2018-2019学年度高二下学期期末考试
数学试卷(理科)
第I 卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}
2
20A x x x =--≤，{}
ln(1)B x y x ==-，则A
B =（ ）
A. (1,2)
B. [1,1)-
C. (1,2]
D. (1,1)-
【答案】B 【解析】 【分析】
分别计算集合A 和B ，再计算A B .
【详解】{}{
}
2
2012A x x x x x =--≤=-≤≤
{}{}ln(1)1B x y x x x ==-=<
[1,1)A
B =-
故答案选B
【点睛】本题考查了集合的交集，属于简单题.
2.若复数z 满足，24iz i =+（i 为虚数单位）则在复平面内z 对应的点的坐标是（ ） A. (2,4) B. (2,4)-
C. (4,2)-
D. (4,2)
【答案】C
【解析】 【分析】 化简复数2442i
z i i
+=
=-得到答案. 【详解】242442i
iz i z i i
+=+?=
=- 在复平面内z 对应的点的坐标是(4,2)- 故答案选C
【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.
3.已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ,(4)0.2P ξ>=,则(0)P ξ<= A. 0.8 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.2
【答案】D 【解析】 略
4.《高中数学课程标准》(2017 版)规定了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘
制了雷达图(如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是（ ）
(注:雷达图(Radar Chart)，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图(Spider Chart)，可用于对研究对象的多维分析)
A. 甲的数据分析素养高于乙
B. 甲的数学建模素养优于数学抽象素养
C. 乙的六大素养中逻辑推理最差
D. 乙的六大素养整体水平优于甲
【答案】D
【解析】
【分析】
根据雷达图，依次判断每个选项的正误得到答案.
【详解】根据雷达图得甲的数据分析素养低于乙，所以A错误
根据雷达图得甲的数学建模素养等于数学抽象素养，所以B错误
根据雷达图得乙的六大素养中数学建模和数学抽象最差，所以C错误
根据雷达图得乙整体为27分，甲整体为22分，乙的六大素养整体水平优于甲，所以D正确
故答案选D
【点睛】本题考查了雷达图，意在考查学生解决问题的能力.
5.函数
31
()
(13)
x
x
f x
x
+
=
-
的图象的大致形状为（）
A. B. C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
取特殊值排除得到答案.
【详解】
31
()(1)20
(13)
x
x
f x f
x
+
=?=-<
-
，排除ACD
故答案选B
【点睛】本题考查了函数图像的判断，特殊值可以简化运算.
6.如表是某厂节能降耗技术改造后，在生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：
若根据如表提供的数据，用最小二乘法可求得y 对x 的回归直线方程是0.70.35y x =+，则表中m 的值为（ ） A. 4 B. 4.5
C. 3
D. 3.5
【答案】A 【解析】 由题意可得11
(3+4+5+6)=4.5,(2.53 4.5)0.25 2.544
x y m m =
=+++=+，故样本中心为(4.5,0.25 2.5)m +。因为回归直线过样本中心，所以0.25 2.50.7 4.5m +=?
0.35+，解得4m =。选A 。
7.1()n
x x
-的展开式中只有第5项系数最大，则展开式中含2x 项的系数是（ ）
A. 56
B. 35
C. 56-
D. 35-
【答案】C 【解析】 【分析】
根据只有第5项系数最大计算出n ，再计算展开式中含2x 项的系数
【详解】2111()()(1)n r n r r r r n r
r n n x T C x C x
x x --+-?=-=-
只有第5项系数最大,8n =
展开式中含2x 项的系数,882181()(1)3r r r
r x T C x
r x -+-?=-?= 系数为3
3
8(1)56C ?-=-
故答案选C
【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.
8.将函数()2sin 26f x x π??
=+
??
?
的图像向右平移
6
π
个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数()g x 1
B. 函数()g x 的最小正周期为π
C. 函数()g x 的图象关于直线3
x π
=
对称
D. 函数()g x 在区间2,63ππ??
????
