北京市昌平区2014－2015学年第一学期高三年级期末质量抽测
数学试卷(理科) 2015.1
考生注意事项：
1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟． 2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B 铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B 铅笔．
3．修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．
4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)
1. 已知集合{}
(4)(2)0A x x x =-+=，{}|3B x x =≥，则A B 等于 A. {2}- B. {3} C. {4} D. {2,4}-
2．已知0a b >>，则下列不等式成立的是 A. 22a b < B. 11
a b
> C. a b < D. 22a b >
3. 执行如图所示的程序框图，输出a 的值是 A ．4 B ．8 C ．16 D ．32
4.某四棱锥的三视图如图所示，其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是 A ．8
B ．83
C ．4
D ．43
5. 已知直线m 和平面α，β，则下列四个命题中正确的是
A. 若αβ⊥，m β?，则m α⊥
B. 若//αβ，//m α，则//m β
C. 若//αβ，m α⊥，则m β⊥
D. 若//m α，//m β，则//αβ
6. 在2014年APEC 会议期间，北京某旅行社为某旅行团包机去旅游，其中旅行社的包机费为12000元，旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数在30人或30人以下，每张机票收费800元；若旅行团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，旅行团每张机票减少20元，但旅行团的人数最多不超过45人，当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数是
A. 32人
B. 35人
C. 40人
D. 45 人
7. 在ABC △ 中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c . 若1,30,a A == 则“60B =
”是
“b =的
A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件
8. 某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝. 甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷. 根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是
A ．甲 B. 乙 C ．丙 D.丁
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）
9. 设复数12i z =-，则||z =
.
俯视图
侧（左）视图
正（主）视图
10. 5)21(x +的展开式中，2
x 的系数是 .(用数字作答)
11. 若x ，y 满足约束条件1,,0,x y y x y +??
???
≤≤≥ 则z x y =+2的最大值是 .
12. 平面向量a 与b 的夹角为60?
，(1,0)=a ，=2|b |，则|2|-a b = .
13. 已知双曲线2
2
1(0)y x m m
-=>的离心率是2，则________,m =以该双曲线的右焦点为圆心且与其渐近线相切的圆的方程是 .
14. 已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，有如下结论：
①()1,1x ?∈-，有()()f x f x -=；②()1,1x ?∈-，有()()f x f x -=-； ③()12,1,1x x ?∈-，有
1212
()()
0f x f x x x ->-；
④()12,0,1x x ?∈，有1212()()
()22
x x f x f x f ++≤. 其中正确结论的序号是 .（写出所有正确结论的序号）
三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
15.（本小题满分13分）
已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x =+． ( I ) 求函数)(x f 的最小正周期；
(Ⅱ) 当[0,]2
x π∈时，求函数)(x f 的最大值及取得最大值时的x 值．
从甲、乙两班某项测试成绩中各随机抽取5名同学的成绩，得到如下茎叶图. 已知甲班样本成绩的中位数为13, 乙班样本成绩的平均数为16.
(I) 求,x y 的值；
(II) 试估计甲、乙两班在该项测试中整体水平的高低(只需写出结论)；
(III) 从两组样本成绩中分别去掉一个最低分和一个最高分，再从两组
剩余成绩中分别随机选取一个成绩，求这两个成绩的和ξ的分布列及数学期望.
（注：方差2
222121
[()()()]n s x x x x x x n
=
-+-++- ，其中x 为1x ，2x ，… ,n x 的平均数.）
17. （本小题满分14分）
如图，PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，90ADC BAD ?
∠=∠=. F 为PA
中点，PD =1
1.2
AB AD CD === 四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N .
(I) 求证：AC // 平面DEF ；
(II) 求二面角A BC P --的大小；
(III)在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与
平面BCP 所成角的大小为6
π
？ 若存在，请求出FQ 的长;
若不存在，请说明理由.
乙
甲
9 0 9
x 2 1 5 y 8 6 0 2 0
已知函数()()22ln f x x a x ax a =-+∈R ． ( I ) 当1a =时，求函数()f x 的单调区间；
( II ) 若函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，求实数a 的取值范围．
19.（本小题满分14分）
已知椭圆C :()222210x y a b a b +=>> ,
经过点1,P ? ??
． (I) 求椭圆C 的方程；
(II) 设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆右顶点M ，求证：直线l 恒过定点．
20. （本小题满分13分） 已知数列{}n a 满足11
2a =
，1222,,n n n a n n a a n n ++-?=?--?为奇数为偶数
，数列{}n a 的前n 项和为n S , 2n n b a =，其中*n ∈N .
