一题多解专题七:利用基本不等式求最值
适用人教新课标A 版必修5第11期 第四版 素质提高 帮你归纳
作者:郭天总 河北省永年县第二中学 电话:139********
邮编:057151 电子信箱:gtzong31@https://www.doczj.com/doc/e861963.html,
用基本不等式求函数的最大(小)值是高中数学的一个重点,三个条件必须同时具备,才能应用,即“一正,二定,三相等”.在具体的题目中“正数”条件往往易从题设中获得,“相等”条件也易验证确定,而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点,它需要一定的灵活性和变形技巧.因此,“定值”条件决定着不等式应用的可行性.这是解题成败的关键.此外,若两次连用均值不等式,要注意取等号的条件的一致性,否则可能会出错.因此,在利用均值不等式处理问题时,列出等号成立的条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法.
例、已知正数a,b 满足311=+b
a ,求
b a +的取值范围。 思路点拨:一种思路是根据划归思想,二元转化为一元,即利用
311=+b
a 将
b a +中的b 用a 表示,然后用基本不等式求范围;另一种思路是对311=+b
a 变形,获得
b a + 与ab 的关系,然后利用解不等式消去ab 建立b a +的不等式求解. 解析:方法一:由311=+b a 得ab b a 3=+,1
3-=∴a a b ,由于a>0,b>0,可得31>a , 于是)31(9131131133113-++=-+-?+=-+=+a a a a a a a a b a 3
432)3
1(91)31(232)31(9131=+-?-≥+-+-=a a a a , 当)3
1(9131-=-
a a ,即32=a 时取等号,
b a +∴的取值范围是),34[+∞ 方法二:由311=+b a 得ab b a 3=+. 又2)2
(b a ab +≤, 所以2)2
(3b a b a +≤+,即4(a+b)≤2)(3b a +,所以34≥+b a , 即b a +的取值范围是),3
4[+∞ 方法三:由311=+b a 得13131=+b a , 34332323332)3131)(
(=?+≥++=++=+∴a b b a a b b a b a b a b a , 当且仅当a b b a 33=,即3
2==b a 时取等号,
所以b a +的取值范围是),34[+∞
方法四:由311=+b
a 得a
b b a 3=+ (1) 设t b a =+,则a t b -=,代入(1)式得)(3a t a t -=
整理得0332=+-t ta a ,又由311=+b a 得3
1>a , 即方程0332=+-t ta a 在),3
1
(+∞上有解, 令t ta a a g +-=33)(2,则?????????>>?--≥?-=?+-=0)3
1(31323034)3(33)(22g t t t t ta a a g 解得3
4≥t , 所以b a +的取值范围是),34[+∞ 运用基本不等式求最值的技巧:
1、含有多个变量的条件最值问题,一种方法是减少变量的个数,将问题转化为只含有一 个变量的函数的最值问题进行解决;另一种方法是采用代换的方法,对代数式变形后, 在运用基本不等式。
2、妙用“1”的代换求代数式的最值:在求解含有两个变量的代数式的最值问题时,通 常的解决办法是变量替换或常值“1”的替换,即由已知条件得到某个式子的值为常 数,然后将欲求最值的代数式乘上常数,再对代数式进行变形整理,从而可利用基本 不等式求最值.
针对性练习:
1.已知a >0,b >0,131,a b
+=则a+2b 的最小值为( ) (A)726+
(B)23 (C)723+ (D)14 解析:选A.()133a 2b a 2b a 2b ()16726,a b b a
+=++=+++≥+ ∴a+2b 的最小值为72 6.+
2.若-4<x <1,则2x 2x 2f (x)2x 2
-+=-( ) (A)有最小值1 (B)有最大值1 (C)有最小值-1 (D)有最大值-1
解析:选D.()2x 2x 211f (x)x 1,2x 22x 1
-+==-+--[] 又∵-4<x <1,∴x-1<0,-(x-1)>0.
1
1f (x)(x 1)12(x 1)
∴=---+≤---[], 当且仅当1x 1,x 1
-=-即x=0时,等号成立.故选D. 3. 已知点P(x ,y)在直线x+y-4=0上,则2x +2y 的最小值为_________.
解析】∵点P(x,y)在直线x+y-4=0上,∴x+y=4 x y x y 22228+∴+≥=(当且仅当x=y=2时等号成立).
4.已知0<x <1,则4y lgx lgx
=+的最大值为_________. 解析】∵0<x <1,∴lgx <0,-lgx >0.
()4y lgx ()244lgx
∴-=-+-≥=,即y ≤-4. 当且仅当41lgx x lgx 100-=-
=,即时等号成立,故y max =-4. 5.已知函数2x 2y (x 2).x x 1
+=-++> (1)求1y
的取值范围; (2)当x 为何值时,y 取何最大值? 解析】(1)设x+2=t,x=t-2,t >0(∵x >-2),
则2221x x 1(t 2)(t 2)1t 3t 3y x 2t t
++-+-+-+===+3t 3233t =+-≥-, ∴所求范围为233,).-+∞[
(2)欲使y 最大,必1y 最小, 此时3t ,t 3,x 32,t ===-233y 3+=, ∴当x 32=-时,y 取最大值为233.3
+ 6.已知a>0,b>0,a+b=2,则
14a b
+的最小值是( ) (A)72 (B)4 (C)92 (D)5 解析】选C.由已知可得14a b 1412a b ()2a b 2a b 2b 2a ++=?+=+++≥52a b 922b 2a 2
+?=,
当且仅当
24
a b
33
==
,时取等号,即
14
a b
+的最小值是
9
2
.
7.若a>0,b>0,且a+b=1,则ab+1
ab
的最小值为( )
(A)2 (B)4 (C)17
4
(D)22
解析】选C.由a+b=1,a>0,b>0得
11 2ab a b1,ab,ab.
24≤+=∴≤∴≤
令ab=t,则0 4 ,则 11 ab t ab t +=+,结合函数的图象可知t+ 1 t 在(0, 1 4 ]上单 调递减,故当t=1 4 时,t+ 1 t 有最小值为 1 4 +4= 17 4 . 8.已知f(x)=log2(x-2),若实数m,n满足f(m)+f(2n)=3,则m+n的最小值为( ) (A)5 (B)7 (C)8 (D)9 解析】选B.由已知得log2(m-2)+log2(2n-2)=3,即log2[(m-2)(2n-2)]=3, 因此 m2, n1, (m2)(2n2)8. > ? ? > ? ?--= ? 于是 4 n1. m2 =+ - 所以 444 m n m1m232(m2)37. m2m2m2 +=++=-++≥-+= --- 当且仅当 4 m2, m2 -= - 即m=4时等号成立,此时m+n取最小值7.