Meaning & Concision
【不要改动句意】
理解A选项想要表达的意思Q85, Q92, Q116, V7, V108 * 不要轻易改动A选项想表达的意思(and和or不要互换) Q84, Q100, Q119, Q134, V42, V80 * 题中C/D选项的because 和原选项in part that意思不一致V24 * 不要随便改动A选项主从句间关系(因果/转折) Q17, Q23, Q60, Q93, Q111, Q118, Q132 表达句与句之间的转折，不要用with Q93 *时间状语修饰位置的改变也会引起句意的改变：B选项between 1876 and 1904有修饰systems的歧义P237 * 一般不要改动A选项题干的词性或位置、删除词组或改换时态Q15, Q126, Q39, Q63, Q87, V3, V47, V77, P160 * extend的主语变成the greatest road system，但核心词应该是Incan highway P186 有些as…会歧义Q108
【注意单词/词组意思的差别】
economic / economical的意思区别Q39, Q75 aggravating意为annoying Q64 especially强调严重性/ specially强调特殊性P243 do not和nothing在一个句子中出现就产生了double negative Q21 while更有simultaneity的意思而不是contrast Q130 not so much ...as 是一个程度的对比，就是在A的程度没有在B程度的深；not in… but in...意思变成：我们的区别不在A只在B Q95
【不要冗余】
so…such that的such冗余Q35 other than what it is冗余Q105 and also连一起冗余，列举时and also中also冗余Q38, Q56 enabl e和be abl e to重复Q55 expert和authority重复Q56 both和combination重复Q71 now和currently重复Q72 explain和because of重复Q86 provisions和provid e意思重复Q115 can和potentially冗余V21 today和now重复P189 长句特别注意不要unnecessary wordy Q70 句中已有compare to一类(in comparison to / as compared to or with)的词，就不能再出现其他比较词(more / l ess / greater / prefer / better / worse / X times as much) Q124
【保证句意的逻辑】
similar和each互相逻辑不一致Q61 as big as 300 feet long逻辑意思有误Q67 X is formed from Y and Z react逻辑结构错误Q88 注意句子逻辑是否make sense(记得将选项代入原句) Q113, Q114, Q131, Q137, V75, P189 * D选项改变了句子的逻辑意思P170 * establish和make provision逻辑上是同一层次的，不应该把establish作为伴随结果P219 * D选项caused的动作发者是barge逻辑上不合理P181
【优选：V-A-N原则】
that从句>介词词组Q20, Q31 动名词不如直接的名词，尤其是在所有格之后(his action > his acting) Q28, Q138, V10 amount等表示数量的词，period等表示时间的词，要用A of B结构，不要省略of Q77 介词不是of的介词短语，不能转换成形容词形式，要保留介词短语形式V75
【有效表达句意】
按时间顺序表达(没必要时不要倒叙) Q33, Q90, V110 倒装结构很awkward Q129 that从句可以放在句首直接引导主语，但是不提倡Q58 and表达的是两个item彼此不relate Q78 to cut比for cutting意思更简明Q68 分清楚哪些是句子的核心信息(核心意思不要改成modifier而非核心的用来提供extra info) Q101, Q104, Q112 D选项的two-year l ow level可以理解为“it hit a l ow l evel and then stayed there for two years”，与A选项不符V29 句子读完整再选择V35, V50, V51, V54 注意未划线部分句子的信息V79, P180
Agreement
【主谓宾完整结构】
完整句子需要独立的主谓结构Q22, Q25, Q45, Q47, Q51, Q81, Q88, Q92, Q103, Q108, Q112, Q115, Q124, Q132 * 不要有run-on sentence: 即两个独立主句中间没有and连接P194 * 要有明确的主谓结构：一个句子有2个主语错误
V-ing/分词结构不能做主动词Q1 having done / having been done都不能做主语或宾语Q12 * 主宾也要保持数量一致：company要与an process一致P221
【主谓数量一致】
主谓数量要保持一致：citrus是单数集合名词；dioxins是复数
Q3, Q7, Q14,Q30, Q36, Q55, Q61, Q67, Q70, Q79, Q80, Q81, Q83, Q107, Q123, Q126, Q129, Q131, Q133, Q140 只有and连接的名词改变主语的单复数Q6, Q16 such…as… 谓语动词跟such后面的事物Q64 path用单数：这是single evolutionary path taken by Neand erthals as a species Q76 注意less / fewer的数量一致Q101, V82 amount of 修饰不可数名词Q125, P185 (not) one of the+名词复数+单数形式谓语：not one of =none of P217
【主谓紧密且逻辑一致】
主谓不要过于遥远Q68, Q104 注意主谓是否逻辑一致Q121 * plans自己不会cut和sell Q68 * take turns的主语应该是members而不是association Q116
Parallelism
【平行对象的识别】
平行对象的识别Q32, Q63, Q66, Q119, Q127, Q134 * 句尾未划线部分的平行提示，此点应作为优先考虑解题点Q8 and平行哪些元素Q22, Q26, Q29
* 慎添加and-->可能误产生平行结构改变句子意思Q88 * 平行项被破坏，如果少了and应该可以看出Q18, Q37 系动词两边(eg: to do is to d o)的平行Q13, Q80, Q105
动词的平行Q54, Q75 * metabolize和render是平行结构Q28 介宾结构的平行Q41 * 注意介词究竟是否位于平行结构内Q71 that从句的平行Q97, Q128 形容词和动名词平行Q102 simultaneously with 和ind ependently of平行Q70
【一些平行标志词】
both…and…Q56 the higher X…the l onger Y…Q2 not only…but also…Q4, Q64 either… or… Q57, Q109, Q138 …but…Q17 * not… but…：做连词，可接许多成分，包括介宾短语Q84 * not just… but (also)…Q86 * not as…but as…Q15 then / as a result / in turn这些都是表示前后两项平起平坐的暗示词Q51 …the same as…Q107 partly…partly…V24 …rather than…V94 …more than…P183
【平行法则】
平行项(包括平行从句) 语法结构要相同Q38, Q74, Q136 * 句子大平行，对位主谓宾比较清晰(本题中都以人做主语较好) Q52 * 结构平行意味着主谓的顺序也是要一致的V15 * 主句是X is a goal of Y，所以比较句也要用类似的语法结构Q85 名词的平行：实意名词；动作名词&复杂动名词；简单动名词Q46, Q53, Q121, Q138 平行不会影响动词的时态，时态不需一致Q57, Q76 注意平行对象逻辑是否对等Q113, Q123 *两个动词要逻辑上相互独立，或者互不相干的两个序列及两个动作是否同等优先级才可以平行，且逻辑意思这里lead…by flying逻辑不通P170 例举时最后一项前一定要加and Q138
【平行的省略】
平行的省略Q73 如果平行结构含时态动词且正好是完全一样，那可以在平行结构中省略该动词Q89 同一主语的平行动词如含有be / can / will，后几项可以省略Q50
助动词要么都出现，要么后两项都别出现Q37 to d o的平行：要么都有to，要么都没有to Q108 介词平行一定要补出介词Q46, Q57 从句平行需要都始于主从连词，连词不可省略
* that…that…平行，不加that的话anestors变成后半句句子的主语time…Q97
Comparison
【比较对象正确无歧义及符合逻辑】
