rt△MEC 中，CE 2=ME 2+CM 2= 163+41=16 7 ∴cos ∠CNE= 324 3 432167)43()43( 2222 22-=??-+=??-+NE CN CE NE CN , 又∵∠CNE ∈(0, 2 π) ∴异面直线AM 及CN 所成角的余弦值为3 2. 注：1、本题的平移点是N ，按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在△CEN 外计算CE 、CN 、EN 长，再回到△CEN 中求角。 2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。最后作答时，这个角的余弦值必须为正。
52. .如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 上的点，已知AB=4，CD=20，EF=7， 3 1 ==EC BE FD AF 。求异面直线AB 及CD 所成的角。 解析：在BD 上取一点G ，使得3 1 =GD BG ，连结EG 、FG 在ΔBCD 中，GD BG EC BE = ，故EG//CD ，并且4 1==BC BE CD EG ， 所以，EG=5；类似地，可证FG//AB ，且 4 3 ==AD DF AB FG ， 故FG=3，在ΔEFG 中，利用余弦定理可得 cos ∠ FGE= 2 1 5327532222222- =??-+=??-+GF EG EF GF EG ，故∠FGE=120°。 另一方面，由前所得EG//CD ，FG//AB ，所以EG 及FG 所成的锐角等于AB 及CD 所成的角，于是AB 及CD 所成的角等于60°。 53. 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1=c ，AB=a ，AD=b ，且a ＞b ．求AC 1及BD 所成的角的余弦． A B C D E F G E D 1 C 1 B 1 A 1 A B D C O
1.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，6）已知一个四面体的一条棱长为，其余棱长均为2，则这个四面体的体积为（） （A）1 （B）（C）（D）3 [解析] 1. 取边长为的边的中点, 并与其对棱的两个端点连接, 2.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，5）某几何体的三视图如下图所示，则它的表面积为（） （A） （B） （C） （D） [解析] 2. 该三视图对应的几何体为组合体，其中上半部为半径为3母线长为5的圆锥，下半部为底面半径为3高为5的圆柱，所以其表面积为.
3.(2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，5) 某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据．可得 这个几何体的表面积为( ) A. B. C. D. 12 [解析] 3. 从三视图中可以看出该几何体是正四棱锥，且其斜高为底面是边长为2的正方形，故其表面积为. 4. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，11) 三棱锥P—ABC的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC， PA＝2AB＝6，则该球的体积为( ) [解析] 4. 三棱锥P－ABC的外接球与高为6底面边长为3的正三棱柱的外接球相同，即
可把三棱锥P－ABC补成高为6底面边长为3的正三棱柱，由此可得球心O到底面ABC的距离为3，设底面ABC的外接圆圆心为O1, 连接OA, O1A、OO1, 则O1A =, OO1=3，所以OA2=O1A2+=，所以该求的体积为. 5. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，3) 下图是一个体积为10的空间几何体的三视图，则图中x的值为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 [解析] 5. 根据三视图可知，该几何体由两部分组成，上半部为底面边长分别为3和2的长方形高为x的四棱锥，下半部为高为1底面边长分别为3和2的长方形的长方体，所以 其体积为，解得x=2.
高中空间立体几何典型 例题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
1 如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1，BC 1上分别有两点E ，F ，且B 1E=C 1F. 求证：EF ∥平面ABCD. 证明 方法一 分别过E ，F 作EM ⊥AB 于M ，FN ⊥BC 于N ，连接MN. ∵BB 1⊥平面ABCD ， ∴BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ， ∴EM ∥BB 1，FN ∥BB 1， ∴EM ∥FN. 又∵B 1E=C 1F ，∴EM=FN ， 故四边形MNFE 是平行四边形，∴EF ∥MN. 又MN ?平面ABCD ，EF ?平面ABCD ， 所以EF ∥平面ABCD. 方法二 过E 作EG ∥AB 交BB 1于G ， 连接GF ，则B B G B A B E B 1111=， ∵B 1E=C 1F ，B 1A=C 1B ， ∴B B G B B C E C 1111=，∴FG ∥B 1C 1∥BC ， 又EG ∩FG =G ，AB ∩BC =B ， ∴平面EFG ∥平面ABCD ，而EF ?平面EFG ， ∴EF ∥平面ABCD . 2 已知P 为△ABC 所在平面外一点，G 1、G 2、G 3分别是△PAB 、△PCB 、△PAC 的重心.
