基于分形几何的分形图绘制与分析 摘要：基于分形几何的分形图绘制方法源于l系统、迭代函数系统ifs、复动力系统等。在运用分形原理及算法编程绘制多种分形图的基础上，重点对ifs参数进行实验分析，ifs吸引集实现了对原图形的几何变换。分形图的演变具有渐变性。 关键词：分形几何迭代函数系统分形图绘制渐变 1 分形几何学 现代数学的一个新的分支——，它是由美籍法国数学家曼德勃罗（b.b.mandelbrot）1973年在法兰西学院讲课时，首次提出了分形几何的设想。分形（fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何的诞生无论是在理论上还是在实践上都具有重要价值。 2 分形的定义 目前分形还没有最终的科学定义，曼德勃罗曾经为分形下过两个定义： （1）分形是hausdorff-besicovitch维数严格大于拓扑维数的集合。因为它把许多hausdorff维数是整数的分形集合排除在外，例如，经典分形集合peano曲线分形维数 （2）局部与整体以某种方式自相似的形，称为分形。 然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形
如此丰富的内容。实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特征来加以说明。对分形的定义也可同样的处理。 (ⅰ) 分形集合在任意小尺度下，它总有复杂的细节，或者说它具有精细的结构。 (ⅱ) 分形集合是非常不规则的，用传统的几何语言无法来描述它的局部和整体，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。 (ⅲ) 分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。 (ⅳ) 以某种方式定义的分形集合的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。 (ⅴ) 在大多数令人感兴趣的情形下，分形集合是以非常简单的递归的方法产生的。 3 分形研究的对象 几何学的研究对象是物体的形状，在自然界中，许多物体的形状是极不规则的，例如：弯弯曲曲的海岸线，起伏不平的山脉，变化无偿的浮云，以及令人眼花缭乱的满天繁星，等等。这些物体的形状有着共同的特点，就是极不规则，极不光滑。但是，所有的经典几何学都是以规则而光滑的形状为其研究对象的，例如：初等平面几何的主要研究对象是直线与圆；平面解析几何的主要研究对象是一
分形维数算法． 分形维数算法 分形包括规则分形和无规则分形两种。规则分形是指可以由简单的迭代或者是按一定规律所生成的分形，如Cantor集，Koch曲线，Sierpinski海绵等。这些分形图形具有严格的自相似性。无规则分形是指不光滑的，随机生成的分形，
如蜿蜒曲折的海岸线，变换无穷的布朗运动轨迹等。这类曲线的自相似性是近 似的或统计意义上的，这种自相似性只存于标度不变区域。 对于规则分形，其自相似性、标度不变性理论上是无限的（观测尺度可以趋于无限小）。不管我们怎样缩小（或放大）尺度（标度）去观察图形，其组成部分和原来的图形没有区别，也就是说它具有无限的膨胀和收缩对称性。因些对于这类分形，其计算方法比较简单，可以用缩小测量尺度的或者不断放大图形而得到。分形维数 D=lnN(λ)/ln(1/λ) （2-20） 如Cantor集，分数维D=ln2/ln3=0.631；Koch曲线分数维 D=ln4/ln3=1.262; Sierpinski海绵分数维D=ln20/ln3=2.777。 对于不规则分形，它只具有统计意义下的自相似性。不规则分形种类繁多，它可以是离散的点集、粗糙曲线、多枝权的二维图形、粗糙曲面、以至三维的[26]。点 集和多枝权的三维图形，下面介绍一些常用的测定方法（1）尺码法 用某个选定尺码沿曲线以分规方式测量，保持尺码分规两端的落点始终在曲线上。不断改变尺码λ，得到一系列长度N（λ），λ越小、N越大。如果作lnN～lnλ图后得到斜率为负的直线，这表明存在如下的幂函数关系
-D（2-21） N～λ上式也就是Mandelbrot在《分形：形状、机遇与维数》专著中引用的Richardson公式。Richardson是根据挪威、澳大利亚、南非、德国、不列颠西部、葡萄牙的海岸线丈量结果得出此公式的，使用的测量长度单位一般在1公里到4公里之间。海岸线绝对长度L被表示为： 1-D（2-22）L=Nλ～λ 他得到挪威东南部海岸线的分维D≈1.52，而不列颠西部海岸线的分维D≈[27]。。这说明挪威的海岸线更曲折一些1.3． ）小岛法（2面积如果粗糙曲线都是封闭的，例如海洋中的许多小岛，就可以利用周长-关系求分维，因此这个方法又被称为小岛法。则与λ的而面积A对于规则图形的周长与测量单位尺寸λ的一次方成正比， 二次方成正比。通常我们可以把它们写成一个简单的比例关系：1/2 (2-23) AP∝对于二维空间内的不规则分形的周长和面积的关系显然更复杂一些，提出，应该用分形周长曲线来代替原来的光滑周长，从而给出了下Mandelbrot 述关系式：21/??D??1/1/D2）（2-24)]?(?)]?[a?AP[(?)][??a(1?D)/DA(?00的P）式），使1（周长光滑时D=1，上式转化成为（2.23这里的分维D大于??的数1变化减缓，a是和岛的形状有关的常数，为小于是测量尺寸，一般取0/D）（1-D??减小而增大。作随测
