常微分方程
第一章绪论
在初等数学中，我们已经学过一些代数方程（如元个一次联立方程），并且用它们解决了一些有趣的应用问题，使我们初步体会到方程论（主要是设未知量、列方程和求解方程的方法）对于解决实际问题的重要性。
在解析几何与微积分中，我们又碰到一类不同的方程——方程的个数少于未知量的个数，也就是通常所说的函数方程。例如，
1） (设是自变量，则是未知函数)；
2），（设是自变量，则和是两个未知函数）。
这类函数方程与开头所说的代数方程相比，在概念上进了一步——确定自变量与因变量之间的函数关系。利用这类方程可以解决一类新的问题，例如某些轨迹问题和极值问题等。
本课程所要讲述的方程与刚才说的那种函数方程又不一样，它们除了自变量和未知函数外，还包含了未知函数的导数(即微商)。例如:
1）（是自变量，是未知函数，是未知函数对的导数。）
2）（是自变量，是未知函数，是未知函数对的导数等等）。
这种联系着自变量、未知函数以及未知函数的导数（或微分）的关系式,数学上称之为微分方程。其中未知函数的导数或微分是不可缺少的。下面我们通过几个具体的例子，粗略地介绍常微分方程的一些物理背景和方程的建立问题，并讲述一些最基本的概念。
第一节微分方程：某些物理过程的数学模型
在这一节中列举几个简单的实际例子，说明怎样从实际问题列成微分方程的问题。例子虽然简单，但是从中能够简明地诱导出微分方程的一些基本概念，成为进一步探讨其他较复杂问题的借鉴。掌握好这些例子，会有助于增进我们分析问题的能力。
例1 物体冷却过程的数学模型
将某物体放置于空气中，在时刻时，测量得它的温度为，10分钟后测得温度为。我们要求决定此物体的温度和时间的关系，并计算20分钟后物体的温度。这里我们假定空气的温度保持为。
解为了解决上述问题，需要了解有关热力学的一些基本规律。例如，热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的；在一定的温度范围内（其中包括了上述问题的温度在内），一个物体的温度变化速度与这一物体的温度和其所在介质温度的差值成比例。这是已为实验证明了的牛顿（ Newton）冷却定律。
设物体在时刻的温度为，则温度的变化速度以来表示。由牛顿
冷却定律得到
这里是比例常数。方程（1.1.1）就是物体冷却过程的数学模型,它含有未知函数及它的一阶导数，这样的方程,我们称为一阶微分方程。
为了决定物体的温度u和时间t的关系，我们要从方程（1.1.1）中“解出”。注意到是常数，且，可将（1.1.1）改写成
这样，变量和被“分离”开来了。两边积分，得到
（1.1.3）
这里是“任意常数”。根据对数的定义，得到
令，即得（1.1.4）
根据“初始条件”：当时，（1.1.5）容易确定“任意常数”
的数值。故把和代入（1.1.4），得到
于是（1.1.6）
这时如果的数值确定了，（1.1.6）就完全决定了温度和时间的关系。
根据条件时，，得到
由此，
用给定的，和代入，得
到
从而（1.1.7）
这样根据方程（1.1.7）,就可以计算出任何时刻t物体的温度u的数值了。例如20分钟后物体的温度就是。由方程(1.1.7)可知，当时，这可以解释为：经过一段时间后，物体的温度和空气的温度将会没有什么差别了。事实
上,经过2小时后，物体的温度已变为，与空气的温度已相当的接近。而经过3小时后，物体的温度为,我们的一些测量仪器已测不出它与空气的温度的差别了。在实用上，人们认为这时物体的冷却过程已基本结束。
微分方程的“解”可以用图形表示出来，这往往给我们一个简明直观的了解。图（1.1）就是“解”（1.1.7）的图形。
从例1中可以大体看出用微分方程解决实际问题的基本步骤:（1）建立起实际问题的数学模型，也就是建立反映这个实际问题的微分方程；(2）求解这个微分方程；（3）用所学的数学结果解释实际问题，从而预测到某些物理过程的特定性质，以便达到能动地改造世界，解决实际问题的目的。
建立起实际问题的数学模型一般比较困难的，因为这需要对与问题有关的自然规律有一个清晰的了解（例如，例１中就要了解热力学中的牛顿冷却定律），同时也需要有一定的数学知识。微分方程往往可以看作是各种不同物理现象的数学模型。我们在建立微分方程的时候，只能考虑影响这个物理现象的一些主要因素，而把其他的一些次要因素忽略掉，如果的确考虑到了那些最主要的因素，那么我们所得到的微分方程，它的解和所考虑的物理现象比较接近的。这时，我们得到的数学模型是有用；否则，我们还应该考虑其他的一些因素，以便建立起更为合理的数学模型。
下面再举几个例子说明如何建立微分方程的问题，至于如何求解这些微分方程，则留待以后再讨论。
例2 镭、铀等放射性元素因不断地放出各种射线而逐渐减少其质量（称为衰变）。根据实验知道衰变速度与剩余物的质量成正比，问这种元素的质量是时间的什么样的函数？
解由题意可知有
这里表示衰变的速度，即关于的变化率。是比例常数，因元素
的不同而异。等式右边的负号表示当时 ,即当增加时镭的质量总是减少的。
例 3电路
如图(1.2)的电路，它包含电感，电阻和电源。设时，电路中没有电流。我们要求建立：当开关合上后，电流应该满足的微分方程。这里假设、、都是常数。
解为了建立电路的微分方程，我们引用关于电路的基尔霍夫第二定律：在闭合回路中，所有支路上的电压的代数和等于零。
注意到经过电阻的电压降是，而经过电感的电压降是，由基尔
霍夫第二定律得到即
求出的应满足条件：当时，
如果假定在时，，电源突然短路，因而变为零，此后亦保持为零。那末电流满足方程及条件：当时，。
图（1.2）
例4研究悬挂重物的弹簧的振动。假设弹簧的质量与重物的质量相比是很小，以致可以略去不计，试建立其微分方程。
图(1.3)
解如图(1.3)，当重物（质量为）静止不动时，它所受到的两个力，即重力和弹簧的恢复力，互相平衡。如果把它向下拉(或向上推)一小段距离，然后放手。根据常识，知道重物将作上下振动若干次,振幅愈来愈小，最后仍归于静止。今取轴的正方向铅直向下，取重物静止不动时其重心的位置为。在振动过程中，重物受到三个力的作用：1.重力，方向向下。 2.弹簧的恢复力，其中是弹簧的刚度，即把它拉长一个单位茶馆年度所需的力。
这个力的方向要看还是而定。在前一情况，弹簧的长度比没有悬
挂重物时要长，因此恢复力方向向上；在后一情况则相反，恢复力向下。3.空气阻力。根据实验知道空气阻力的大小与重物运动的速度成正比，而方向与运动方向相反。这样，应用牛顿第二定律，就得到:
(1.1.10)
其中称为阻尼系数，等式中间第二，三两项前面的负号已经在上面解释过。
从以上所举的几个例子中不难发现，完全无关、本质上不同的物理现象有时可以由同类型的微分方程来描述。例如，反映物体冷却过程的方程
和反映电路中电流变化规律的方程
都可以写成
不同的物理现象可以具有相同的数学模型这一事实，正是现代许多应用数学工作者和工程人员应用模拟方法解决物理或工程问题的理论依据。例如，利用电路来模拟某些力学系统或机械系统等等在现时已相当普遍。
第二节基本概念
1）常微分方程和偏微分方程