上单调
递增 【答案】D 【解析】 【分析】
根据平移变换和伸缩变换的原则可求得()g x 的解析式，依次判断()g x 的最值、最小正周期、对称轴和单调性，可求得正确结果. 【详解】函数()f x 向右平移
6π个单位长度得：2sin 22sin 2666x x πππ?????
?-+=- ? ????
????? 横坐标伸长到原来的2倍得：()2sin 6g x x π??=- ??
?
()g x 最大值为2，可知A 错误； ()g x 最小正周期为2π，可知B 错误；
3
x π
=
时，6
6
x π
π
-
=
，则3
x π
=
不是()g x 的对称轴，可知C 错误；
当2,
6
3x ππ??
∈????
时，0,62x π
π??
-
∈????
，此时()g x 单调递增，可知D 正确. 本题正确选项：D
【点睛】本题考查三角函数平移变换和伸缩变换、正弦型函数的单调性、对称性、值域和最小正周期的求解问题，关键是能够明确图象变换的基本原则，同时采用整体对应的方式来判断正弦型函数的性质.
9.设ABC ?是边长为2的正三角形，E 是BC 的中点，F 是AE 的中点，则()AB FB FC ?+的值为（ ） A. 1- B. 0
C. 2
D. 3
【答案】D 【解析】 【分析】
将,AB AC 作为基向量，其他向量用其表示，再计算得到答案.
【详解】设ABC ?是边长为2的正三角形，E 是BC 的中点，F 是AE 的中点，
()()()AB FB FC AB FA AB FA AC AB AB AC AE ?+=?+++=?+-
1(())2AB AB AC AB AC =?+-+21111
()1232222
AB AC AB AB AC AB =?+=?+=+=
故答案选D
【点睛】本题考查了向量的乘法，将,AB AC 作为基向量是解题的关键.
10.甲、乙、丙三人每人准备在3个旅游景点中各选一处去游玩，则在“至少有1个景点未被选择”的
条件下，恰有2个景点未被选择的概率是（ ） A.
17
B. 1
8
C.
114
D.
314
【答案】A 【解析】 【分析】
设事件A 为：至少有1个景点未被选择，事件B 为：恰有2个景点未被选择,计算()P AB 和
()P A ,再利用条件概率公式得到答案.
【详解】设事件A 为：至少有1个景点未被选择，事件B 为：恰有2个景点未被选择
331()39P AB == 3
337
()139
A P A =-=
()1
()()7
P AB P B A P A =
=
故答案选A
【点睛】本题考查了条件概率，意在考查学生对于条件概率的理解和计算.
11.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线的22
221(0,0)x y a b a b
-=>>右支与焦点为F 的抛物线
22(0)x py p =>交于A ，B 两点，
若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. 2
y x =±
B. y =
C. 2
y x =±
D.
y =
【答案】A 【解析】 【分析】
根据抛物线定义得到A B y y p +=
，再联立方程得到2
2
2A B pb y y p a a
+==?=得到答案.
【详解】由抛物线定义可得：
||||4222
A B A B p p p
AF BF y y y y p +=+
++=??+= , 因为22
2222222
21202x y a y pb y a b a b x py ?-
=??-+=??=?
,
所以2
2
2A B pb y y p a a
+==?=
渐近线方程为y x =.
故答案选A
【点睛】本题考查抛物线，双曲线的渐近线，意在考查学生的计算能力.
12.若函数2
()ln x f x x
=与函数()ln 2h x x ax =-的图象有三个交点，则实数a 的取值范围是
（ ） A. 211(,
)e e
-∞- B. 1(,
)22
e e -∞- C. 211(
,0)e e
- D.
1(
,0)22
e
e - 【答案】B 【解析】 【分析】
通过参数分离得到ln 22ln x x a x x =
-，换元法设ln x t x =，画出函数ln x t x =和1
22t a t
=-的图像，根据图像有三个交点得到范围.