（1）求证：平面G 1G 2G 3∥平面ABC ； （2）求S △3 21G G G ∶S △ABC . （1）证明 如图所示，连接PG 1、PG 2、PG 3并延长分别与边AB 、BC 、AC 交于点D 、E 、F ， 连接DE 、EF 、FD ，则有PG 1∶PD =2∶3， PG 2∶PE =2∶3，∴G 1G 2∥DE . 又G 1G 2不在平面ABC 内， ∴G 1G 2∥平面ABC .同理G 2G 3∥平面ABC . 又因为G 1G 2∩G 2G 3=G 2， ∴平面G 1G 2G 3∥平面ABC . （2）解 由（1）知PE PG PD PG 21 =32，∴G 1G 2=32DE . 又DE =21AC ，∴G 1G 2=31 AC . 同理G 2G 3=31AB ，G 1G 3=3 1BC . ∴△G 1G 2G 3∽△CAB ，其相似比为1∶3， ∴S △3 21G G G ∶S △ABC =1∶9. 3如图所示，已知S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，且SA =SB =SC ，SG 为△SAB 上的高， D 、 E 、 F 分别是AC 、BC 、SC 的中点，试判断S G 与平面DEF 的位置关系，并给予证明. 解 SG ∥平面DEF ，证明如下： 方法一 连接CG 交DE 于点H ， 如图所示.
第一章 集合 一、集合的概念 1、集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性。 2、元素与集合的关系：A a A a ?∈, 二、集合之间的关系 注：1、子集:一个集合中有n 个元素，则这个集合的子集个数为n 2，真子集个数为12-n 。 2、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 三、集合之间的运算 1、交集：{}B x A x x B A ∈∈=且|I 2、并集：{} B x A x x B A ∈∈=或|Y 3、补集：{}A x U x x A C U ?∈=,|且 四、充要条件： q p ?，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。 q p ?，p 是q 的充要条件，q 是p 的充要条件。 第二章 不等式 一、不等式的基本性质： 1、加法法则： 2、乘法法则： 3、传递性： 4、移项： 二、一元二次不等式的解法
1.如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面 ABCD ，2AD =，2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上， ∠ABM=60 。 （I ）证明：M 是侧棱SC 的中点； ()II 求二面角S AM B --的大小。 2.如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ,D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1（Ⅰ）证明：AB =AC （Ⅱ）设二面角A -BD -C 为60°,求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小 3.如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，22AC BC EB DC ====，120ACB ∠=，,P Q 分别为,AE AB 的中点．（I ）证明：//PQ 平面ACD ； （II ）求 AD 与平面ABE 所成角的正弦值． 4.如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形， PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.（Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；（Ⅱ）当2PD AB =且E 为PB 的中 点 时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小. 5.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形， PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =．以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M ． B C D E O A P B M
（1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ； （2）求直线PC 与平面ABM 所成的角； （3）求点O 到平面ABM 的距离． 6.如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ?==∠=（I ）求证：EF BCE ⊥平面； （II ）设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，求证： PM ∥BCE 平面 （III ）求二面角F BD A --的大小。 7.如图，四棱锥S -ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ,SD ＝AD ＝a ,点E 是SD 上的点，且DE ＝λa (0<λ≦1). (Ⅰ)求证：对任意的λ∈（0、1）， 都有AC ⊥BE : (Ⅱ)若二面角C -AE -D 的大小为600C ，求λ的值。 8.如图3，在正三棱柱111ABC A B C -中，AB =4, 17AA =,点D 是BC 的中点，点E 在AC 上，且DE ⊥1A E .（Ⅰ）证明：平面1A DE ⊥平面 11ACC A ;（Ⅱ）求直线AD 和平面1A DE 所成角的正弦值。 9.如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ?==∠= （I ）求证：EF BCE ⊥平面；
