2014年中考数学压轴题精编—四川篇
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2014年中考数学压轴题精编—四川篇
1．（四川省成都市）在平面直角坐标系xO y 中，抛物线y ＝ax
2
＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为（－3，0）．若将经过A 、C 两点的直线y ＝kx ＋b 沿y 轴向下平
移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线x ＝－2． （1）求直线AC 及抛物线的函数表达式；
（2）如果P 是线段AC 上一点，设△ABP 、△BPC 的面积分别为S △ABP 、S △BPC
，且S △ABP :
S △BPC
＝2 :
3，求点P 的坐标；
（3）设⊙Q 的半径为l ，圆心Q 在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在⊙Q 与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q 的半径为r ，圆心Q 在抛物线上运动，则当r 取何值时，⊙Q 与两坐轴同时相切？
1．解：（1）解：（1）∵直线y ＝kx ＋b 沿y 轴向下平移3个单位后恰好经过原点
∴b ＝3，C （0，3）
将A （－3，0）代入y ＝kx ＋3，得－3k ＋3＝0，解得k ＝1
∴直线AC 的函数表达式为y ＝x ＋3 ···························································· 1分 ∵抛物线y ＝ax
2
＋bx ＋c 过点A 、C ，且对称轴为x ＝－2
∴?????9a －3b ＋c ＝0
－a b 2＝－2c ＝3
解得????
?a ＝1b ＝4c ＝3
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2
∴抛物线的函数表达式为y ＝x
2
＋4x ＋3 ······················································ 3分
（2）如图，过点B 作BD ⊥AC 于点D
∵S △ABP :
S △BPC
＝2 :
3，
∴(
212| AP |2| BD |):(21
2| PC |2| BD |)＝2 :
3 ∴| AP |:| PC |＝2 :
3 ···················································································· 4分
过点P 作PE ⊥x 轴于点E
∵PE ∥CO ，∴△APE ∽△ACO ∴
︱︱︱︱CO PE ＝
︱︱︱︱AC AP ＝5
2 ∴|
PE |＝52|
OC |＝5
6
·················································································· 5分
∴56＝x ＋3，解得x ＝－5
9 ∴点P 的坐标为（－59，5
6
）······································································· 6分
（3）（ⅰ）假设⊙Q 在运动过程中，存在⊙Q 与坐标轴相切的情况
设点Q 的坐标为（x 0，y 0）
①当⊙Q 与y 轴相切时，有|
x 0|＝1，即x 0＝±1
当x 0＝－1时，得y 0＝(－1)2
＋4×(－1)＋3＝0，∴Q 1（－1，0） ·············· 7分 当x 0＝1时，得y 0＝1
2
＋4×1＋3＝8，∴Q 2（1，8） ·································· 8分
②当⊙Q 与x 轴相切时，有|
y 0|＝1，即
y 0＝±1
当y 0＝－1时，得－1＝x 02＋4x 0＋3，即x 02
＋4x 0＋4＝0
解得x 0＝－2，∴Q 3（－2，－1） ·································································· 9分 当y 0＝1时，得1＝x 02＋4x 0＋3，即x 02
＋4x 0＋2＝0
解得x 0＝－2±2，∴Q 4（－2－2，1），Q 5（－2＋2，1） ·············· 10分 综上所述，存在符合条件的⊙Q ，其圆心Q 的坐标分别为：Q 1（－1，0）、Q 2（1，8） Q 3（－2，－1）、Q 4（－2－2，1）、Q 5（－2＋2，1） （ⅱ）设点Q 的坐标为（x 0，y 0） 当⊙Q 与两坐标轴同时相切时，有y 0＝±x 0 由y 0＝x 0，得x 02＋4x 0＋3＝x 0，即x 02
＋3x 0＋3＝0
∵△＝3
2
－4×1×3＝－3＜0，∴此方程无解 ············································· 11分
由y 0＝－x 0，得x 02＋4x 0＋3＝－x 0，即x 02
＋5x 0＋3＝0 解得x 0＝
2
13
5±-
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································································································· 12分
2．（四川省自贡市）如图，在直角坐标平面内，O 为坐标原点，A 点的坐标为（1，0），B 点在x 轴上且在点A 的右侧，AB ＝OA ，过点A 和B 作x 轴的垂线分别交二次函数y ＝x
2
的图象于点C 和D ，直线OC 交BD 于M ，直线CD 交y 轴于点H 。记C 、D 的横坐标分别为x C ，x D ，点H 的纵坐标y H 。 （1）证明：①S △CMD :
S 梯形ABMC ＝2 :
3
②x C 2x D ＝－y H
（2）若将上述A 点坐标（1，0）改为A 点坐标（t ，0）（t ＞0），其他条件不变，结论S △CMD :
S 梯形ABMC ＝2 :
3是否仍成立？请说明理由。
（3）若A 的坐标（t ，0）（t ＞0），又将条件y ＝x
2改为y ＝ax
2
（a ＞0），其他条件不变，那么x C 、x D 和y H 又有怎样的数量关系？写出关系式，并证明。
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2．解：（1）由已知可得点B 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（1，1），点D 的坐标为（2，4），且直线
OC 的函数解析式为y ＝x 。
∴点M 的坐标为（2，2），易得S △CMD ＝1，S 梯形ABMC ＝2
3
···················· 1.5分 ∴S △CMD :
S 梯形ABMC ＝2 :
3，即结论①成立。
设直线CD 的函数解析式为y ＝kx ＋b ，则
?????k ＋b ＝12k ＋b ＝4 解得?
????k ＝3b ＝－2 ∴直线CD 的解析式为y ＝3x －2
由上述可得点H 的坐标为（0，－2），即y H ＝－2 ·································· 2.5分 ∴x C 2x D ＝－y H ，即结论②成立 ··································································· 3分 （2）结论S △CMD :
S 梯形ABMC ＝2 :
3仍成立 ··························································· 4分
理由如下：∵点A 的坐标为（t ，0），（t ＞0） 则点B 的坐标为（2t ，0）
从而点C 的坐标为（t ，t
2），点D 的坐标为（2t ，4t
2
）
设直线OC 的解析式为y ＝kx ，则t
2
＝kt ，得k ＝t
∴直线OC 的解析式为y ＝tx ······································································· 5分 又设M 的坐标为（2t ，y ） ∵点M 在直线OC 上 ∴当x ＝2t 时，y ＝2t
2
∴点M 的坐标为（2t ，2t
2
） ········································································· 6分
∴S △CMD :
S 梯形ABMC ＝
2122t
22t :
2
1( t
2＋2t
2
)2t ＝t
3
:(
2
3 t
3
) ＝2 :
3 ········································································· 7分
（3）x C ，x D 和y H 具有的数量关系是：x C 2x D ＝－a
1
y H. ······································ 8分
由题意，当二次函数的解析式为y ＝ax 2（a ＞0），且点A 的坐标为（t ，0）时，点C 的坐标
为（t ，at
2），点D 的坐标为（2t ，4at
2
） ······················································ 9分 设直线CD 的解析式为y ＝kx ＋b
则???kt ＋b ＝at
2
2kt ＋b ＝4at
2 解得?
????k ＝3at b ＝－2at
2 ∴CD 的解析式为y ＝3atx －2at
2
································································· 11分
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则H 的坐标为（0，－2at
2），即y H ＝－2at
2
·········································· 11.5分
∵x C 2x D ＝t 22t ＝2at
2
∴x C 2x D ＝－
a
1
y H. ······················································································· 12分
3．（四川省绵阳市）如图，抛物线y ＝ax
2
＋bx ＋4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；
（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长； （3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时， △EFK 的面积最大？并求出最大面积．
3．解：（1）由题意，得?????16a －4b ＋4＝04a ＋2b ＋4＝0
解得a ＝－21
，b ＝－1
∴抛物线的函数解析式为y ＝－
21x
2－x ＋4
，顶点D 的坐标为（－1，2
9
） ··································································································· 4分
（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ．因为EF 垂直平分BC ，即C 关于直线EG 的对称点为B ，
连结BD 交EF 于一点，则这一点为所求点H ，使DH ＋CH 最小，即最小为：
DH ＋CH ＝DH ＋HB ＝BD ＝22DM BM
＋＝132
3
而CD ＝224291)(-
＋＝2
5
∴△CDH 的周长最小值为CD ＋DR ＋CH ＝
2
13
35+ ···设直线BD 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1，则 ????
