十二、《计数原理》变式题（命题人：广州市第三中学刘窗洲）
审校人张志红
1．（人教A版选修2-3第22页例4）
用0 到9 这10 个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
变式1：由1，4，5，x可组成没有重复数字的四位数，若所有这些四位数的各位数字之和为288，则x＝．
【解析】：（1+4+5+x）4
4
A=288，解得10+x=12．
【答案】：x=2．
变式2：在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（）
（A）56个（B）57个（C）58个（D）60个
【解答】解法一：（直接法）
当首位排2，次位排3时，有A3
3-1种；次位排4、5时有2 A3
3
种，共计17种；
当首位排3，A4
4
种，共计24种；
当首位排4，次位排3时，有A3
3-1种；次位排1、2时有2 A3
3
种，共计17种；
以上总计17+24+17=58种。
解法二：（间接法）
不作限定时有5
5
A=120种；
当首位排1或5时，各有A4
4
种，共计48种不满足要求；
当首位排2，次位排1时，有A3
3
种；而次位排3时有1种，共计7种不满足要求；
当首位排4，次位排5时，有A3
3
种；而次位排3时有1种，共计7种不满足要求；因此共有120-48-7-7=58种排法，即58个数．
变式3：给定数字0、1、2、3、5、9每个数字最多用一次
（1）可能组成多少个四位数？
（2）可能组成多少个四位奇数？
（3）可能组成多少个四位偶数？
（4）可能组成多少个自然数？
【分析】：注意0不能放在首位，还要注意个位数字，方法多种多样，利用特殊优先法，即特殊的元素，特殊的位置优先考虑．
【解答】（1）解法一：从“位置”考虑，由于0不能放在首位，因此首位数字只能有15A 种取法，其余3个数位可以从余下的5个数字（包括0）中任取3个排列，所以可以组成3003515=A A 个四
位数；
解法二：从“元素”考虑，组成的四位数可以按有无数字0分成两类，有数字0的有3513A A 个，无数字0的有45A 个，所以共组成3513A A +45A =300个四位数；
解法三：“排除法”从6个元素中取4个元素的所有排列中，减去0在首位上的排列数即为所求，
所以共有300351146=-A A A 个四位数；
（2）从“位置”考虑，个位数字必须是奇数有14A 种排法，由于0不能放在首位，因此首位数字只能有14A 种取法，其余两个数位的排法有24A ，所以共有192241414=A A A 个四位奇数；
（3）解法一：由（1）（2）知共有300-192=108个四位偶数；
解法二：从“位置”考虑，按个位数字是否为0分成两种情况，0在个位时，有3511A A 个四位偶数；2在个位时，有2
41
41
1A A A 个四位偶数，所以共有3511A A +2
41
41
1A A A =108个四位偶数； （4）一位数：有16A =6个； 两位数：有1515A A =25个； 三位数：有2515A A =100个； 四位数：有3515A A =300个； 五位数：有4515A A =600个； 六位数：有5515A A =600个；
所以共有6+25+100+300+600+600=1631个自然数．
【点评】解有条件限制的排列问题思路：①正确选择原理；②处理好特殊元素和特殊位置，先让特殊元素占位，或特殊位置选元素；③再考虑其余元素或其余位置；④数字的排列问题，0不能排在首位．
2．（人教A 版选修2-3第29页例4）
在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品，从这 100 件产品中任意抽出 3 件。 （1）有多少种不同的抽法 ？
（2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种 ？ （3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种 ？
变式1：某人手中有５张扑克牌，其中２张为不同花色的２，３张为不同花色的Ａ，有５次出牌
机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法？
【分析】：分类讨论，由于情况太多，要做到不重不漏． 【解答】出牌的方法可分为以下几类：
（1）5张牌全部分开出，有5
5A 种方法；
（2）2张2一起出，3张A 一起出，有25A 种方法； （3）2张2一起出，3张A 分开出，有45A 种方法； （4）2张2一起出，3张A 分两次出，有3523A C 种方法； （5）2张2分开出，3张A 一起出，有35A 种方法； （6）2张2分开出，3张A 分两次出，有4523A C 种方法；
因此，共有不同的出牌方法8604
523353523452555=+++++A C A A C A A A 种．
【点评】分类讨论一直是高中的难点，但更是高考的热点内容之一，所以同学们不能回避，应加强训练．
变式2：将7个小球任意放入四个不同的盒子中，每个盒子都不空， （1）若7个小球相同，共有多少种不同的放法？ （2）若7个小球互不相同，共有多少种不同的放法？ 【解析】：（1）解法1：∵7=1+1+1+4=1+1+2+3=1+2+2+2， ∴分三类，共有分法
解法2（隔板法）：将7个小球排成一排，插入3块隔板，
故共有分法 ).
(201
42414种=++C A C ).
(203
6种=C
（2）∵7=1+1+1+4=1+1+2+3=1+2+2+2，
∴共有分法.65101
123252711122435274447=++C C C C C C A C C A C
变式3：一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，
（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的
取法有多少种？
【解析】：（1）将取出4个球分成三类情况1）取4个红球，没有白球，有44C 种 2）取3个红球
1个白球，有1634C C 种；3）取2个红球2个白球，有,2624C C 种
符合题意的取法种数有或或则个白球个红球设取种
1861
42332)60(72)40(5,,)2(1151
644263436242624163444=++∴??
?==???==???==∴??
?≤≤≥+≤≤=+=++∴C C C C C C y x y x y x y y x x y x y x C C C C C
3．（人教A 版选修2-3第36页例2）
（1）求 7
(12)x + 的展开式的第 4 项的系数 ；
（2）求 9
1()x x
- 的展开式中 3
x 的系数 ？
变式1：在二项式n
x x ???? ?