立体几何坐标解法典型例题 1、如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点． （Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离． 2、如图，在Rt AOB △中， π6 OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --的直二面角．D 是AB 的中点． （1）求证：平面COD ⊥平面AOB ； （2）求异面直线AO 与CD 所成角的大小． A B C D
3．(2010·上海松江区模拟)设在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝90°，E ，F 依次为C 1C ，BC 的中点． (1)求异面直线A 1B 、EF 所成角θ的正弦值； (2)求点B 1到平面AEF 的距离． 4.四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =o ∠， 2AB = ，BC = SA SB == （Ⅰ）证明SA BC ⊥； （Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小． D B C A S
5．如图，点P 是单位正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中异于A 的一个顶点，则AP →·AB → 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．0或1 D ．任意实数 5．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值等于( ) A.32 B.1010 C.35 D.25 <二>选择题辨析 [注]： ①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×） ②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交 ③若直线a 、b 异面，a 平行于平面，b 与的关系是相交、平行、在平面内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. ⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×） ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×） ⑦是夹在两平行平面间的线段，若，则的位置关系为相交或平行或异面. [注]： ①直线与平面内一条直线平行，则∥. （×） ②直线与平面内一条直线相交，则与平面相交. （×） ③若直线与平面平行，则内必存在无数条直线与平行. （√） ④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×） ⑤平行于同一直线的两个平面平行.（×） ⑥平行于同一个平面的两直线平行.（×） ⑦直线与平面、所成角相等，则∥.（×） [注]： ①垂直于同一平面．．．．的两个平面平行.（×） ②垂直于同一直线的两个平面平行.（√） ③垂直于同一平面的两条直线平行.（√） αααb a ,b a =b a ,a αa αa αa αa ααa l αβαβ
2017年高考立体几何大题（文科） 1、（2017新课标Ⅰ文数）（12分） 如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ； （2）若PA =PD =AB =DC ,90APD ∠=o ,且四棱锥P-ABCD 的体积为 83 ，求该四棱锥的侧面积.
如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,1,90.2 AB BC AD BAD ABC ==∠=∠=? （1）证明：直线BC ∥平面PAD ; （2）若△PCD 的面积为P ABCD -的体积.
如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD． （1）证明：AC⊥BD； （2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点． （Ⅰ）求证：PA⊥BD； （Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC； （Ⅲ）当PA∥平面BD E时，求三棱锥E–BCD的体积．
由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1- B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD. A O∥平面B1CD1; （Ⅰ）证明： 1 （Ⅱ）设M是OD的中点,证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.