?2k 1＋b 1＝0
－k 1＋b 1＝2
9
解得k 1＝－
2
3
，b 1＝3
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∴直线BD 的解析式为y ＝－2
3
x ＋3 由于BC ＝52，CE ＝
2
1
BC ＝5，Rt △CEG ∽Rt △
得CE :
CO ＝CG :
CB ，∴CG ＝
25，GO ＝23，∴G （0同理可求得直EF 的解析式为y ＝
21x ＋2
3
联立 ????
?y ＝－23x ＋3y ＝21x ＋23 解得?
???
?x ＝4
3
y ＝
8
15
故使△CDH 的周长最小的点H 坐标为（43，8
15
） ···································· 9分
（3）设K （t ，－
2
1t
2
－t ＋4
），x F ＜t ＜x E ．过K 作x 轴的垂线交EF 于N 则KN ＝y K
－y N
＝－
21t
2－t ＋4－(21t ＋23)＝－21t
2－23t ＋2
5 ∴S △EFK
＝S △KFN
＋S △KNE
＝
21KN (t ＋3)+2
1
KN (1－t )＝2KN ＝－t
2
－3t ＋5＝－(t ＋
23)
2＋4
29
····················································· 10分 ∴当t ＝－
23时，△EFK 的面积最大，最大面积为429，此时K （－23，835
） ································································································· 14分
4．（四川省德阳市）如图，已知实数m 是方程x
2
－8x ＋16＝0的一个实数根，抛物线y ＝－2
1x
2
＋bx ＋c 交x 轴于点A （m ，0）和点B ，交y 轴于点C （0，m ）．
（1）求抛物线的函数关系式； （2）设点D 为线段AB 上的一个动点，过D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，又过D 作DF ∥AC 交BC 于点F ，当四边形DECF 的面积最大时，求点D 的坐标；
（3）设△AOC 的外接圆为⊙G ，若M 是⊙G 的优弧ACO 上的一个动点，连接AM 、OM ，问在这个抛物线位于y 轴左侧的图象上是否存在点N ，使得∠NOB ＝∠AMO ？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由．
4．解：（1）解方程x
2
－8x ＋16＝0，得x 1＝x 2＝4
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∴m ＝4 ·········································································································· 1分 ∴A （4，0），C （0，4） ··············································································· 2分 ∵A （4，0），C （0，4）在抛物线y ＝－
2
1x
2
＋bx ＋c 上 ∴?????－21×4
2＋4b ＋c ＝0c ＝4
解得?????b ＝1
c ＝4
∴抛物线的函数关系式为y ＝－2
1x
2
＋x ＋4 ················································ 3分 （2）在y ＝－
21x
2＋x ＋4中，令y ＝0，得－2
1x
2
＋x ＋4＝0 解得x 1＝－2，x 2＝4，∴B （－2，0），∴BA ＝6
如图1，过F 作FG ⊥BA 于点G ，过E 作EH ⊥BA 于点H 设BD ＝x ，则DA ＝6－x ∵DF ∥AC ，∴△BDF ∽△BAC ∴
BD FG ＝BA CO ，即x
FG ＝64
∴FG ＝
3
2
x ···················································· 4分 同理可得EH ＝
3
2
(6－x ) S 四边形DECF
＝S △BAC
－
S △BDF －
S △DAE
＝
212624－212x 232x －212(6－x )23
2
(6－x ) ＝－
32x
2＋4x ＝－3
2(x －3)2
＋6 ··················································· 5分 ∴当x ＝3时，四边形DECF 的面积最大 ···················· 6分 此时OD ＝3－2＝1
∴点D 的坐标为（1，0） ······························ 7分 （3）假设存在这样的点N ，使得∠NOB ＝∠AMO
∵OA ＝OC ＝4，∠AOC ＝90°，∴∠ACO ＝45° ∴∠AMO ＝45°，∴∠NOB ＝45°
如图2，当点N 1在y 轴左侧、x 轴上方的抛物线上时 过点N 1作N 1H ⊥x 轴于点H ，则tan ∠N 1OB ＝
OH
H
N 1
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∴
x y
-＝tan45°＝1，∴y ＝－x 由????
?y ＝－x
y ＝－2
1x
2
＋x ＋4 解得???x 1＝2＋32y 1＝－2－32（舍去），???x 2＝2－32y 2＝32－2 ∴点N 的坐标为N 1（2－32，32－2） ··················································· 9分 当点N 2在y 轴左侧、x 轴下方的抛物线上时 同理可得y ＝x 由?????y ＝x
y ＝－2
1x
2
＋x ＋4 解得???x 1＝22y 1＝22（舍去），???x 2＝－22y 2＝－22 ∴点N 的坐标为N 2（－22，－22） 综上，存在满足条件的点N ，点N 的坐标为：
N 1（2－32，32－2），N 2（－22，－22） ···································· 10分
5．（四川省资阳市）如图，已知抛物线与x 轴交于A （－2，0）、B 两点，顶点为P （1，－33），将△P AB 翻折后，点P 落在线段AB 上的点Q 的位置，折痕为MN ．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）设AQ ＝x ，PM ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；
（3）是否存在点Q ，使得△MNQ 的一边与x 轴垂直？若存在，求出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
5．解：（1）∵抛物线顶点为P （1，－33）
∴抛物线的对称轴为x ＝1，又∵抛物线与x 轴交于A (－2，0)、B 两点 ∴由抛物线的对称性可知B 点的坐标为（4，0） ········································ 1分 设抛物线的函数解析式为y ＝a (x ＋2)(x －4)，把P （1，－33）代入 得a ＝
3
3
······································································································· 2分 ∴抛物线的函数解析式为y ＝3
3
(x ＋2)(x －4) 即y ＝
33x
2－3
32x －338 ········································································· 3分
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（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，则PD ＝33
由（1）知AB ＝6，则AD ＝3
∴tan ∠P AB ＝
AD
PE
＝3，∴∠P AB ＝60° 由抛物线的对称性可知P A ＝PB ，∴△P AB 是等边三角形
∴P A ＝PB ＝AB ＝6
过Q 作QH ⊥AP 于H ，AH ＝2
1
x ，QH ＝23x
又QM ＝PM ＝y ，MH ＝6－2
1
x －y 在Rt △QMH 中，(
23x )2＋(6－2
1
x －y )2＝y
2 ∴y ＝x
x x -+-1236
62（0＜x ＜6）······································································ 6分
（3）若MQ ⊥x 轴，则6－y ＝2x
∴6－x
x x -+-123662＝2x ，解得x 1＝12－36，x 2＝12＋36（舍去）
∴OQ ＝2－(12－36)＝36－10
∴Q 1（10－36，0） ···················································································· 8分 若NQ ⊥x 轴，则6－y ＝
2
1
x ∴6－x x x -+-123662＝2
1x ，解得x 3＝36－6，x 4＝－36－6（舍去）
∴OQ ＝(36－6)－2＝36－8 ∴Q 2（36－8，0） 若MN ⊥x 轴，显然不可能
因此，存在两点Q 1（10－36，0）和Q 2（36－8，0），使得△MNQ 的一边与x 轴垂直
··································································································· 9分
6．（四川省广元市）如图，抛物线y ＝x
2
＋bx ＋3与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交于点A 、B ，顶点为D ，tan ∠OAB ＝3．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）将△OAB 绕点A 顺时针旋转90°后，点B 落到点C 的位置．将抛物线y ＝x
2
＋bx ＋2沿y 轴向上或向下平移后，经过点C ，求点C 的坐标和平移后抛物线的解析式；
（3）设（2）中平移后的抛物线与y 轴的交点为B 1，顶点为D 1．点P 在平移后的抛物线上，且满足△PBB 1
