新疆乌鲁木齐市2009年高中招生考试
数学试卷（问卷）
注意事项：
1．本卷共4页，满分150分．考试时间120分钟．考试时可使用科学计算器．
2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试卷指定的位置上．
3．选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．不能答在试卷上．非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚．
4．非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效．在草稿纸、本试卷上答题无效．
5．作图可先用2B 铅笔绘出图，确定后必须用0.5毫米的黑色字迹的签字笔描黑． 6．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）每题的选项中只有一项符合题目要求．
1．2-的绝对值是（ ） A ．2-
B ．2
C ．12
-
D ．
12
2．下列运算中，正确的是（ ）
A ．6
2
3
x x x ÷= B ．22(3)6x x -= C ．3
2
32x x x -= D ．327()x x x = 3．若相交两圆的半径分别为1和2，则此两圆的圆心距可能是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
4．某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8
5．下列几何体中，其主视图、左视图与俯视图均相同的是（ ） A ．正方体 B ．三棱柱 C ．圆柱 D ．圆锥 6．如图1，正比例函数y mx =与反比例函数n
y x
=
（m n 、是 非零常数）的图象交于A B 、两点．若点A 的坐标为（1，2）， 则点B 的坐标是（ ）
A ．(24)--，
B ．(21)--，
C ．(1
2)--，
D ．(42)--，
7．要得到二次函数2
22y x x =-+-的图象，需将2
y x =-的图象（ ） A ．向左平移2个单位，再向下平移2个单位
B ．向右平移2个单位，再向上平移2个单位
C ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位
D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）把答案直接填在答题卡的相应位置处．
8．在平面直角坐标系中，点(12)A x x --，在第四象限，则实数x 的取值范围是 ． 9．如图2，在ABC △中，DE BC ∥，若123A
D D
E B D ===，，，
则BC = ．
10．化简：22
4442
x x x
x x ++-=-- ． 11．某公司打算至多用1200元印制广告单．已知制版费50元，每印一张广告单还需支付
0.3元的印刷费，则该公司可印制的广告单数量x （张）满足的不等
式为 ．
12．瑞瑞有一个小正方体，6个面上分别画有平行四边形、圆、等腰梯
形、菱形、等边三角形和直角梯形这6个图形．抛掷这个正方体一次，
向上一面的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率
是 ．
13．如图3，点C D 、在以AB 为直径的O ⊙上，且CD 平分ACB ∠，
若215AB CBA =∠=，°，则CD 的长为 ．
三、解答题（本大题Ⅰ-Ⅴ题，共10小题，共98分）解答时应在答题卡的相应位置处写出文字说明、证明过程或演算过程． Ⅰ．（本题满分12分，第14题6分，第15题6分） 14
．计算：?÷ ?
15．解方程33
122x x x
-+=--．
A D E
C
B
图2
图3
16．如图4，将ABCD
的对角线BD 向两个方向延长至点E 和点F ，使BE DF =，求证四边形AECF 是平行四边形．
17．某超市为“开业三周年”举行了店庆活动．对A 、B 两种商品实行打折出售．打折前，
购买5件A 商品和1件B 商品需用84元；购买6件A 商品和3件B 商品需用108元．而店庆期间，购买50件A 商品和50件B 商品仅需960元，这比不打折少花多少钱？
18．如图5，在ABC △中，AB AC =，以AB 为直径的O ⊙交BC 于点M ，MN AC ⊥ 于点N ．
（1）求证MN 是O ⊙的切线；
（2）若1202BAC AB ∠==°
，，求图中阴影部分的面积．
A F
C E B
D 图4
图5
19．某中学组织全校4 000名学生进行了民族团结知识竞赛．为了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中随机抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分），并绘制了如图6的频数分布表和频数分布直方图（不完整）．
请根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布表； （2）补全频数分布直方图；
（3）上述学生成绩的中位数落在哪一组范围内？
