![q超几何级数 2Φ0[a,bz]的两个基本恒等式及其一些应用](https://img.doczj.com/imge0/06r1d90ga25xmuhd0jg9-01.webp)
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第18卷第4期数学研究与评论V o l.18N o.4 1998年11月JOU RNAL O F M A TH E M A T I CAL R ESEA RCH AND EXPO S IT I ON N ov.1998
q超几何级数250[a,b;z]的两个基本恒等式及其一些应用Ξ
魏鸿增 张谊宾
(河北师范大学数学系,石家庄050091)
摘 要 本文由有限域上交错矩阵方程X K2ΤX′=0的解数公式得到q超几何级数250的一个基本恒等式,并且用它能直接把一些特殊矩阵的这类方程的解数由函数250表出.另
外还用250的一个恒等式得出F q上m阶特殊矩阵的个数.
关键词 q超几何级数,矩阵方程,特殊矩阵.
分类号 AM S(1991)05E15 CCL O157.1
1 引 言
熟知二项系数m
k
的q模拟是高斯二项系数
m
k q
=
(q m-1)(q m-1-1)…(q m-k+1-1)
(q k-1)(q k-1-1)…(q-1).
(1)
对于超几何级数s F t a1,…,a s
b1,…,b t
;z也有相应的q模拟,即q超几何级数
s5t
a1,…,a s
b1,…,b t
;z=∑
r
r=0
(a1)r…(a s)r z r
(b1)r…(b t)r(q)r,
(2)
这里(a)r=(1-a)(1-aq)…(1-aq r-1),且(a)0=1.因此(2)是a1,…,a s,b1,…b t,q与z的函数,且依定义
250[a,b;z]=∑∞
r=0
(a)r(b)r
(q)r z
r.(3)
由分拆及子空间计数等问题引入的高斯二项系数除了简化表达外,还具有一系列约简计算的
性质.对于q超几何级数来说同样也有约简公式和简化计算的作用.因此一些计数公式考虑它能否用q超几何级数表达常常是重要的.
设F q是q元有限域,F q上两个n阶矩阵A,B说是同步的,如果存在非奇异矩阵T使得TA T′=B.把F q上适合方程X A X′=O(m)的m×n矩阵解X的个数记作n m×n(A,O),易知若
A同步于B,则n m×n(A,0)=n m×n(B,0).因此将总用矩阵的同步标准形决定的矩阵方程来讨论解数公式.本文首先由交错矩阵方程的解数公式证明250的一个恒等式,然后利用该式直接推出本文所得到的一些特殊矩阵方程解数公式的q超几何级数表示.另外还应用恒等式250
Ξ1995年11月23日收到.1998年5月20日收到修改稿.国家自然科学基金资助项目、河北省教委科研项目.
[c ,q -n ;q ]=c n
给出有限域F q 上m 阶特殊矩阵个数的证明.本文的术语、符号多采自[1].
2 从交错矩阵方程解数得到250的恒等式
设q 是任意素数p 的方幂,则有限域F q 上任何m 阶交错矩阵由[1]定理3.1知必同步于
0I
(Τ)
-I
(Τ)
O
(m -2Τ)
,
这里0≤2Τ≤m ,Τ称为指数.显然交错矩阵的秩为偶数,且2Τ阶非奇异交错矩阵的同步标准
K 2Τ=
0I
(Τ)
-I
(Τ)
.
定义辛群S p 2Τ(F q )={T ∈GL n (F q ) T K 2ΤT ′=K 2Τ}以及它在F q 上2Τ维行向量空间F (2Τ)
q 上的作
用:
F (2Τ)
q ×S p 2Τ(F q )→F (2Τ)
q ,
((x 1,x 2,…,x 2Τ),T )→(x 1,x 2,…,x 2Τ)T .
把具有这个作用的F (2Τ)q 称为2Τ维辛空间且仍记为F (2Τ)q .设P 是F (2Τ)
q 的一个k 维子空间.m ×
2Τ矩阵X 叫做子空间P 的一个矩阵表示,如果它的行向量是P 的生成元.k 维子空间P 的k
×2Τ矩阵表示特别仍记为P .F (2Τ)
q 的一个k 维子空间称为全迷向或(k ,0)型的,如果P K 2ΤP ′=
O (k )
.把F q 上适合方程
X K 2ΤX ′=O
(m )
(4)
的解m ×2Τ矩阵X 和秩k 的m ×2Τ矩阵X 的个数分别记作n (K 2Τ,O (m )
)和n (K 2Τ,O
(m )
;k ).
引理2.1 秩k 的m ×2Τ矩阵X 是(4)的一个解当且仅当X 是辛空间F (2Τ)
q 里一个(k ,0)型子空间P 的m ×2Τ矩阵表示.
证明 设X 适合(4).由rank X =k 有X =T P ,这里T 是秩k 的m ×k 矩阵,P 是秩k 的k ×2Τ矩阵.以T 为前k 列作m 阶非奇异矩阵M ,那么X =M P
,且由(4)推出P K 2ΤP ′=O (k )
.
这样P 的k 个行向量生成辛空间F (2Τ)
q
中一个(k ,0)型子空间P ,它以X 为矩阵表示.反之,若
F (2Τ)
q
中(k ,0)型子空间P 以m ×2Τ矩阵X 为矩阵表示,那么rank X =k 且子空间P 有秩k 的
k ×2Τ矩阵表示P 适合P K 2ΤP ′
=0.又矩阵P 的k 个行向量是子空间P 的基,因此存在秩k 的m ×k 矩阵T 使X =T P 从而X 适合(4).
定理2.2 设0≤k ≤Τ,那么
n (K 2Τ,O (m )
;k )=q k
2
m k
q ∏Τ
i =Τ
-k +1(q
2i
-1),(5)n (K 2Τ,O
(m )
)=
∑
m in{Τ,m }
k =0
q
k
2
m k
q ∏
Τ
i =Τ
-k +1(q 2i -1).
(6)
证明 对(k ,0)型子空间P 的一个取定k ×2Τ矩阵表示P ,F q 上秩k 的所有m ×k 矩阵T 决定于空间P 的所有m ×2Τ矩阵表示X =T P .于是由引理2.1得n (K 2Τ,O
(m )
;k )=N (k ,0;2Τ
)
n (k ,m ).这里N (k ,0;2Τ
)表示F (2Τ)
q 里(k ,0)型子空间个数,公式见[1]推论3.19;n (k ,m )是
F q 上秩k 的m ×k 矩阵个数,公式见[1]引理1.5,因此有(5).又由[1]知k ≤Τ,故得(6).Carlitz L .在[2]中对奇特征有限域上用特征标的方法也得到n (K 2Τ,O (m )
)的公式,但他的推证有误,在文[3]中已经纠正并得到
定理2.3 设q 是奇素数p 的方幂.那么
n (K 2Τ,O
(m )
)=q
2Τm -
m
2
∑2r ≤m
q
r (r -2Τ-1)∏
m
i =m -2r +1
(q i -1)
∏r
i =1
(q
2i
-1)
.
(7)
定理2.4 设q ≠1是任意复数,那么有恒等式
∑
m in{Τ,m }
k =0
q
k
2
m k
q ∏
Τ
i =Τ
-k +1(q 2i -1)=q
2Τm -
m
2
∑
2r ≤m
q
r (r -2Τ-1)∏
m
i =m -2r +1
(q i -1)
∏r
i =1
(q
2i
-1),
(8)
∑m in{Τ,m }k =0
q
k
2
m k
q ∏Τ
i =Τ
-k +1(q
2i
-1)=q
2Τm -
m
2
2
50[q -12
m ,q
-
12
(
m -1);q
Τ+1
]′
(9)
成立.这里“′”指该方括号内g 由g
-2
代替.
证明 当q 为奇素数方幂时,由(6),(7)知(8)式左右方都是n (K 2Τ,0(m )
)的公式且都是q 的有理分式.对无穷多个奇素数方幂来说(8)成立,因此(8)对任意复数g 也成立.又恒等式(8)右方的和号部分可变形为
∑2r ≤m
((q -2
)
Τ+1
)
r
(1-q m )(1-q m -1)…(1-q m -2r +1)(1-q -2)(1-q -4)…(1-q -2r )
=
∑∞
r =0
((q
-2
)Τ+1)r
((q -2
)
12
m )r ((q -2
)-
12(
m
-1))r
((q -2))r
,
于是得到恒等式(9).