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的面积是△PDD 1的面积的两倍，求点P 的坐标．
6．解：（1）由题意，可得点B 的坐标为（0，3），∴OB ＝3
∵tan ∠OAB ＝3，即
OA
OB
＝3，∴OA ＝1 ∴点A 的坐标为（1，0） ·············································································· 2分 又∵抛物线y ＝x
2
＋bx ＋3经过点A ，∴0＝1
2
＋b ×1＋3
∴b ＝－4 ········································································································ 3分 ∴该抛物线的解析式为y ＝x
2
－4x ＋3 ·························································· 4分
（2）由题意，可得点C 的坐标为（4，1） ··························································· 5分
设平移后的抛物线的解析式为y ＝x
2
－4x ＋3＋m
∵抛物线y ＝x
2－4x ＋3＋m 经过点C ，∴1＝4
2
－4×4＋3＋m
∴m ＝－2 ······································································································· 6分 ∴平移后的抛物线的解析式为y ＝x
2
－4x ＋1 ··············································· 7分
（3）由（2）可知，经过平移后，所得抛物线是原抛物线向下平移2个单位后所得到的图像，如
图，那么对称轴直线x ＝2不变，且BB 1＝DD 1＝2
∵点P 在平移后的抛物线上，∴设点P 的坐标为（x ，x
2
－4x 在△PBB 1和△PDD 1中，∵S △PBB 1＝2S △PDD 1 ∴边B 上的高是边DD 1上的高的2倍
①当点P 在对称轴的右侧时，x ＝2(x －2)，得x ＝4 ∴y ＝4
2
－4×4＋1＝1
∴P 1（4，1） ······························································· 8分 ②当点P 在对称轴的左侧，同时在y 轴的右侧时，
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x ＝2(2－x )，得x ＝3
4 ∴y ＝(34)2－4×34＋1＝－9
23 ∴P 2（
34，－9
23
） ························································································ 9分 ③当点P 在y 轴的左侧时，x ＜0，又－x ＝2(2－x )，得x ＝4＞0（舍去）
所以所求点P 的坐标为（4，1）或（34，－9
23）····································· 10分
7．（四川省广安市）如图，AB 、AC 分别是⊙O 的直径和弦，点D 为劣弧AC 上一点，弦DE ⊥AB 分别交⊙O 于点D 、E ，交AB 于点H ，交AC 于点F ．P 是ED 延长线上一点，且PC ＝PF ．
（1）求证：PC 是⊙O 的切线；
（2）点D 在劣弧AC 的什么位置时，才能使AD 2
＝DE 2DF ，为什么？ （3）在（2）的条件下，若OH ＝1，AH ＝2，求弦AC 的长．
7．解：（1）证明：连结CO ，则∠ACO ＝∠CAO
∵∠AFH ＋∠CAO ＝90°，∠PFC ＝∠AFH ∴∠PFC ＋∠CAO ＝90° ∵PC ＝PF ，∴∠PCF ＝∠PFC
∴∠PCF ＋∠ACO ＝90°，∴PC ⊥CO ···································· 2分 ∴PC 是⊙O 的切线 ································································ 3分
（2）解：点D 在劣弧AC 的中点时，才能使AD 2
＝DE 2DF ． ············ 4分
连结AE ，由AD 2
＝DE 2DF 得
AD DF ＝
DE
AD
又∠FDA ＝∠ADE ，∴△FDA ∽△ADE
∴∠DAF ＝∠DEA ，∴CD ︵
＝AD ︵
································································· 5分
∴点D 在劣弧AC 的中点 ············································································· 6分
A
A
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（3）解：∵OH ＝1，AH ＝2，∴OD ＝OA ＝3
∴DH ＝22OH OD
－＝2213
－＝22，∴DE ＝2DH ＝24 ··················· 8分 ∵CD ︵
＝AD ︵，AD ︵＝AE ︵，∴AC ︵＝DE ︵ ························································· 9分
∴AC ＝DE ＝24 ························································································· 10分
8．（四川省广安市）如图，直线y ＝－x －1与抛物线y ＝ax
2
＋bx －4都经过点A （－1，0）、C （3，－4）． （1）求抛物线的解析式；
（2）动点P 在线段AC 上，过点P 作x 轴的垂线与抛物线相交于点E ，求线段PE 长度的最大值；
（3）当线段PE 的长度取得最大值时，在抛物线上是否存在点Q ，使△PCQ 是以PC 为直角边的直角三角形？若存在，请求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．
8．解：（1）∵抛物线y ＝ax
2
＋bx －4经过点A （－1，0）、C （3，－4）
∴?????a －b －4＝09a ＋3b －4＝－4 解得?
????a ＝1
b ＝－3 (2)
∴抛物线的解析式为y ＝x
2
－3x －4 ········································ 3（2）设P （m ，－m －1），则E （m ，m
2
－3m －4）
∴PE ＝－m －1－(m
2
－3m －4)
＝－m
2
＋2m ＋3 ······························································ 4＝－(m －1)2
＋4 ······························································ 5∴当m ＝1时，线段PE 的长度有最大值4 ··························· 7（3）假设存在符合条件的Q 点，有两种情况：
设直线PE 交x 轴于点D ，由（2）知点P 的坐标为（1，－2），∴DP ＝2 过点P 作AC 的垂线，交抛物线于点Q 1、Q 2，交x 轴于点F 在Rt △ADP 中，∵AD ＝DP ＝2，∴∠DAP ＝45°
2014年中考数学压轴题精编—四川篇
∴∠AFP ＝45°，∴DF ＝DP ＝2 ∴点F 的坐标为（3，0）
∴直线PF 的解析式为y ＝x －3 ···································································· 8分
令x －3＝x
2
－3x －4，解得???x 1＝2＋5y 1＝5－1 ???x 2＝2－5y 2＝－5－1
∴Q 1（2＋5，5－1），Q 2（2－5，－5－1）································· 10分
过点C 作AC 的垂线，交抛物线于点Q 3、交y 轴于点G ，过点C 作y 轴的垂线，垂足为H 则HG ＝HC ＝3，∴OG ＝4＋3＝7 ∴点G 的坐标为（0，－7）
∴直线CG 的解析式为y ＝x －7 ································································· 11分
令x －7＝x
2
－3x －4，解得?????x 1＝1y 1＝－6 ?????x 2＝3y 2
＝－4（即为C 点，舍去）
∴Q 3（1，－6）
综上所述，满足条件的点Q 有三个：
Q 1（2＋5，5－1），Q 2（2－5，－5－1），Q 3（1，－6） ············ 12分
9．（四川省雅安市）如图，直线y ＝x ＋6交x 、y 轴于A 、B 两点，抛物线y ＝ax
2
＋bx ＋c 经过O 、A 两点，且顶点C 在直线AB 上． （1）求该抛物线的解析式；
（2）以AB 为直径作⊙C ，将⊙C 沿x 轴翻折后得到⊙D ，试判断直线AB 与⊙D 的位置关系，并说明理由；
（3）设E 为⊙C 的优弧ABO ︵
上的一个动点，在抛物线上是否存在这样的点P ，使得∠POA ＝3
2
∠AEO ？若
存在，请求出P 点的坐标，若不存在，请说明理由．
9．解：（1）∵y ＝x ＋6，当y ＝0时，x ＝－6，∴A （－6，0）
当x ＝0时，y ＝6，∴B （0，6） ∵抛物线y ＝ax
2
＋bx ＋c 经过O 、A 两点
2014年中考数学压轴题精编—四川篇
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∴c ＝0，∴y ＝ax
2
＋bx
抛物线的对称轴为x ＝－a
b
2＝－3 ∴b ＝6a ①
把x ＝－3代入y ＝x ＋6，得y ＝－3＋6＝3，∴C （－3，3） ∵点C 在抛物线y ＝ax
2
＋bx 上
∴3＝9a －3b ②
由①、②解得a ＝－3
1
，b ＝－2
∴该抛物线的解析式为y ＝－3
1x
2
－2x ························································· 3分
（2）直线AB 与⊙D 相切，理由如下：
连结AD ，∵AO ＝BO ，∴∠ABO ＝∠BAO ＝45° ∵⊙D 与⊙C 关于x 轴对称，∴∠DAO ＝∠CAO ＝45° ∴∠CAD ＝90°，又∵AD 是⊙D 半径