搞清比较对象，比较对象需要符合逻辑Q9, Q24, Q98, Q124, Q136 * 搞清比较主体：不要拿核心主谓宾和状语比较Q42 * 用语义去搞清楚比较对象：这里是两个时间状语对比Q139 * 正确比较对象是area of Laos和area of Great Britain Q43 * 被比较的对象省略平行时是否符合逻辑Q125 注意被比较的对象是否会造成歧义Q22, Q79 * more than they did(more + adj + n的结构)会有歧义Q94, P189
【比较的平行】
比较对象的平行Q108 * contrary to放在句首，不需要比较对象平行Q31 not so much… as… 的平行，意为"与其说A，不如说B" Q95 如果已经有numerical quantity就只要用twice或者d ouble若加上as many / much as冗余Q125
【比较的单复数】
比较的两者最好单复数相同Q131 单数和复数之间进行比较，后面不可用those (而要用先行词)来指代前面Q88 fewer / less分别对应可数/不可数Q9 twice as many + 可数；twice as much + 不可数Q125 *看the increase所指向的东西判定用much还是many修饰P181
【比较的用法】
用like表达goals are SIMILAR but not the same Q85 like后不跟从句或介词短语，只跟名词，注意句尾的like短语可能引起歧义Q11 as引导比较后跟句子；like放在一个有主谓宾的句子句尾，且没用逗号隔开，有修饰动词的嫌疑Q99 两个句子的比较：不要用V-ing形式因为无法表达出比较的意思Q23 E选项的比较than that后应该跟完整句子Q65 比较级-er后必须跟than要有比较对象V60 想表示成倍的数量，用times + as…as…；想表示加减的数量，用more than / less than V70 * times as much + subject + verb + prep phrase + as + (subject + verb) + prep phrase P175 * X times + as + adj / adv + as or X times + the + n or X times more than P238
【比较的省略】
主谓宾全的句型的省略：如果句子的主谓和其平行的句子的主谓完全一致时可以省略Q89, Q139 * 主语比较：A d o sth than B d o.
* 介宾比较：A d o sth of C1 by D1 than of C2 by D2.
* 宾语比较：A d o C1 than C2.
* 状语比较：A d o sth than usual / ever / before / people expected
只有主谓无宾语的句子：只可能有主语比较，不需要重复d o
比较对象后者省略谓语动词，此时后者谓语动词应和前者谓语动词一致，故应用was (呼应Q1) Q5 比较结构中，助动词的补出；无需重复commit crimes是因为在这个结构可以被理解Q27 B选项：不用for的话，比较对象变成cost of runnng nuclear和cost of other plants。当用for时，比较后半部分变为the cost for other plants，歧义消除Q107
Pronoun
【代词的数量】
代词要与先行词数量一致Q61, Q108, Q111 * 通过代词来判断谓语动词单复数Q6 * that / those开头的代词必须与先行词数量一致，否则只能重复先行词Q89
【代词指代规律】
同一句子的repeat代词应该指代同一对象Q7, Q46, Q91, Q100, Q113 主语位置的代词，优先指代对位主语Q79, Q101, Q113, Q130, V21 * 代词一般不指代介宾短语中的宾语：monitor its path中its优先指代主句主语Q87 * 介词宾语一般很少成为先行词(此题为例外) Q69 代词一般不指代所有格Q19 定语从句中不要再次出现指示同一词的it等代词Q47 不能直接用this / that / these / those来替代名词Q115, Q119
【特定代词的固定用法】
it指代that从句只有两者情况：that从句在句中做主语或宾语Q5 it指same actual thing；that指a new copy Q69 it作形式主语，不指代任何东西；it作形式主语的具体用法看曼哈顿(P17) Q52 one是ind efinite的指代，them是definite指代Q100 用that of / those of时必须要在former part找到类似结构Q9 反身代词的用法：做宾语(指代主语) / 强调名词Q64 * D选项to make后要反身代词itself V79
【代词指代错误及歧义】
一个句子中多个名词，各指代谁要清楚P180, P183 * A选项中的it指代模糊Q90 * C选项it冗余V105 * 代词不要连接不同结构层，不如从句来的有效Q104 * 用them指代peopl e而不是抽象的population C选项中的them语法指代population而实际意指people Q43 代词平行于错误名词且没有平行于其意指名词是绝对错误Q8 * A选项：主语的that-clause里面没有任何一个单数名词和it处于平行位置，假如要用it指代整个subject phrase，那么这样的指代就是破坏了平行结构(A noun is XX) Q58 * 在一个非常复杂的介宾结构中，还是不要用代词指代的好Q81 代词和先行词逻辑一致Q78 * 注意代词指代逻辑是否正确Q102, P160 * it特指了“the growth of the global economy between 1990 and 2000”P198 代词歧义是一个有效性错误，不到万不得已是不能作为绝对性错误的，只有逻辑上有歧义才能认为有歧义Q93
Modifier
【modifier正确修饰】
不要连放两个modifier在一起Q52, Q104, Q106 注意noun modifier的位置是否导致句意歧义：noun modifier紧邻其修饰的名词Q106, Q115, Q110 * most scientists agree的不是现象本身，而是全球变暖的起因Q120 * from…sample置于claims之后变成修饰claims了(事实上它要修饰的是assess) Q122 * A and B, who+ V(单数) 仍然是错误结构，不知道who指代A还是B Q110 * in a 1991 report修饰的对象不同句意也不同Q123 noun modifier一般不能指代介词短语中的名词Q47 * 当名词后跟介词短语，一般介词短语修饰该名词Q129 * 任何of有关的介词短语：of后面一定是名词或名词性从句，不能再有其他谓语动词Q36 介词短语位于句首与在句中有差别：如在句首，且用逗号和主句分隔，则修饰整个句子；放在句中，则修饰之前的名词V109 独立短语并不修饰其紧邻的成分，而是修饰整个主句(这里的with做独立主格) Q114 * 逗号+介词修饰语(如with结构)是副词修饰语，修饰整个句子Q90 * 用with引导的非限定性短语做伴随状语(本题此处thesis是其前的主题而非伴随) P192 subgroup修饰语正确用法：some of which are / some were / some of them (of which和some不能互换位置，其后一定要跟动词；some of them后直接跟短语不要用关系从句) Q43
【modifier与修饰对象逻辑一致】
noun modifier与主句主语逻辑一致Q62, Q65, Q68, Q74, Q135 * growing和compensating本身两个都是动名词，是不能相互修饰的；由意思可以判断两个是并列的Q114 * 从句后的名词并非是从句意修饰的对象，改变含义且不符合逻辑。E选项：尽管最大的湖被称作是海，最大的湖是Caspian Q48 * so me of them at…的位置不同其修饰的对象也不同，要保证其修饰符合逻辑意思Q99
【V-ing的修饰用法】
通常V-ing在时态上默认跟随主句时态：正确选项C的falling已含有have increased的时态Q90 →V-ing做名词修饰语
* 可以修饰主语或者宾语Q68, Q126 * 修饰其前紧邻的名词Q133, V47 →逗号+V-ing的法则
* 修饰其前的整句句子Q79, Q115, Q116 * 形式的逻辑主语是句子的主语Q4, Q7, Q12, Q55, Q87, Q115 * 对应之前句子的主语，与该句子的关系必须为immediate consequence或者是simultaneous action(一定是要两个不同的action) Q4 * 本题中的“逗号+V-ing”并不是automatic and essentially unavoidable consequence Q25, Q29 * 表伴随，是一件事伴随另一件事，讲述的是两件事情(本题discourse和treatise应该是同一件事) Q41 * 不能只描述主语而与其前的句子没有任何联系
* 例外：当看到逗号+ including，把including当成介词，是作为介词短语描述逗号后的成分Q67 * 介词+V-ing的逻辑主语问题(跟随其前的句子主语) Q82 * having done / having been done不是动名词结构所以不能做主宾语，不能做后置定语（不能做限定性修饰），不能在with结构中出现Q70, Q129, P231
【V-ed的修饰用法】