几个分形得matlab实现 摘要:给出几个分形得实例,并用matlab编程实现方便更好得理解分形,欣赏其带来得数学美感 关键字:Koｃh曲线实验图像 一、问题描述: 从一条直线段开始,将线段中间得三分之一部分用一个等边三角形得两边代替,形成山丘形图形如下 ?图1 在新得图形中,又将图中每一直线段中间得三分之一部分都用一个等边三角形得两条边代替,再次形成新得图形如此迭代,形成Kocｈ分形曲线。 二、算法分析: 考虑由直线段(2个点)产生第一个图形(５个点)得过程。图1中,设与分别为原始直线段得两个端点,现需要在直线段得中间依次插入三个点,,。显然位于线段三分之一处,位于线段三分 之二处,点得位置可瞧成就是由点以点为轴心,逆时针旋转600而得。旋转由正交矩阵 实现。 算法根据初始数据(与点得坐标),产生图1中5个结点得坐标、结点得坐标数组形成一个矩阵,矩阵得第一行为得坐标,第二行为得坐标……,第五行为得坐标。矩阵得第一列元素分别为5个结点得坐标,第二列元素分别为5个结点得坐标。 进一步考虑Kｏｃh曲线形成过程中结点数目得变化规律。设第次迭代产生得结点数为,第次迭代产生得结点数为,则与中间得递推关系为。 三、实验程序及注释: p=［0 0;10 0］; %P为初始两个点得坐标,第一列为ｘ坐标,第二列为y坐标 n=2; %n为结点数 A=[cos(pi/３) —ｓin(pi/3);siｎ(ｐi/３) cos(pi/３)]; ％旋转矩阵 ｆor k＝1:4 ｄ=diｆf(p)/3; ％ｄｉff计算相邻两个点得坐标之差,得到相邻两点确定得向量 %则d就计算出每个向量长度得三分之一,与题中将线段三等分对应 m=4＊n-3; ％迭代公式 q=p(1:ｎ—1,:); %以原点为起点,前n—１个点得坐标为终点形成向量 p(5:4:m,:)=ｐ(2:n,:); %迭代后处于４k+１位置上得点得坐标为迭代前得相应坐标 p(2:4:m,:)=q+d; %用向量方法计算迭代后处于４k+２位置上得点得坐标 p(3:4:m,:)=ｑ+d+ｄ＊A'; %用向量方法计算迭代后处于4ｋ＋3位置上得点得坐标 p(4:４:m,:)＝ｑ＋2*d; %用向量方法计算迭代后处于4k位置上得点得坐标 n=m; %迭代后新得结点数目 end pｌot(ｐ(:,1),p(:,２)) ％绘出每相邻两个点得连线 aｘis([0 10 ０ 10]) 四、实验数据记录: 由第三部分得程序,可得到如下得Ｋoch分形曲线:
经典的分形算法 小宇宙2012-08-11 17:46:33 小宇宙 被誉为大自然的几何学的分形（Fractal）理论，是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。它与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。它承认世界的局部可能在一定条件下，在某一方面（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，因而拓展了视野。 分形几何的概念是美籍法国数学家曼德布罗（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯（K.Weierestrass）构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托（G.Cantor，德国数学家）构造了有许多奇异性质的三分康托集。1890年，意大利数学家皮亚诺（G.Peano）构造了填充空间的曲线。1904年，瑞典数学家科赫（H.von Koch）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（W.Sierpinski）设计了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。1910年，德国数学家豪斯道夫（F.Hausdorff）开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概念。1928年布利干（G.Bouligand）将闵可夫斯基容度应用于非整数维，由此能将螺线作很好的分类。1932年庞特里亚金（L.S.Pontryagin）等引入盒维数。1934年，贝塞考维奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中作出了主要贡献，从而产生了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。以后，这一领域的研究工作没有引起更多人的注意，先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。 真正令大众了解分形是从计算机的普及肇始，而一开始，分形图的计算机绘制也只是停留在二维平面，但这也足以使人们心驰神往。近来，一个分形体爱好者丹尼尔?怀特（英国一钢琴教师）提出一个大胆的方法，创造出令人称奇的3D分形影像，并将它们命名为芒德球（mandelbulb）。
分形维数算法
分形维数算法 分形包括规则分形和无规则分形两种。规则分形是指可以由简单的迭代或者是按一定规律所生成的分形，如Cantor集，Koch曲线，Sierpinski海绵等。这些分形图形具有严格的自相似性。无规则分形是指不光滑的，随机生成的分形，如蜿蜒曲折的海岸线，变换无穷的布朗运动轨迹等。这类曲线的自相似性是近似的或统计意义上的，这种自相似性只存于标度不变区域。 对于规则分形，其自相似性、标度不变性理论上是无限的（观测尺度可以趋于无限小）。不管我们怎样缩小（或放大）尺度（标度）去观察图形，其组成部分和原来的图形没有区别，也就是说它具有无限的膨胀和收缩对称性。因些对于这类分形，其计算方法比较简单，可以用缩小测量尺度的或者不断放大图形而得到。分形维数 D=lnN(λ)/ln(1/λ) （2-20） 如Cantor集，分数维D=ln2/ln3=0.631；Koch曲线分数维D=ln4/ln3=1.262; Sierpinski海绵分数维D=ln20/ln3=2.777。 对于不规则分形，它只具有统计意义下的自相似性。