恒等式(8),(9)给计算带来很大方便.如n (K 2Τ,O (m ))求值时,用右式其非零项是[m
2
]+1
个((9)的右式当k =[m
2
]时则r 从0跑到k 即止)用左式是m in {Τ,m }+1.通常使用右式简便
(除非Τ<[
m
2
]时).例如当2Τ=6,m =3时,右式r =0,1仅两项即
q 15
[1+q
-8
(1-q 3)(1-q 2)(1-q -2
)
]=q 15+q 12-q 9
,而左式为
1+(q 6
-1)(q 3-1)(q -1)+q (q 6-1)(q 4
-1)(q 3-1)(q 2-1)(q -1)(q 2-1)
+
q 3(q 6-1)(q 4-1)(q 2-1)(q 3-1)(q 2-1)(q -1)(q -1)(q 2-1)(q 3
-1)
=q 15+q 12-q 9
.运算量相差很大,因此把所得公式用q 超几何级数表达是很有意义的工作.
3 恒等式(9)的几个应用
1) 设F q 是特征为2的有限域.由[1]第四章知F q 上2Τ+?(?=0,1或2)阶非奇异对称矩
阵的同步标准形分别是
S 2Τ=
I
(Τ)
I
(Τ)
0(交错矩阵);S 2Τ+1=
I
(Τ)
I
(Τ)
1
;
S 2Τ+2=
I
(Τ)
I
(Τ)
01
1
1
(非交错对称矩阵).
统一记为S 2Τ+?,?=0时它定义辛群S p 2Τ(F q );?=1或2时它分别定义伪辛群P s 2Τ+1(F q )和P s 2Τ+2(F q ),并且具有后二者作用的空间F (2Τ+?)
q
称为伪辛空间.F q 上适合方程
X S 2Τ+?X ′=O
(m )
(10)
的m ×(2Τ+?)矩阵X 和秩k 的m ×(2Τ+?)矩阵X 的个数分别记作n (S 2Τ+?,O
(m )
)和n (S 2Τ+?,
O
(m )
;k ).同2有下述结果
引理3.1 当?=0时,秩k 的m ×2Τ矩阵X 是(10)的一个解当且仅当X 是辛空间F (2Τ)
q
中一个(k ,0)型子空间P 的m ×2Τ矩阵表示;当?=1(?=2)时秩k 的m ×(2Τ+1)(m ×(2Τ+
2))矩阵X 是(10)的一个解当且仅当X 是伪辛空间F (2Τ+1)
q
(F (2Τ+2)q )中一个(k ,0,0,0)型((k ,0,0,0)型或(k ,0,0,1)型)子空间P 的m ×(2Τ+1)(m ×(2Τ+2))矩阵表示.
定理3.2 当?=0,1或2时,有
n (S 2Τ+?,O
(m )
;k )=q
k
2
(q
2Τ-k +2
-1)
[
?
2
]
m k
q
∏
Τ
i =Τ-k +[?2]+1
(q 2i -1),
(11)
n (S 2Τ+?,O
(m )
)=
∑
m in{Τ+[
?
2
],m }
k =0
q
k
2
(q
2Τ-k +2
-1)
[
?
2
]
m k
q
∏
Τ
i =Τ-k +[?
2
]+1
(q 2i -1).
(12)
证明 ?=0或1时同定理2.2的证明.对?=2由引理3.1有
n (S 2Τ+2,O
(m )
;k )=(N (k ,0,0,0;2Τ+2)+N (k ,0,0,1;2Τ+2)) n (k ,m ),
这里N (k ,0,0,0;2Τ+2),N (k ,0,0,1;2Τ+2)分别表示伪辛空间F (2Τ+2)
q 里(k ,0,0,0)型和(k ,
0,0,1)型子空间的个数(见[1]p 185,186),且前者0≤k ≤Τ,后者1≤k ≤Τ+1.当1≤k ≤Τ时,
n (S 2Τ+2,O
(m )
;k )=
∏
Τ
i =Τ-k +2
(q 2i -1)[q k (q 2Τ-
2k +2
-1)+q k
-1]
∏k
i =1
(q
i
-1)
n (k ,m );
当Τ+1≤m 时,
n (S 2Τ+2,O
(m )
;Τ+1)=N (Τ+1,0,0,1;2Τ+2) n (Τ+1,m )
以及n (S 2Τ+2,O
(m )
;0)=1,因而得(11).(12)从(11)立得.
为用q 超几何级数表达,先证250的一个循环关系式.
引理3.3
q m
250[q
-
12
m ,q
-
12(
m -1);q
Τ+1
]′+(1-q m
)250[q
-
12
(
m -1),q
-
12
(
m -2);q Τ
]′
=250[q -
1
2m ,q
-
12
(
m -1);q Τ
]′,
(13)
这里“′”意义同(9).证明 由(3),
2
50[q
-
1
2
m ,q
-
12
(
m -1);q Τ
]′=
∑∞
r =0
(q
-2Τ)r
(1-q m )(1-q m -1)…(1-q m -2r +1)
(1-q -2)(1-q -4)…(1-q -2r )
,
因此(13)两端代(3)化为上形后,只需再证左右第r +1项对应相等.事实上左方为
(q -2Τ)r (1-q m -1
)(1-q m -2)…(1-q m -2r +1)(1-q -2)(1-q -4)…(1-q -2r
)
[q m (1-q m )q -2r +(1-q m )(1-q m -2r
)] =((q -2)Τ)r (1-q m )(1-q
m -1
)…(1-q m -2r +1)(1-q -2)(1-q -4)…(1-q -2r )
,
恰为右方第r +1项.
定理3.4 设q =2t
,那么对?=0,1或2有
n (S 2Τ+?,O (m )
)=q
(2Τ+[?2
])m -m
2
2
50[q
-
1
2
m ,q
-
12(
m
-1);q
Τ+1
]′, “′”意义同(9).(14)
证明 当?=0或1时(12)即
n (S 2Τ+?,O
(m )
)=
∑m in{Τ,m }
k =0
q
k
2
m k
q ∏Τ
i =Τ
-k +1(q
2i
-1),.
应用恒等式(9)立得
n (S 2Τ+?,O
(m )
)=q 2Τm -m
2
250[q -
1
2m ,q -
12
(
m -1);q Τ+1
]′,即(14).当?=2时,注意到q 2Τ-
k +2-1=(q 2Τ+2-1)-q
2Τ-k +2
(q k -1),那么(12)拆分并令t =k -1后
n (S 2Τ+2,O
(m )
)=
∑
m in{Τ+1,m }k =0q
k
2
m k
q ∑
Τ+1
i =Τ
+1-k +1(q 2i -1)- (q m
-1)q
2Τ+1
∑
m in{Τ,m -1}
t =0
q
t
2m -1
k
q ∏Τ
i =Τ
-t +1(q
2i
-1).
应用恒等式(9)后得
n (S 2Τ+2,O
(m )
)=q
2(Τ+1)m -
m
2
2
50[q
-
1
2
m ,q
-
12
(
m -1);q
Τ+2
]′-(q m -1)q
2Τ+1
q
2Τ(m -1)-
m -1
2
2
50[q
-
12
(
m -1),q
-12
(
m -2);q
Τ+1
]′.
再由循环关系式(13)便得(14).
2)
设F q 是特征≠2的有限域.由[1]第六章知F q 上2Τ+?(?=0,1或2)阶非奇异对称矩
阵标准形为:
S 2Τ=
I
(Τ)
I
(Τ)
0,S 2Τ+1,1=
I
(Τ)
I
(Τ)
1,
S 2Τ+1,z =
I
(Τ)
I
(Τ)
z
,S 2Τ+2=
I
(Τ)
I
(Τ)
1
-z
,
这里z 是F 3
q 的一个固定非平方元.统一记作S 2Τ+?,?(这里?=0,1或2),?为定号部分,当?=0时不出现;当?=1时,?=1或z ;当?=2时,?=
1
-z
.S 2Τ+?,?定义F q 上的正交群
O 2Τ+?,?(F q ).具有此群作用的空间称为正交空间F (2Τ+?)
q
.F q 上适合方程
X S 2Τ+?,?X ′=O
(m )
(15)
的m ×(2Τ+?)矩阵X 和秩k 的m ×(2Τ+?)矩阵X 的个数分别记作n (S 2Τ+?,?,O
(m )
)和
n (S 2Τ+?,?,O
(m )
;k ).同前易证
引理3.5 秩k 的m ×(2Τ+?)矩阵X 是(15)的解,当且仅当X 是正交空间F (2Τ+?)
q
中一个
(k ,0,0)型子空间P 的m ×(2Τ+?)矩阵表示.