（4）学校将对成绩在90.5~100.5分之间的学生进行奖励，请估计全校4 000名学生中约有多少名获奖？
20．九（1）班的数学课外小组，对公园人工湖中的湖心亭A 处到笔直的南岸的距离进行测量．他们采取了以下方案：如图7，站在湖心亭的A 处测得南岸的一尊石雕C 在其东南方向，再向正北方向前进10米到达B 处，又测得石雕C 在其南偏东30°方向．你认为此方案能够测得该公园的湖心亭A 处到南岸的距离吗？若可以，请计算此距离是多少米（结果保留到小数点后一位）？
D C
图7
图6
/分
21．有一批图形计算器，原售价为每台800元，在甲、乙两家公司销售．甲公司用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台每台都为760元．依此类推，即每多买一台则所买各台单价均再减20元，但最低不能低于每台440元；乙公司一律按原售价的75%促销．某单位需购买一批图形计算器：
（1）若此单位需购买6台图形计算器，应去哪家公司购买花费较少？
（2）若此单位恰好花费7 500元，在同一家公司购买了一定数量的图形计算器，请问是在哪家公司购买的，数量是多少？
Ⅳ．（本题满分10分）
22．星期天8：00~8：30，燃气公司给平安加气站的储气罐注入天然气．之后，一位工作人员以每车20立方米的加气量，依次给在加气站排队等候的若干辆车加气．储气罐中的储气量y（立方米）与时间x（小时）的函数关系如图8所示．
（1）8：00~8：30，燃气公司向储气罐注入了多少立方米的天然气？
x≥时，求储气罐中的储气量y（立方米）与时间x（小时）的函数解析式；（2）当0.5
（3）请你判断，正在排队等候的第18辆车能否在当天10：30之前加完气？请说明理由．
)
Ⅴ．（本题满分14分）
23．如图9，在矩形OABC 中，已知A 、C 两点的坐标分别为(40)(02)A C ，、
，，D 为OA 的中点．设点P 是AOC ∠平分线上的一个动点（不与点O 重合）． （1）试证明：无论点P 运动到何处，PC 总与PD 相等；
（2）当点P 运动到与点B 的距离最小时，试确定过O P D 、、三点的抛物线的解析式； （3）设点E 是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P 运动到何处时，PDE △的周长最小？求出此时点P 的坐标和PDE △的周长；
（4）设点N 是矩形OABC 的对称中心，是否存在点P ，使90CPN ∠=°？若存在，请直接写出点P 的坐标．
图9
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数学试卷参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 1．B 2．D 3．B 4．D 5．A 6．C 7．D 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
8．2x > 9．8 10．
22
x - 11．500.31200x +≤ 12．1
3 13三、解答题（本大题共10小题，共98分）
Ⅰ．（本题满分12分，第14题6分，第15题6分）
14．解：原式?
=÷ ?·
······································································ 3分
143
=
=． ··················································································· 6分 15．解：方程两边同乘以2x -，得3(3)2x x --=-，即28x =，解得4x =． ··········· 4分 检验：4x =时，20x -≠，
∴原方程的解是4x =． ········································································································ 6分 Ⅱ．（本题满分28分，第16题7分，第17题10分，第18题11分） 16．证明：连接A C 、，设AC 与BD 交于点O ．
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA OC OB OD ==，， ············································· 5分 又∵BE DF =，∴OE OF =． ·························································································· 6分 ∴四边形AECF 是平行四边形． ·························································································· 7分 17．解：设打折前A 商品的单价为x 元，B 商品的单价为y 元，根据题意有
58463108x y x y +=??+=?解之，得16
4
x y =??