定义1微分方程就是联系着自变量、未知函数以及它的导数的关系式。如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，我们称这种微分方程为常微分方程；自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程。
方程
是常微分方程的例子，这里是未知函数，是自变量。
方程
(1.1.16)
就是偏微分方程的例子，这里是未知函数，、、、是自变量。
微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数。例如，方程（1.1.13）是二阶常微分方程，而方程（1.1.15）、（1.1.16）都是二阶
偏微分方程。一般的阶常微分方程具有形式
(1.1.17) 这里是的已知函数，而且一定含有
；是未知函数,是自变量。
练习1指出下面微分方程的阶数，并回答方程是常微分方程还是偏微分方程：
2）线性和非线性
定义2 如果方程(1.1.17)的左端为及，...，的一次有理整式，则称（1.1.17）为n阶线性微分方程。一般的阶线性微分方程具有形式
这里是的已知函数。
不是线性方程的方程称为非线性方程。例如，方程是二阶非线性方程，而方程（1.1.14）是一阶非线性方程。
练习2 指出下面微分方程的阶数，并回答是否线性的：
3）解和隐式解
定义3如果函数代入方程（1.1.17）后，能使它变为恒等式，则称函数为方程（1.1.17）的解。
例如，§1.1的例1中,函数就是方程(1.1.1)的解。如果
关系式决定的隐函数是（1.1.17）的解，我们称为方程(1.1.17)的隐式解。例如，一阶微分方程有解和
；而关系式就是方程的隐式解。
练习3验证下列各函数是相应微分方程的解：
(c是任意常数)
4）通解和特解
定义4把含有个独立的任意常数的解称为
阶方程（1.1.17）的通解。同样，可以定义阶方程（1.1.17）的隐式通解。为了简单起见，以后我们也不把通解和隐式通解加以区别，统称为方程的解。
为了确定微分方程的一个特定的解，我们通常给出这个解所必须满足的条件，这就是所谓的定解条件。常见的定解条件是初始条件。所谓阶微分方程
（1.1.17）的初始条件是指如下的个条件：当时，
（1.1.19）
这里是给定的个常数，初始条件（1.1.19）有时可写为
（1.1.20）
求微分方程满足定解条件的解，就是所谓定解问题。当定解条件为初始条件时，相应的定解问题，就称为初值问题。满足初始条件的解称为微分方程的特解。初始条件不同，对应的特解也不同。一般来说，特解可以通过初始条件的限制，
从通解中确定任意常数而得到。例如，在§1.1的例1中，含有一个任意常数
解就是一阶方程（1.1.1）的通解；而就是满足初始条件当时，的特解。
练习4给定一阶微分方程 ,
（1）求出它的通解；
（2）求通过点（1，4）的特解。
5）积分曲线和方向场
定义5一阶微分方程（1.1.21）
的解代表平面上的一条曲线，我们称它为微分方程的积分曲线。而微
分方程(1.1.21)的通解对应于平面上的一族曲线，我们称这族曲线为积分曲线族。满足初始条件的特解就是通过点的一条积分曲线。此外方程(1.1.21）的积分曲线的每一点上的切线斜率刚好等于函数在这点的值，也就是说,积分曲线的每一点及这点上的切线斜率恒满足方程（1.1.21）；反之，如果在一条曲线每点上其切线斜率刚好等于函数在这点的值，则这一条曲线就是方程(1.1.21）的积分曲线。
设函数的定义域为D。在每一点处画上一个小线段，其斜率等于。我们把带有这种直线段的区域称为由方程（1.1.21）规定的方向场。这样，求微分方程（1.1.21）经过点的曲线，就是在D内求一
条经过的曲线，使其上每一点处切线的斜率都与方向场在该点的方向相吻合。
在方向场中，方向相同的点的几何轨迹称为等斜线。微分方程（1.1.21）的等斜线方程为 = 其中是参数。给出参数的一系列充分接近的值，
就可得足够密集的等斜线族，借此可以近似地作出微分方程（1.1.21）的积分曲线。当然，要想更精确地作出积分曲线，还必须进一步弄清楚积分曲线的极值点
和拐点等。显然，极值点和拐点如果存在的话，一般地，它们将满足方程
=0及。
例1 求解方程。
解等斜线是双曲线。特别地当时双曲线退化为一对直线
和，就是说，在轴和轴上积分曲线有相同的切线方向。进一步考虑积分曲线的极值点和拐点。为此，令时得，在此双曲线上
，可见积分曲线在双曲线的一支（对应于）上取
得极小值，而在其另一支（对应于）上达到极大。同样易知积分曲线的
拐点位于曲线上。由以上分析,我们既可近似地画出积分曲线的分布概况如图（1.4）。
图(1.4)
第二章一阶微分方程的初等解法
微分方程的一个中心问题是“求解”。但是，微分方程的求解问题通常并不是容易解决的。本章将介绍一阶方程的初等解法，即把微分方程的求解问题化为积分问题。一般的一阶方程是没有初等解法的，本章的任务就在于介绍若干能有初等解法的方程类型及其求解的一般方法，虽然这些类型是很有限的，但它们却反映了实际问题中出现的微分方程的相当部分。
第一节变量分离方程与变量变换
2.1.1 变量分离方程
定义1形如 (2.1.1.1) 的方程，称为变量分离方程，这里分别是，的连续函数。例如，
都是变量分离的方程，而莱布尼兹方程则不是。
现在说明方程(2.1.1.1)的求解方法。
如果，我们可将 (2.1.1.1)改写成这叫做分离变量。
两边积分，得到所满足的隐函数方程
(2.1.1.2)
（这里我们把积分常数明确写出来，而把分别理解为
的某一个原函数。如无特别声明，以后也作这样的理解。）于是，对于任一常数，微分(2.1.1.2)的两边，就知(2.1.1.2)所确定的隐函数满足方程(2.1.1.1)。因而，(2.1.1.2)是(2.1.1.1)的通解。如果
存在,使 =0,直接代入，可知也是(2.1.1.1)的解。可能它不包含在方程的通解(2.1.1.2)中，必须予以补上。
例1求解方程。
解将变量分离，得到
两边积分，即得
因而，通解为这里是任意常数。
或者，解出，写出显函数形式的解。
例2 求解方程并求满足初始条件：的特解。
解分离变量得
两边积分得
因而，通解为这里为任意常数。
此外，方程还有解。
为了确定所求的特解，以代入通解中以决定任意常数，得到
。
因而，所求特解为。
例3求方程 (2.1.1.3)的通解，其中是的连续函数。
解将变量分离，得到
两边积分，即得这里是任意常数。
由对数定义，即有即
令，得到通解 (2.1.1.4)
此外，显然也是方程的解。如果在(2.1.1.4)中允许，则也
就包括在(2.1.1.4)中，因而，微分方程(2.1.1.3)的通解为(2.1.1.4)，其中为任意常数。
2.1.2 可化为变量分离方程的类型
这里只介绍二种简单的情形：
1）形如 (2.1.2.1) 的方程，称为齐次方程，这里是的连续函数。
现在引进新的未知函数 (2.1.2.2)，即，于是
(2.1.2.3)
将(2.1.2.2)、(2.1.2.3)代入 (2.1.2.1)，则原方程变为，