∴AB 与⊙D 相切 ·························································································· 7分 （3）假设存在这样的点P ，使得∠POA ＝
3
2
∠AEO 设P 点的坐标为（x ，y ） ∵∠AEO ＝∠ABO ＝45°，∠POA ＝3
2
∠AEO ∴∠POA ＝30°
当点P 在x 轴上方时，
x
y
-＝tan30°＝33，∴y ＝－33x
∵点P 在抛物线y ＝－3
1x
2
－2x 上
∴－3
1x
2
－2x ＝－33x ，解得：x 1＝－6＋3，x 2＝0（不合题意，舍去）
∴y ＝－
3
3
×(－6＋3)＝－1＋32 ∴P 1（－6＋3，－1＋32）
当点P 在x 轴下方时，
x
y
--＝tan30°＝33，∴y ＝33x
∵点P 在抛物线y ＝－3
1x
2
－2x 上
∴－3
1x
2
－2x ＝33x ，解得：x 1＝－6－3，x 2＝0（不合题意，舍去）
2014年中考数学压轴题精编—四川篇
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∴y ＝
3
3
×(－6－3)＝－1－32 ∴P 2（－6－3，－1－32）
综上所述，在抛物线上存在点P 1（－6＋3，－1＋32）和P 2（－6－3，－1－32），使得∠POA ＝3
2
∠AEO ··············································································· 12分
10．（四川省乐山市）如图1，抛物线y ＝x
2
＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，2），连接AC ，若tan ∠OAC ＝2．
（1）求抛物线对应的二次函数的解析式；
（2）在抛物线的对称轴l 上是否存在点P ，使∠APC ＝90°，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2所示，连接BC ，M 是线段BC 上（不与B 、C 重合）的一个动点，过点M 作直线l ′∥l ，交抛物线于点N ，连接CN 、BN ，设点M 的横坐标为t ．当t 为何值时，△BCN 的面积最大？最大面积为多少？
10．解：（1）∵抛物线y ＝x
＋bx ＋c 过点C （0，2）
∴x ＝2 ···
········································································································ 1分 又∵tan ∠OAC ＝
OA
OC
＝2，∴OA ＝1，即A （1，0） 又∵点A 在抛物线y ＝x
2
＋bx ＋2上
∴0＝1
2
＋b ×1＋2，∴b ＝－3 ······································································ 2分
∴抛物线对应的二次函数的解析式为y ＝x
2
－3x ＋2 ··································· 3分
（2）存在 ················································································································· 4分
设对称轴l 与x 轴交于点E ，过点C 作对称轴l 的垂线，垂足为D ，如图1所示 ∴x ＝－
a b 2＝－123?-＝2
3
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∴AE ＝OE －OA ＝
23－1＝2
1 ····································5分 ∵∠APC ＝90°，∴tan ∠P AE ＝tan ∠CPD
∴
AE PE ＝
DP
CD
··························································· 6分 即2
1PE ＝PE 223，解得PE ＝21或PE ＝23 ∴点P 的坐标为（
23，21）或（23，2
3） ·············8分 （备注：可以用勾股定理或相似解答）
（3）如图2，易得直线BC 的解析式为y ＝－x ＋2
∵点M 是直线l ′
和线段BC 的交点
∴M 点的坐标为（t ，－t ＋2）（0＜t ＜2）
直线l ′
和抛物线的交点N 的坐标为（t ，t
2
－3t ＋2）
·····························································9分
∴MN ＝－t ＋2－(t
2－3t ＋2)＝－t
2
＋2t ················· 10分
∴S △BCN
＝S △MNC
＋
S △MNB
＝21MN 2t ＋2
1
MN 2(2－t )
＝MN ＝－t
2
＋2t （0＜t ＜2） ·································· 12分
∴S △BCN
＝－t
2＋2t ＝－(t －1)2
＋1
∴当t ＝1时，S △BCN 的最大值为1 ······················· 13分 （备注：如果没有考虑t 的取值范围，可以不扣分）
11．（四川省眉山市）如图，Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（－3，0）、（0，4），抛物线y ＝3
2x
2
＋bx ＋c 经过B 点，且顶点在直线x ＝2
5
上． （1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交CD 于点N ．设点M
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的横坐标为t ，MN 的长度为l ．求l 与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标．
11．解：（1
＝
3－2
············· 1分 ∴4＝
32(0－2
5)2
＋m ∴m ＝－
6
1
······································································································· 3分 ∴所求函数关系式为：y ＝32(x －25)2－6
1 即y ＝
32x
2－3
10
x ＋4 ····················································································· 4分 （2）在Rt △ABO 中，∵OA ＝3，OB ＝4，∴AB ＝22OB OA
＋＝5
∵四边形ABCD 是菱形
∴BC ＝CD ＝DA ＝AB ＝5 ·············································································· 5分 ∴C 、D 两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）·············································· 6分 当x ＝5时，y ＝
32×5 2
－3
10×5＋4＝4 当x ＝2时，y ＝32×2
2
－3
10×2＋4＝0
∴点C 和点D 在所求抛物线上 ························ 7分 （3）设直线CD 对应的函数关系式为y ＝kx ＋b ，则
?????5k ＋b ＝42k ＋b ＝0
解得?
???
?k ＝
34b ＝－
3
8 ∴y ＝34x －3
8 ································································································ 9分
∵MN ∥y 轴，M 点的横坐标为t ，∴N 点的横坐标也为t 则y M
＝
32t
2－310t ＋4，y N
＝34t －3
8
·························································· 10分
2014年中考数学压轴题精编—四川篇
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∴l ＝y N
－y M
＝
34t －38－(32t 2－310t ＋4)＝－32t
2＋3
14t －320 即l 与t 之间的函数关系式为：l ＝－32t
2＋3
14t －320
································· 11分
∵l ＝－32t 2＋3
14t －320＝－32(t －27)
2＋23，且－32
＜0
∴当t ＝
27时，l 最大＝2
3 此时y M
＝
32×(27)
2－310×27＋4＝2
1
∴此时点M 的坐标为（
27，2
1
） ······························································· 12分
12．（四川省泸州市）如图，已知反比例函数y 1＝x
m
的图象与一次函数y 2
＝kx ＋b 的图象交于两点A （－2，1）
、B （a ，－2）． （1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）若一次函数y 2＝kx ＋b 的图象交y 轴于点C ，求△AOC 的面积（O 为坐标原点）；
（3）求使y 1＞y 2时x 的取值范围．
12．解：（1）∵反比例函数y 1＝
x
m 的图象过点A （－2，1），∴1＝2-m ·························· 1分
∴m ＝－2，∴y 1＝－
x
2
····················································································· 2 又∵点B （a ，－2）在y 1＝－
x
2
上，∴a ＝1，∴B （1，－2） ····················· 3分 又∵一次函数y 2＝kx ＋b 过A 、B 两点 ∴?????－2k ＋b ＝1
k ＋b ＝－2 ··········································· 4分 解得?