如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD． 求证：（1）EF∥平面ABC； （2）AD⊥AC．
1.（2009北京卷）（本小题共14分） 如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上. （Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面； （Ⅱ）当2PD AB =且E 为PB 的中点时，求AE 与 平面PDB 所成的角的大小. 解:如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -， 设,,AB a PD h == 则()()()()(),0,0,,,0,0,,0,0,0,0,0,0,A a B a a C a D P h ， （Ⅰ）∵()()(),,0,0,0,,,,0AC a a DP h DB a a =-==u u u r u u u r u u u r ， ∴ 0,0AC DP AC DB ?=?=u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴AC ⊥DP ，AC ⊥DB ，∴AC ⊥平面PDB ， ∴平面AEC PDB ⊥平面. （Ⅱ）当2PD AB = 且E 为PB 的中点时，() 1120,0,2,,,22P a E a a a ?? ? ?? ?， 设AC∩BD=O，连接OE ， 由（Ⅰ）知AC ⊥平面PDB 于O ， ∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角， ∵1122,,,0,0,2222EA a a a EO a ???? =--=- ? ? ? ???? ?u u u r u u u r ， ∴2 cos 2EA EO AEO EA EO ?∠== ?u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴45AOE ?∠=，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45? . 2.(2009山东卷)（本小题满分12分） 如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。 （1） 证明：直线EE 1//平面FCC 1； （2） 求二面角B-FC 1-C 的余弦值。 E C E 1 A 1 B 1 C 1 D 1 D
实用标准文案 职高数学概念与公式 初中基础知识： 1.相反数、绝对值、分数的运算； 2.因式分解： 提公因式： xy-3x=(y-3)x 3 252(31)(2) 十字相乘法如： x x x x 配方法如： 2x2x 32( x 1 )225 48 公式法：（x+y）2=x2+2xy+y2(x-y)2=x2-2xy+y 2 x 2-y 2=(x-y)(x+y) 3.一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组的解法： （1）代入法 （2）消元法 6.完全平方和（差）公式：a22ab b2(a b)2a22ab b 2( a b) 2 7.平方差公式：2 b 2()( a ) a a b b 8.立方和（差）公式： a3b3(a b)(a2ab b 2 ) a 3 b 3(a b)( a 2ab b 2 ) 第一章集合 1.构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。 2.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图像法（文氏图）。 注： ｛ x |x,x} ；另重点类型如：｛y | y x23x1, x( 1,3]｝描述法 元素元素性质取值范围 3.常用数集： N （自然数集）、 Z （整数集）、 Q （有理数集）、 R （实数集）、 N *（正 整数集）、 Z （正整数集） 4.元素与集合、集合与集合之间的关系： （1）元素与集合是“”与“ ”的关系。 （2）集合与集合是“” “ ”“ ”“ ”的关系。 注：（1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。（做题时多考虑是否满足题意）（ 2）一个集合含有 n 个元素，则它的子集有2n个，真子集有 2n 1 个，非空真子集有 2n2 个。 5.集合的基本运算（用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法） （ 1） A B { x | x A且x B} ：A与B的公共元素（相同元素）组成的集合 （2） A B { x | x A或x B} ：A与B的所有元素组成的集合（相同元素只写一次）。
职高数学知识点总结文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）
职高数学概念与公 式 初中基础知识： 1. 相反数、绝对值、分数的运算； 2. 因式分解： 提公因式：xy-3x=(y-3)x 十字相乘法 如：)2)(13(2532 -+=--x x x x 配方法 如：8 25)4 1(23222- +=-+x x x 公式法：（x+y ）2=x 2+2xy+y 2 (x-y)2=x 2-2xy+y 2 x 2-y 2=(x-y)(x+y) 3. 一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组的解法： （1） 代入法 （2） 消元法 6.完全平方和（差）公式：222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+- 7.平方差公式：))((22b a b a b a -+=- 8.立方和（差）公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=- 第一章 集合 1. 构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。 2. 集合的三种表示方法：列举法、描述法、图像法（文氏图）。 注：?描述法 },| 取值范围 元素性质元素 ｛?∈?=x x x ；另重点类型如：｝｛]3,1(,13|y 2-∈+-=x x x y 3. 常用数集：N （自然数集）、Z （整数集）、Q （有理数集）、R （实数集）、 *N （正整数集）、+Z （正整数集） 4. 元素与集合、集合与集合之间的关系： （1） 元素与集合是“∈”与“?”的关系。 （2） 集合与集合是“?” “”“=”“?/”的关系。