?-3
321的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列． （１）求展开式的第四项； （２）求展开式的常数项； （３）求展开式的各项系数的和．
【分析】：本题旨在训练二项式定理通项公式的运用．
【解答】第一项系数的绝对值为0
n
C ，第二项系数的绝对值为21
n C ，第三项系数的绝对值为4
2
n C ，
依题意有0n
C +42n C =
22
1
?n
C ，解得n=8， （１）第四项()
32
3
3
5
338
44
721-
-=???
? ??-=x x x C T ；
（２）通项公式为()
()
8
23
883
83812121---+?
?
? ??-=?
??
? ??-=r r
r r
r
r r x C x x C T ，展开式的常数项有
2r-8=0，即r=4，
常数项为835214
4
8
5=??
?
??-=C T ；
（３）令x=1，得展开式的各项系数的和25612121188
==??
?
??-．
【点评】本题旨在训练二项式定理通项公式的运用，但要注意通项为1+r T 而不是r T ，这是同学们
最容易出错的地方．
变式2：设()443322104
13x a x a x a x a a x ++++=-．
（１）求43210a a a a a ++++； （２）求420a a a ++； （３）求31a a +；
（４）求4321a a a a +++； （5）求各项二项式系数的和．
【分析】：本题旨在训练二项展开式各项的系数与二项式系数． 【解答】（１）令x=1得()16134
43210=-=++++a a a a a ；
（２）令x=-1得()256134
43210=--=+-+-a a a a a ，
而由（1）知：()16134
43210=-=++++a a a a a ，
两式相加得136420=++a a a ；
（３）将（2）中的两式相减得12031-=+a a ；
（４）令x=0得()1104
0=-=a ，得=+++4321a a a a 43210a a a a a ++++-0a =16-1=15；
（5）各项二项式系数的和为16244
434241404==++++C C C C C ．
【点评】①要注意二项展开式各项的系数与二项式系数是不同的两个概念；②系数和与二项式系数和不一定相同，本题的（1）与（5）结果相同纯属巧合；③注意求系数和上述是最一般的方法，一定要理解．
变式3：二项展开式15
3
1????
?
?+x x 中，有理项的项数是（ ）
【解析】：()
6
5451531515
11r r r
r
r
r x C x x C
T --+?=???
? ???=（r = 0，1，2，…，14 ），
当r = 3，9，15时，为有理项． 【答案】：A
变式4： 若()
100100332210100
32x a x a x a x a a x
+++++=- ，
求()()2
995312
100420a a a a a a a a ++++-++++ 的值． 【解析】：令x=1得()()
100
1004321032-
=++++++a a a a a a ， 令x=-1得()()
100
100995432103
2+=+-+-+-+-a a a a a a a a
()()2995312100420a a a a a a a a ++++-++++
=()()1009954321010043210a a a a a a a a a a a a a a +-+-+-+-++++++ =()100
32-()
100
32+
=1 【答案】：1
【有关高中数学教学的】高中数学经典大题150道 学习活动对学生来说本身就具有重要的意义，但是由于个体间的差异和教学时间紧迫等客观因素决定了在数学课堂上教师不可能兼顾到每一个学生的实际情况. 第一篇：民族地区的高中数学教学 1. 当前高中数学教学的问题和分析 ①不注重知识的循序渐进:从初中到高中的知识跨越是一个循序渐进的过程，一定要做到让学生吸收。 而现在的教师为了让学生掌握的更多，没节制的拓宽知识面，不断地补充一些公式或者特殊的解题方法，这些在高中生的高三复习阶段屡见不鲜，导致学生的负担过重不能更好的发挥。 ②因材施教没有落到实处:一些高中教师教学过程中分层教学把握不到位，教法单一。 只讲”范式”，不讲”变式”，只要求记结论、套题型，多数学生浅尝辄止，不求甚解。 学生学习毫无兴致，导致两级分化严重。 2. 教学新思路探索 2.1注重生源状况研究，实施因材施教依据少数民族地区生源质量较差的实际情况，
教师需要对其因材施教。 结合班级里学生能力参差不齐的实际，传统的一些僵化教法根本无法适应当前新课程改革的要求，无法推进后进生的转化。 教师需要根据生源状况，将其分为差、中、好三个档次，对后进生在知识方面进行详细的了解，设计问题的过程中可以梯度小一点，采取”小步子、慢速度”的原则。 2.2掌握新课改新课程的基本理念在新课改下，高中数学旨在构建学生发展和学习的良好基础，激励学生学习的积极主动性;促进学生的全面发展，注重学生数学思维的形成，把信息技术和课程化作一体，建立适应学生个性发展的学习体系。 这一切都要求教师提高自身的综合素质，在教学中探索更好的教学方法，实现从知识的传授到学生能力的培养的跨越。 2.3注重知识传授的循序渐进以及改进方法新课改高中数学教学的关键就是循序渐进，只有完成这个环节，才能顺利的开展教学。 有的老师眼中只有成绩，一味赶进度，形成”填鸭式”的教学模式。 但事实上这样会适得其反，数学学科肩负着学生运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力的培养。 它的特点就是很抽象，对能力的要求很高。 所以如果不遵从循序渐进的原则，那么必然会形成很多学生的掉队，不仅会影响学生的兴趣，更重要的是还会影响其成绩。 所以高中数学教学方法一定要活，因材施教，要具有针对性。 教师要真正成为学生的引导和合作者。 考虑学生的自身状况以及学习需要，辅以多媒体教学，培养学生的积极性和兴趣，做到学生不仅能够掌握现有概念和技能，还能独立思考学习，要充分鼓励学生自主探索。
