以下依次为08---14山东高考题
（圆锥曲线）
(22)(本小题满分14分)
如图，设抛物线方程为x 2=2py (p ＞0),M 为 直线y =-2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B .
（Ⅰ）求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；
（Ⅱ）已知当M 点的坐标为（2，-2p ）时，
AB =
（Ⅲ）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线22(0)x py p =＞上，其中，点C 满足OC OA OB =+（O 为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由. （Ⅰ）证明：由题意设
22
12
12120(,),(,),,(,2).
22x x A x B x x x M x p p p
-＜
由2
2x py =得2
2x y p
=，则,x y p '=
所以12,.MA MB x x
k k p p
=
=
因此直线MA 的方程为1
02(),x y p x x p +=
- 直线MB 的方程为2
02().x y p x x p
+=
-
所以211102(),2x x p x x p p
+=-
①
222202().2x x
p x x p p
+=- ②
由①、②得
2
12
120,2
x x x x x +=+-
因此 2
12
02
x x x +=，即0122.x x x =+
所以A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x 0=2时， 将其代入①、②并整理得： 2
211440,x x p --=
2222440,x x p --=
所以 x 1、x 2是方程22440x x p --=的两根，
因此212124,4,x x x x p +==-
又2
2
210122122,2AB
x x x x x p p k x x p p
-
+===-
所以2.AB k p
=
由弦长公式得
AB ==
又AB = 所以p =1或p =2，
因此所求抛物线方程为2
2x y =或2
4.x y =
（Ⅲ）解：设D (x 3,y 3)，由题意得C (x 1+ x 2, y 1+ y 2),
则CD 的中点坐标为123123
(
,),22
x x x y y y Q ++++
设直线AB 的方程为0
11(),x y y x x p
-=
-
由点Q 在直线AB 上，并注意到点1212
(,)22
x x y y ++也在直线AB 上，
代入得0
33.x y x p
=
若D （x 3,y 3）在抛物线上，则2
330322,x py x x ==
因此 x 3=0或x 3=2x 0.
即D (0，0)或20
02(2,).x D x p
（1）当x 0=0时，则12020x x x +==，此时，点M (0,-2p )适合题意.
（2）当00x ≠，对于D (0，0)，此时22
12
22
22
12
12000
2(2,),,224CD
x x x x x x p
C x k p
x px +++==
又0
,AB x k p
=
AB ⊥CD ， 所以2222
012122
01,44AB CD
x x x x x k k p px p ++===- 即22
2124,x x p +=-矛盾.
对于2002(2,),x D x p 因为22
12
0(2,),2x x C x p
+此时直线CD 平行于y 轴，
又0
0,AB x k p
=
≠ 所以 直线AB 与直线CD 不垂直，与题设矛盾， 所以00x ≠时，不存在符合题意的M 点. 综上所述，仅存在一点M (0，-2p )
适合题意.
设椭圆E: 22
22
1x y a b
+=（a,b>0）过M （2 ，两点，O 为坐标原点，
（I ）求椭圆E 的方程；
（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且
OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
解:
（1）因为椭圆E: 22
2
21x y a b +=（a,b>0）过M （2 ，,1)两点,
所以2222421611a b a b +=+=???????解得2211
8
114a b
?=????=??所以2284a b ?=?=?椭圆E 的方程为
22184x y += （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,
且OA OB ⊥,设该圆的切线方程为y kx m =+解方程组2218
4x y y kx m +==+??
???得
222()8x kx m ++=,即222(12)4280k x kmx m +++-=,
则△=222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即2
2
840k m -+>
1222
12241228
12km x x k m x x k ?
+=-??+?-?=?+?
,
2222222
2
212121212222
(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=
+++要使O A O B ⊥
,需使12120x x y y +
=,即
22222
28801212m m k k k --+=++,所以223880m k --=,所以2
2
3808m k -=≥又22840k m -+>,所以22238m m ?>?≥?
,所以
283m ≥
,
即m ≥
或m ≤,因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线,
所以圆的半径为r =,222
228381318
m m r m k ===-++
,r =所求的圆为2283x y +=
,此时圆的切线y kx m =+
都满足m ≥
或m ≤,而当切线的斜
率不存在时切线为x =与椭圆22184x y +=
的两个交点为,)
或(33
-
±满足OA OB ⊥,综上, 存在圆心在原点的圆2283x y +=，使得该圆的
任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥.
因为122
2
1224122812km x x k m x x k ?
+=-??+?-?=?+?
,
所以2222
2
21212122222
4288(84)
()()4()41212(12)km m k m x x x x x x k k k --+-=+-=--?=
+++,
||AB ===
== ①当0k ≠
时||AB =
因为2
2
1
448k k +
+≥所以2211
01
8
44k k
<≤++, 所以
2232321[1]1213344k k
<+≤++
,
||AB
≤k =时取”=”. ② 当0k =
时,||AB =
③ 当AB
的斜率不存在时,
两个交点为(
3
3±
或(33
-
±,所以此时||3
AB =
, 综上, |AB |
||AB ≤≤即
: ||AB ∈ （21）（本小题满分12分） 如图，已知椭圆
22221(0)x y a b a b +=
＞＞的离心率为
2
，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F
F 为顶点的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、.