在任何情况下，V-ed都会作为形容词，修饰紧邻名词，作定语Q6, Q35, V108 逗号+V-ed不能只描述主语而与其前的句子没有任何联系Q57
【形容词和副词】
副词还是形容词？看其修饰什么l ogical Q14, Q15 * decrease是个名词所以不能用副词so that形容V29 副词要挨着它要修饰的词：本题为now Q72 only做副词时要紧跟修饰的词，并向后修饰，所以应该放在half前面P194 * only只能强调副词(不能修饰时间状语) P206 表示状态的形容词，一般以主系表形式表现出来，表达状态；此时，不再需要there be结构强调这种状态Q3 以形容词为首的initial modifier需要：形容词指代逗号后主语；修饰语要与其后的从句有某种relationship Q124
Clause
【从句的逻辑结构】
从句需要独立的主谓结构Q1, Q17, Q23, Q99 尾句与前一句的逻辑关系，不可随便更改为两个并列分句(D选项不正确) Q43 两个状语从句连用——before / after+when 这种时间状语连用是不符合语言习惯的Q80
【从句的省略】
如果主、从句中的谓语动词是联系动词be，而且主语非代词时，此时be常常省略Q2 主语相同时，省略主语，二者谓语动词在从句中平行Q10 状语从句的省略Q2, Q23, Q74, Q90, Q96, Q132 逻辑主语等于句子主语；从句的谓语必需是be，且从句的主谓要么同省，要么同留
正确形式：表示时间/条件/转折/让步的连词(when/while/if/unless/although/even though/even if) + 形容词短语/-ing短语/-ed短语(逻辑主语等于句子主语)
错误形式：表示时间/条件/转折的连词+ 介词短语/名词短语
【关系代词引导的从句】
that从句要紧邻其修饰的名词以免造成歧义(一般不修饰介词短语中的宾语) Q15, Q126, V42 * that从句(含动词) > 介词短语(含名词)，尤其表示idea的名词hypothesis / id ea / suggestion / belief / discovery / evidence / indication / report Q16, Q117 *thesis应该是某个现象，要改为that从句(同位语从句)，或者用冒号来引出从句(不能用thesis of) P192 * that从句的that可以做从句动词的宾语V84 which一般只修饰其前紧邻的名词，而不能修饰一个从句(P21) Q33, Q48, Q67, Q73, Q86, Q87, Q112, Q113, Q123 * which无所指，前面没有成分可以与amounts to连接(the numbers of…才可以) P206 * N1 + 介词+ N2的结构用which，指代N1 Q105 * that/which的跳跃修饰只能是存在于“N1+prep+N2”的情况下(prep不能为that从句) V100 * which的跳跃指代是有条件的：其前方是一个核心词+修饰词的结构，which才能跳跃指代核心词Q106 * which和that都只能指代物不能指代人P249 限定性修饰语和名词间不需逗号，用that；非限定性修饰语和名词间加逗号，用which Q55, Q81 * 不用太在意限制性从句和非限制性从句的逗号问题Q29 what = just as，但是还是有不同；意为“恰像，犹如，好比”，用作连词，引导比较状语从句；what不可以直接被just as替换Q59 * what不能替代which引导从句Q50
when是时间状语从句，强调一个时间点Q14 * when是否作关系代词，将其替代为in which看是否make sense Q88 where只引导地点从句；in which更多是空间概念Q35 * where不可以修饰phenomenon这种词Q103 while意为“当…时”或“对比”或“虽然、尽管”或“只要”，引导的从句可表simultaneous或者contrast，从句要与主句发生在同一时间Q134, P175, P181
【结果/让步从句】
用but好于although因为句子两部分处于对等位置Q17 because和due to的区别：Q8, Q33 because可以接复杂的句子，due to或because of一定要接核心原因，只接简单名词
because可以用一系列的话来表示出原因；because of接直接原因有时会正确
due to一般不放在句首，且due to正确与否还得看主句主语是否是due to后原因的结果，due to如果不能用cause by 代替那就是错的P172 because / for和in that：Q60, V21 X because Y-->Y是X的cause
X in that Y-->X is usually something very general, but then the sentence LIMITS that statement to the scope of whatever Y is
as有一种用法是表示because：OG解释D选项unclear and appears to indicate the meaning "due to" Q79 * as表示原因或伴随更为合适P175 介词后接名词性从句(despite是介词，后接名词或名词词组) Q34
【条件从句】
表达是否只能用whether而不能是if Q34, Q78 if是条件状语从句，强调的只是条件Q14 if X does…(then) Y will d o Q40 * if X, (then) Y结构里两个clause用同样结构较好(即语态相同) Q114 * Once / If X has happened, then Y will happen, have been trimmed是相对于tourists visit之前完成的动作Q78
Tense, Mood & Voice
【动词】
double是动词Q20 report word后面不能出现should等词Q54 are to be = will be Q63 lay是及物动词需要直接跟宾语Q95 helping verb补出原则Q91, Q125 * 如果要省略一个词，这个词必须已经在句中出现过。一般如下：
I have. (have verbed) / I d o. (verb) / I did. (verb past tense) / I will. (will verb) / I can. (can verb) / I could. (coul d verb) * 必须时态match，否则就要用新时态重复整个verb
* 即便句子是negative的，be /d o / have也要用positive form
【时态需注意的事项】
注意整句句子的时态保持一致性(一个动词为过去时其后的动词也要) Q1, Q28, Q40, Q129, Q137, V110, P212 注意时态标志词：ago / previously / ever since Q10 * 看到time marker如during / within / in the past / last…/by the time等要用完成时Q90, Q124, P159 不要随便用完成时态Q135, P237 * 相同主语用and连接，一般前后句不必用完成时表达先后顺序Q23 *宾语从句的时态未必要与主句的时态一致P159
【时态的逻辑性】
now一词倾向表达past和present的difference或者transition所以两个动作间不会是同时进行的Q25 第二个动作如用had been相对于第一个动作had而言逻辑不合理Q38 If X happened, then Y woul d happen：A/C选项中用was替代would be表明这和句子剩余部分是simultaneous发生(与意指的意思不符) Q69
【一般现在时】
一般现在时表示"eternal" states / general statement Q6, Q64 * periodic event应该用一般现在时而非一般进行时Q103 * "appear" is in present tense, since we're talking about the way these things appear to present-day observers Q76 从句中的can表达continuity Q12 be certain是发生在现在的动作，will be时态错误P200
【一般过去时】
previously跟一般过去时Q16 in XXXX, 要用一般过去时Q96
【现在完成时】
现在完成时必须满足以下条件之一：
动作延续到现在；动作完结但其影响到现在；动作完结但可能再度发生Q71, Q133, V110 用have swept的原因：将迄今为止所有的waves和过去的某一特定wave进行比较Q5 announce和send都在过去的特定时间点完成(其中send早于announce)故有continued的effect Q33 用have been equipped是因为对现在的peopl e而言N民族的特征是in the past Q76 句子对比了the evolution of the radio和its original conception，所以用has become比is更好Q105
【过去完成时】
过去完成时满足以下条件之一：存在另一过去action的参照或有later past time marker Q10, Q37, Q50 在不强调先后顺序的时候，不需要过去完成时Q89, Q128 * exist的时间点是针对"now"而言而不是"l ed" Q72 * reduce的时间点在be all owed之前-->用had been all owed d o not make sense Q77