空间几何体和三视图、表面积及体积1棱柱的体积公式：V=Sh，其中S是棱柱的底面积，h为 2棱锥的体积公式：V= 1 3Sh，其中S是棱锥的底面积，h为高. 1．（2016全国一卷（7））如图，学.科网某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆 中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π 3，则它的表面积是 （A）17π （B）18π （C）20π （D）28π 2.（2016全国三卷10）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 （A ）18+（B ） 54+（C）90 （D）81 3.（2016全国二卷(7)）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（A）20π（B）24π（C）28π（D）32π 4.（2016浙江9）.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是______cm2,体积是______cm3. 5.（2016天津（3））将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为 6.（2016四川）已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三菱锥的体积是。 侧视图 俯视图 7.（2016山东5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为
（A）12 +π 33（B ） 1 +π 33（C ） 1 +π 36（D ） 1+π 6 8．（2016北京11）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为 ___________. 1．[2015·全国卷Ⅰ改编] 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图10-1所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝________． 图10-1 2．[2015·安徽卷改编] 一个四面体的三视图如图10-2所示，则该四面体的表面积是________．
空间向量与立体几何典型例题 一、选择题： 1．(2008全国Ⅰ卷理)已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ C ） A ． 13 B C D ．23 1.解：C ．由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体，设棱长为a ，则1AB = ，棱柱的高 1 3AO a ===（即点1B 到底面ABC 的距离），故1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为113 AO AB =. 另解：设1,,AB AC AA u u u r u u u r u u u r 为空间向量的一组基底，1,,AB AC AA u u u r u u u r u u u r 的两两间的夹角为0 60 长度均为a ，平面ABC 的法向量为111133 OA AA AB AC =--u u u r u u u r u u u r u u u r ,11AB AB AA =+u u u r u u u r u u u r 211112,,33 OA AB a OA AB ?===u u u r u u u r u u u r u u u r 则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为11 1 13OA AB AO AB ?=u u u u r u u u r u u u r u u u r . 二、填空题： 1．(2008全国Ⅰ卷理)等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角 C AB D -- M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 6 1 ． 1.答案： 1 6 .设2AB =，作CO ABDE ⊥面， OH AB ⊥，则CH AB ⊥，CHO ∠为二面角C AB D -- cos 1CH OH CH CHO ==?∠=，结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，则AN EM ==11(),22AN AC AB EM AC AE =+=-u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r , 11()()22AN EM AB AC AC AE ?=+?-=u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r 12 故EM AN ，所成角的余弦值1 6 AN EM AN EM ?=u u u r u u u u r u u u r u u u u r 另解：以O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),A B E C ----,