????k ＝－1b ＝－1
∴y 2＝－x －1 ·············································· 5分 （2）当x ＝0时，y 2＝－0－1＝－1
∴y 2＝－x －1与y 轴交点C （0，－1） ·························································· 6分
b
b
2014年中考数学压轴题精编—四川篇
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设点A 的横坐标为x A ，则 S △AOC
＝
21|
OC |2|
x A |＝2
1
×1×2＝1 ························································ 7分 （3）要使y 1＞y 2，即函数y 1的图象总在y 2的图象上方 ····································· 8分
∴－2＜x ＜0或x ＞1 ··················································································· 10分
13．（四川省泸州市）已知二次函数y 1＝x
2
－2x －3及一次函数y 2＝x ＋m ．
（1）求该二次函数图象的顶点坐标以及它与x 轴的交点坐标；
（2）将该二次函数图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，请你在下图中画出这个新图象，并求出新图象与直线y 2＝x ＋m 有三个不同公共点时m 的值；
（3）当0≤x ≤2时，函数y ＝y 1＋y 2＋(m －2)x ＋3的图象与x 轴有两个不同公共点，求m 的取值范围．
13．解：（1）∵y 1＝x
2
－2x －3＝(x －1)
······················· 1分
∴该二次函数图象的顶点坐标为（1，－4） ················································ 2分 ∵y 1＝x
2－2x －3的图象与x 轴相交，∴x
2
－2x －3＝0 ································· 3分
解得x 1＝－1，x 2＝3
∴该二次函数图象与x 轴的交点坐标为A （－1，0）、B （3，0） ············ 4分 （2）翻折后所得新图象如图所示 ········································································· 5分
平移直线y 2＝x ＋m 知：直线位于l 1和l 2时，它与新图象有三个不同公共点，如图所示 ①当直线位于l 1时，l 1过点A （－1，0）
∴0＝－1＋m ，∴m ＝1 ················································································· 6分 ②当直线位于l 2时，l 2与函数y ＝－x
2
＋2x ＋3（－1≤x ≤3）的图象有一个公共点
∴方程x ＋m ＝－x
2＋2x ＋3，即x
2
－x －3＋m 有一个根 ······························ 7分
故△＝1－4(m －3)＝0，即m ＝4
13
当m ＝
413时，x ＝2
1
满足－1≤x ≤3
2014年中考数学压轴题精编—四川篇
由①②知，m ＝1或m ＝
4
13 ·····················
······················································ 8分 （3）∵y ＝y 1＋y 2＋(m －2)x ＋3＝x
2
＋(m －3)x ＋m
当0≤x ≤2时，函数y ＝x
2
＋(m －3)x ＋m 的图象与x 轴有两个不同公共点
∴m 应同时满足下列三方面的条件：
①方程x
2
＋(m －3)x ＋m ＝0的判别式△＝(m －1)(m －9)＞0 ···················· 9分
②抛物线y ＝x
2
＋(m －3)x ＋m 的对称轴满足0＜
2
3m
-＜2 ····················· 10分 ③当x ＝0
时，函数值y ＝m ≥0；当x ＝2时，函数值y ＝3m －2≥0 ········ 11分
即?????(m －1)(m －9)＞0
0＜23m -＜2m ≥03m －
2≥0
解得
3
2
≤m ＜1 ∴当
3
2
≤m ＜1时，函数y ＝y 1＋y 2＋(m －2)x ＋3（0≤x ≤2）的图象与x 轴有两个不同公共点 ···························· 12分
14．（四川省达州市）如图，对称轴为x ＝3的抛物线y ＝ax
2
＋2x 与x 轴相交于点B 、O ． （1）求抛物线的解析式，并求出顶点A 的坐标；
（2）连结AB ，把AB 所在的直线平移，使它经过原点O ，得到直线l ，点P 是l 上一动点．设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形面积为S ，点P 的横坐标为t ，当0＜S ≤18时，求t 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当t 取最大值时，抛物线上是否存在点Q ，使△OPQ 为直角三角形且OP 为直角边，若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．
14．解：（1）∵点B 与O （0，0）关于x ＝3对称，∴点B 把B （6，0）代入y ＝ax
2
＋2x 得：36a ＋12＝0
1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．（1）求AC、BC的长； （2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC 是否相似，请说明理由； （4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由． 解：（1）设AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2， 即：（4x）2+（3x）2=102，解得：x=2，∴AC=8cm，BC=6cm； （2）①当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H，
∵AP=x ，∴BP=10﹣x ，BQ=2x ，∵△QHB ∽△ACB ， ∴ QH QB AC AB = ，∴QH=错误!未找到引用源。x ，y=错误!未找到引用源。BP ?QH=1 2 （10﹣x ）?错误!未找到引用源。x=﹣4 5 x 2+8x （0＜x ≤3）， ②当点Q 在边CA 上运动时，过点Q 作QH ′⊥AB 于H ′， ∵AP=x ， ∴BP=10﹣x ，AQ=14﹣2x ，∵△AQH ′∽△ABC ， ∴'AQ QH AB BC =，即：' 14106 x QH -=错误!未找到引用源。，解得：QH ′=错误!未找到引用源。（14﹣x ）， ∴y= 12PB ?QH ′=12（10﹣x ）?35（14﹣x ）=310x 2﹣36 5 x+42（3＜x ＜7）； ∴y 与x 的函数关系式为：y=2 248(03)5 33642(37)10 5x x x x x x ?-+<≤????-+<
题型一选择题压轴题 类型一选择几何压轴题 1?如图，四边形ABCD是平行四边形，ZBCD=I20o , AB = 2, BC = 4,点E是直线BC上的点，点F是直线CD上的点，连接AF, AE, EF,点M, N分别是AF, EF 的中点，连接MW则MN的最小值为（） 2.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点0, AB = 4, AC = 2√TT,若直线1满足：①点A到直线1的距离为2；②直线1与一条对角线平行；③直线1与菱形ABCD的边有交点，则符合题意的直线1的条数为（） 3?如图，在四边形ABCD 中，AD/7BC, AB=CD, AD = 2, BC = 6, BD = 5.若点P 在四边形ABCD的边上，则使得APBD的面积为3的点P的个数为（） -√3 （第2（第3
4?如图，点M是矩形ABCD的边BC, CD上的动点，过点B作BN丄AM于点P,交
矩形ABCD 的边于点N,连接DP.若AB=4, AD = 3,则DP 的长的最小值为（ ) A. √T3-2 5?如图，等腰直角三角形ABC 的一个锐角顶点A 是。（）上的一个动点，ZACB= 90° ,腰AC 、斜边AB 分别交Oo 于点E, D,分别过点D, E 作OO 的切线，两线 交于点F,且点F 恰好是腰BC 上的点，连接O C, （）D, OE.若Θ0的半径为2,则 OC 的长的最大值为（ ） 6.如图，在矩形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 在AD 边上，点M, N 分别是 CD, BC 边上的动点?若AB=AF 二2, AD 二3,则四边形EFMN 周长的最小值是（ ） 7.如图，OP 的半径为1,且点P 的坐标为（3, 2）,点C 是OP 上的一个动点, 点A, B 是X 轴上的两点，且OA=OB, AC 丄BC,则AB 的最小值为（ ） √TT √T3 C. √5+l +√13 √2+2√5 ÷√5 √2+1 O B （第5 （第6 （第7（第8
中考数学压轴题100题精选【含答案】 【001 】如图，已知抛物线 2 (1)y a x =-+a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为 ()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若O C O B =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长． 【002】如图16，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1 个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB-BC-CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围） （3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成 为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；