整理后，得到 (2.1.2.4)
方程(2.1.2.4)是一个变量分离方程。
可改写为，再积分，得到
在算出等式左边的积分后，仍以代替其中的，即得方程(2.1.2.1)
的通积分。但如果有实根，那末（i=1，2，…，k）都是丢掉的特解，应该补上。
例 4求解方程。
解这是齐次方程，以及代入，
则原方程变为，即 (2.1.2.5)
将上式分离变量，即有，
两边积分，得到这里是任意常数
整理后，得到
令，得到 (2.1.2.6)
此外，方程(2.1.2.5)还有解即
如果在(2.1.2.6)中允许,则也就包括在(2.1.2.6)中,这就是说，方程(2.1.2.5)的通解为(2.1.2.6)。代回原来的变量，得到原方程的通解为
（这里为任意常数）。
例5求解方程。
解将方程改写为，可见它是齐次方程。以及
代入，则可得或，积分以后化简，再以代入，最后得到通积分：。
例6 求解方程
解将方程改写为
这是齐次方程。以及代入，则原方程变为
(2.1.2.7)
分离变量，得到
两边积分，得到(2.1.2.7)的通解
即(2.1.2.8)这里是任意常数。
此外，方程(2.1.2.7)还有解此解并不包括在通解(2.1.2.8)中。
代回原来的变量，即得原方程的通解及解
。
顺带指出，我们也可将原方程的通解表为
它定于整个负半轴上。
2）形如 (2.1.2.9)的方程也可经变量变换化为变量分离方程。这里均为常数。
我们分别三种情形来讨论：
（1）的情形。
这时方程(2.1.2.9)属齐次方程，事实上，我们有
因此，只要作变换，则方程就化为变量分离方程。
（2），即的情形。
设此比值为，即 = ，
则方程可写成
令，则方程化为，这是变量分离方程。
（2）现讨论及不全为零的情形。
这时方程(2.1.2.9)右端的分子、分母都是的一次式，因此
(2.1.2.10)
代表平面上两条相交直线，设交点为。
显然，或，否则，即交点为坐标原点，那么必有
，这正是情形（1）。从几何上知道要将所考虑的情形化为情形（1）
只需进行坐标平移，将坐标原点移至就行了。事实上，若令
(2.1.2.11)
则(2.1.2.10)化为
从而(2.1.2.9)变为 (2.1.2.12)
因此，我们得到这种情形求解的一般步骤如下：
解联立代数方程(2.1.10),设其解为；
作变换(2.1.11)将方程化为齐次方程(2.1.2.12)；
再经变换将(2.1.2.12)化为变量分离方程；
求解上述变量分离方程，最后代回原方程(2.1.2.9)的解。
我们指出，上述解题的方法和步骤也适用于比方程(2.1.2.9)更一般的方程类型
此外，诸如、、、
以及（其中为
的齐次函数，次数可以不相同）等一些方程类型，均可通过适当的变量变换化为变量分离方程。
《常微分方程》课程教学大纲 课程代码： 090131009 课程英文名称：Ordinary Differential Equations 课程总学时：48 讲课：48 实验：0 上机：0 适用专业：信息与计算科学 大纲编写（修订）时间：2017.11 一、大纲使用说明 （一）课程的地位及教学目标 本课程是信息与计算科学专业的一门专业基础课，通过本课程的学习，可以使学生获得关于常微分方程的基本理论知识，掌握普通的线性微分方程的求解办法，为对非线性微分方程的求解打下一定的基础，同时，使学生能够简单地利用数学手段去研究自然现象和社会现象，或解决工程技术问题, 是进一步学习偏微分方程、微分几何、泛函分析等后继课程的基础。 通过本课程的学习，学生将达到以下要求： 1. 掌握一阶线性微分方程的初等解法及理论、高阶线性微分方程的解法及理论，线性微分方程组理论，着重培养学生解决问题的基本技能。 2. 熟悉和掌握本课程所涉及的现代数学中的重要思想方法，提高其抽象思维、逻辑推理和代数运算的能力。 （二）知识、能力及技能方面的基本要求 1.基本知识：要求学生掌握一阶微分方程的初等解法；一阶微分方程解的存在唯一性定理、解对初值的连续性和可微性定理及解的延拓；高阶微分方程理论、常系数线性微分方程的解法、以及高阶微分方程的降阶和幂级数解法；求矩阵指数，求解常系数线性微分方程组；非线性微分方程的稳定性、V函数方法。 2.基本理论和方法：掌握一阶和高阶线性微分方程以及方程组的求解方法，理解解的存在唯一性定理及解的延拓、解对初值的连续依赖定理等理论，并能应用到具体的证明题中。了解非线性微分方程的基本理论，会对稳定性等做出讨论。培养学生逻辑推理能力和抽象思维能力；对微分方程的建模、求解的分析能力；利用微分方程理论解决实际问题的能力。 3.基本技能：使学生获得求解一阶和高阶微分方程、线性微分方程组的运算技能。 （三）实施说明 1．教学方法：课堂讲授中要重点对基本概念、基本方法和解题思路的讲解；采用启发式教学，培养学生思考问题、分析问题和解决问题的能力；引导和鼓励学生通过实践和自学获取知识，培养学生的自学能力；讲课要联系实际并注重培养学生的创新能力。 2．教学手段：本课程属于专业基础课，在教学中采用多媒体教学系统等先进教学手段，以确保在有限的学时内，全面、高质量地完成课程教学任务。 （四）对先修课的要求 本课程的教学必须在完成先修课程之后进行。本课程主要的先修课程有数学分析3、高等代数2。 （五）对习题课、实践环节的要求 1. 至少两章安排一次习题课，总学时在6学时左右。 2. 习题课的教学内容要配合主讲课程的教学进度，由老师和同学在课堂上通过讲、练结合的方式进行。主讲教师通过批改学生的作业，将作业情况反馈给学生，要补充有一定难度和综合度的练习题，以拓宽同学们的思路。
师大学本科毕业论文（设计） 常微分方程的初等解法与求解技巧 姓名娟 院系数学与计算机科学学院 专业信息与计算科学 班级12510201 学号1251020126 指导教师王晓锋 答辩日期 成绩
常微分方程的初等解法与求解技巧 容摘要 常微分方程在数学中发挥着举足轻重的作用，同时它的应用在日常生活里随处可见，因此掌握常微分方程的初等解法与求解技巧是非常必要的.本论文主要论述了其发展、初等解法与求解技巧，前者主要有变量分离、积分因子、一阶隐式微分方程的参数表示，通过举例从中总结出其求解技巧，目的是掌握其求解技巧. 【关键词】变量分离一阶隐式微分方程积分因子求解技巧