=? ························································································· 8分 打折前购买50件A 商品和50件B 商品共需16504501000?+?=元． ∴打折后少花(1000960)40-=元．
答：打折后少花40元． ······································································································· 10分 18．（1）证明：连接OM ．
∵OM OB =，∴B OMB ∠=∠，∵AB AC =，∴B C ∠=∠． ∴OMB C ∠=∠，∴OM AC ∥．
又MN AC ⊥，∴OM MN ⊥，点M 在O ⊙上，∴MN 是O ⊙的切线． ····················· 5分 （2）连接AM ．∵AB 为直径，点M 在O ⊙上，∴90AMB ∠=°． ∵120AB AC BAC =∠=，°，∴30B C ∠=∠=°，∴60AOM ∠=°． 又∵在Rt AMC △中，MN AC ⊥于点N ，∴30AMN ∠=°．
1
sin sin 30sin 302
AN AM AMN AC =∠==
°°，
cos sin 30cos302
MN AM AMN AC =∠==
°°， ····················································· 8分
∴()28
ANMO
AN OM MN S +==
梯形，260π1π3606OAM S == 扇形，
∴S =
阴影． ·········································································································· 11分 Ⅲ．（本题满分34分，第19题12分，第20题10分，第21题12分） 19．解：（1）
（每空1分） ······································ 6分 （2）略； ································································································································ 8分 （3）80.5~90.5； ·················································································································· 10分 （4）1480人． ····················································································································· 12分 20．解：此方案能够测得该公园的湖心亭A 处到南岸的距离． 过点A 作南岸所在直线的垂线，垂足是点D ，AD 的长即为所求．
在Rt ADC △中，∵9045ADC DAC ∠=∠=°
，°，∴DC AD = 在Rt BDC △中，∵9030BDC DBC ∠=∠=°，°，∴BD = ······························ 7分
由题意得：10AB BD AD AD ==-=-，解得13.7AD =
答：该公园的湖心亭A 处到南岸的距离约是13.7米． ······················································ 10色 21．解：（1）在甲公司购买6台图形计算器需要用6(800206)4080?-?=（元）；在乙公司购买需要用75%80063600??=（元）4080<（元）．应去乙公司购买； ··············· 3分 （2）设该单位买x 台，若在甲公司购买则需要花费(80020)x x -元；若在乙公司购买则需要花费75%800600x x ?=元；
①若该单位是在甲公司花费7 500元购买的图形计算器， 则有(80020)x x -7500=，解之得1525x x ==，．
当15x =时，每台单价为8002015500440-?=>，符合题意，
当25x =时，每台单价为8002025300440-?=<，不符合题意，舍去． ················· 10分
②若该单位是在乙公司花费7 500元购买的图形计算器，则有6007500x =，解之得
12.5x =，不符合题意，舍去．
故该单位是在甲公司购买的图形计算器，买了15台． ····················································· 12分 Ⅳ．（本题满分10分） 22．解：（1）由图可知，星期天当日注入了1000020008000-=立方米的天然气； ··· 2分 （2）当0.5x ≥时，设储气罐中的储气量y （立方米）与时间x （小时）的函数解析式为：
y kx b =+（k b ，为常数，且0k ≠），∵它的图象过点(0.510
000)，，(10.58000)，， ∴0.51000010.58000k b k b +=??
+=? 解得200
10100k b =-??=?
故所求函数解析式为：20010100y x =-+． ····································································· 6分 （3）可以．
∵给18辆车加气需1820360?=（立方米），储气量为100003609640-=（立方米）， 于是有：964020010100x =-+，解得： 2.3x =，
而从8：00到10：30相差2.5小时，显然有：2.3 2.5<， 故第18辆车在当天10：30之前可以加完气． ··································································· 10分 Ⅴ．（本题满分14分） 23．解：（1）∵点D 是OA 的中点，∴2OD =，∴OD OC =． 又∵OP 是COD ∠的角平分线，∴45POC POD ∠=∠=°， ∴POC POD △≌△，∴PC PD =． ··············································································· 3分 （2）过点B 作AOC ∠的平分线的垂线，垂足为P ，点P 即为所求． 易知点F 的坐标为（2，2），故2BF =，作PM BF ⊥， ∵PBF △是等腰直角三角形，∴1
12
PM BF ==， ∴点P 的坐标为（3，3）． ∵抛物线经过原点，
∴设抛物线的解析式为2
y ax bx =+．
又∵抛物线经过点(33)P ，
和点(20)D ，， ∴有933420a b a b +=??
+=? 解得1
2a b =??=-?
∴抛物线的解析式为2
2y x x =-． ······················································································ 7分
（3）由等腰直角三角形的对称性知D 点关于AOC ∠的平分线的对称点即为C 点．
连接EC ，它与AOC ∠的平分线的交点即为所求的P 点（因为PE PD EC +=，而两点之间线段最短），此时PED △的周长最小． ∵抛物线22y x x =-的顶点E 的坐标(11)-，，C 点的坐标(02)，，
设CE 所在直线的解析式为y kx b =+，则有12k b b +=-??=?，解得32k b =-??=?
．
∴CE 所在直线的解析式为32y x =-+．
点P 满足32y x y x =-+??=?，解得12
1
2x y ?
=????=??，故点P 的坐标为1122?? ???，．
PED △
的周长即是CE DE +=
（4）存在点P ，使90CPN ∠=°．其坐标是1122?? ???
，或(22)，． ···································· 14分