不规则分形种类繁多，它可以是离散的点集、粗糙曲线、多枝权的二维图形、粗糙曲面、以至三维的点集和多枝权的三维图形，下面介绍一些常用的测定方法[26]。 （1）尺码法 用某个选定尺码沿曲线以分规方式测量，保持尺码分规两端的落点始终在曲线上。不断改变尺码λ，得到一系列长度N（λ），λ越小、N越大。如果作lnN～lnλ图后得到斜率为负的直线，这表明存在如下的幂函数关系 N～λ-D（2-21） 上式也就是Mandelbrot在《分形：形状、机遇与维数》专著中引用的Richardson公式。Richardson是根据挪威、澳大利亚、南非、德国、不列颠西部、葡萄牙的海岸线丈量结果得出此公式的，使用的测量长度单位一般在1公里到4公里之间。海岸线绝对长度L被表示为： L=Nλ～λ1-D（2-22） 他得到挪威东南部海岸线的分维D≈1.52，而不列颠西部海岸线的分维D≈1.3。这说明挪威的海岸线更曲折一些[27]。
%这是一个生成树的主函数，它的输入分别为每叉树枝的缩短比、树枝的偏角、生长次数. %注意：把这些程序全部保存在名为tree的M文件中再运行！！！！！！！！ %注意：把这些程序全部保存在名为tree的M文件中再运行！！！！！！！！ %注意：把这些程序全部保存在名为tree的M文件中再运行！！！！！！！！ %注意：把这些程序全部保存在名为tree的M文件中再运行！！！！！！！！ %注意：把这些程序全部保存在名为tree的M文件中再运行！！！！！！！！ %注意：把这些程序全部保存在名为tree的M文件中再运行！！！！！！！！ %注意：把这些程序全部保存在名为tree的M文件中再运行！！！！！！！！ %%小提示：若用做函数，请将虚线框内语句删去。 function f=tree(w,dtheata,NN) %%%--------------------虚线框--------------------%%% clear;clc;clf;w=0.8;dtheata=pi/6;NN=8;%建议生长次数NN不要超过10 %%%--------------------虚线框--------------------%%% n=2^NN;%从主枝算起，共需生成2^NN个树枝 for NNK=1:n x1=0; y1=0; r1=1; theata1=pi/2; dataway=ten2twoN(NNK,NN); %把每一个树枝的编号转化为一个NN位的二进制数 for NNL=1:NN if dataway(NNL)==0 [x2,y2,r2,theata2]=antmoveleft(x1,y1,r1,theata1,w,dtheata);%若路径数组上对应的数字为0，则向左生长 x1=x2; y1=y2; r1=r2; theata1=theata2; hold on %pause(eps) else [x2,y2,r2,theata2]=antmoveright(x1,y1,r1,theata1,w,dtheata);%否则，数字为1，向右生长 x1=x2; y1=y2; r1=r2; theata1=theata2; hold on %pause(eps) end end end hold off %--------------------------------------------------------------------------
Sketchup建模及导入3D的方法及选项设置 用su建模，一是推敲方案，二是在方案推敲完成导入3D后进入后期的渲染，出效果图。 SU建模注意：为了加快建模速度必须设定自己的一套快捷键，在建模的过程中必须每个体量编辑组件，以便以后的修改。为了能导入3D中进行渲染，Sketchup的模型必须面是统一 的，系统默认白色的是正面，蓝色的是反面，就必须把正面朝外反面朝里，要不然在3d里面反面是显示不出来。 第一，第二就是Sketchup 一定是专业版，只有它才能导出3ds格式和dwg格式。 第二，在Sketchup中把材质都赋好，记得一点是不要用Sketchup默认的材质，要新建材质赋你有的jpg格式贴图，这样在3d里面才能继续调整贴图，Sketchup默认的贴 图在3d里可是不认。 第三，就是导出了，在Sketchup里面：文件，导出，3d模型，第一个下拉菜单选所有图层，然后中间的全部都不要选择，最后一个把单位改成毫米就可以了。第一个不动直接确定，第二个点否，现在导进来了，打灯光，打摄像机，调Vary选项。 第四，在Sketchup中赋好的材质，先把模型选中然后在编辑菜单中选Poly Select （可编辑网格选择），下面有几个选项选倒数第二个Polygon，然后在Select By Material ID里面输入相应的材质ID，被选中的材质就会变成红色，这样就可以进行材质的调 整了。 第五，SU导出3DS格式说明：1、Sin gel Object勾选此选项时，整个场景将合并成一个物体被输出，在SketchUP中建立的群组和组件将不能被单独进行操作，在场景中线面数很大的情况 下有可能不能完成输出；（这视情况而定） 2、Objects By Geometry 此选项将以群组和组件为单位输出物体，SketchUP 最表面一层的群组和组件被保留为单独的物体，可以在max中进行单独灵活的各种 编辑，推荐使用。缺点是每一个群组和组件都会输出一个自身的多重子材质 3、Output Texture Maps 如果不勾选，输出材质中将不包含贴图信息；贴图 文件路径需要在max里添加，建议将所有贴图复制到max模型文件所在工作目录， 这样就不会出现找不到贴图的错误信息 4、Output 2-Sides 输出双面：一般情况下不需要，会额外增加模型量；但是 在SketchUP建模阶段必须保证面法线正反的正确性，否则反面在max里无法显示， 产生丢面现象。Materiar和Geometry分别以材质和物体产生双面。 5、Output Standalong Edges 输出边线，对于max 不必要。 6、Use “Color By Layer ” Mater用I层的颜色作为材质输出，是以层颜色进行管 理的材质，需要在建模起始阶段就规划好的材质管理方式，物体（或面）将以所在的层的颜色为自身的材质。因为SketchUP里组件和层是参插的，在组件具有复合 材质时好像不易管理。 7、Gen erate Cameras 产生相机，基本上每一个页面会产生一个相机，这个不用勾 选。