人教版普通高中课程标准实验教科书数学 必修一 第一章集合与函数概念 1．1集合 1．2函数及其表示 1．3函数的基本性质 第二章基本初等函数（Ⅰ） 2．1指数函数 2．2对数函数 2．3幂函数 第三章函数的应用 3．1函数与方程 3．2函数模型及其应用 必修二 第一章空间几何体 1．1空间几何体的结构 1．2空间几何体的三视图和直观图 1．3空间几何体的表面积与体积 第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1空间点、直线、平面之间的位置关系 2．2直线、平面平行的判定及其性质 2．3直线、平面垂直的判定及其性质 第三章直线与方程 3．1直线的倾斜角与斜率 3．2直线的方程 3．3直线的交点坐标与距离公式 必修三： 第一章算法初步 1．1算法与程序框图 1．2基本算法语句 1．3算法案例 第二章统计 2．1随机抽样 阅读与思考一个著名的案例 阅读与思考广告中数据的可靠性 阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应 2．2用样本估计总体 阅读与思考生产过程中的质量控制图 2．3变量间的相关关系 阅读与思考相关关系的强与弱 第三章概率 3．1随机事件的概率 阅读与思考天气变化的认识过程3．2古典概型 3．3几何概型 阅读与思考概率与密码 必修四： 第一章三角函数 1．1任意角和弧度制 1．2任意角的三角函数 1．3三角函数的诱导公式 1．4三角函数的图象与性质 1．5函数y=Asin（ωx+ψ） 1．6三角函数模型的简单应用 第二章平面向量 2．1平面向量的实际背景及基本概念 2．2平面向量的线性运算 2．3平面向量的基本定理及坐标表示 2．4平面向量的数量积 2．5平面向量应用举例 第三章三角恒等变换
绝密★启用前 2019年09月01日xx 学校高中数学试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1.已知集合}{}|10,0,1,2A x x B =-≥=,则A B ?= ( ) A. {}0 B. {}1 C. {}1,2 D. {}0,1,2 2.( )()12i i +-= ( ) A. 3i -- B. 3i -+ C. 3i - D. 3i + 3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构建的突出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头,若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ) A. B.
C. D. 4.若1 3 sin α= ,则cos2α= ( ) A. 89 B. 79 C. 79- D. 89 - 5.若某群体中的成员只用只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为( ) A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 6.函数2 tan ()1tan x f x x = +的最小正周期为( ) A. 4π B. 2π C. π D. 2π 7.下列函数中,其图像y lnx =与函数的图像关于直线1x =对称的是( ) A. ()1y ln x =- B. ()2y ln x =- C. ()1y ln x =+ D. ()2y ln x =+ 8.直线20x y ++=分别与x 轴, y 轴交于,A B 两点,点p 在圆2 2 (2)2x y -+=上.则ABP ?面积的取值范围是( ) A. []2,6 B. []4,8 C. D. ?? 9.函数42 2y x x =-++的图像大致为( )
五、不等式（命题人：仲元中学 邹传庆） 1（人教A 版82页例1） 已知0,0<>>c b a ，求证：b c a c >. 变式1：（1）如果0,0a b <>，那么，下列不等式中正确的是（ ） A.11a b < B C.22a b < D.||||a b > 解：选A 设计意图：不等式基本性质的熟练应用 变式2：设a ，b ，c ，d ∈R ，且a >b ，c >d ，则下列结论中正确的是（ ） A .a +c >b +d B .a －c >b －d C .ac >bd D.c b d a > 解：选A 设计意图：不等式基本性质的熟练应用 2（人教A 版89页习题3.2A 组第3题） 若关于x 的一元二次方程0)1(2 =-+-m x m x 有两个不相等的实数根，求m 的取值范围. 变式1：解关于x 的不等式()[]()(0113R m x x m ∈>+-+ 解：下面对参数m 进行分类讨论： ①当m=3-时，原不等式为 –(x+1)>0，∴不等式的解为1-
综上述，原不等式的解集情况为： ①当4-
变化一：课程结构 修订的课标中课程分为选修课程、选择性必修课程以及必修课程。这三种课程非常明确： 1.选修课程：是为学生确定发展方向提供引导，为学生发展数学兴趣提供选择，为大学自主招生提供参考。如果学生要参加大学的自主招生，则必须根据自主招生学校要求选择其中的内容进行学习。 2.选择性必修课程：是为学生提供选择的课程，也是高考的内容要求。如果学生要参加高考就必须学习必修和选择性必修课程； 3.必修课程：为学生的发展提供共同基础，是高中毕业的数学学生水平考试内容，当然也是高考内容。如果学生只想高中毕业，那么学习必修课程就够了； 变化二：课程内容 1.必修和选修内容的调整：常用逻辑用语、复数由原来的选修内容调整为现在的必修内容；数列、变量的相关性、直线线与方程、圆与方程由原来的必修内容调整为现在的必选修内容； 2.内容的删减与增加：删去了必修三算法初步、选修2-2推理与证明以及框图（文科）这三章内容，删去了简单的线性规划问题、三视图；“解三角形”由原来单独的一章内容合并到“平面向量”这一章里了。必修和必选修均增加了数学建模与数学探究活动。 3.具体各章节内容的细微变化 ⑴必修课程
主题一：预备知识 预备知识包括了四个单元的内容：集合，常用逻辑用语，相等关系与不等关系，从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式。 这四单元内容常用逻辑用语与相等关系和不等关系有变化外，其他内容与实验版课标内容基本一样。 变化的地方： ①删减了命题及其关系——原命题、逆命题、否命题、逆否命题； ②删减了简单的逻辑连结词“或”、“且”、“非”； 增加了必要条件与性质定理的关系，充分条件与判定定理的关系以及充要条件与定义的关系。 ③删去了简单的线性规划问题 主题二：函数 函数内容包括四个单元：函数的概念与性质，幂函数、指数函数、对数函数，三角函数，函数应用。 这些内容与实验版课标基本一致，仅有一些细微的变化： ①在函数的概念的内容中删去了映射； ②在三角函数里删去了三角函数线（正弦线、余弦线、正切线） 主题三：几何与代数 几何与代数内容包括：平面向量及其应用、复数、立体几何初步。 这三章内容与实验版课标要求大致一样，有变化的是： ①将原来单独的一章内容“解三角形”融入进“平面向量”这一章内；