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =；
（Ⅲ）是否存在常数λ，使得·AB CD AB CD λ+=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为
c a =a =，又22a c +=1)，
所以可解得a =2c =，所以2
2
2
4b a c =-=，所以椭圆的标准方程为22
184
x y +=；所以椭圆的焦点坐标为（2±，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为
22
144
x y -=。
22. （本小题满分12分）已知动直线l 与椭圆C ：22
132
x y +=交于()()1122,,,P x y Q x y 两
不同点，且OPQ ?的面积2
OPQ S ?=
，其中O 为坐标原点． （Ⅰ）证明：2212x x +和2212y y +均为定值；
（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求OM PQ ?的最大值；
（Ⅲ）椭圆C 上是否存在三点,,D E G ，使得ODE ODG OEG S S S ???===
断DEG ?的形状；若不存在，请说明理由．
解析：（Ⅰ）当直线l 的斜率不存在时，,P Q 两点关于x 轴对称，则1212,x x y y ==-，
由()11,P x y 在椭圆上，则2211132x y +=
，而112OPQ S x y ?==
，则1112
x y == 于是22123x x +=，22122y y +=.
当直线l 的斜率存在，设直线l 为y kx m =+，代入22
132
x y +=可得 2223()6x kx m ++=，即222(23)6360k x km m +++-=，0?>，即2232k m +>
2121222636
,2323km m x x x x k k -+=-=++
12PQ x =-=
=
d =
，11222
POQ
S d PQ ?=??==
则22
322k m +=，满足0?>
22
2
2
21
2121222
63(2)
()2()232323km m x x x x x x k k
-+=+-=--?=++， 222222*********
(3)(3)4()2333
y y x x x x +=
-+-=-+=， 综上可知22123x x +=，22122y y +=.
（Ⅱ））当直线l
的斜率不存在时，由（Ⅰ）知122
OM x PQ =?== 当直线l 的斜率存在时，由（Ⅰ）知
12322x x k
m
+=-， 2121231
()222y y x x k k m m m m
++=+=-+=， 22
221212222
9111()()(3)2242x x y y k om m m m
++=+=+=-
2222
2
2222
24(32)2(21)1
(1)2(2)(23)k m m PQ k k m m +-+=+==++
2
2
221125(3)(2)4OM
PQ m m =-
+≤，当且仅当221132m m
-=+，即m =时等号成立，综上可知OM PQ ?的最大值为5
2。
（Ⅲ）假设椭圆上存在三点,,D E G ，使得ODE ODG OEG S S S ???=== 由（Ⅰ）知2222223,3,3D E E G G D x x x x x x +=+=+=，
2222222,2,2D E E G G D y y y y y y +=+=+=.
解得2
2
2
3
2
D E G x x x ===
,2221D E G y y y ===，
因此,,D E G x x x 只能从,,D E G y y y 只能从1±中选取，
因此,,D E G 只能从(1)±中选取三个不同点，而这三点的两两连线必有一个过原点，
这与ODE ODG OEG S S S ???===
故椭圆上不存在三点,,D E G ，使得2
ODE ODG OEG S S S ???===
。 （21）（本小题满分13分）
在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线C ：x 2=2py （p ＞0）的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M ，F ，O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为
34
。 （Ⅰ）求抛物线C 的方程；
（Ⅱ）是否存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若点M l ：y=kx+
1
4
与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，l 与圆Q 有两个不同的交点D ，E ，求当
1
2
≤k ≤2时，的最小值。
解析：（Ⅰ）F 抛物线C ：x 2=2py （p ＞0）的焦点F )2,0(p
，设M )0)(2,(02
00>x p
x x ，),(b a Q ，
由题意可知4p b =
，则点Q 到抛物线C 的准线的距离为==+=+p p p p b 4
3
24234，解得
1=p ，于是抛物线C 的方程为y x 22=.
（Ⅱ）假设存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ，
而)2,(),0,0(),21
,0(2
00x x M O F ，)41,(a Q ，QF OQ MQ ==，
161)412()(222
02
0+=-+-a x a x ，03
08
3
8x x a -=，
由y x 22=可得x y ='，0302
08
3
8241x x x x k --
==，则20
204021418381x x x -=-， 即022
04
0=-+x x ，解得10=x ，点M 的坐标为)2
1,1(. （Ⅲ）若点M
M )1,2(，)4
1,82(-
Q 。 由?????+==4122kx y y
x 可得02122
=--kx x ，设),(),,(2211y x B y x A ，
]4))[(1(2122122
x x x x k AB -++=)24)(1(22++=k k
圆32
3
161642)21()82(:22=+=-++
y x Q ，2
2
18218
2
k
k k
k D +=
+-?
=
)
1(823])1(32323[422
222
k k k k DE ++=
+-=， 于是)
1(823)24)(1(2
22
2
2
2
k k k k DE AB +++++=+，令]5,45[12
∈=+t k 418124812)24()
1(823)24)(1(2
2
22
2
2
2
++-=++-=+++++=+t t t t t t t k k k k DE AB ， 设418124)(2
++
-=t t t t g ，281
28)(t
t t g --='， 当]5,45[∈t 时，081
28)(2>--='t
t t g ，
即当21,45==k t 时1014414
58145216254)(min =+?+?-?=t g .
故当21=k 时，10
14)(min 2
2=+DE AB .
（22）（本小题满分13分）
垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为l.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1、PF 2,设∠F 1PF 2的角平分线
PM 交C 的长轴于点M （m ，0），求m 的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点p 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆
C 有且只有一个
这个定值.
