平面几何中的几个重要定理
自欧几里得的《几何原本》问世以来，初等几何以其新奇、美妙、丰富、完美的内容和形式引发了历代数学家们浓厚的兴趣.许多杰出的人物为了探索几何学中的奥秘而奉献了毕生的精力，他们发现了一个又一个新的定理，推动了几何学的迅速发展.为了纪念他们，人们以他们的名字来命名他们所获得的重要成果.这些优秀成果如同璀璨的明珠照亮了几何学的历程.
这里我们介绍几何学中的几个重要定理以及它们在数学竞赛解题中的应用。
一、塞瓦定理
塞瓦（G ．Ceva 1647—1743），意大利著名数学家．
塞瓦定理 设S 为ABC ?三边所在直线外一点，连接CS BS AS ,,分别和ABC ?的边或三边的延长线交于R Q P ,,（如图1），则1=??RB
AR
QA CQ PC BP ．
证明 （面积法）考虑到△ABS 与△ACS 有公共底边AS ，因此它们面积之比等于分别从顶点B 、C 向底边AS 所引垂线长的比，而这个比又等于BP 与PC 之比，所以有
P174
同理可得
三式相乘，即得
错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。=错误！未找到引用
源。·错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。=1
A
B
C
S
P
Q
R
A
C
S
Q
R
1
图
3
图 与塞瓦定理同样重要的还有下面的定理．
塞瓦定理逆定理 设R Q P ,,为ABC ?的边或三边的延长线上的三点（R Q P ,,都在三边上或只有其中之一在边上），如果有
1=??RB
AR
QA CQ PC BP ，则三直线CR BQ AP ,,交于一点或互相平行．
证明 因三点P 、Q 、R 中必有一点在三角形的边上，不妨假定P 点在BC 边上。 若BQ 与CR 相交，设交点为S ，又设AS 和BC 的交点为P ’，由塞瓦定理，应有
错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。=1
与已知条件中的式子比较，得
错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。
但由于点P 和P ’同在BC 边上，所以P 和P ’重合，即三直线AP 、BQ 、CQ 交于一点。
P175
若BQ 与CR 平行，则
RB AB =QC AC .把它代入已知条件的式子中，PC BP *QA CQ *QC
AC
=1，∴
AC
QA
PC BP =;∴BQ//PA 。即AP 、BQ 、CR 三线互相平行。 利用塞瓦定理的逆定理，可以证明三条直线共点，下面看几个具体的例子。
例1．如图3，P 是ABC ?内一点，
CP BP AP ,,分别与边AB CA BC ,,交于F E D ,,，过F E D ,,三点作圆，与三边交于F E D ''',,．求证：F C E B D A ''',,交于一点． 分析 要证 AD ’、BE ’、CF ’三线共点， 考虑到AD 、BE 、CF 三线共点， 显然可利用塞瓦定理。又考虑到 D 、E 、F 、D ’、E ’、F ’六点共圆， 因此可利用圆幂定理将等式转换。 证明 AD 、BE 、CF 三线共点，
由塞瓦定理得
1=??FB
AF
EA CE DC BD 。 但D 、E 、F 和D ’、E ’、F ’共圆，
所以BD ’*BD=BF ’*BF ，CE ’*CE=CD ’*CD ，AF ’*AF=AE ’*AE 。
三式相乘得 BD ’*CE*AF ’*BD*CE*AF=BF ’*CD ’*AE ’*BF*CD*AE,
即
1
''''''=??????????FB
EA DC B F A E C D AF
CE BD AF CE BD 。因
1=??FB
AF
EA CE DC BD 所以
1''
''''=??B
F AF A E CE C D BD . 由塞瓦定理逆定理可知，AD ’、BE ’、CF ’共点。
A
B C S P Q R
A B
C P Q
R 2
图
注 由本题可知，一个圆周与?ABC 交于D 、D ’、E 、E ’、F 、F ’，若AD 、BE 、CF 三线交于一点，则AD ’、BE ’、CF ’也相交于一点。
例2．设C B A ''',,分别为ABC ?三边AB CA BC ,,的中点，P 为C B A '''?内一点，
P C P B P A ''',,分别交B A A C C B '''''',,于N M L ,,（如图4）
．求证：CN BM AL ,,三线共点． P176
分析 与上例
一样，要由一组三线共点推出另一组三线共点，考虑到'A 、'B 、'C 分别为ABC ?三边的中点，不难利用塞瓦定理得到证明.
证明 L A '、M B '、N C '三线共点，
1'
'''''=??NB N
A MA M C LC L
B 设AL 、BM 、CN 分别交B
C 、CA 、AB 于点'L 、'M 、'N . 'B 、'C 分别为AC 、AB 的中点，
∴ BC C B //'', '
'''LB L
C C L BL =.
同理MC AM A M GM '''=,
1'
'''==NA N
B B N AN . ∴ 1'
'''''''''''=??=??MC M A NA N B LB L C B N AN A M CM C L BL .
由塞瓦定理的逆定理，AL 、BM 、CN 三线共点，即AL 、BM 、CN 三线共点.
例3．以ABC ?各边为底边向外作相似的等腰三角形ABG CAF BCD ,,（如图5）．求证CG BF AE ,,相交于一点．
分析 如图 15-5，要证AE 、BF 、CG 三线共点，由塞瓦定理的逆定理，只需证
1=??NB
AN MA CM LC BL 即可.但是图中没有平行线，,得不到比例关系，我们尝试通过三角形面积之比来转换,看能否得到要证的式子.
证明 设三个相似等腰三角形的底角为θ,AE 、BF 、CG 分别交BC 、CA 、AB 于L 、M 、N ,则
?
B '
A B C A 'L '
M 'N '
C 'M
N P K 4
图M N L A
B
C F
G 5 图
)sin()
sin()sin(2
1)
sin(21
C AC B AB c CE AC B BE AB S S LC BL ACE ABE
++=
+?+?==
??θθθθ P177
同理
）（）（A AB C BC MA GM ++=
θθsin sin ，)(sin sin B DC A AC NB
AN ++=θθ）
（ ∴
1=??NB
NA
MA CM LC BL 由塞瓦定理的逆定理，AB 、BF 、CG 交于一点 二、梅涅劳斯定理
Menelaus （公元98年左右），希腊数学家、天文学家，梅涅劳斯定理包含在其几何著作《球论》里．
梅涅劳斯定理 设ABC ?的三边AB CA BC ,,或它们的延长线与一条不经过其顶点的直线交于R Q P ,,三点（如图6），则
1=??RB
AR
QA CQ PC BP ．
证明 过C 点引直线PQ 的平行线交AB 于S ，则
1,=??=??∴==RB
AR RA SR RS BR RB AR QA CQ PC BP RA
SR
QA CQ RS BR PC BP 梅涅劳斯定理的逆定理也成立
梅涅劳斯定理逆定理 设R Q P ,,分别是ABC ?的三边AB CA BC ,,上或它们延长线上三点，若有
1=??RB
AR
QA CQ PC BP ， 则R Q P ,,三点在同一直线上．
证明 不妨设点P 在BC 边的延长线上，点Q 和R 在AC 、AB 或者它们的延长线上，设QR 与BC 延长点的交点为P ’，根据梅涅劳斯定理有
1''=??RB
AR
QA CQ C P BP A B C P
Q
R S
A B C
S
P
R
Q
6
图
P178
与已知条件的式子加以比较，得
C
P BP PC BP ''
=
. 因'P P 和都在BC 的延长线上，'P P 和∴重合，R Q P 、、∴三点共线.
梅涅劳斯定理及其逆定理应用非常广泛，尤其在三点共线问题的讨论中，常常给解题带来很多方便.
例4．设ABC ?的∠A 的外角平分线与BC 的延长线交于P,∠B 的平分线与AC 交于Q,∠C 的平分线和AB 交于R.求证： R Q P ,,三点在同一直线上．
分析 要证P 、Q 、R 三点共线，只须证明.
.1=??RB
AR
QA CQ PC BP 利用三角形内角及外角平分线的性质不难得到，请读者自证.
例5．图8，过△ABC 的三个顶点A 、B 、C 作它的外接圆的切线，分别和BC 、CA 、AB 的延长线交于P 、Q 、R ，求证：P 、Q 、R 三点共线． 分析 欲证P 、Q 、R 三点共线. 只需证明.1=??RB
AR
QA CQ PC BP
证明 因AP 为圆的切线，所以APB ACP ??∽，从而有
.,CP
AP
AC AB AC AB AC AB ==两式 相乘得.22AC AB CP BP =同理可得.,22
22BC CA RB AR AB BC QA CQ == ∴
.1=??RB
AR QA CQ CP BP 由梅涅劳斯定理得，P 、Q 、R 三点共线.