第四章 指数函数与对数函数 复习卷 【知识点】 1、指数和幂概念的推广：正整数指数幂：a n ＝a ·a ·…·a ；零指数幂：x 0= （0≠x ）， 负整数指数幂：=-n x （0≠x ，+∈N n ）；正分数指数幂：=n m x ， 负分数指幂数=-n m x （1,,>∈+n N n m ） 2、实数指数幂的运算法则：=?n m a a ，=n m a )( ，=m ab ) ( ， =n m a a ，=n b a )( （)0,0,,>>∈+ b a N n m 3、幂函数：（1）形如 （0≠α）叫做幂函数。 （2）图象及性质：当0>α时，图象都通过点 和 ， 在区间),0(+∞内，函数是 （增、减）函数；当0<α时，图象都通过点 ，在区间),0(+∞内，函数是 （增、减）函数，在第一象限内，图象向上与y 轴无限靠近，向右与x 轴无限靠近。 4、 对数及对数运算法则： （1）对数定义：若N a b =（10≠>a a 且，0>N ），则称b 为以a 为底，N 的对数，记作 ，并称a 为对数的 ，N 为 。 以10为底的对数叫 ，记作 ；以e 为底的对数叫 ，记作 。 注：指数形式N a b =与对数形式N b a log =实质是同一关系的不同表示方法，即指数式 与对数式可以相互转换。 （2）对数性质： 零和负数没有对数；1的对数为 ，即 ；底的对数为 ，即 ；对数恒等式 、 。 （3）对数运算法则： =)(log MN a ；=N M a log ；
=n a M log ；=n a M log 。 （其中10≠>a a 且，任意0,>N M ，R n ∈） （4）对数换底公式与倒数公式：=N a log 5、指数函数与对数函数： （1）定义：我们把函数 （a 为常数且10≠>a a 且）叫做指数函数。 （2） 函数 （10≠>a a 且）叫做以a 为底的对数函数。 （3）图象与性质： 对数函数与指数函数关系：对数函数是指数函数的逆对应；对数函数x y a log =的图象与指数函数x a y =的图象关于 ；
数学知识要点总结 初中基础知识： 1. 相反数、绝对值、分数的运算； 2. 因式分解： 提公因式：xy-3x=(y-3)x 十字相乘法 如：)2)(13(2532 -+=--x x x x 配方法 如：8 25 )41(23222-+=-+x x x 公式法：（x+y ）2=x 2+2xy+y 2 (x-y)2=x 2-2xy+y 2 x 2-y 2=(x-y)(x+y) 3. 一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组的解法： （1） 代入法 （2） 消元法 6.完全平方和（差）公式：222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+- 7.平方差公式：))((22b a b a b a -+=- 8.立方和（差）公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=- 第一章 集合 1. 构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。 2. 集合的三种表示方法：列举法、描述法、图像法（文氏图）。 注：?描述法 },| 取值范围 元素性质元素 ｛?∈?=x x x ；另重点类型如：｝｛]3,1(,13|y 2-∈+-=x x x y 3. 常用数集：N （自然数集）、Z （整数集）、Q （有理数集）、R （实数集）、*N （正整数集）、+Z （正整数集） 4. 元素与集合、集合与集合之间的关系： （1） 元素与集合是“∈”与“?”的关系。 （2） 集合与集合是“?” “”“=”“?/”的关系。 注：（1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。（做题时多考虑φ是否满足题意） （2）一个集合含有n 个元素，则它的子集有n 2个，真子集有12-n 个，非空真子集有22-n 个。 5. 集合的基本运算（用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法） （1）}|{B x A x x B A ∈∈=且 ：A 与B 的公共元素（相同元素）组成的集合 （2）}|{B x A x x B A ∈∈=或 ：A 与B 的所有元素组成的集合（相同元素只写一次）。
2015-2017立体几何高考真题 1、（2015年1卷6题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 【答案】B 【解析】设圆锥底面半径为r ，则12384r ??==16 3 r =，所以米堆的体积为211163()5433????=320 9 ，故堆放的米约为 320 9 ÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式 2、（2015年1卷11题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 【答案】B 【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为221 42222 r r r r r r πππ?+?++?=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故选B. 考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式 3、（2015年1卷18题）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE=2DF ，AE ⊥EC.
职高数学概念及公式 初中基础知识： 1. 相反数、绝对值、分数的运算； 2. 因式分解： 提公因式：3(3)x 十字相乘法 如：)2)(13(2532 -+=--x x x x 配方法 如：8 25)41(23222- +=-+x x x 公式法：（）22+22 ()22-22 x 22=()() 3. 一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组的解法： （1） 代入法 （2） 消元法 6.完全平方和（差）公式：222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+- 7.平方差公式：))((22b a b a b a -+=- 8.立方和（差）公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=- 第一章 集合 1. 构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。 2. 集合的三种表示方法：列举法、描述法、图像法（文氏图）。 注：?描述法 },| 取值范围 元素性质元素 ｛?∈?=x x x ；另重点类型如：｝｛]3,1(,13|y 2-∈+-=x x x y 3. 常用数集：N （自然数集）、Z （整数集）、Q （有理数集）、R （实数集）、* N （正整数集）、+Z （正整数集） 4. 元素及集合、集合及集合之间的关系： （1） 元素及集合是“∈”及“?”的关系。 （2） 集合及集合是“?” “”“=”“?/”的关系。 注：（1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。（做题时多考虑φ是