1||||PF PM PF PM ?=2||||PF PM PF PM ?,1||PF PM PF ?=2||
PF PM
PF ?,设204x ≠，将向量坐标代入并化简得：m （23
000416)312x x x -=-，因为2
04x ≠，
（21）（本小题满分14分）
已知抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有||||FA FD =.当点A 的横坐标为3时，
ADF
?为正三角形. （Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若直线
1//
l l，且
1
l和C有且只有一个公共点E，
（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ）ABE
?的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.
圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-椭圆 一、椭圆定义 定点为焦点，定值为长轴.（定值=2a ） 椭圆.定点为焦点，定直线为准线，定值为离心率.（定值=e ） 定点为短轴顶点，定值为负值. （定值2k e 1=-） 二、椭圆的性质定理 长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理① 准线方程准焦距，a 方、b 方除以c ② 通径等于 2 e p ，切线方程用代替③ 焦三角形计面积，半角正切连乘b ④ 注解： 1长轴2a =，短轴2b =，焦距2c =，则：222a b c =+ 2准线方程：2 a x c = （ a 方除以c ） 3椭圆的通径 d ：过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的距
离称为椭圆的通径.（通径22 c b 2b 2a c a d 2ep =??==） 过椭圆上00x y (,)点的切线方程，用00x y (,)等效代替椭圆方程得到. 等效代替后的是切线方程是：0022x x y y 1a b += 4、焦三角形计面积，半角正切连乘b 焦三角形：以椭圆的两个焦点12F F ,为顶点，另一个顶点P 在椭圆上的三角形称为焦三角形.半角是指12F PF θ=∠的一半. 则焦三角形的面积为：2 S b 2 tan θ = 证明：设1PF m =，2PF n =，则m n 2a +=由余弦定理： 222m n 2mn 4c cos θ+-?= 22224a 4b m n 4b ()=-=+- 即：2 2mn 2mn 4b cos θ-?=-，即：22b 1mn (cos )θ=+. 即：2 122b mn PF PF 1||||cos θ==+ 故：12 F PF 1S m n 2sin θ=??△2 2 12b b 211sin sin cos cos θθθθ=? ?=?++ 又：22221222 sin cos sin tan cos cos θθ θ θ θθ = =+ 所以：椭圆的焦点三角形的面积为122 F PF S b 2tan θ ?=. 三、椭圆的相关公式 切线平分焦周角，称为弦切角定理① 1F 2F O x y P m n
第四讲 圆锥曲线中的定点定值问题 一、直线恒过定点问题 例1. 已知动点E 在直线:2l y =-上，过点E 分别作曲线2 :4C x y =的切线,EA EB ， 切点为 A 、 B , 求证：直线AB 恒过一定点，并求出该定点的坐标； 解：设),2,(-a E )4,(),4,(2 22211x x B x x A ，x y x y 2 1 4'2=∴= , )(21 41121点切线过，的抛物线切线方程为过点E x x x x y A -=-),(2 1 421121x a x x -=--∴整理得：082121=--ax x 同理可得：2 22280x ax --= 8 ,2082,2121221-=?=+∴=--∴x x a x x ax x x x 的两根是方程 )2 4,(2+a a AB 中点为可得，又22 12 121212124442 AB x x y y x x a k x x x x - -+====-- 2(2)()22a a AB y x a ∴-+=-直线的方程为，2()2 a y x AB =+∴即过定点0,2. 例2、已知点00(,)P x y 是椭圆22:12x E y +=上任意一点，直线l 的方程为0012 x x y y +=， 直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒 过一定点G ，求点G 的坐标。 解：直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --= 设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n 则0000001 212022x n m y x n m y x y ?=-?+??-??--=??，解得3200020432 0000 2002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ?+--=?-??+--?=?-? ∴ 直线PN 的斜率为4320000032 00004288 2(34) n y x x x x k m x y x x -++--==---+
【名师备考建议】 鉴于圆锥问题具有综合性强、区分度高的特点，名师给出以下四点备考建议： 1、主观形成圆锥的知识结构；椭圆、双曲线、抛物线，在这三类曲线身上是有很多的基本性质具 有相关性，因此，在复习备考的过程中，应当主观的形成对三类圆锥曲线方程以及性质的认识，形成一张深刻记忆的知识列表；同时对基本的题型也要有一定的把握； 2、认真研究三年高考的各种题型；由于圆锥曲线的难度系数较高，不易把握，但仍然有理可循； 复习备考的过程中，无论是老师还是学生都应当认真研究近三年文理科的出题方向，至于从何研究，可以从近三年的质检卷、名校卷以及高考卷中得到启示，努力理清每一道问题的思路、做法，这样可以有效的培养解题意识； 3、熟练掌握部分题型的解题模式；三轮复习中，由于做题的经验得到一定的积累，多多少少对题 目的解题方法和手段有了一定的认识，比如，直线与圆锥曲线的问题，大部分是必须联立直线与圆锥曲线的方程进行解题，这是一种模式；再比如，圆锥曲线的探究性问题，可以先采用一些特殊值进行计算，得到结论以后加以证明；这都是必须熟练掌握的解题模式； 4、调整对待圆锥曲线的心理状态；由于圆锥曲线问题的综合性较强，并且经常作为倒二题出现， 这就要求学生合理的分配自己的时间；如果实在无法求解，无须在此问题上进行逗留，以免失去了做压轴题和检查的时间；对于优等生来说，必须精益求精；对于中等生来说，只需尽其所能；对于差等生来说，一定不必强求. 【高考冲刺押题】 e=，椭圆上的点到焦点【押题6】已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率 2 M m，且与椭圆C交于相异两点,A B，且的最短距离为2，直线l经过y轴上一点(0,) =． 3 AM MB
椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论） 高三数学备课组 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+.