【详解】若函数2
()ln x f x x =与函数()ln 2h x x ax =-的图象有三个交点
2ln ln 2ln 22ln x x x
x ax a x x x
=-?=-
有三个解. 设ln 1
(0)22x t t x a x t
=
≠?=- 2
ln 1ln 'x x t t x x -=
?=当x e >时单调递减，当0x e <<单调递增.max 1
t e
= 画出图像：
1
22t a t
=
-是奇函数且0t >是单调递增
1
22t a t
=
-有两个解，设为120,0t t <> 1ln x
t x
=有一个解，图象有三个交点 2ln x t x =
必须是两个解211022
e
t a e e ?<
- 故答案为B
【点睛】本题考查了函数的零点问题，参数分离换元法是解题的关键.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案写在答题卡相应题的横线上.
13.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若57915a a a ++=，则13S =________. 【答案】65
【解析】 【分析】
根据等差数列的性质得到75a =，再计算13S 得到答案. 【详解】已知等差数列579
77153155a a a a a ++=?=?=
113137()13
13652
a a S a +?=
==
故答案为65
【点睛】本题考查了等差数列的性质，前N 项和，利用性质可以简化运算.
14.给出下列命题： ①“1a >”是“
1
1a
<”的充分必要条件； ②命题“若21x <，则1x <”的否命题是“若21x ≥，则1x ≥”；
③设x ，y R ∈，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要不充分条件； ④设a ，b R ∈，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件. 其中正确命题的序号是_________. 【答案】②④ 【解析】 【分析】
逐项判断每个选项的正误得到答案. 【详解】①当1a =-时，1
1a
<成立，但1a >不成立，所以不具有必要性，错误
②根据否命题的规则得命题“若21x <，则1x <”的否命题是“若21x ≥，则1x ≥”；，正确.
③因为2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的充分不必要条件，所以错误
④因为00ab a ≠?≠且0b ≠，所以“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件.正确. 故答案为②④
【点睛】本题考查了充分必要条件，否命题，意在考查学生的综合知识运用.
15.已知()f x 是定义R 在上的奇函数，当0x ≥时，2()ln(1)f x x x =++，则不等式
(21)1ln 2f x +>+的解集为_________.
【答案】(0,)∞ 【解析】 【分析】
求导根据导数判断函数是单调递增的，再利用(21)(1)f x f +>解得答案.
【详解】当0x ≥时，
22
2()ln(1)'()10,(0)01x
f x x x f x f x
=++?=
+>=+ ()f x 是定义R 在上的奇函数 ()f x 是在R 上单调递增
(21)1ln 2(1)2+110f x f x x +>+=?>?>
故答案为(0,)∞
【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，判断函数在R 上单调递增是解题的关键.
16.我国南北朝时期数学家祖瞘，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，其中“幂”是截面积，“势” 是几何体的高，该原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图，在空间直角坐标系中的xoy平面内，若函数
1,[1,0]
()
1,(0,1]
x x
f x
x x
?+∈-
?
=?
-∈
??
的图象与轴x围城一个封闭的区域A，将区域A沿z轴的正方向平移2个单位长度，得到几何体（图一），现有一个与之等高的圆柱（图二），其底面积与区域A的面积相等，则此圆柱的体积为 _______.
图一图二
【答案】
7
3
【解析】
【分析】
先利用定积分计算底面面积，再用体积公式得到答案.
【详解】
1,[1,0]
()
1,(0,1]
x x
f x
x x
?+∈-
?
=?
-∈
??
的图象与轴x围城一个封闭的区域A
13
2
2
10
01
217
1(1)(1)(1)
10
326
A
S x dx x dx x x
-
=++-=+--=
-
?
