概率论与数理统计复习资料

《概率论与数理统计》课程

复习资料

注：以下是考试的参考内容，不作为实际考试范围，考试内容以教学大纲和实施计划为准；注明“了解”的内容一般不考。

1、能很好地掌握写样本空间与事件方法，会事件关系的运算，了解概率的古典定义

2、能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义

3、掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式

4、能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质。

5、理解随机变量的概念，能熟练写出(0—1)分布、二项分布、泊松分布的分布律。

6、理解分布函数的概念及性质，理解连续型随机变量的概率密度及性质。

7、掌握指数分布(参数λ)、均匀分布、正态分布，特别是正态分布概率计算

8、会求一维随机变量函数分布的一般方法，求一维随机变量的分布律或概率密度。

9、会求分布中的待定参数。

10、会求边缘分布函数、边缘分布律、条件分布律、边缘密度函数、条件密度函数，会判别随机变量的独立性。

11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的概念及计算。

12、理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数及其性质，理解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，理解二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。

13、了解求二维随机变量函数的分布的一般方法。

14、会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差。会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差。

15、较熟练地求协方差与相关系数.

16、了解矩与协方差矩阵概念。会用独立正态随机变量线性组合性质解题。

17、了解大数定理结论，会用中心极限定理解题。

18、掌握总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念，掌握样本均值与样本方差及样本矩概念，掌握χ2分布(及性质)、t分布、F分布及其分位点概念。

19、理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理；会用矩估计方法来估计未知参数。

20、掌握极大似然估计法，无偏性与有效性的判断方法。

21、会求单正态总体均值与方差的置信区间。会求双正态总体均值与方差的置信区间。

23、明确假设检验的基本步骤，会U检验法、t检验、2χ检验法、F检验法解题。

24、掌握正态总体均值与方差的检验法。

概率论部分必须要掌握的内容以及题型

1．古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。

2．概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。3．准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。

4．一维、二维离散型随机变量的分布律，连续型随机变量的密度函数性质的运用。分布中待定参数的确定，分布律、密度函数与分布函数的关系，联合分布与边缘分布、条件分布的关系，求数学期望、方差、协方差、相关系数，求函数的分布律、密度函数及期望和方差。5．会用中心极限定理解题。

6．熟记(0-1)分布、二项分布、泊松分布的分布律、期望和方差，指数分布(参数λ)、均匀分布、正态分布的密度函数、期望和方差。

数理统计部分必须要掌握的内容以及题型

1．统计量的判断。

2．计算样本均值与样本方差及样本矩。

3．熟记正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理。

4．会求未知参数的矩估计、极大似然估计。

5．掌握无偏性与有效性的判断方法。

6．会求正态总体均值与方差的置信区间。

7．理解假设检验的基本思想和原理，明确正态总体均值与方差的假设检验的基本步骤。

概率论部分必须要掌握的内容以及题型

1．古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。

古典概型例子

摸球模型

例1：袋中有a个白球，ｂ个黑球，从中接连任意取出m(m≤a+ｂ)个球，且每次取出的球不再放回去，求第m次取出的球是白球的概率;

例2：袋中有a个白球，ｂ个黑球，c个红球，从中任意取出ｍ(m≤a+ｂ)个球，求取出的m 个球中有k1(≤a) 个白球、k2(≤b) 个黑球、k3(≤c) 个红球(k1＋k2＋k3=m)的概率.

占位模型

例：n个质点在N个格子中的分布问题.设有n个不同质点，每个质点都以概率1/N落入N个格子(N≥n)的任一个之中，求下列事件的概率：

(1) A={指定n个格子中各有一个质点}；(2) B={任意n个格子中各有一个质点}；

(3) C={指定的一个格子中恰有m(m≤n)个质点}.