苏州市2014年中考数学模拟试题 有答案 （考试时间：120分钟 总分：130分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列运算，正确的是 ( ) A ．1 3 ×（－3）＝1 B ．5－8＝－3 C ．2－3＝－6 D ．(－2013)0＝0 2．有13位同学参加学校组织的才艺表演比赛，已知他们所得的分数互不相同，共设7个获奖名额，某同学知道自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在下列13名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是 ( ) A ．众数 B ．方差 C ．中位数 D ．平均数 3．若a 的最小值为 ( ) A ．0 B ．3 C ． D ．9 4．某道路一侧原有路灯106盏，相邻两盏灯的距离为36米，现计划全部更换为新型的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为70米，则需更换的新型节能灯有 ( ) A ．54盏 B ．55盏 C ．56盏 D ．57盏 5．在△ABC 中，∠C ＝90°且△ABC 不是等腰直角三角形，设sinB ＝n ，当∠B 是最小的内角时，n 的取值范围是 ( ) A ． B ．0 压轴、 200621．如图9，抛物线2812(0)y ax ax a a =-+<与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），抛物线上另有一点C OCA ∽△OBC . (1)(3分)求线段OC 的长. 解： (2)(3分)求该抛物线的函数关系式． 解： (3)(4分)在x轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形若存在，求出所有符合 条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由. 解： 200622．(10分)如图10-1，在平面直角坐标系xoy中，点M在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A B 、两点，且C为AE的中点，AE交y轴于G 、两点，交y轴于C D 点，若点A的坐标为（－2，0），AE8 (1)(3分)求点C的坐标 解： 图10－1 (2)(3分)连结MG BC 、，求证：MG ∥BC 证明： (3)(４分) 如图10-2，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P .动点F 在⊙M 的圆周上运动时，PF OF 化规律. 解： 200722．如图6，在平面直角坐标系中，正方形AOCB 的边长为1，点D 在x 轴的正半轴上，且OD OB ，BD 交OC 于点E ． （1）求BEC ∠的度数． （2）求点E的坐标． （3）求过B O D ，，三点的抛物线的解析式．（计算结果要求分母有理化．参考 2525 5 55 = =； 1 ==； == 分母有理化） 200723．如图7，在平面直角坐标系中，抛物线2164y x =-与直线12 y x =相交于A B ，两点． （1）求线段AB 的长． （2）若一个扇形的周长等于（1）中线段AB 的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大，最大面积是多少 （3）如图8，线段AB 的垂直平分线分别交x 轴、y 轴于C D ，两点，垂足为点M ，分别求出OM OC OD ，，的长，并验证等式 222 111 OC OD OM +=是否成立． （4）如图9，在Rt ABC △中，90ACB =∠，CD AB ⊥，垂足为D ，设BC a =，AC b =， AB c =．CD b =，试说明： 222111 +=． D 中考数学压轴题解题技巧 数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和方法的综合性，多数为函数型综合题和几何型综合题。 函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。 几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，或探索两个三角形满足什么条件相似等，或探究线段之间的数量、位置关系等，或探索面积之间满足一定关系时求x的值等，或直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。 解中考压轴题技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。关键是掌握几种常用的数学思想方法。 一是运用函数与方程思想。以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组求其解析式、研究其性质。 二是运用分类讨论的思想。对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究。 三是运用转化的数学的思想。由已知向未知，由复杂向简单的转换。中考压轴题它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此，可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识或方法组块去思考和探究。 解中考压轴题技能技巧： 一是对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识。根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止“捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题，尽量要保证选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。 2013年初中数学中考模拟题集一合 数 学 试 卷 *考试时间120分钟 试卷满分150分 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，将正确答案的序号填在题后的括号内，每小题3分，共24分） 1．|65-|＝（ ） A ．65+ B ．65- C ．－65- D ．56- 2．如果一个四边形ABCD 是中心对称图形，那么这个四边形一定是（ ） A ．等腰梯形 B ．矩形 C ．菱形 D ．平行四边形 3． 下面四个数中，最大的是（ ） A ．35- B ．sin88° C ．tan46° D ． 2 1 5- 4．如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的各边长都和小圆的周长相等，那么当小圆滚动到原来位置时，小圆自身滚动的圈数是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．10 5．二次函数ｙ＝（2ｘ－1）2 ＋2的顶点的坐标是（ ） A ．（1，2） B ．（1，－2） C ．（ 21，2） D ．（－2 1 ，－2） 6．足球比赛中，胜一场可以积3分，平一场可以积1分，负一场得0分，某足球队最后的 积分是17分，他获胜的场次最多是（ ） A ．3场 B ．4场 C ．5场 D ．6场 7． 如图，四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点E ，如果△CDE 的面积为3，△BCE 的面积为4，△AED 的面积为6，那么△ABE 的面积为（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 8． 如图，△ABC 内接于⊙O，AD 为⊙O 的直径，交BC 于点E ， 若DE ＝2，OE ＝3，则tanC·tanB ＝ （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 历年中考数学压轴题复习 2001年市数学中考 27．已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2． （1）如图8，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ． 图8 ①求证；△ABP ∽△DPC ②求AP 的长． （2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么 ①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； ②当CE ＝1时，写出AP 的长（不必写出解题过程）． 27．（1）①证明： ∵ ∠ABP ＝180°－∠A －∠APB ，∠DPC ＝180°－∠BPC －∠APB ，∠BPC ＝∠A ，∴ ∠ ABP ＝∠DPC ．∵ 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，∴ ∠A ＝∠D ．∴ △ABP ∽△DPC ． ②解：设AP ＝x ，则DP ＝5－x ，由△ABP ∽△DPC ，得 DC PD AP AB = ，即252x x -=，解得x 1＝1，x 2＝4，则AP 的长为1或4． （2）①解：类似（1）①，易得△ABP ∽△DPQ ，∴ DQ AP PD AB =．即y x x += -252，得22 5 212-+-=x x y ，1＜x ＜4． ②AP ＝2或AP ＝3－5． （题27是一道涉及动量与变量的考题，其中（1）可看作（2）的特例，故（2）的推断与证明均可借鉴（1）的思路．这是一种从模仿到创造的过程，模仿即借鉴、套用，创造即灵活变化，这是中学生学数学应具备的一种基本素质，世上的万事万物总有着千丝万缕的联系，也有着质的区别，模仿的关键是发现联系，创造的关键是发现区别，并找到应付新问题的途径．） 市2002年中等学校高中阶段招生文化考试 27．操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q． 图5图6图7 探究：设A、P两点间的距离为x． （1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论； （2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由． （图5、图6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用） 五、（本大题只有1题，满分12分，（1）、（2）、（3）题均为4分） 27． 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除 2017年中考数学选择题压轴题汇编（1） 2a的解为正数，且使关于的分式方程y的不等（2017重庆）若数a使关于x1．4?? x?11?xy?2y???1?23的解集为y，则符合条件的所有整数a的和为（）式组 2???????0y?2a? A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【解析】①解关于x的分式方程，由它的解为正数，求得a的取值范围． 2a 4??x?11?x去分母，得2－a＝4（x－1） 去括号，移项，得4x＝6－a 6?a 1，得x＝系数化为46?a6?a≠1，解得a且a≠2；6?，且，∴x≠1∵x且00?? 44②通过求解于y的不等式组，判断出a的取值范围． y?2y???1?32 ?????0y?2a?解不等式①，得y；2???a；解不等式②，得y ∵不等式组的解集为y，∴a；2??2??③由a且a≠2和a，可推断出a的取值范围，且a≠2，符合条件的所有整数6?a6??2?2??a为－2、－1、0、1、3、4、5，这些整数的和为10，故选A．2．（2017内蒙古赤峰）正整数x、y满足（2x－5）（2y－5）＝25，则x＋y等于（）A．18或10 B．18 C．10 D．26 【答案】A， 【解析】本题考查了分解质因数，有理数的乘法法则和多项式的乘法，能列出满足条件的等式是解题的关键． 由两数积为正，则这两数同号．∵25＝5×5＝（－5）×（－5）＝1×25＝（－1）×（－25）只供学习与交流． 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除 又∵正整数x、y满足（2x－5）（2y－5）＝25， ∴2x－5＝5，2y－5＝5或2x－5＝1，2y－5＝25 解各x＝5，y＝5或x＝3，y＝15． ∴x＋y＝10或x＋y＝18． 故选A. x?a?0?3．（2017广西百色）关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则正数a?2x?3a?0?的最小值是（） 2 D．．1 B．2 CA． 3 3B. 【答案】3a3a＜x≤a，因为该解集中至少5个整数解，所以a比至少【解析】不等式组的解集为??223a+5，解得a≥2 a≥．大5，即?2111122＝n－m－2，则－的值等于（4．（2017四川眉山）已知m＋n ）44mn1D．－ 1 C．B0 ．－A．1 4C 【答案】11112222，m＋1)n＋(－1)m＝0，从而＝－2即1)1)由题意，【解析】得(m＋m＋＋(n－n ＋＝0，(24421111 ＝－1．＝n2，所以－＝－2nm2－端午节前夕，在东昌湖举行的第七届全民健身运动会龙舟比赛中，甲、乙．（2017聊城）5之前的函数关系式如图所示，下列两队与时间500米的赛道上，所划行的路程(min)my()x 说法错误的是（）到达终点．乙队比甲队提前A0.25min 时，此时落后甲队．