定理3.6 当?=0,1或2时有
n (S 2Τ+?,?,O
(m )
;k )=q
k
2
m k
q ∏Τ
i =Τ-k +1(q
i
-1)(q
i +?-1
+1),
(16)n (S 2Τ+?,?,O (m )
)=
∑m in{Τ,m }
k =0
q
k
2
m k
q ∏Τ
i =Τ
-k +1(q
i
-1)(q
i +?-1
+1).
(17)
证明 同前,由引理3.5有n (S 2Τ+?,?,O (m )
;k )=N (k ,0,0;2Τ+?,?) n (k ,m ),这里N (k ,0,
0;2Τ+?,?)是正交空间F (2Τ+?)
q
中的(k ,0,0)型子空间的个数,公式见[1]推论6.23.
定理3.7 设q 是奇素数p 的方幂,那么有 n (S 2Τ+?,?,O
(m )
)=q
(2Τ+?-1)m -
m
2
{250[q
-
1
2
m ,q
-
12(
m -1);q
Τ+[?+12
]
]′- (1-?)q
-(Τ+[?
2
])
(1-q m )250[q
-
12
(
m -1),q
-
12
(
m -2);q
Τ+[?+1
2
]
]′},(18)
这里?=0,1或2,并且“′”意义同(9)((18)与Carlitz [4]
所得一致).
证明 显然当?=1时由(17)及恒等式(9)立即得(18):
n (S 2Τ+1,?,O
(m )
)=q
2Τm -
m
2
2
50[q
-
1
2
m ,q
-
12
(
m -1);q
Τ+1
]′.
当?=0和2时分别注意到
q
Τ-k
+1=(q Τ+1)-q Τ-k (q k -1)和q
Τ-k +1
-1=(q Τ+1-1)-q
Τ-k +1
(q k -1),
则(17)成为
n (S 2Τ,O
(m )
)=
∑m in{Τ,m }
k =0q
k
2
m k
q ∏Τ
i =Τ
-k +1(q
2i
-1)-(q m
-1)(q Τ
-1)q
Τ-1
∑
m in{Τ-1,m -1}
k =0
q
k
2
m -1
k
q ∏Τ-1
i =Τ
-k (q
2i
-1),
n (S 2Τ+2,O
(m )
)=
∑
m in{Τ+1,m }
k =0q
k
2
m k
q ∏
Τ+1
i =Τ
+1-k +1(q 2i -1)-(q m
-1)(q Τ+1
+1)q
Τ
∑
m in{Τ,m -1}
k =0
q
k
2
m -1
k
q ∏Τ
i =Τ
-k +1(q
2i
-1).
应用恒等式(9)后再由循环关系式(13)便得(18).
3) 令F q 是特征为2的有限域,K m 表示F q 上全体m 阶交错矩阵的集.两个m 阶矩阵
A ,
B 说是模
K
m
同余并记作A ≡B ,如果A +B ∈K m .F q 上两个m 阶矩阵A ,B 说是“同步”
的,如果存在非奇异矩阵T 使得TA T ′≡B .取Α是F q 中不属于N ={x 2+x x ∈F q }的一个固定元素,那么D ick son L E .(见[1]p 50)证明了F q 上任何m 阶矩阵“同步”于下述矩阵之一且仅一:
0I (s )
0O (m -2s )
,0I (s )
1O
(m -2s -1)
,0I (s )
Α1ΑO
(m -2s -2)
.
这里s 称为指数,2s +?,?=0,1或2称为“秩”,为证“同步”的矩阵有相同的指数和“秩”.把“秩”
等于阶数的矩阵称为正则矩阵,那么F q 上正则矩阵“同步”标准形为
G 2Τ=0
I
(Τ)
,G 2Τ+1=
I
(Τ)
1
,G 2Τ+2=
I
(Τ)
Α1
Α
.
统一记为G 2Τ+?,?=0,1或2.G 2Τ+?定义F q 上正交群O 2Τ+?(F q ),具有此群作用的空间F (2Τ+?)
q 称为正交空间.一个k 维子空间P 称为全奇异子空间或(k ,0,0)型子空间,如果它的k ×(2Τ+?)
矩阵表示P 具有PG 2Τ+?P ′≡O (k )
.把F q 上适合同余矩阵方程
X G 2Τ+?X ′≡O
(m )
(19)
的m ×(2Τ+?)矩阵X 和秩k 的m ×(2Τ+?)矩阵X 的个数分别记为n (G 2Τ+?,O (m )
)和n (G 2Τ+?,O (m )
;k ).仿前可证
引理3.8 秩k 的m ×(2Τ+?)矩阵X 是(19)的解当且仅当X 是正交空间F (2Τ+?)
q 中一个
k 维全奇异子空间P 的m ×(2Τ
+?)矩阵表示.定理3.9 当?=0,1或2时,有
n (G 2Τ+?,O
(m )
;k )=q
k
2
m k
q ∏Τ
i =Τ-k +1(q
i
-1)(q
i +?-1
+1),
(20)n (G 2Τ+?,O (m )
)=
∑m in{Τ,m }
k =0
q
k
2
m k
q ∏Τ
i =Τ
-k +1(q
i
-1)(q
i +?-1
+1).
(21)
证明 同前,由引理3.8有n (G 2Τ+?,O (m )
;k )=N (k ,0,0;2Τ+?) n (k ,m ),这里N (k ,0,0;2Τ
+?)是正交空间F (2Τ+?)
q
中k 维全奇异子空间的个数,公式见[1]推论7.25.
完全同前一段的推导,有
定理3.10 设q =2t
,那么对?=0,1或2有 n (G 2Τ+?,O
(m )
)=g
(2Τ+?-1)m -
m
2
{250[q
-
1
2
m ,q
-
12(
m -1);q
Τ+[?+12
]
]′- (1-?)q
-(Τ+[?
2
])
(1-q m
)250[q
-
12
(
m -1),q
-
12
(
m -2);q
Τ+[?+1
2
]
]′},(22)
且“′”意义同(9).
4 恒等式250[c ,q -n ;q ]=c n
的应用
由[6]p149知超几何级数3F2的Saalschuβtz定理的以下q模拟被证明也是成立的:
352
b,c,q-n
d,bcq1-d d
;q=
(d b)n(d c)n
(d)n(d bc)n.
如果令b→0,那么上式成为251c ,q-n
d
;q=
(d c)n
(d)n c
n,再令d→0,便得到
定理4.1 设n为有理数,c,q为任意复数,则有
250[c,q
-n;q]=c n.(23) 利用上述恒等式可以证明一些特殊矩阵和矩阵同余类的个数公式.
① 令F q是特征为2的有限域,S(m)是全体m阶对称矩阵的集.在同步变换下S(m)被
分拆成以指数、秩为特征即同步于标准形S2s+?
O(m-2s-?)
的矩阵的轨道,记为S(m,2s+?,
s),这里0≤2s+?≤m且?=0,1或2.由[1]定理3.30及4.9推知
S(m,2s,s) =q s(s-1)
∏m
i=m-2s+1
(q i-1)∏s
i=1
(q2i-1)
和对?=1或2时,
S(m,2s+?,s) =q s(s+1)
∏m
i=m-2s-?+1
(q i-1)∏s
i=1
(q2i-1)
.
记秩r的m阶对称矩阵的集为S(m,r),那么有
S(m,2s) = S(m,2s,s) + S(m,2(s-1)+2,s-1) ,
S(m,2s-1) = S(m,2(s-1)+1,s-1) .
于是推出若r=2s,则
S(m,r-1) + S(m,r) =q-2s(q m+1-1)(q m-1)…(q m-2s+2-1)
(1-q-2)(1-q-4)…(1-q-2s)
.
这样当m=2t时s取0,1,…,t;当m=2t-1时s也取0,1,…,t,因为此时q2t-1=q m+1-1使
S(m,m) =q-2t(q m+1-1)…(q m-2t+2-1)
(1-q-2)…(1-q-2t).
于是
S(m) =∑
0≤2s≤m+1q-2s
(1-q m+1)…(1-q m+1(q-2)s-1)(1-q m)…(1-q m(q-2)s-1)
(1-q-2)(1-(q-2)2)…(1-(q-2)s)
.
令b=q-2,那么
S(m) =∑∞
s=0b s
(b-
1
2
(m+1)
)s(b-
1
2m)s
(b)s=2
50[b-
1
2
(m+1)
,b-
1
2m;b].