【进行时】
现在完成时：句子意图强调动作ongoing(C选项错误) Q86 * for weeks有持续的含义，所以用现在完成进行时正确P172 * 过去进行时表示on going at the time(本题是一个单独的historical event故用simple past即可) Q70 * 进行时放在条件式里不合适Q40
【语态】
不要用被动语态否定一个选项Q60, V105 条件从句里用被动态使得语义模糊Q40 * A选项中用被动语态仿佛说明outline这件事情不是executive做的Q67
Idiom
ability of sb to d o sth able to be d one or capabl e of / in doing (being done) or ability of / for d oing
Q34, Q51, Q122, P174, P243 be an account of…Q56 act as表示作用；act like表示“做的像XX”Q66 be admiration for + person Q38 advocate+宾语/不跟介词短语Q41 agree to 同意做某事/ agree with 同意…是事实/应当如何Q120 aid in sth / doing sth Q109 all ow that(承认) / all ow for(考虑到、允许) / all ow sb to d o sth(允许) / all ow sth to be done allow for d oing / all ow + (sb) + 动作性名词Q77, P231 announce sth to sb / announce sb sth or announce a decision / intention / plan (+ to do) or announce (that)
or announce sb announce to do / be sth P212 appear to be / have been (for the past) + adj Q76 apprenticeship as…Q135 attribute X (an effect) to Y (a cause) Q82 介词as用于名词或者名词短语(非比较)P32 Q99 be an authority on…Q56 begin as / with + 宾语Q135 between...and... Q44 (not) bother to do sth or (not) bother about / with or (not)bother doing sth P200 claim that...can… / claim to be able to claim the ability to do / claim being able to d o Q122 conceive of sth as sth Q105 consider sth / sb + noun / adj (to be + adj没有直接adj好) or consider that + should do Q119 in contrast with / in constrast to as contrasted with Q24 date / be dated at…be dated to be / be dated as being Q140 depend on whether Q34 dissipate是不及物动词不直接跟宾语V108 distingu ish / distinction between…and…Q93, Q95 double后面跟amount / quantity / speed / frequency / rate (of) / rates (for) / price, 肯定不跟appl es / stud ents具体名词；a d oubling of后跟数量(number / amount / quantity)、价值、物理量(concentration / pressure / force) Q125 endure for sth Q71 enough for sb / enough to d o something enough + that / so as to / so to / so that P174 be equipped to d o sth Q76 estimate to be…Q30 evidence等词最好用同位语，不要加介词短语Q70 except for X + 主句(比besides / with the exception of / excepting好) excepting for Q118 expectation接that比较好，expectation往往表将来，用conditional Q20, P242 expend on Q46 the fact后要跟that同位语从句V3, P220 sb(不能为sth) be at fault for doing Q58 help sb (to) do / help (to) d o / be helpful in P170 increase in sth Q14 instead of后一般只跟名词，表示substitute X for Y (否则用rather than) Q50, V94 be likely to d o sth / be likely that make it likely to d o / make them adj to do sth Q100 as a means to do sth = method for / of doing sth；a means of = a kind of Q75 make it adj to d o / make (d oing) sth adj / make N1 N2 P180
more… than…more…as…Q5 namely的用法：意为that is to say, along with；副词；后面不能直接加句子，或用namely that P220 neither…nor…but rather…Q74 or的结构基本等同and的用法，除了“and前面有逗号必须补出一套独立主谓”和“相同的主语第二个平行成分可以省略到主语(and前无逗号)”Q113 persuade sb to do persuad e that Q127 prohibit sb from d oing / prohibit sth / prohibit from d oing / forbid X to d o Y V47, P221 pronounce sth XX Q47 rather是副词，单独出现表转折时一般都在句首；接句子不可能接to do不定式；一般都不会单独出现Q50 records of sth (比records that好) P191 reduce后直接+time(比reduce+介词短语好)也更符合习惯用语/ require后跟不定式(比跟介词短语好) Q49 in / with reference to sth / sb (必须做状语) Q131 require sb / sth to do or sth require (of sb) that...do (subjunctive) or noun is required (of sb / sth) to d o sth or noun required of sb / sth to d o Q133 restitution to X for Y V51 restriction on sth Q63 action / event result in sth V108 rivals...and…Q44 sth seems to do / It seems that / It seems as if + clause Q36 some time表示“一段时间”；at some time表示“在某一时间”Q97 A such as B / such A as s uch…like…Q1, Q138, P170 * such as +具体名词（N1 and N2或doing N1 and doing N2）表示举例；such as + noun/ d oing/ what从句/介词短语tend to d o sth or tend to sb / sth P200 think of sb as… / be thought to be…b e thought by…as…Q16, V23 try d oing = experiment Q93 in turn用于阐述a chain of events is being described Q73 view sth as sth view sth to be sth P200 the higher X…the l onger Y…Q2 the same to X as to Y Q32 A is to B what C is to D / What C is to D, that A is to B Q59 so as to / so…as to前者表目的，后者表结果；一般不倒装，只用在简单主系表结构中Q39, P174 * so / such...as to逻辑主语等于句子主语，即句子主语可以执行as to后面动词所表达的作用，所以to be/do结构不能与前面动词不能太远；so …that可以用作多个主语时，so前面的主语和that后面的主语可以不一样