智行数学-圆锥曲线（带答案，教师专用） 一、单选题(注释) 1、已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D． 2、F1，F2是双曲线的左、右焦点，过左焦点F1的直线 与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若，则双曲线的离心率是（） A．B．C．2 D． 3、在平面直角坐标系中，直线与圆相交于两点，则弦的长等于( ) A．B．C．D． 4、已知圆M经过双曲线的两个顶点，且与直线相切，则圆M方程为（） A．B． C．D． 5、已知椭圆的焦点，，是椭圆上一点，且是， 的等差中项，则椭圆的方程是（） A．B． C．D． 6、以的顶点为焦点,长半轴长为4的椭圆方程为 A．B．C．D． 7、若 k 可以取任意实数，则方程 x 2 + k y 2 =" 1" 所表示的曲线不可能是（）A．直线B．圆C．椭圆或双曲线D．抛物线 8、方程的两个根可分别作为的离心率。 A．椭圆和双曲线B．两条抛物线C．椭圆和抛物线D．两个椭圆
评卷人得分 二、填空题(注释) 10、若一条抛物线以原点为顶点，准线为，则此抛物线的方程为 . 11、双曲线的渐近线方程是_▲____ 13、中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 . 14、椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当 的周长最大时，的面积是． 17、若点是以为焦点的双曲线上一点，满足，且 ，则此双曲线的离心率为▲ . 评卷人得分 三、解答题() 与直线相切，是 抛物线上两个动点，为抛物线的焦点，的垂直平分线与轴交于点，且. （1）求的值; （2）求点的坐标; （3）求直线的斜率的取值范围. 19、已知抛物线，为抛物线的焦点，椭圆；（1）若是与在第一象限的交点，且，求实数的值； （2）设直线与抛物线交于两个不同的点，与椭圆交于两个 不同点，中点为，中点为，若在以为直径的圆上，且 ，求实数 的取值范围. 20、（本小题满分12分） 已知定直线l:x=1和定点M(t,0)(t∈R),动点P到M的距离等于点P到直线l距离的2倍。（1）求动点P的轨迹方程，并讨论它表示什么曲线； （2）当t=4时，设点P的轨迹为曲线C，过点M作倾斜角为θ(θ>0)的直线交曲线C
圆锥曲线中离心率及其围的求解专题 【高考要求】 1．熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。 2．掌握解析几何中有关离心率及其围等问题的求解策略； 3．灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想学）解决问题。 【热点透析】 与圆锥曲线离心率及其围有关的问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线等）列出所讨论的离心率（a,b,c ）适合的不等式（组），通过解不等式组得出离心率的变化围； （3）函数值域求解法：把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。 2.解题时所使用的数学思想方法。 （1）数形结合的思想方法。一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。 （2）转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化，实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。 （3）函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。 （4）分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。 【题型分析】 1. 已知双曲线22 122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2C 的顶点在原点， 准线与双曲线1C 的左准线重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离 心率为（ ） A ． B C D ． 解：由已知可得抛物线的准线为直线2 a x c =- ，∴ 方程为2 2 4a y x c =；
圆锥曲线的方程 一、单选题 1．（2020·全国课时练习）一动圆P 过定点(4,0)M -，且与已知圆22:(4)16N x y -+=相切，则动圆圆心 P 的轨迹方程是（ ） A ．22 1(2)412x y x -= B ．221(2)412 x y x -=- C ．22 1412 x y -= D ．221412 y x -= 【答案】C 【解析】 【分析】 分两圆内切和外切两种情况进行讨论可得4PN PM -=，结合双曲线的定义可求出其圆心的轨迹方程. 【详解】 由已知得(4,0)N ，当两圆内切时，定圆N 在动圆P 的内部，有||||4PN PM =-； 当两圆外切时有||||4PN PM =+，故4PN PM -=，由双曲线的定义知， 点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线，且24,4a c ==，所以224,12a b ==， 故圆心P 的轨迹方程为22 1412 x y -=. 故选：C 【点睛】 本题考查了双曲线的定义，考查了双曲线轨迹方程的求解，考查了两圆相切问题，属于基础题. 2．（2020·全国课时练习）已知点(,)P x y =P 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．两条射线 D ．双曲线的一支 【答案】B 【解析】 【分析】
根据两点间距离公式化简条件，再根据双曲线定义判断，即可选择. 【详解】 设(1,0),(1,0)A B -，则由已知得||PA PB -=‖∣P 到两个定点A ?B 的距离之差的绝对值等于常 ，又||2AB =2<，所以根据双曲线的定义知，动点P 的轨迹是双曲线. 故选：B 【点睛】 本题考查双曲线的定义，考查基本分析判断能力，属基础题. 3．（2020·全国课时练习）已知平面上的定点12,F F 及动点M ，甲：12MF MF m -=(m 为常数)，乙：点M 的轨迹是以12,F F 为焦点的双曲线，则甲是乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 根据双曲线的定义以及必要不充分条件的定义可得答案. 【详解】 根据双曲线的定义，乙?甲，但甲乙，只有当120m F F <<时，点M 的轨迹才是双曲线. 故选：B. 【点睛】 本题考查了双曲线的定义，考查了必要不充分条件，属于基础题. 4．（2020·全国课时练习）若方程22 141 y x m -=+表示双曲线，则实数m 的取值范围是（ ） A ．13m -<< B ．1m >- C ．3m > D ．1m <- 【答案】B 【解析】 【分析】 根据双曲线的标准方程列式可得结果. 【详解】
二.双曲线 注意:牢记双曲线的两种定义,在解题时,要善于应用几何上或代数上的意义。