当乙队划行B110m15m 一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图1，在□ABCD中，AB=6，∠B= (60°<≤90°). 点E在BC上，连接AE，把△ABE沿AE折叠，使点B与AD上的点F重合，连接EF. (1)求证：四边形ABEF是菱形； (2)如图2，点M是BC上的动点，连接AM，把线段AM绕点M顺时针旋转得到线段MN，连接FN，求FN的最小值(用含的代数式表示). 【答案】（1）详见解析；（2）FE·sin(－90°) 【解析】 【分析】 (1)由四边形ABCD是平行四边形得AF∥BE，所以∠FAE=∠BEA，由折叠的性质得 ∠BAE=∠FAE，∠BEA=∠FEA,所以∠BAE=∠FEA，故有AB∥FE，因此四边形ABEF是平行四边形，又BE=EF,因此可得结论； (2)根据点M在线段BE上和EC上两种情况证明∠ENG＝90°－，利用菱形的性质得到∠FEN＝－90°，再根据垂线段最短，求出FN的最小值即可. 【详解】 （1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠FAE=∠BEA， 由折叠的性质得∠BAE=∠FAE，∠BEA=∠FEA, BE=EF， ∴∠BAE=∠FEA， ∴AB∥FE， ∴四边形ABEF是平行四边形， 又BE=EF， ∴四边形ABEF是菱形； （2）①如图1，当点M在线段BE上时，在射线MC上取点G，使MG＝AB，连接GN、EN. ∵∠AMN＝∠B＝，∠AMN+∠2＝∠1+∠B ∴∠1＝∠2 又AM＝NM，AB＝MG ∴△ABM≌△MGN ∴∠B＝∠3，NG＝BM ∵MG＝AB＝BE ∴EG＝AB＝NG ∴∠4=∠ENG= (180°－)＝90°－ 又在菱形ABEF中，AB∥EF ∴∠FEC＝∠B= ∴∠FEN＝∠FEC－∠4=－ (90°－)＝－90° ②如图2，当点M在线段EC上时，在BC延长线上截取MG＝AB，连接GN、EN. 同理可得：∠FEN＝∠FEC－∠4=－ (90°－)＝－90° 综上所述，∠FEN＝－90° ∴当点M在BC上运动时，点N在射线EH上运动(如图3) 当FN⊥EH时，FN最小，其最小值为FE·sin(－90°) 【点睛】 本题考查了菱形的判定与性质以及求最短距离的问题，解题的关键是分类讨论得出∠FEN ＝－90°，再运用垂线段最短求出FN的最小值. 2．在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(4，4)，点M，N是射线OC上两动点(OM＜ 2014年中考数学模拟试题 （满分120分 时间120分钟） 一.选择题（每小题3分，共30分） 1．-8的相反数是 A ．8 B ． -8 C ． 81 D ．8 1 2．中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，满载排水量为67500吨.这个数据用科学记数法表示为 A ．6.75×104 B ．67.5×103 C ． 0.675×105 D ．6.75×10－4 3．下列运算正确的是（ ） A ．2a ＋3b ＝ 5ab B ．a 2·a 3＝a 5 C ．(2a) 3 ＝ 6a 3 D ．a 6＋a 3＝ a 9 4．如图，AB ∥CD ，CE 平分∠BCD ，∠DCE=18°，则∠B 等于 A ．18° B ．36° C ．45° D ．54° 5．上图是一个几何体的三视图，这个几何体的名称是 A ．圆柱体 B ．三棱锥 C ．球体 D ．圆锥体 6．在“大家跳起来”的乡村学校舞蹈比赛中，某校10名学生参赛成绩统计如图所示. 对于这10名学生的参赛成绩，下列说法中错误的是 A ．众数是90 B ．中位数是90 C ．平均数是90 D ．极差是15 7．已知两圆的圆心距为4，两圆的半径分别是3和5，则这两圆的位置关系是 A. 内含 B. 内切 C. 外切 D. 相交 8．如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴 于点M ，交y 轴于点N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于2 1MN 的长为半径 画弧，两弧在第二象限交于点P ．若点P 的坐标为（2a ，b+1），则a 与 b 的数量关系为 A. a=b B. 2a+b=﹣1 C ．2a ﹣b=1 D ．2a+b=1 9．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A 、B 两点，则图中使反比 例函数的值小于一次函数的值的x 的取值范围是 A ．x ＜－1 B ．－1＜x ＜0或x ＞2 C ．x ＞2 D ．x ＜－1或0＜x ＜2 第4题图 第5题图 第6题图 第一部分函数图象中点的存在性问题 §1．1 因动点产生的相似三角形问题§1．2 因动点产生的等腰三角形问题§1．3 因动点产生的直角三角形问题§1．4 因动点产生的平行四边形问题§1．5 因动点产生的面积问题§1．6因动点产生的相切问题§1．7因动点产生的线段和差问题 第二部分图形运动中的函数关系问题 §2．1 由比例线段产生的函数关系问题 第三部分图形运动中的计算说理问题 §3．1 代数计算及通过代数计算进行说理问题 §3．2 几何证明及通过几何计算进行说理问题 第四部分图形的平移、翻折与旋转 §4．1 图形的平移§4．2 图形的翻折§4．3 图形的旋转§4．4三角形§4．5 四边形§4．6 圆§4．7函数的图象及性质§1．1 因动点产生的相似三角形问题 课前导学相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两 边表示出来，按照对应边成比例，分AB DE AC DF =和 AB DF AC DE =两种情况列方程． 应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等． 应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）． 还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错．理解记忆比较好． 如图1，如果已知A、B两点的坐标，怎样求A、B两点间的距离呢？ 我们以AB为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了．水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离，等于A、B两点的横坐标相减；竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离，等于A、B两点的纵坐标相减． 图1 图1 图2 例 1 湖南省衡阳市中考第28题 二次函数y＝a x2＋b x＋c（a≠0）的图象与x轴交于A(－3, 0)、B(1, 0)两点，与y轴交于点C(0,－3m)（m＞0），顶点为D．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）； （2）如图1，当m＝2时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值； （3）如图2，当m取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似？ 2020中考数学压轴题100题精选 （附答案解析） 【001 】如图，已知抛物线2(1)y a x =-+（a ≠0）经过点 (2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结 BC ． （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长． 【002】如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A 出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B 时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t 秒（t＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是； （2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S 与 t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C 成 为直角梯形？若能，求t （4）当DE经过点C 时，请直接 图16 【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式； 2014年广东省高中阶段学校招生考试 数学预测卷（二） （时间：100分钟 满分：120分） 班别： 姓名： 学号： 分数： 说明：1．考试用时100分钟，满分120分. 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、试室号、 座位号. 用2B 铅笔把对应该号码的标号涂黑. 3．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上. 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 5．考生务必保持答题卡上的整洁. 考试结束时，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．3 1-的绝对值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．31 D ．3 1- 2．在6×6方格中，将图①中的图形N 平移后位置如图②所示，则下列图形N 的平移方法中，正确的是（ ） A ．向下移动1格 B ．向上移动1格 C ．向上移动2格 D ．向下移动2格 3．下列计算正确的是( ) A ．224=- B ① ② C D 3 =- 4．五个数中： 7 22 -，﹣1，0，，，是无理数的有（） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．下列计算正确的是（） A．12 4 3a a a= ? B．7 4 3) (a a= C．3 6 3 2) (b a b a= D．)0 ( 4 3≠ = ÷a a a a 6．不透明的袋子里装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外其他都相同.从中任意摸出一个，放回摇匀，再从中摸出一个，则两次摸到球的颜色相同的概率是( ) A． 9 4 B. 9 5 C. 2 1 D. 3 2 7．如图，在ABCD中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF 等于( ) A．2 B．3 C．4 D．5 8．如图，已知D，E分别是△ABC的AB，AC边上的点，, DE BC //且: ADE S △ S四边形DBCE＝1∶8，那么: AE AC等于( ) A．1∶9 B．1∶3 C．1∶8 D．1∶2 9．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，E为垂足，且交AB于点D，连接CD，若BD＝1，则AC的长是（） （第7题）（第8题）（第9题） 2014中考数学压轴题精选精析（21-30例） 21．（2011?湖南邵阳）如图（十一）所示，在平面直角坐标系Oxy 中，已知点A (－94 ，0)，点C (0，3)，点B 是x 轴上一点(位于点A 的右侧)，以AB 为直径的圆恰好经过．．．． 点C ． （1）求∠ACB 的度数； （2）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A 、B 两点，求抛物线的解析式； （3）线段BC 上是否存在点D ，使△BOD 为等腰三角形．若存在，则求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解题思路】：(1) ∵以AB 为直径的圆恰好经过．．．．点C ∴∠ACB =0 90 (2) ∵△AOC ∽△ABC ∴OB AO OC ?