抽数模型

例：在0～9十个整数中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？

2．概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。如对于事件A，B，A或B，已知P(A)，P(B)，P(AB)，P(A B)，P(A|B)，P(B|A)以及换为A或B之中的几个，求另外几个。

例1：事件A与B相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.6，求：P(AB)，P(A－B)，P(A B)

例2：若P(A)=0.4，P(B)=0.7，P(AB)=0.3，求：P(A－B)，P(A B)，)

P，)

A

|

(B

(B

P

A

|

P，)

(B

|

A

3．准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。

若已知导致事件A发生(或者是能与事件A同时发生)的几个互斥的事件B i，i=1,2,…,n,…的概率P(B i) ，以及B i发生的条件下事件A发生的条件概率P(A|B i)，求事件A发生的概率P(A)以及A发生的条件下事件B i发生的条件概率P(B i| A)。

例：玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。

4．一维、二维离散型随机变量的分布律，连续型随机变量的密度函数性质的运用。分布中待定参数的确定，分布律、密度函数与分布函数的关系，联合分布与边缘分布、条件分布的关系，求数学期望、方差、协方差、相关系数，求函数的分布律、密度函数及期望和方差。(1)已知一维离散型随机变量X的分布律P(X=x i)=p i，i=1,2,…,n,…

确定参数

求概率P(a

求分布函数F(x)

求期望E(X)，方差D(X)

求函数Y=g(X)的分布律及期望E[g(X)]

例：随机变量X 的分布律为.

确定参数k

求概率P (0

求期望E (X )，方差D (X )

求函数2)3(-=X Y 的分布律及期望2)3(-X E

(2)已知一维连续型随机变量X 的密度函数f (x ) 确定参数

求概率P (a

求期望E (X )，方差D (X )

求函数Y =g (X )的密度函数及期望E [g (X )]

例：已知随机变量X 的概率密度为()???<<=其他0

2

02x kx x f ，

确定参数k

求概率}31{<

求期望E (X )，方差D (X )

求函数X Y =的密度及期望)(X E (3)已知二维离散型随机变量(X ，Y )的联合分布律P (X =x i ，Y =y j )=p ij ，i =1,2,…,m ,…；j =1,2,…,n ,… 确定参数

求概率P {(X ,Y )∈G }

求边缘分布律P (X =x i )=p i.，i =1,2,…,m ,…；P (Y =y j )=p .j ， j =1,2,…,n ,… 求条件分布律P (X =x i |Y =y j )，i =1,2,…,m ,…和P (Y =y j |X =x i )， j =1,2,…,n ,… 求期望E (X )，E (Y )，方差D (X )，D (Y )

求协方差 cov(X ,Y )，相关系数XY ρ，判断是否不相关 求函数Z =g (X , Y )的分布律及期望E [g (X , Y )] 例

求概率P (X 求边缘分布律P (X =k ) k =0,1,2 和P (Y =k ) k =0,1,2,3

求条件分布律P (X =k |Y =2) k =0,1,2和P (Y =k |X =1) k =0,1,2,3 求期望E (X )，E (Y )，方差D (X )，D (Y )

求协方差 cov(X ,Y )，相关系数XY ρ，判断是否不相关 求Z =X +Y ，W =max{X ，Y }，V =min{X ，Y }的分布律

(4)已知二维连续型随机变量X 的联合密度函数f (x , y ) 确定参数

求概率P {(X ,Y )∈G }

求边缘密度)(x f X ，)(y f Y ，判断Y X ,是否相互独立 求条件密度)|(|y x f Y X ，)|(|x y f X Y

求期望E (X )，E (Y )，方差D (X )，D (Y )

求协方差 cov(X ,Y )，相关系数XY ρ，判断是否不相关 求函数Z =g (X , Y )的密度函数及期望E [g (X , Y )]

例：已知二维随机变量(X ，Y )的概率密度为???<<=其它,

01

,),(22y x y cx y x f ，

确定常数c 的值； 求概率P (X

求边缘密度)(x f X ，)(y f Y ，判断Y X ,是否相互独立 求条件密度)|(|y x f Y X ，)|(|x y f X Y

求期望E (X )，E (Y )，方差D (X )，D (Y )

求协方差 cov(X ,Y )，相关系数XY ρ，判断是否不相关 5．会用中心极限定理解题。

例1：每次射击中，命中目标的炮弹数的均值为2，方差为25.1，求在100次射击中有180到220发炮弹命中目标的概率．

例2：设从大批发芽率为0.9的种子中随意抽取1000粒，试求这1000粒种子中至少有880粒发芽的概率。

6．熟记(0-1)分布、二项分布、泊松分布的分布律、期望和方差，指数分布(参数λ)、均匀分布、正态分布的密度函数、期望和方差。

数理统计部分必须要掌握的内容以及题型 1．统计量的判断。

对于来自总体X 的样本n X X X ,,,21 ，由样本构成的各种函数是否是统计量。 2．计算样本均值与样本方差及样本矩。

3．熟记正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理。 4．会求未知参数的矩估计、极大似然估计。