做某事时通过什么方法或手段用by；表示使用有形工具时，通常用with来表示P170
Others
【不定式】
to d o结构一般都带有表目的的意思Q1, Q63, Q133 * to do 结构不能修饰没有生命性名词表示目的Q100 to d o是否有其合适的逻辑主语Q50 * 尽管to d o结构是可以做主语/宾语，但GMAT认为这种结构是awkward的，应该用it做形式主语Q52 to d o平行：可以省略to (主语必须一致) Q73
【同位语】
同位语既可以修饰其前的clause也可以修饰其紧邻的名词Q50, Q105, Q120 * 像A of B结构，同位语可以修饰A Q47 * 同位语必须严格等于其修饰的名词的含义Q73 同位语modifier要有清晰的先行词V79 * twice Y / X times Y等可以用作同位语(C选项d ouble as much as是同位语修饰词) P180 未划线同位语中可能包含对题目有用的信息Q32 同位语若包含整个主句主谓宾信息的话，应置于主句之后Q99 同位语不要和句尾V-ing互换，完全不是一个概念；同理适用于句尾定语和句尾V-ing也不能互换Q41, P181
【琐碎语法点】
分号的使用：连接两个相关独立的主句，要与分号前面的句子有所联系，但未必需要阐述第一句Q32, Q113 强调句的结构：It +be +强调部分+ that (who) + 主谓句。强调句的连词只有两个：that和who。当强调的部分是人，且为句子的主语时，才用"who"，其余用that。强调句中it无所指。Q58 similar to后面不能加完整的从句Q59 with不能加ind ependent clause Q128 with可以表示原因，与as含义相似P175 one与another搭配；some和others搭配；each和the other搭配；each other和others搭配P220
新人教版六年级上册数学各单元知识点总结 第一单元：分数乘法 一、分数乘法 （一）分数乘法的意义： 1、分数乘整数与整数乘法的意义相同。都是求几个相同加数的和的简便运算。 例如： 98×5表示求5个9 8的和是多少？ 2、分数乘分数是求一个数的几分之几是多少。 例如： 98×4 3表示求9 8的4 3是多少？ （二）、分数乘法的计算法则： 1、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。（整数和分母约分） 2、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。 3、为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。 注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。 （三）、规律：（乘法中比较大小时） 一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。 一个数（0除外）乘小于1的数（0除外），积小于这个数。 一个数（0除外）乘1，积等于这个数。 （四）、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。
（五）、整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。 乘法交换律： a × b = b × a 乘法结合律： ( a × b )×c = a × ( b × c ) 乘法分配律：（ a + b ）×c = a c + b c a c + b c = （ a + b ）×c 二、分数乘法的解决问题 （已知单位“1”的量（用乘法），求单位“1”的几分之几是多少） 1、画线段图： （1）两个量的关系：画两条线段图；（2）部分和整体的关系：画一条线段图。 2、找单位“1”：在分率句中分率的前面；或“占”、“是”、“比”“相当于”的后面 3、求一个数的几倍：一个数×几倍；求一个数的几分之几是多少：一个数×几 。 几 4、写数量关系式技巧： （1）“的”相当于“×”“占”、“是”、“比”相当于“ = ”（2）分率前是“的”：单位“1”的量×分率=分率对应量（3）分率前是“多或少”的意思：单位“1”的量×（1 分率）=分率对应量 第二单元：位置与方向 1、位置是相对的，要指出一个物体的位置，必须以另一个物体为参照物。以谁为参照物，就以谁为观测点。 2、东偏北30。也可说成北偏东60。，但在生活中一般先说与物体所在方向
1．不等式的解法 （1）同解不等式（(1)f x g x ()()>与f x F x g x F x ()()()()+>+同解； （2）m f x g x >>0，()()与mf x mg x ()()>同解， m f x g x <>0，()()与mf x mg x ()()<同解； （3） f x g x () () >0与f x g x g x ()()(()?>≠00同解）； 2．一元一次不等式 ax b a a a >?>=≠()或ax bx c a 200++<≠?()分a >0 及a <0情况分别解之，还要注意?=-b ac 2 4的三种情况，即?>0或 ?=0或?<0，最好联系二次函数的图象。 4．分式不等式 分式不等式的等价变形： )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0，) () (x g x f ≥0??? ?≠≥?0 )(0 )()(x g x g x f 。 5．简单的绝对值不等式 解绝对值不等式常用以下等价变形： |x|0)， |x|>a ?x 2>a 2?x>a 或x<－a(a>0)。 一般地有： |f(x)|
基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+（2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则ab b a ≥+2（2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x +≥(当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x +≤-(当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若*,R b a ∈，则2 2111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当 b a =时取“=” （1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥b a 112 + 2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2 2 2 3、已知1a b c ++=，求证：2221 3 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 5、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ?????? ---≥ ??????????? 6、选修4—5：不等式选讲
六年级知识点归纳总结 第一单元分数乘法 1．分数乘整数的意义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。2．分数乘整数的计算法则：分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。 （为了计算简便，能约分的要先约分，然后再乘。） 注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。 3．一个数与分数相乘，可以看作是求这个数的几分之几是多少。 4．分数乘分数的计算法则：分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。 5．整数乘法的交换律、结合律和分配律，对分数乘法同样适用。 乘法交换律： a × b = b × a 乘法结合律： ( a × b )×c = a × ( b × c ) 乘法分配律：（ a + b ）×c = a c + b c a c + b c = （ a + b ）×c 6．乘积是1的两个数互为倒数。 7．求一个数（0除外）的倒数，只要把这个数的分子、分母调换位置。 1的倒数是1。0没有倒数。 真分数的倒数大于1；假分数的倒数小于或等于1；带分数的倒数小于1。 注意：倒数必须是成对的两个数，单独的一个数不能称做倒数。 8．一个数（0除外）乘以一个真分数，所得的积小于它本身。 9．一个数（0除外）乘以一个假分数，所得的积等于或大于它本身。 10．一个数（0除外）乘以一个带分数，所得的积大于它本身。 11．分数应用题一般解题步骤。 （1）找出含有分率的关键句。