一.过焦点弦长公式的推导(注意分类,不要求记忆,但要熟练推导过程) ㈠焦点在x 轴上: 1.过左焦点且相交于同一支: 过双曲线22 221x y a b -=左焦点)0,(1c F -的直线交双曲线的左支分别于点),(),,(2211y x B y x A ,则: ;11a ex AF --=;21a ex BF --=焦点弦a x x e AB 2)(21-+-= 2.过左焦点且相交于两支 过双曲线22 221x y a b -=左焦点)0,(1c F -的直线交双曲线的左右支分别于点),(),,(2211y x B y x A ,则: ;11a ex AF --=;21a ex BF +=焦点弦a x x e AB 2)(21++= 3.过右焦点且相交于同一支 过双曲线22 221x y a b -=右焦点)0,(2c F 的直线交双曲线的右支分别于点),(),,(2211y x B y x A ,则: ;12a ex AF -=;22a ex BF -=焦点弦a x x e AB 2)(21-+= 4.过右焦点且相交于两支 过双曲线22 221x y a b -=右焦点)0,(2c F 的直线交双曲线的左右支分别于点),(),,(2211y x B y x A ,则: ;12ex a AF -=;22a ex BF -=焦点弦a x x e AB 2)(21++-= ㈡焦点在y 轴上:分别同上面的情况 1.过下焦点且相交于同一支 2.过下焦点且相交于两支 3.过上焦点且相交于同一支 4.过上焦点且相交于两支 二.焦点三角形:如图 设若双曲线方程为22 221x y a b -=,21,F F 分别为它的左右焦点,),(00y x P 为双曲线上任意一点,则有: 性质1.若12F PF ,∠=θ则2 cot .2 21θ b S F PF =?;特别地,当12F PF 90∠=时,有2 21b S F PF =? 021y c S PF F ?=? 性质2.双曲线焦点三角形的内切圆与21,F F 相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时,切点为左顶点,且当P 点在双曲线右支时,切点为右顶点。 性质3.双曲线的焦点21F PF ?中,1221PFF ,PF F ,∠=α∠=β
第四讲 有关圆锥曲线轨迹问题（教师版） 根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。 求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验） 建（坐标系）设（动点坐标）限（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”） 求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。 1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这 种方法称之为直接法； 例1、已知直角坐标系，点Q （2，0），圆C 方程为 12 2=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与 MQ 的比等于常数)0(>λλ，求动点M 的轨迹。 【解析】设MN 切圆C 于N ，则 2 22ON MO MN -=。),(y x M ,则 2 222)2(1y x y x +-=-+λ化简得 0)41(4))(1(2 2222=++-+-λλλx y x 当1=λ时，方程为54x =，表示一条直线。 当1≠λ时，方程化为2 2 22 222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。 【练习】如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ， （M N ，分别为切点），使得2PM PN =. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程. 【解析】以12O O 的中点O 为原点，12O O 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则1(20)O -， ，2(20)O ，. 由已知2PM PN =，得222PM PN =. 因为两圆半径均为1，所以 22 1212(1)PO PO -=-. 设()P x y ，，则2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-， 即22(6)33x y -+=.(或221230x y x +-+=) y x Q M N O
专题-圆锥曲线与方程 抓住3个高考重点 重点1 椭圆及其性质 1．椭圆的定义：椭圆的第一定义：对椭圆上任意一点M 都有1212||||2||2MF MF a F F c +=>= 椭圆的第二定义：对椭圆上任意一点M 都有 || ,(01)MF e e d =<< 2．求椭圆的标准方程的方法 （1）定义法：根据椭圆定义，确定2 2 ,a b 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆的标准方程． （2）待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是在y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出2 2 ,a b ，从而写出椭圆的标准方程． 3．求椭圆的标准方程需要注意以下几点？ （1）如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为2 2 1(0,0,)Ax By A B A B +=>>≠或22 221x y m n += （2）与椭圆2222 221()x y m n m n +=≠共焦点的椭圆方程可设为22222 21(,)x y k m k n m k n k +=>->-++ （3）与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>有相同离心率的椭圆方程可设为22 122x y k a b +=（10k >，焦点在x 轴上）或 22 222 y x k a b +=（20k >，焦点在y 轴上） 4．椭圆的几何性质的应用策略 （1）与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形：若涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量，则要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的联系，求解自然就不难了． （2）椭圆的离心率2 21c b e a a ==-当e 越接近于1时，椭圆越扁，当e 越接近于0时， 椭圆越接近于圆， 求椭圆的标准方程需要两个条件，而求椭圆的离心率只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次方程，再结合2 2 2 a b c =+即可求出椭圆的离心率 [高考常考角度] 角度1若椭圆12222=+b y a x 的焦点在x 轴上，过点)2 1,1(作圆12 2=+y x 的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好 经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 14 52 2=+y x . 解析:方法一：设过点)21,1(的直线方程为：当斜率存在时，1 (1)2 y k x =-+，即22120kx y k -+-=