否满足题意） （2）一个集合含有n 个元素，则它的子集有n 2个，真子集有12-n 个，非空真子集有22-n 个。 5. 集合的基本运算（用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法） （1）}|{B x A x x B A ∈∈=且 ：A 及B 的公共元素（相同元素）组成的集合 （2）}|{B x A x x B A ∈∈=或 ：A 及B 的所有元素组成的集合（相同元素只写一次）。 （3）A C U ：U 中元素去掉A 中元素剩下的元素组成的集合。 注：B C A C B A C U U U =)( B C A C B A C U U U =)( 6. 逻辑联结词： 且（∧）、或（∨）非（?）如果……那么……（?） 量词：存在（?） 任意（?） 真值表： q p ∧：其中一个为假则为假，全部为真才为真； q p ∨：其中一个为真则为真，全部为假才为假； p ?：及p 的真假相反。 （同为真时“且”为真，同为假时“或”为假，真的“非”为假，假的“非”为真；真“推”假为假，假“推”真假均为真。） 7. 命题的非 （1）是→不是 都是→不都是（至少有一个不是） （2）?……，使得p 成立→对于?……，都有p ?成立。 对于?……，都有p 成立→?……，使得p ?成立 （3）q p q p ?∨?=∧?)( q p q p ?∧?=∨?)(
（2018 文 I ）在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =?∠，以AC 为折痕将ACM △折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥． ⑴证明：平面ACD ⊥平面ABC ； ⑵Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且2 3 BP DQ DA == ，求三棱锥Q ABP - 的体积．（2018 文 I I ）如图，在三棱锥P ABC - 中，AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点． （1）证明：PO ⊥平面ABC ； （2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离．
A B C P O M （2018 文 III ）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点． ABCD A CD M A CD C D ⑴证明：平面平面； AMD⊥BMC ⑵在线段上是否存在点，使得平面？说明理由． AM P MC∥PBD
（2017 文 I ）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90 BAP CDP ∠=∠= （1）证明：平面PAB⊥平面PAD ； （2）若PA=PD=AB=DC,,且四棱锥P-ABCD 的体积为，求该四棱锥的侧面积. 90APD ∠= 8 3（2017 文 II ）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面, P ABCD -PAD ABCD 1 ,2AB BC AD BAD == ∠90. ABC =∠=?
（1）证明：直线平面; BC ∥PAD （2）若△的面积为，求四棱锥的体积. PCD P ABCD （2017 文 III ）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD=CD ．（1）证明：AC⊥BD； （2）已知△ACD 是直角三角形，AB=BD ．若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．
高中数学立体几何经典常考题型 题型一:空间点、线、面的位置关系及空间角的计算 空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂直关系的证明，一般出现在解答题的第(1)问，解答题的第(2)问常考查求空间角，求空间角一般都可以建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标运算求解. 【例1】如图，在△ABC 中，∠ABC ＝ π4 ，O 为AB 边上一点，且3OB ＝3OC ＝2AB ，已知PO ⊥平 面ABC ，2DA ＝2AO ＝PO ，且DA ∥PO. (1)求证：平面PBD ⊥平面COD ； (2)求直线PD 与平面BDC 所成角的正弦值. (1)证明 ∵OB ＝OC ，又∵∠ABC ＝π 4， ∴∠OCB ＝π4，∴∠BOC ＝π 2. ∴CO ⊥AB. 又PO ⊥平面ABC ， OC ?平面ABC ，∴PO ⊥OC. 又∵PO ，AB ?平面PAB ，PO ∩AB ＝O ， ∴CO ⊥平面PAB ，即CO ⊥平面PDB. 又CO ?平面COD ， ∴平面PDB ⊥平面COD. (2)解 以OC ，OB ，OP 所在射线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 设OA ＝1，则PO ＝OB ＝OC ＝2，DA ＝1. 则C(2，0，0)，B(0，2，0)，P(0，0，2)，D(0，－1，1)， ∴PD →＝(0，－1，－1)，BC →＝(2，－2，0)，BD →＝(0，－3，1).