注： 直线PQR 叫做△ABC 的莱莫恩（Lemoine ）线
P179
A B C P
Q
R 7 图A B
C P
Q
R
8
图A
B
A '
B '
S
F
例6．（戴沙格定理）设△ABC 和△C B A '''对应点的连线A A '、B B '、C C '交于一点S ，这时如果对应边BC 和C B ''、CA 和A C ''、AB 和B A ''（或它们的延长线）相交，则它们的交点D 、E 、F 在同一直线上． 分析 由于D 、E 、F 三点分
别在ΔABC 三边延长线上，要证三点 共线，只能证明
.1=??EA
CE
DC BD FB AF 注意图中多个三角形被多条直线所截，反复利用梅涅劳斯定理，即 可得证.
证明 因直线FA ’B ’截ΔSAB ，由梅涅劳斯定理，有
1''
''=??S
B BB FB AF A A SA . 同理，直线E
C ’A ’截ΔSAC ，有
.
1''''=??EA CE
C C SC S A AA
直线DC ’B ’截ΔSBC ，有 .1''
''=??S C CC DC BD B B SB 三式相乘，得
1=??EA
CE
DC BD FB AF 由梅涅劳斯定理逆定理，D 、E 、F 三点共线
注：戴沙格定理是射影几何中的重要定理．
例7．（牛顿定理）设四边形ABCD 的一组对边AB 和CD 的延长线交于点E ，另一组对边AD 和BC 的延长线交于点F ，则AC 的中点L 、BD 的中点M 及EF 的中点N ，三点共线．
分析 为了证明L 、M 、N 共线，可考虑L 、M 、N 三点是否分别在一 个三角形的边或延长线上.由它们是AC 、BD 、EF 的中点，设ΔEBC 三边中点
为P 、R 、Q ，则显然有M 在PR 上，L 在RQ 上，N 在PQ 延长线上，再利用海涅劳斯定理不难得到证明。
P180
证明:设P 、R 、Q 分别为EB 、BC 、CE 中点，因为L 、Q 、R 分别是CA 、CE 、CB 中点，所以它们在同一直线上，且有
AB
EA
LR QL = 同理，M 、R 、P 三点在同一直线上，且
DE
CD
MP RM = N 、P 、Q 三点在同一直线上，且
FC
BF
NQ =PN
三式相乘得
FC
BF
DE CD AB EA NQ PN MP RM LR ??=??QL 但因直线ADF 切割△EBC ，由海涅劳斯定理，有
.1,1=??∴=??NQ
PN MP RM LR QL DE CD FC BF AB EA 因L 、M 、N 三点分别在△PQR 三边或其延长线上，故由梅涅劳斯定理逆定理，L 、M 、N
三点共线。
注 直线LMN 叫做四边形ABCD 的牛顿线
三、斯特瓦尔特定理
Stewart （1753—1828），英国数学家、哲学家．
斯特瓦尔特定理 设P 是ABC ?的边BC 上一点，且PC BP :=N M :=n m :，则有
2222)(BC n
m mn
AP n m mAC nAB ++
+=+ P181
证明 设θ=∠APB ，由余弦定理，
θcos 2222BP AP BP AP AB ?-+=，
即 θs BC n
m AP BC n m m AP AB co m
2)(
22
2?+?-?++=. ① 又 θcos 22
2
2
PC AP PC AP AC ?++=
\ BC CP BP AP BC AC BP AB CP ??+?=?+?222
或 PC BP BC
CP
AB BP AC AP ?-?+?=
222
当n m =时，P 为BC 的中点，有 ()
2
2222BP AP AC AB +=+ （巴布斯定理）
()22224
121BC AC AB AP -+=（中线定理） 当AP 是△ABC ∠A 的平分线是，有 ()a p b c p
c
b AP -+=2
． ()c b a p ++=2
例8．在△ABC 中设AB=c ，AC=b ，c>b ，AD 是∠A 的平分线，E 为BC 上一点，且
BE=CD ．求证：()2
2
2b c AD AE -=-．
P182
证明 为方便起见，不妨设BD=m ，DC=n ，则 BE=n ，EC=m ，ED=m-n. 由斯特瓦尔特定理，有
mn n
m n c m b AD -++=222
mn n
m m c n b AE -++=222
222
222
2
)()()()(b c n
m n m n m n m b n m c AD AE -+-=+---=-∴.
AD 为A 的平分线
b
c b c n m n m b c n m +-=
+-∴=∴
, 222)())((c b c b b c b c b
c AD AE +=+-+-=-∴
下面我们来证明一个关于三角形的重心的定理。
例9．设G 为△ABC 的重心，M 是平面上任意一点，求证： 22222223MG GA GA GA MC MB MA +++=++
分析 如图15—13，不妨设M 点在ABC 内部，
在等式中，考察线段MG 。由于MG 在△ADM 内部，且G 分中线AD 为2:1两部分，故可利用斯特瓦尔特定理得到MG 和AM 、DM 、AG 、DG 的关系，再在△BMC 中，利用中线公式可得到MD 和MB 、MC 、BD 的关系，从而有望获得证明。
证明 设△ABC 三条中线分别为AD 、BE 、CF 。在△ADM 中，斯特瓦尔特定理，有
GA DG AD AD MG GA MD DG MA ??+?=?+?222
因DG=AD,GA=AD,代入上式并整理，得
22229
2
3231AD MD MA MG -+= ①
在△MBC 中，由中线公式得
P183
2
22241
)(21BC MC MB MD -+=
又因2
29GD AD =，在GBC 中，
22224
1
)(21BC GC GB GD -+= ③
②、③代入式①，整理得
22222224)(3GD GC GB MC MB MA MG -+-++= 222222GA GC GB MC MB MA ---++=，
∴22222223MG GC GB GA MC MB MA +++=++,
注 从上式可看出，当M 不同于重心G 时，有
222222GC GB GA MC MB MA ++>++.
所以，到三角形三顶点距离的平方和为最小的点是三角形的重心。
练习
1．△ABC 的边BC 上任意一点D ，设∠ADB 和∠ADC 的角平分线分别交AB 、AC 于F 和E ，求证：AD 、BE 、CF 交于一点．
2．已知AD 是△ABC 的边BC 上的高，P 为AD 上任意一点，直线BP 、CP 分别交AC 、AB 于E 、F ，求证：∠FDA=∠ADE ．
3．△ABC 中，内切圆⊙O 与各边BC 、CA 、AB 相切于D 、E 、F ，求证：AD 、BE 、CF 交于一点．
4．在△ABC 中，，AM 为BC 边上的中线，AD 为∠A 的平分线，顶点B 在AD 上的射影为E ，BE 交AM 于N ，求证：DN ∥AB ．
5．设△ABC 的三个旁切圆在BC 、CA 、AB 上的切点分别为D 、E 、F ，则AD 、BE 、CF 交于一点．
6．设平行四边形ABCD 内一点E ，过E 引AB 的平行线与AD 、BC 交于K 、G ，过E 引AD 的平行线与AB ，CD 交于F 、H ，则FK 、BD 、GH 互相平行或交于一点．
7．一条直线与三角形三边或其延长线交于L 、M 、N ，若点N M L ''',,与L 、M 、N 关于三边的中点对称，求证N M L ''',,三点共线．
8．设四边形ABCD 外切于⊙O ，切点分别为H G F E ,,,，则GF DB HE ,,相交于一点 （或EF CA GH ,,相交于一点）
9．设D 、E 为ABC ?的边BC 上两点，且EC DE BD ==，则
2222362AD DE AC AB +=+
10．设正三角形ABC 边长为a ，P 为平面上任意一点，证明：2222a PC PB PA ≥++．
P184
习题 十五 简解
1、考虑到DF 、DE 分别是BDA ∠和ADC ∠的平分线，
1=??=??∴
BD
AD
AD CD DC BD FB AF BA CE DC BD CF BE AD 、、∴三点共线.