多角度、多层次的变式教学 ——《高中数学变式教学的研究》开题报告 黄坪 数学变式教学已经成为中国数学教师课堂教学的一种有意识的行为。在每一节数学课里，老师从课题引入到数学概念的表述，再到概念的应用，老师设计了与课题相关的变式教学链，虽然课堂变式教学的环节不一定做到丝丝入扣，但围绕一个新的知识或重要的知识所展开的变式训练，其目的是为了促进对本节课教学内容的理解和掌握。 从问题解决的角度来看变式教学，就是变化不同问题的类型，不断变更问题的情境或改变思维的角度，在保持事物的本质特征不变的情况之下，不断地迁移事物的非本质属性。数学变式教学，就是指在数学教学过程中对概念、性质、定理、公式，以及问题进行不同角度（情形、背景、设问方式等）不同层次（横向联系、纵向引深等）的变式，以暴露问题的本质特征，揭示不同知识点间的内在联系并不断提升数学思维品质的一种教学设计方法。通过变式教学，一题多用，多题归类，唤起学生的好奇心和求知欲，从而保持学生主动参与教学过程的兴趣和热情，提高学生举一反三解决数学问题的能力。 一、从两大方面来看变式教学的必要性 1．从学习的认知心理方面 （1）概念性的理解需要进行知识的变式——多角度的变式 数学学习离不开对概念的掌握，数学中的概念很多，学生初次接触一个新的概念，总是寻找和原先知识经验里相一致的东西，这在学习建构主义的理论上叫做知识的“同化”；如果当所学的新知识（概念）和原先的知识不一致的时候，学生就打开一个新的知识窗口接受它，这叫知识的“顺应”。概念的顺应过程是学生学习中最为艰苦的过程，变式教学要为学生的知识顺应做好铺垫性的准备，让学生准确地理解和掌握新知识的概念，使学生有一个先入为主的知识正迁移。 如，均值不等式教学的概念性变式： ①均值不等式的引入： 右图,由正方形的面积不小于四个全等的直角三角形的面积， 得到：222a b ab +≥； 又由中间的一个小正方形的面积，得到：2 ()0a b -≥。 将上式中0,0a b >>推广到,a R b R ∈∈，不等式仍成立。 ②均值不等式的得出： 将基本不等式222a b ab +≥特殊化，得到： 当0,0a b >> 时，a b +≥，即2 a b +≥，当且仅当a b =时等号成立。 ③均值不等式的几何解释： 图中半圆中所有半径就是算术平均数，CD 就是几何平均数。 几何平均数的构作。
高中数学 一道教材上的例题的变式和应用 教材第107页例5为：,OA OB 不共线，,AP t AB t R =∈，用,OA OB 表示OP ，它的结论是(1)OP t OA tOB =-+．此题等价于“,OA OB 不共线，若,,P A B 三点共线，则OP OA OB αβ=+且1αβ+=”． 解 () (1)AP t AB OP OA AP OA t AB OA t OB OA t OA tOB =∴=+=+=+-=-+ 说明：该例题是个重要题型，它的相关结论和变式很多：如当t=12时，1()2 OP OA OB =+,此时点P 为AB 的中点，此式称为△ABC 的中线公式（向量式） 下面给出它的几种变式和应用： 变式１：,OA OB 不共线，点P 在O 、A 、B 所在平面内，且(1)() OP t OA tOB t R =-+∈求证：A 、B 、P 三点共线。 证明： (1)()A B P OP t OA tOB OA t OB OA OA t AB AP OP OA t AB AP AB =-+=+-=+∴=-=∴与共线 、、三点共线 变式２：,OA OB 不共线，点P 在直线AB 上，求证：存在实数λ、μ，使得OP OA OB λμ=+，且λ＋μ＝１。 证明：∵点P 在直线AB 上，AP AB ∴与共线 ∴存在实数ｔ，使得AP t AB =，则() (1)OP OA AP OA t AB OA t OB OA t OA tOB +=+=+-=-+＝ 令λ＝１－ｔ，μ＝ｔ，则使得OP OA OB λμ=+，且λ＋μ＝１。 变式３：求证：平面内不共线的三向量OA ，OB ，OC 的终点A 、B 、C 共线的充要 P B
浅析高中数学人教A版教材的优劣 数学组朱国民 我们市十五中通过对数学新教材的教学，详细地分析高中数学新教材的内容，对其优点和课程上的不足分析如下： 高中数学教材历来在编排上重视学科的科学性和系统性,文字表达严谨、准确,比较重视基础知识的讲授和基本技能的训练,但也存在内容跨度大,结构不合理,应用重视不够等方面的不足。 一、新教材与旧教材相比有如下优点: 1、教学新思想 新教材提高了数学知识的趣味性,启发性,能够很好地体现学生为主体的教学新思想 与旧教材相比较：旧教材对学生学习规律研究得不够,缺少启发性和趣味性,有些学生把教材当成查找公式的工具书。而新教材则加入了一些插图和与实际生活密切相关的实例,文字叙述通俗易懂,知识的剖析由浅入深,循序渐进,习题的设计层次分明,灵活多样,同时删减了部分复杂公式的推导和记忆,如同角三角函数关系式只给出了最基本的三个公式,柱体、台体、锥体的体积公式只给出了结果,而对蕴含了“微积分,极限”等数学思想的球面积及体积公式给出了详细推导过程, 这大大地提高了学生主动学习的积极性。 2、教学新意识 新教材强调理论联系实际,注重培养学生用数学的意识。 新教材的正文一般都注意概念从实际引入,问题从实际提出。例题,习题多增加联系实际的背景。如数列中联系经济生活中的储蓄,函数中联系增长率的变化,直线和圆的方程中增加线性规划初步知识,圆锥曲线联系行星卫星运行轨道等。
二、新教材相比有如下不足： 1、内容跨度加大 新教材中，数学的应用比以前重视了许多，但跨度似乎大了一些，与学生的实际情况有距离，比如高一（下）按知识体系就要上必修4、5、2共3本书，而且还要调整在上必修5线性规划前先讲必修2的直线的方程；高一（上）讲必修1集合的运算前要进行初高中衔接，补充讲解一次、二次不等式，这部分内容又在必修5。另外，应用题或者数学建模题很大部分需要用到计算机或者计算器才能完成．在实施过程中不好操作。 2、教学进度难以把握 在新课程的实验中，很多教师都感觉到新教材知识点多、内容广，教学进度不好把握，新增的一些知识对教师提出了更大的挑战。通过我们的教学实践体会到新教材教学进度太快，学生对所学知识学不牢，新教材的知识体系不强，不如原来的老教材的知识体系。 总之，我们认为如果将新教材的理念溶入到老教材知识体系中编写出来的导学案就能结合二者的优点，扬长避短，更有利教学，我们现在就是按照这种思路编写十五中导学案进行教学的。
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/e2373516.html, 高中数学函数概念的变式教学方法研究 作者：范粤 来源：《教育界·上旬》2018年第11期 【摘要】高中数学对于学生而言是难度十分高的一门学科，相较于初中数学具有更加抽象的数学理念、数学定理，使高中阶段的学生学习经过与理解行为变得更加烦琐。因此，文章根据高中数学函数概念的变式教学方法展开了一系列的分析和论述。 【关键词】高中数学；函数概念；变式教学 一、引言 函数在高中数学课程中起到贯穿知识点的作用，是高中数学课程中一个非常重要的组成部分。函数的概念比较抽象，所以教师在教学过程中经常运用丰富的实际例子和一些易懂的变式进行教学，帮助学生对抽象函数思想进行理解，以便学生运用抽象的函数思想解决实际函数问题，让学生的理解能力和解决问题能力得到提高。在函数的教学中，教师和学生都要注重对函数概念的认识，加强对三种基本函数模式的应用。 二、变式教学及其在函数教学中的作用 首先，我们要了解一下函数概念的发展历史。每一个数学上的突破，都需要经历一个漫长的过程和很多数学家的努力。“函数”一词最早在1673年由德国数学家莱布尼茨在进行自变量数学研究时提出的，之后，函数概念就开始被很多数学家使用。函数概念从形成到应用经历了三个阶段。 （一）变量说 “变量说”有一个经典的函数符号，即，其含义是，函数是一个由变量与一些常数以任何一种方式组成的解析表达式。 （二）对应说 “对应说”是针对函数式中取值取值的对应关系，就是有不同的取值，那么就会有一个与之对应的值，称为是的函数。 （三）关系说 “关系说”是在19世纪末期被数学家提出的，它把函数的定义域和值域均突破了以往数集的限制，扩展到任意集合。在现代函数的数学教学中，把现代函数的“函数观”以集合的形式展