圆锥曲线与方程 考纲导读 1．掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程．2．掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质． 3．掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质． 4．了解圆锥曲线的初步应用． 高考导航 圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，它的基本特点是数形兼备，兼容并包，可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容。纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查，基本上是两个客观题，一个主观题，分值21分~24分，占15%左右，并且主要体现出以下几个特点： 1．圆锥曲线的基本问题，主要考查以下内容： ①圆锥曲线的两种定义、标准方程及a、b、c、e、p五个参数的求解． ②圆锥曲线的几何性质的应用． 2、求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高，此类问题的解决需掌握四种基本方法：直译法、定义法、相关点法、参数法． 3．有关直线与圆锥曲线位置关系问题，是高考的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现． 4．求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题，是高考命题的一大热点，这类问题综合性较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题，是常考常新的试题，将是今后高考命题的一个趋势． 第1课时椭圆 基础过关
1．椭圆的两种定义 (1) 平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ， 之间的距离叫做焦距． 注：①当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是 ． ②当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹不存在． (2) 椭圆的第二定义：到 的距离与到 的距离之比是常数e ，且∈e 的点的轨迹叫椭圆．定点F 是椭圆的 ，定直线l 是 ，常数e 是 ． 2．椭圆的标准方程 (1) 焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：12 22 2=+ b y a x ，其中 ( > >0，且=2a ) (2) 焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是12 22 2=+b x a y ，其中a ，b 满 足： ． （3）焦点在哪个轴上如何判断？ 3．椭圆的几何性质(对 12 22 2=+b y a x ,a > b >0 进行讨论) (1) 范围： ≤ x ≤ ， ≤ y ≤ (2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ． (3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，长半轴长： ，短半轴长： ；准线方程： ． (4) 离心率：=e ( 与 的比)，∈e ，e 越接近1，椭圆越 ；e 越接近0，椭圆越接近于 ． (5) 焦半径公式：设21,F F 分别为椭圆的左、右焦点，),(00y x P 是椭圆上一点，则 =1PF ，1 22PF a PF -== 。 4．焦点三角形应注意以下关系补充画出图形）： (1) 定义：r 1＋r 2＝2a
三.抛物线 注意:牢记抛物线的定义,在解题时,要善于应用几何上或代数上的意义。 1.特别注意: 1)2 y ax = 与2 2x py =这类不同形式之间的区别和对应关系 2y ax =的焦点为),41, 0(a F 准线方程为a y 41= ;2 2x py =的焦点为),2,0(p F 准线方程为2 p y -= 2)抛物线my x mx y ==2 2,的焦点,准线 mx y =2的焦点为),0,4(m F 准线为4m x -=; my x =2的焦点为),4,0(m F 准线为4m y -= 2.参数p 的含义:焦点到准线之间的距离 3.c bx ax y ++=2 的焦点,准线,顶点,对称轴:配方得a b c a b x a y 4)2(2 2-++= 顶点为)4,2(2a b c a b --, 对称轴a b x 2-= 焦点为)414,2(2a b ac a b F +--, 准线为a b a c y 4142--=
4.抛物线的重要结论: 如图所示,过抛物线px y 22 =(p>0)的焦点F 作直线l 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点。 1结论:过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 的弦长p x x AB ++=21 2结论:若直线L 的倾斜角为θ,则弦长θ 2sin 2p AB = 焦点F 到直线L 的距离为θsin 2 ?= p d 焦点三角形FAB 的面积为θ sin .22 p S FAB = ? 评注:由此式可知,过焦点的弦中通径长最短。 3结论:(1)221p y y -= (2)4221p x x = 4 3.)3(2 2121p y y x x OB OA -=+= 4结论:以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 评注:易证得,椭圆中以焦点弦为直径的圆与相应的准线相离,双曲线中以焦点弦为直径的圆与相应的准线相交 过焦点弦AB 的端点B A ,分别作准线l 的垂线,垂足依次为11,B A ,则有下列结论:如图 5结论:连接A 1F 、B 1 F ,则 A 1F ⊥B 1F 焦点弦AB 的中点为M ,AB 的中点M 作准线l 的垂线,垂足为1M ,则有下列结论:如图 6结论:(1)AM 1⊥BM 1 (2)M 1F ⊥AB 7结论:(1)A 、O 、B 1 三点共线; (2)B,O,A 1 三点共线; (3)设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1,则BB 1平行于X 轴; (4)设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1,则AA 1平行于X 轴 8结论: p FB FA 211=+ 9结论:(1)过抛物线22(0)y px p =>上某点00(,)P x y 的切线斜率为0 ;p k y = (2) 过抛物线2 2(0)x py p =>上某点00(,)P x y 的切线斜率为0 .x k p =
圆锥曲线存在性问题 确定的 1．设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足212||||PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．340x y ±= B ．350x y ±= C ．430x y ±= D ．540x y ±= 2. 已知F 1、F 2分别是双曲线 ﹣＝1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M ，使得（+）?＝0（其中O 为坐标原点），且||＝||，则双曲线离心率为 ． 3. 设F 是双曲线C ：﹣＝1的一个焦点．若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为 ． 4. 已知F 1，F 2分别是椭圆+＝1（a ＞b ＞0）的左右焦点，点A 是椭圆的右顶点，O 为坐标原点，若椭圆上的一点M 满足MF 1⊥MF 2，|MA |＝|MO |，则椭圆的离心率为 ． 5．设F 1，F 2分别是双曲线 ﹣＝1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点，O 为坐标原点，若按双曲线右支上存在一点P ，使 ?＝0，且||＝||，则双曲线的离心率为 （ ） A ．1± B ．1+ C ．2 D ．