设平面BDC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∴?????n ·BC →＝0，n · BD →＝0，∴???2x －2y ＝0，－3y ＋z ＝0， 令y ＝1，则x ＝1，z ＝3，∴n ＝(1，1，3). 设PD 与平面BDC 所成的角为θ， 则sin θ＝????? ? ??PD →·n |PD →||n | ＝??????1×0＋1×（－1）＋3×（－1）02＋（－1）2＋（－1）2×12＋12＋32＝222 11. 即直线PD 与平面BDC 所成角的正弦值为22211. 【类题通法】利用向量求空间角的步骤 第一步：建立空间直角坐标系. 第二步：确定点的坐标. 第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标. 第四步：计算向量的夹角(或函数值). 第五步：将向量夹角转化为所求的空间角. 第六步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范. 【变式训练】 如图所示，在多面体A 1B 1D 1-DCBA 中，四边形AA 1B 1B ，ADD 1A 1，ABCD 均为正方形，E 为B 1D 1的中点，过A 1，D ，E 的平面交CD 1于F . (1)证明：EF ∥B 1C . (2)求二面角E -A 1D -B 1的余弦值. (1)证明 由正方形的性质可知A 1B 1∥AB ∥DC ，且A 1B 1＝AB ＝DC ，所以四边形A 1B 1CD 为平行四边形，从而B 1C ∥A 1D ，又A 1D ?面A 1DE ，B 1C ?面A 1DE ，于是B 1C ∥面A 1DE.又B 1C ?面B 1CD 1，面A 1DE ∩面B 1CD 1＝EF ，所以EF ∥B 1C.
职教单招数学总复习 中职数学基础知识汇总 预备知识： 1.完全平方和（差）公式：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 2.平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 3.立方和（差）公式：a3+b 3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a 2+ab+b2) 第一章集合 1.构成集合的元素必足三要素：确定性、互异性、无序性。 2.集合的三种表示方法：列法、描述法、像法（文氏）。 3.常用数集： N（自然数集）、 Z （整数集）、 Q（有理数集）、 R（数集）、 N +（正整数集） 4.元素与集合、集合与集合之的关系： （1）元素与集合是“”与“ ”的关系。 （2）集合与集合是“í” “ ”“=”“/í”的关系。 注：（ 1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。（做多考Ф是否足意） （ 2）一个集合含有 n 个元素，它的子集有2n个，真子集有 2n-1 个，非空真子集有2n-2 个。 5.集合的基本运算（用描述法表示的集合的运算尽量用画数的方法） （1）A B = { x | x 挝A且x B}：A与B的公共元素成的集合 （2）A B = { x | x 挝A或 x B}：A与B的所有元素成的集合（相同元素只写一次）。 （ 3）C U A：U中元素去掉A中元素剩下的元素成的集合。 注： C U(A B) C U A C U B C U(A B)=C U A C U B 6.会用文氏表示相的集合，会将相的集合画在文氏上。 7. 充分必要条件: p是q的??条件p 是条件， q 是 如果 p q，那么 p 是 q 的充分条件 ;q 是 p 的必要条件 . 如果 p q，那么 p 是 q 的充要条件 第二章不等式1.不等式的基本性：（略） 注：（ 1）比两个数的大小一般用比差的方法；另外可以用平方法、倒数法。 （2）不等式两同乘以数要号！！ （3）同向的不等式可以相加（不能相减），同正的同向不等式可以相乘。 2.重要的不等式： （ 1）a2b22ab ，当且当 a b ，等号成立。 （ 2）a b ab a b R 2 ( , ) ，当且当 a b ，等号成立。（3） 注：a b （算平均数）ab （几何平均数）2 3.一元一次不等式的解法（略） 4.一元二次不等式的解法 （1）保二次系数正 （2）分解因式（十字相乘法、提取公因式、求根公式法），目的是求根：