根据恒等式(23),得到F q上m阶对称矩阵个数:
S(m) =(b-12(m+1))12m=(q m+1)12m=q m+12.
② 设F q是特征2的有限域,F q上全体m阶矩阵集模K m后被分成两两不相交的矩阵
同余类A ,B ,….用C (m )表示这些同余类组成的集合.两个矩阵同余类A ,B 说是“同步”的,如果有A ∈A 和有B ∈B 使A ,B “同步”.易证A ,B “同步”与同余类A ,B 的特殊选
取无关.在“同步”变换下C (m )被分成“同步”于含
G 2s +?
O
(m -2s -?)
的同余类的同余类的轨
道,记为C (m ,2s +?,s ),这里0≤2s +?≤m 且?=0,1或2.由[1]定理7.49推知
C (m ,2s ,s ) =q
s
2
∏m
i =s +1
(q
i
-1)
∏s -1
i =0
(g
i
+1)
∏m -2s
i =1
(q
i
-1)
,
C (m ,2s -1,s -1) =q
s (s -1)∏
m
i =m -2s +2
(q i -1)
∏s -1
i =1
(g
2i
-1)
,
C (m ,2s ,s -1) =q
s
2
∏m
i =s
(q
i
-1)
∏s
i =0
(g
i
+1)
∏m -2s
i =1
(q
i
-1)
.
记“秩”r 的矩阵同余类的集为C (m ,r ),重复1的推证得到F q 上m 阶矩阵同余类个数:
C (m ) =
2
50[b
-
12(
m
+1),b
-
12
m ;b ]=(b
-
12(
m
+1))
-
12
m =q
m +1
2
.
③ 设F q 是特征≠2的有限域,S (m )是F q 上全体m 阶对称矩阵的集.由[1]定理6.36推知 S (m ,2s ,s ) , S (m ,2s -1,s -1) 和 S (m ,2s ,s -1) 公式同2中 C (m ,2s +?,s ) ,重复1的推证得到
S (m ) =
2
50[b
-
12
(
m +1),b
-
12
m ;b ]==q
m +1
2
.
④ 设F q 是有限域,K (m )是F q 上全体m 阶交错矩阵的集.由[1]定理3.30知秩2r 的m
阶交错矩阵个数
K (m ,2r ) =q
r
(r -1)∏
m
i =m -2r +1
(q i -1)
∏r
i =1
(q
2i
-1)
,
因此F q 上m 阶交错矩阵的个数:
K (m ) =
∑0≤2r ≤m
K (m ,2r ) =∑
0≤2r ≤m
q
-2r
(1-q m )…(1-q m -2r +2)(1-q m -1)…(1-q m -2r +1
)
(1-q -2)(1-q -4)…(1-q -2r )=
∑∞
r =0(q
-2
)
r
((q -2)
-12
m )r ((q -2)-
12
(
m -1))r
(q -2)r
=
2
50[q
-
12
m ,q
-
12
(
m -1);q ]′
=q
m
2
⑤ 令M (m ×n )是有限域F q 上全体m ×n 矩阵的集.在GL m (F q )×GL n (F q )作用的等
价变换下M (m ×n )被分拆成以秩r 为特征的轨道,记为M (m ×n ,r ),这里0≤r ≤m in {m ,
n }.由[5]p 4知
M (m
×n ,r ) =q
r
2
m r
q ∏
n
i =n -r +1
(q i -1).那么F q 上m ×n 矩阵个数:
M (m ×n ) =
∑m in{m ,n }
r =0
M (m
×n ,r ) =
∑
∞
r =0
(q -1
)
r
((q -1)-m )r ((q -1)n )r
((q -1))r
=
2
50[b -m ,b -n ;b ]=q m n .
参 考 文 献
1 W an Zhex ian .Geo m etry of classica l g roup s over f in ite f ield s .Studen tlitteratu r ,L und ,1993.2 Carlitz L .R ep resen ta tions by ske w f or m s in a f in ite f ield .A rch iv der M athem atik ,1954,5:19-313 魏鸿增、张谊宾.有限域上交错矩阵方程解的计数公式及其q 超几何级数表达.高校应用数学学报,12卷A 辑,1997,3:337-346
4 Carlitz L .R ep resen ta tions by quad ra tic f or m s in a f in ite f ield .D uke M ath .J .,1954,21:123-137.5 W an Zhex ian .R ep resen ta tions of f or m s by f or m s in a f in ite f ield .F in ite F ields and T heir A pp licati on s ,
1995,1:297-325
6 E rdelyi A .高级超越函数,第一册.上海科学技术出版社,1957.
7 万哲先、戴宗铎、冯绪宁、阳本傅.有限几何与不完全区组设计的一些研究.北京:科学出版社,1966.8 魏鸿增、张谊宾.特征≠2的有限域上对称矩阵方程解的计数公式及其q 超几何级数表达.数学学报,
1997,40(5):783-792.
Two Iden tities for q -Hypergeom etr ic Ser ies
250[a ,b ;z ]and Its Application s
W ei H ong z eng Z hang Y ibin
(H ebei N o rm al U niversity ,Sh ijiazhuang 050091)
Abstract
In th is p ap er ,an elem en tary iden tity fo r q 2hyp ergeom etric series 250is ob tained from tw o fo rm u las of the num ber of so lu ti on s to the alternate equati on X K 2ΤX ′
=0.U sing th is i 2den tity ,fo rm u las of the num ber of so lu ti on s of som e sp ecialm atrix equati on s are rep resen ted by q 2hyp ergeom etric series
.F inally ,u sing ano ther iden tity of 250,the num bers of som e sp e 2cial m atrices over F q are also ob tained .
Keywords q 2hyp ergeom etric series ,m atrix equati on ,sp ecial m atrices
.
五、用解析法证明平面几何问题----极度精彩！充分展现数学之美感！何妨一试？ 例1、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引两条直线分别交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二） （例1图） （例2图） 例2、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、 BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 【部分题目解答】 例1、(难度相当于高考压轴题) ； ，、点的方程为：直线的方程为：设直线方程为：轴建立坐标系，设圆的为为原点，轴，为如图，以)(),(,AD ,,)-(2211222y x C y x B nx y mx y AB r a y x Y AO A x MN ===+ 、；则，、，C B )()(4433y x E y x D , 1 - ;12-2-)1,{)-(22 2212212222222+=+=+=++=+=m r a x x m am x x r a amx x m y r a y x mx y 由韦达定理知：得：（消去,1- ;1222 243243+=+=+n r a x x n an x x 同理得： ),-(---23 23 22x x x x y y y y CD = 方程为：直线 ,--Q 3 23 223Q y y y x y x x = 点横坐标：由此得 , --P 1 41441P y y y x y x x = 点横坐标：同理得 ,------1 41441323223P Q y y y x y x y y y x y x x x AQ AP ===；即证：，只需证明：故，要证明 N B
高中数学竞赛中不等式的解法 摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。 希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。 不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个着名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用. 1．排序不等式 定理1 设1 212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有 1211...n n n a b a b a b -+++ (倒序积和) 1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和） 1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和） 其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时成 立. （说明： 本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和 顺序积和.） 证明：考察右边不等式，并记1212...n r r n r S a b a b a b =+++。 不等式 1212...n r r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n ===时，S 达到最大值 1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有 .n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+ （1-1） 事实上， 不等式（1-1）告诉我们当n r n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不变），会使和S 增加.同理，调整 好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++，这就 证明了1 212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++. 再证不等式左端,
内蒙古农业大学 2005—2006学年度第一学期期末考试 《分析化学》试题（B） ) 1.膜电位的产生实质是离子的扩散和迁移的结果. 0.1mol·L-1的HCl溶液不能滴定0.1mol·L-1的NaAc溶液,是因为K ( HAc )= 1.8×10-5, 而cK b〈10-8。（） 3. 佛尔哈德法测定Cl-1, 未加有机溶剂保护,则测定结果偏高。( ) 4. EDTA分子中有6个配位原子,故一个EDTA分子可以满足6个金属离子配位的需要。( ) 5.用台砰称取NaCl 1.5克,又用分析天平称取NaCl 0.1550克放于同一烧杯中应记为1.6克。( ) 6. 我们实验所用的721型分光光度计适合对在可见光区有吸收的物质进行测定.。 ( ) 7. 配位滴定中金属离子与EDTA形成的配合物越稳定则滴定允许的PH值越高。 ( ) 8.分析测定中,若测定数据的精密度好,则测定结果的准确度不一定高.。 ( ). 9. 在滴定分析中,由于所使用的滴定管漏液,由此产生的是偶然误差。( ). 10. 用移液管吸取溶液后, 调节液面高度到标线时, 移液管口应浸在液面下。 ( )
二.填空题:(每空1分,共34分) 1. 下列4次测定的结果为：27.37%、27.47%、27.43%、27.40%, 相对平均偏差（d r）= 。标准偏差（S）= 。 2. 在氧化还原滴定中，用KMnO4测定过氧化氢含量时，应该注意的滴定条件是 _______________ 和。 3.用邻二氮菲分光光度法测定铁的实验中, 所用的721型分光光度计其单色器的 的作用是___________,比色皿的作用是______________,光电管的作用是____________。 4.请写出NH4Ac水溶液的质子平衡条件 ______________________________________。 5.碘量法主要的误差来源是___________________和______________,为减小上 述原因所造成的误差,滴定时的速度可___________,溶液不需__________。6.配位滴定分析中,当样品中两种金属离子M和N共存时,判断能否准确滴定M离 子而N离子不干扰滴定的条件是__________________________和________________________________。如果待测离子满足上述条件,就可以准确滴定M而N不干扰测定. 7.配位滴定中，由于_______的存在,使EDTA参加主反应能力降低的现象，称为_____________。 8.用分光光度法测定有色配合物的浓度时,要使读数的相对误差最小,相应的吸光度是________,若使其读数相对误差符合分光光度法的测量误差,则透光率的读数范围是_____________。 9.定量分析中,为了提高测定的精密度，应采取的方法是___________________, 多次平行测定所得一系列数据中,若有可疑值时,可通过___________和_____________决定是否舍弃。 10. 用碘量法测定铜的含量时,为了减少CuI对I2的吸附,常加入_______试剂,使CuI沉淀转化为不易吸附I2的________沉淀. 11．态分布规律反映出______________误差的分布特点. 12．用Ce+4标准溶液滴定Fe2+时,常加入H2SO4-H3PO4的混合酸,目的是 _________________________.