2、过A 作BC 的平行线交DF 、DE 的延长线于E F ''、. 由塞瓦定理有
1=??FB AF EA CE DC BD ，而BD
F A FB AF E A DC EA CE '
=
'=,，代入上式得E A F A '='. 3、由已知有AF AE CE CD BF BD ===,,
CF BE AD FB
AF EA CE DC BD 、、∴=??∴
,1三点共线. 4、延长AC 与BE 延长线交于F ，则△ABF 为等腰三角形.延长EM 交AB 于L ，则L 为AB 中点，在△ABE 中由塞瓦定理，有
,1=??LB
AL
DA ED NB BN AB ND ED
DA
NE BN LB AL //,,∴=∴
= 5、先证BD=EA,DC=AF,CE=FB,再利用塞瓦定理证明三点共线. 6、设BD 与FK 交点为O ， △ABD,,1,1=??∴=??∴
OD
BO
GB CG HC DH KA DK OD BO FB AF P185
∴ G 、H 、O 在同一直线上，即FK 、BD 、GH 交于一点O. 7.由梅涅劳斯定理有
1=??BN
AN
AM CM CL BL , 又由于,M ’,N ’,L ’分别与M 、N 、L 关于三边中点对称，所以AN ’=BN, BN’=AN,BL’=CL,CL’=BL,AM’=CM,CM’=AM,代入上式得
三点共线。
',',',1'
'
'''N M L AN BN CM AM BL CL ∴=?? 8.设HE 与BD 交于M ’，则HEM ’截△ABD ，
.1''=??∴
HA DH D M BM EB AE
又设GF 与DB 交于M ，则.1=??FC
BF
MD DM GD CG
由上两式得
,'
''MD BM
D M BM =所以M ’、M 重合。 9.利用斯特瓦尔特定理。 10.设△ABC 重心为G ，则
.
3)3
3(33222
22
222222a PG a PG CG BG AG PC PB PA ≥+=+++=++
P186
四、托勒密定理
Ptolemy （约公元85—165年），希腊大数学家，他的主要著作《天文集》被后人称作“伟大的数学书”．
托勒密定理 设四边形ABCD 内接于圆，则有 BD AC BC AD CD AB ?=?+?． 证明 为证明上式，在园内接四边形ABCD 内构造相似三角形如图16-1.在对角线BD 上取点E ，使得∠BAE=∠CAD.又因为∠ABE=∠ACD ，∴△ABE~△ACD ，
,CD
AC
BE AB =∴
即 ①?????=?.BE AC CD AB 另一方面，∵∠CAD=∠BAE ， ∴ ∠EAD=∠BAC 。
又 ∵ ∠ADE=∠ACB ，∴ △ADE~△ACB ， ∴
,BC
AC
DE AD = 即②???=?BE AC CD AB 将①、②两式相加，得
BD AC BD BE AC BC AD CD AB ?=+?=?+?)(
托勒密定理可作如下推广： 在凸四边形ABCD 中，有
BD AC BC AD CD AB ?≥?+?，
等号成立的充要条件是ABCD 为圆内接四边形，仿前可证，请读者自证。
P188
例1．设Q P ,为平行四边形ABCD 的边AD AB ,上的两点，APQ ?的外接圆交对角线
AC 于R ．求证：AC AR AD AQ AB AP ?=?+?．
证明：连接QR 、PR.在圆内接四边形APRQ 中，由托勒密定理得 AP ?QR+AR ?PR=AR ?PQ. ①
因为∠ CAB=∠ RQP ，∠ CAD=∠ QPR ，而∠ CAD=∠ ACB ， ∴△ PQR ∽ △ ACB. 令
AB QR =BC PR =CA
PQ
=k ，并考虑到BC=AD ，有
QR=kAB ，PR=kAD ，PQ=kCA. 代入①式得 AP ?kAB+AQ ?kAD=AR ?kCA. ∴AP ?AB+AQ ?AD=AR ?AC.
注 此题的特例是：当P 与B 重合，Q 与D 重合，即△ADB 的外接圆交AC 于R 时，有AB 2
+AD 2
=AR ?AC.
例2．设ABCD 为圆内接正方形，P 为弧DC 上一点，求证：
)()(PD PB PB PC PA PA +=+
证明 设正方形边长为a ，在圆内接四边形ABCP 中，由托勒密定理，有 PA ?a+PC ?a=PB ?
2a,
即 PA+PC=2PB.
同理，在圆内接四边形ABPD 中有PB+PD=2PA. 两式相除，即得
PD PB PC PA ++=PA
PB
.
∴PA(PA+PC)=PB(PB+PD). P189
例3．如图，已知圆内接正五边形ABCDE ，若P 为弧AB 上一点，则 PC PE PB PD PA +=++．
证明 设正五边形ABCDE 的边长为a ，正五边形对角线长相等，设为b.
因四边形PBDA 是园内接四边形，由托勒密定理，有PA ·b+PB ·b=PD ·a.所以 PA ·b+PB ·b+PD ·b=PD ·a+PD ·b ，
PA+PB+PD=PD ·(a+b)/b ① 又由四边形PCDE 是园内接四边形，有
PE+PC=PD ·b/a. ② 而由四边形ABCE 为园内接四边形，有 a ·b+a2=b2，即(a+b)/b =b/a.
比较 得 PA+PB+PD=PE+PC.
例4．设21,C C 为同心圆，2C 的半径是1C 的半径的2倍，四边形4321A A A A 内接于圆1C ，
分别延长43322114,,,A A A A A A A A 交圆2C 于4321,,,B B B B ，求证：四边形4321B B B B 的周
长L '不小于四边形4321A A A A 的周长的2倍．并指出等号成立的条件.
分析 要证的'
L ≥2L 为不等关系，可尝试利用托勒密定理的推广形式.为此连接2OA 、2OB 、3OB （图16-5）.在四边形322B B OA 中，由于2OB =22OA ，可得到关于22B A 、33B A 、32A A 、32B B 的关系式.同理还可得到类似的几个关系式，从而可以设法证得'L ≥2L.
证明 设圆C 1半径为r ，则C 2半径为2r.连接2OA 、2OB 、3OB .在四边形322B B OA 中，由托勒密定理的推广，有
2OA ·32B B +3OB ·22B A ≥2OB ·32A A ，
即 r ·32B B +2r ·22B A ≥2r ·32A A ， 亦即 32B B +222B A ≥2（32A A +33B A ）. 同理可得
P190
)
(2)(2)(2222111211114441444433343222B A A A B A B B B A A A B A B B B A A A B A B B ++++++≥≥≥ 四个不等式相加，即得
),
(21443322114433221A A A A A A A A B B B B B B B B ++≥++++即
L L 2'
≥
当且仅当四边形
A A A A 4321为园
C 的内接正方形时等号成立，此时
B B B B 4321也为正方形（证明略）。
五、 西姆松定理
R ．Simson （1867—1768），英国数学家，曾于1756年校订了欧几里德的《几何原本》． 西姆松定理 从ABC ?的外接圆上任意一点P 向AB CA BC ,,或它们的延长线引垂线，垂足分别为F E D ,,，则F E D ,,三点共线．
过点F E D ,,的直线叫做ABC ?关于点P 的西姆松线，
证明 为了证明D 、E 、F 三点共线，只需证明
900=∠+∠PDB FDB
由于B 、P 、D 、F 和D 、P 、E 、C 都是四点共圆，所以
909090900
000,=∠+∠∴∠-=∠-=∠-=∠=∠PDB FDB PDE PCB FBP FPB FDB 西姆松定理的逆定理也成立，即： 从一点P 向ABC ?的三边或它们的延长线引垂线，若垂足D 、E 、F
P191
在同一直线上，则点在ABC ?的外接圆上．
西姆松定理还可以推广为：
（卡诺定理）过ABC ?的外接圆上一点P ，引与三边AB CA BC ,,分别成同向的等角直线
PF PE PD ,,，与三边交点分别为F E D ,,，则F E D ,,三点共线．
这个推广亦称为卡诺定理.
关于西姆松定理的逆定理及其推广，证明并不困难，请读者自己完成
例5．设ABC ?的三条高为CF BE AD ,,，过D 作AC CF BE AB ,,,的垂线，垂足分别为S R Q P ,,,，则S R Q P ,,,在同一直线上．
分析 要证四点共线可先证三点共线.图中有多组四点共圆，再考虑到从D 所引的四条垂线，很容易联想到西姆松定理.