2018年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 一、选择题：本题共12分，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，， ，，则A B =I （ ） A ．{}02， B ．{}12， C ．{}0 D ．{}21012--，，，， 2．设121i z i i -=++，则z =（ ） A. 0 B. 12 C. 1 D. 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番. 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 则下列结论中不正确的是（ ） A. 新农村建设后，种植收入减少 B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．已知椭圆C ：22214 x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为（ ） A ．13 B ．12 C D 5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ） A ． B ．12π C ． D ．10π 6．设函数()()321f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为（ ） A. 2y x =- B. y x =- C. 2y x = D. y x =
7．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u r （ ） A ．3144A B A C -u u u r u u u r B ．1344AB AC -u u u r u u u r C ．3144AB AC +u u u r u u u r D ．1344 AB AC +u u u r u u u r 8．已知函数()22 2cos sin 2f x x x =-+，则（ ） A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3 B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4 C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3 D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在 正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此 圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ） A ．217 B. 25 C ．3 D ．2 10．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30?，则该长方体的体积为（ ） A ．8 B ．62 C ．82 D ．83 11．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ， ，()2B b ，，且2cos 23 α=，则a b -=（ ） A ．15 B ．5 C ．25 D ．1 12．设函数()2,01,0x x f x x -?≤=?>? ，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ） A ．(]1-∞-， B ．()0+∞， C ．()10-， D ．()0-∞， 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________． 14．若,x y 满足约束条件220100x y x y y --≤??-+≥??≤? ，则32z x y =+的最大值为________． 15．直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________． 16．△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=， 则△ABC 的面积为________．
高考数学复习复数变式题（命题人：广大附中 王映） 1.选修1-2第62页例、选修2-2第116页例1： 1(1)m m m i ++-实数取什么值时复数z=是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？ 变式1：若复数sin 2(1cos 2)z a i a =--是纯虚数,则a = . sin 2021,1cos 20222k k k z k ααπαππααπ =??∴+∈??-≠≠??＝解：依题意得即＝ 变式2：使复数为实数的充分而不必要条件是 ( ) A ．z z -= B ．z z = C ．2z 为实数 D ．z z -+为实数 ∴解：要明确题目要求的充分不必要条件即要找出若“复数为实数”则不能推出的选项选B 变式3：若有,,R R X +-分别表示正实数集,负实数集,纯虚数集,则集合}{2m m X ∈=( ). A ．R + B ．R - C ．R R +- D ．{}0R + 222(0),)0m m bi b m bi b B =≠=-<∴解：若为纯虚数，设则＝(选 2.选修1-2第65页习题A 组第5题、选修2-2第119页A 组习题第5题： 实数m 取什么值时，复平面内表示复数22 (815)(514)z m m m m i =-++--的点 （1）位于第四象限？ （2）位于第一、二象限？ （3）位于直线上 变式1：复数ｚ＝（ａ2－2ａ）＋（ａ2－ａ－2）ｉ对应的点在虚轴上，则（C ） A.ａ≠2或ａ≠1 B.ａ≠2且ａ≠1 C.ａ＝2或ａ＝0 D.ａ＝0 200 2. a a a -=∴==2解：新课标教材上定义虚轴上的点表示纯虚数和原点,所以要求虚部为0即可. 即a 或 变式2：已知复数12z i =+，21z i =-，则在12z z z =?复平面上对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 123z z z i z ==-∴ 解：复数表示的点在第四象限.选D. 变式3：如果35a <<,复数22 (815)(514)z a a a a i =-++--在复平面上的 对应点z 在 象限.