一、填空题(每空1分，共15分) 1、一只标有额定电压20V、额定功率1W的灯泡。现接在10V的电源下使用，则其阻值为，实际电流是，实际消耗的功率为。 2、电流源IS=5A，r0=2Ω，若变换成等效电压源，则U=，r0=. 3、b条支路、n个节点的电路，独立的KCL方程数等于，独立的个KVL方程数等于。 4、三相四线制供电线路可以提供两种电压，火线与零线之间的电压叫做，火线与火线 之间的电压叫做。 5、正弦周期电流的有效值与最大值之间的关系是。 6、某一正弦交流电压的解析式为u=102cos（200πt＋45°）V，则该正弦电流的有 效值U=_____________V，频率为f=H Z。当t=1s 7、线性电路线性性质的最重要体现就是性和性，它们反映了电路中激励与响应的内在 关系。 8、功率因数反映了供电设备的利用率，为了提高功率因数通常采用补偿的方法。 二、判断题(正确打“√”,错误打“×”)(每题1分，共10分) 1、受控源与独立源一样可以进行电源的等效变换，变换过程中可以将受控源的控制量 变异。（） 2、叠加定理适用于线性电路，电压、电流和功率均可叠加。（） 3、应用叠加定理和戴维宁定理时，受控源不能与电阻同样对待。（） 4、电流表内阻越小，电压表内阻越大，测量越准确。（） 5、含有L、C元件的正弦交流信号电路，若电路的无功功率Q=0，则可判定电路发生谐 振 。 （ ） 6、电压和电流计算结果得负值，说明它们的参考方向假设反了。（） 7、电功率大的用电器，电功也一定大。（）
Ω100s i 1H F 18、结点电压法是只应用基尔霍夫电压定律对电路求解的方法。（） 9、非正弦周期量的有效值等于它各次谐波有效值之和。（） 10、实用中的任何一个两孔插座对外都可视为一个有源二端网络。（） 三、单项选择题(每小题1分，共20分) 1、一根粗细均匀的电阻丝，阻值为25Ω，将其等分成五段，然后并联使用，则其等效电阻是（） A.1/25Ω B.1/5Ω C.1Ω D.5Ω 2、两个同频率正弦交流电流i1、i2的有效值各为40A 和30A 。当i1+i2的有效值为10A 时，i1与i2的相位差是（） A.0O B.180O. C.90O D.270O 3、在R 、L 、C 串联电路中，当总电流与总电压同相时，下列关系式正确的是（） A.ωL 2c =1 B.ωLC =1 C.ω2LC =1 D.ωLC 2=1 4、图示单口网络的等效电阻等于（） (A)2Ω (B)4Ω (C)6Ω (D)-2Ω 5、图示电路中电阻R 吸收的平均功率P 等于（） (A)12.5W (B)16W (C)32W (D)25W 6、示电路中电压u 等于（） (A)4V (B)-4V (C)6V (D)-6V 7、图示谐振电路的品质因（） (A)0.01 (B)1 (C)10 (D)100 8、5F 的线性电容的端口特性为（） (A)i u 5=(B)i 5=ψ(C)q u 2.0= 9、端口特性为43+=i ψ的二端电路元件是（）元件 (A)电感(B)电容(C)电阻 10、LC 并联正弦电流电路中， A I A I A I C L R 5,1,3===则总电流为（）A 。 (A) 8(B)5 (C) 4 Ω 2Ω2- 2V + u -+
高中数学《立体几何》重要公式、定理 1．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行. 2．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行. 3．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直； （3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 4．证明直线与平面垂直的思考途径 （1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 5．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直. 6．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直. 7.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b=b ＋a ． (2)加法结合律：(a ＋b)＋c=a ＋(b ＋c)． (3)数乘分配律：λ(a ＋b)=λa ＋λb ． 8.共线向量定理 对空间任意两个向量a 、b(b ≠0 )，a ∥b ?存在实数λ使a=λb ． P A B 、、三点共线?||AP AB ?AP t AB =?(1)OP t OA tOB =-+. ||AB CD ?AB 、CD 共线且AB CD 、不共线?AB tCD =且AB CD 、不共线. 9.共面向量定理 向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的?存在实数对,x y ,使p ax by =+． 推论 空间一点P 位于平面MAB 内的?存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+， 或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++. 10.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角 线所表示的向量. 11.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1 k ≠
解析法在几何中的应用 姓名：周瑞勇 学号：201001071465 专业：物理学 指导教师：何巍巍
解析法在几何的应用 周瑞勇 大庆师范学院物理与电气信息工程学院 摘要：通过分析几何问题中的各要素之间的关系，用最简练的语言或形式化的符号来表达他们的关系，得出解决问题所需的表达式，然后设计程序求解问题的方法称为解析法。 关键词：几何问题，表达关系，表达式，求解问题 一前言 几何学的历史深远悠久，欧几里得总结前人的成果，所著的《几何原本》。一直是几何学的坚固基石，至今我国中学教学的几何课本仍未脱离他的衣钵。长期的教学实践证明，采用欧式体系学习几何是培养学生逻辑思维能力的行之有效的方法。 但是，事物都有两重性。实践同样证明，过多强调它的作为也是不适当的。初等几何的构思之难，使人们为此不知耗费了多少精力，往往为寻求一条神奇、奥秘的辅助线而冥思苦索。开辟新的途径，已是势在必行。近些年来，用解析法、向量法、复数法、三角法证明几何问题，受到越来越多的数学工作者的重视。 由于平面几何的内容，只研究直线和园的问题，所以我们完全可以用解析法来研究几何问题。解析法不仅具有几何的直观性，而且也还有证明方法的一般性。综合几何叙述较简，但构思困难，而解析法思路清晰，过程简捷，可以作为证明几何问题中一种辅助方法，两者课去唱补短，想得益彰。 二解析法概述 几何数学主要是从几何图形这个侧面去研究客观事物的，其基本元素是点，代数学则主要是从数量关系这个侧面来研究客观事物，其基本元素是数。笛卡尔综合了前人的成果，创立了坐标概念，把代数学和几何学结合起来，于是产生了以研究点的位置和一对有序实数的关系、方程和曲线以及有研究连续运动而产生