证明 设△ABC 的垂心为H ，则B 、D 、H 、F 四点共圆.考察圆内接△FBH ，D 为其外接圆上一点，DP 、DQ 、DR 分别与△FBH 三边所在直线垂直，由西姆松定理，P 、Q 、R 三点共线.同理可证，Q 、R 、S 三点共线. 所以，P 、Q 、R 、S 四点共线.
例6．（史坦纳定理）设ABC ?垂心为H ，其外接圆上任意一点P ，则A B C ?关于点P 的西姆松线过线段PH 的中点．
证明 如图16-9，过P 作PE ⊥BC,PF ⊥AB ，E 、F 为垂足，则EF 即为△ABC 关于P 点的西姆松线.设EF 交PH 与M 。需要证明PM=MH.为此，延长AH 交BC 于D ，交△ABC 外接圆于G ，并连接PG ，交EF 于N ，交BC 于R 。连接RH 。
下面分两步证明PM=MH.先证PN=NR ，再证RH ∥NM.考察点P 、B 、E 、F.由题设，他们四点共圆，故有∠1=∠2.
P192
又∠2=∠3，而AG ∥PE ， ∴∠3=∠4，∴∠1=∠4.
∴在Rt △PER 中，EN 为斜边PR 上的中线。 ∴PN=NR.而且有∠5=∠6.
由“三角形的垂心关于三边的对称点在三角形的外接圆上”.知HD=DG ，∴∠7=∠8. 又∠6=∠7∴∠5=∠8， ∴RH ∥EF.
∴M 为RH 的中点。
注 史坦纳定理的证法较多，这里介绍的算是比较简单的一种，特点是充分利用角的转换。
例7．如图，设Q P ,为ABC ?外接圆上的两点，若ABC ?关于Q P ,的西姆松线DE 和
FG 交于M ，则PCQ FME ∠=∠
分析 由于DE 和FG 是西姆松线，故图中有多组四点共圆，从而如同上例一样可以寻求角的转换。
证明 设PE 和FG 交于N ，和QG 交于L 。由题设，图中Q 、F 、G 、C 和E 、L 、G 、C 和C 、E 、D 、P 分别四点共圆。所以有
∠FGQ=∠FCQ, ∠NLG=∠GCE, ∠DEP=∠DCP.
∴∠FME=∠MEN+∠MNE=∠DEP+∠NGL+∠NLG=∠DCP+∠FCQ+∠ACB=∠PCQ.
注 由此力容易得到以下事实：当PQ 为△ABC 外接圆的直径时，△ABC 关于点P 和Q 的西姆松线互相垂直。
五、欧拉定理
L ．Euler （1707—1783），瑞士大数学家，在数学的多个领域都作出过重大贡献． 欧拉定理 设ABC ?的外心、重心、垂心分别为H G O ,,，则H G O ,,三点共线，且
GH OG 2
1
=
． 我们称H G O ,,的连线为欧拉线．
193
证明 延长AH 、AG 分别交BC 于D 、M 则AD ⊥BC ，M 为BC 中点。连接OM ，则 OM ⊥BC ，∴OM ∥AD 。
为了证明O 、G 、H 共线，只须证明AB=2OM 。为此，延长CO 交外接圆于P ，连接PB 、PA 。由于CP 是直径，所以有PB ∥AD,PA ∥BE ∴四边形PBHA 为平行四边形 ∴PB=AH
又∵OM=
21
PB ∴OM=2
1
AH
∴OH 必分AM 为2:1的两个部分，即OH 必过重心G 且OG=2
1GH
下面我们利用欧拉定理证明一个有趣的命题
例8．设N M L ,,为ABC ?三边的中点，求证：LMN ?的外心在ABC ?的欧拉线上． 证明 设△ABC 外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则O 、G 、H 共线 ∵MN ∥BC ，又OL ⊥BC ∴OL ⊥MN ，同理OM ⊥LN 所以O 为△LMN 的垂心
又因△LMN 的重心就是△ABC 的重心G ，所以OG 亦为△LMN 的欧拉线。
故△LMN 的外心在OG 上，事实上过MN 的中点P 作MN 的垂线OH 于P 、Q 即为△LMN 的外心，此时，OG:GQ=2：1,所以W 为OH 的中点
注 此例告诉我们△ABC 与其三边中点L 、M 、N 构成的△LMN 具有相同的欧拉线，由于△LMN 的外接圆即为著名的九点圆，所以有以下结论
194
例9．三角形三边中点、三垂线足、三顶点、和垂心所连线的中点，此九点在同一圆周上，此圆称为九点圆，或欧拉圆．九点圆的圆心在三角形的欧拉线上，即三角形的外心、重心和九点圆的圆心在同一直线上．
分析 如图16-13，设△ABC 三条高为 AD 、BE 、CF,H 为垂心。为证九点共圆，设△DEF 外接圆交三边BC 、CA 、AD 于L 、M 、N ，交三条高AD 、BE 、CF 于P 、Q 、R,则只须证明L 为BC 中点，Q 为BH 中点即可.
考察Rt △BHF,如果Q 为BH 中点，则有BQ=QF,所以∠FQH=2∠FBQ.由于图中有多组四点共圆，不难通过角的转换证得.其次再设法证明QL ∥CH,即可证得L 为BC 中点. 证明 在图16-13中，由四点共圆可得∠1=∠2，∠3=∠4. 又 ∵∠1=∠4， ∴ ∠2=∠3=∠1. ∴ ∠FDE=2∠1, ∴∠FQH=∠FDE=2∠1.
又因为△BFH 为直角三角形， ∴ Q 为BH 中点. 由四点共圆可得 ∠5=∠6，∠6=∠7.
∴ ∠5=∠7， ∴ QL ∥HC. ∴ L 为BC 中点.
同理可证P 、R 为AH 、CH 中点，M 、N 为AC 、AB 中点. 故D 、E 、F 、M 、N 、L 、P 、Q 、R 九点共圆.
由上例知道，九点圆圆心O ˊ即为OH 的中点（O 为△ABC 外接圆圆心）.
下面我们利用欧拉线来证明1992年全国高中数学联赛第二试的第一题
例10．设4321A A A A 为⊙O 的内接四边形，
4321,,,H H H H 依次为432A A A ?、143A A A ?、214A A A ?、321A A A ?的垂心．求证：4321,,,H H H H 四点在同一圆上，并定出该圆圆心的
位置． 195
分析 由于A 1,A 2,A 3,A 4是圆内接四边形，故△A 2A 3A 4、△A 3A 4A 1、
4A 1A 2A 、1A 2A 3A 外心相同都为O ，因此它们的四个重心1G 、2G 、3G 、4G 分
别在O 1H 、O 2H 、O 3H 、O 4H 上（欧拉定理），
先考察四边形1G 2G 3G 4G 与四边形1A 2A 3A 4A 的关系，在图16-14中，设M 为3A 4A 中点，则由三角形重心性质，
2A 1G ：1G M =1A 2G ：2G M =2， ∴1G 2
G 1
31A 2A 。 同理2G 3
G 132A 3A ，3G 4G 133A 4A ，4G 1G 13
4A 1A 。 ∴1G 2G 3G 4G 与1A 2A 3A 4A 相似，相似比为1：3.
但由欧拉定理可知，（图16-15）O 、1G 、1H 三点共线，且O 1G =1
3
O 1H ，O 、2G 、2H 三点共线，O 2G =
1
3
O 2H 。 ∴1G 2
G 1
3
1H 2H 。 同理可得，2G 3
G 132H 3H ，3G 4G 133H 4H ，4G 1G 13
4H 1H 。 故四边形1G 2G 3G 4G 与四边形1H 2H 3H 4H 相似，相似比为1：3.
∴四边形1H 2H 3H 4H 与四边形1A 2A 3A 4A 全等， ∴四边形1H 2H 3H 4H 也为圆内接四边形。
由以上证明可知，1A 2
A 1H 2H ，所以四边形1A 2A 1H 2H 为平行四边形，设1A 1H 和
2A 2H 的交点为P ，则P 为1A 1H 和2A 2H 的中点。
同理，2A 3A 2H 3H 亦为平行四边形，所以2A 2H 的中点P 亦为2A 2H 的中点，还为
4A 4H 的中点。
P196
点对称。关于和P 43214321A A A A H H H H ∴
∴O 点关于P 点的对称点O ’即为四边形4321H H H H 的外心。 注 由上面的证明我们知道△432A A A 、△
143A A A 、△214A A A 、△321A A A 的重心
4321G G G G 、、、四点共圆，垂心4321H H H H 、、、四点共圆。事实上它们构筑成的四边
形也和4321A A A A 形似，相似比为1：2.