Elementary Solution and Solving Skills of Ordinary Differential Equation Abstract Ordinary differential equations take up significant position in mathematics, and at the same time, the application of it can be seen everywhere in our daily life, therefore, it’s necessary to grasp the elementary solution of ordinary differential equations and solving skills. This paper mainly introduced the definition of ordinary differential equations, elementary solution method and solving skills, the former mainly included the separation of variables, integral factor, a parameter-order differential equations implicit representation, by way of examples to sum up their solving skills, the purpose is to master the skills to solve. 【Key Words】the separation of variables the first order implicit differential equation integrating factor solution techniques
常微分方程教学设计 第一讲基本概念定义1如果在一个(或者一组m(有限个))方程中，未知的(unknown)量是一个(或一组m有限个))函数，并且在方程中含有未知函数只关于某一个自变量(independentvariable)的导数或微分，则称这方程为常微分方程(ordinarydifferentialequation)(或者常微分方程组(ODE’s)),简称常微分方程(组)为微分方程(DE)(组(DE’s))或方程(组).(提示)常微分方程之例:若x是自变量t的未知函数，其他的量都是已知的，则下列方程(一阶线性齐次方程)(正规形式)，(一阶线性非齐次方程)(正规形式)，(二阶线性齐次方程)，(二阶线性非齐次方程)，(Riccati 方程)(一阶非线性方程)都是常微分方程，微分方程中可以不出现未知函数x本身，但必须实质上含有未知函数x的导数．注意，在本教程中不讨论延迟(retarded)常微分方程：常微分方程组之例:记vector)，是自变量t的函数，用个变量为m维列矢量(column，其中，，简记的已知函数，(以后都这样表示，不要误解为矢量x的是常微分方程组．函数)，则矢量(vector)方程n阶微分方程可以通过变换组:定义2微分方程中实质上含有的未知函数x的最高阶导数的阶数称为这微分方程关于x的阶.微分方程组中各个未知函数的最高阶导数的阶数之和称为微分方程组的阶(计算阶数时把未知函数本身认为是未知函数的零阶导数)．(提示)方程组的
阶:例中的方程组是n阶方程组.注意：但是如果我们把例2中的方程组看成是一个矢量x的方程，而且其中关于x的每个分量的阶都是一阶的，因此也可称它(关于x是一阶的)．n 阶微分方程的一般形式为：，其中函数F在其变量的某一区域(domain)中有定义，并且一定含有未知函数x对自变量t 的n阶导数.定义3假设有在区间I上有直到n阶的连续导数的函数：以是由隐式或参数形式决定的)在区间I上满足恒等式，(可我们就说该函数是在区间I上方程的解(solution)．称区间I是解的定义区间．微分方程的解根据函数的形式可分为显式(explicit)解，隐式(implicit)解和参数形式解.(提示)n阶微分方程的解可由对方程逐次进行n 次积分得到：，其中是的n次累次积分．为n个任意独立的实常数，2例:一阶方程义区间是：当时为的通解可以写成；当时为，其中c是非零实常数．定．严格而言不能写成的形式，因为后者的定义域不是一个区间．但是可以写成在不同区间上的两个通解：，和和．如果把这些解写成形式．则称为隐式解，这种隐式解也称为方程的积分．定义4微分方程的解，或隐式解在t-x平面上的几何图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线(integralcurve).如果在积分曲线上函数积分(integral)定义5已就最高阶导数解出的微分方程等于常数，则也称为微分方程的一个常微分方程之例:若x 是自变量t的未知函数，其他的量都是已知的，则下列方程
常微分方程课程教学大纲 一、课程说明 1、课程性质 本课程及大纲适用于数学与应用数学、数学教育专业、信息与计算科学等专业，为4学分，总学时为68学时，包括讲课及习题课。 常微分方程是数学各专业必修的基础课之一，它是数学分析，高等代数和解析几何的应用和发展。微分方程是数学理论联系实际的重要渠道之一，也是其它数学分支的一个综合应用场所，我们所研究的方程多数是由其它学科（如物理、气象、生态学、经济学）推导而来，通过本课程的学习不仅使学生了解到微分方程和其它数学分支的联系及其在其它自然科学学科中的应用，使学生进一步了解到数学的重要性和广泛的应用背景，提高应用能力，而且为后继的数学和应用数学各课程准备解决问题的方法和工具，更是通向物理，力学，经济等学科和工程技术的桥梁。 通过对微分方程发展史的回顾，让学生从一个侧面了解人类对自然界的认识过程和科学研究的探索过程，逐步培养学生的活学活用能力和创造发展的能力。 通过本课程的学习，使学生熟练掌握各类方程的判别与求解，掌握基本理论的基本思想和证明方法，了解定性和稳定性的初步理论和方法。并简要介绍一些其它学科需要我们解决而目前我们尚不能解决的问题，为其它后续课程留下引子，并通过一些例子让学生知道目前这个学科的最新研究动态。 2、教学目的要求 目的是要学习和逐步掌握常微分方程的基本理论和方法，学习建立和解决确定性数学模型的思想方法，把数学理论和方法运用到解决实际问题中去。 本课程要求学生能熟练掌握各类微分方程的基本解法，理解和掌握常微分方程的基本理论：存在唯一性定理和线性常微分方程的基本理论。了解常微分方程稳定性理论和定性理论初步。 3、先行或后继课程 先行课程：数学分析、高等代数、解析几何，普通物理等。 后继课程：数理方程、微分几何、泛函分析等。 微分方程的发展也离不开实变函数论、复变函数论、拓扑学与代数几何的支援。 4、教学时数分配表
常微分方程课程教学 大纲
常微分方程课程教学大纲 英文名称：Ordinary differential equation 课程类 型： 专业基础课 理论学时：64实验学 时： 学分： 4 开课学 期： 第3学期 适用对象：数学与应用数学专业本科生考核方 式： 考试 先修课 程： 数学分析、高等代数与解析几何 一、课程简介 常微分方程是数学系本科生的必修课.通过本课程的学习，利用数学分析、高等代数的一些工具，牢固掌握微分方程学科最基本的内容，如一阶常微分方程、高阶微分方程与线性微分方程组的基本理论与解法，初步掌握其在实际问题中的应用及微分方程定性和稳定性理论的基本概念和重要结果，一般了解一阶线性偏微分方程. 二、课程教学目标 本门课程的主要任务是：通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力；使学生掌握常微分方程的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础. 三、教学内容及要求 第一章绪论 主要内容： 1、常微分方程基本概念; 2、导出微分方程的实例; 3、微分方程的几何意义。 基本要求和教学重点：