三维模型导入ADAMS仿真的实用方法摘要：此文内容主要来源于 宋博士的博客（https://www.doczj.com/doc/ea777790.html,/doctorsongshaoyun）。 本文所提供的方法是现有ADAMS书籍上未曾提供的内容，是解决大家建模感觉繁琐的非常实用的方法。 下面谈谈我的一些经验：尽管ADAMS软件中提供了几何建模的工具，但相比现在成熟的三维专业设计CAD软件而言其功能非常薄弱。ADAMS/View提供的建模工具功能非常的原始，即使对于简单的几何模型，用户想直接在ADAMS/View中建立也需要非常熟练地掌握移动和旋转工作栅格才能实现，而对于复杂的机械装配模型，ADAMS/View基本无能为力，因此目前通常的做法是先用成熟三维设计软件(如CATIA,UG,Pro/E,Solidwork等)精确建立机械系统实体零件模型和虚拟装配模型，之后通过数据交换的方式（我一般使用parasolid格式）将模型导入到ADAMS软件中，根据实际情况抽象出相应的运动副添加适当的约束、驱动和负载等（此处在正确位置建立合适的Maker点很关键，对于不规则实体有时软件自动建立的cm点并非在仿真需要的地方，运动副位置设置错了容易导致仿真失败）建立起机械系统的虚拟样机，来模拟实际工况和真实运动情况。此外机械系统方面的仿真建议大家使用Adams/Machinery这个插件，可以极大的提高仿真效率。 欢迎访问我的新浪博客（https://www.doczj.com/doc/ea777790.html,/u/1774643737）。 基于SOLIDWORKS-ADAMS的机构动力学仿真对一个实际的机构做动力学仿真，是我们在机械设计实践中经常会遇到的的问题。一般我们会首先用某款三维软件（如SOLIDWORKS,SOLIDEDGE,PRO/E,UG,CATIA等）对所有零件进行建模，然后把零件组装成为装配体，接着把模型导入到机构动力学软件如ADAMS中进行动力学中仿真。 然而，从三维软件的装配模型导入到ADAMS中时，由于装配体中的零件很多，如果直接导入，会在ADAMS中出现许多零件，而其中许多零件之间并不存在相对运动，为了在ADAMS 中进行正确的仿真，就需要首先对没有相对运动的一系列零件之间建立固定副。对于简单的
《高频电子线路》课程设计指导书 一、课程设计基本信息 核心课程名称（中文）高频电子线路核心课程名称（英文）High-frequency Electronic Circuits 课程设计名称高频电子线路课程设计 课程设计编号课程设计类型实物制作 相关辅助课程电路分析、电子线路（线性部分） 教材及实验指导书教材《电子线路（非线性部分）》,谢嘉奎，高等教育出版 课程设计时间：第五学期18 周 面向专业电子信息科学与技术 二、课程设计的目的 《高频电子线路》课程是电子信息专业继《电路理论》、《电子线路（线性部分）》之后必修的主要技术基础课，同时也是一门工程性和实践性都很强的课程。课程设计是在课程内容学习结束，学生基本掌握了该课程的基本理论和方法后，通过完成特定电子电路的设计、安装和调试，培养学生灵活运用所学理论知识分析、解决实际问题的能力，具有一定的独立进行资料查阅、电路方案设计及组织实验的能力。通过设计，加深对调幅的理解，学会电路的调整；进一步培养学生的动手能力 三、主要仪器设备 序号实验项目名称仪器设备名称仪器设备编号 1调幅收音机设计高频信号发生器、数字示波器、稳压电源 四、课程设计的内容与要求 1、内容：根据所学知识，设计一超外差调幅收音机电路，选择合适的元器件，进行安装和调试电路；应能接收正常广播，且接收的广播节目不少于3套° 序 号 名称目的方式场所要求
1调幅收音机设计加深对调幅的理解，学会 电路的调整；进一步培养 学生的动手能力 实物制作 通信学 院 2、要求 1设计电路图； 2供电电压：直流3V 3 接收频段：535kHz ~ 1605kHz; 4输出功率：P o> 1W。 5为满足偷出功率要求，采用两级放大电路； 6采用互补推挽功率放大器作为输出级。 五、考核与报告 考核内容：1实际操作：包括电路设计、安装、焊接及调试 2设计报告：包括原理、电路图、元器件的选择 成绩评定：实际操作和设计报告各占50%o 六、主要参考文献 1、《电子线路（非线性部分）》，谢嘉奎，高等教育出版社 2、《实用电子电路手册》，孙肖子，高等教育出版社 3、《电子技术技能训练》，张大彪，电子工业出版社七、课程设计报告 1、报告内容 目的、原理、电路图、安装注意事项、调试过程及结果。 2、版面格式 （1）A4纸打印，上、下、左、右边距为2. 5cm,段落间距0,行间距1. 5倍; （2）标题使用四号黑体、居中，正文使用小四号宋体; 一级标题：小四号黑体（如：1、2、3……）；
3DMAX模型导入到Unity3D的步骤 1、打开3DMAX，自定义-》单位设置，将系统单位和显示单位都设置为“厘米” 2、建立一个Polygon管状体，参数如下：内径20CM，外径30CM，高30CM 注：保证其坐标原点在0,0,0 3、选中模型右击鼠标转换为可编辑多边形。 多模型进行一些挤出操作。 4、开始导出模型。保持模型选中状态，点击左上角3DMAX图标菜单， 导出-》导出选定对象。导出格式为.FBX，名称必须为英文字母类， 跳出的选项框默认直接确定即可。 例如导出的名称为 5、接下来打开Unity3D，新建立一个项目。 因为是测试项目所以可不导入Unity提供的资源包 6、将之前在3DMAX里导出的模型复制到Unity项目所在文件夹中的Assets文件夹下。 Unity会自动刷新出资源并自动创建一个Materials材质文件夹。如下图示： 7、单击Tube资源，在旁边的Inspector视图中可以看到：Scale Factor的值 表示的比例