=2 ∵A (－94，0)，点C (0，3)，∴4 9=AO 3=OC ∴OB 4 932= ∴ 4=OB ∴B(4,0) 把 A 、B 、C 三点坐标代入得 3127312++-=x x y (3) 1）OD=OB , D 在OB 的中垂线上，过D 作DH ⊥OB,垂足是H 则H 是OB 中点。DH=OC 21 OB OH 2 1= ∴D )23,2( 2) BD=BO 过D 作DG ⊥OB,垂足是G ∴OG:OB=CD:CB DG:OC=1:5 ∴ OG:4=1:5 DG:3=1:5 ∴OG= 54 DG=53 ∴D(54,53) 【点评】：本题考察了相似、勾股定理、抛物线的解析式求解等知识，运用平行于三角形一边的直线截其他两边所得的三角形与原三角形相似构建比例式，求解点到坐标轴的距离，进而得出相应的坐标。难度中等 24、（2011?湖北荆州）如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA 所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）．若⊙P过A、B、E三点（圆心在x轴上），抛物线y= 14x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1． （1）求B点坐标； （2）求证：ME是⊙P的切线； （3）设直线AC与抛物线对称轴交于N，Q点是此轴称轴上不与N点重合的一动点， ①求△ACQ周长的最小值； ②若FQ=t，S△ACQ=S，直接写出S与t之间的函数关系式． 考点：二次函数综合题． 分析：（1）如图甲，连接PE、PB，设PC=n，由正方形CDEF的面积为1，可得CD=CF=1，根据圆和正方形的对称性知：OP=PC=n，由PB=PE，根据勾股定理即可求得n的值，继而求得B的坐标； （2）由（1）知A（0，2），C（2，0），即可求得抛物线的解析式，然后求得FM的长，则可得△PEF∽△EMF，则可证得∠PEM=90°，即ME是⊙P的切线； （3）①如图乙，延长AB交抛物线于A′，连CA′交对称轴x=3于Q，连AQ，则有AQ=A′Q，△ACQ周长的最小值为AC+A′C的长，利用勾股定理即可求得△ACQ周长的最小值； ②分别当Q点在F点上方时，当Q点在线段FN上时，当Q点在N点下方时去分析即可求 2018年中考模拟卷(一) 时间：120分钟 满分：120分 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．下列实数中，无理数为( ) A ． D ．2 2．“2014年至2016年，中国同‘一带一路’沿线国家贸易总额超过3万亿美元”，将数据3万亿美元用科学记数法表示为( ) A ．3×1014美元 B ．3×1013美元 C ．3×1012美元 D ．3×1011美元 3．如图，下面的几何体由三个大小相同的小立方块组成，则它的左视图是( ) 4．函数y ＝ x ＋3 x －5 中自变量x 的取值范围是( ) A ．x ≥－3 B ．x ≠5 C ．x ≥－3或x ≠5 D ．x ≥－3且x ≠5 5．一元二次方程x 2－2x ＝0的解是( ) A ．0 B ．2 C ．0或－2 D ．0或2 6．下列说法中，正确的有( ) ①等腰三角形两边长为2和5，则它的周长是9或12；②无理数－3在－2和－1之间；③六边形的内角和是外角和的2倍；④若a ＞b ，则a －b ＞0.它的逆命题是假命题；⑤北偏东30°与南偏东50°的两条射线组成的角为80°. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7车速(km/h) 48 49 50 51 52 车辆数(辆) 5 4 8 2 1 则上述车速的中位数和众数分别是( ) A ．50，8 B ．49，50 C ．50，50 D ．49，8 8．正比例函数y 1＝k 1x 与反比例函数y 2＝k 2 x 的图象相交于A ，B 两点，其中点B 的横坐 标为－2，当y 1＜y 2时，x 的取值范围是( ) A ．x ＜－2或x ＞2 B ．x ＜－2或0＜x ＜2 C ．－2＜x ＜0或0＜x ＜2 D ．－2＜x ＜0或x ＞2 9．已知关于x 的分式方程1－m x －1－1＝2 1－x 的解是正数，则m 的取值范围是( ) 200621．如图9，抛物线2812(0)y ax ax a a =-+<与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），抛物线上另有一点C 在第一象限，满足∠. (1)(3分)求线段OC 的长. 解： (2)(3分)求该抛物线的函数关系式． 解： (3)(4分)在x 轴上是否存在点P ，使△P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 解：200622．(10分)如图10-1 ⊙M 交 x 轴于 A B 、两点，交y 轴于 C D 、两点，且C A 的坐标为（－2，0），AE 8= (1)(3分)求点C 的坐标. 解： (2)(3分)连结MG BC 、，求证：MG ∥BC 证明： (3)(４分 ) 如图10-2，过点 D 作⊙M 的切线，交x 轴于点的圆周上运动时， PF OF 解： 200722．如图6，在平面直角坐标系中，正方形AOCB OD OB =，BD 交OC 于点E ． （1）求BEC ∠的度数． （2）求点E 的坐标． （3）求过B O D ，， 5== ② 1== ；③ ==等运算都是分母有理化） 200723．如图7x 相交于A B ，两点． （1）求线段AB 的长． （2）若一个扇形的周长等于（1大面积是多少？ （3）如图8，线段AB M ，分别求出 图6 OM OC OD ，，的长，并验证等式 222 111 OC OD OM += 是否成立． （4）如图9，在Rt ABC △中，90ACB =o ∠，CD AB ⊥，垂足为D ，设BC a =，AC b =， AB c =．CD b =，试说明：222 111 a +=． 2+bx 点， 3 1 ． F ，使以点A 、 C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度． （4）如图10，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积. 200922．如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB . （1）求点B 的坐标； （2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由. （4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 200923．如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y =－2x －8两点，点P （0，k ）是y 轴的负半轴上的一个动点，以P （1）连结PA ，若PA =PB ，试判断⊙P 与x （2）当k 为何值时，以⊙P 与直线l 201022．（本题9分）如图9，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0AD 在x 轴上，其中A （－2,0），B （－1, －3）． （1）求抛物线的解析式；（3分） （2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 的坐标；（2分） （3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △PAD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．（4分） 图7 图8 图9 年中考数学选择题压轴题汇编 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 3 2017年中考数学选择题压轴题汇编（1） 1．（2017重庆）若数a 使关于x 的分式方程2411a x x +=--的解为正数，且使关于y 的不等式组()213220y y y a +?->???-≤? 的解集为y 2<-，则符合条件的所有整数a 的和为（ ） A ．10 B ．12 C ． 14 D ．16 【答案】A 【解析】①解关于x 的分式方程，由它的解为正数，求得a 的取值范围． 2411a x x +=-- 去分母，得2－a ＝4（x －1） 去括号，移项，得 4x ＝6－a 系数化为1，得x ＝ 64a - ∵x 0>且x≠1，∴64a -0>，且64 a -≠1，解得a 6<且a≠2； ②通过求解于y 的不等式组，判断出a 的取值范围． ()213220y y y a +?->???-≤? 解不等式①，得y 2<-； 解不等式②，得y ≤a ； ∵不等式组的解集为y 2<-，∴a 2≥-； ③由a 6<且a≠2和a 2≥-，可推断出a 的取值范围26a -≤<，且a≠2，符合条件的所有整数a 为－2、－1、0、1、3、4、5，这些整数的和为10，故选A ． 2．（2017内蒙古赤峰）正整数x 、y 满足（2x －5）（2y －5）＝25，则x ＋y 等于（ ） A ．18或10 B ．18 C ．10 D ．26 【答案】A ， 【解析】本题考查了分解质因数，有理数的乘法法则和多项式的乘法，能列出满足条件的等式是解题的关键． 由两数积为正，则这两数同号．∵25＝5×5＝（－5）×（－5）＝1×25＝（－1）×（－25） 中考数学专题复习——压轴题 1. 已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D. （1） 求该抛物线的解析式； （2） 若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积； （3） △AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由. （注：抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)的顶点坐标为??? ? ??--a b ac a b 44,22） 2. 如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交 AC 于 R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =． （1）求点D 到BC 的距离DH 的长； （2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由． 3在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM A B C D E R P H Q ＝x ． （1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？ （3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ 4.如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB 是等边三角形，点A 的坐标是(0，4)，点B 在第一象限，点P 是x 轴上的一个动点，连结AP ，并把ΔAOP 绕着点A 按逆时针方向旋转.使边AO 与AB 重合.得到ΔABD.（1）求直线AB 的解析式；（2）当点P 运动到点（3，0）时，求此时DP 的长及点D 的坐标；（3）是否存在点P ，使ΔOPD 的面积 等于 4 3 ，若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由 . 5如图，菱形ABCD 的边长为2，BD=2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足AE+CF=2. （1）求证：△BDE ≌△BCF ； （2）判断△BEF 的形状，并说明理由； （3）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围 . P 图 3 B D 图 2 B 图 1深圳十年中考数学压轴题汇总
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