1、了解常微分方程的基本概念； 2、领会常微分方程所讨论问题的基本内容； 3、了解常微分方程的实际背景及应用。 第二章初等积分法 主要内容： 1、变量分离方程； 2、齐次方程； 3、一阶线性方程与常数变易法； 4、全微分方程与积分因子； 5、一阶隐式微分方程。 基本要求和教学重点： 1、熟练地掌握一阶方程各种类型的初等解法. 2、学会根据所给方程的特点，引进适当的变换，增强解题能力； 3、能够合理的处理某些一阶微分方程的求解问题。 第三章一阶微分方程的解的存在定理主要内容： 1、解的存在性与唯一性定理 2、解的延拓 3、解对初值和参数的连续依赖性 4、解对初值和参数的可微性 基本要求和教学重点： 1、熟悉和理解定理证明方法； 2、掌握逐步逼近法。 第四章高阶线性微分方程 主要内容： 1、高阶线性微分方程的一般理论； 2、高阶常系数线性齐次方程的解法； 3、高阶常系数线性非齐次方程的解法； 4、变系数线性微分方程。 5、幂级数解法 基本要求和教学重点： 1、理解和掌握关于线性方程解的基本性质；
《常微分方程》课程建设规划 安阳师范学院数学系分析与方程教研室 一．课程简介 常微分方程是伴随着微积分的产生和发展而成长起来的一门历史悠久的学科，是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。早在十七世纪至十八世纪，它就作为Newton 力学的得力助手，在天体力学和其它机械力学领域内显示了巨大的功能；这只要举出科学史上一件大事为证就够了：在海王星被实际观测到之前，这颗行星的存在就被天文学家用微分方程的方法推算出来了。时至今日，微分方程仍然是最有生命力的数学分支之一。 二．课程发展历史沿革 自数学系创立到开始招收本科生以来，就一直开设常微分方程。它是数学与应用数学和信息与计算科学专业学生一门重要的专业基础课，而且也是物理、经济、工程等学科不可缺少的基础课程之一，比如它是数学物理方程、动力系统定性理论、微分方程数值解、生物数学、数学模型、数理经济、经济数学以及自动控制、生物学、经济学等许多后续课程的基础。从数学的角度看，常微分方程分为经典和现代两部分内容，经典部分：以数学分析、高等代数为工具，以求微分方程的解为主要目的；现代部分：主要是用泛函分析、拓扑学等知识来研究解的性质。常微分方程对先修课程（数学分析与高等代数等）及后继课程（微分方程数值解法、偏微分方程、微分几何、泛函分析等）起到承前启后的作用，是数学理论中不可缺少的一个环节，也是学生学习本学科近代知识的基础，对培养学生分析问题和解决问题的能力有重要作用。因此，院系领导一向对这门课程的建设都十分重视，组织了很强的教学队伍来进行教学，系主任袁付顺教授等老师都担任过该课程的教学工作。他们治学严谨、敬业重教，为该课程小组树立了优良的教学传统。正是有了这种传统，该课程小组中的每位任课教师在教学中历来兢兢业业、认真踏实。教学中不仅注重基本概念、基本理论、基本方法、基本技巧及习题课的教学，而且善于结合这门课程具有广泛的实际背景和应用的特点，重视培养学生独立思考和解决实际问题的能力。比如教导和启发学生如何从力学中的一个实际问题抽象出具体的常微分方程，然后利用常微分方程的理论再去解决这一实际问题。更为重要的是，这种教学作风为培养学生树立良好的职业道德也起到了示范和熏陶的作用。 常微分方程课每周4 课时，总课时数为72学时。数学与应用数学和信息与计算科学两个专业都使用王高雄、周之铭等主编的教材《常微分方程》（第二版、高教出版社），根据不
常微分方程习题及解答 一、问答题： 1．常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义? 答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。常微分方程，自变量的个数只有一个。偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上。常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解。 2．举例阐述常数变易法的基本思想。 答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解。 例：求 ()()dy P x y Q x dx =+的通解。 首先利用变量分离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为()P x dx y c ?=l ，然后将 常数c 变易为x 的待定函数()c x ，令()()P x dx y c x ? =l ，微分之，得到 ()()()()()P x dx P x dx dy dc x c x P x dx dx ?? =+l l ，将上述两式代入方程中，得到 ()()()()()()()()() P x dx P x dx P x dx dc x c x P x dx c x P x Q x ??+?=+l l l 即 ()() ()P x dx dc x Q x dx -? =l 积分后得到()()()P x dx c x Q x dx c -?=+? %l 进而得到方程的通解 ()()(()) P x dx P x dx y Q x dx c -? ?=+?%l l 3．高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？ 答：n 阶线性微分方程的初值问题 ()(1) 11(1) 01020()...()()()(),(),....()n n n n n n x a t x a t x a t x f t x t x t x t ηηη---'?++++=??'===?? 其中12()(),...(),()n a t a t a t f t ，是区间a t b ≤≤上的已知连续函数，[]0,t a b ∈， 12,,...,n ηηη是已知常数。它可以化为线性微分方程组的初值问题