8、鼠标拖动Tube到场景中，保持选择状态，摁键盘“F”键，物体自动放大到场景最大 点。3DMAX模型导入到Unity3D的步骤完成。 9、在3DMAX里新建立一个圆柱，系统单位和显示单位仍为CM厘米，圆柱参数如下： 半径100cm,高100cm,模型中心在坐标原点，转换为可编辑多边形， 保存命名为。将复制到Unity项目的Assets文件夹下 10、拖动yuanzhu到主场景。接着在Unity里建立一个圆柱体 Unity里默认是直径1M，高1M的圆柱。我们之前在3DMAX里建立的圆柱半径100cm，导入到Unity后即直径是200cm了。 将Unity里建立的圆柱，Scale参数中的X和Z放大2倍，这个圆柱的半径才是100cm(直径200cm) 然后将从3DMAX里导入的圆柱与Unity里建立的圆柱比较：半径是一样大小的。 说明在3DMAX里建立对应到Unity的模型，系统单位和显示单位设置为“CM”最好。
一，分形插值算法 ——分形图的递归算法1，分形的定义 分形（Fractal）一词，是法国人B.B.Mandelbrot 创造出来的，其原意包含了不规则、支离破碎等意思。Mandelbrot 基于对不规则的几何对象长期地、系统地研究，于1973 年提出了分维数和分形几何的设想。分形几何是一门以非规则几何形状为研究对象的几何学，用以描述自然界中普遍存在着的不规则对象。分形几何有其显明的特征，一是自相似性；分形作为一个数学集合, 其内部具有精细结构, 即在所有比例尺度上其组成部分应包含整体, 而且彼此是相似的。其定义有如下两种描述： 定义 1如果一个集合在欧式空间中的 Hausdorff 维数H D 恒大于其拓扑维数 r D ，则称该集合为分形集，简称分形。 定义 2组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形。 对于定义 1 的理解需要一定的数学基础，不仅要知道什么是Hausdorff 维数，而且要知道什么是拓扑维数，看起来很抽象，也不容易推广。定义 2 比较笼统的说明了自然界中的物质只要局部和局部或者局部和整体之间存在自相似性，那么这个物质就是分形。正是这一比较“模糊”的概念被人们普遍接受，同时也促进了分形的发展。 根据自相似性的程度，分形可分为有规分形和无规分形。有规分形是指具有严格的自相似的分形，比如，三分康托集，Koch 曲线。无规分形是指具有统计意义上的自相似性的分形，比如，曲折的海岸线，漂浮的云等。本文主要研究有规分形。
2. 分形图的递归算法 2.1 三分康托集 1883 年，德国数学家康托(G.Cantor)提出了如今广为人知的三分康托集。三分康托集是很容易构造的，然而，它却显示出许多最典型的分形特征。它是从单位区间出发，再由这个区间不断地去掉部分子区间的过程构造出来的(如图2.1)。 其详细构造过程是：第一步，把闭区间[0，1]平均分为三段，去掉中间的 1/3 部分段，则只剩下两个闭区间[0，1/3]和[2/3，1]。第二步，再将剩下的两个闭区间各自平均分为三段，同样去掉中间的区间段，这时剩下四段闭区间：[0，1/9]，[2/9，1/3]，[2/3，7/9]和[8/9，1]。第三步，重复删除每个小区间中间的 1/3 段。如此不断的分割下去，最后剩下的各个小区间段就构成了三分康托集。三分康托集的 Hausdorff 维数是0.6309。 图2.2 三分康托集的构造过程
成绩：课程名称：智能信息处理概论 分形之Julia集及其算法实现 摘要：本文从自然界的几何现象引出分形的概念，再从其定义、几何特征和分形维的计算这三个方面来加以介绍。以Julia集和Mandelbort集为例来具体描述分形。本文主要从Julia集的特点和算法实现来描述分形以及其实现的方法。 关键词：分形、分数维、Julia集、Mandelbort集、算法实现 引言 大自然是个很伟大的造物者，它留给我们一大笔美丽景观：蜿蜒曲折的海岸线、起伏不定的山脉，变幻无常的浮云，粗糙不堪的断面，袅袅上升的烟柱，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花缭乱的满天繁星……那么，我们又能从这些美妙的自然现象中得到什么有趣的结论呢？ 正文 分形概述 分形的英文单词为fractal，是由美籍法国数学家曼德勃罗（Benoit Mandelbrot）创造出来的。其取自拉丁文词frangere（破碎、产生无规则碎片）之头，撷英文之尾所合成，本意是不规则的、破碎的、分数的。他曾说：分形就是通过将光滑的形状弄成多个小块，反复的碎弄。1975年，曼德勃罗出版了他的法文专著《分形对象：形、机遇与维数》，标志着分形理论正式诞生。【1】 两种定义 其一：具有自相似性结构的叫做分形； 其二：数学定义：豪斯道夫维Df>=拓扑维Dt。 若一有界集合，包含N个不相重叠的子集，当其放大或缩小r倍后，仍与原集合叠合，则称为自相似集合。自相似集合是分形集。具有相似性的系统叫做分形。 当放大或缩小的倍数r不是一个常数，而必须是r（r1，r2，….）的各种不同放大倍数去放大或缩小各子集，才能与原集合重合时，称为自仿射集合。具有自仿射性的系统叫做分形。【2】 特征 1.自相似性：局部与整体的相似，是局部到整体在各个方向上的等比例变换的结果； 2.自仿射性：是自相似性的一种拓展，是局部到整体在不同方向上的不等比例变换的结果； 3.精细结构：即使对该分形图放大无穷多倍，还是能看到与整体相似的结构，表现出无休止的重复； 4.分形集无法用传统几何语言来描述，它不是某些简单方程的解集，也不是满足某些条件的点的轨 迹； 5.分形集一般可以用简单的方法定义和产生，如递归、迭代；分形其实是由一些简单的图形，经过 递归或者迭代产生的复杂、精细的结构； 6.无确定的标度且具有分数维数。【3】