高中数学教材变式题汇总：平面向量 一、平面向量的实际背景与基本概念 1．（人教版P85例2） 如图1，设O 是正六边形的中心，分别写出 图中与OA u u u r 、OB uuu r 、OC u u u r 相等的向量。 变式1： 如图1，设O 是正六边形的中心，分别写出 图中与OD u u u r 、DC u u u r 共线的向量。 变式2： 如图2，设O 是正六边形的中心，分别写出 图中与DA u u u r 的模相等的向量以及方向相同的向量。 二、平面向量的线性运算 2.（人教版第96页例4） 如图，在平行四边形ABCD 中，AB =u u u r a ，AD =u u u r b ， 你能用a ，b 表示向量 AC u u u r ，DB u u u r 吗？ 变式1：如图，在五边形ABCDE 中， AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，CD =u u u r c ，EA =u u u r d ， 试用a ，b ， c ， d 表示向量CE u u u r 和DE u u u r . 解：CE BE CB BA AE CB =+=++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ( a + b + d ) ()DE EA AB BC CD =-+++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ( d + a + b +c ) 变式2：如图，在平行四边形ABCD 中，若，OA =u u u r a ，OB =u u u r b 则下列各表述是正确的为（ ） A ．OA O B AB +=u u u r u u u r u u u r B ．O C O D AB +=u u u r u u u r u u u r C ．CD =-u u u r a + b D ．BC =-u u u r (a + b ) 正确答案：选D 变式3：已知OA =a ，OB =b, OC =c ,OD =d , 且四边形ABCD 为平行四边形，则（ ） A. a +b +c +d =0 B. a －b +c －d =0 D C A B D E C A B D C O A B B A C O F D E 图1 B A C O F D E 图2
高中数学（B版）必修一 第一章集合 1．1 集合与集合的表示方法1．2 集合之间的关系与运算第二章函数 2．1 函数2．2 一次函数和二次函数 2．3 函数的应用（Ⅰ）2．4 函数与方程 第三章基本初等函数（Ⅰ） 3．1 指数与指数函数3．2 对数与对数函数 3．3 幂函数 3．4 函数的应用（Ⅱ） 高中数学（B版）必修二 第一章立体几何初步 1．1 空间几何体1．2 点、线、面之间的位置关系 第二章平面解析几何初步 2．1 平面真角坐标系中的基本公式2．2 直线方程 2．3 圆的方程 2．4 空间直角坐标系 高中数学（B版）必修三 第一章算法初步 1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句 1．3 中国古代数学中的算法案例 第二章统计 2．1 随机抽样2．2 用样本估计总体2．3 变量的相关性 第三章概率 3．1 随机现象3．2 古典概型 3．3 随机数的含义与应用3．4 概率的应用 高中数学（B版）必修四 第一章基本初等函(Ⅱ) 1．1 任意角的概念与弧度制1．2 任意角的三角函数 1．3 三角函数的图象与性质 第二章平面向量 2．1 向量的线性运算 2．2 向量的分解与向量的坐标运算2．3 平面向量的数量积2．4 向量的应用
第三章三角恒等变换 3．1 和角公式3．2 倍角公式和半角公式 3．3 三角函数的积化和差与和差化积 高中数学（B版）必修五 第一章解直角三角形 1．1 正弦定理和余弦定理1．2 应用举例 第二章数列 2．1 数列2．2 等差数列2．3 等比数列 第三章不等式 3．1 不等关系与不等式 3．2 均值不等式 3．3 一元二次不等式及其解法3．4 不等式的实际应用3．5 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题 高中数学（B版）选修1－1 第一章常用逻辑用语 1．1 命题与量词1．2 基本逻辑联结词 1．3 充分条件、必要条件与命题的四种形式 第二章圆锥曲线与方程 2．1 椭圆2．2 双曲线 第三章导数及其应用 3．1 导数3．2 导数的运算3．3 导数的应用 高中数学（B版）选修1－2 第一章统计案例第二章推理与证明 第三章数系的扩充与复数的引入第四章框图 高中数学（B版）选修2-1 第一章常用逻辑用语 1.1 命题与量词 1.2 基本逻辑联结词 1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式 第二章圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程 2.2 椭圆 2.3 双曲线 2.4 抛物线 2.5 直线与圆锥曲线 第三章空间向量与立体几何