第九章 微分方程 一、教学目标及基本要求 （1） 了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解的概念。 （2） 掌握变量可分离的方程和一阶线性方程的解法，会解齐次方程。 （3） 会用降阶法解下列方程：),(),,(),()(y y f y y x f y x f y n '='''=''=。 （4） 理解二阶线性微分方程解的性质以及解的结构定理。 （5） 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。 （6） 会求自由项多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与二阶常系数非齐次线性微分方程的 特解和通解。 （7） 会用微分方程解决一些简单的应用问题。 二、本章教学内容的重点和难点 1、理解和熟悉微分方程的一些基本概念； 2、掌握一阶和高阶微分方程的各种初等积分法； 3、熟悉线性方程的基础理论，掌握常系数二阶线性齐次与非齐次方程的解法； 4、会列微分方程及其始值问题去解决实际问题。 三、本章教学内容的深化和拓宽： 1、分离变量法的理论根据； 2、常用的变量代换； 3、怎样列微分方程解应用题； 4、黎卡提方程； 5、全微分方程的推广； 6、二阶齐次方程； 7、高阶微分方程的补充； 8、求线性齐次方程的另一个线性无关的解； 9、求线性非齐次方程的一个特解； 10、常数变易法。 本章的思考题和习题 解下列方程（第1-6题） 1、2)0(,)1(==+'+y x y y x 2、()[]f dx x f e e x f x x x ,)(02?+=可微 3、212 22sin 22sin 1X e y x y y x ++='?+ 4、0)3(24=+-xydx dy x y 5、21)0(,1)0(,022- ='=='+''y y y x y 6、2y y y x y '-'+'= 7、已知可微函数)(x f 满足 ?-=+x x f f x f x x f dx x f 12)()1(,1)()()(和求； 8、已知)(,,1)(2 1)(10x f f x f da ax f 求可微+= ?； 9、求与曲线族C y x =+2232相交成ο45角的曲线； 10、一容器的容积为100L ，盛满盐水，含10kg 的盐，现以每分钟3L 的速度向容器内注入淡水冲淡盐水，又以同样的速度将盐水抽入原先盛满淡水的同样大小的另一容器内，多余的水便从容器内流出，问经过多少时间，两容器内的含盐量相等？
中国海洋大学本科生课程大纲 课程属性：公共基础/通识教育/学科基础/专业知识/工作技能，课程性质：必修、选修 一、课程介绍 1.课程描述： 常微分方程是数学学科的一门基础理论课程,是一门专业必修课，是数学分析，高等代数和解析几何的综合应用和发展。通过学习不仅可加强先修课程中已学过的概念和方法，且为后续课程的学习准备解决问题的方法和工具。常微分方程与微积分同时诞生，以解决天文学、力学等实际问题而闻名于世，是研究事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最基本的数学理论和方法。现实生活中许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如物体运动、生物群体竞争、疾病的传播等。对这些规律的描述、认识和分析，往往可以归结为用常微分方程描述的数学模型的分析和研究。由此可知，它是数学理论联系实际的重要渠道之一，它有着深刻而生动的实际背景，它从生产实践与科学技术中产生，而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一种强有力的工具。 2.设计思路： 本课程适用于数学与应用数学专业、信息与计算科学专业二年级本科生。本课程主要包括六个部分内容：初等积分法；基本定理；一阶线性微分方程组；n 阶线性微分方程；定性理论与稳定性理论简介；一阶偏微分方程初步。 - 1 -
初等积分法主要讲解几类能用初等（积分）解法求解的方程类型及其求解方法。要求学生掌握各种类型的解法，具有判断一个给定方程的类型和正确求解的能力。重点是求解方法，难点是识别方程的类型以及熟练掌握求解方法。 基本定理包括解的存在唯一性定理，解的延展定理，解对初值的连续依赖性定理和解的可微性定理，构成了常微分方程主要理论部分。解的存在唯一性定理表明，若右端函数满足连续和利布希兹条件，则保证方程的解存在性与唯一性。它是常微分方程理论中最基本的定理，有其重大的理论意义。另一方面，由于能求得精确解的方程不多，所以该定理给出的求近似解法就具有重要的实际意义。解的延拓定理及解对初值的连续依赖性与可微性定理揭示了微分方程的重要性质。要求学生必需理解本章定理的条件和结论，掌握证明方法，能运用定理证明有关问题。重点是证明的思路和方法，特别是逐次逼近法，难点是贯穿定理证过程的利布希兹条件运用和证明过程中不等式技巧的把握； 一阶线性微分方程组主要讲线性微分方程组的理论。线性微分方程组理论是微分方程理论中的重要部分，无论从实用的角度或从理论的角度来说，本章所提供的方法和结果都是非常重要的，它是进一步学习常微分方程理论和其它有关课程必不可少的基本知识，基本要求：（1）理解线性微分方程组解的存在与唯一性定理，熟练掌握逐步逼近法；（2）掌握线性微分方程组的一般理论，把握解空间的代数结构；（3）基解矩阵求法。一般齐次线性微分方程组的基解矩阵是难以通过积分求得，但当系数矩阵是常系数矩阵时，可以通过代数方法（Jordan标准型、矩阵指数）求出基解矩阵。重点掌握一阶线性微分方程组的解空间结构和常系数线性微分方程组的解法，难点是证明一阶齐次常微分方程组的解空间是n 维线性空间和一阶常系数齐次或非齐次微分方程组的求解。 - 1 -
常微分方程第三版答 案
习题1.2 1． dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解： y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2 x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: - y 1 =-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y= | )1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+3 1 x x + y y 21+dy=3 1 x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1 +dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -1 12++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2 x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x | |-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为： tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny= x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2 e x 3 2 e x 3-3e 2 y -=c.