分形图形 分形理论是非线性科学的主要分支之一，它在计算机科学、化学、生物学、天文学、地理学等众多自然科学和经济学等社会科学中都有广泛的应用。分形的基本特征是具有标度不变性。其研究的图形是非常不规则和不光滑的已失去了通常的几何对称性；但是，在不同的尺度下进行观测时，分形几何学却具有尺度上的对称性，或称标度不变性。研究图形在标度变换群作用下不变性质和不变量对计算机图形技术的发展有重大的意义。 说到分形（fractal），先来看看分形的定义。分形这个词最早是分形的创始人曼德尔布诺特提来的，他给分形下的定义就是：一个集合形状，可以细分为若干部分，而每一部分都是整体的精确或不精确的相似形。分形这个词也是他创造的，含有“不规则”和“支离破碎”的意思。分形的概念出现很早，从十九世纪末维尔斯特拉斯构造的处处连续但处处不可微的函数，到上个世纪初的康托三分集，科赫曲线和谢尔宾斯基海绵。但是分形作为一个独立的学科被人开始研究，是一直到七十年代曼德尔布诺特提出分形的概念开始。而一直到八十年代，对于分形的研究才真正被大家所关注。 分形通常跟分数维，自相似，自组织，非线性系统，混沌等联系起来出现。它是数学的一个分支。我之前说过很多次，数学就是美。而分形的美，更能够被大众所接受，因为它可以通过图形化的方式表达出来。而更由于它美的直观性，被很多艺术家索青睐。分形在自然界里面也经常可以看到，最多被举出来当作分形的例子，就是海岸线，源自于曼德尔布诺特的著名论文《英国的海岸线有多长》。而在生物界，分形的例子也比比皆是。 近20年来，分形的研究受到非常广泛的重视，其原因在于分形既有深刻的理论意义，又有巨大的实用价值。分形向人们展示了一类具有标度不变对称性的新世界，吸引着人们寻求其中可能存在着的新规律和新特征；分形提供了描述自然形态的几何学方法，使得在计算机上可以从少量数据出发，对复杂的自然景物进行逼真的模拟，并启发人们利用分形技术对信息作大幅度的数据压缩。它以其独特的手段来解决整体与部分的关系问题，利用空间结构的对称性和自相似性，采用各种模拟真实图形的模型，使整个生成的景物呈现出细节的无穷回归的性质，丰富多彩，具有奇妙的艺术魅力。分形对像没有放大极限，无论如何放大，总会看到更详细的结构。借助于分形的计算机生成，从少量的数据生成复杂的自然景物图形，使我们在仿真模拟方面前进了一大步。在分形的诸多研究课题中，分形的计算机生成问题具有明显的挑战性，它使传统数学中无法表达的形态(如山脉、花草等)得以表达，还能生成一个根本“不存在”的图形世界。分形在制造以假乱真的景物方面的进展和潜在的前途，使得无论怎样估计它的影响也不过分。可以肯定，分形图案在自然界真实物体模拟、仿真形体生成、计算机动画、艺术装饰纹理、图案设计和创意制作等具有广泛的应用价值。 分形图形简介一、关于分形与混沌 关于分形的起源，要非常准确的找出来是非常困难的。研究动态系统、非线形数学、函数分析的科学家，已数不胜数。尽管分形的早期线索已非常古老，但这一学科却还很年轻。比如关于动态系统和细胞自动机的大部分工作可以追溯到冯-诺依曼；但是，直到Mandelbrot 才如此清楚地将自然现象和人工现象中的混沌及分形同自相似性联系在一起。大家如果对此感兴趣，可进一步查阅有关资料。下面我们看一看分形的概念。 什么是分形呢？考虑到此文的意图，我们无意给出它严格的定义，就我们的目的而言，一个分形就是一个图象，但这个图象有一个特性，就是无穷自相似性。什么又是自相似呢？在自然和人工现象中，自相似性指的是整体的结构被反映在其中的每一部分中。比如海岸线，常举的例子，你看它10公里的图象（曲线），和一寸的景象（曲线）是相似的，这就是自相似性。 与分形有着千差万屡的关系的，就是混沌。混沌一词来源与希腊词汇，原意即“张开咀”，但是在社会意义上，它又老爱和无序联系在一起。解释分形和混沌的联系，要注意到分形是
《分形算法与应用》教学大纲 1 课程的基本描述 课程名称：分形算法与应用Algorithm and Application of Fractal 课程编号：5301A36 课程性质：专业课适用专业：计算机专业 教材选用：孙博文编著，《分形算法与程序设计》，科学出版社，2004.11 总学时：32学时理论学时：32学时 实验学时：0学时课程设计：无 学分：2学分开课学期：第七学期 前导课程：算法分析 后续课程：毕业设计 2 教学定位 2.1 能力培养目标 通过本课程的学习，培养学生的认知和理解能力、逻辑思维能力，以及算法设计与分析能力，程序设计和实现能力。一方面使学生掌握非规则图形的计算机绘制的基本方法，以便实现对不规则对象的算法设计。另一方面，学习本课程的过程也是进行复杂程序设计的训练过程。 2.2 课程的主要特点 本课程是一门重要的专业课，有理论性、设计性与实践性的特点。介绍分形的基本概念及算法设计的基本方法。它是介于计算机软件、程序设计和数学三门课程之间的核心课程。不仅为后续专业课提供了必要的知识基础，也为计算机、软件工程的专业人员提供了必要的技能训练。
2.3 教学定位 通过本课程的学习，使学生达到知识和技能两方面的目标： 1．知识方面：从算法设计及其实现这两个层次的相互关系的角度，系统地学习和掌握非规则图形的算法设计方法，了解并掌握分析、比较和选择不同非规则结构的设计方案，不同运算实现的原则和方法。 2．技能方面：系统地学习和掌握在不同非规则对象实现的不同算法及其设计思想，从中体会并掌握结构选择和算法设计的思维方式及技巧，使分析问题和解决问题的能力得到提高。 3 知识点与学时分配 3.1掌握分形的基本概念 分形简介 分形 分维 分形的测量 共2学时 3.2分形图生成算法之一 分形图的递归算法 Cantor三分集、Koch曲线、Sierpinski垫片、 Peano曲线、分形树等的递归算法。 共2学时 3.3分形图生成算法之二 文法构图算法 LS文法、单一规则的LS文法生成、多规则的LS文法生成、 随机LS文法生成。 共2学时 3.4分形图生成算法之三 迭代函数系统