高中数学变式教学应用的分析 一、问题提出的缘由 我们正处在高考命题改革时期，“新高考”对中学生综合素质的发展提出了明确的要求，重点增强基础性、综合性，突出能力立意，主要考查学生运用所学知识独立思考与分析问题、解决问题的能力。“新高考”改革的启动势必促进新课程改革的实施。伴随着新课程改革向纵深的发展，高中数学课程的功能、内容、结构、评价都发生了根本性的改变。数学教学方法也在不断改进、创新，既要训练学生基础知识、基本技能，又要培养学生自主创新的能力。而自主创新的能力培养的一条有效的途径就是在平时教学过程中着重对学生发现问题、分析问题、解决问题的能力培养。就数学而言，解决问题不仅是要知道问题的结果，更重要的是掌握解决问题的思想、方法、途径。而“变式教学”的思想与方法是我们解决问题的重要途径之一。 所谓“变式”，就是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化。即教师可不断更换命题中的非本质特征；变换问题中的条件或结论；转换问题的内容和形式；配置实际应用的各种环境，但应保留好对象中的本质因素，从而使学生掌握数学对象的本质属性。 而我们的目的就是通过合理恰当地运用“变式教学”，把互相关联的知识融合在一起，使学生深刻理解所学知识，识别问题的本质。这不仅有助于培养学生分析、归纳、解决问题的能力，也有利于激发学生的学习兴趣、拓宽学生的学习视野，并力求在遏制“题海战术”、轻负高效方面达到良好效果。 二、研究目标 1.以“变式教学”为研究平台，全面贯彻新课程标准的教育理念。以培养学生的创新精神和探究问题、解决问题的能力为目的，让学生充分展示个性和潜力，激发学生潜能多元化发展。 2.发挥学生主体作用，充分尊重学生的主观能动性，通过变式思想在数学教学中的研究，引导学生主动参与教学活动，在获取知识的同时，激发他们强烈的求知欲和创造欲，从而得到提高数学课堂教育效益的目的，增加数学实践的本领的同时获得可持续发展能力---创新能力和自我发展能力。 3.在严格控制学生活动总量，减轻学习负担的前提下，使学生数学素质获得更为全面的发展，数学基本知识、基本能力有所提高。 三、研究原则
章标题 必修（第一册）（共计72课时） 第一章集合与常用逻辑用语（10课时） 第二章一元二次函数、方程和不等式（8课时） 第三章函数概念与性质（12课时） 第四章指数函数与对数函数（16课时） 第五章三角函数（23课时） 必修（第二册）（共计69课时） 第六章平面向量及其应用（18课时） 第七章复数（8课时） 第八章立体几何初步（19课时） 第九章统计（13课时） 第十章概率（9课时） 选择性必修（第一册）（共计43课时） 第一章空间向量与立体几何（15课时） 第二章直线和圆的方程（16课时） 第三章圆锥曲线的方程（12课时） 选择性必修（第二册）（共计30课时） 第四章数列（14课时） 第五章一元函数的导数及其应用（16课时） 选择性必修（第三册）（共计35课时） 第六章计数原理（11课时） 第七章随机变量及其分布（10课时） 第八章成对数据的统计分析（9课时）
节标题 必修（第一册）（共计72课时） 第一章集合与常用逻辑用语（10课时） 1.1集合的概念 1.2集合间的基本关系 1.3集合的基本运算 阅读与思考集合中元素的个数 1.4充分条件与必要条件 1.5全称量词与存在量词 阅读与思考命题及其关系 第二章一元二次函数、方程和不等式（8课时） 2.1等式性质与不等式性质 2.2基本不等式 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 第三章函数概念与性质（12课时） 3.1函数的概念及其表示 阅读与思考函数概念的发展历程 3.2函数的基本性质 信息技术应用用计算机绘制函数图象 3.3幂函数 探究与发现探究函数 1 y x x =+的图象与性质 3.4函数的应用（一） 文献阅读与数学写作*函数的形成与发展 第四章指数函数与对数函数（16课时） 4.1指数 4.2指数函数 阅读与思考放射性物质的衰减 信息技术应用探究指数函数的性质
高中数学教材变式题汇总：数列 一、有关通项问题 1、利用1 1(1)(2)n n n S n a S S n -=?=?-≥?求通项． （北师大版第23页习题5）数列{}n a 的前n 项和2 1n S n =+．（1）试写出数列的前5项； （2）数列{}n a 是等差数列吗？（3）你能写出数列{}n a 的通项公式吗？ 变式题1、（湖北卷）设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，求数列}{n a 的通项公式； 解：（1）：当;2,111===S a n 时 ,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当 故{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列. 变式题2、（北京卷）数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，11 3 n n a S +=，n =1，2，3，……，求a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式． 解：（I ）由a 1=1，11 3 n n a S += ，n=1，2，3，……，得 211111333a S a ===，3212114()339a S a a ==+=，431231116 ()3327 a S a a a ==++= ， 由1111()33n n n n n a a S S a +--=-=（n ≥2），得14 3 n n a a +=（n ≥2）， 又a 2=31 ，所以a n =214()33 n -(n ≥2), ∴ 数列{a n }的通项公式为2 1 114()2 33 n n n a n -=?? =???≥ 变式题3、（山东卷）已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且 *15()n n S S n n N +=++∈， 证明数列{}1n a +是等比数列． 解：由已知* 15()n n S S n n N +=++∈可得12,24n n n S S n -≥=++两式相减得 ()1121n n n n S S S S +--=-+即121n n a a +=+从而()1121n n a a ++=+当1n =时