《常微分方程》课程大纲 一、课程简介 课程名称：常微分方程学时/学分：3/54 先修课程：数学分析，高等代数,空间解析几何，或线性代数（行列式，矩阵与线性方程组，线性空间F n，欧氏空间R n，特征值与矩阵的对角化）, 高等数学（多元微积分，无穷级数）。 面向对象：本科二年级或以上学生 教学目标：围绕基本概念与基本理论、具体求解和实际应用三条主线开展教学活动，通过该课程的教学，希望学生正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，具有一定的解题能力和处理相关应用问题的思维方式，如定性分析解的性态和定量近似求解等思想，并希望学生初步了解常微分方程的近代发展，为学习动力系统学科的近代内容和后续课程打下基础。 二、教学内容和要求 常微分方程的教学内容分为七部分，对不同的内容提出不同的教学要求。(数字表示供参考的相应的学时数，第一个数为课堂教学时数，第二个数为习题课时数) 第一章基本概念（2，0） （一）本章教学目的与要求： 要求学生正确掌握微分方程，通解，线性与非线性，积分曲线，线素场（方
向场），定解问题等基本概念。本章教学重点解释常微分方程解的几何意义。 （二）教学内容： 1．由实际问题：质点运动即距离与时间关系（牛顿第二运动定律），放射性元素衰变过程，人口总数发展趋势估计等，通过建立数学模型，导出微分方程。 2．基本概念（常微分方程，偏微分方程，阶，线性，非线性，解，定解问题，特解，通解等）。 3．一阶微分方程组的几何定义，线素场（方向场），积分曲线。 4．常微分方程所讨论的基本问题。 第二章初等积分法（4，2） （一）本章教学目的与要求： 要求学生熟练掌握分离变量法，常数变易法，初等变换法，积分因子法等初等解法。 本章教学重点对经典的几类方程介绍基本解法，勾通初等积分法与微积分学基本定理的关系。并通过习题课进行初步解题训练，提高解题技巧。 （二）教学内容： １. 恰当方程（积分因子法）; ２. 分离变量法 ３. 一阶线性微分方程（常数变易法） ４. 初等变换法（齐次方程，伯努利方程，黎卡提方程）
常微分方程的求解与定性分析实验报告 标准化管理处编码[BBX968T-XBB8968-NNJ668-MM9N]
常微分方程的求解与定性分析实验报告 一、实验综述 1、实验目的及要求 归纳和学习求解常微分方程(组)的基本原理和方法； 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析； 熟悉MATLAB软件关于微分方程求解的各种命令； 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程； 通过该实验的学习，使学生掌握微分方程(组)求解方法（解析法、欧拉法、梯度法、改进欧拉法等），对常微分方程的数值解法有一个初步了解，同时学会使用MATLAB 软件求解微分方程的基本命令，学会建立微分方程方面的数学模型。这对于学生深入理解微分、积分的数学概念，掌握数学的分析思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法是十分必要的。 2、实验仪器、设备或软件 电脑、matlab7.0 二、实验过程（实验步骤、记录、数据、分析） 实验内容： 根据实验内容和步骤，完成以下实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论）
1．求微分方程的解析解，并画出它们的图形。 y '= y + 2 x, y (0) = 1, 0< x <1； m=dsolve('Dy=y+2*x','y(0)=1','x') ezplot(m,[0 1]) m = 3*exp(x) - 2*x – 2 1．求微分方程?????====-+] 100[0 )0(;0)0(0 1.03 t u u u u u 的数值解，要求编写求解程序。 function dy=vdp1000(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=-y(1)+0.1*y(1)^3; [T,Y]=ode15s('vdp1000',[0 10],[0 0]); plot(T,Y(:,1),'-') 3．Rossler 微分方程组：
山西师范大学本科毕业论文（设计） 常微分方程的初等解法与求解技巧 姓名张娟 院系数学与计算机科学学院 专业信息与计算科学 班级12510201 学号1251020126 指导教师王晓锋 答辩日期 成绩
常微分方程的初等解法与求解技巧 内容摘要 常微分方程在数学中发挥着举足轻重的作用，同时它的应用在日常生活里随处可见，因此掌握常微分方程的初等解法与求解技巧是非常必要的.本论文主要论述了其发展、初等解法与求解技巧，前者主要有变量分离、积分因子、一阶隐式微分方程的参数表示，通过举例从中总结出其求解技巧，目的是掌握其求解技巧. 【关键词】变量分离一阶隐式微分方程积分因子求解技巧
Elementary Solution and Solving Skills of Ordinary Differential Equation Abstract Ordinary differential equations take up significant position in mathematics, and at the same time, the application of it can be seen everywhere in our daily life, therefore, it’s necessary to grasp the elementary solution of ordinary differential equations and solving skills. This paper mainly introduced the definition of ordinary differential equations, elementary solution method and solving skills, the former mainly included the separation of variables, integral factor, a parameter-order differential equations implicit representation, by way of examples to sum up their solving skills, the purpose is to master the skills to solve. 【Key Words】the separation of variables the first order implicit differential equation integrating factor solution techniques
常微分方程期末复习提要 中央电大 顾静相 常微分方程是广播电视大学本科开放教育数学与应用数学专业的统设必修课程．本课程的主要任务是要使学生掌握常微分方程的基本理论和方法，增强运用数学手段解决实际问题的能力．本课程计划学时为54，3学分，主要讲授初等积分法、基本定理、线性微分方程组、线性微分方程、定性理论简介等内容。本课程的文字教材是由潘家齐教授主编、中央电大出版社出版的主辅合一型教材《常微分方程》．现已编制了28学时的IP 课件供学生在网上学习． 一、复习要求和重点 第一章 初等积分法 1．了解常微分方程、常微分方程的解的概念，掌握常微分方程类型的判别方法． 常微分方程与解的基本概念主要有：常微分方程，方程的阶，线性方程与非线性方程，解，通解，特解，初值问题。 2．了解变量分离方程的类型，熟练掌握变量分离方程解法． （1）显式变量可分离方程为： )()(d d y g x f x y = ； 当0≠g 时，通过积分??+=C x x f y g y d )()(d 求出通解。 （2）微分形式变量可分离方程为： y y N x M x y N x M d )()(d )()(2211=； 当0)()(21≠x M y N 时，通过积分 ??+=C x x M x M y y N y N d ) ()(d )()(2112求出通解。 3．了解齐次方程的类型，熟练掌握齐次方程（即第一类可化为变量可分离的方程）的解法． 第一类可化为变量可分离方程的一阶齐次微分方程为： )(d d x y g x y = ； 令x y u =，代入方程得x u u g x u -=)(d d ，当0)(≠-u u g 时，分离变量并积分，得?=-u u g u x C )(d 1e ，即)(e u C x ?=，用x y u =回代，得通解)(e x y C x ?=. 4．了解一阶线性方程的类型，熟练掌握常数变易法，掌握伯努利方程的解法． （1）一阶线性齐次微分方程为： 0)(d d =+y x p x y 通解为：?=-x x p C y d )(e 。 （2）一阶线性非齐次微分方程为： )()(d d x f y x p x y =+； 用常数变易法可以求出线性非齐次方程的通解：??+?=-]d e )([e d )(d )(x x f C y x x p x x p 。 （3）伯努利方程为：)1,0()()(d d ≠=+n y x f y x p x y n ，