中国计量学院 吴跃生 几何问题中出现的不等式称为几何不等式．证明几何不等式的方法大致可分为三种方法：几何方法、代数方法和三角方法． 记号约定：在ABC V 中，,,a b c 表示三边长；,,A B C 表示对应角；s 表示半周长；,,a a a h t m 分别表示a 边上的高、内角平分线长、中线长；R 和r 分别表示ABC V 的外接圆半径和内接圆半径；S 表示ABC V 的面积．设P 是ABC V 内任意一点，记123,,PA R PB R PC R ===；点P 到三边,,BC CA AB 的距离分别记为123,,r r r ；记,,BPC CPA ABC αβγ∠=∠=∠=；,,BPC CPA ABC ∠∠∠的内角平分线长分别记为123,,w w w ． 一、距离不等式与化直法 仅仅涉及线段长度的几何不等式称为距离不等式． 1． 设,,a b c 是ABC V 的边长，求证： 2a b c b c c a a b ++<+++． ２． 已知：在ABC V 中，c 是最小边，P 是ABC V 内任意一点，求证： PA PB PC a b ++<+． （冷岗松） 加强：在ABC V 中，c 是最小边，P 是ABC V 内任意一点，求证：存在(01)p p λλ<<，使得 (1)[min(,)]p PA PB PC a b a b c λ++<+---． （鱼儿） 3． 设a 是ABC V 的最大边，O 是ABC V 内任意一点，设直线AO BO CO 、、与ABC V 的三边分别交于点P Q R 、、，证明： OP OQ OR a ++<． 二、托勒密(Ptolemy)定理及其应用 托勒密定理：在凸四边形ABCD 中，有 AB CD AD BC AC BD ?+?≥?， 当且仅当四边形ABCD 是圆内接四边形时等号成立． 下面各例中的不等式的等号成立的条件，请读者自行判明，不再赘述． 1． 242b c m m a bc ≤+(1993年，陈计) 对偶式：22242449b c m m a b c bc ≥--+．(1992年，陈计)
分析化学试卷 一、填空题（每空1分，共20分） 1．在分析过程中，下列情况将引起何种（系统、随机）误差。使用没有校正的砝码引起系统误差；用部分风化的H2C2O4·H2O标定NaOH引起系统误差；滴定管读数最后一位不一致为随机。 2．万分之一天平的每次称量误差为±0.0001g，其相对误差为 % 100 001 .0 ? ± m 若要求称量的相对误差为0.2%，称量时至少要称取质量0.1 g。 3．配制标准溶液的方法有直接配制法和间接配制法。 4．用0.10mol/L NaOH溶液滴定0.10mol/L HCl和H3BO3混合溶液时，在滴定曲线上出现 1 个突跃。（H3BO3的p Ka1=9.42） 5．写出NH4Ac在水溶液中的质子条件：[HAc]+[H+]=[OH—]+[NH3] 6．0.10mol/L乙酸钠（p Ka=4.74）的pH=8.87 。 7．0.10mol/L NH3·H2O和0.10mol/L NH4Cl水溶液的pH=9.26。 8．六次甲基四胺的p K b = 8.85，用它配制缓冲溶液时的pH范围是5.15±1 9．某一弱酸型的指示剂和离解常数为K HIn=1.0×10-5，该指示剂的理论变色范围是pH=5±1 。 10．用0.100mol/L HNO3滴定同浓度的NaOH的pH突跃范围为9.7~4.3。若HNO3和NaOH的浓度均减小10倍，则pH突跃范围为8.7~5.3 。 11．用KMnO4滴定 - 2 4 2 O C时，红色的消失由慢到快是属于自动催化反应。 12．于20.00mL0.100mol/L Fe2+(1mol/L H2SO4)溶液中分别滴入19.98mL和20.028mL Ce4+溶液，平衡时，体系的电位分别0.86 为和 1.26 ；化学计量点的电位为 1.06 （ V V Fe Fe Ce Ce 68 .0 ; 44 .1'0 / '0 /2 3 3 4= =+ + + +? ? ）。 13．某有色物的浓度为1.0×10-4mol/L，以1cm吸收池在最大吸收波长下的吸光度为 0.480，在此波长下该有色物的ε= 4.8×103L·mol-1·cm-1，T%= 0.33=33%。 二、选择题（在本题的每一小题的备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的题号，填入题干的括号内。多选不给分。每题2分，共20分） 1．某人根据置信度为95%对某项分析结果计算后，写出如下几种报告，合理的是（B）A．（25.48±0.1）% B．（25.48±0.13）% C．（25.48±0.135）% D．（25.48±0.1328）% 2．下列各组酸碱，属于共轭酸碱对的是（B）
桂 林 电 子 科 技 大 学 试 卷 2018-2019 学年第 一 学期 课号 BT122003_01 课程名称 电路分析基础（A 、B 卷; 开、闭卷） 适用班级（或年级、专业）17电子信息类 一．选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。 1、图1所示电路中，已知电流A I 3=，则a 、b 两端的电压U =( ) A ） －10V B ） 10V C ） 50V D ） －20V 2、图2所示电路中，已知元件A 放出功率10W ，则电流I =( ) A ） 1A B ） 2A C ） －1A D ） 5A 3、电路如图3所示，10Ω电阻吸收的功率为( ) A ） 1W B ） 0. 9W C ） 10W D ） 3W 4、图4所示电路原来处于稳态，A t i s 2cos 2=。0=t 时开关闭合，则换路瞬间的电感电流)0(+L i 为( ) A ） 1A B ） 0.5A C ） t 2cos A D ）t 2cos 2A 装 订 线 内 请 勿 答 题 图4 i L
5、如图5所示单口网络的等效电阻等于（ ） A ）2Ω B ）4Ω C ）6Ω D ）-2Ω 图5 6、如图6所示单口网络相量模型的等效阻抗等于（ ） A ）(3+j4) Ω B ）(0.33-j0.25) Ω C ）(1.92+j1.44) Ω D ）(0.12+j0.16) Ω 图6 7、某电路的阻抗为Ω+=510j Z ，则该电路的导纳Y 的实部为( ) A ） 0.2S B ） 0.08S C ） 0.04S D ）0.1S 8、如图7所示电路中负载获得的最大平均功率等于（ ） A ）2.5W B ）5W C ）10W D ）20W 图7 9、如图8所示谐振电路的品质因数为（ ） A ）0.01 B ）1 C ）10 D ）100 图8 10、如图9所示二端网络的功率因数为 ( ) A ） 0 B ） 1 C ） －0.707 D ） 0.707 Ω 4a b s u V t t u s )3cos(10)(=F 1_ Ω 4j
mym-----数学作业六 1、已知}{n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，}{n b 是等比数列，且27,24411=+==b a b a ， 1044=-b S . （1）求数列}{n a 与}{n b 的通项公式； （2）记1121n n n n T a b a b a b -=++???+，* N n ∈，求n T 的值（* N n ∈）. 2
E D C B A P 3、解不等式：()0122>+++x a ax 4．（本小题满分12分） 如图，已知一四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，且侧棱PC ⊥底面ABCD ，且PC ＝2，E 是侧棱PC 上的动点 （1）求四棱锥P －ABCD 的体积； （2）证明：BD ⊥AE 。 （3）求二面角P-BD-C 的正切值。
mym-----数学作业二 1．在ABC ?中，已知内角3 A π =，边BC =.设内角B x =,面积为y . (1)若4 x π = ，求边AC 的长； (2)求y 的最大值. 2. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥侧面11A ABB . （1）求证：AB BC ⊥； （2）若直线AC 与平面1A BC 所成的角为θ，二面角1B AC A --的大小为 ?，当122A A AC BC ===时，求sin sin θ??的值.
3、解不等式)0( 01)1 (2 ≠<++-a x a a x 4、在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1=10，且a 1，2a 2+2，5a 3成等比数列. （Ⅰ）求d ，a n ； （Ⅱ) 若d<0，求|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n | .