最后我们介绍欧拉公式。
殴拉公式 设三角形的外接圆和内切圆半径分别为R 和r ，则两圆的圆心距
)2(r R R d -=
练习
1．若圆内接四边形的对角线互相垂直，则两对边乘积的和等于四边形的面积的两倍． 2．已知B A ,为⊙o 上两点，C 为弧AB 的中点，P 为圆上任意一点，求证：
PC PB PA +或PC
PB
PA -为定值． 3．设圆内接四边形ABCD 的四边a AB =，d DA c CD b BC ===,,两对角线
f BD e AC ==,．求证：bc
ad bd ac cd ab f cd ab bc ad bd ac e +++=
+++=
)
)((,))((22 4．设AB 为⊙o 的一条弦，C 为弧AB 的中点，过C 作弦CD 和CE 分别交AB 于G F ,，求证：EF DG FG DE GE FD ?=?+?．
5．利用西姆松定理证明托勒密定理．
6．P 为等边ABC ?的外接圆O 上的弧BC 上任意一点，P 点的西姆松线为DE （D 在BC 上，E 在CA 上），OP 与DE 交于Q ．求证：QP OQ =．
7．圆内接四边形ABCD 中， 90=∠D ，过B 作AD AC ,的垂线，垂足分别为F E ,．求证：EF 平分BD ．
8．设P 为ABC ?所在平面上一点，过P 向ABC ?三边作垂线，垂足为111,,C B A ，设A B C
?的外心为O ，外接圆的半径为R ，d OP =．求证：ABC C B A S R
d R S ??-=
2
224111
9．设ABC ?外接圆的半径为R ，某旁切圆的半径为r ，d 为两圆的圆心距．求证：
Rr R d 222+=
10．设c b a ,,为ABC ?三边的长，R 为外接圆的半径，H O ,分别为ABC ?的外心、
垂心．求证：2
22229c b a R OH ---=．
习题十六简解 1.利用托勒密定理及四边形面积公式
2.若点P 与点C 在AB 弦的异侧（如图），由托勒密定理有 ＡＣ·ＰＢ+ＡＰ·ＢＣ＝ＡＢ·ＰＣ ∵ ＡＣ＝ＢＣ， P198
∴ AC （PB+PA ）=AB ·PC ， ∴
定值==+AC
AB
PC PA PB 。
同理，当P 在⌒ACB 上时（不妨设PA>PB ），可得定值==-AC
AB PC
PB PA 。
3.在⌒ADC
上取点E ，使得CE=d ，则AE=c ，由托勒密定理有： ac+bd=ef ， ① ad+bc=e ·BE ②
同样在⌒BCE
上去点F ，使得BF=d ，则有FE=b ，∴ 在圆内接四边形ABEF 中，有 ad+cd=AF ·BE ，但AF=BD=f ，所以
ab+cd=f ·BE ③
由①、②、③式中消去BE ，即可得证。
4.只需证明D 、F 、G 、E 四点共圆，在应用托勒密定理即可得证。
5.过D 作BC 、CA 、AB 的垂线，垂足为P 、Q 、M ，由于A 、Q 、D 、M 四点共圆，且AD 为直径，∴ QM=AD=sin ∠MAQ=ADsin ∠BAC 设△ABC 外接圆半径为R ，则 BC=2R ·sin ∠BAC ，
∴ R BC
AD QM 2?=
同理 R CD
AB PQ R BD AC PM 2,2?=
?= ∵ P 、Q 、R 三点共线，
∴ PM=PQ+QM ，
∴ AC ·BD=AB ·CD+AD ·BC
6.由四点共圆可得∠1=∠2=∠3，∴ D ，P ，N ，M 四点共圆，又 P199
.
,,.,
//QP OQ OM PD LN OL DPNM MN DP =∴==∴易得再由为等腰梯形
7. 设EF 交CD 与G.由西姆松定理?=∠90BGC ,易证FBGD 为矩形. 8. 利用四点共园可证.111PAD C B A ∠=∠
平面几何中几个重要定理及其证明 一、 塞瓦定理 1．塞瓦定理及其证明 定理：在?ABC 内一点P ，该点与?ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交?ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 三点均不是?ABC 的顶点，则有 1AD BE CF DB EC FA ??=． 证明：运用面积比可得ADC ADP BDP BDC S S AD DB S S ????==． 根据等比定理有 ADC ADC ADP APC ADP BDP BDC BDC BDP BPC S S S S S S S S S S ??????????-=== -， 所以APC BPC S AD DB S ??=．同理可得APB APC S BE EC S ??=，BPC APB S CF FA S ??=． 三式相乘得 1AD BE CF DB EC FA ??=． 注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高” A B C D F P
还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”． 2．塞瓦定理的逆定理及其证明 定理：在?ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F ，且D 、 E 、 F 均不是?ABC 的顶点，若1AD BE CF DB EC FA ??=，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点． 证明：设直线AE 与直线BF 交于点P ，直线CP 交AB 于点D /，则据塞瓦定理有 / / 1AD BE CF D B EC FA ??=． 因为 1AD BE CF DB EC FA ??=，所以有/ /AD AD DB D B =．由于点D 、D /都在线段AB 上，所以点D 与D /重合．即得D 、E 、F 三点共线． 注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证． 二、 梅涅劳斯定理 A B C D E F P D /
. 一．平面几何 1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边 的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍． 2． 射影定理（欧几里得定理） 3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则 有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：2 222 22a c b m a -+= 4． 垂线定理：2 2 2 2 BD BC AD AC CD AB -=-?⊥ 高 线 长 ： C b B c A a bc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---= 5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线 段与这个角的两边对应成比例． 如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则AC AB DC BD =；（外角平分线定 理） 角平分线长：2 cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+= （其中 p 为周长一半） 6． 正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin ===， （其中R 为三角形外接圆半径） 7． 余弦定理：C ab b a c cos 2222 -+= 8． 张角定理：AB DAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin 9． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2 ·DC +AC 2 ·BD －AD 2 ·BC ＝BC ·DC ·BD 10． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一 半．（圆外角如何转化？） 11． 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角 12． 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定 理）：切线长定理：） 13． 布拉美古塔（Brahmagupta ）定理： 在圆内接四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，自对角线的交点P 向一边作垂线，其延长线必平分对边 14． 点到圆的幂：设P 为⊙O 所在平面上任意一点，PO =d ，⊙ O 的半径为r ，则d 2－r 2就是点P 对于⊙O 的幂．过P 任作 一直线与⊙O 交于点A 、B ，则PA ·PB = |d 2 －r 2 |．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点． 15． 托勒密（Ptolemy ）定理：圆内接四边形对角线之积等于两 组对边乘积之和，即AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD 16． 蝴蝶定理：AB 是⊙O 的弦，M 是其中点，弦CD 、EF 经过 点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，求证：MP =QM ． 17． 费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近 两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距 离．定理2 三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点 18． 拿破仑三角形：在任意△ABC 的外侧，分别作等边△ABD 、 △BCE 、△CAF ，则AE 、AB 、CD 三线共点，并且AE ＝BF ＝ CD ，这个命题称为拿破仑定理． 以△ABC 的三条边分别向 外作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 1 、⊙ A 1 、⊙ B 1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙ C 1 、 ⊙A 1 、⊙B 1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC 的三条边分别向△ABC 的内侧作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心 19． 九点圆（Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形 中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如: （1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半 （2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点 （3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕 20． 欧拉（Euler ）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心 依次位于同一直线（欧拉线）上． 21． 欧拉（Euler ）公式：设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半 径为r ，外心与内心的距离为d ，则d 2 =R 2 －2Rr ． 22． 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各 边距离的和． 23． 重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分 成2：1的两部分；)3 ,3(C B A C B A y y y x x x G ++++ 重心性质：（1）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC
1、勾股定理（毕达哥拉斯定理） 2、射影定理（欧几里得定理） 3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分 4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点 5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。 7、三角形的三条高线交于一点 8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL 9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线（欧拉线）上。 10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上， 11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上 12、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆） 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s为三角形周长的一半 14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点 15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2) 16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2 17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上 19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD 20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，
专题平面几何的四个重 要定理 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
竞赛专题讲座06 －平面几何四个重要定理 四个重要定理： 梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线） △ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，则P、 Q、R共线的充要条件是。 塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点） △ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R，则AP、BQ、CR共点 的充要条件是。 托勒密(Ptolemy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该 四边形内接于一圆。 西姆松(Simson)定理（西姆松线） 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是 该点落在三角形的外接圆上。 例题： 1．设AD是△ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。求 证：。
【分析】CEF截△ABD→（梅氏定理） 【评注】也可以添加辅助线证明：过A、B、D之一作CF的平行线。 2．过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F， 交CB于D。 求证：。 【分析】连结并延长AG交BC于M，则M为BC的 中点。 DEG截△ABM→（梅氏定理） DGF截△ACM→（梅氏定理） ∴===1 【评注】梅氏定理 3． D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上， ，AD、BE、CF交成△LMN。 求S△LMN。 【分析】 【评注】梅氏定理 4．以△ABC各边为底边向外作相似的 等腰△BCE、△CAF、△ABG。求证：AE、 BF、CG相交于一点。
【分析】 【评注】塞瓦定理 5．已知△ABC中，∠B=2∠C。求证：AC2=AB2+AB·BC。 【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D，连结BD。则 CD=DA=AB，AC=BD。 由托勒密定理， AC·BD=AD·BC+CD·AB。 【评注】托勒密定理 6．已知正七边形A 1A2A3A4A5A6A7。 求证：。（第21届全苏数学竞赛） 【分析】 【评注】托勒密定理 7．△ABC的BC边上的高AD的延长线交 外接圆于P，作PE⊥AB于E，延长ED交 AC延长线于F。 求证：BC·EF=BF·CE+BE·CF。 【分析】 【评注】西姆松定理（西姆松线） 8．正六边形ABCDEF的对角线AC、CE分别被内分点M、N分成的 比为AM：AC=CN：CE=k，且B、M、N共 线。求k。（23-IMO-5） 【分析】 【评注】面积法 9． O为△ABC内一点，分别以d a、d b、d c表示O到BC、CA、AB的距离，以R a、 R b、R c表示O到A、B、C的距离。
第十九讲平面几何中的几个著名定理 几何学起源于土地测量，几千年来，人们对几何学进行了深入的研究，现已发展成为一门具有严密的逻辑体系的数学分支．人们从少量的公理出发，经过演绎推理得到不少结论，这些结论一般就称为定理．平面几何中有不少定理，除了教科书中所阐述的一些定理外，还有许多著名的定理，以这些定理为基础，可以推出不少几何事实，得到完美的结论，以至巧妙而简捷地解决不少问题．而这些定理的证明本身，给我们许多有价值的数学思想方法，对开阔眼界、活跃思维都颇为有益．有些定理的证明方法及其引伸出的结论体现了数学的美，使人们感到对这些定理的理解也可以看作是一种享受．下面我们来介绍一些著名的定理． 1．梅内劳斯定理 亚历山大里亚的梅内劳斯(Menelaus，约公元100年，他和斯巴达的Menelaus是两个人)曾著《球面论》，着重讨论球面三角形的几何性质．以他的名子命名的“梅内劳斯定理”现载在初等几何和射影几何的书中，是证明点共线的重要定理． 定理一直线与△ABC的三边AB，BC，CA或延长线分别相交于X，Y，Z，则 证过A，B，C分别作直线XZY的垂线，设垂足分别为Q，P，S，见图3－98．由△AXQ∽△BXP得
同理 将这三式相乘，得 说明(1)如果直线与△ABC的边都不相交，而相交在延长线上，同样可证得上述结论，但一定要有交点，且交点不在顶点上，否则定理的结论中的分母出现零，分子也出现零，这时定理的结论应改为 AX×BY×CZ=XB×YC×ZA， 仍然成立． (2)梅内劳斯定理的逆定理也成立，即“在△ABC 的边AB和AC上分别取点X，Z，在BC的延长线上取点Y，如果 那么X，Y，Z共线”．梅内劳斯定理的逆定理常被用来证明三点共线． 例1 已知△ABC的内角∠B和∠C的平分线分别为BE和CF，∠A的外角平分线与BC的延长线相交于D，求证：D，E，F共线． 证如图3－99有 相乘后得
初中数学知识重点整理 －平面几何四个重要定理 四个重要定理： 梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线） △ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，则P、Q、 R共线的充要条件是。 塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点） △ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R，则AP、BQ、CR共点的 充要条件是。 托勒密(Ptolemy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该 四边形内接于一圆。 西姆松(Simson)定理（西姆松线） 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是 该点落在三角形的外接圆上。 例题： 1．设AD是△ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。求证： 。
【分析】CEF截△ABD→（梅氏定理） 【评注】也可以添加辅助线证明：过A、B、D之一作CF的平行线。 2．过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F， 交CB于D。 求证：。 【分析】连结并延长AG交BC于M，则M为BC的中 点。 DEG截△ABM→（梅氏定理） DGF截△ACM→（梅氏定理） ∴===1 【评注】梅氏定理 3． D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上， ，AD、BE、CF交成△LMN。 求S△LMN。 【分析】 【评注】梅氏定理 4．以△ABC各边为底边向外作相似的 等腰△BCE、△CAF、△ABG。求证：AE、BF、 CG相交于一点。
【分析】 【评注】塞瓦定理 5．已知△ABC中，∠B=2∠C。求证：AC2=AB2+AB·BC。 【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D，连结BD。则 CD=DA=AB，AC=BD。 由托勒密定理， AC·BD=AD·BC+CD·AB。 【评注】托勒密定理 6．已知正七边形A 1A2A3A4A5A6A7。 求证：。（第21届全苏数学竞赛） 【分析】 【评注】托勒密定理 7．△ABC的BC边上的高AD的延长线交 外接圆于P，作PE⊥AB于E，延长ED交 AC延长线于F。 求证：BC·EF=BF·CE+BE·CF。 【分析】 【评注】西姆松定理（西姆松线） 8．正六边形ABCDEF的对角线AC、CE分别被内分点M、N分成的比 为AM：AC=CN：CE=k，且B、M、N共线。 求k。（23-IMO-5） 【分析】 【评注】面积法 9． O为△ABC内一点，分别以d a、d b、d c表示O到BC、CA、AB的距离，以R a、R b、R c表示O到A、B、C的距离。
【认识平面几何的61个著名定理，自行画出图形来学习，★部分要求证明出来】 ★1、勾股定理（毕达哥拉斯定理） ★2、射影定理（欧几里得定理） ★3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分 4、四边形两边中心的连线和两条对角线中心的连线交于一点 5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 ★6、三角形各边的垂直平分线交于一点。 ★7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点 8、设三角形ABC 的外心为O ，垂心为H ，从O 向BC 边引垂线，设垂足不L ，则AH=2OL 9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。 10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上， 11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上 12、库立奇大上定理：（圆内接四边形的九点圆） 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 ★13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式： ()()()s c s b s a s r ---=，s 为三角形周长的一半 ★14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点 15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC 的边BC 的中点为P ，则有AB 2+AC 2=2(AP 2+BP 2) 16、斯图尔特定理：P 将三角形ABC 的边BC 分成m 和n 两段，则有n×AB 2+m×AC 2=BC×（AP 2+mn ） 17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD 的对角线互相垂直时，连接AB 中点M 和对角线交点E 的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A 、B 的距离之比为定比m:n （值不为1）的点P ，位于将线段AB 分成m:n 的内分点C 和外分点D 为直径两端点的定圆周上 ★19、托勒密定理：设四边形ABCD 内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD
竞赛专题讲座－平面几何四个重要定理 重庆市育才中学瞿明强 四个重要定理： 梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线） △ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，则P、Q、R共线的充要条件是四个重要定理： 。 塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点） △ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R，则AP、BQ、CR共点的充要条件是 。 托勒密(Ptolemy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。 西姆松(Simson)定理（西姆松线） 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。 例题：