《常微分方程与泛函分析》 课程教学大纲 课程编号：72073 制定单位：统计学院 制定人（执笔人）：徐慧植 审核人：刘庆 制定（或修订）时间：2016年 8 月 31 日 江西财经大学教务处
《微分方程与泛函分析》课程教学大纲 一、课程总述 本课程大纲是以2015年统计学本科专业人才培养方案为依据编制的。 课程名称 微分方程与泛函分析 课程代码 72073 英文名称 Differential equation and functional analysis 课程性质 主干 先修课程 数学分析、高等代数 总学时数 48 周学时数 3 开课学院 统计学院 任课教师 徐慧植 编 写 人 徐慧植 编写时间 2016.08.31 课程负责人 刘庆 大纲主审人 刘庆 使用教材 王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松编，常微分方程，高等教育出版社 教学参考资料 [1]张棣主编，常微分方程，西北大学出版社 [2]叶彦谦编，常微分方程讲义，高等教育出版社 [3]王柔坏，伍卓群编，常微分方程讲义，人民教育出版社 [4]东北师范大学数学系微分方程教研室编，常微分方程，高等教育出版社 课程教学目的 通过该课程的学习,要使学生系统地获得常微分方程的基本知识、基本理论，培养和训练学生运算技能及解决问题的能力；要求学生具有熟练的计算推导能力，逻辑推理能力，空间想象能力及综合运用所学知识分析和解决问题的能力；同时为学习后继课程奠定必要的基础。 课程教学要求 通过该课程的学习,要使学生系统地获得常微分方程的基本知识、 基本理论，掌握一阶、二阶微分方程胡解法及其应用。 本课程的重点和难点 一阶微分方程解的存在定、高阶微分方程、线性微分方程组 课程考试 院考，闭卷，平时成绩20%，期末成绩80%
第四章常微分方程数值解 [课时安排]6学时 [教学课型]理论课 [教学目的和要求] 了解常微分方程初值问题数值解法的一些基本概念，如单步法和多步法，显式和隐式，方法的阶数，整体截断误差和局部截断误差的区别和关系等；掌握一阶常微分方程初值问题的一些常用的数值计算方法，例如欧拉（Euler）方法、改进的欧拉方法、龙贝－库塔（Runge-Kutta）方法、阿达姆斯（Adams）方法等，要注意各方法的特点及有关的理论分析；掌握构造常微分方程数值解的数值积分的构造方法和泰勒展开的构造方法的基本思想，并能具体应用它们导出一些常用的数值计算公式及评估截断误差；熟练掌握龙格－库塔（Ｒ－Ｋ）方法的基本思想，公式的推导，Ｒ－Ｋ公式中系数的确定，特别是能应用“标准四阶Ｒ－Ｋ公式”解题；掌握数值方法的收敛性和稳定性的概念，并能确定给定方法的绝对稳定性区域。 [教学重点与难点] 重点：欧拉方法，改进的欧拉方法，龙贝－库塔方法。 难点：R—K方法，预估-校正公式。 [教学内容与过程] 4.1 引言 本章讨论常微分方程初值问题 (4.1.1) 的数值解法，这也是科学与工程计算经常遇到的问题，由于只有很特殊的方程能用解析方法求解，而用计算机求解常微分方程的初值问题都要采用数值方法.通常我们假定(4.1.1)中 f(x,y)对y满足Lipschitz条件，即存在常数L＞0，使对，有 (4.1.2) 则初值问题(4.1.1)的解存在唯一. 假定(4.1.1)的精确解为，求它的数值解就是要在区间上的一组离散点 上求的近似.通常取 ，h称为步长，求(4.1.1)的数值解是按节点的顺序逐步
推进求得.首先，要对方程做离散逼近，求出数值解的公式，再研究公式的局部截断误差，计算稳定性以及数值解的收敛性与整体误差等问题. 4.2 简单的单步法及基本概念 4.2.1 Euler法、后退Euler法与梯形法 求初值问题(4.1.1)的一种最简单方法是将节点的导数用差商 代替，于是(4.1.1)的方程可近似写成 (4.2.1) 从出发，由(4.2.1)求得再将 代入(4.2.1)右端，得到的近似，一般写成 (4.2.2) 称为解初值问题的Euler法. Euler法的几何意义如图4-1所示.初值问题(4.1.1)的解曲线y=y(x)过点，从出发，以为斜率作一段直线，与直线交点于，显然有 ，再从出发，以为斜率作直线推进到上一点，其余类推，这样得到解曲线的一条近似曲线，它就是折线.
常微分方程课程教学大纲 英文名称：Ordinary differential equation 课程类型：专业基础课 理论学时：64实验学时：0 学分： 4 开课学期：第3学期 适用对象：数学与应用数学专业本科生考核方式：考试 先修课程：数学分析、高等代数与解析几何 一、课程简介 常微分方程是数学系本科生的必修课.通过本课程的学习，利用数学分析、高等代数的一些工具，牢固掌握微分方程学科最基本的内容，如一阶常微分方程、高阶微分方程与线性微分方程组的基本理论与解法，初步掌握其在实际问题中的应用及微分方程定性和稳定性理论的基本概念和重要结果，一般了解一阶线性偏微分方程. 二、课程教学目标 本门课程的主要任务是：通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力；使学生掌握常微分方程的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础. 三、教学内容及要求 第一章绪论 主要内容： 1、常微分方程基本概念; 2、导出微分方程的实例; 3、微分方程的几何意义。
基本要求和教学重点： 1、了解常微分方程的基本概念； 2、领会常微分方程所讨论问题的基本内容； 3、了解常微分方程的实际背景及应用。 第二章初等积分法 主要内容： 1、变量分离方程； 2、齐次方程； 3、一阶线性方程与常数变易法； 4、全微分方程与积分因子； 5、一阶隐式微分方程。 基本要求和教学重点： 1、熟练地掌握一阶方程各种类型的初等解法. 2、学会根据所给方程的特点，引进适当的变换，增强解题能力； 3、能够合理的处理某些一阶微分方程的求解问题。 第三章一阶微分方程的解的存在定理主要内容： 1、解的存在性与唯一性定理 2、解的延拓 3、解对初值和参数的连续依赖性 4、解对初值和参数的可微性 基本要求和教学重点： 1、熟悉和理解定理证明方法； 2、掌握逐步逼近法。
《常微分方程》读书笔记 数学与应用数学（师范）2班 李霞 200902114078 本课程作为一门的专业课程，综合性强、内容多、难度大，学者在学习过程中应注意，学习前，应仔细阅读课程大纲，熟悉课程的基本要求，使以后的学习紧紧围绕课程的基本要求。在阅读某一章教材内容前，应先认真阅读大纲中该章的考核知识点，注意对各知识点的能力层次要求，认真学习各章节例题，熟悉各种类型习题解法。学完教材的每一章节内容后，应完成教材的习题，进一步理解和巩固所学的知识，增强解题能力。在学习常微分方程时，还需要掌握高等代数，近世代数，数学分析，线性代数，数值积分等基础知识。 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。 一、一阶微分方程的初等解法 1.1 变量可分离的微分方程 形如 ()()dy f x y dx ?=的方程，称为变量分离方程，() f x ，()y ?分别是x ，y 的 连续函数.这是一类最简单的一阶函数．如果()0y ?≠，我们可将(1)改写成 ()()dy f x dx y ?=，这样变量就分离开来了.两边积分，得到()() dy f x dx c y ?= +? ? ， c 为任意常数．由该式所确定的函数关系式(,)y y x c =就是常微分方程的解． 例1：求解 2dy xy dx =的通解。 解： 12dy xdx y =→12dy xdx y = ??→2 1ln y x c =+→通解：2 2 1 x c x y e ce +=±= 1.2 齐次型微分方程 （变量代换的思想） 一阶微分方程可以化成 dy y f dx x ?? = ??? 的形式。 求解： dy y f dx x ?? = ??? y u x = → y ux =，