（2）找出单位“1”的量（以后称为“标准量”）找单位“1”：在分率句中分率的前面；或“是”、“占”、“比”、“相当于”的后面 （3）画出线段图，标准量与比较量是整体与部分的关系画一条线段即可，标准量与比较量不是整体与部分的关系画两条线段即可。（4）根据线段图写出等量关系式：标准量×对应分率=比较量。求一个数的几倍：一个数×几倍； 求一个数的几分之几是多少：一个数×几 几 。 写数量关系式技巧： （1）“的”相当于“×”“占”、“是”、“比”相当于“ = ” （2）分率前是“的”：单位“1”的量×分率=分率对应量 （3）分率前是“多或少”的意思：单位“1”的量×（1 分率）=分率对应量（5）根据已知条件和问题列式解答。 12．乘法应用题有关注意概念。 （1）乘法应用题的解题思路：已知一个数，求这个数的几分之几是多少？单位“1”×对应分率=对应量 （2）找单位“1”的方法：从含有分数的关键句中找，注意“的”前“是、比、相当于、占、等于”后的规则。 （3）甲比乙多几分之几？计算方法是：（甲－乙）÷乙= 甲÷乙－1甲比乙少几分之几？计算方法是：（甲－乙）÷甲 = 1－乙÷甲 （4）“增加”、“提高”、“增产”等蕴含“多”的意思，“减少”、“下降”、“裁员” 等蕴含“少”的意思，“相当于”、“占”、“是”、“等于”意思相近。 （5）当关键句中的单位“1”不明显时，要把关键句补充完整,补充成“谁是谁的几分之几之几”或“甲比乙多几分之几”、“甲比乙少几分之几”的形式。（6）乘法应用题中，单位“1”是已知的。 （7）单位“1”不同的两个分率不能相加减，加减属相差比，始终遵循“凡是
不等式知识点汇总 1、不等式的基本性质 ②（传递性）,a b b c a c >>?> ①（对称性）a b b a >?> ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑦（开方法则）0,1)a b n N n >>?∈>且 ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性） 0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则）b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ②（基本不等式） 2 a b +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ⑤3 3 3 3(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>>（当且仅当a b c ==时取到等号）. ①()2 2 2a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式： 22 .2 a b ab +≤
④()2 2 2 a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 3 ()a b c R + ∈、、（当且仅当 a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 2 2 .x a x a a x a >>>，，规律：小于1同加则变大， 大于1同加则变小. ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+ 3、几个著名不等式 ①平均不等式： 112a b a b --+≤≤ +()a b R + ∈， （当且仅当a b =时取 ""=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）. 变形公式：2 22 ;22a b a b ab ++??≤≤ ??? 222 ().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121 ...(...).n n a a a a a a n +++≥+++ ③≥1122(,,,).x y x y R ∈ ④二维形式的柯西不等式2 2 2 2 2 ()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当 ad bc =时，等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式：2222222 123123112233()()().a a a b b b a b a b a b ++++≥++ ⑥一般形式的柯西不等式：222222 1212(...)(...) n n a a a b b b ++++++
不等式总结 一、不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 110,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 有两相等实根注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间 三、均值不等式
1.均值不等式：如果a,b 是正数，那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等 3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数），即 2112a b a b +≥+（当 a = b 时取等） 四、含有绝对值的不等式 1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式：如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3．当0c >时， ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-， ||ax b c c ax b c +?∈，||ax b c x φ+?-<<，|| (0)x a a x a >>?>或x a <-． （2）定义法：零点分段法； （3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方． 五、其他常见不等式形式总结： ①分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 ()()0() () 0()()0;0()0 () ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠? ②无理不等式：转化为有理不等式求解 ()0()0()()f x g x f x g x ?≥????≥?? ?>? 定义域 ???<≥?????>≥≥?>0 )(0)()] ([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ??? ??<≥≥?<2 )] ([)(0 )(0 )()()(x g x f x g x f x g x f
基本不等式知识点总结 向量不等式： ||||||||||||a b a b a b -±+r r r r r r ≤≤ 【注意】： a b r r 、 同向或有0r ?||||||a b a b +=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=-u r u r u r u r ； a b r r 、反向或有0r ?||||||a b a b -=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=+u r u r u r u r ； a b r r 、不共线?||||||||||||a b a b a b -<±<+u r u r u r u r u r u r .(这些和实数集中类似) 代数不等式： ,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?+=+-=-≥； ,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?-=+-=+≥. 绝对值不等式： 123123a a a a a a ++++≤ (0)a b a b a b ab -≤-≤+≥时,取等 双向不等式：a b a b a b -±+≤≤ （左边当0(0)ab ≤≥时取得等号，右边当0(0)ab ≥≤时取得等号.） 放缩不等式： ①00a b a m >>>>，，则b m b b m a m a a m -+<<-+. 【说明】： b b m a a m +<+（0,0a b m >>>，糖水的浓度问题）. 【拓展】：，则，，000>>>>n m b a b a n b n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a b c R + ∈， b d a c <，则b b d d a a c c +<<+； ③n N +∈ < < ④,1n N n +∈>，211111 11n n n n n - <<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1x e x +≥()x R ∈. 函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞； 单调递减区间：(0, ，[0).
人教版六年级数学下册知识点归纳总结1、负数的由来： 为了表示相反意义的两个量（如盈利亏损、收入支出……）.光有学过的0 1 3.4 2/5……是远远不够的。所以出现了负数.以盈利为正、亏损为负；以收入为正、支出为负 2、负数：小于0的数叫负数（不包括0）.数轴上0左边的数叫做负数。 若一个数小于0.则称它是一个负数。 负数有无数个.其中有（负整数.负分数和负小数） 负数的写法：数字前面加负号“-”号.不可以省略例如：-2.-5.33.-45.-2/5 正数：大于0的数叫正数（不包括0）.数轴上0右边的数叫做正数 若一个数大于0.则称它是一个正数。正数有无数个.其中有（正整数.正分数和正小数） 正数的写法：数字前面可以加正号“+”号.也可以省略不写。 例如：+2.5.33.+45.2/5 4、0 既不是正数.也不是负数.它是正、负数的分界限 负数都小于0.正数都大于0.负数都比正数小.正数都比负数大 5、数轴： 6、比较两数的大小： ①利用数轴： 负数＜0＜正数或左边＜右边 ②利用正负数含义：正数之间比较大小.数字大的就大.数字小的就小。负数之间比较大小.数字大的反而小.数字小的反而大 1/3＞1/6 -1/3＜-1/6 第二单元百分数二 （一）、折扣和成数 1、折扣：用于商品.现价是原价的百分之几.叫做折扣。通称“打折”。