1．设AD是△ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。求证：。 【分析】CEF截△ABD→（梅氏定理） 【评注】也可以添加辅助线证明：过A、B、D之一作CF的平行线。 2．过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F，交CB于D。 求证：。 【分析】连结并延长AG交BC于M，则M为BC的中点。DEG截△ABM→（梅氏定理） DGF截△ACM→（梅氏定理） ∴===1 【评注】梅氏定理
3．D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上， ，AD、BE、CF交成△LMN。 求S△LMN。 【分析】 【评注】梅氏定理 4．以△ABC各边为底边向外作相似的等腰△BCE、△CAF、△ABG。求证：AE、BF、CG相交于一点。 【分析】 【评注】塞瓦定理 5．已知△ABC中，∠B=2∠C。求证：AC2=AB2+AB·BC。 【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D，连结BD。则CD=DA=AB，AC=BD。由托勒密定理，AC·BD=AD·BC+CD·AB。 【评注】托勒密定理
托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组 对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之 和)． 即：ABCD AB CD AD BC AC BD ?+?≥? 定理：在四边形中，有： ABCD 并且当且仅当四边形内接于圆时，等式成立； () ABCD E BAE CAD ABE ACD AB BE ABE ACD AB CD AC BE AC CD AB AE BAC EAD ABC AED AC AD BC ED AD BC AC ED AC AD AB CD AD BC AC BE ED AB CD AD BC AC BD E BD A B C ∠=∠∠=∠ ??∴=??=? =∠=∠∴?? ∴=??=? ∴?+?=?+ ∴?+?≥? 证：在四边形内取点，使， 则：和相似 又且和相似 且等号当且仅当在上时成立，即当且仅当、、、 一、直接应用托勒密定理 例1如图2，P是正△ABC外接圆的劣弧上任一点(不与B、C重合)， 求证：PA=PB＋PC． 分析：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为 繁冗．若借助托勒密定理论证，则有PA·BC=PB·AC＋PC·AB， ∵AB=BC=AC．∴PA=PB+PC． 二、完善图形借助托勒密定理 例2证明“勾股定理”：在Rt△ABC中，∠B=90°，求证：AC2=AB2＋BC2 证明：如图，作以Rt△ABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD，显然ABCD是 圆内接四边形． 由托勒密定理，有AC·BD=AB·CD＋AD·BC．① 又∵ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，AC=BD．② 把②代人①，得AC2=AB2＋BC2． 例3如图，在△ABC中，∠A的平分线交外接∠圆于D，连结BD， 求证：AD·BC=BD(AB＋AC)． 证明：连结CD，依托勒密定理，有AD·BC＝AB·CD＋AC·BD． ∵∠1=∠2，∴BD=CD． 故AD·BC=AB·BD＋AC·BD=BD(AB＋AC)． 三、构造图形借助托勒密定理 例4若a、b、x、y是实数，且a2＋b2=1，x2＋y2=1．求证：ax＋by≤1． 证明：如图作直径AB=1的圆，在AB两边任作Rt△ACB和Rt△ADB， 使AC＝a，BC=b，BD＝x，AD＝y． 由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的． 据托勒密定理，有AC·BD＋BC·AD=AB·CD． ∵CD≤AB＝1，∴ax＋by≤1． 四、巧变原式妙构图形，借助托勒密定理 例5已知a、b、c是△ABC的三边，且a2=b(b ＋c)，求证：∠A=2∠B． 分析：将a2=b(b＋c)变形为a·a=b·b＋bc，从而联想到托勒密定理，进 而构造一个等腰梯形，使两腰为b，两对角线为a，一底边为c． 证明：如图，作△ABC 的外接圆，以A为圆心，BC为半径作弧交圆于 D，连结BD、DC、DA．∵AD=BC，ACD BDC =∴∠ABD=∠BAC． 又∵∠BDA=∠ACB(对同弧)，∴∠1=∠2． 依托勒密定理，有BC·AD=AB·CD＋BD·AC．① 而已知a2=b(b＋c)，即a·a=b·c＋b2．② ∴∠BAC=2∠ABC． 五、巧变形妙引线 借肋托勒密定理 例6在△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4， 分析：将结论变形为AC·BC＋AB·BC=AB·AC，把三角形和圆联系起 来，可联想到托勒密定理，进而构造圆内接四边形． 如图，作△ABC的外接圆，作弦BD=BC，边结AD、CD． 在圆内接四边形ADBC中，由托勒密定理， 有AC·BD＋BC·AD=AB·CD 易证AB=AD，CD=AC，∴AC·BC＋BC·AB=AB·AC， 1.已知△ ABC 中，∠ B=2∠ C。求证：AC2=AB2+AB·BC。 【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D，连结BD。 则CD=DA=AB，AC=BD。由托勒密定理，AC·BD=AD·BC+CD·AB。 2.ABC BC P BC AC AB PK PL PN BC AC AB PK PL PM ? =+ 由外接圆的弧上一点分别向边、与作垂线、和， 求证：
平面几何中几个重要定理及其证明 一、塞瓦定理 1．塞瓦定理及其证明 定理：在?ABC 内一点P ，该点与?ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交?ABC 三边 AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、 F 三点均不是?ABC 的顶点，则有 1AD BE CF DB EC FA ??=． 证明：运用面积比可得ADC ADP BDP BDC S S AD DB S S ????==． 根据等比定理有 ADC ADC ADP APC ADP BDP BDC BDC BDP BPC S S S S S S S S S S ??????????-===-， 所以APC BPC S AD DB S ??=．同理可得APB APC S BE EC S ??=，BPC APB S CF FA S ??=． 三式相乘得1AD BE CF DB EC FA ??=． 注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”． 2．塞瓦定理的逆定理及其证明 定理：在?ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、 A B C D F P
F ，且D 、E 、F 均不是?ABC 的顶点，若1AD BE CF DB EC FA ??=，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点． 证明：设直线AE 与直线BF 交 于点P ，直线CP 交AB 于点D /，则 据塞瓦定理有 //1AD BE CF D B EC FA ??=． 因为 1AD BE CF DB EC FA ??=，所以有//AD AD DB D B =．由于点D 、D /都在线段AB 上，所以点D 与D /重合．即得D 、E 、F 三点共线． 注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证． 二、梅涅劳斯定理 3．梅涅劳斯定理及其证明 定理：一条直线与?ABC 的三 边AB 、BC 、CA 所在直线分别交 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不 是?ABC 的顶点，则有 1AD BE CF DB EC FA ??=． A B C D F P D / A B C D E F G
平面几何的几个重要的定理 一、梅涅劳斯定理： 1=??=??B A A C C B C B A h h h h h h RB AR QA CQ PC BP l C B A h h h 的垂线的长度，则：到直线 、、分别是、、证：设 注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的 线段成比例的条件； 。 的交点，证明：与是的中点，是上，在点 的平分线，是是斜边上的高，中，：若直角例CE //BF CK DE F AC D AK E ACK CE CK ABC ∠?11PC BP R Q P AB CA BC ABC ABC l 1=??RB AR QA CQ ，则 、、的延长线分别交于或它们、、的三边的顶点，并且与不经过：若直线定理??CE //BF CKE FKB KE BK KC KF BE BK FC KF BE BK BC BP AC EP AC CK AE EK FC KF 1FC KF EK AE DA CD F E D ACK EP CK EP BC EBC CE BH 90HCB ACE HCB HBC ACE HBC ACK EBC BH B EBC ∴?∴= ====??=∴⊥?=∠+∠=∠+∠∠=∠∠=∠∠?????＝ 依分比定理有：＝即：＝于是依梅涅劳斯定理有：、、和三点对于，则：上的高作为等腰三角形 即：则：的平分线中，作在证：Θ
1 11 111111111D B D A : C B C A B D AD :BC AC D C B A D C B A K 1=，试证：、、、和、、、线分别交这四条直线于引四条直线，另两条直】从点【练习 注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用 再相乘； 共线； 、、证明点引的垂线的垂足， 、、向是从点、、的外接圆上；位于点例111111C B A AB CA BC P C B A ABC P .2? 三点共线； 、、综上可得：也重合与的延长线上时，同在与类似地可证得当矛盾＝这与于是可得即这时设必定重合，不然的话，与线段上，则同在与若的延长线上； 线段上，或者同在或者同在与因此，或边上的点的个数也为三点中，位于、、由于在同一直线上的＝ ，则：又得： ，于是由定理交于与直线证：设直线R Q P R R AB R R BR AR BR AR BR AR BR AR ,BR BR ,AR AB AR AB ,AR AR R R AB R R AB AB R R 20ABC R Q P RB AR B R AR 1RB AR QA CQ 1B R AR QA CQ 1R AB PQ ''' ' ' ' ' ' ''''''''' '> <-<->=??=???PC BP PC BP Θ三点共线； 、、求证：， ，这时若或边上的点的个数为三点中，位于、、三点，并且 上或它们的延长线上的、、的三边分别是、、：设定理R Q P PC BP 20ABC R Q P AB CA BC ABC R Q P 21RB AR QA CQ =???? C B A 1 A 1 B 1 C 三点共线； 、、依梅涅劳斯定理可知，＝可得 且将上面三条式子相乘， 证：易得：1111 1 1111111111C B A 1BC AC AB CB CA BA 180PBA PCA ,PCB PAB ,PBC PAC PBA cos PB PAB cos AP BC AC PAC cos AP PCA cos CP AB CB , PCB cos CP PBC cos BP CA BA ???=∠+∠∠=∠∠=∠∠?∠?-=∠?∠?-=∠?∠?-=Θ
平面几何四大定理 平面几何四个重要定理 四个重要定理: 梅涅劳斯(Me ｎelau ｓ)定理（梅氏线） △ＡBC 的三边ＢC 、CA 、AB 或其延长线上有点P 、Q 、R,则Ｐ、Q 、Ｒ共线的充要条件是 1RB AR QA CQ PC BP =??。 塞瓦（Ceva)定理(塞瓦点) △ＡBC 的三边BC 、ＣA 、ＡB 上有点P 、Q 、R ，则AP 、BQ 、CR 共点的充要条件是 1RB AR QA CQ PC BP =??。 托勒密(Ｐto ｌｅｍy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。 西姆松(S ｉmso ｎ)定理(西姆松线） 该点落在三角形的外接圆上。 例题： 1． 设AD 是△A ＢＣ的边BC 上的中线，直线CF 交AD 于F 。求 证：FB AF 2ED AE = 。 【分析】CEF 截△ＡBD → 1FA BF CB DC ED AE =??(梅氏定理) 【评注】也可以添加辅助线证明：过A 、Ｂ、D 之一作CF 的平行 线。 2． 过△ABC 的重心G 的直线分别交AB 、AC 于E 、Ｆ，交CB 于