(I) 求23a a +的值；
(II) 证明：数列{}n b 为等比数列； (III ) 是否存在*
()n n ∈N ，使得21241
?2
n n S b +-= 若存在，求出所有的n 的值；若不存在，请说明理由．
昌平区2014－2015学年第一学期高三年级期末质量抽测
数学试卷(理科)参考答案
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．
9.
10. 40 11. 2
12. 2 13. 3；22(2)3x y -+= 14.② ③ ④ 三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
15.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为 1cos 2()sin 222
x
f x x +=+?
sin 2cos 21x x =++
)14
x π
=++ ………… 5分
所以 22
T π
==π，故()f x 的最小正周期为π. ………… 7分 （Ⅱ）因为 02x π≤≤， 所以2444
x ππ5π
≤+≤． …………9分
当242x ππ+=时，即8
x π
=时， …………11分
所以)(x f 1. …………13分
16.（本小题满分13分）
解：（I ）经计算得：甲班数据依次为9,12,10,20,26x +，所以中位数为1013x +=，得3x =；
1
(915101820)165
x y =+++++=乙，得8y =．……………4分
（II ）乙班整体水平高.
或解： 1
(912132026)165
x =
++++=甲，
2
222221[(916)(1216)(1316)(2016)(2616))]385s =-+-+-+-+-=甲，
1
(915181820)165x =++++=乙，
2
22222174[(916)(1516)(1816)(1816)(2016))]14.855
s =-+-+-+-+-==乙.
因为22
s s >甲乙
，所以乙班的水平高. ……………7分 (III) 从甲、乙两班测试中分别去掉一个最低分和最高分，则甲班：12，13，20，
乙班：15，18，18.
这两班测试成绩的和为ξ，则ξ＝27,28,30,31,35,38， 所以(P ξ1＝27)=
9，(P ξ1＝28)=9，(P ξ2＝30)=9，(P ξ2＝31)=9，(P ξ1＝35)=9，(P ξ2
＝38)=9
. 所以ξ的分布列为
所以ξ的期望为
112212
()272830313538999999
E ξ=?+?+?+?+?+?=32 . .……………13分
17. （本小题满分14分）
解：(Ⅰ)连接,FN 在PAC ?中，,
F N 分别为,
PA PC 中点，所以//,FN AC 因为,,FN DEF AC DEF ??平面平面 所以//DEF AC 平面 …………………4分
(Ⅱ)如图以D 为
轴，建立空间直角坐标系
.D xyz -5分
则(1,1,0),(0,2,0),(1,1,(1,1,0).P B C PB BC ==-所以
设平面PBC 的法向量为(,,),m x y z =
则(,,)(1,1,0
,(,,)(1,1,0)0m PB x y z m BC x y z ??=?=???=?-=??
即0,0
x y x y ?+=??
-+=??
解得,x x z =??
?=?? 令1x =，得
1
1,x y z ?=?
=??
=?
所以(1,1m = …………………7分
因为平(0,0,1),ABC n =
面的法向量
所以cos ,2n m n m n m
?==?
，
由图可知二面角A BC P --为锐二面角， 所以二面角A BC P --的大小为.4
π
…………………9分 (Ⅲ) 设存在点Q 满足条件.
由1(2F E 设(01)FQ FE λλ=≤≤ ，
整理得
1)(,2)22
Q λλλ-+
，1)(,21,),22BQ λλλ++=-
- …………………11分 因为直线BQ 与平面BCP 所成角的大小为6
π
，
所以
1
sin |cos ,|||62
BQ m BQ m BQ m π?===
=?
， …………………13分 则21,01λλ=≤≤由知1λ=，即Q 点与E 点重合. 故在线段EF 上存在一点Q
，且||||2
FQ EF == …………………14分
18. (本小题满分13分）
解：（Ⅰ）当1a =时，2
()ln f x x x x =-+，定义域是(0,)+∞.
'1
()21f x x x
=
-+， 由'()0f x >，解得01x <<；由'
()0f x <，解得1x >；
所以函数()f x 的单调递增区间是()0,1，单调递减区间是()1,+∞. …………………5分 （Ⅱ）（法一）
因为函数()f x 在区间(1,)+∞上是减函数，所以'()0f x ≤在()1,+∞上恒成立， 则'
21
()20f x a x a x
=
-+≤，即22()210g x a x ax =--≥在()1,+∞上恒成立. …………………7分 ① 当0a =时，()10g x =-<，所以0a =不成立. …………………9分
② 当0a ≠时，22()21g x a x ax =--，2
90a ?=>，对称轴2
4a x a =
. 2(1)014g a a ≥???
2
(1)2104g a a a a ?=--≥??
104
a a a a ?≤-≥????<>??或或 所以实数a 的取值范围是1
,12
a a ≤-≥. …………………13分
（法二）'
2
1()2f x a x a x =-+2221a x ax x
-++=，定义域是(0,)+∞.