分形（二）——分形树 上次我们画出了谢尔宾斯基三角形，这次我们所画分形图形同样也是比较简单的——分形树，记得在上次的递归里~我们传入的参数是所绘的点的坐标，但这种方法并不一定的最好的，在绘制分形图案的时候，使用递归，所传参数应根据实际情况来定：（可以是角度，变长等） 同学们可以自己也试着画一下分形：这是今天的题目： 分形树一次递归调用： 分形树两次递归调用：
分形树六次递归调用： 分形树十次递归调用： 分形树二十五次递归调用
后面的我不敢往下试了——机子会爆掉的…… 下面是绘制次分形树的方法： package Elps; import java.awt.Graphics; import javax.swing.JFrame; public class Main extends JFrame { /** * @param args */ p ublic static void main(String[] args) { // TODO Auto-generated method stub Main a = new Main(); a.draw(); } public void draw(){//绘制窗体，添画布 this.setSize(1000,700);// this.setLocationRelativeTo(null);
this.setDefaultCloseOperation(3); this.setVisible(true); Graphics g = this.getGraphics(); } public void paint(Graphics g){ super.paint(g); this.Show(500,550,100, Math.PI/2,0,Math.PI/6,25,g); //(Math.PI为180°) } public void Show(double x0,double y0,double l,double a,double b,double c,double count,Graphics g){ double x2; double y2; double x3; double y3; double x4; double y4; double x5; double y5; if(count<1) { return; }//判断是否继续进行递归调用，注意：判断一定要放在递归调用之前，否则这段代码将永远不会被执行 x2 = x0 - l*Math.cos(a); y2 = y0 - l*Math.sin(a); x3 = x2 - l*Math.cos(b); y3 = y2 - l*Math.sin(b); x4 = x0 - l*Math.cos(b); y4 = y0 - l*Math.sin(b); x5 = x2 - l*Math.cos(Math.PI/6)*Math.cos(c); y5 = y2 - l*Math.cos(Math.PI/6)*Math.sin(c); //计算五个点的位置，以右下点为（X0，Y0） g.drawLine((int)x0, (int)y0, (int)x2, (int)y2); g.drawLine((int)x2, (int)y2, (int)x3, (int)y3); g.drawLine((int)x3, (int)y3, (int)x4, (int)y4); g.drawLine((int)x4, (int)y4, (int)x0, (int)y0); g.drawLine((int)x2, (int)y2, (int)x5, (int)y5); g.drawLine((int)x5, (int)y5, (int)x3, (int)y3); //划线——注意方法所需要的数据类型 Show(x2,y2,l*Math.cos(Math.PI/6),a+Math.PI/6,b+Math.PI/6,c+Math.PI/6,count-1,g);
（1）Koch曲线程序koch.m function koch(a1,b1,a2,b2,n) %koch(0,0,9,0,3) %a1,b1,a2,b2为初始线段两端点坐标,n为迭代次数 a1=0;b1=0;a2=9;b2=0;n=3; %第i-1次迭代时由各条线段产生的新四条线段的五点横、纵坐标存储在数组A、B中 [A,B]=sub_koch1(a1,b1,a2,b2); for i=1:n for j=1:length(A)/5; w=sub_koch2(A(1+5*(j-1):5*j),B(1+5*(j-1):5*j)); for k=1:4 [AA(5*4*(j-1)+5*(k-1)+1:5*4*(j-1)+5*(k-1)+5),BB(5*4*(j-1)+5*(k-1)+1:5*4*(j-1)+5*(k-1)+5)]=sub_koch1(w(k,1),w(k,2),w(k,3),w(k,4)); end end A=AA; B=BB; end plot(A,B) hold on axis equal %由以(ax,ay),(bx,by)为端点的线段生成新的中间三点坐标并把这五点横、纵坐标依次分别存%储在数组A,B中 function [A,B]=sub_koch1(ax,ay,bx,by) cx=ax+(bx-ax)/3; cy=ay+(by-ay)/3; ex=bx-(bx-ax)/3;