例：设总体X 的概率密度为()()???<<+=其它

,01

0,1x x x f θθ，n X X ,,1 是来自总体X 的一个样本，

求未知参数θ的矩估计量与极大似然估计量. 5．掌握无偏性与有效性的判断方法。

对于来自总体X 的样本n X X X ,,,21 ，判断估计量是否无偏，比较哪个更有效。 例：设321,,X X X 是来自总体X 的一个样本，下列统计量是不是总体均值的无偏估计 3212110351X X X ++；)(31321X X X ++；321X X X -+；)(2121X X +；32112

14331X X X ++

求出方差，比较哪个更有效。

6．会求正态总体均值与方差的置信区间。

对于正态总体，由样本结合给出条件，导出参数的置信区间。

7．理解假设检验的基本思想和原理，明确正态总体均值与方差的假设检验的基本步骤。 对于单、双正态总体根据给定条件，确定使用什么检验方法，明确基本步骤。

例：设),(~2σu N X ，u 和2σ未知，(X 1，…，X n )为样本，(x 1,…,x n )为样本观察值。(1)试写出

检验u 与给定常数u 0有无显著差异的步骤；(2)试写出检验2σ与给定常数2

0σ比较是否显著偏

大的步骤。

1．古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。 古典概型例子 摸球模型

例1：袋中有a 个白球，ｂ个黑球，从中接连任意取出m (m ≤a +ｂ)个球，且每次取出的球不再放回去，求第m 次取出的球是白球的概率;

分析：本例的样本点就是从a +ｂ中有次序地取出m 个球的不同取法；第m 次取出的球是白球意味着：第ｍ次是从a 个白球中取出一球，再在a +ｂ-1个球中取出m-1个球。 解：设B ＝｛第m 次取出的球是白球｝

样本空间的样本点总数： m

b a A n +=

事件B 包含的样本点： 11

1

--+=m b a a A C r ，则 b a a A aA n r B P m

b

a m

b a +===+--+1

1

)( 注：本例实质上也是抽签问题，结论说明按上述规则抽签，每人抽中白球的机会相等，同抽签次序无关。 例2：袋中有4个白球，5个黑球，6个红球，从中任意取出9个球，求取出的9个球中有1 个白球、3个黑球、5个红球的概率.

解：设B ＝｛取出的9个球中有1个白球、3个黑球、5个红球｝

样本空间的样本点总数： 9

15C n ==5005

事件B 包含的样本点： 5

63514C C C r ==240，则 P (B )=120/1001=0.048 占位模型

例：n 个质点在N 个格子中的分布问题.设有n 个不同质点，每个质点都以概率1/N 落入N 个格子(N ≥n)的任一个之中，求下列事件的概率：

(1) A ={指定n 个格子中各有一个质点}；(2) B ={任意n 个格子中各有一个质点}； (3) C ={指定的一个格子中恰有m (m ≤n )个质点}.

解：样本点为n 个质点在N 个格子中的任一种分布，每个质点都有N 种不同分布，即n 个质点共有N n 种分布。故样本点总数为：N n

(1)在n 个格子中放有n 个质点，且每格有一个质点，共有n !种不同放法；因此，事件A 包含

的样本点数：n!，则 n N

n A P !

)(=

(2)先在N 个格子中任意指定n 个格子，共有n

N C 种不同的方法；在n 个格子中放n 个质点，

且每格一个质点，共有n !种不同方法；因此，事件B 包含的样本点数： n N n N A C n =!，则n n

N

N

A B P =)(

(3)在指定的一个格子中放m (m ≤n )个质点共有m

n C 种不同方法；余下n-m 个质点任意放在余下

的N-1个格子中,共有m n N --)1(种不同方法.因此，事件C 包含的样本点数：m n C m n N --)1(, 则m

n m m n n

m n m

n N N N C N N C C P ---=-=)1()1(

)1()( 抽数模型

例：在0～9十个整数中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？

解：考虑次序.基本事件总数为：4

10A =5040，设B ={能排成一个四位偶数} 。

若允许千位数为0，此时千位数可在0、2、4、6、8这五个数字中任选其一，共有5种选法；

其余三位数则在余下的九个数字中任选，有39A 种选法；从而共有53

9A =2520个。其中，千位

数为0的“四位偶数”有多少个？此时个位数只能在2、4、6、8这四个数字中任选其一，有4种选法；十位数与百位数在余下的八个数字中任选两个，有28A 种选法；从而共有428A =224