6．已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，在直线x＝﹣a上有一点P，使|PF1|＝|F1F2|，且，则椭圆的离心率为（） A．B．C．D．2 7．设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝4：3：2，则曲线r的离心率等于（） A．B．或2 C． 2 D． 8．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝6：5：4，则曲线C的离心率等于． 9．设F1，F2是双曲线的左右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°，且|AF1|＝3|AF2|，则双曲线离心率为（） A．B．C．D． 10．设F1，F2分别为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF |+|PF2|＝3b，|PF1|?|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为（） 1 A．B．C．D．3
一.椭圆 注意:牢记椭圆的两种定义,在解题时,要善于应用几何上或代数上的意义。
一.椭圆的面积及周长公式: 1.椭圆的面积公式:ab S π=; 2.椭圆的周长公式:)(42b a b L -+=π 二.椭圆的焦点三角形的性质:面积及周长 ㈠以椭圆两个焦点为顶点的三角形:如图21F PF ? 性质1.已知点),(00y x P 是椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上的一点,两焦点分别为,,21F F 设焦点21F PF ?中 ,21θ=∠PF F 则 1)2 tan 2 21θ b S PF F =? 2)焦点三角形21F PF 的周长为 c a 22+ 3)021y c S PF F ?=? 性质2.已知椭圆方程为),0(122 22>>=+b a b y a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ,若2 1PF F ∠最大,则点P 为椭圆短轴的端点。 性质3.过椭圆焦点的所有弦中,通径(垂直于长轴的弦)最短,通径为a b 2 2 性质4.已知椭圆方程为),0(122 22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中, 21θ=∠PF F 则.21cos 2 e -≥θ 性质5.已知椭圆方程为),0(122 22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中 ,,1221βα=∠=∠F PF F PF 则椭圆的离心率β αβαsin sin ) sin(++=e 。 性质6.焦半径乘积21PF PF ?的最值:2 2221.x e a PF PF -=?可见其最大值为2a ;最小值为2b ㈡过椭圆的一个焦点,以另一焦点为顶点的三角形:如图1的2ABF ? 2的周长为;2的面积为:计算方法如下 .1法=?2ABF S d l F AB 的距离到直线右焦点22 1 ??; .2法=?2ABF S 1221)(y y c y y c -?=+? .3椭圆过焦点弦长公式:见上面基础知识框图。注意结合韦达定理。 另法:椭圆过焦点弦长公式:若椭圆方程为)0(122 22>>=+b a b y a x ,焦点)0,(),0,(21c F c F -,设过1F 的直 线l 的倾斜角为,α交椭圆于A 、B 两点,求弦长AB (即过焦点弦长)
圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题 【高考要求】 1．熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。 2．掌握解析几何中有关离心率及其范围等问题的求解策略； 3．灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想学）解决问题。 【热点透析】 与圆锥曲线离心率及其范围有关的问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的离心率（a,b,c ）适合的不等式（组），通过解不等式组得出离心率的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。 2.解题时所使用的数学思想方法。 （1）数形结合的思想方法。一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。 （2）转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化，实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。 （3）函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。 （4）分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。 【题型分析】 1. 已知双曲线22 122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2C 的顶点在原点， 准线与双曲线1C 的左准线重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离 心率为（ ） A B C D ． 解：由已知可得抛物线的准线为直线2 a x c =- ，∴ 方程为2 2 4a y x c =；
《圆锥曲线与方程》专题复习 第四节圆锥曲线的综合问题考点一椭圆与双曲线综合中基本量的计算问题 1.(2013年浙江卷,文9)如图,F1,F2是椭圆C1: 2 4 x +y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四 边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是( ) (A)2 (B)3 (C)3 2 (D) 6 解析:由椭圆定义得,|AF1|+|AF2|=4, |F1F2|=241 -=23, 因为四边形AF1BF2为矩形, 所以|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2=12, 所以2|AF1||AF2|=(|AF1|+|AF2|)2-(|AF1|2+|AF2|2)=16-12=4,所以(|AF2|-|AF1|)2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1||AF2|=12-4=8, 所以|AF2|-|AF1|=22, 因此对于双曲线有a=2,c=3, 所以C2的离心率e=c a = 6 2 . 故选D.答案:D 2.(2012年山东卷,理10)已知椭圆C: 2 2 x a + 2 2 y b =1(a>b>0)的离心率为 3 2 .双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这 四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为( ) (A) 2 8 x + 2 2 y =1 (B) 2 12 x + 2 6 y =1(C) 2 16 x + 2 4 y =1 (D) 2 20 x + 2 5 y =1 解析:利用椭圆离心率的概念和双曲线渐近线求法求解. ∵椭圆的离心率为3 , ∴c a = 22 a b a - = 3 , ∴a=2b.