几折就是十分之几.也就是百分之几十。例如：八折=8/10=80﹪. 六折五=6.5/10=65/100=65﹪ 解决打折的问题.关键是先将打的折数转化为百分数或分数.然后按照求比一个数多（少）百分之几（几分之几）的数的解题方法进行解答。 商品现在打八折：现在的售价是原价的80﹪ 商品现在打六折五：现在的售价是原价的65﹪ 2、成数：几成就是十分之几.也就是百分之几十。例如：一成=1/10=10﹪八成五=8.5/10=85/100=80﹪ 解决成数的问题.关键是先将成数转化为百分数或分数.然后按照求比一个数多（少）百分之几（几分之几）的数的解题方法进行解答。这次衣服的进价增加一成：这次衣服的进价比原来的进价增加10﹪ 今年小麦的收成是去年的八成五：今年小麦的收成是去年的85﹪ （二）、税率和利率 1、税率（1）纳税：纳税是根据国家税法的有关规定.按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。 （2）纳税的意义：税收是国家财政收入的主要来源之一。国家用收来的税款发展经济、科技、教育、文化和国防安全等事业。（3）应纳税额：缴纳的税款叫做应纳税额。（4）税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率。 （5）应纳税额的计算方法：应纳税额=总收入×税率收入额=应纳税额÷税率 2、利率（1）存款分为活期、整存整取和零存整取等方法。 （2）储蓄的意义：人们常常把暂时不用的钱存入银行或信用社.储蓄起来.这样不仅可以支援国家建设.也使得个人用钱更加安全和有计划.还可以增加一些收入。（3）本金：存入银行的钱叫做本金。（4）利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。（5）利率：利息与本金的比值叫做利率。（6）利息的计算公式： 利息＝本金×利率×时间利率＝利息÷时间÷本金×100％ （7）注意：如要上利息税（国债和教育储藏的利息不纳税）.则： 税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息×利息税率=利息×(1-利息税率) 税后利息=本金×利率×时间×(1-利息税率) 购物策略： 估计费用：根据实际的问题.选择合理的估算策略.进行估算。 购物策略：根据实际需要.对常见的几种优惠策略加以分析和比较.并能够最终选择最为优惠的方案 学后反思：做事情运用策略的好处 第三单元圆柱和圆锥
向量不等式： 【注意】：同向或有； 反向或有； 不共线.(这些和实数集中类似) 代数不等式： 同号或有； 异号或有. 绝对值不等式： 双向不等式： （左边当时取得等号，右边当时取得等号.） 放缩不等式： ①，则. 【说明】：（，糖水的浓度问题）. 【拓展】：. ②，，则； ③，； ④，. ⑤,. 函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞； 单调递减区间：(0, ，[0). 基本不等式知识点总结 重要不等式
1、和积不等式：(当且仅当时取到“”)． 【变形】：①（当a = b 时，） 【注意】： ， 2、均值不等式： 两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均算术平均几何平均调和平均” *.若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ）; 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） *.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 3、含立方的几个重要不等式（a 、b 、c 为正数）： （，）； *不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当0>ab 时， ab b a 222≥+同时除以ab 得 2≥+b a a b 或b a a b -≥-11。 *,,b a 均为正数，b a b a -≥22 八种变式： ①222b a ab +≤ ； ②2 )2(b a ab +≤； ③2)2( 222b a b a +≤+ ④)(22 2 b a b a +≤+；⑤若b>0,则b a b a -≥22；⑥a>0,b>0,则b a b a +≥+4 11；⑦若a>0,b>0,则ab b a 4)11( 2≥+； ⑧ 若0≠ab ，则2 22)11(2111b a b a +≥+。 上述八个不等式中等号成立的条件都是“ b a =”。 最值定理 （积定和最小）
弹性学制数学讲义 不等式（4课时） ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、
三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a
小学六年级数学知识点归纳总结 六年级上册 知识点概念总结 1.分数乘法：分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。 2.分数乘法的计算法则： 分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。但分子分母不能为零.。 3.分数乘法意义 分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。一个数与分数相乘，可以看作是求这个数的几分之几是多少。 4.分数乘整数：数形结合、转化化归 5.倒数：乘积是1的两个数叫做互为倒数。 6.分数的倒数 找一个分数的倒数，例如3/4把3/4这个分数的分子和分母交换位置，把原来的分子做分母，原来的分母做分子。则是4/3。3/4是4/3的倒数，也可以说4/3是3/4的倒数。 7.整数的倒数 找一个整数的倒数，例如12，把12化成分数，即12/1，再把12/1这个分数的分子和分母交换位置，把原来的分子做分母，原来的分母做分子。则是1/12，12是1/12的倒数。 8.小数的倒数： 普通算法：找一个小数的倒数，例如0.25，把0.25化成分数，即1/4，再把1/4这个分数的分子和分母交换位置，把原来的分子做分母，原来的分母做分子。则是4/1 9.用1计算法：也可以用1去除以这个数，例如0.25，1/0.25等于4，所以0.25的倒数4，因为乘积是1的两个数互为倒数。分数、整数也都使用这种规律。
10.分数除法：分数除法是分数乘法的逆运算。 11.分数除法计算法则：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。 12.分数除法的意义：与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数求另一个因数。 13.分数除法应用题：先找单位1。单位1已知，求部分量或对应分率用乘法，求单位1用除法。 14.比和比例： 比和比例一直是学数学容易弄混的几大问题之一，其实它们之间的问题完全可以用一句话概括：比，等同于算式中等号左边的式子，是式子的一种（如：a:b）；比例，由至少两个称为比的式子由等号连接而成，且这两个比的比值是相同（如：a:b=c:d）。 所以，比和比例的联系就可以说成是：比是比例的一部分；而比例是由至少两个比值相等的比组合而成的。表示两个比相等的式子叫做比例,是比的意义。比例有4项,前项后项各2个. 15.比的基本性质：比的前项和后项都乘以或除以一个不为零的数。比值不变。 比的性质用于化简比。 比表示两个数相除；只有两个项：比的前项和后项。 比例是一个等式，表示两个比相等；有四个项：两个外项和两个内项。 16.比例的性质：在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积。比例的性质用于解比例。