高中数学教学中的变式教学研究 摘要：“变式教学”有利于帮助学生更好地理解概念，提高解题技巧，培养数学能力。文章从注重变式教学深化概念理解，巧用变式命题激发学习兴趣，善用变式解题提高解题能力等方面，研究“变式教学”在数学课堂教学中的应用。 关键词：高中数学；课堂教学；变式教学；教学策略 新课标下的高中数学教学，对于学生的能力要求不再局限于考试中拿高分、熟记公式定理，而更注重考查学生对数学知识的融会贯通与对数学思想的灵活掌握。文章研究“变式教学”在数学课堂教学中的应用，以提高学生解题技巧，培养数学能力。 一、注重变式教学，深化概念理解 在讲解新的数学概念和数学公式时，数学教师如果仅应用一两个例子对概念进行补充阐述，则学生很容易因为例题的特殊性而对概念的理解有所偏差。这时，通过变式教学，可以从不同角度全面讲述概念的内涵，让学生对概念的理解更加深刻。例如，教学必修一中的“函数与方程”一节时，很多学生可能混淆函数与方程的概念，这是因为对概念本质的理解不够准确。函数式与方程式通常都由代数式表达，相似的表现形式让部分学生认为函数就是方程。这时，数学教师可以采用变式教学，利用方程与函数的区别及联系，进行深入讨论。比如，注重从本质上对概念进行区分。方程是含有未知数的等式，其未知数的个数并不确定，其未知数也不存在自变与因变的关系，方程主要是说明未知数之间的数量关系；而函数中每个自变量与因变量是一一对应的，函数没有固定的解，而方程是可以求出解的。函数与方程之间也存在联系，二者在一定条件下是可以相互转换的。在求解函数问题时，往往根据特殊值的存在将函数问题转化为解方程问题，从而得到函数的参数或特殊性质。例如y=x+2x2+1，求函数图像与y轴的交点坐标，即求当x=0时y的值。这时，可以转化为方程y=0+0+1，解得坐标为（1，0），再次经过变式，将解方程问题转化为函数问题进行求解。例如x2+x+1=0，可以转化为函数y=x2+x+1，当函数值y=0时，求函数自变量x在定义域中取什么值时得到y=0。经过这样的变式教学之后，学生就对函数与方程的本质有了大致了解，并将题目中的解题思路代入到相关题目，使得本节内容的理解更加深入与全面。变式教学应用于新知识的讲解，有助于帮助学生培养变式思维，面对同样的问题时，懂得如何开动脑筋利用函数的性质进行解答，从而促使学生学会自主学习，拓展创造思维。 二、巧用变式命题，激发学习兴趣 在高中数学教学过程中，离不开数学题目的解答，对公式、概念的理解也会最终反映到知识的应用之中。因此，除了教材内容的教学，例题的选择与解析也会促使学生的数学能力得到进一步提升。所以，数学教师有效地选择命题，也是高效课堂的重要环节。变式教学在命题中的应用，可以体现在公式的变式之中。数学教材中的刻板公式，可以通过巧妙变形，让学生看到不同的解题突破口，帮助学生活化思维，使得学生在学习过程中不拘泥于公式的形式，而注重公式的性质与含义。公式的变式，可以是对公式的形成变式，利用学生熟知的公式推导出正在学习的公式，让学生对公式的形成有所了解，加深对公式的记忆。另外，教师可以利用一系列的例题，让学生在环环相扣的解题过程中得到学习的乐趣，并学会公式在题目中的灵活应用。例如，在学习“平面解析几何初步”的时候，经常会有直线与圆的位置
最新2017高中数学论文题目大全 高中数学论文题目(一) 对原函数存在条件的试探 分块矩阵的若干初等运算 函数图像中的对称性问题 泰勒公式及其应用 微分中值定理的证明和应用 一元六次方程的矩阵解法 ‘数学分析’对中学数学的指导作用"1"的妙用
"数形结合"在解题中的应用 "数学化"及其在数学教学中的实施 "一题多解与一题多变"在培养学生思维能力中的应用《几何画板》与数学教学 《几何画板》在圆锥曲线中的应用举例 Cauchy中值定理的证明及应用 Dijkstra最短路径算法的一点优化和改进 Hamilton图的一个充分条件 HOLDER不等式的推广与应用 变量代换在数学中的应用 不变子空间与若当标准型之间的关系不等式的几种证明方法及简单应用不等式的证明方法探索
不等式证明的若干方法 不等式证明中导数有关应用 不同型余项泰勒公式的证明与应用猜想，探求，论证 彩票中的数学 常微分方程的新的可解类型 常微分方程在一类函数项级数求和中的应用抽奖活动的概率问题 抽屉原理及其应用 抽屉原理及其应用 抽屉原理思维方式的若干应用 初等变换在数论中的应用
初等数学命题推广的几种方式 传染病模型及其应用 从趣味问题剖析概率统计的解题技巧从双曲线到双曲面的若干性质推广 从统一方程看抛物线、椭圆和双曲线的关系存贮模型的若干讨论 带peano余项的泰勒公式及其应用单调有界定理及其应 二次曲线方程的化简 二元函数的单调性及其应用 二元函数的极值存在的判别方法 二元函数极限不存在性之研究 反对称矩阵与正交矩阵、对角形矩阵的关系
反循环矩阵和分块对称反循环矩阵 范德蒙行列式的一些应用 方差思想在中学数学中的应用及探讨 方阵A的伴随矩阵 放缩法及其应用 分块矩阵的应用 分块矩阵行列式计算的若干方法 分析近年三角各种题型，提高学生三角问题解决能力分形几何进入高中数学课程的尝试 辅助函数的应用 辅助函数在数学分析中的应用 辅助元法在中学数学中的应用