a x 1 2 20.圆锥曲线 2 1．（2015?新课标Ⅰ）在直角坐标系 xOy 中，曲线C : y = 与直线l : y = kx + a (a > 0) 交于 M ， 4 N 两点． （Ⅰ）当k = 0 时，分別求C 在点 M 和 N 处的切线方程． （Ⅱ） y 轴上是否存在点 P ，使得当k 变动时，总有∠OPM = ∠OPN ？（说明理由） ? y = a ? 【解答】解： (I ) 联立? ?? y = x 2 x 2 ，不妨取 M (2 4 x a , a ) ， N (-2 a , a ) ， 由曲线C : y = 可得： y '= ， 4 2 ∴曲线 C 在 M 点处的切线斜率为 a x - y - a = 0 ． = ，其切线方程为： y - a = a (x - 2 a ) ，化为 同理可得曲线C 在点 N 处的切线方程为： a x + y + a = 0 ． (II ) 存在符合条件的点(0, -a ) ，下面给出证明： 设 P (0,b ) 满足∠OPM = ∠OPN ． M (x 1 ， y 1 ) ， N (x 2 ， y 2 ) ，直线 PM ， PN 的斜率分别为： k 1 ， k 2 ． ? y = kx + a ? ? y = x ，化为 x 2 - 4kx - 4a = 0 ， ? ? 4 ∴ x 1 + x 2 = 4k ， x 1 x 2 = -4a ． ∴ k + k = y 1 - b + y 2 - b = 2kx 1 x 2 + (a - b )(x 1 + x 2 ) = k (a + b ) ． x 1 x 2 x 1 x 2 a 当b = -a 时， k 1 + k 2 = 0 ，直线 PM ， PN 的倾斜角互补， ∴∠OPM = ∠OPN ． ∴点 P (0, -a ) 符合条件． 2．（2015?新课标Ⅰ）已知过点 A (0,1) 且斜率为k 的直线l 与圆C : (x - 2)2 + ( y - 3)2 = 1 交于点 M 、 N 两点． （1）求k 的取值范围； 2 a 2 联立 2
李嘉苇 肖啟航 彭颖 邹林茂 宛世杰 刘晨宇 熊晨 粟星 韦人杰 何沐阳 黄伟城 孙爱伟 张圆琪 田世林 李智勇 潘雨宏 陈凯 邓媛梦 杨帆 白立强 张倍铭 李建桦 刘晓艺 提升题（五）圆锥曲线 1．直线1y kx =-与双曲线22 1x y -=的左支有两个公共点，则k 的取值范围是 A ．(0) B ．( C ．(1)- D ．(1]- 【答案】C 【解析】 试题分析：联立方程直线1y kx =-与双曲线221x y -=得2210(2)2k x kx -+-=…①；若直线1y kx =-与双曲线221x y -=的左支交于不同的两点，则方程①有两个不等的负根，∴2222 4810201201()k k k k k ??+->?-??-?解得 ：()1k ∈-，故选：C ． 2．设1F ，2F 是双曲线C:22 221x y a b -=（0a >，0b >）的两个焦点，P 是C 上一点，若12F F 6a P +P =，且12F F ?P 的最小内角为30，则C 的离心率为（ ） A ． C D 【答案】C 【解析】 试题分析：不妨设21PF PF >，由双曲线的定义得，12F -F 2a P P =．又因12F F 6a P +P =，所以12F =4,F 2a a P P =,而c 2F F 21=,显然21F PF ∠最小，由余弦定理得，????-+=302424164222cos c a c a a ,即033222=+-a ac c ，所以a c a c 3032=∴=-)(，则3==a c e ．故选C ． 3．过双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ） A ． B ．1) C ． D ． 【答案】D 【解析】 试题分析：由题意23b a <<，即22249c a a -<<，所以22510c a << e << 4．1F 、2F 分别是椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的左、右焦点，过2F 作直线交椭圆于A 、B 两点，已知11BF AF ⊥，?=∠301ABF ，则椭圆的离心率为（ ） A ．226- B ．2 36- C ．26- D ．36- 【答案】A 【解析】 试题分析：设1AF m =， 则由11AF BF ⊥，130ABF ∠=? 得12,AB m AF ==， 所以22AF a =，22BF a m =-，所 以(2)(2)2a a m m +-=，解 得m =，在12BF F ?中，
圆锥曲线题型总结 运用的知识： 1、中点坐标公式：1022x x x +=，102 2 y y y +=，其中0x ，0y 是点11(,)A x y ，22(,)B x y 的中点坐标. 2、弦长公式：若点11(,)A x y ，22(,)B x y 在直线(0)y kx b k =+≠上，则11y kx b =+， 22y kx b =+，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一 . AB === = 或者AB === =3、两条直线1l ：11y k x b =+，2l ：22y k x b =+垂直：则121k k =-. 两条直线垂直，则直线所在的向量120v v ?= 4、韦达定理：若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根1x ，2x ，则 12b x x a +=-，12c x x a =. 5、点差法：若A 、B 是直线和椭圆的交点，则是M 是弦AB 的中点，则2 2AB OM k k b a =-?， 证明方法：设11)(,A x y 、22(),B x y 、00(),M x y ， ∵11)(,A x y 、22(),B x y 在椭圆上，则22 1122 22 2222 11 x y a b x y a b ?+=????+=??，作差得22221212220x x y y a b --+=， 化简得2121221212)()(()()y b x y y y x x x a +-+=--，即2 0122012()()y b x x y y x a -=--，22AB OM k k b a =-?； 若A 、B 是直线和双曲线的交点，则是C 是弦AB 的中点，则22AB OM b k a k =?.