宁夏师范学院化学与化学工程学院 《分析化学》试卷（10） 一、选择题( 共10题，每题2分，共20分) 1.桑德尔灵敏度S与摩尔吸光系数e的关系是 ---------------------------------------------() (A) S=M/(e′106)(B) S=e/M (C) S=M/e(D) S=M×e′106 2.下列四种表述中正确的是 --------------------------------------------------------------（） (1)绝对误差是测定值与真值之差(2)偏差是测定值与平均值之差 (3)在清除系统误差的前提下，误差为0 (4)总体平均值就是真值 （A）1,2(B)2,4(C)3,4(D)1,4 3.在络合滴定中, 用回滴法测定Al3+时, 若在pH=5~6时以某金属离子标准溶液回滴过量的EDTA, 金属离子标准溶液应选 ----------------------------------------------------------------() (A) Mg2+(B) Zn2+(C) Ag+(D) Bi3+ 4.对于反应：BrO3-+6I-+6H+=Br-+3I2+3H2O 已知(BrO 3 -/Br-)=1.44V，(I 2/I -)=0.55V， 则此反应平衡常数(25℃)的对数(lg K)为 -----------------------------------------------------() (A) (1.44-0.55)/ 0.059(B) 3×(1.44-0.55)/0.059
高三数学选择填空难题突破—立体几何的动态问题 一．方法综述 立体几何的动态问题是高考的热点，问题中的“不确定性”与“动感性”元素往往成为学生思考与求解问题的思维障碍，使考题的破解更具策略性、挑战性与创新性。一般立体动态问题形成的原因有动点变化、平面图形的翻折、几何体的平移和旋转以及投影与截面问题，由此引发的常见题型为动点轨迹、角度与距离的计算、面积与体积的计算、探索性问题以及有关几何量的最值求解等。此类题的求解并没有一定的模式与固定的套路可以沿用，很多学生一筹莫展，无法形成清晰的分析思路，导致该题成为学生的易失分点。究其原因，是因为学生缺乏相关学科素养和解决问题的策略造成的。 动态立体几何题在变化过程中总蕴含着某些不变的因素，因此要认真分析其变化特点，寻找不变的静态因素，从静态因素中，找到解决问题的突破口。求解动态范围的选择、填空题，有时应把这类动态的变化过程充分地展现出来，通过动态思维，观察它的变化规律，找到两个极端位置，即用特殊法求解范围。对于探究存在问题或动态范围（最值）问题，用定性分析比较难或繁时，可以引进参数，把动态问题划归为静态问题。具体地，可通过构建方程、函数或不等式等进行定量计算，以算促证。 二．解题策略 类型一立体几何中动态问题中的角度问题 例1.【2015高考四川，理14】如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点 θθ cos M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点。设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为.
【答案】 ，当时取等号.所以 ，当时，取得最大值. 【指点迷津】空间的角的问题，一种方法，代数法，只要便于建立空间直角坐标系均可建立空间直角坐标系，然后利用公式求解；另一种方法，几何法，几何问题要结合图形分析何时取得最大（小）值。当点M 在P 处时，EM 与AF 所成角为直角，此时余弦值为0（最小），当M 点向左移动时，EM 与AF 所成角逐渐变小时，点M 到达点Q 时，角最小，余弦值最大。 【举一反三】 1、【2014四川，理8】如图，在正方体中，点为线段的中点.设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（） 2 5 281161 81455 2y y t t +=≥++-1t =2 211222 cos 511555451144 y y y θ-+==≤=?++?++0y =C 1111ABCD A B C D -O BD P 1CC OP 1A BD αsin α
平面几何证明题的一般思路及方法简述 【摘要】惠特霍斯曾说过,“一般地,解题之所以成功,在很大程度上依赖于选择一种最适宜的方法。”灵活、恰当地选择解题方法是求解平面几何问题的良好途径。解决任何一道平面几何证明题,都要应用这样或那样的方法,而选择哪一种方法,就取决于我们用什么样的解题思路。本文试对平面几何证明题中常用的几种解题思路及方法进行分析。 【关键词】平面几何证明题思路方法 平面几何难学,是很多初中生在学习中的共识,这里面包含了很多主观和客观因素,而学习不得法,没有适当的解题思路则是其中的一个重要原因。波利亚曾说过,“解题的成功要靠正确思路的选择,要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒。为了辨别哪一条思路正确,哪一个方向可接近它,就要试探各种方向和思路。”由此可见,掌握证明题的一般思路、探索证题过程中的数学思维、总结证题的基本规律是求解几何证明题的关键。常见的证题思路有直接式思路和间接式思路。 一、直接式思路 证题时,首先应仔细审查题意,细心观察题目,分清条件和结论,并尽量挖掘题目中隐含的一些解题信息,以在缜密审题的基础上,根据定义、公式、定理进行一系列正面的逻辑推理,最后得出命题的证明,这种证题的思路被称为直接式思路。由于思维方式的逆顺,在证题时运用的方法主要有“分析法”和“综合法”。 1.分析法。分析法是从命题的结论入手,先承认它是正确的,执果索因,寻求结论正确的条件,这样一步一步逆而推之,直到与题设会合,于是就得出了由题设通往结论的思维过程。在由结论向已知条件的寻求追溯过程中,则由于题设条件的不同,或已知条件之间关系的隐含程度不同等,寻求追溯的形式会有一定差异,因而常把分析法分为以下四种类型。 (1)选择型分析法。选择型分析法解题,首先要从题目要求解的结论A出发,逐步把问题转化为分析要得出结论A需要哪些充分条件。假设有条件B,就有结论A,那么B就成为选择找到的使A成立的充分条件,然后再分析在什么条件下能选择得到B……最终追溯到命题中的某一题设条件。 (2)可逆型分析法。如果再从结论向已知条件追溯的过程中,每一步都是推求的充分必要条件,那么这种分析法又叫可逆型分析法,因而,可逆型分析法是选择型分析法的特殊情形。用可逆型分析法证明的命题用选择型分析法一定能证明,反之用选择型分析法证明的命题,用可逆型分析不一定能证明。 (3)构造型分析法。如果在从结论向已知条件追溯的过程中,在寻找新的充分条件的转化“三岔口”处,需采取相应的构造型措施:如构造一些条件,作某些辅助图等,进行探讨、推导,才能追溯到原命题的已知条件的分析法叫做构造型分析法。 (4)设想型分析法。在向已知条件追溯的过程中,借助于有根据的设想、假定,形成“言之成理”的新构思,再进行“持之有据”的验证,逐步地找出正确途径的分析法称为设想型分析法。 2.综合法。综合法则是由命题的题设条件入手,由因导果,通过一系列的正确推理,逐步靠近目标,最终获得结论。再从已知条件着手,根据已知的定义、公式、定理,逐步推导出结论。在这一过程中,由于思考角度不同,立足点不同,综合法常分为四种类型: (1)分析型综合法。我们把分析法解题的叙述倒过来,稍加整理而得到的解法称为分析型综合法。 (2)奠基型综合法。当由已知条件着手较难,或没有熟悉的模式可供归纳推导,就可转而寻找简单的模式,然后再将一般情形化归到这个简单的模式中来,这样的综合法称为奠基型综合法。 (3)媒介型综合法。当问题给出的已知条件较少,且看不出与所求结论的直接联系时,或条
第17章 几何不等式与极值问题 一个凸行边形的内角中，恰好有4个钝角，求n 的最大值． 解析 考虑这个凸行边形的n 个外角，有4n -个角90?≥，故有()490360n -??，P 为BC 边的高AD 上的一点，求证：AB AC PB PC -<-. 解析 易知AB AC PB PC +>+， 又2222AB AC BD CD -=- 22PB PC =-， 故有AB AC PB PC -<-． 评注 读者不妨考虑AD 是角平分线与中线的情况． 17.1.3 已知四边形ABCD ，AC 、BD 交于O ，ADO △和BCO △的面积分别为3、12，求四边形ABCD 面积的最小值． 解析 易知ABO BCO ADO DCO S S BO S DO S == △△△△，故36ABO CDO ADO BCO S S S S ?=?=△△△△. 从而12ABO CDO S S +=△△≥， 且当ABO CDO S S =△△（此时四边形ABCD 为一梯形）时等号成立，所以此时四边形ABCD 面积达到最小值27. 已知：直角三角形ABC 中，斜边BC 上的高6h =． （1）求证：BC h AB AC +>+； （2）求()()2 2 BC h AB AC ++-. 解析 () ()2 2 BC h AB AC +-+ 222222BC h BC h AB AC AB AC =++?---?， 由条件，知242ABC BC h S AB AC ?==?△，且222AB AC BC +=， 于是()()2 2 236BC h AB AC h +-+==. 注意：这同时解决了（1）和（2）. 设矩形ABCD ，10BC =，7CD =，动点F 、E 分别在BC 、CD 上，且4BF ED +=，求AFE △面积的最小值． 解析设 BF x =， () 4DE y x ==-，则 ()()()11 7101077022ABF ADE ECF S S S x y x y xy ++=++--=+????△△△。 由()2 144 xy x y +=≤ 。故 ()1 70704332 AEF S -?+=△≥.