个。 因此4

10

2

83945)(A A A B P -==2296/5040=0.456 2．概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。 例1：事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.5，P (B )=0.6，求：P (AB )，P (A －B )，P (A B ) 解：P (AB )= P (A )P (B )=0.3，P (A －B )= P (A )－P (AB )=0.2，P (A B )= P (A )＋P (B )－P (AB )=0.8 例2：若P (A )=0.4，P (B )=0.7，P (AB )=0.3，求： P (A －B )，P (A B )，)|(B A P ，)|(B A P ，)|(B A P

解：P (A －B )=0.1，P (A B )=0.8，)|(B A P =

)()(B P AB P =3/7，)|(B A P =)

()

()()()(B P AB P B P B P B A P -==4/7，)|(B A P =

)

(1)

()()(B P B A P B P B A P -=

=2/3 3．准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。

例：玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。 解：设事件A 表示“顾客买下该箱”，i B 表示“箱中恰好有i 件次品”，2,1,0=i 。则8.0)(0=B P ，

1.0)(1=B P ，1.0)(2=B P ，1)|(0=B A P ，54)|(4204191==C C B A P ，19

12

)|(4204

182==C C B A P 。

由全概率公式得 ∑==?+?+?==2

94.01912

1.0541.018.0)|()()(i i i B A P B P A P ；

由贝叶斯公式 85.094

.01

8.0)()|()()|(000=?==A P B A P B P A B P 。

4．(1)

例：随机变量X 的分布律为.

确定参数k

求概率P (0

求期望E (X )，方差D (X )

求函数2)3(-=X Y 的分布律及期望2)3(-X E

解：由 1=∑i

i p ，有 k ＋2 k ＋3 k ＋4 k =1 得 k =0.1

P (0

?????

????≥<≤<≤<≤<=41

436.0323.0211.010

)(x x x x x x F

∑=i

i i p x X E )(=3，∑=i

i i p x X E 22)(=10，D (X )=22))(()(X E X E -=1

2)3(-X E =1 (2)

例：已知随机变量X 的概率密度为()??

?<<=其他

2

02

x kx x f ，

确定参数k

求概率P (1

求期望E (X )，方差D (X )

求函数X Y =的密度函数及期望)(X E 解：由

?

+∞

∞

-dx x f )(=1，有

?

+∞

∞

-dx x f )(=k dx kx 3

8

2

02=?=1，得 k =3/8

P (1

1

)(dx x f =?

2

1

2

8

3dx x =7/8. ????

?≥<<≤=2

1

20800)(3

x x x x x F ?+∞

∞-=dx x xf X E )()(=?2

0383dx x =3/2，?+∞∞

-=dx x f x X E )()(2

2=?20483dx x =12/5 D (X )=22))(()(X E X E -=3/20

?????<<=其他

204

3)(5y y y f

)(X E =?

+∞

∞

-dx x f x )(=?

2

25

83dx x =

7

2

6 (3)

例

求概率P (X 求边缘分布律P (X =k ) k =0,1,2 和P (Y =k ) k =0,1,2,3

求条件分布律P (X =k |Y =2) k =0,1,2和P (Y =k |X =1) k =0,1,2,3 求期望E (X )，E (Y )，方差D (X )，D (Y )

求协方差 cov(X ,Y )，相关系数XY ρ，判断是否不相关 求Z =X +Y ，W =max{X ，Y }，V =min{X ，Y }的分布律 解：P (X

Y

X

Y

=i

ij j

i p x X E )(=0.8，=i

ij j

i p x X E )(=1.4，D (X )=))(()(X E X E -=0.76

∑∑=i ij j j p y Y E )(=2，∑∑=i ij

j

j p y Y E 22)(=5，D (Y )=2

2))(()(Y E Y E -=1 ∑∑=i

ij j

j i p y x XY E )(=1.64，cov(X ,Y )=)()()(Y E X E XY E -=0.04

XY ρ=

)()(),cov(Y D X D Y X =0.046 相关

V

(4)

例：已知二维随机变量(X ，Y )的概率密度为?