①当0a =时，()ln f x x =在区间(1,)+∞上是增函数，所以0a =不成立. …………………8分 ②0a ≠时，
令'()0f x =，即22
210a x ax --=，则1211
,2x x a a
=-
=， …………………9分 （i ）当0a >时，由'
()0f x <，解得1x a
>
， 所以函数()f x 的单调递减区间是1,a ??+∞
???
. 因为函数()f x 在区间(1,)+∞上是减函数，+所以1
1a
≤，解得1a ≥. …………………11分 （ii ）当0a <时，由'()0f x <，解得12x a
>-， 所以函数()f x 的单调递减区间是1,2a ??
-
+∞ ???
. 因为函数()f x 在区间(1,)+∞上是减函数，所以112a -
≤，解得1
2
a ≤-. 综上实数a 的取值范围是112
a a ≤-≥或. …………………13分
19.（本小题满分14分）
已知椭圆C :()222210x y a b a b +=>> ,
经过点1,P ? ??
． (I) 求椭圆C 的方程；
(II) 设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆右顶点M ，求证：直线l 恒过定点．
19.（本小题满分14分）
解：（I
）由222221
334a b c
a
a b c ?+=??
?=???=+??
，解得 21a b =??=?，
所以椭圆C 的方程是 2
214
x y += . .…………………5分 （II ）方法一
（1）由题意可知，直线l 的斜率为0时，不合题意. (2)不妨设直线l 的方程为 x ky m =+．
由22
,14x ky m x y =+???+=??
消去x 得222(4)240k y kmy m +++-=. …………………7分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有12224km
y y k +=-+……①, 212244
m y y k -=+………②
………………… 8分
因为以AB 为直径的圆过点M ，所以0MA MB ?=
．
由1122(2,),(2,)MA x y MB x y =-=-
，得1212(2)(2)0x x y y --+=．
将1122,x ky m x ky m =+=+代入上式，
得221212(1)(2)()(2)0k y y k m y y m ++-++-=. ……… ③ ……………………12分
将①②代入③，得 22516120
4
m m k -+=+，
解得6
5
m =
或2m =（舍）． 综上，直线l 经过定点6
(,0).5
…………………14分
方法二 证明：
(1) 当k 不存在时，易得此直线恒过点6(,0)5
. …………………7分 （2）当k 存在时.设直线l y kx m =+的方程为，1122(,),(,)A x y B x y ，(2,0)M .
由2
214x y y kx m ?+=???=+?
，可得222(41)84120k x kmx m +++-=. 2216(41)0k m ?=-+>
122
8,41
km
x x k -+=
+ ……① 2122
4441
m x x k -=+ ……. ② …………………9分 由题意可知
0MA MB ?= ,1122(2,),(2,),MA x y MB x y =-=-
1122,.y kx m y kx m =+=+
可得 1212(2)(2)0x x y y -?-+=. …………………10分
整理得 221212(2)()(1)40km x x k x x m -+++++= ③
把①②代入③整理得 22
2
121650,41
k km m k ++=+ 由题意可知 2
2
121650,k km m ++= 解得 62,.5
m k m k =-=-
（i ） 当2,(2)m k y k x =-=-即时，直线过定点（2,0）不符合题意，舍掉. ……………12分 （ii ） 65m k =-
时，即6()5y k x =-，直线过定点6
(,0)5
，经检验符合题意. 综上所述，直线l 过定点6
(,0)5
.…………………14分 20. （本小题满分13分）
解：(I) 因为231,3a a ==-，所以232a a +=-.
（或者根据已知2122n n a a n ++=-，可得322a a +=-. ） ……………3分 (II) 证明： 1222122242(2)422n n n n n n b a a n a n n a b +++==+=--+=-=-,
12121,b a a ===，故数列{}n b 是首项为1，公比为－2的等比数列. ……………7分
(III )由 (II) 知1(2)n n b -=-， 所以21
212(2)
2n n n b --=-=-.
设*221(N ),c 2,n n n n c a a n n +=+∈=-则，
又2112345221()()()n n n S a a a a a a a ++=+++++++
112n a c c c =++++
212
n n =--+
. 则由21241
2
n n S b +-
=，得222404n n n ++=， 设2()42240(2)x f x x x x =---≥， 则'()()4ln 442x g x f x x ==--，
'2()4ln 440(2)x g x x =->≥，所以()g x 在[)2,+∞上单调递增，
()(2)'(2)0g x g f ≥=>，即'()0f x >，所以()f x 在[)2,+∞上单调递增
又因为(1)0,(3)0f f <=，
所以仅存在唯一的3n =，使得21241
2
n n S b +-=成立．……………13分