ey=by-(by-ay)/3; L=sqrt((ex-cx).^2+(ey-cy).^2); alpha=atan((ey-cy)./(ex-cx)); if (ex-cx)<0 alpha=alpha+pi; end dx=cx+cos(alpha+pi/3)*L; dy=cy+sin(alpha+pi/3)*L; A=[ax,cx,dx,ex,bx]; B=[ay,cy,dy,ey,by]; %把由函数sub_koch1生成的五点横、纵坐标A,B顺次划分为四组,分别对应四条折线段中 %每条线段两端点的坐标,并依次分别存储在4*4阶矩阵k中,k中第i(i=1,2,3,4)行数字代表第%i条线段两端点的坐标 function w=sub_koch2(A,B) a11=A(1);b11=B(1); a12=A(2);b12=B(2); a21=A(2);b21=B(2); a22=A(3);b22=B(3); a31=A(3);b31=B(3); a32=A(4);b32=B(4); a41=A(4);b41=B(4); a42=A(5);b42=B(5); w=[a11,b11,a12,b12;a21,b21,a22,b22;a31,b31,a32,b32;a41,b41,a42,b42];
Matlab实现递归算法生成3维分形树 注：此算法树根在侧面，需对坐标轴进行旋转便可得到上图效果 以下代码全部粘贴到一个M文件中命名为TreeByL即可运行 为方便网友研读代码加入了大量注释 同时愿与matlab程序爱好者进行交流：Linking508@https://www.doczj.com/doc/ea777790.html, %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %Matlab实现递归算法生成3维分形树 %ByLinking %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function TreeByL L=15;%主干长 a=0; b=pi/3; r=0;%r=pi/5; %分支生成函数 makeBranch(0,0,0,L,a,b,r); % a在XOZ平面投影与X轴夹角b与Y轴的夹角r与主干的夹角 function makeBranch (x,y,z,L,a,b,r) B=pi/5;s1=1.5;s2=3;s3=1.2;%B枝干的倾斜度C主干的倾斜度s1细腻程度s2分支收缩速度s3主干收缩速度 % B=pi/5;s1=1.5;s2=2.4;s3=1.35; if L>s1 x1=x+L/s2*cos(a)*cos(r);
y1=y+L/s2*sin(a); z1=z+L/s2*cos(a)*sin(r); x1R=x1+L/s2*cos(a-b)*cos(r); y1R=y1+L/s2*sin(a-b); z1R=z1+L/s2*cos(a-b)*sin(r); x1L=x1+L/s2*cos(a+b)*cos(r); y1L=y1+L/s2*sin(a+b); z1L=z1+L/s2*cos(a+b)*sin(r); x1F=x1+L/s2*cos((a-b)*sin(a))*cos(r+atan(1/cos(a))); y1F=y1+L/s2*sin((a-b)*sin(a)); z1F=z1+L/s2*cos((a-b)*sin(a))*sin(r+atan(1/cos(a))); x1B=x1+L/s2*cos((a-b)*sin(a))*cos(r-atan(1/cos(a))); y1B=y1+L/s2*sin((a-b)*sin(a)); z1B=z1+L/s2*cos((a-b)*sin(a))*sin(r-atan(1/cos(a))); %------------------------------------------------------ x2=x+L/s2*cos(a)*cos(r); y2=y+L/s2*sin(a); z2=z+L/s2*cos(a)*sin(r); x2R=x2+L/s2*cos(a-b)*cos(r); y2R=y2+L/s2*sin(a-b); z2R=z2+L/s2*cos(a-b)*sin(r); x2L=x2+L/s2*cos(a+b)*cos(r); y2L=y2+L/s2*sin(a+b); z2L=z2+L/s2*cos(a+b)*sin(r); x2F=x2+L/s2*cos((a-b)*sin(a))*cos(r+atan(1/cos(a))); y2F=y2+L/s2*sin((a-b)*sin(a)); z2F=z2+L/s2*cos((a-b)*sin(a))*sin(r+atan(1/cos(a))); x2B=x2+L/s2*cos((a-b)*sin(a))*cos(r-atan(1/cos(a))); y2B=y2+L/s2*sin((a-b)*sin(a)); z2B=z2+L/s2*cos((a-b)*sin(a))*sin(r-atan(1/cos(a))); plot3([x,x2],[y,y2],[z,z2],'k');hold on;set(gcf,'color','w');grid on;view(pi/2,0);%axis off;xlabel('X Label');ylabel('Y Label');zlabel('Z Label'); set(gca,'xlim',[0,25],'ylim',[-15,15],'zlim',[-15,15]); plot3([x2,x2R],[y2,y2R],[z2,z2R],'g');hold on; plot3([x2,x2L],[y2,y2L],[z2,z2L],'g');hold on; plot3([x2,x2B],[y2,y2B],[z2,z2B],'g');hold on;