最新高中数学不等式知识点归纳汇总 知识点一：绝对值三角不等式 1．定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b|≤|a|＋|b|， 当且仅当ab ≥０时，等号成立． 2．定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c|≤ |a －b|+ |b －c|，当且仅当(a-b)(b-c) ≥０时，等号成立．知识点二：绝对值不等式的解法 1．不等式|x|a 的解集： 不等式 a>0a ＝0a<0|x|a {x|x>a ，或x<－a}{x|x ≠0}R 2．|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式的解法： (1)|ax ＋b|≤ｃ?-c ≤ax ＋b ≤ｃ； (2)|ax ＋b|≥ｃ?ax ＋b ≤-c 或ax ＋b ≥c. (3)|x －a|＋|x －b|≥c(c>0)和|x －a|＋|x －b|≤c(c>0)型不等式的解法： 巩固专区：典例 [例1].函数y=|x+1|+ |x+3|的最小值为___________. 解析：由|x+1|+ |x+3|≥｜（x+1）-（x+3）|=2，故y 的最小值2。 [例2].不等式|2x-1| 1 1．不等式的解法 （1）同解不等式（(1)与同解； （2）与同解，与同解； （3）与同解）； 2．一元一次不等式 情况分别解之。 3．一元二次不等式 或分及情况分别解之，还要注意的三种情况，即或或，最好联系二次函数的图象。 4．分式不等式 分式不等式的等价变形： )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0，) () (x g x f ≥0????≠≥?0 )(0 )()(x g x g x f 。 5．简单的绝对值不等式 解绝对值不等式常用以下等价变形： |x|0)， |x|>a ?x 2>a 2?x>a 或x<－a(a>0)。 一般地有： |f(x)| 1 线哪一侧的平面区域。特别地，当0C ≠时，通常把原点作为此特殊点。 （2）有关概念 引例：设2z x y =+，式中变量,x y 满 足条件43 35251x y x y x -≤-?? +≤??≥? ，求z 的最大值和最 小值。 由题意，变量,x y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些 平面区域的公共区域。由图知，原点(0,0)不在公共区域内，当 0,0x y ==时，20z x y =+=，即点(0,0)在直线0l ：20x y +=上， 作一组平行于0l 的直线l ：2x y t +=，t R ∈，可知：当l 在0l 的右上方时，直线l 上的点(,)x y 满足20x y +>，即0t >，而且，直线l 往右平移时，t 随之增大。 由图象可知，当直线l 经过点(5,2)A 时，对应的t 最大， 当直线l 经过点(1,1)B 时，对应的t 最小，所以， max 25212z =?+=，min 2113z =?+=。 在上述引例中，不等式组是一组对变量,x y 的约束条件，这组约束条件都是关于,x y 的一次不等式，所以又称 为线性约束条件。2z x y =+是要求最大值或最小值所涉及的变量,x y 的解析式，叫目标函数。又由于2z x y =+是 ,x y 的一次解析式，所以又叫线性目标函数。 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值 或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解(,)x y 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域。其中可行解(5,2)和(1,1)分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解。 O y x A C 430x y -+= 1x = 35250x y +-= 第一单元主题是“人生感悟”。五篇课文从不同的角度阐明了人生的哲理。 《文言文两则》表达了学习应该专心致志和看待事物应该有不同角度的道理； 《匆匆》表达了作者对时光飞逝的惋惜和无奈，渗透着珍惜时间的意识； 《桃花心木》借物喻人，说明人的成长应该经受考验，学会独立自主。 《顶碗少年》蕴含着“失败乃成功之母”的哲理。 《手指》阐明“团结就是力量”的道理。 第一课《文言文两则》 1.背诵课文，默写。 2.知识点： 《学弈》选自《孟子.告子》，《学弈》这个故事，说明了学习应专心致志，不可三心二意的道理； 《两小儿辩日》选自《列子.汤问》，这个故事体现了两小儿善于观察，说话有理有据以及孔子实事求是的态度，同时告诉我们看待事物可以有不同的角度和学无止境的道理。 3.注释 （１）字、词： 弈：下棋。通国：全国。诲：教导。惟弈秋之为听：只听弈秋（的教导）。鸿鹄：天鹅。援：引，拉。俱：一起。弗：不。矣：了。为：因为。其：他的，指后一个人。 重点文中几个“之”的意思 辩斗：辩论，争论。以：认为。去：离。日中：正午。及：到。沧沧凉凉：形容清凉的感觉。沧沧：寒冷的意思。探汤：把手伸向热水里。意思是天气很热。汤：热水。决：判断。孰：谁。汝：你。 （２）句子： 为是其智弗若与？曰：非然也。 （译）难道是因为他的智力不如别人好吗？我说：不是这样的。 我以日始出时去人近，而日中时远也。 （译）我认为太阳刚出来的时候离人近一些，中午的时候离人远一些。 孰为汝多知乎？ （译）谁说你的知识渊博呢？ （３）译文： 《学弈》 弈秋是全国的下棋高手。他教导两个学生下棋，其中一个学生非常专心，只听弈秋的教导；另一个学生虽然也在听弈秋讲课，心里却一直想着天上有天鹅要飞过来，想要拉弓引箭把它射下来。虽然他俩在一块儿学习，但是后一个学生不如前一个学得好。难道是因为他的智力不如别人好吗？我说：不是这样的。 《两小儿辩日》 有一天，孔子到东方游学，看到两个小孩为什么事情争辩不已，便问是什么原因。 一个小孩说：“我认为太阳刚出来的时候离人近一些，中午的时候离人远一些。” 另一个小孩却认为太阳刚出来的时候离人远些，而中午时要近些。 一个小孩说：“太阳刚出来的时候像车盖一样大，到了中午却像个盘子，这不是远的时候看起来小而近的时候看起来大的道理吗？” 另一个小孩说：“太阳刚出来的时候有清凉的感觉，到了中午却像把手伸进热水里一样，这不是近的时候感觉热而远的时候感觉凉的道理吗？” 孔子也不能判断是怎么回事。 两个小孩笑着说：“谁说你的知识渊博呢？” 第二课《匆匆》（散文） （写作特色：作者运用设问、比喻、排比、拟人等句式将不易察觉的时光匆匆，一去不复返写得形象生动，富有感染力） １.背诵课文。 ２.知识点： 《匆匆》的作者是著名散文大师朱自清（本文是他24岁时所写），他的散文名篇有《匆匆》、《背影》、《荷塘月色》等。本文紧扣“匆匆”二字，细腻地刻画了时间流逝的踪迹，表达了作者对时光流逝的无奈和惋惜。 ３.理解句子： （１）燕子去了，有再来的时候；杨柳枯了，有再青的时候；桃花谢了，有再开的时候。但是，聪明的，你告诉我，我们的日子为什么一去不复返呢？ 用排比的句式，表明大自然的枯荣是时间飞逝的痕迹。“我们的日子为什么一去不复返呢？”看似在问，实际上表达了作者对时光逝去而无法挽留的无奈和对已逝日子的深深留恋。 仿写：太阳落了，有再升起的时候；月亮缺了，又再圆的时候；潮水退了，有再涨的时候。 （２）像针尖上一滴水滴在大海里，我的日子滴在时间的流里，没有声音，也没有影子。 一元一次不等式知识点汇总 【知识点一】不等式的有关概念 1、不等式定义：用符号“<”、“≤”、“>”、“≥”、“≠”连接而成的数学式子，叫做不等式。这5个用来连接的符号统称不等号。 2、列不等式：步骤如下 （1）根据所给条件中的关系确定不等式两边的代数式； （2）正确理解题目中的关键词语，如：多、少、快、慢、增加了、减少了、不足、不到、不大于、不小于、不超过等确切的含义； （3）选择与题意符合的不等号将表示不等关系的两个式子连接起来。 3、用数轴表示不等式 （1）x a <表示小于a 的全体实数，在数轴上表示a 左边的所有点，不包括a 在内。 （2）x a ≥表示大于或等于a 的全体实数，在数轴上表示a 右边的所有点，包括a 在内。 （3）()b x a b a <<<表示大于b 而小于a 的全体实数。 1、不等式的基本性质 （1）基本性质1：若a b <，b c <，则a c <。（不等式的传递性） （2）基本性质2：不等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得到的不等式仍成立。 ①若a b >，则a c b c +>+，a c b c ->-；②若a b <，则a c b c +<+，a c b c -<-。 （3）基本性质3：①不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所得的不等式仍成立； 若a b >，且0c >，则ac bc >， a b c c >。 ②不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，必须把不等号的方向改变，所得的不等式成立。 若a b >，且0c <，则ac bc <，a b c c <。 2、比较等式与不等式的基本性质 1、一元一次不等式的概念：不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次。 2、不等式的解集：能使不等式成立的未知数的值的全体叫做不等式的解集，简称不等式的解。 3、一元一次不等式的解法：步骤如下 （1）去分母：在不等式两边同乘分母的最小公倍数；（根据基本性质3） （2）去括号：把所有因式展开；（根据单项式乘多项式法则） （3）移项：把含未知数的项移到不等式的左边，不含有未知数的项移到不等式的右边；（根据基本性质2） （4）合并同类项：将所有的同类项合并，得ax b >或ax b <（0a ≠）的形式； （5）系数化为1：不等式两边同除以未知数的系数，或乘未知数系数的倒数。（根据基本性质3） 4、一元一次不等式的应用：解有关应用题步骤如下 （1）审题：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，抓住题设中的关键字眼，如“大于”、“不小于”等； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出不等关系； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列不等式的解集； （6）答：写出答案，并检验答案是否符合题意。高中不等式知识点总结(2020年九月整理).doc
六年级下册知识点归纳总结
一元一次不等式知识点汇总
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