77
263A V S h ==?=
故答案为7
3
【点睛】本题考查了体积的计算，意在考查学生解决问题的能力.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17~21题为必答题，每个考生都必须作答.第22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
17.某企业为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取100件产品作为样本称出它们的质量(单位：毫克)，质量值落在(175,225]的产品为合格品，否则为不合格品。如表是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图。
(225,235]
5
（1）根据乙流水线样本的频率分布直方图，求乙流水线样本质量的中位数（结果保留整数）；
（2）由以上统计数据完成22?列联表，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为产品包装是否合格与两条自动包装流水线的选择有关？
甲流水线 乙流水线 总计
合格品
不合格品
总计
下列临界值表仅供参考：
20()P K k ≥ 0.15
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
【答案】（1）210；（2）详见解析. 【解析】 【分析】
（1）先判断中位数在第四组，再根据比例关系得到(195)0.0340.310.5x -?+=计算得到答案.
（2）完善列联表，计算2K ，与临界值表作比较得到答案.
【详解】解：（1）因为前三组的频率之和10(0.0020.0090.020)0.310.5?++=< 前四组的频率之和 10(0.0020.0090.0200.034)0.650.5?+++=> 所以中位数在第四组，设为x
由(195)0.0340.310.5x -?+=，解得210x ≈
（2）由乙流水线样本的频率分布直方图可知，合格品的个数为100(10.04)96?-=， 所以，22?列联表是：
不合格品 8 4 12
总计
100 100 200
所以2K 的观测值
2()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++2
200(924968) 1.418 2.07210010018812
?-?=≈
故在犯错误的概率不超过0.15的前提下，不能认为产品的包装是否合格与两条自动包装流水线的选择有关．
【点睛】本题考查了中位数的计算，独立性检验，意在考查学生的计算能力和解决问题的能力.
18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，M 点在线段PB 上，//PD 平面MAC ，6PA PD ==，4AB =.
（1）求证：M 为PB 的中点；
（2）求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值.
【答案】（1）详见解析；（2
.
【解析】 【分析】
（1）//PD 平面MAC ， 得到//PD OM ，
BO BM
BD BP
=，M 为PB 的中点. （2）以G 为坐标原点，分别以GD 、GO 、GP 所在直线为x 、y 、z 轴距离空间直角坐标系，计算各个点坐标，平面BDP 的法向量为(1,1,2m =，利用向量夹角公式得到答案.
【详解】解:⑴证明：如图，设AC BD O =，ABCD 为正方形，O ∴为BD 的中点，
连接OM
//PD 平面MAC ，
PD ?平面PBD ，
平面PBD 平面AMC OM =，
//PD OM ∴
则
BO BM
BD BP
=，即M 为PB 中点；
（2）解：取AD 中点G ，PA PD =，PG AD ∴⊥，平面PAD ⊥ 平面ABCD ，
且平面PAD 平面ABCD AD = ，PG ∴⊥平面ABCD ，则PG AD ⊥，连接OG ，则
PG OG ⊥
，由G 是AD 的中点，O 是AC 的中点，可得//OG DC ，则OG AD ⊥．
以G 为坐标原点，分别以GD 、GO 、GP 所在直线为x 、y 、z 轴距离空间直角坐标系
由6PA PD ==，4AB =，得(2,0,0)D ，
(2,0,0)A -，(0,0,2)P ，(2,4,0)C ，
(2,4,0)B -，2(1,2,)2
M -，
()
2,0,2DP =-，()4,4,0DB =--.
设平面的一个法向量为(),,m x y z =，
则由00m DP m DB ??=??=?
，得220
440x z x y ?-+=??-+=??，取2z =，得()
1,1,2m =.
23,2,2CM ??
=-- ? ??
?， ∴直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为：
cos ,CM m CM m CM m
?<>=
=
426
9
1
942
2
-=
++?.