平面几何四大定理 D 。 求证: 1FA CF EA BE =+。 【分析】连结并延长AG 交BC 于Ｍ，则Ｍ为BC 的中点。 ＤＥG 截△AB Ｍ→1DB MD GM AG EA BE =??(梅氏定理） D ＧF 截△AC Ｍ→1DC MD GM AG FA CF =??(梅氏定理) ∴FA CF EA BE + =MD AG )DC DB (GM ?+?＝MD GM 2MD 2GM ??＝1 【评注】梅氏定理 3． D 、E 、F 分别在△ＡBC 的BC 、C Ａ、ＡB 边上, λ===EA CE FB AF DC BD ，A Ｄ、ＢE 、CF 交成△ＬMN 。 求S △LMN 。 【分析】 【评注】梅氏定理 4． 以△ＡBC 各边为底边向外作相似的等腰△B ＣE 、△CAF 、 △ABG 。求证：ＡE 、BF 、CG 相交于一点。 【分析】 【评注】塞瓦定理 5． 已知△ABC 中,∠B=2∠Ｃ。求证：ＡC 2=AB 2＋AB ·B Ｃ。
平面几何中的几个著名定理 文章来源：全国初中数学竞赛辅导作者：孙瑞清 几何学起源于土地测量，几千年来，人们对几何学进行了深入的研究，现已发展成为一门具有严密的逻辑体系的数学分支．人们从少量的公理出发，经过演绎推理得到不少结论，这些结论一般就称为定理．平面几何中有不少定理，除了教科书中所阐述的一些定理外，还有许多著名的定理，以这些定理为基础，可以推出不少几何事实，得到完美的结论，以至巧妙而简捷地解决不少问题．而这些定理的证明本身，给我们许多有价值的数学思想方法，对开阔眼界、活跃思维都颇为有益．有些定理的证明方法及其引伸出的结论体现了数学的美，使人们感到对这些定理的理解也可以看作是一种享受．下面我们来介绍一些著名的定理． 1．梅内劳斯定理 亚历山大里亚的梅内劳斯(Menelaus，约公元100年，他和斯巴达的Menelaus是两个人)曾著《球面论》，着重讨论球面三角形的几何性质．以他的名子命名的“梅内劳斯定理”现载在初等几何和射影几何的书中，是证明点共线的重要定理． 定理一直线与△ABC的三边AB，BC，CA或延长线分别相交于X，Y，Z，则 证过A，B，C分别作直线XZY的垂线，设垂足分别为Q，P，S，见图3－98．由△AXQ ∽△BXP得 同理
将这三式相乘，得 说明(1)如果直线与△ABC的边都不相交，而相交在延长线上，同样可证得上述结论，但一定要有交点，且交点不在顶点上，否则定理的结论中的分母出现零，分子也出现零，这时定理的结论应改为 AX×BY×CZ=XB×YC×ZA， 仍然成立． (2)梅内劳斯定理的逆定理也成立，即“在△ABC的边AB和AC上分别取点X，Z，在BC的延长线上取点Y，如果 那么X，Y，Z共线”．梅内劳斯定理的逆定理常被用来证明三点共线． 例1 已知△ABC的内角∠B和∠C的平分线分别为BE和CF，∠A的外角平分线与BC的延长线相交于D，求证：D，E，F共线． 证如图3－99有 相乘后得
. . 平面几何四个重要定理 四个重要定理： 梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线） △ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点P 、Q 、R ， 则P 、Q 、R 共线的充要条件是 1RB AR QA CQ PC BP =??。 塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点） △ABC 的三边BC 、CA 、AB 上有点P 、Q 、R ，则AP 、BQ 、CR 共点的充要条件是 1RB AR QA CQ PC BP =??。 托勒密(Ptolemy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。 西姆松(Simson)定理（西姆松线） 该点落在三角形的外接圆上。 例题： 1． 设AD 是△ABC 的边BC 上的中线，直线CF 交AD 于F 。 求证：FB AF 2ED AE = 。 【分析】CEF 截△ABD → 1FA BF CB DC ED AE =??（梅氏定理） 【评注】也可以添加辅助线证明：过A 、B 、D 之一作CF 的平 行线。 2． 过△ABC 的重心G 的直线分别交AB 、AC 于E 、F ，交CB
DEG 截△ABM →1DB MD GM AG EA BE =??（梅氏定理） DGF 截△ACM →1DC MD GM AG FA CF =??（梅氏定理） ∴FA CF EA BE +=MD AG )DC DB (GM ?+?=MD GM 2MD 2GM ??=1 【评注】梅氏定理 3． D 、E 、F 分别在△ABC 的BC 、CA 、AB 边上， λ===EA CE FB AF DC BD ，AD 、BE 、CF 交成△LMN 。 求S △LMN 。 【分析】 【评注】梅氏定理 4． 以△ABC 各边为底边向外作相似的等腰△BCE 、△CAF 、 △ABG 。求证：AE 、BF 、CG 相交于一点。 【分析】 B
盘点几何中的著名定理 1、勾股定理（毕达哥拉斯定理） 2、射影定理（欧几里得定理） 3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分 4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点 5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。 7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点 8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL 9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。 10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上， 11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上 12、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆） 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆
叫做圆内接四边形的九点圆。 13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：$r=sqrt{[(s-a)(s-b)(s-c)]/s}$s为三角形周长的一半 14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点 15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有$AB^2+AC^2=2(AP^2+BP^2)$ 16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有$nxxAB^2+mxxAC^2=(m+n)AP^2+(mn)/(m+n)BC^2$ 17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n （值不为1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上 19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有$ABxxCD+ADxxBC=ACxxBD$,推广对于一般的四边形ABCD，则有$ABxxCD+ADxxBC=ACxxBD$ 20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形， 21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，
几何中的著名定理 1、勾股定理（毕达哥拉斯定理） 2、射影定理（欧几里得定理） 3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分 4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点 5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。 7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点 8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL 9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。 10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上， 11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上 12、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆） 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)ss为三角形周长的一半 14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点 15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2) 16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2 17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E 的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n（值不为1）的点P，位于将线段AB 分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上 19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC 20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形， 21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。 22、爱尔可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，则由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心构成的三角形是正三角形。 23、梅涅劳斯定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有 BP/PC×CQ/QA×AR/RB=1 24、梅涅劳斯定理的逆定理：（略） 25、梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的平分线交边AB 于R，、∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线。 26、梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线 27、塞瓦定理：设△ABC的三个顶点A、B、C的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连接面成的三条直线，分别与边BC、CA、AB或它们的延长线交于点P、Q、R，则BPPC×CQQA×ARRB()=1. 28、塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中心M 29、塞瓦定理的逆定理：（略） 30、塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点 31、塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点。 32、西摩松定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线）