??<<=其它,01

,),(22y x y cx y x f ，

确定常数c 的值； 求概率P (X

求边缘密度)(x f X ，)(y f Y ，判断Y X ,是否相互独立 求条件密度)|(|y x f Y X ，)|(|x y f X Y

求期望E (X )，E (Y )，方差D (X )，D (Y )

求协方差 cov(X ,Y )，相关系数XY ρ，判断是否不相关 解：由

??

+∞∞-+∞

∞

-dxdy y x f ),(=1，有

??

+∞∞-+∞

∞

-dxdy y x f ),(=??-11

21

2ydy x c dx x

=1，得 c =21/4

P (X

-1

2

4

21ydx x dy y y

=0.85 ??

???≤≤--==?其它01

1)1(8

21421)(4212

2x x x ydy x x f x X ??

???≤≤==?-其它

01027421)(252y y ydx x y f y y Y X 与Y 不独立

??

???≤

≤-==-其它

02

3)(),()|(2

32|y

x y y x y f y x f y x f Y Y X

??

?

??≤≤-==其它

01

18)()

,()|(24

|y x x y x f y x f x y f X X Y

??+∞∞-+∞

∞

-=dxdy y x f x X E ),()(=??-11312421ydy x dx x =0

??+∞∞-+∞

∞

-=dxdy y x f x X E ),()(22=??-11412421ydy x dx x =7/15

D (X )=22))(()(X

E X E -=7/15

??+∞∞-+∞

∞

-=dxdy y x f y Y E ),()(=??-112212421dy y x dx x =7/9

??+∞∞-+∞

∞

-=dxdy y x f y Y E ),()(2

2=??-113212421dy y x dx x =7/11 D (Y )=22))(()(Y E Y E -=28/891

??+∞∞-+∞

∞

-=dxdy y x f xy XY E ),()(=??-112312421dy y x dx x =0

cov(X ,Y )=0， XY ρ=0，X 与Y 不相关 5．会用中心极限定理解题。

例1：每次射击中，命中目标的炮弹数的均值为2，方差为25.1，求在100次射击中有180到220发炮弹命中目标的概率． 解：

例2：设从大批发芽率为0.9的种子中随意抽取1000粒，试求这1000粒种子中至少有880粒发芽的概率。

解：设这批种子发芽数为X ，则)9.0,1000(~B X ，由中心极限定理得

所求概率为 }880{≥X P 9826.0)108.2()108.2(1)90

900

880(

1=Φ=-Φ-=-Φ-=。

数理统计部分必须要掌握的内容以及题型 1．统计量的判断。

2．计算样本均值与样本方差及样本矩。

3．熟记正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理。 4．会求未知参数的矩估计、极大似然估计。

例：设总体X 的概率密度为()()???<<+=其它

,01

0,1x x x f θθ，n X X ,,1 是来自总体X 的一个样本，

求未知参数θ的矩估计量与极大似然估计量.

5．掌握无偏性与有效性的判断方法。

例：设321,,X X X 是来自总体X 的一个样本，下列统计量是不是总体均值的无偏估计 3212110351X X X ++；)(31321X X X ++；321X X X -+；)(2121X X +；32112

14331X X X ++

求出方差，比较哪个更有效。

6．会求正态总体均值与方差的置信区间。

7．理解假设检验的基本思想和原理，明确正态总体均值与方差的假设检验的基本步骤。 例：设),(~2σu N X ，u 和2σ未知，(X 1，…，X n )为样本，(x 1,…,x n )为样本观察值。(1)试写出

检验u 与给定常数u 0有无显著差异的步骤；(2)试写出检验2σ与给定常数2

0σ比较是否显著偏大的步骤。

解: (1) 1.提出假设 u u H u u H ≠=:,:1

2.选取统计量n

S u X t /)

(0-=

3.对给定的显著性水平α，查表得)1(2

-n t α

4.计算 n

s u x t /)

(0-=

5.判断 若),1(2

->n t t α拒绝; H 反之,接受. H

(2)1.提出假设2

21202:,:σσσσ>≤H H 2.选取统计量2

2

2

)1(σ

χS n -=

3.对给定的显著性水平α，查表得)1(2

-n αχ

4.计算 .)1(2

2

2

σχs n -=

5.判断 若),1(2

2-

更多课程资料请到大学课程网https://www.doczj.com/doc/ed626224.html,学习