【点睛】本题考查了线面平行，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
19.甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为
2
3
.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没有影响且无平局.求：
2019高二（下）期末数学试卷（理科） 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．在复平面内，复数z 对应的点与复数 对应的点关于实轴对称，则复数z=（ ） A ．﹣1﹣i B ．1+i C ．2i D ．﹣1+i 2．某年龄段的女生体重y （kg ）与身高x （cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的线性回归直线方程为=0.85x ﹣85.71，给出下 列结论，则错误的是（ ） A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．若该年龄段内某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg C ．回归直线至少经过样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ）中的一个 D ．回归直线一定过样本点的中心点（，） 3．设随机变量ξ～N （2，9），若P （ξ＞c +3）=P （ξ＜c ﹣1），则实数c 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 4．定积分 dx 的值是（ ） A ． +ln2 B ． C ．3+ln2 D ． 5．下列说法正确的是（ ） A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真 B ．“?x ∈R ，x 3﹣x 2+1≤0”的否定是“?x ∈R ，x 3﹣x 2+1＞0” C ．命题“若a 2+b 2=0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则a 2+b 2≠0” D ．若命题“￢p”与“p 或q”都是真命题，则命题q 一定是真命题 6．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（ ） A ． B ． C ． D ． 7．“x ＜2”是“ln （x ﹣1）＜0”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【一】选择题：本大题共12小题，每题5分，总分值60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合要求的． 1．命题〝假设2x =，那么2 320x x -+=〞的逆否命题是〔 〕 A 、假设2x ≠，那么2320x x -+≠ B 、假设2320x x -+=，那么2x = C 、假设2320x x -+≠，那么2x ≠ D 、假设2x ≠，那么2 320x x -+= 2．〝直线l 垂直于ABC △的边AB ，AC 〞是〝直线l 垂直于ABC △的边BC 〞的 〔 〕 A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件 C 、充要条件 D 、既非充分也非必要条件 3 ．过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点．假设AB 中点M 到抛物线 准线的距离为6，那么线段AB 的长为〔 ) A 、6 B 、9 C 、12 D 、无法确定 4．圆 042 2=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为 ( ) A 、023=-+y x B 、043=-+y x C 、043=+-y x D 、023=+-y x 5．圆心在抛物线x y 22=上，且与x 轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 〔 〕 A 、0 122 2 =+--+y x y x B 、041 222=- --+y x y x C 、0 122 2 =+-++y x y x D 、 041222=+ --+y x y x 6．在空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标为分别为(0,0,2)，(2,2,0)， (0,2,0)，(2,2,2)．那么该四面体在xOz 平面的投影为〔 〕
高二语文 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准号证号填写在答题卡上，并将自己的姓名、准考证号、座位号填写在本试卷上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。涂写在本试卷上无效。 3.作答非选择题时，将答案写在答题卡上，书写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、现代文阅读（36分） （一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分） 阅读下面的文字，完成1~3题。 “法与时转则治，治与世宜则有功”（《韩非子》），这种强调法度顺应时代变化而变化的思想作为文化自新的一种体现，在汉代法律思想嬗变及传统社会法律思想确立的过程中展现得淋漓尽致。 汉初，统治者在法律思想上明确提出了“以道统法”之说，表明黄老学说也肯定法律在治国中能发挥积极的作用，但同时强调在制定和实施法律时，要遵循“道”的原则和精神。汉初黄老思想家对法家理论采取了较为理性的态度，既批判严刑苛法对社会关系的破坏作用，又认识到立法制刑、悬赏设罚具有分别是非、明辨好恶、审察奸邪、消弭祸乱的积极意义。而道的核心观念之一就是“无动而不变，无时而不移”，所以汉初又提出“法随时变”的观点，这也与法家“法与时转则治”的理论相契合。受黄老思想影响，汉初往往“木诎于文辞”者被重用，“吏之言文深刻，欲务声名者，辄斥去之”，“口辩”“文深”甚至成为晋职的障碍。黄老政治对汉初经济的恢复居功至伟，但无为而治繁荣了经济的同时，也造成社会矛盾的不断酝酿、积聚。在这种情况下，汉武帝采取积极有为的态度应对各种社会问题，在政治、军事等方面都进行了顺应时代的变革和创新。在这样的时代背景之下，黄老之学显然已经不再适应社会的变化，儒家思想进而