一、选择题( 共9题18分) 1. 2 分 在pH为的氨性溶液中, 已计算出Zn(NH3)=, Zn(OH)=, Y(H)=。则在此条件下lg K'(ZnY)为-------- ( ) [已知lg K(ZnY)=] (A) (B) (C) (D) 2. 2 分 每100 mL人体血浆中,平均含K+和Cl-365 mg。已知M(K+)= g/mol, M(Cl-) = g/mol。血浆的密度为g/mL。则血浆中K+和Cl-的浓度为---------------------( ) (A) ×10-1和mol/L (B) ×10-3和×10-1 mol/L (C) ×10-3和×10-1 mol/L (D) ×10-6和×10-4 mol/L 3. 2 分 欲配制pH=的缓冲溶液,最好选择-------------------------( ) (A) 一氯乙酸(p K a = (B) 氨水(p K b = (C) 六次甲基四胺(p K b = (D) 甲酸(p K a = 4. 2 分 用间接碘量法测定BaCl2的纯度时, 先将Ba2+沉淀为Ba(IO3)2, 洗涤后溶解并酸化, 加入过量的KI, 然后用Na2S2O3标准溶液滴定, 此处BaCl2与Na2S2O3的计量关系 [n(BaCl2):n(Na2S2O3)]为---------------------( ) (A) 1:2 (B) 1:3 (C) 1:6 (D) 1:12 5. 2 分
某病人吞服10g NH4Cl 1小时后, 他血液的pH = 。已知H2CO3的p K a1 = , p K a2= 。此时他血液中[HCO3-]/[H2CO3]之比为------------------------( ) (A) 1/10 (B) 10 (C) 1/2 (D) 2 6. 2 分 反应2A++ 3B4+→2A4++3B2+到达化学计量点时电位是--------------------------( ) 7. 2 分 配制含锰mL的KMnO4溶液，需取L KMnO4溶液(在酸性溶液中作氧化剂)的体积为 ----------------------( ) [M r(KMnO4)=，A r(Mn)=] (A) (B) (C) (D) 8. 2 分 用铈量法测定铁时, 滴定至50% 时的电位是----------------( ) (A) V (B) V (C) V (D) V 9. 2 分 用50 mL滴定管滴定，终点时正好消耗20 mL滴定剂，正确的记录应为----（） （A）20 mL （B）mL （C）mL （D） 二、填空题( 共12题27分) 1. 2 分
电路分析试题（Ⅰ） 二. 填空（每题1分，共10分） 1．KVL体现了电路中守恒的法则。 2．电路中，某元件开路，则流过它的电流必为。 3．若电路的支路数为b，节点数为n，则独立的KCL方程数 为。 4．在线性电路叠加定理分析中，不作用的独立电压源应将 其。 5．若一阶电路电容电压的完全响应为uc(t)= 8 - 3e-10t V,则电容电压的零输入响应为。 7．若一个正弦电压的瞬时表达式为10cos(100πt+45°)V,则它的周期T 为。 8．正弦电压u1(t)=220cos(10t+45°)V, u2(t)=220sin(10t+120°)V, 则相位差φ12＝。 9．若电感L＝2H的电流i =2 cos(10t+30°)A (设u ,i为关联参考方向)，则它的电压u为。三．求下图单口网络的诺顿等效电路，并画等效电路图。(15分) a b 四．用结点分析法，求各结点电位和电压源功率。(15分) 1 2
五．一阶电路如图，t = 0开关断开，断开前电路为稳态，求t ≥0电感电流i L(t) ,并画出波形。(15分) 电路分析试题（Ⅱ） 二. 填空（每题1分，共10分） 1．电路的两类约束 是。 2．一只100Ω，1w的电阻器，使用时电阻上的电压不得超过 V。 3．含U S和I S 两直流电源的线性非时变电阻电路，若I S单独作用时，R 上的电流为I′，当U S单独作用时，R上的电流为I"，（I′与I" 参考方向相同），则当U S和I S 共同作用时，R上的功率应 为。 4．若电阻上电压u与电流i为非关联参考方向，则电导G的表达式 为。 5．实际电压源与理想电压源的区别在于实际电压源的内 阻。 6．电感元件能存储能。 9．正弦稳态电路中, 某电感两端电压有效值为20V，流过电流有效值为2A，正弦量周期T =πS , 则电感的电感量L ＝。 10．正弦稳态L，C串联电路中, 电容电压有效值为8V , 电感电压有效值 为12V , 则总电压有效值为。 11．正弦稳态电路中, 一个无源单口网络的功率因数为0. 5 , 端口电压u(t) ＝10cos (100t +ψu) V，端口电流i(t) = 3 cos(100t - 10°)A (u,i 为
数学立体几何解题技巧 数学立体几何解题技巧 1平行、垂直位置关系的论证的策略: (2)利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一。 (3)三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑。 2空间角的计算方法与技巧: 主要步骤：一作、二证、三算;若用向量，那就是一证、二算。 (1)两条异面直线所成的角： ①平移法：②补形法：③向量法： (2)直线和平面所成的角 ①作出直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影转化到同一三角形中计算，或用向量计算。 ②用公式计算. (3)二面角： ①平面角的作法： (i)定义法; (ii)三垂线定理及其逆定理法;(iii)垂面法。 ②平面角的计算法： (i)找到平面角，然后在三角形中计算(解三角形)或用向量计算;
(ii)射影面积法; (iii)向量夹角公式. 3空间距离的计算方法与技巧: (1)求点到直线的距离： 经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关的三角形中求解，也可以借助于面积相等求出点到直线的距离。 (2)求两条异面直线间距离： 一般先找出其公垂线，然后求其公垂线段的长。在不能直接作出公垂线的情况下，可转化为线面距离求解(这种情况高考不做要求)。 (3)求点到平面的距离： 一般找出(或作出)过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算;也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离;有时直接利用已知点求距离比较困难时，我们可以 把点到平面的距离转化为直线到平面的距离，从而“转移”到另一 点上去求“点到平面的距离”。求直线与平面的距离及平面与平面 的距离一般均转化为点到平面的距离来求解。 4熟记一些常用的小结论 诸如：正四面体的体积公式是;面积射影公式;“立平斜关系式”;最小角定理。弄清楚棱锥的顶点在底面的射影为底面的内心、外心、垂心的条件，这可能是快速解答某些问题的前提。 5平面图形的翻折、立体图形的展开等一类问题 要注意翻折前、展开前后有关几何元素的“不变性”与“不变量”。 6与球有关的题型 只能应用“老方法”，求出球的半径即可。 7立体几何读题：
第56讲解析法证 几何题
第56讲解析法证 几何题 解析法是利用代数方法解决几何问题的一种常用方法．其一般的顺序是：建立坐标系，设出各点坐标及各线的方程，然后根据求解或求证要求进行代数推算．它的优点是具有一般性与程序性，几何所有的平面几何问题都可以用解析法获解，但对于有些题目演算太繁． 此外，如果建立坐标系或设点坐标时处理不当，也可能增加计算量．建系设点坐标的一般原则是使各点坐标出现尽量多的0，但也不可死搬教条，对于一些“地位平等”的点、线，建系设点坐标时，要保持其原有的“对称性”． A类例题 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
斜边AB及直角边BC为边向三角形两 侧作正方形ABDE、CBFG． 求证：DC⊥FA． 分析只要证k CD·k AF＝－1，故只要求点D的坐标． 证明以C为原点，CB为x轴正方向建立直角坐标 系．设A(0，a)，B(b，0)，D(x，y)． 则直线AB的方程为ax＋by－ab＝0． 故直线BD的方程为bx－ay－(b·b－a·0)＝0， 即bx－ay－b2＝0． ED方程设为ax＋by＋C＝0． 由AB、ED距离等于|AB|，得 |C＋ab| ＝a2＋b2， a2＋b2 解得C＝±(a2＋b2)－ab． 如图，应舍去负号． 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
所以直线ED方程为ax＋by＋a2＋b2－ab＝0． 解得x＝b－a，y＝－b．(只要作DH⊥x轴，由△DBH≌△BAC就可得到这个结果)． 即D(b－a，－b)． 因为k AF＝b－a b，k CD＝ －b b－a，而k AF·k CD＝－1．所以 DC⊥FA． 例2．自ΔABC的顶点A引BC的垂线，垂足为D，在AD上任取一点H，直线BH交AC于E，CH交AB于F．试证：AD平分ED与DF所成的角． 证明建立直角坐标系，设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，H(0，h)，于是 BH：x b＋ y h＝1 AC：x c＋ y a＝1 x